Algebarske operacije
|
|
- Γεώργιος Ζυγομαλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algebrske opercije Poglvlje m e l e 11 Potecije 1 Algebrski izrzi w w r t h e w w w w m e l e r t h e Ciljevi: - rčuti s potecijm cjelobrojog ekspoet - prepozti i rbiti formule z kvdrt biom i rzliku kvdrt - rčuti s lgebrskim rzlomcim 1
2 Mtemtik u struci Uvod Potecije su u prošlosti pise rzličito Stroegiptski zk z miliju Michel Stifel (1 st) Rffelle Bombelli (16 17) Adrie v Roome ( ) Sve dijelove kocke podijelite kko je to već učijeo Koliko ćete mlih kockic ukupo dobiti ko tog? Je li umožk dvju brojev koji su kubovi poovo kub? Provjerite to primjerim Dioft je prvi počeo ozčvti potecije svoj či dšje ozke koje koristimo potječu od Descrtes U čst i spome velikog mtemtičr postvlje je jegovu grobu dgrobi spomeik kojem je ukles sljedeći tpis: Putiče ovdje počivju zemljski ostci Dioftovi Brojevi će ti kzti čud li koliko je trjo jegov vijek životi Život šesti protekl mu je u djetijstvu bezbrižu Nko još jede dvestie lice mu se pokri brdom muževom A život sedmiu poživi u brku bez djece Kd još pet prođe ljet usreći g rođeje divog mu si prvorođeog Kojemu kolo udjeli smo polovicu slvog život očev I u velikoj tuzi četiri godie žleći z siom strc doček krj život zemljskog (Koliko li je živio Dioft?) 10
3 Algebrske opercije Svki trokut sdrži po tri kružić tko je broj kružić u trokutim d s potecijm broj i 11 Potecije 111 Potecije s cjelobrojim ekspoetom Već smo učili d je: = = ( ) ( ) = ( ) ili općeito = Tko z uzstopo možeje ekog broj smim sobom uvodimo krći či zpisivj primjerice: = = 8 = = = = 81 = = 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) = = 0 1 = Općeito umožk u kojemu se ko možitelj pojvljuje put ozčvmo odoso: = ili = put put Izrz gdje je rciol broj ziv se potecij broj ziv se osov (bz) broj ekspoet potecije Kd je = kžemo d je to drug potecij ili kvdrt z = d je treć potecij ili kub Drug se potecij običo ziv kvdrtom treć kubom Npomeimo još d je 1 = Umoške pišimo u obliku potecije: ) b) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8 ) c) d) e) x x x x ( ) ( ) ( ) = ( ) ) = b) c) = d) = e) x x x x = x PRIMJER 6 Izrčujmo: ) b) ( ) c) 1 d) = ( ) ( ) ( ) = ) = = b) 1 c) = = 6 d) = = 6 11
4 Mtemtik u struci Zdtci z vježbu PRIMJER Izrčujmo: = = = PRIMJER Izrčujmo vrijedost izrz: + b b z = i b = 1 Npišite u obliku potecije: + = = ( ) ( ) ( ) ) b) c) d) ( ) f) e) Izrčujte: 1 ) b) 8 c) ( 1) 1 d) ( 1) 11 e) ( ) f) ( 6) Izrčujte: 1 ) b) ( ) c) 01 d) 1 e) f) 1 1 Izrčujte: ) b) ( 0) c) ( 17) d) ( 00) e) 0007 f) ( 0101) g) 7 h) 0 Izrčujte: ( ) 6 0 ) b) ( ) + ( ) + ( ) d) ( ) c) Izrčujte vrijedosti izrz: ) 0 x x + x + x z x = b) x x + x x + 6x z x = c) x x x x 1 x z x = 1 d) + z = 1
5 Rhidov (Ahmesov) ppirus koji se čuv u Lodou iz 160 g pr Kr sdrži ovkv problem: Neko imje sdrži 7 zgrd U svkoj od jih je 7 mčk Svk od jih uhvti 7 mišev od kojih je svki pojeo 7 zr pšeice svko bi zro moglo dti 7 mjeric žit Koliko bi imju bilo ukupo zgrd mčk mišev zr pšeice i mjeric žit? : zgrd 7 7 mčk 7 9 mišev 7 zr 7 01 mjeric Potecije jedkih bz Možeje potecij jedkih bz Možemo li izrčuti čemu je jedko? N osovi zčej potecije možemo pisti: ( ) = = = Algebrske opercije U zčeom se možeju broj ko fktor jvlj put p zključujemo: Općeito vrijedi: Nvedeo prvilo izričemo ovko: + = = = m m + Potecije jedkih bz može se tko d se t bz potecir zbrojem jihovih ekspoet Izrčujmo: ) b) x x c) d) ) = = = 1 0 b) x x = x = x c) = = d) 1 1 = 1 = 1 = Dijeljeje potecij jedkih bz Postupjući sličo ko pri možeju potecij odredimo količik Općeito vrijedi: Riječim: : = = = = : = m m 1 6 : : Potecije jedkih bz dijele se tko d se t bz potecir rzlikom ekspoet djeljeik i djelitelj Izrčujmo: ) : b) : c) x : x 1 d) 7 ) : = = 16 b) : = = c) x : x = x = x 1 d) : = = : 1
6 Mtemtik u struci NETOČNO TOČNO = 6 = 8 1 = 1 = 1 Istkimo d je z 0 : odoso Dkle: : = = 1 : = = 0 = 1 Potecij svkog broj rzličitog od ule s ekspoetom ul jedk je jed Tko je = = ( + ) = = 1 1 = b 1 x y 1 Odredimo sd količik Tkođer je Vidimo d je Općeito: Primjerice: : koristeći se formulom : = : = = 1 : = = = = 1 1 = 0 m m : Zdtci z vježbu = = = = = = = = 10 = = Zpišite jedostvije: ) b) c) d) ( ) e) f) 1 1 Izrčujte: 6 ) y y b) x x x c) b b 1 d) 16 b b e) 0 1x 0 1x f) x y x y Izrčujte: ) : b) : c) : d) 7 : 1
7 Izrčujte: ) x : x b) x : x c) 9 : 6 d) b : b e) 6 x y : xy f) 0 6 b : ( 0 b ) ( 1) 1 + ( 1) + ( 1) + + ( 1) 98 + ( 1) 99 =? ) 1 b) 0 c) 1 d) = (često je lkše izrčuti) = 1 = ( 1 ) = = 6 = Potecije jedkih ekspoet Algebrske opercije Potecije jedkih ekspoet možimo tko d umožk bz potecirmo zjedičkim ekspoetom: b = b m m m Uvjerimo se u istiitost vedee formule: ( ) m m b = b b b b = m fktor m fktor ( ) ( ) ( ) = b b b b = m fktor ) 8 8 = ( ) 8 = 10 8 b) 0 = ( 10) = 10 = 8 10 = c) (1) 6 ( ) 6 = (1 ) 6 = 6 d) ( 0) 7 7 = ( 0 ) 7 = ( 1) 7 = 1 Očito je d potecije jedkih ekspoet dijelimo tko d količik bz potecirmo zjedičkim ekspoetom: PRIMJER 10 : = (10 : ) = = 16 ( 1) : = ( 1 : ) = ( ) = m m m : b = ( : b) = b = 10 = 6 : = 10 7 Zdtci z vježbu ) b) c) : 10 d) e) 8 6 : 6 9 f) : g) : h) i) j) 6 k) l) 6 8 Izrčujte jjedostviji či e koristeći klkultor: ( 1 ) : ( 7 1) ( 7 ) : ( 18 76) m b m 1
8 Mtemtik u struci NETOČNO 6 6 = TOČNO ( ) = = 16 = = = = = + ( ) = 1 = 1 11 Rčuje s potecijm cjelobrojih ekspoet Zbrjje i oduzimje potecij Potecije koje imju jedke bze i jedke ekspoete mogu se zbrjti ovko: + + = x + x = x + + = 6 x + x x + x = x + 6x Potecirje potecij Odredimo sd čemu je jedko poteciju s bzom i ekspoetom p vrijedi: Općeito vrijedi: Riječim: = = = = Tj izrz možemo shvtiti ko m m = Potecij se potecir tko d se bz potecir umoškom ekspoet b) ( ) Izrčujmo: ) é æ1ö ù c) 0 èç ø d) e) ëê ûú = = = = = = ) b) c) = = = 1 0 d) = = 1 6 e) = 6 6 = 6 = 16 Rčuje potecij s pomoću džepog rčul Džep rčul imju dvije fukcije i kvdrt broj primjerice: rču potecije 16
9 Algebrske opercije Zdtci z vježbu 1 Izrčujte: ) b) ( ) c) ( x y ) d) ( b ) x e) y Izrčujte: ) 6 6 b 9 b c b) x( x + y) c) x x + y Npišite broj ko poteciju s zdom bzom: f) 0 x y z x y z 1 d) 6 ( b) e) 6 6 x y b ( xy) ) broj 16 1 bz b) broj 8 1 bz c) broj 6 6 bz d) broj bz Koliko je: ) 10 1 b) 10 c) d) e) f) 01 g) 0 h) ( 0)? Npišite brojeve: ) i ko potecije s bzom 8 16 b) i ko potecije s bzom 10 1 c) 1 6 i ko potecije s ekspoetom 1 d) 8 6 i ko potecije s ekspoetom 79 6 Izrčujte: 9 ) b) ( 1 ) 7 6 ( ) ( ) c) d) Izrčujte: Izrčujmo: ) 6 b) ( ) c) ( ) i d) 1 ) 6 b) ( ) c) ( ) Uočimo d se predzk uosi ko broj d) 1 b ) b x b) bx y by b c) xy e) 10 9 b : xy 6 17
10 Mtemtik u struci bc c d d) : e) b d b 8 Izrčujte: ) 1 x x b) b b b cd d) b Apollo 11 Atom 11 Zstvei zpis relog broj Ogledlo koje su površii Mjesec postvili strouti Apoll 11 jedii je dio misij Apollo koji još uvijek šlje podtke Zemlju Mjereje vreme koje treb lserskom sopu d dođe od Zemlje do tog ogledl i trg omogućuje mjereje udljeosti Zemlj Mjesec Udljeost od Zemlje do Mjesec je 8 tisuće kilometr do Suc 16 miliju kilometr Atom je osov grđev jediic tvri Atom se sstoji od jezgre (koju čie protoi i eutroi) i elektro koji se lze u ljuskm oko jezgre Jezgr čii 9998 % mse tom Promjer jezgre ( m) je put mji od promjer tom ( m) U zosti se često pojvljuju vrlo veliki ili vrlo mli brojevi ko što je vidljivo iz gorjih primjer Zpisivje ovih brojev možemo pojedostviti korištejem zstveog ili stdrdog zpis Broj je zpis u zstveom zpisu ko je prikz u obliku 10 gdje je cijeli broj i 1 < 10 ili 10 < < 1 Udljeost od Zemlje do Mjesec prikzt ćemo u zstveom zpisu 8 10 km do Suc km Promjer jezgre tom je 10 1 m promjer tom m : f) x b x 1 b c : b c 9 b b : e) c x y 6 6 c x c) b x : b d b 9 6 x y 8x x : 7 9 f) x y : b y y Prikžimo zde brojeve u stdrdom zpisu ) 700 b) ) Broj 7 00 možemo zpisti ko Deciml će se točk lziti iz zmeke 7 Prebrojimo koliko je mjest od stre do ove decimle točke Vidimo d su to mjest Td je 7 00 = 7 10 b) Zključujući slič či prebrojvmo kojem je mjestu iz decimle točke zmek rzličit od ule Zmek je šestom mjestu iz decimle točke te zpisujemo =
11 Algebrske opercije Riječ miliju prvi je put upotrijeblje u 1 stoljeću trjlo je dugo dok ije postl općeito prihvće Dotd i poslije koristio se izrz tisuću tisuć Riječ milijrd stl je tek u 18 st Amerikci kdšto Frcuzi i Rusi umjesto milijrde koriste riječ biliju 8000 = = = = 8 10 PRIMJER Zpišimo zde brojeve u decimlom obliku: ) 6 10 b) ) Sd je potrebo smo okreuti postupk Pri možeju broj s 10 broj se povećv i deciml se točk pomiče z jedo mjesto udeso tko d je 6 10 = 60 b) Pri dijeljeju broj s 10 odoso možeju broj s 10 1 broj se smjuje i deciml se točk pomiče z jedo mjesto ulijevo te je broj = PRIMJER Ms Jupiter približo je jedk 10 7 kg ms Zemlje 6 10 kg Koliko je put ms Jupiter već od mse Zemlje? Podijelit ćemo msu Jupiter msom Zemlje = = = Ms Jupiter je put već od mse Zemlje Osim uobičjeog zpis broj rčulu se brojevi mogu zpisti i u zstveom i ižejerskom obliku s pomoću tipki SCI ( SCI: prikzuje broj u obliku ENG: prikzuje broj u obliku b 10 1 b 999 PRIMJER Izrčujmo s pomoću džepog rčul dv či 6 10 = = Tipk omogućuje uos dvozmekstog ekspoet bze 10 S pomoću te tipke džepom rčulu zpisujemo ovko: zslou se pojvljuje Ako pomožimo miliju milijuom tj ekru će se pojviti što predstvlj 10 1 ) 19
12 Mtemtik u struci Zdtci z vježbu 1 Izrčujte: ) b) 7 c) 11 d) Odgovorite pitj = ) b) 1 c) 00 d) 010 x 00 : x 100 = ) x 00 b) x 00 c) x d) Umožk i x 100 im istu vrijedost ko i ( x) 100 Vrijedost je: ) 100 b) 1 c) 1 d) 100 Odredite ekspoete sljedećih potecij: ) x b) 1 c) ( ) Odredite bze sljedećih potecij: ) x b) 1 c) ( ) 6 Koji je od sljedećih brojev zpis u zstveom zpisu? ) b) c) d) Procijeite 1 Provjerite je li: = b) 6 ) Koj je od sljedećih tvrdji toč? + + = ) < b) > c) ( ) = d) 7 7 > 7 7 Upiši toč broj u prz kvdrtić: 00 = 00 + Koj je tvrdj toč z =? ) < 0 b) 0 < < 1 c) 100 < < d) < < Koj je od sljedećih tvrdji toč? ) = 6 b) = 10 8 c) 8 8 = 8 d) ( 1) = 6 = ) b) c) 1 d) 16 7 Koliko zmek im broj ? ) 9999 b) c) 9996 d) 9997 Modelirje i rj vje problem 1 Ms jede molekule kisik je 10 grm Odredite msu molekul kisik Ako je brzi svjetlosti 10 8 m/s odredite udljeost Pluto od Suc ko je pozto d svjetlost putuje od Suc do Pluto sti 8 miut i 0 sekudi 0
13 Odredite msu ledee kocke duljie brid 0 m Gustoć led je 0916 g/cm (m = ρ V ms tijel gustoće ρ i volume V) Provjerite svoje zje 1 Izrčujte: 1 ) Izrčujte vrijedosti izrz: 1 cm Algebrske opercije N zemljopisoj krti udljeost Zgreb Krlovc izosi 10 cm U kojem je omjeru rđe krt ko se z d je udljeost Zgreb Krlovc 0 km? Koristeći 0 ččklic složite prvokutike rzličitih dulji i širi Kko će se odositi jihovi opsezi? 6 Ako je Rtko potrošio 16 m žice kko bi ogrdio okućicu širi okućice je 0 m kolik je dulji okućice? 10 cm ) 1 m b) 0 m c) 6 m d) 101 m cm 7 Odredite opseg lik s slike: ) cm b) cm c) 6 cm d) 6 cm 6 cm 8 U 010 godii potrošili smo ku sldoled Ako je u Hrvtskoj otprilike 10 6 stovik koliko je svki potrošio sldoled? b) ( ) + + ( ) ( ) ) x x + x x + x x z x = 1 b) b + b z = i b = Izrčujte: ) : b) 0 : 0 Npišite brojeve: i ko potecije s bzom Npišite brojeve: 0 1 i 81 ko potecije s ekspoetom 16 6 Izrčujte: ) x 7 Izrčujte: x y : y 8 Izrčujte: b) x x 9 x y : : y y 9 Izrčujte i prikžite u zstveom zpisu cm 10 U New Yorku mrtou sudjeluje 10 trkč Svki od jih pretrči kilometr Izrčujte koliko ukupo kilometr pretrče svi trkči i izrzite odgovor u zstveom zpisu Ako zmo d je udljeost od Zemlje do Suc km koliko bi još trkč treblo trčti kko bi svi zjedo dostigli tu udljeost? 1
14 Mtemtik u struci 1 Algebrski izrzi Možeje poliom x + x x x x + x (x + )(x + ) = x + ( + )x Izrčujte: ) + b b Izrz oblik x ziv se moom ili jedočl izrz Tko su izrzi x 0 i 1 y primjeri moom Dvočli lgebrski izrz koji čie dv moom povez zkom + ziv se biom Tko su biomi izrzi + b ili 7x + y Zbroj više moom ziv se poliom ili višečl izrz primjerice: x xy + 6 je poliom 11 Rčuje s lgebrskim izrzim Izrčujmo umožk ( + b) (c + d) Već smo upozli zko distributivosti možej prem zbrjju: ( + b) c = c + b c odoso (b + c) = b + c Nek je c + d = m td je ( + b) m = m + b m = (c + d) + b (c + d) = c + d + bc + bd Dkle ( + b) (c + d) = c + d + bc + bd Nvedei postupk potvrđuje i jedkost površi slici 6 Zdtci z vježbu ( + ) ( + ) Izrčujmo: ) x + 6 y b) + 6 b 8 ) x + 6 y x 6 y x 6 xy 6y x ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( b + ) = b + + b + b) b) ( x + y) ( x + ) c) ( 8x 7y) ( x + y) ( b ) : e) ( + )( + ) f) ( + b)( + b) d) 18 1 : g) (1 x)(1 + x) h) πr + πr πr
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTENCIJE α M-- uiverzl zbirk potpuo riješeih zdtk Rješej svih zdtk s kopleti postupko i uput. Koristio
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα7 neg. ( - ) neg. ( - ) poz. (+ ) poz. (+ )
X. gimzij Iv Supek Zgre, Klićev 7. lipj 000. godie Mturl zdć iz mtemtike Rješej zdtk. ) Riješi jeddžu 7 Rješeje: Njprije se tre riješiti psolutih vrijedosti tko d z svki izrz uutr psolute vrijedosti odredimo
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραRješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:
PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραPREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA 2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 (pomagalo dozvoljeno na kolokviju)
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE (pomglo dozvoljeo kolokviju) Opći pojmovi: I REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Nek su X, Y R Rel fukcij f : X Y je svko pridruživje koje svkom
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραa C 1 ( ) = = = m.
Zdtk 4 (Petr, gimzij) Dvije tke leće, koverget jkosti + dpt i diverget jkosti 5 dpt, slijepljee su zjedo Predmet se lzi 5 cm ispred kovergete leće Odredite gdje je slik predmet ješeje 4 C = + m -, C =
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Διαβάστε περισσότεραMatematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja
Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραFOURIEROVI REDOVI I INTEGRALI
FOURIEROVI REDOVI I INEGRALI Pri rješvju rzličitih ižijerskih prole koriste se periodičke fukcije. Pojvljuju se pod terio periodičke fukcije, u ovu skupiu spdju trigooetrijske fukcije, sius i kosius, koje
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραDETERMINANTE I MATRICE
Gimzij: Lucij Vrji Mturl rdj: ETERMINANTE I MATRICE Izrdio: iko Koruić, učeik 4 G Metor: Mile Broić, profesor U Zgreu, 0 siječj 996 SARŽAJ I UVO II ETERMINANTE etermite drugog red etermite trećeg red 3
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραskupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom.
Nizovi. Osovi pojmovi kod izov.. Defiicij i osovi pojmovi Defiicij... Svko preslikvje f : N R, skup prirodih brojev u skup relih brojev, zivmo re izom. Broj koji se ovim preslikvjem dodeljuje prirodom
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραOBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραMališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ
Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,. KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUvođenje pojma određenog integrala u srednjoškolskoj nastavi matematike 1
Uvođeje pojm određeog itegrl u sredjoškolskoj stvi mtemtike 1 1. Uvod Iv Božić 2, Tomislv Šikić 3 S pojmom itegrl i itegrlim rčuom učeici se prvi put susreću u četvrtom rzredu sredje škole. S ozirom d
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα( ) 2. određuje se izrazom S = 4 π
Zdtk 8 (Ml, gimzij) Itezitet Sučev zrčej udljeosti od.5 0 m od središt Suc izosi 00 W/m. Z koliko se smji ms Suc tijekom 365 d uz pretpostvku d se eergij koju Suce zrči u potpuosti doiv uklerim izgrjem
Διαβάστε περισσότεραa) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα