ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

2 ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Υπενθυμίζουμε ότι κάθε πίνακας συχνοτήτων παριστάνει τα δεδομένα σε αύξουσα σειρά. Το βάρος των μαθητών στην άσκηση είναι μια διακριτή μεταβλητή. Οι τιμές της είναι οι : χ 5, χ 5, χ 57 και χ 6. Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι χ ι ν ι Σύνολο 5 α ) å i n i i 5 5, κιλά n β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι, άρτιο, οπότε η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της 5 ης και της 6 ης τιμής ( αφού πρώτα έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά ). 5 5 Άρα δ 5 κιλά. γ ) Το εύρος συμβολίζεται με R και είναι η διαφορά της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος από την μικρότερη τιμή. Δηλαδή : R 6 5 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ Τα δέκα τμήματα της Α Λυκείου ενός σχολείου της Αττικής, έχουν το εξής πλήθος μαθητών : Να βρείτε :, 6,,, 8, 6, 8,, 5, α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την επικρατούσα τιμή. Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Το πλήθος των μαθητών είναι μια διακριτή μεταβλητή. Οι τιμές της είναι : χ, χ, χ 5, χ 6, χ 5 8, χ 6, χ 7, χ 8 6.

3 Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι α ) 8 å i n i i 8 8 μαθητές, n 8 8 β ) δ 8 μαθητές, το δείγμα είναι άρτιο άρα είναι το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων τιμών. γ ) R μεγαλύτερη τιμή μικρότερη τιμή 6 μαθητές. Σύνολο 8 δ ) Επικρατούσα είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα, συμβολίζεται με Μ, εδώ έχουμε δυο επικρατούσες τιμές, τις 8 και και η μεταβλητή ονομάζεται δικόρυφη. Άρα Μ 8 και χ ι ν ι ΑΣΚΗΣΗ Οι ημερήσιες θερμοκρασίες που παρατηρήθηκαν στην Φλώρινα σε διαδοχικές μέρες ήταν : Να υπολογιστούν : 5, 5, 6, 8, 8, 6, 7, 8, 7, α ) η μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) τη διασπορά ε ) την επικρατούσα τιμή. Οι θερμοκρασίες της άσκησης είναι μια διακριτή μεταβλητή με τιμές : χ 5, χ 6, χ 7, χ 8, χ 5. Θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. Τιμές χ ι Συχνότητες ν ι χ ι ν ι ( χ ι ) ν ι ( χ ι ) Σύνολά 7 α ) 5 å i n i i 7 7 n β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, άρα 7 7 δ 7 γ ) R 5 6

4 n ( ) n ( )... δ ) S ån ( i n n 5 i i ) 5 ε ) Μ 8, με συχνότητα. ΑΣΚΗΣΗ Ο πίνακας παρουσιάζει των αριθμό των παιδιών που έχουν οι οικογένειες μιας πολυκατοικίας της Κυψέλης. Αριθμός Παιδιών i 5 Οικογένειες n i 7 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την τυπική απόκλιση ε ) τον συντ. μεταβλητότητας Ο αριθμός των παιδιών είναι μια διακριτή μεταβλητή. Για να υπολογίσω τα ερωτήματα της άσκησης θα κάνω πίνακα συχνοτήτων. χ ι ν ι χ ι ν ι ( χ ι ) ν ι ( χ ι ) Σύνολα α ) 6 å i n i i 5 παιδιά n 5 β ) Το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό, συνεπώς η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή. Άρα δ η τιμή γ ) R 5 5 παιδιά δ ) s 6 å i v ( i i n ) 8 8 παιδιά 5 5

5 ε ) CV s Αν μας ρωτούσανε να εξετάσουμε αν το δείγμα είναι ομοιογενές, τότε θα έπρεπε να κάνουμε τα εξής (χωρίς υπολογιστή τσέπης βέβαια ) Η ρίζα του 7 είναι ένας αριθμός μεταξύ του και του, δηλαδή : 7 7 < 7 < Þ < < Þ, < <, 6 Þ Þ, < Cs <,6 Þ % < Cs < 6%, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 7 5, ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο πίνακας παρουσιάζει τις ηλικίες των υπαλλήλων ενός εργοστασίου: Ηλικία [ ) Υπάλληλοι n i Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) την τυπική απόκλιση γ ) τον συντ. μεταβλητότητας Εδώ έχουμε μια συνεχή μεταβλητή. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι ο παρακάτω: [ ) Συχνότητες Κέντρα ν ι Ο ι ν ι Ο ι ( Ο ι ) ν ι ( Ο ι ) Αθροίσματα 68 6

6 α ) 5 å Oi n i i 68 χρόνων, n 5 å v i ( O i ) i 6 β ) s n χρόνια s 9 9 γ ) CV, αν μας ρωτούσανε να εξετάσουμε αν το δείγμα είναι ομοιογενές, τότε θα κάναμε τα εξής : Ο αριθμός 9 βρίσκεται μεταξύ του 5 και του 6, άρα : < 9 < 6 Þ < < Þ, < <,8 Þ % < Cs < 8% Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα δείγμα τριών παρατηρήσεων έχει διάμεσο, εύρος 9 και μέση τιμή. Να βρεθούν οι τρεις αυτές παρατηρήσεις. Έστω ότι οι τρεις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά είναι οι εξής : χ, χ, χ. Επειδή η διάμεσος είναι, θα είναι η μεσαία τιμή, δηλαδή χ. Επειδή R 9 Þ χ χ 9 (σχέση ) Εφόσον Þ χ χ 9 (σχέση ) Þ Þ χ χ Þ Από την σχέση και προκύπτει ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους και λύνετε με πρόσθεση των δυο εξισώσεων κατά μέλη. ì 9 í Þ î 9 8 Þ 9, και το χ υπολογίζεται από την πρώτη σχέση χ 9 9, άρα οι παρατηρήσεις είναι οι :,, 9 5

7 ΑΣΚΗΣΗ 7 Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 6. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους. Έστω ότι οι 8 διαδοχικοί περιττοί είναι οι : χ κ,χ κ,χ κ, χ κ6, χ 5 κ8,χ 6 κ,χ 7 κ,χ 8 κ Τότε : k ( k )...( Þ 6 8 k ) Þ 6 8 8κ56Þ 8 8κ56 Þ 7 8κ Þ κ 9. Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι : 9,,, 5, 7, 9,, ΑΣΚΗΣΗ 8 Η μέση τιμή και η διάμεσος επτά αριθμών είναι 8. Οι πέντε από αυτούς είναι : Να βρεθούν οι άλλοι δυο., 5,,,. Το δείγμα είναι μεγέθους 7. Η διάμεσος είναι 8, όμως η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση. Η μεσαία τιμή από τις επτά είναι η η. Άρα οι αριθμοί σε αύξουσα σειρά είναι οι :, 5, k, 8,,,. Ονομάζω την τιμή που λείπει κ. Αυτή θα είναι μια από τις τρεις πρώτες. Γνωρίζουμε ότι 8, άρα έχουμε: 5 8 k 8 Þ 8 7 Þ 5 κ 56 Þ κ 6. Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι :, 5, 6, 8,,,. ΑΣΚΗΣΗ 9 Σε ένα δείγμα μεγέθους οι τιμές μιας μεταβλητής είναι,, 5, 7, 8, ψ. Η τιμή ψ είναι διαφορετική από τις άλλες και δεν είναι μικρότερη. Επίσης έχουμε τον πίνακα : 6

8 i Ψ n 5 ; ; i α ) αν το εύρος είναι 6 να βρεθεί ο ψ, β ) να βρεθούν οι συχνότητες των τιμών 8 και ψ αν υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές, γ ) να βρεθεί η διάμεσος. α ) R ψ Þ 6 ψ Þ ψ 9, β ) Ονομάζω την συχνότητα του 8 ν 5 και την συχνότητα του 9 ν 6. ν ν ν ν ν 5 ν 6 Þ 5ν 5 ν 6 Þ ν 5 ν 6 7. Όμως υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. Άρα μια εκ των ν 5, ν 6 είναι 5 και η άλλη είναι. Συνεπώς : ( ν 5 5, ν 6 ) ή ( ν 5, ν 6 5 ) γ ) Το μέγεθος του δείγματος είναι, άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της ης και της ης τιμής. Οι δυο περιπτώσεις του (β) ερωτήματος δεν μας επηρεάζουν, διότι και η η και η η τιμή είναι το Οπότε : δ 7. ΑΣΚΗΣΗ Η μέση ηλικία 6 αγοριών και κοριτσιών μιας τάξης είναι 5, χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των κοριτσιών είναι,8 χρόνια, να βρείτε τη μέση ηλικία των αγοριών. Έστω,,,.... 6, ηλικίες αγοριών 7, 8, Ζητάμε να βρούμε το κλάσμα : ηλικίες κοριτσιών 6 å i i A 6 των 6 ηλικιών , αρκεί να βρω τον αριθμητή, δηλαδή το άθροισμα 8 å i i Γνωρίζω ότι : B Þ,8 Þ,

9 Και επίσης : (... 6 ) ( ) Þ 5, 8 (... 6 ) ( ) Þ 5,6 (χ χ.χ 6 ) ( χ 7 χ 8 χ 8 ) Þ 5,6,8 χ χ.χ 6 Þ 8 χ χ.χ 6, οπότε ο ζητούμενος μέσος όρος είναι : 6 å i i... 6 A 8 5, 5 χρόνια ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() ìa, ³ í î a 6, < Να υπολογιστούν : α ) f() β ) f() γ ) ο αριθμός α ώστε να υπάρχει το όριο στο χ. α ) f() (α χ) α β ) f() (α 6 ) α 6 γ ) Για να υπάρχει το όριο στο χ, πρέπει να ισχύει : f() f() Έχουμε : α α 6 Þ 7 α Þ 9 α Þ α ± 9 Þ α ± ΑΣΚΗΣΗ ì a, > Δίνεται η συνάρτηση : f() í î a, < Να υπολογιστούν : α ) f(), f() β ) f(), f() 8 γ ) τον αριθμό α ώστε να ισχύει : f()

10 α ) f() α α, f() α α β ) f() (χα) α 6 α f() (χα ) α α γ ) Για να υπάρχει το όριο f() και να είναι ίσο με πρέπει να ισχύει : f() f(), άρα από το (β) ερώτημα ισχύει : f() Þ f() Þ α Þ 6 α Þ α ± α Για ισχύει f() f() η ζητούμενη τιμή είναι : α, γιατί για α το f() δεν είναι ίσο με αλλά με 8. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() ìa b, > í, îa b, Να υπολογιστούν : α ) f() β ) f(), f() γ ) τις τιμές των α, β για τις οποίες ισχύει : f(). α ) f() α β () α β β ) f() (αβχ) α β f() (αχ β) α () β αβ γ ) Για να είναι : f() Þ f() και f(), θα προκύψει το παρακάτω σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, 9

11 ïì a b ìa b ì a b í Þ í Þ í Þ a ïî a b î a b 6 î a b, το β θα προκύψει αντικαθιστώντας σε μια από τις αρχικές εξισώσεις. Αντικαθιστώντας στην πρώτη βρίσκουμε : β Þ β Þ β. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογιστούν τα όρια : ι ) 6 ιι ) ( ) 7 ( 6) 5 ιιι ) ιν) 9 9 ι ) Η συνάρτηση f(), ορίζεται για όλα τα χ για τα οποία ισχύει : 6 χ 6 ¹ Þ χ ¹ 6 Þ χ ¹ Þ χ ¹ ±. 6 ( ) ( ) 6, θα κάνουμε παραγοντοποίηση σε αριθμητή και παρανομαστή για να διώξουμε την απροσδιοριστία, έχουμε : 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) 7 ιι ) Η συνάρτηση f() ορίζεται για όλα τα χ για τα οποία ισχύει : ( 6) 5 χ ¹ (χ6) 5 ¹ Þ (χ6) ¹ 5 Þ χ6 ¹ ± 5 Þ χ ¹ 6 ± 5 χ ¹

12 ( ) 7 ( 6) 5.., θα κάνω παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες : α β (αβ) (αβ) και α β (αβ) (α αββ ) ( ) 7 ( 6) 5 ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( 6) 5 ( 6 5) ( 6 5 ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ιιι ) Η συνάρτηση : f(), ορίζεται όταν : χ ¹ Þ χ ¹., θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή, ( ) χ ιν ) Η συνάρτηση f() 9 9, ορίζεται όταν : χ ¹ Þ χ ¹ 9 9.., θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή κατά ομάδες, έχουμε : 9 9 ( ) 9( ) ( )( 9) (χ 9) 8 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ομοίως τα παρακάτω όρια : ι ) ιι ) ιιι ) 5 ι ) Η συνάρτηση f(), ορίζεται όταν : 6 î íì 6 ¹ î íì ¹ 6 Þ ³ ³

13 6 6, θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με την συζυγή παράσταση του αριθμητή δηλαδή την παράσταση :. 6 6 ( )( (6 )( ) ( ) 6 ) 6 (6 )( ) 6 ( 6)( 6 ) 6 ( ) 6 8 ιι ) Η συνάρτηση της οποίας μας ζητούν να υπολογίσουμε το όριο ορίζεται ïì ³ ì ³ ì ³ όταν : í Þ í Þ í ïî 9 ¹ î ¹ 9 î ¹ ±., θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με την 9 παράσταση :, έχουμε : 9 ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ιιι ) Η συνάρτηση : f() ì 5 ï, ορίζεται όταν : í ï î 5 ³ ì ³ ³ Þ í î ¹ ¹ 5.., εδώ έχω δυο συζυγείς παραστάσεις, θα πολλαπλασιάσω και θα διαιρέσω με τις :, 5. 5 ( 5 )( ( )( )( 5 )( ) 5 )...

14 ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η f() ì ï í ïî 5 6, ¹. Να υπολογιστούν : a, α ) f(), f() β ) η τιμή του α ώστε η f() να είναι συνεχής στο. α ) f() , f() β ) Για να είναι συνεχής η f() στο χ, πρέπει να ισχύει η σχέση : f() f() () Θα υπολογίσω πρώτα το f() και κατόπιν το f(). Για να υπολογίσω αυτό το όριο δεν θα πάρω πλευρικά, γιατί η f() δεν αλλάζει τύπο δεξιά και αριστερά του. f() α, f() , θα κάνω παραγοντοποίηση στον αριθμητή. Ο αριθμητής είναι τριώνυμο. Θα πρέπει να βρω τις ρίζες του, κατά τα γνωστά. 5 6 ( )( ) (χ) Συνεπώς α, από σχέση (). ΑΣΚΗΣΗ 7 Να εξετάσετε αν η f() ορισμού της. ì ï í ïî, ¹, είναι συνεχής σε όλο το πεδίο 5,

15 Το πεδίο ορισμού της f() είναι το Â. Για όλα τα χ ¹ η f() είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση. Θα εξετάσω αν είναι συνεχής στο, Για να είναι συνεχής η f() στο χ, θα πρέπει να ισχύει: f() f() f() 5, για να είναι λοιπόν συνεχής θα πρέπει και το όριο να βγει 5, είναι : f() άσκηση...., θα το υπολογίσω όπως στην προηγούμενη f() ( )( ) (χ). Συνεπώς η f() όχι συνεχής στο χ. ΑΣΚΗΣΗ 8 Να παραγωγίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις : α ) f () χ 5 χ χ β ) f () συνχ γ ) f () (χ). ln δ ) f () (χ) ε ) f 5 (), χ > στ ) f6 () (χ) 5 ζ ) f 7 () ημ χ η ) f 8 () ln e θ ) f 9 () 5 α ) f () (χ 5 ) (χ ) (χ) 5 χ χ β ) f () ( ) (συνχ) ημχ γ ) f () (χ) (χ) ( ) (χ)

16 δ ) f () (χ) χ (χ) (χ ) χ (χ) χ χ χ χ χ χ ln ln ( ln ) ln ε ) f 5 (), χ > στ ) f 6 () [(χ) 5 ] 5 (χ) (χ) 5 (χ) (χ) ζ ) f 7 () (ημ χ) ημχ (ημχ) ημχ συνχ η ) f 8 () ( e ) e (χ) e θ ) f 9 () ( ln 5 ) (χ ) () χ ΑΣΚΗΣΗ 9 Για τις συναρτήσεις : f() χ e ημ, g() χ ln a, α ) βρείτε τις παραγώγους : f (), f (), g (), g (), β ) υπολογίστε τους αριθμούς : f (), g (). α ) f () χ e χ e συνχ, g () χ f () (χ e ) (χ e ) ( συνχ) e χ g () (χ ) e χ e χ e ημχ β ) f () e e συν ( Θυμίζουμε : e, συν ) g ( ) 5 ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνάρτηση f() ì, í. Να εξεταστεί αν η f() είναι : î, > 5

17 ι ) συνεχής στο, ιι ) παραγωγίσιμη στο. ι ) Για να είναι συνεχής στο χ, θα πρέπει να ισχύει : f() f(). Όμως για το όριο του αλλάζει τύπο. f(), θα πάρω πλευρικά γιατί η f() δεξιά και αριστερά (χ) 6 5, (χ ) Επειδή f() ¹ f(), το όριο συνεχής στο. f() δεν υπάρχει, άρα η f() όχι ιι ) όχι συνεχής στο Þ όχι παραγωγίσιμη στο. ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ì í î,, να υπολογίσετε :, > α) τον τύπο της f() για χ ¹, β) τους αριθμούς f(), f(5), γ) Είναι παραγωγίσιμη στο ; α ) Για χ < είναι : f () (χ χ) χ Για χ > είναι : f () (χ) ( για κάθε χ > η παράγωγος είναι ) β ) Για χ θα πάω στην παράγωγο για χ >,άρα : f () Για χ 5 θα πάω στην παράγωγο για χ >, άρα : f (5) γ ) Θα πρέπει τα όρια : ίσα. h f ( h) h f ( ), h f ( h) h f ( ) να είναι 6

18 Για το πλευρικό : h f ( h) h f ( ) έχουμε : f( χ h ) f( h ) f(h) h h, f( χ ) f() h h h h h(h ) h h (h ) h Για το πλευρικό : h f ( h) h f ( ) έχουμε : f(χ h ) f(h) h, f( χ ) f() h h h Άρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και f (). ΑΣΚΗΣΗ ì, Δίνεται η συνάρτηση : f() í, εξετάστε αν η f() είναι : î ln, > α ) συνεχής στο ; β ) παραγωγίσιμη στο ; γ ) υπολογίστε τις παραγώγους : f (), f () α ) Για να είναι συνεχής στο πρέπει να ισχύει : Θα πάρω πλευρικά : f() (χ χ) f() f() f() ( lnχ) Άρα η f() όχι συνεχής στο. β ) Όχι συνεχής στο Þ όχι παραγωγίσιμη στο γ ) Για χ < : f () (χ χ) χ, άρα f () Για χ > : f (), άρα : f () 5. 7

19 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() συνχ ημχ, α ) υπολογίστε f (), β ) αποδείξτε ότι : f () f(), για κάθε χî Â. α ) f () ημχ συνχ, f () συνχ ημχ β ) f () f() συνχ ημχ συνχ ημχ ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση : f() χ χ, α ) υπολογίστε f (), β ) υπολογίστε τους αριθμούς : f (), f () γ ) αποδείξτε ότι : χ ( f () ) f(). α ) f () χ β ) f(), f () γ ) Για να δείξω τη σχέση ξεκινάω από το πρώτο μέλος και κάνοντας πράξεις καταλήγω στο δεύτερο : χ ( f () ) χ (χ) χ (χ) χ χ (χ χ) f() ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων : α ) f() χ χ β ) h() χ 6χ γ ) g() χ χ χ5 α ) f () χ, βρίσκω τις ρίζες της παραγώγου λύνοντας την εξίσωση : 8

20 f () Þ χ Þ χ. Η μονοτονία της φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : f () f () β ) h () χ χ, οι ρίζες της παραγώγου είναι : h () Þ χ χ Þ χ(χ) Þ χ ή χ. Η μονοτονία της φαίνεται στο πινακάκι : h () h() γ ) g () χ χ, Δ 6 8 < δεν έχει πραγματικές ρίζες. g () g() ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων : α ) h() β ) f() 8χ χ 6χ6 γ ) f()χ ln α ) Πεδίο ορισμού : Â, h () ( ), θα λύσω την εξίσωση : h () Þ ( ) Þ χ Þ 8χ Þ χ, το πρόσημο της h () φαίνεται στον πίνακα: h () h() Για χ η h() έχει τοπικό ελάχιστο το σημείο : (, h() ) 9

21 β ) f () χ χ6 6 (χ χ), λύνω την εξίσωση : f () Þ Þ 6 (χ χ) Þ χ χ, Δ, ρίζα χ / f () f () Η f() δεν έχει ακρότατα, είναι σε όλο το Â γνησίως αύξουσα. γ ) Πεδίο ορισμού : Α (, ), f () (χ ) ln χ ( ln) χ ln χ Þ f () χ ( ln ), λύνω την εξίσωση : f () Þ χ ή ln Þ e h () h() e Έχω τοπικό ελάχιστο για χ. e ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση : f() α χln η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. α ) υπολογίστε f (), β ) υπολογίστε τον αριθμό α, γ ) βρείτε το είδος του ακρότατου καθώς και την τιμή του. α ) f () αχ β ) εφόσον παρουσιάζει ακρότατο για χ από το Θεώρημα του Fermat έχω f () Þ α Þ α

22 γ ) Θα πρέπει να εξετάσω τη μονοτονία : f () χ και f () Þ Þ χ, και f () > όταν χ > και f () < όταν χ < άρα το χ είναι τοπικό ελάχιστο. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνάρτηση g() α, Î Â, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. α ) βρείτε την παράγωγο της g(). β ) βρείτε τον αριθμό α. γ ) Αποδείξτε ότι η g() παρουσιάζει και δεύτερο ακρότατο και βρείτε το είδος και την τιμή του. α ) g () α χ 6χ, β ) Από το Θεώρημα του Fermat, έχω : g ( ) Þ g () Þ Þ 7 α 8 Þ α γ ) Εφόσον α, g () χ 6χ Þ g () χ 6χ. Και θα εξετάσω τη μονοτονία, g () Þ χ (χ) Þ χ ή χ Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : g () g() Για χ η g() παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω f() α β χ, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α ) βρείτε τον τύπο της παραγώγου της f() β ) αν η f() παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα και, ι ) υπολογίστε τα α,β

23 ιι ) βρείτε το είδος του ακρότατου καθώς και την τιμή τους. α ) f () αχ βχ β ) Από το Θεώρημα του Fermat έχω : f () Þ α β ( ) f () Þ α β ( ) Οι σχέσεις () και () είναι ένα σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, λύνοντας το βρίσκω : α και β 9. γ ) Μέσω του ερωτήματος (β) έχουμε : f () 6χ 8χ 6 (χ χ) Η εξίσωση : f () Þ. Þ χ ή χ και κάνοντας πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι το χ είναι θέση τοπικού μεγίστου και το χ θέση τοπικού ελαχίστου. ΑΣΚΗΣΗ Η θέση ενός σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σε άξονα δίνεται από τον τύπο: χ( t) t 6t 9t, όπου χ μετριέται σε μέτρα και το t σε δευτερόλεπτα. α) βρείτε τον τύπο της ταχύτητας. β) πότε το σημείο είναι ακίνητο; γ) ποια η ταχύτητα του σε και σε δευτερόλεπτα; α ) Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης, δηλαδή : u ( t ) χ ( t ) t t 9 ( t t ) β ) Το σημείο ακίνητο όταν : u ( t ) Þ ( t t ) Þ Þ t ή t (δευτερόλεπτα) γ ) Ψάχνουμε το : u ( ) και u ( ) u ( ) (8) m/sec, u ( ) (66) 9m/sec

24 ΑΣΚΗΣΗ Η συνάρτηση f : Â à Â είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ακρότατο με τιμή. α ) Υπολογίστε τους αριθμούς : ι ) f() ιι ) f() ιιι ) f() β ) Αν δίνεται επίσης η συνάρτηση g() ( ) f(), υπολογίστε τους αριθμούς: g(), g(). ι ) Εφόσον η τιμή του ακρότατου είναι και το ακρότατο είναι σημείο της συνάρτησης είναι : f () ιι ) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής στο οπότε : f() f () Þ f() ιιι ) Από το Θεώρημα του Fermat, γνωρίζω ότι στη θέση του ακρότατου η παράγωγος είναι μηδέν άρα : f () β ) Από τον τύπο της συνάρτησης για χ προκύπτει : g() () f () Þ g() 9 Και παραγωγίζοντας την g() έχω : g () (χ ) f () (χ ) f () Þ Þ g () χ f() (χ ) f (), δεν μπορώ να προχωρήσω διότι δεν γνωρίζω την f (), μου ζητούν όμως το g (), με αντικατάσταση όπου χ το προκύπτει : g () f () () f () Þ g () ΑΣΚΗΣΗ Ένα σώμα αφήνεται να πέσει τη χρονική στιγμή t, από ύψος 5 μέτρων. Αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα, σε χρόνο t δευτερολέπτων το σώμα διανύει απόσταση ( t ) 5 t σε μέτρα. Να βρείτε : α ) Τι διάστημα έχει διανύσει σε δευτερόλεπτα και πόσο απέχει από το έδαφος. β ) Σε πόσα δευτερόλεπτα το σώμα θα φτάσει στο έδαφος;

25 γ ) Τι ταχύτητα θα έχει τη στιγμή της επαφής με το έδαφος; α ) Το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα σε δευτερόλεπτα είναι : χ () 5 5 μέτρα, άρα θα απέχει από το έδαφος : 55 8 μ β ) Θα φτάσει στο έδαφος όταν θα έχει διανύσει 5 μέτρα δηλαδή πρέπει να λύσω την εξίσωση : ( t ) 5 Þ 5 t 5 Þ t 5 Þ t 5 Þ 5 Þ t ± 5 ± 5, βεβαίως δεχόμαστε την θετική λύση διότι το t είναι χρόνος. Άρα σε t 5 δευτερόλεπτα το σώμα φτάνει στο έδαφος. γ ) Πρώτα θα βρω την ταχύτητα : u ( t ) χ ( t ) Þ u ( t ) t m/sec Σε 5 δευτερόλεπτα το σώμα φτάνει στο έδαφος οπότε η ταχύτητα του όταν φτάσει είναι : u ( 5) 5 5 m/sec ΑΣΚΗΣΗ Για την συνάρτηση : f : Â àâ, γνωρίζουμε ότι f() 6, Î Â. α ) Λύστε την εξίσωση f(). β ) Μελετήστε την f() ως προς τη μονοτονία και βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακρότατων της. γ ) Αν το τοπικό μέγιστο της f() είναι, να βρείτε τον τύπο της f(). α ) f () Þ χ 6χ Þ χ (χ) Þ χ ή χ β ) Θα κάνω πίνακα προσήμου της παραγώγου για να εξετάσω την μονοτονία : f () f ()

26 Η f () είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα : (, ] και [, ) Η f () είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα : [, ] και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για χ και τοπικό ελάχιστο για χ. γ ) Το τοπικό μέγιστο της f () είναι σημαίνει ότι : f (). Για να βρω τον τύπο της f () πρέπει να βρω το γενικό τύπο των παραγουσών της f (), δηλαδή : f () 6 c Þ f() χ χ c. Για να βρω την σταθερά c χρησιμοποιώ την εξίσωση : f () Þ c Þ c Άρα : f () χ χ ΑΣΚΗΣΗ Μια καθημερινή τηλεοπτική εκπομπή προβλήθηκε για πρώτη φορά όταν t. Η θεαματικότητα της ως συνάρτηση του t δίνεται από τον τύπο : Q( t ) t ( t), όπου t Î[,5]. α ) βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η θεαματικότητα γίνεται μέγιστη β ) ποια η μέγιστη θεαματικότητα ; γ ) πότε η θεαματικότητα αυξάνεται και πότε μειώνεται ; α ) Θ (t) ( t) (t) ( t ) (t) () (t) t Þ Θ (t) t t t 5 t Λύνω την εξίσωση : Θ (t) Þ 5 t Þ t Και Θ (t) > Þ 5 t > Þ t <, το πρόσημο της Θ(t) είναι : 5 Θ (t) Θ(t) 5

27 Έχω μέγιστο για t αφού η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο γύρω από το. β ) Η μέγιστη θεαματικότητα είναι : Θ() () % γ ) Η θεαματικότητα αυξάνεται στο διάστημα : [, ] και μειώνεται στο [, 5 ]. ΑΣΚΗΣΗ 5 Συμπληρώστε τον πίνακα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (χ 5χ) χ e ln συν χ 5 e 5 l ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ι ) [ (χ 5χ) ] (χ 5χ) (6χ5) ιι ) (χ e ) χ e χ e ln ιιι ) ( ln ln ) ιν ) (συν χ) συνχ (ημχ) συνχ ημχ 5 ν ) ( e ) (5 χ e ) 5 () χ 5 νι ) ( 5 l ) χ χ λ 5χ χ χ 5λχ ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η παράγωγος μιας συνάρτησης : f () 9 χ 9 α ) εξετάστε τη μονοτονία της f (), 6

28 β ) βρείτε τον αριθμό : f () γ ) αν η συνάρτηση f () διέρχεται από το σημείο (, ), βρείτε τον τύπο της f () α ) Θα λύσω την εξίσωση : f () Þ 9χ 9 Þ χ Þ χ ± Εκτός των ριζών είναι ομόσημο του 9 και εντός ετερόσημο του 9, δηλαδή : Η f() είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα : (, ] και [, ) και είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα : [, ]. β ) Για χ στην παράγωγο έχω : f () 9 9 γ ) Για να βρω την συνάρτηση πρέπει να βρω το γενικό τύπο των παραγουσών της f(). Έχουμε : f() 9 9χ c Þ f () χ 9χ c Η f () διέρχεται από το (, ) άρα : f () Þ 9 c Þ c 6 Ο τύπος της f () είναι : f () χ 9χ 6. ΑΣΚΗΣΗ 7 Το κέρδος (σε ευρώ) μιας εταιρείας συναρμολόγησης Η/Υ, σε σχέση με το πλήθος Η/Υ που πουλά μηνιαίως, δίνεται από τον τύπο : f()., όπου. α ) Πόσους Η/Υ πρέπει να πουλά μηνιαίως ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της; β ) Ποιο το μέγιστο δυνατό κέρδος της εταιρείας το χρόνο; α ) Θα πρέπει να βρω ακρότατα : f () χ, f () Þ Þ χ Þ χ f () f () 7

29 Το κέρδος είναι μέγιστο για χ, δηλαδή όταν πουλά Η/Υ. β ) Το μέγιστο δυνατό κέρδος είναι : f (). Þ Þ f (). 8.. Þ f (). 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b. (a ± b ) = a ± a b + ab ± b 4. (a+β+γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται η συνάρτηση f με f() s όπου η μέση τιμή και s η διακύμανση ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ. Η εφαπτομένη της Α 1, f ( 1) έχει εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΑΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ίνεται η συνάρτηση f: ΙR ΙR με τύπο: 3, 4 a, 4 f ( ) 4 3, 4,

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 7. f ( x) x x x, x α. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης καθώς και τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων που παρουσιάζει.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Θερινά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/06 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Κατσαρός Δημήτρης - Συμεώνογλου Βασίλης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού 4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i.  Σ Λ Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 f (χ) = 3χ + 2χ + λ με Δ = 4 12λ οπότε αν Δ > 0 λ θα έχω ότι

ΑΣΚΗΣΗ 4 f (χ) = 3χ + 2χ + λ με Δ = 4 12λ οπότε αν Δ > 0 λ θα έχω ότι ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΣΚΗΣΗ f (χ) συνχ 0 αλλά συνχ 0 συνχ συνχ συν0 χ κπ, κϵz τα οποία δεν αποτελούν διάστημα άρα η f είναι γνησίως αύξουσα ΑΣΚΗΣΗ Αν χ, χ ϵ[0,]τότε f(χ ) f(χ )αφού η f (χ)

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1 0 i) Πρέπει Άρα πεδίο ορισμού της είναι το ii) Αφού η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θέμα Α Α. Δίνονται οι συναρτήσεις F(), f(), g() με F()=f()+g(). Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f(), g() είναι

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά T.E.E. ΤΑΞΗ 2 ου ΚΥΚΛΟΥ

Γιώργος Νάνος. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά T.E.E. ΤΑΞΗ 2 ου ΚΥΚΛΟΥ Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά T.E.E A ΤΑΞΗ ου ΚΥΚΛΟΥ Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Περιγραφική Στατιστική Η θεωρία με Ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΘΕΜΑ Α. Λ Λ Λ Σ - Σ - Λ ΜΟΝΑΔΕΣ Β. α) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). ΜΟΝΑΔΕΣ β) Μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα