ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ"

Transcript

1 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ 3.1 Εισαγωγή Η λεπτοµερής περιγραφή της µετάδοσης τάσεων στο εσωτερικό των εδαφικών µαζών είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη λόγω της ασυνεχούς φύσης του εδάφους. Στα επόµενα συνοψίζονται κατ' αρχήν οι βασικές έννοιες ορισµού των τάσεων σε συνεχή µέσα (γνωστές ήδη από τη Μηχανική) και στη συνέχεια γενικεύονται και επεκτείνονται οι έννοιες αυτές, για να περιγραφεί η µετάδοση τάσεων στις εδαφικές µάζες. 3. Τάση σε Σηµείο Συνεχούς Μέσου Το Σχήµα 3.1 παρουσιάζει µια στοιχειώδη επίπεδη επιφάνεια S, που διέρχεται από τυχόν σηµείο Μ στο εσωτερικό του όγκου (V ) που καταλαµβάνεται από ένα συνεχές µέσον. Η επιφάνεια αυτή, που ορίζεται από το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα n, αποτελεί τµήµα της διεπιφάνειας που χωρίζει ιδεατά το σώµα σε δύο τεµάχη. Κατά την επαφή µεταξύ των δύο τεµαχών καθένα από αυτά ασκεί δυνάµεις στο άλλο, οι οποίες σύµφωνα µε το νόµο του Νεύτωνα (δράση = αντίδραση) είναι ίσες και αντίθετες. Το Σχήµα 3.1 παρουσιάζει και τη στοιχειώδη δύναµη F, που το τέµαχος Ι ασκεί στο τέµαχος ΙΙ µέσω της επιφάνειας S. Ορίζεται στη συνέχεια η ανηγµένη δύναµη f που ασκείται σε µια µοναδιαία επίπεδη επιφάνεια (µε κάθετο διάνυσµα n ) που διέρχεται από το σηµείο Μ: F f = lim (όταν το S 0 ) S Επειδή, όµως, από το σηµείο Μ διέρχονται άπειρες επίπεδες επιφάνειες, είναι απαραίτητο να προσδιορισθούν οι ελάχιστες πληροφορίες που απαιτούνται, για να υπολογισθεί η ανηγµένη δύναµη σε τυχούσα επίπεδη επιφάνεiα δια του σηµείου Μ. Αποδεικνύεται ότι αρκεί να είναι γνωστές οι ανηγµένες δυνάµεις f, f, 1 f σε τρία 3 επίπεδα δια του σηµείου Μ ανεξάρτητα µεταξύ τους (που δεν διέρχονται από την ίδια ευθεία). Ειδικότερα, σαν τέτοια επίπεδα µπορούν να θεωρηθούν τα τρία επίπεδα που ορίζονται από τα µοναδιαία διανύσµατα n x, n, y n z κατά τις διευθύνσεις των καρτεσιανών αξόνων x, y, z αντίστοιχα. Οι ανηγµένες δυνάµεις επί των επιπέδων αυτών είναι: f = ( σ xx, σ xy, σ ), x xz f = ( σ yx, σ yy, σ yz), y f = ( σ zx, σ, σ ), z zy zz όπου στην παρένθεση Σχ. 3.1: υνάµεις στο εσωτερικό ενός σώµατος

2 Σελίδα Κεφάλαιο 3 φαίνονται οι συνιστώσες των ανηγµένων δυνάµεων κατά µήκος των καρτεσιανών αξόνων. Οι συνιστώσες των τριών αυτών ανηγµένων δυνάµεων µπορούν να γραφούν συνοπτικά µε τη µορφή: σ xx σ xy σ xz σ σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz που ορίζει τον τανυστή των τάσεων (σ ) στο σηµείο Μ. Όπως είναι γνωστό από τη Μηχανική, ο τανυστής των τάσεων είναι συµµετρικός και κατά συνέπεια: σ ij = σ ji ( i, j = x, y, z) Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, ο τανυστής των τάσεων στο σηµείο Μ αρκεί για τον προσδιορισµό της ανηγµένης δύναµης σε τυχόν επίπεδο δια του Μ. Ειδικότερα, ο τανυστής των τάσεων στο σηµείο Μ συσχετίζει τη διεύθυνση n ενός τυχόντος επιπέδου δια του Μ και τη µοναδιαία δύναµη f επί του επιπέδου αυτού µε τη σχέση: T f = σ n, όπου σ T είναι ο ανάστροφος τανυστής τάσεων (που προκύπτει από τον τανυστή σ µε εναλλαγή γραµµών και στηλών). Το Σχήµα 3. παρουσιάζει τις συνιστώσες του τανυστή των τάσεων στα τρια επίπεδα που είναι κάθετα στους καρτεσιανούς άξονες: οι ορθές συνιστώσες είναι κάθετες στα επίπεδα, ενώ οι διατµητικές συνιστώσες κείνται επί των επιπέδων. Στο σχήµα είναι σηµειωµένες οι θετικές διευθύνσεις των συνιστωσών των τάσεων κατά τη σύµβαση που χρησιµοποιείται στη Μηχανική και θεωρεί σαν θετικές τις ορθές εφελκυστικές τάσεις. Στην Εδαφοµηχανική οι συνήθεις ορθές τάσεις είναι οι θλιπτικές, επειδή τα εδάφη, σαν ασυνεχή µέσα, δεν µπορούν γενικά να αναλάβουν εφελκυστικές ορθές τάσεις. Για το λόγο αυτό είναι πρακτικό στην Εδαφοµηχανική να θεωρούνται θετικές ορθές τάσεις οι θλιπτικές. Εάν όµως αναστραφούν τα πρόσηµα των ορθών τάσεων µόνον, πολλές από τις (γνωστές) εξισώσεις της Μηχανικής θα αλλάξουν µορφή, επειδή µερικοί όροι τους θα αλλάξουν πρόσηµο. Για να µη µεταβληθεί η µορφή των εξισώσεων αυτών και ταυτόχρονα να θεωρούνται θετικές οι θλιπτικές ορθές τάσεις, αρκεί να αναστραφεί η σήµανση όλων των συνιστωσών των τάσεων (ορθές και διατµητικές). Έτσι, στο Σχήµα 3.3 παρουσιάζονται οι θετικές τάσεις σύµφωνα µε την τανυστική σύµβαση της Εδαφοµηχανικής. Κατά τη σύµβαση αυτή οι θετικές τιµές των συνιστωσών του τανυστή των τάσεων ορίζονται ως εξής: Σχ. 3.: Θετικές συνιστώσες τάσεων (σύµβαση Μηχανικής) Σχ. 3.3: Θετικές συνιστώσες τάσεων (σύµβαση Εδαφοµηχανικής)

3 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 3 1. Επί των "θετικών" επιπέδων (δηλαδή των επιπέδων στα οποία το κάθετο διάνυσµα είναι οµόρροπο πρός τη θετική διεύθυνση των αξόνων) θετικές τάσεις είναι οι τάσεις µε διεύθυνση αντίρροπη προς τις διευθύνσεις των αξόνων. Στο Σχήµα 3.3 είναι σηµειωµένες οι θετικές διευθύνσεις των τάσεων επί των "θετικών" επιπέδων.. Επί των "αρνητικών" επιπέδων (δηλαδή των επιπέδων στα οποία το κάθετο διάνυσµα είναι αντίρροπο προς τη θετική διεύθυνση των αξόνων) θετικές τάσεις είναι οι τάσεις µε διεύθυνση οµόρροπη προς τις διευθύνσεις των αξόνων. Στο Σχήµα 3.3 τα τρία αρνητικά επίπεδα είναι οι τρεις έδρες του κύβου στις οποίες δεν είναι σηµειωµένες τάσεις. Οι θετικές διευθύνσεις των τάσεων αυτών θα ήταν αντίθετες από τις σηµειωµένες επί των "θετικών" επιπέδων. 3.3 Επίπεδη Παραµόρφωση - Κύκλος του Moh H κατάσταση της επίπεδης παραµόρφωσης είναι αρκετά συνήθης στην Εδαφοµηχανική και αναφέρεται σε περιπτώσεις, κατά τις οποίες οι συνιστώσες των τάσεων δεν µεταβάλλονται κατά τη διεύθυνση ενός άξονα (π.χ. του y ), όπως φράγµατα, επιχώµατα και άλλες επιµήκεις κατασκευές. Στην περίπτωση αυτή ισχύει σ xy = σyx= σyz = σzy = 0 και επιπλέον, η τάση σyy προσδιορίζεται από τους κινηµατικούς περιορισµούς του προβλήµατος. Συνεπώς, οι τάσεις που ενδιαφέρουν είναι πλέον µόνον οι σxx, σzz και σxz = σzx, που µπορούν να γραφούν συνοπτικά µε την απλούστερη µορφή: σxx σxz σ σzx σzz Στο Σχήµα 3.4 είναι σηµειωµένες οι θετικές διευθύνσεις των τάσεων αυτών επί των "θετικών" και "αρνητικών" επιπέδων κατά την τανυστική σύµβαση της Εδαφοµηχανικής. Στην περίπτωση της επίπεδης παραµόρφωσης, η ανηγµένη δύναµη f σε τυχόν επίπεδο (αα), παράλληλο προς τον άξονα y, µε κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα n = n x + n z = ( cos θ, sin θ) (βλέπε Σχήµα 3.5), έχει ορθή (κάθετη στο επίπεδο) συνιστώσα (σ ) και διατµητική (επί του επιπέδου) συνιστώσα (τ ), που δίνονται από τις σχέσεις: σ = σ xx cos θ + σ zz sin θ + σ xz sinθ cosθ (3.1) τ = ( σ xx σ zz ) sinθ cosθ + σ xz ( sin θ cos θ ) Θα πρέπει να δοθεί προσοχή στα θετικά πρόσηµα της ορθής και διατµητικής τάσης επί τυχόντος επιπέδου: θετική ορθή τάση είναι η θλιπτική και θετική διατµητική Σχ. 3.5: Επίπεδη εντατική κατάσταση Σχ. 3.4: Τάσεις σε τυχόν κεκλιµένο επίπεδο (αα)

4 Σελίδα 4 Κεφάλαιο 3 Σχ. 3.6: Θετικές διευθύνσεις των συνιστωσών των τάσεων τάση είναι αυτή που δηµιουργεί ανθωρολογιακή ροπή ως προς το σηµείο Μ. Οι προσηµάνσεις αυτές είναι διαφορετικές από την τανυστική σύµβαση των τάσεων, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.6, που παρουσιάζει τις θετικές διευθύνσεις των συνιστωσών των τάσεων επί των επιπέδων x και z, (α) κατά την τανυστική σύµβαση της Εδαφοµηχανικής και (β) κατά τη σύµβαση των ορθών και διατµητικών τάσεων επί επιπέδου. Αποδεικνύεται ότι, στην περίπτωση της επίπεδης παραµόρφωσης, υπάρχουν δύο επίπεδα δια του σηµείου Μ κάθετα µεταξύ τους στα οποία η διατµητική συνιστώσα µηδενίζεται, οπότε η ανηγµένη δύναµη είναι ορθή (f = σ n). Τα επίπεδα αυτά ονοµάζονται κύρια επίπεδα και οι διευθύνσεις των καθέτων τους κύριες διευθύνσεις. Αποδεικνύεται επίσης ότι, εάν είναι γνωστές οι συνιστώσες των τάσεων, τότε οι διευθύνσεις των κύριων επιπέδων σχηµατίζουν γωνία θ µε τον άξονα x, η οποία δίνεται από τη σχέση: σ xz tan θ = (3.) σ xx σ zz Οι ορθές τάσεις επί των κύριων επιπέδων (κύριες τάσεις) συµβολίζονται συνήθως µε σ 1, σ 3. Γενικότερα, σε τυχούσα τριδιάστατη εντατική κατάσταση, υπάρχουν τρία κύρια επίπεδα κάθετα µεταξύ τους. Στην επίπεδη παραµόρφωση, το τρίτο κύριο επίπεδο (σ ) είναι το επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα y. Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, η ορθή και η διατµητική τάση σε τυχόν επίπεδο µπορούν να υπολογισθούν από τις σχέσεις (3.1). Στην ειδική περίπτωση που οι άξονες x, z ταυτίζονται µε τους κύριους άξονες, ισχύει: σ xx = σ 1, σ zz = σ 3 και σ xz = σ zx = 0, οπότε οι σχέσεις (3.1) δίνουν: σ = σ1 cos θ + σ 3 sin θ (3.3) τ = ( σ1 σ 3 ) sinθ cosθ ή ισοδύναµα: σ1 + σ 3 σ1 σ 3 σ = + cos θ (3.4) σ1 σ 3 τ = sin θ Οι σχέσεις (3.4) παριστάνονται γραφικά στο Σχήµα 3.7, όπου έχουν σηµειωθεί οι κύριες τάσεις ( σ, σ 1 3 ) και κύκλος µε διάµετρο ( σ 1 σ 3) σε σύστηµα µε καρτεσιανές συντεταγµένες ( σ, τ ). Το σηµείο Ρ του κύκλου, που ορίζεται από την ακτίνα που σχηµατίζει γωνία θ ως προς τον οριζόντιο άξονα, έχει τετµηµένη (σ ) και τεταγµένη

5 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 5 (τ ), που δίνονται από τις σχέσεις (3.4), µπορεί δηλαδή να θεωρηθεί ότι παριστάνει τις τάσεις επί του επιπέδου pp, του οποίου η κάθετος n σχηµατίζει γωνία θ µε την κάθετο στο επίπεδο της σ 1. Έτσι, για κάθε επίπεδο pp δια του σηµείου Μ παράλληλο µε τον άξονα y, ορίζεται ένα σηµείο Ρ επί του κύκλου, τέτοιο ώστε οι συντεταγµένες του να είναι ίσες µε την ορθή και διατµητική τάση επί του επιπέδου pp. Ορίζεται, κατ' αυτόν τον τρόπο, µια αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ της απλής απειρίας επιπέδων διά του σηµείου Μ (παράλληλων προς τον άξονα y ) και των σηµείων επί του κύκλου, κατά τρόπο ώστε οι συντεταγµένες ενός τυχόντος σηµείου του κύκλου να είναι ίσες µε την ορθή και διατµητική τάση επί του αντίστοιχου επιπέδου. Ο κύκλος αυτός λέγεται κύκλος του Moh και έχει και άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μια από αυτές αφορά τον πόλο του κύκλου, που ορίζεται ως εξής: αν από τυχόν σηµείο του κύκλου φέρουµε ευθεία παράλληλη µε το αντίστοιχο επίπεδο, η ευθεία αυτή ξανατέµνει τον κύκλο σε ένα σταθερό σηµείο που ονοµάζεται πόλος του κύκλου Moh (σηµείο Ο στο Σχήµα 3.7). Ο προσδιορισµός του κυκλου Moh και του πόλου του διευκολύνει σηµαντικά τον υπολογισµό της ορθής και διατµητικής τάσης σε κάποιο επίπεδο: αρκεί, απλά, να φέρουµε από τον πόλο ευθεία παράλληλη προς το επίπεδο στο οποίο ζητούνται οι τάσεις, οπότε το σηµείο που η ευθεία ξανατέµνει τον κύκλο έχει συντεταγµένες ίσες µε την ορθή και διατµητική τάση στο επίπεδο αυτό. Τέλος, οι διευθύνσεις των κύριων επιπέδων είναι οι ευθείες που συνδέουν τον πόλο µε τα άκρα της οριζόντιας διαµέτρου (δηλαδή µε τα σηµεία που αντιστοιχούν στα κύρια επίπεδα). Ο κύκλος Moh χρησιµοποιείται και σε άλλες εντατικές καταστάσεις εκτός της επίπεδης παραµόρφωσης (π.χ. επίπεδη ένταση, αξονοσυµµετρική ένταση κλπ). 3.4 Τάσεις στο Εσωτερικό Ασυνεχούς Μέσου Το έδαφος είναι ένα ασυνεχές µέσον, που ως γνωστόν αποτελείται από ασύνδετους ή ελαφρά συνδεδεµένους κόκκους. Οι δυνάµεις που επιβάλλονται στο έδαφος µεταδίδονται στο εσωτερικό του µε τους εξής µηχανισµούς: 1. Με τη µηχανική επαφή µεταξύ των κόκκων. Η επαφή µεταξύ δύο κόκκων µπορεί να µεταδόσει µία ορθή (θλιπτική) και µία διατµητική δύναµη, µε σηµείο εφαρµογής το σηµείο επαφής των κόκκων. Η µηχανική επαφή αποτελεί τον κύριο τρόπο µετάδοσης δυνάµεων στο εσωτερικό των κοκκωδών (µή-συνεκτικών) εδαφών.. Στα συνεκτικά εδαφικά υλικά, δυνάµεις µεταδίδονται και µε τους εξής τρόπους: (α) Με την ηλεκτρική άπωση των διπλών στρώσεων. (β) Με την ηλεκτρική έλξη µεταξύ ετερωνύµως φορτισµένων σηµείων των αργιλικών πλακιδίων (αρνητικά φορτισµένη πλευρική επιφάνεια προς θετικά Σχ. 3.7: Ο κύκλος του Moh

6 Σελίδα 6 Κεφάλαιο 3 φορτισµένο σύνορο). (γ) Με τις ηλεκτροχηµικές δυνάµεις Van de Waals καθώς και άλλες δυνάµεις (έλξη κατά Boh κλπ.). Το σύνολο των ανωτέρω διακριτών (ασυνεχώς κατανεµηµένων) δυνάµεων, παρά την πρόσθετη πολυπλοκότητα, µπορεί να καταλήξει στον ορισµό τάσεων ανάλογων µε τις τάσεις στο εσωτερικό των συνεχών µέσων µε το εξής σκεπτικό: Ας θεωρηθεί στο εσωτερικό του εδάφους ένα σηµείο Μ και µία "µικρή" επίπεδη επιφάνεια S, που διέρχεται απ' αυτό. Η επιφάνεια αυτή θα πρέπει να είναι αρκετά µικρή σε σχέση µε την τυπική διάσταση της γεωµετρίας του προβλήµατος (π.χ. το πλάτος του θεµελίου, το βάθος του σηµείου από την επιφάνεια κλπ.) αλλά και ταυτόχρονα αρκετά µεγάλη ως προς το τυπικό µέγεθος του κόκκου του εδάφους. Κατά συνέπεια, η επιφάνεια αυτή θα τέµνει ικανό αριθµό κόκκων, θα διέρχεται από τα σηµεία επαφής ικανού αριθµού κόκκων, καθώς επίσης θα περιέχει και σηµαντική επιφάνεια κενού χώρου (πληρωµένου µε νερό ή/και αέρα). Ας θεωρηθούν τώρα τα δύο τµήµατα στα οποία η επιφάνεια S χωρίζει το έδαφος και οι δυνάµεις (ορθές και διατµητικές) που το ένα τµήµα ασκεί στο άλλο. Η συνισταµένη των δυνάµεων αυτών είναι ένα διάνυσµα F. Μπορεί να θεωρηθεί ότι, επειδή η επιφάνεια S είναι αρκετά µεγάλη ως προς το µέγεθος του κόκκου, η συνάρτηση F είναι συνεχής ως προς τις συντεταγµένες x, y, z. Κατά συνέπεια, ορίζεται και το όριο: F f = lim ( S 0) S που δίνει την ανηγµένη δύναµη f κατά τρόπο ανάλογο µε τα συνεχή µέσα, µε την παρατήρηση ότι το ανωτέρω όριο υπολογίζεται για τιµές της επιφάνειας S αρκετά µεγάλες ως προς το µέγεθος των κόκκων του εδάφους. Στη συνέχεια, ο ορισµός του τανυστή της τάσης σ, καθώς και των ορθών και διατµητικών τάσεων σε οποιοδήποτε επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο Μ, µπορεί να γίνει µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που αναφέρθηκε στο εδάφιο 3. (για τα συνεχή υλικά). Ετσι, στα εδαφικά υλικά, όταν λέµε τάση, εννοούµε τη µακροσκοπική τάση, δηλαδή τη δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας αρκετά µεγάλης σε σχέση µε το µέγεθος του κόκκου. Είναι προφανές ότι οι πραγµατικές τάσεις που ασκούνται στα σηµεία επαφής µεταξύ των κόκκων είναι πολύ µεγαλύτερες από τις µακροσκοπικές τάσεις που υπολογίζουµε στην Εδαφοµηχανική, δεδοµένου ότι οι πραγµατικές τάσεις είναι δυνάµεις ανηγµένες στην πραγµατική επιφάνεια επαφής µεταξύ των κόκκων, ενώ οι µακροσκοπικές τάσεις είναι δυνάµεις ανηγµένες στο σύνολο της επιφάνειας. Το πλεονέκτηµα στη χρήση των µακροσκοπικών τάσεων οφείλεται στο γεγονός ότι η πραγµατική επιφάνεια επαφής µεταξύ των κόκκων δεν είναι γνωστή και, έτσι, δεν είναι δυνατός ο ακριβής υπολογισµός των πραγµατικών τάσεων. 3.5 Η Έννοια της Ενεργού Τάσης Στο προηγούµενο εδάφιο ορίσθηκε η δύναµη F που ασκείται σε µία "µικρή" επιφάνεια S, η οποία διέρχεται από τα σηµεία επαφής µεταξύ των κόκκων και από κενό χώρο (πόρους). Η δύναµη αυτή µπορεί να γραφεί σαν: F = F n n + T t όπου n είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στην επιφάνεια και t ένα µοναδιαίο διάνυσµα πάνω στην επιφάνεια, οπότε F n είναι η ορθή συνιστώσα της δύναµης που ασκείται στην επιφάνεια S και T είναι η αντίστοιχη διατµητική συνιστώσα. Οι δυνάµεις αυτές µεταδίδονται αφενός µέσω των επαφών των κόκκων και αφετέρου µε

7 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 7 δυνάµεις που ασκούνται στο χώρο που καταλαµβάνεται από τους πόρους. Είναι γνωστό, όµως, ότι η µόνη δύναµη που µπορεί να ασκηθεί στο χώρο που καταλαµβάνεται από τους πόρους είναι η πίεση του νερού των πόρων, επειδή: 1. η ατµοσφαιρική πίεση του αέρα των πόρων θεωρείται σαν η πίεση αναφοράς (δηλαδή µηδέν) και. τα υγρά σε ηρεµία δεν αναλαµβάνουν διατµητικές τάσεις. Έτσι, αν τεθεί: S = S s + S v όπου S s είναι το τµήµα της επιφάνειας S που καταλαµβάνεται από τους κόκκους και S v το υπόλοιπο τµήµα που καταλαµβάνεται από τα κενά, τότε: σ S = F n = σ s S s + u S v (3.5α) τ S = T = τ s S s (3.5β) όπου σ s είναι η πραγµατική ορθή τάση στην επαφή µεταξύ των κόκκων, u η πίεση του νερού των πόρων, σ η µακροσκοπική ορθή τάση, τ η µακροσκοπική διατµητική τάση και τ s η πραγµατική διατµητική τάση στην επαφή µεταξύ των κόκκων. Οι σχέσεις (3.5) δίνουν: S s S s σ = σ s + u 1 S S (3.6) S s τ = τ s S Ο λόγος S s S είναι γενικά πολύ µικρός, επειδή µικρό µόνο ποσοστό του συνολικού χώρου των πόρων καταλαµβάνεται από τις επαφές των κόκκων. Αντίθετα, οι τάσεις σ s, τ είναι πολύ µεγάλες, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως. Έτσι, µπορεί s να θεωρηθεί ότι: S s S s σ σ S s 0 s τ s τ S S S οπότε οι σχέσεις (3.6) δίνουν: σ = σ + u (3.7) τ = τ Η πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις δηλώνει ότι η ολική µακροσκοπική ορθή τάση ισούται µε το άθροισµα της πίεσης του νερού των πόρων (u ) και ενός άλλου όρου (σ ), ο οποίος καλείται ενεργός τάση και εκφράζει την ορθή δύναµη που µεταφέρεται µεταξύ των επαφών των κόκκων ( σ s S s ), ανηγµένη στη συνολική επιφάνεια του εδάφους ( S ). Η δεύτερη σχέση δείχνει ότι η µακροσκοπική διατµητική τάση ισούται µε τη διατµητική τάση που µεταφέρεται µεταξύ των επαφών των κόκκων, δηλαδή ότι η ολική διατµητική τάση ισούται µε την ενεργό (επειδή το νερό των πόρων δεν µπορεί να αναλάβει διατµητικές τάσεις). Η σχέση σ = σ + u διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον K. Tezaghi περί το 190 και αποτέλεσε την αρχή της εξέλιξης της µοντέρνας Εδαφοµηχανικής. Η ενεργός τάση (σ ), όπως αναφέρθηκε παραπάνω, έχει κάποιο φυσικό νόηµα (είναι η ορθή δύναµη που µεταφέρεται µεταξύ των επαφών των κόκκων, ανηγµένη στη συνολική επιφάνεια του εδάφους), κυρίως όµως, είναι ένα παράγωγο µέγεθος που προκύπτει από τη διαφορά µεταξύ δύο εύκολα µετρήσιµων µεγεθών: της ολικής τάσης (σ ) και της πίεσης των πόρων (u ). Στο επόµενο εδάφιο δίνονται µερικά παραδείγµατα υπολογισµού των ολικών και ενεργών τάσεων σε εδαφικούς σχηµατισµούς.

8 Σελίδα 8 Κεφάλαιο Γεωστατικές Τάσεις Ένα εδαφικό στοιχείο (σηµείο) σε κάποιο βάθος κάτω από την επιφάνεια του εδάφους υπόκειται σε ένταση από τα γειτονικά του στοιχεία. Σε µια τυχούσα επιφάνεια που διέρχεται από το σηµείο αναπτύσσονται γενικά ορθές και διατµητικές τάσεις, τα µεγέθη των οποίων στις περισσότερες περιπτώσεις είναι δύσκολο να προσδιορισθούν χωρίς απλοποιητικές παραδοχές και αναλυτικούς υπολογισµούς. Σε µερικές όµως περιπτώσεις, ορισµένες συνιστώσες των τάσεων που αναπτύσσονται στο έδαφος µπορούν να υπολογισθούν µε τη θεώρηση µόνο της στερεοστατικής ισορροπίας. Μια τέτοια περίπτωση είναι η γεωστατική κατάσταση που αναφέρεται σε έδαφος µε οριζόντια επιφάνεια µεγάλης έκτασης και µια ή περισσότερες οριζόντιες στρώσεις (Σχήµα 3.8). Η περίπτωση αυτή είναι αρκετά συνήθης, λόγω της ιζηµατογενούς φύσης των εδαφικών σχηµατισµών που τείνει να δηµιουργεί οριζόντια και ισοπαχή στρώµατα (ενώ κεκλιµένα στρώµατα και πρανή δηµιουργούνται εκ των υστέρων λόγω των ισχυρών τεκτονικών κινήσεων του φλοιού της γης και της διάβρωσης). Αν, επιπλέον, σηµειωθεί ότι οι οριζόντιες εδαφικές στρώσεις, σαν οι γεωλογικά πιο πρόσφατες, είναι ιδιαίτερα συµπιεστές, συνήθως έχουν τις µικρότερες αντοχές και συνεπώς παρουσιάζουν τα περισσότερα γεωτεχνικά προβλήµατα, τότε καθίσταται σαφής η ιδιαίτερη σηµασία του υπολογισµού των τάσεων στη γεωστατική κατάσταση. Στη γεωστατική κατάσταση, λόγω συµµετρίας, δεν αναπτύσσονται διατµητικές τάσεις σε οριζόντια και κατακόρυφα επίπεδα, και κατά συνέπεια τα επίπεδα αυτά είναι κύρια επίπεδα. Επιπλέον, η ολική ορθή (κατακόρυφη) τάση που ασκείται στο οριζόντιο επίπεδο ισούται µε το ανηγµένο βάρος των υπερκείµενων γαιών (λόγω της στερεοστατικής ισορροπίας στην κατακόρυφη διεύθυνση), δηλαδή: i 1 σ = ρ j g h j + = 1 v ρ i j ή γενικά: σ v = ρ g h, οπότε µπορεί εύκολα να προσδιορισθεί, αν είναι γνωστή η γεωµετρία και οι πυκνότητες των υπερκείµενων εδαφικών στρώσεων. Στα περισσότερα εδάφη, σε κάποιο βάθος κάτω από την επιφάνεια απαντάται ο υπόγειος φρεάτιος ορίζοντας. Τούτο σηµαίνει ότι, αν εκσκαφεί ένα φρέαρ, στο εσωτερικό του θα συγκεντρωθεί νερό και θα δηµουργηθεί µια στάθµη ηρεµίας, που λέγεται "Στάθµη του Υπόγειου Ορίζοντα" (Σ.Υ.Ο.). Τις περισσότερες φορές το υπόγειο νερό βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας (δηλαδή δεν υπάρχει κίνηση-ροή), αλλά σε ορισµένες περιπτώσεις (π.χ. αρτεσιανές συνθήκες) υπάρχει µόνιµη ή ακόµα και µή-µόνιµη ροή. Στις περιπτώσεις που ο φρεάτιος ορίζοντας βρίσκεται σε ηρεµία, οι υδατικές πιέσεις και κατά συνέπεια οι πιέσεις του ύδατος των πόρων είναι g z i (3.8) Σχ. 3.8: Γεωστατικές συνθήκες

9 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 9 υδροστατικές. Έτσι, η υδατική πίεση στο σηµείο Μ (βλέπε Σχήµα 3.8) είναι: i = 1 u ρ w g hj + zi zw (3.9) j= 1 Στη συνέχεια, η ενεργός κατακόρυφη τάση (σ v ) µπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση: σ v = σ v u και είναι: ή: ( ρ ρ ) g h j + ( ρ ρ ) g zi ρ g z i-1 σ v = j w i w + j=1 k i ( ρ ) g h σ v = ρ j g h j + j ρ w j (3.10) j=1 όπου οι εδαφικές στρώσεις 1,,..., k βρίσκονται πάνω από τη Σ.Υ.Ο. και οι στρώσεις (k+1),..., i κάτω από τη Σ.Υ.O. Από τη σχέση 3.10 φαίνεται ότι η ενεργός τάση µπορεί να υπολογισθεί από ένα τύπο παρόµοιο µε τον τύπο υπολογισµού της ολικής τάσης (σχέση 3.8), µε µόνη διαφορά ότι για τα στρώµατα που βρίσκονται κάτω από τη στάθµη του υπόγειου ορίζοντα χρησιµοποιείται η υπό άνωση πυκνότητα ( ρ ρ ) w αντί της ολικής πυκνότητας ( ρ ). Τέλος, αξίζει να τονισθεί ότι η (οριζόντια) ορθή τάση σε κατακόρυφο επίπεδο (σ h ) δεν µπορεί να υπολογισθεί µόνον από τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας. Για τον υπολογισµό της θα πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι κινηµατικοί περιορισµοί της φόρτισης (δηλαδή η µηδενική παραµόρφωση στην οριζόντια διεύθυνση) και ο καταστατικός νόµος συµπεριφοράς του εδάφους (σχέσεις τάσεωνπαραµορφώσεων), όπως αναπτύσσεται λεπτοµερώς σε επόµενο Κεφάλαιο. j=k+1 w w

10 Σελίδα 10 Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 3.1 Στο εδαφικό προφίλ του Σχήµατος 3.1-1, να υπολογισθούν οι κατανοµές ως προς το βάθος της: (α) Κατακόρυφης ολικής τάσης: σ v (β) Πίεσης πόρων (υδροστατική κατανοµή): u (γ) Κατακόρυφης ενεργού τάσης: σ v (δ) Οριζόντιας ενεργού τάσης: σ h (ε) Οριζόντιας ολικής τάσης: σ h ίδονται: Στρώµα Ι: ρ = 1.8 Mg/m 3 ρ κορ =.0 Mg/m 3 Κ ο = Στρώµα ΙΙ: ρ κορ = 1.7 Mg/m 3 Κ ο = Λύση: Βάθος z = 0: σ v = q = 100 kpa u = 0 σ v = σ v - u = 100 kpa σ h = Κ ο σ v = = 40 kpa σ h = σ h + u = 40 kpa Σχήµα 3.1-1: Παράδειγµα 3.1 Βάθος z = m: σ v = = 136 kpa u = 0 σ v = 136 kpa σ h = = 68 kpa σ h = 68 kpa Βάθος z = 6 _ m: Βάθος z = 6 + m: σ v = = 16 kpa σ v = 16 kpa u = = 40 kpa u = 40 kpa σ v = = 176 kpa σ v = 176 kpa σ h = = 70.4 kpa σ h = = 88 kpa σ h = = kpa σ h = = 18 kpa Βάθος z = 16 m: σ v = = 386 kpa u = = 140 kpa σ v = = 46 kpa σ h = = 13 kpa σ h = = 63 kpa Από τις παραπάνω τιµές των εντατικών µεγεθών µπορούν να σχεδιασθούν οι κατανοµές τους ως προς το βάθος.

11 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 11 Παράδειγµα 3. Κατά την επιβολή κατακόρυφης φόρτισης q (kn/m) σε απειροµήκη γραµµή κατά µήκος του άξονα y στην επιφάνεια γραµµικώς ελαστικού ηµιχώρου, ισχύουν οι προϋποθέσεις της επίπεδης παραµόρφωσης. Οι αναπτυσσόµενες τάσεις σε κάποια θέση (x, z) δίνονται από τις σχέσεις (βλέπε και Σχήµα 3.-1): 3 q x q x z q x z σ =, zz, xx 4 σ = 4 σ xz = π π π 4 όπου: = x + z. Σχήµα 3.-1: Παράδειγµα 3. Να προσδιορισθούν οι κύριες τάσεις κατά µέγεθος και διεύθυνση. Λύση: Οι διευθύνσεις των κυρίων τάσεων στο σηµείο Μ υπολογίζονται από τη σχέση: σ xz xz tan θ = σ xx σ zz x z που δίνει τη γωνία θ µεταξύ του επιπέδου της µέγιστης κύριας τάσης (σ 1 ) και του επιπέδου στο οποίο ασκείται η σ xx (οριζόντιο επίπεδο). Από τη γεωµετρία όµως ισχύει: cos α = x, sin α = z. Συνεπώς: cosα sin α sin α tan θ = = = tan α cos α sin α cos α δηλαδή θ = α, που σηµαίνει ότι οι κύριες διευθύνσεις ακολουθούν τη διεύθυνση της ακτίνας ΟΜ και την κάθετη σ' αυτήν. Η µέγιστη κύρια τάση (σ = σ 1 ) υπολογίζεται από τη σχέση: σ = σ xx cos θ + σ zz sin θ + σ xz sin θ cosθ (3.-1) όπου θ = α, οπότε: 3 q x x x z z x z x z σ 1 = σ = π δηλαδή: q x σ = (3.-) π Η ελάχιστη κύρια τάση (σ θθ ) δίνεται επίσης από τη σχέση (3.-1) για θ = α + π /, οπότε προκύπτει ότι σ 3 = σ θθ = 0. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων µε σταθερή τιµή της σ = σ ο είναι κύκλος µε διάµετρο (OK) = q / (π σ ο ). Πράγµατι, από τα όµοια τρίγωνα: (OK) = / x, και συνεπώς, η σχέση (3.-) δίνει: q 1 σ = = σ π ο ( ΟΚ )

12 Σελίδα 1 Κεφάλαιο 3

13 Τάσεις στο Εσωτερικό του Εδάφους Σελίδα 13

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ MOHR ΣΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΗΚΑ ΕΡΓΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ MOHR ΣΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΗΚΑ ΕΡΓΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ MOHR ΣΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΗΚΑ ΕΡΓΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας 2,5 ωρών

Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας 2,5 ωρών τηλ: 410-74178, fax: 410-74169, www.uth.gr Τελική γραπτή εξέταση διάρκειας,5 ωρών Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης-Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους. 2. Γεωστατικές τάσεις ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισµός Διατµητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Αν. Καθηγητής

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Αν. Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Αν. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας και

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων (3 Α ) A. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας και

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε την ορθή και διατμητική τάση, οι οποίες ασκούνται στα επίπεδα με κλίση α ως, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα. Ν. Ηράκλειο, Αττικής Τ.Κ. 4 2 Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική ανάλυση ροής

Διαφορική ανάλυση ροής Διαφορική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΜΕ και ΔΕ ροής: Διαφορές Οριακές και αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες: Φυσική σημασία αλληλεπίδραση του όγκου ελέγχου με το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Σχέσεις Σύνθεση Ισορροπία Ίσες Δυνάμεις Δυο δυνάμεις F 1 και F 2 είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. F = F Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ. 3 η Σειρά Ασκήσεων. A. Γεωστατικές τάσεις. Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων A. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Επ. Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως.

. Υπολογίστε το συντελεστή διαπερατότητας κατά Darcy, την ταχύτητα ροής και την ταχύτητα διηθήσεως. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 7 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Επιστημονικός Συνεργάτης Τμήματος Πολιτικών Έργων Υποδομής, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Υδατική ροή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Σακελλάριος 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ:

Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: Κεφάλαιο 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1. ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: 2. ΟΤΙ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2

A! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2 A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι:

α) Προτού επιβληθεί το φορτίο q οι τάσεις στο σημείο Μ είναι οι γεωστατικές. Κατά συνέπεια θα είναι: 6 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Μιχάλης Μπαρδάνης, Υποψήφιος Διδάκτορας ΕΜΠ Για την επίλυση των ασκήσεων σειράς αυτής αρκούν οι σχέσεις και οι πίνακες που παρατίθενται στα οικεία κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα.

ΑΣΚΗΣΗ 1: Υπολογίστε τη συνισταμένη κατακόρυφη δύναμη σε οριζόντιο επίπεδο με για συγκεντρωμένο σημειακό φορτίο, σύμφωνα με το σχήμα. Μάθημα: Εδαφομηχανική Ι, 5 ο εξάμηνο. Διδάσκων: Ιωάννης Ορέστης Σ. Γεωργόπουλος, Π.Δ.407/80, Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Θεματική περιοχή: Μετάδοση τάσεων στο έδαφος (8 η σειρά ασκήσεων). Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική- Κεφάλαιο Μηχανικής των Ρευστών

Φυσική- Κεφάλαιο Μηχανικής των Ρευστών Φυσική- Κεφάλαιο Μηχανικής των Ρευστών 1 Νοεµβρίου 2013 Το κεφάλαιο αυτό είναι επηρεασµένο από τους [3], [4], [2], [1]. Στερεά Υγρά Αέρια Καταστάσεις Υλης Βασική δοµική µονάδα: το Μόριο. καθορίζει χηµικές

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Εδαφομηχανική. Εισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής

Εδαφομηχανική. Εισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής Εισηγητής: Αλέξανδρος Βαλσαμής Εδαφομηχανική Μηχανική συμπεριφορά: - Σχέσεις τάσεων και παραμορφώσεων - Μονοδιάστατη Συμπίεση - Αστοχία και διατμητική αντοχή Παραμορφώσεις σε συνεχή μέσα ε vol =-dv/v=ε

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: ΟΤΙ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ ΟΤΙ ΤΑ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ "Α"

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Ε. Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τμήμα Μ-Ω) Ακαδ. έτος 007-08 5 Ιανουαρίου 008 Διάρκεια: :30 ώρες ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ Ε ΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ Ε ΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Σχέσεις Τάσεων-Παραµορφώσεων των Εδαφικών Υλικών Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ Ε ΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 6. Εισαγωγή Η µηχανική συµπεριφορά των υλικών εκφράζεται ποσοτικά µε τους καταστατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούμενου σώματος με άλλα σώματα),

Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούμενου σώματος με άλλα σώματα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυστή (tracto): M(συνισταμένη ροπή) F (συνισταμένη δύναμη) P S Θεωρείται παραμορφώσιμο στερεό σε ισορροπία υπό εξωτερική φόρτιση (αποκλείονται ταχέως μεταβαλλόμενες φορτίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ:

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ: ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ: Αντοχή Εδαφών Επιστημονικός Συνεργάτης: Δρ. Αλέξανδρος Βαλσαμής, Πολιτικός Μηχανικός Εργαστηριακός Υπεύθυνος: Παναγιώτης Καλαντζάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστηριακοί

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Method, Slab Analysis)

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ ( Friction-Hill Method, Slab Analysis) Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤA Εκτίμηση των Υποχωρήσεων των Κατασκευών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤA Εκτίμηση των Υποχωρήσεων των Κατασκευών Ειδικά Θέματα Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤA Στο Κεφάλαιο αυτό αναπτύσσονται μερικά ειδικά θέματα Εδαφομηχανικής, τα οποία είτε συνθέτουν όσα αναφέρθηκαν στα προηγούμενα Κεφάλαια (όπως π.χ. η εκτίμηση των

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων.

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Κλασσική Μηχανική Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Χωρίζεται σε: (α) Κινηματική: το μέρος της μηχανικής που ασχολείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2. Επίδραση των δυνάμεων στην περιστροφική κίνηση Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1 Όπως είναι γνωστό, όταν σε κάποιο σώμα ενεργούν δυνάμεις, ένα από τα αποτελέσματά τους μπορεί να είναι να αλλάξει η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα