i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και"

Transcript

1 Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον ορίζοντα η δε µεταξύ τους γωνία είναι π/ (σχ. 1). Έάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και των τοιχωµάτων του αυλακιού, να βρείτε i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και ii) την µέγιστη οριζόντια δύναµη που επιτρέπεται να ενεργήσει κατά µήκος του άξονα του κυλίνδρου, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθησή του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί εφαπτόµενος στα τοιχώµατα του αυλακιού, όταν πάνω σ αυτόν ενεργεί κατάλληλο ζευγος δυνάµεων που τείνει να τον περιστρέψει περί τον άξονά του. Ο κύλινδρος δέχεται ακόµη το βάρος του w και τις δύο δυνάµεις στήριξης από τα επίπεδα τοιχώµατα του αυλακιού, οι οποίες είναι κατανεµηµένες κατά µήκος των δύο ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα του αυλακιού. Οι ευθείες αυτές είναι παράλ ληλες προς τον άξονα του κυλίνδρου και καθορίζουν ένα οριζόντιο επίπεδο του οποίου η τοµή µε το επίπεδο σχεδίασης είναι η ευθεία ΑΒ (σχ. 1). Κάθε δύναµη στήριξης αναλύεται σε µια συνιστώσα κάθετη στο τοίχωµα (κάθετη αντίδραση) Σχήµα 1 και µια συνιστώσα της οποίας ο φορέας βρίσκεται επί του αντίστοιχου τοιχώµα τος (στατική τριβή) η δε φορά της αντιστέκεται στην περιστροφή που τείνει να επιβάλλει στον κύλινδρο το ζεύγος. Έτσι επί του κυλίνδρου προκύπτουν οι κάθετες αντιδράσεις N 1, N των οποίων οι φορείς διέρχονται από τα µέσα Α, Β των αντίστοιχων ευθειών επαφής και από το κέντρο µάζας C του κυλίνδρου και οι στατικές τριβές T 1, T. (σχ. 1). Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συ

2 νισταµένη των δυνάµεων κατά τις διευθύνσεις των κάθετων επί τα τοιχώµατα αξόνων Cx και Cy είναι µηδέν, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: F(x) = 0" # F(y) = 0$ N + T - w = 0 1 x " N - T - w y = 0 # N 1 + T = mg"#$ N - T 1 = mg"#$ % N 1 + T = mg"#($ /4) N - T 1 = mg"#($ /4) % N 1 + T = mg / N - T 1 = mg / όπου w x, w y οι συνιστώσες του βάρους w του κυλίνδρου κατά τις διευθύνσεις των καθέτων αξόνων Cx και Cy αντιστοίχως. Όµως η ισορροπία του κυλίνδρου επιβάλλει το άθροισµα όλων των ροπών περί το κέντρο µάζας C του κυλίνδρου να είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: " (C) = 0 - T 1 R - T R = 0 = R( T 1 + T ) () όπου η ροπή του ζεύγους. Όταν η ροπή λάβει την µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή της, τότε επίκειται η περιστροφή του κυλίνδρου και οι στατικές τριβές παίρνουν τις οριακές τους τιµές µν 1 και µν, οπότε οι σχέσεις (1) και () γρά φονται: # " $ # (1) N 1 + µn = mg / " $ N - µn 1 = mg / # max = Rµ ( N 1 + N ) $ % (3) Σχήµα Aπό τις δύο πρώτες σχέσεις υπολογίζουµε τα Ν 1, Ν και αντικαθιστώντας στην τρίτη βρίσκουµε τελικά την σχέση: max = µrmg 1 + µ (4) ii) Aς δεχθούµε και πάλι ότι ο κύλινδρος ισορροπεί αλλά το ζευγος δυνάµεων έχει αντικατασταθεί από µια δύναµη F που ενεργεί κατά την διέυθυνση του άξονα του κυλίνδρου. Στην περίπτωση αυτή ο κύλινδρος τείνει να ολισθήσει κατά την οριζόντια διεύθυνση και οι τριβές T 1, T είναι πάλι στατικές, αλλά τώρα είναι αντίρροπες της F (σχ. ), ενώ οι φορείς των καθέτων αντιδράσεων

3 N 1, N των τοιχωµάτων του αυλακιού διέρχονται από τα µέσα Α και Β των αντιστοίχων ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα και από το κέν τρο C του κυλίνδρου. Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συνισταµένη των δυνάµεων κατα την διευθύνση του άξονά του είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: T 1 + T - F = 0 F = T 1 + T (5) Eξάλλου η συνισταµένη των δυνάµεων κατά τον οριζόντιο άξονα Cx και τον κατακόρυφο άξονα Cy είναι µηδέν, δηλαδή έχουµε τις σχέσεις: F(x) = 0" # F(y) = 0$ N - N = 0 1x x " N 1y + N y - mg = 0 # N 1 µ" - N µ" = 0 N 1 #$%" + N #$%" = mg ( N 1 = N % ( N 1 + N )"#$/4 = mg N 1 = N = mg/ (6) Επειδή οι τριβές είναι στατικές έχουµε: T 1 µn 1 " # T µn $ (+ ) (6) T 1 + T µ ( N 1 + N ) (5) T 1 + T µmg F µmg F max = µmg P.M. fysikos Σώµα βάρους w έχει σχήµα κώνου, ύψους h και ακτίνας βάσεως h/4, το δε κέντρο µάζας του απέχει από την βάση του κώνου απόσταση h/4. Tο σώµα τοποθετείται πάνω σε κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ<π/4, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τρι βής ολίσθησης n=1. Mια οριζόντια δύναµη F εφαρµόζεται στην κορυ φή του κώνου, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Nα βρεθεί για ποιες τι µές του µέτρου της F ο κώνος ισορροπεί, δηλαδή δεν ολισθαίνει ούτε ανατρέπεται επί του κεκλιµένου επιπέδου. ΛYΣH: i) Yποθέτουµε ότι είναι αδύνατη η ανατροπή του κώνου. Tότε µε την εφαρµογή στην κορυφή του της οριζόντιας δύναµης F είναι δυνατόν να συµ βούν τα εξής: O κώνος τείνει να ολισθήσει προς τα πάνω. Στην περίπτωση αυτή η πλάγια αντίδραση που δέχεται ο κώνος από το κεκλι µένο επίπεδο αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T,

4 η οποία είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο και έχει φορά προς τα κάτω (σχ. 3). Για να µην ολισθαίνει ο κώνος πρέπει να ισχύει: T nn T N διότι n=1 (1) Όµως, λόγω της ισορροπίας του κώνου θα ισχύουν οι σχέσεις: F - w - T = 0 F 1 + w 1 - N = 0 " # F"#$ - w%µ$ - T = 0 F%µ$ + w"#$ - N = 0 ( T = F"#$ - w%µ$ N = F%µ$ + w"#$ ( () Σχήµα 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Fσυνφ - wηµφ Fηµφ + wσυνφ Fσυνφ - Fηµφ wσυνφ + wηµφ F(συνφ - ηµφ) w(συνφ + ηµφ) F w("#$% + µ%) "#$% - µ% (3) µε συνφ>ηµφ διότι φ<π/4. O κώνος τείνει να ολισθήσει προς τα κάτω. Στην περίπτωση αυτή η στατική τριβή T έχει φορά προς τα πάνω και θα ισχύει: T nn T N διότι n=1 (4) Όµως, λόγω της ισορροπίας του κώνου θα έχουµε και τις σχέσεις:

5 F - w + T = 0 F 1 + w 1 - N = 0 " # F"#$ - w%µ$ + T = 0 F%µ$ + w"#$ - N = 0 ( T = -F"#$ + w%µ$ N = F%µ$ + w"#$ ( (5) Συνδυάζοντας τις (4) και (5) έχουµε: wηµφ - Fσυνφ Fηµφ + wσυνφ F(ηµφ + συνφ) w(ηµφ - συνφ) (6) Eπειδή ηµφ-συνφ<0, η (6) ισχύει και όταν F=0 (σχ. 4), δηλαδή ο κώνος, µε την προϋπόθεση ότι δεν ανατρέπεται, δεν µπορεί να ολισθήσει προς τα κάτω όποια τιµή κι αν λάβει το µέτρο της F. ii) Yποθέτουµε ότι είναι αδύνατη η ολίσθηση του κώνου. Tότε εφαρµόζοντας στην κορυφή του την οριζόντια δύναµη F είναι δυνατόν για κατάλληλη τιµή F max του µέτρου της δύναµης να επίκειται η ανατροπή του περί το Ο. Στην πε Σχήµα 4 ρίπτωση αυτή ο κώνος ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του w, της δύναµης F και της αντίδρασης A του κεκλιµένου επιπέδου της οποίας ο φορέας διέρχεται από το άκρο O (σχ. 4). Λόγω της οριακής αυτής ισορροπίας το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων περί το σηµείο Ο θα είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: F h - F 1 h 4 - w h 4 - w 1 h 4 = 0 F max "#$ - F max %µ$ 4 - w"#$ 4 - w%µ$ 4 = 0 F max (4"#$ - %µ$) = w("#$ + %µ$)

6 F max = w("#$ + %µ$) 4"#$ - %µ$ F w("#$% + µ%) 4"#$% - µ% µε 4συνφ>ηµφ, αφού φ<π/4. Όταν µηδενιστεί η δύναµη F βρέθηκε προηγού µενα ότι ο κώνος δεν µπορεί να ολισθήσει, που σηµαίνει ότι οι δυνάµεις w και A είναι αντίθετες και για να µην ανατρέπεται πρέπει οι δύο αυτές δυνάµεις να (7) Σχήµα 5 µη συνιστούν ζευγος, δηλαδή να έχουν τον ίδιο φορέα. Τότε όµως ο φορέας της A θα διέρχεται από το κέντρο µάζας Κ του κώνου και θα σχηµατίζει µε τον άξο να συµµετρίας του γωνία φ<π/4 ή φ<θ (σχ. 5), δηλαδή θα συναντά την βάση στήριξης του κώνου, οπότε θα είναι αδύνατη η ανατροπή του περί το άκρο Ο. Oι σχέσεις (3) και (7) συναληθεύουν όταν ισχύει: F w("µ# + $%#) 4$%# - "µ# P.M. fysikos Η παράπλευρη επιφάνεια οµογενούς κυλινδρου εφάπτεται ενός αυλακιού τριγωνικής διατοµής, το οποίο αποτελεί µια βάση στηρίξεως του κυλίνδρου που βρίσκεται σε επαφή µε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). i) Έάν η γωνία µεταξύ των επιφανειών επαφής του αυλακιού µε τον κύλινδρο είναι α, να βρείτε την σχέση των συντελεστών οριακής τρι βής µ 1, µ µεταξύ κυλίνδρου και αυλακιού και µεταξύ της βάσεως στη ρίξεώς του και κεκλιµένου επιπέδου αντιστοίχως, ώστε να προηγηθεί η ολίσθηση του κυλίνδρου επί του αυλακιού. ii) Στην περίπτωση που η ολίσθηση της βάσεως είναι απαγορευτική και ο συντελεστής µ 1 επιτρέπει την ολίσθηση του κυλίνδρου, να βρε θεί η επιτάχυνσή του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι ο κύλινδρος ισορροπεί πάνω στην βάση στηρίξεώς του και ότι η βάση αυτή επίσης ισορροπεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Ο κύ

7 λινδρος δέχεται το βάρος του w και τις δύο δυνάµεις στήριξης από τα επίπεδα τοιχώµατα του αυλακιού, οι οποίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες κατά µήκος των δύο ευθειών επαφής του κυλίνδρου µε τις επιφάνειες του αυλακιού. Σχήµα 6 Κάθε δύναµη στήριξης αναλύεται σε µια συνιστώσα κάθετη στο τοίχωµα (κάθε τη αντίδραση) και µια συνιστώσα της οποίας ο φορέας βρίσκεται επί της αντί στοιχης ευθείας επαφής (στατική τριβή) και έχει φορά αντίθετη εκείνης προς την οποία τείνει να ολισθήσει ο κύλινδρος. Έτσι επί του κυλίνδρου προκύπ τουν οι κάθετες αντιδράσεις F 1, F των οποίων οι φορείς διέρχονται από τα µέ σα Μ 1, Μ των αντίστοιχων ευθειών επαφής και από το κέντρο µάζας C του κυ λίνδρου (σχ. 7) και οι στατικές τριβές T 1, T. Παρατήρηση: Οι ευθείες επαφής του κυλίνδρου µε τα τοιχώµατα του αυλα κιού είναι παράλληλες προς την γραµµή µεγίστης κλίσεως Cx του κεκλιµένου επιπέδου, δηλα δή καθορίζουν ένα επίπεδο (ε) του οποίου η κλίση µε τον ορίζοντα είναι φ Σχ. 8). Σχήµα 7 Σχήµα 8 Εξάλλου το βάρος w του κυλίνδρου ανάλύεται σε µια συνιστώσα w x που διευ θύνεται κατά την Cx και µια συνιστώσα w y κάθετη προς το επίπεδο (ε) (σχ. 6).

8 Λόγω της ισορροπίας του κυλίνδρου η συνισταµένη των δυνάµεων κατά την διεύθυνση της Cx είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: w x - T 1 - T = 0 T 1 + T = mgµ" (1) Αλλά και κατά την κάθετη προς το επίπεδο (ε) διεύθυνση Cy η συνισταµένη των δυνάµεων επί του κυλίνδρου είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύει: F 1y + F y - w y = 0 F 1y + F y = mg"#$ () όπου F 1y, F y οι κάθετες προς το επίπεδο (ε) συνιστώσες των F 1 και F αντι στοίχως (σχ. 8). Όµως για τις συνιστώσες αυτές έχουµε τις σχέσεις F 1y =F 1 ηµα και F y =F ηµα, οπότε η () γράφεται: F 1 µ" + F µ" = mg#$% F 1 + F = mg"#$ /%µ (3) Όµως οι τριβές T 1, T είναι στατικές, οπότε πρέπει: T 1 µ 1 F 1 " # T µ 1 F $ (+ ) (1),(3) T 1 + T µ 1 ( F 1 + F ) mgµ" # µ 1 mg$%" /µ µ"µ# /$%# µ 1 µ 1 "µ# $% "# $ µ 1 /%µ (4) Εξάλλου για να µην ολισθαινει η βάση στήριξης του κυλίνδρου πάνω στο κεκλι µένο επίπεδο πρέπει να ισχύει: "# $ µ (5) Eίναι προφανές ότι για να προηγηθεί η ολίσθηση του κυλίνδρου επί του αυλα κιού πρέπει να ισχύει: µ 1 /µ" < µ µ 1 < µ µ" (6) ii) Όταν έχει αποκλεισθεί η ολίσθηση της βάσεως του αυλακιού επί του κεκλι µένου επιπέδου και ο συντελεστής οριακής τριβής µ 1 επιτρέπει στον κύλινδρο να ολισθαίνει κατά µήκος του αυλακιού, τότε σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κί νησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: w x - T 1 - T = ma C mgµ" - µ 1 F 1 - µ 1 F = ma C mgµ" - µ 1 ( F 1 + F ) = ma C (7) όπου a C η ζητούµενη επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (3) και (7) παίρνουµε: mgµ" - µ 1 mg#$%" /µ = ma C

9 gµ" - µ 1 g#$%" /µ = a C a C = g ( µ" µ#µ" - µ 1$%# ) P.M. fysikos Oµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R κατέρχε ται κυλιόµενη χωρίς ολίσθηση κατά µήκος ενός αυλακιού τριγωνικής διατοµής, του οποίου ο άξονας είναι υπό κλίση φ ως προς τον ορίζον τα (σχ. 9). i) Εάν η γωνία µεταξύ των επιπέδων επιφανειών του αυλακιού, πάνω στις οποίες κυλίεται η σφαίρα είναι α, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας. ii) Nα βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της σφαίρας και των επιφανειών επαφής της, ώστε να είναι δυνατή η κύ λισή της χωρίς ολίσθηση. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: i) H κυλιόµενη σφαίρα εκτελεί επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρη θεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης στην διάρκεια της οποίας το κέν τρο µάζας της C µετατοπίζεται ευθύγραµµα προς τα κάτω κατά µήκος ενός άξονα x που είναι παράλληλος προς τον άξονα του αυλακιού και µιας περισ τροφικής κίνησης περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και εί ναι ασύµβατα κάθετος στον άξονα x (σχ. 9). Kατά την κίνηση αυτή η ευθεία ΑΒ που συνδέει τα σηµεία επαφής Α και Β της σφαίρας µε τις επιφάνειες του αυλα κιού διαγράφει ένα κεκλιµένο επίπεδο (ε) που παρουσιάζει κλίση φ ως προς τον ορίζοντα, η δε γραµµή µεγίστης κλίσεώς του είναι παράλληλη προς τον άξο Σχήµα 9 Σχήµα 10 να x (σχ. 10). Εξάλλου η σφαίρα δέχεται το βάρος της w, που ανάλύεται σε µια συνιστώσα w x που είναι οµόρροπη προς την κατεύθυνση κινησής του κέντρου

10 µάζας της και µια συνιστώσα w y κάθετη προς το επίπεδο (ε) και τις δυνάµεις επαφής στα σηµεία Α και Β που αναλύονται στις κάθετες αντιδράσεις F 1 και F αντιστοιχως, που οι φορείς τους διέρχονται από το κέντρο C της σφαίρας και στις αντίστοιχες στατικές τριβές T 1 και T, που είναι αντίρροπες προς την κατεύθυνση κίνησης του κεντρου C (σχ. 10 και 11). Εφαρµόζοντας για την µετα φορική κίνηση της σφαίρας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε την σχέση: w x - T 1 - T = ma C mgµ" - T #$ = ma C (1) όπου T " η ολική στατική τριβή της οποίας ο φορέας διέχεται από το µέσο Μ της ΑΒ και a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφή της σφαίρας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση: T " (CM) = I# T " (CM) = 5 mr # () όπου CM η απόσταση του C από το επίπεδο (ε) και η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως λόγω της κυλίσεως οι ταχύτητες των σηµείων επαφής Α και Β είναι κάθε στιγµή µηδενικές, δηλαδή θα έχουµε: v A = v B = 0 v C - (CM) = 0 dv C dt - d dt (CM) = 0 = a C/ CM οπότε η () γράφεται: Σχήµα 11 T " (CM) = 5 mr a C CM T " = 5 mr a C (CM) T " = 5 mr a C R #µ $ = m 5 a C #µ $ (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε:

11 mgµ" - m 5 a C µ # = ma C gµ" = a C 5 µ # + a C ( gµ" = + 5µ # ) a C 5µ # a C = 5gµ"µ # + 5µ # (4) ii) H κύλιση χωρίς ολίσθηση της σφαίρας επί των επιφανειών του αυλακιού εξασφαλίζεται εφ όσον οι τριβές T 1 και T είναι στατικές, δηλαδή εφ όσον ισχύουν οι σχέσεις: T 1 µf 1 " # T µf $ (+ ) T 1 + T µ ( F 1 + F ) (3) T " # µ ( F 1 + F ) m 5 a C µ " # µ ( F + F 1 ) (5) Όµως το κέντρο µάζας C της σφαίρας δεν κινείται κάθετα προς το επίπεδο (ε), που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των δυνάµεων επί της σφαίρας κατά την κάθετη προς το επίπεδο αυτό διεύθυνση y είναι µηδενική, δηλαδη ισχύει: F 1y + F y - w y = 0 F 1 µ" + F µ" = mg#$% F 1 + F = mg"#$ /%µ οπότε η (5) γράφεται: m 5 a C µ " # µmg$% µ" µ a C 5g"#$%µ (4) µ 5g"#$%µ ( 5gµ%µ + * ) + 5µ - µ, "#$% ( µ%µ + * ) + 5µ -, µ "#$ %µ + 5%µ µ min = "# $µ% + 5$µ % P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (1) το καρούλι µάζας Μ κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα η δε σταθερή τροχαλία (τ) έχει πολύ µικρή µάζα. Ο κυλινδρικός κορµός του καρουλιού έχει ακτίνα R και οι κυκλικές του βάσεις ακτίνα R, η δε ροπή αδράνειάς του ως προς τον γεωµετρικό του άξονα είναι περίπου ίση µε ΜR.

12 i) Nα βρεθεί ο λόγος Μ/m, ώστε το σώµα Σ να κατέρχεται µε επιτά χυνση g /, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Aν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ καρουλιού και κεκλιµέ νου επιπέδου είναι µ = 3, να βρεθεί για ποιές τιµές της γωνίας φ το καρούλι κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, όταν το σώµα Σ κατέρχεται µε επιτάχυνση g /; ΛΥΣΗ: i) Το σώµα Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του w =m g και της τάσεως Q του νήµατος και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα ισχύει: mg - Q = mg/ Q = mg/ (1) Το καρούλι ανέρχεται κυλιόµενο χωρίς να ολισθαίνει επί του κεκλιµένου επιπέ δου υπό την επιδραση του βάρους του W =M g, της τάσεως Q του νήµατος που περιβάλλει τον κυλινδρικό κορµό του, η οποία έχει το ίδιο µέτρο µε την Q, διό Σχήµα 1 τι η τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και τέλος την δύναµη επαφής από το κεκλι µένο επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του καρουλιού τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: Q - T - W x = Ma C Q - T - Mgµ" = Ma C () όπου a C η επιτάχυνση του κεντρου µάζας C. Όµως η εφαπτοµενική επιτάχυν ση του σηµείου Α του καρουλιού είναι κατα µέτρο ίση µε την επιτάχυνση του σώµατος Σ, δηλαδή g/, αλλά το µέτρο αυτό είναι ίσο και µε a C -ω R, όπου η γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού. Έτσι θα έχουµε την σχέση: g/ = a C - R g/ = a C - a C / a C = g (3) διότι λόγω της κυλίσεως ισχύει a C =Rω. H () µέσω της (3) γράφεται:

13 Q - T - Mgµ" = Mg Q - T = Mg( 1 + µ" ) (4) Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει για την περιστροφή του καρουλιού περί τον γεωµετρικό του άξονα η σχέση: RT - RQ = I RT - RQ = MR T - Q = MR T - Q = Mg (5) διότι a C =g=rω. Συνδυάζοντας την (1) µε την (4) παίρνουµε: T - mg/ = Mg 4T - mg = Mg T = Mg + mg 4 (6) Η (4) λόγω των (1) και (6) γράφεται: mg - Mg - mg 4 = Mg( 1 + µ" ) mg 4 - Mg = Mg( 1 + µ" ) mg = Mg + 4Mg( 1 + µ" ) mg = Mg( 3 + µ" ) M m = µ" ( ) (7) ii) Eπειδή απαιτούµε το καρούλι να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, το µέτρο της τριβής πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: (6) T µn Mg + mg 4 µmg"#$% g + g m 4 M µg"#$% g + g ( µ" ) # µg$%" 8 µ"#$% - µ% 8 3"#$% - µ% 8 "#($ / 3)%( - )µ( 8"#($ / 3) % µ ($ / 3)"# - - µ"#$%( / 3) 4 "µ (# / 3 - $) (8) δηλαδή δεν υπάρχει γωνία φ που να ικανοποιεί τις απαιτήσεις κίνησης του συ στήµατος καρούλι-σώµα Σ. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (13) η διπλή τροχαλία έχει µάζα m και τα αυλάκια της έχουν ακτίνες r και R, µε R>r. Στην

14 τροχαλία εξασκείται µε την βοήθεια λεπτού και µη εκτατού νήµατος που έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της µεγάλης τροχαλίας οριζόντια σταθερή δύναµη F, ενώ το αυλάκι της µικρής τροχαλίας εφάπτεται µιας σιδερένιας σταθερής ράβδου, που βρίσκεται υπό κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. i) Με την προυπόθεση ότι η τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κα τά µήκος της ράβδου, να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου της. ii) Να βρεθουν οι τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ της τροχαλίας και της σιδερένιας ράβδου, για τις οποίες εξασφαλίζεται η ισορροπία της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον γεωµετρικό της άξονα είναι πε ρίπου ίση µε mr /. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι όταν ενεργεί επί της τροχαλίας η οριζόντια δύναµη F αυτή ανέρχεται κυλιόµενη χωρίς ολίσθηση επί της σιδερένιας ράβδου.. Η τροχαλία δέχεται ακόµη το βάρος της w που αναλύεται στην παράλληλη προς την ράβδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτήν συνιστώσα w y και τέλος την δύναµη επαφής από την ράβδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N Σχήµα 13 και στην στατική τριβή T, η οποία δεχόµαστε ότι έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (13). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C της τροχαλίας τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση της ράβδου παίρνουµε την σχέση: T - w x + F x = ma C T - mgµ" + F#$%" = ma C (1) όπου a C επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας. Εξάλλου συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: FR - Tr = I C FR - Tr = mr / () όπου η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας περί τον γεωµετρικό της άξονα.

15 Όµως λόγω της κύλισης της τροχαλίας έχουµε a C =ω r, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: FR - Tr = mr a C /r FrR - Tr = mr a C T = FR r - R r ma C (3) Απαλοίφοντας το Τ µεταξύ των σχέσεων (1) και (3) παίρνουµε: FR r - R r ma C - mgµ" + F#$%" = ma C % F R r + "#$ ( % R * - mg+µ$ = ma C ) r + 1 ( * ) % F R r + "#$ ( % R * - mg+µ$ = ma C ) r + 1 ( * ) F ( r R + r"#$ ) - mgr r %µ$ = ma R + r ) C( r + * Fr( R + r"#$ ) - mgr %µ$ = ma C ( R + r ) a C = ( ) - mgr %µ$ m( R + r ) Fr R + r"#$ (4) Mε βάση την (4) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)>mgr ηµφ, τότε a C >0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία ανέρχεται κυλιόµενη επί της ράβδου χωρίς ολίσθηση. β) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)<mgr ηµφ, τότε a C <0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία κατέρχεται κυλιόµενη επί της ράβδου χωρίς ολίσθηση. γ) Αν ισχύει Fr(R+rσυνφ)=mgr ηµφ, τότε a C =0 που σηµαίνει ότι η τροχαλία ισορροπεί. ii) Στην περίπτωση που η τροχαλία ισορροπεί (a C =0 και ω =0) η σχέση () παίρ νει την µορφή: FR - Tr = 0 T = FR / r (5) Όµως η τριβή είναι στατική και εποµένως πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: (5) T µn FR / r µn (6)

16 Eξάλλου λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας η συνισταµένη των δυνάµεων που δέχεται κατά την κάθετη προς την ράβδο διεύθυνση είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: N - F y - w y = 0 N = Fµ" + mg#$%" (7) H (6) λόγω της (7) γράφεται: FR / r µ ( F"µ# + mg$%# ) µ FR ( ) r F"µ# + mg$%# (8) Η (8) καθορίζει τις τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µ µεταξύ τροχαλίας και ράβδου, για τις οποίες η τροχαλία ισορροπεί. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (14) ο δισκος έχει µάζα m και ακτίνα R το δε ελατήριο έχει αµελητέα µάζα, φυσικό µή κος L και σταθερά k=mg/l, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αρχικά ο δίσκος κρατείται σε θέση όπου το µήκος του ελατηρίου είναι 3L/ και κάποια στιγµή αφήνεται ελευθερος να κινηθεί. i) Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσ κου και οριζόντιου εδάφους, ωστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισ θαίνει πάνω στο έδαφος; ii) Ποια θα είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δίσκου την στιγ µή που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο; Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =mr / του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερ χόµενο από το κέντρο του. ΛYΣH: i) Ας δεχθούµε ότι ο δισκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του οριζον τίου εδάφους όταν αφεθεί ελευθερος. O δίσκος δέχεται το βάρος του w, την πλάγια δυναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος την δύναµη F από το τεντω µένο ελατήριο, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακό ρυφη συνιστώσα F y (σχ. 14). Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: F x - T = ma C (1) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου C του δίσκου την στιγµή που τον εξετά ζουµε. Εξάλλου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης την ίδια στιγµή θα ισχύει: TR = I C TR = mr / T = ma C / () όπου η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, για την οποία, λόγω της κυλίσε ως, ισχύει ω =a C /R. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε:

17 (F x - T)/T = T = F x / 3 (3) Εάν x είναι το µήκος του ελατηρίου την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα, τότε η αντίστοιχη επιµήκυνσσή του θα είναι x-l, οπότε για το µέτρο της συ νιστώσας F x θα ισχύει: F x = F"#$ = F (CO) (CA) = k(x - L) x - L x Σχήµα 14 οπότε η (3) γράφεται: T = k(x - L) 3 x - L x = mg 3L 1 - L $ # x - L (4) " x% από την οποία προκύπτει ότι αν το x µειώνεται και το µέτρο της F x µειώνεται. Εξάλλου το κέντρο µάζας του δίσκου δεν επιταχύνεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε θα έχουµε την σχέση: N + F y = mg N = mg - F y = mg - Fµ" N = mg - F (AO) k(x - L)L = mg - (CA) x N = mg - mg(x - L)L Lx = mg# L " x - 1 $ (5) % από την οποία προκύπτει ότι µε την µείωση του x το µέτρο της κάθετης αντί δρασης N αυξάνεται. Για να κυλίεται ο δίσκος χωρίς ολίσθηση πρέπει καθώς το x µειώνεται από 3L/ σε L να ισχύει T µn. Aν αυτό συµβαίνει κατά την εκκίνηση του συστήµατος (x=3l/), τότε θα ισχύει και εφεξής λόγω των (4) και (5). Όµως για x=3l/ θα είναι:

18 T = mg 3L 1 - L $ # " 3L% 3L$ # " % - L = 5mg 9 και N = mg# L " 3L/ - 1 $ % = mg 3 οπότε ισχύρη συνθήκη κύλισης καθίσταται η σχέση: 5mg 9 µ mg 3 µ 5 3 (6) ii) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα δίσκος-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την αρχική του κατάσταση και για την κατά σταση που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο, οπότε αποκτά και το φυσικό του µήκος, παίρνουµε την σχέση: 0 + k 3L # " - L $ % = mv * + I C * + 0 mg L L$ # " % = mv * + mr * 4 mgl 4 = mv * + mv * 4 gl 4 = 3v * 4 v * = gl 3 όπου v * η ζητούµενη ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου. Εξάλλου την στιγµή που το ελατήριο γίνεται κατακόρυφο (x=l) η (4) δίνει Τ=0 και λόγω της () η αντίστοιχη επιτάχυνση του κέντρου του δίσκου θα είναι µηδενική. (7) P.M. fysikos

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,! Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.

Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται

Διαβάστε περισσότερα

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:

, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.

( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v. Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!

(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T! Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.

ii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου. Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος. H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.

Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας

Διαβάστε περισσότερα

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως! Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.

ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας. Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία

Διαβάστε περισσότερα

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T! Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο.

i) Το επίπεδο της τροχαλίας είναι οριζόντιο και το έδαφος λείο. Πάνω σε οριζόντιο έδαφος ηρεµεί µια τροχαλία µάζας m και ακτίνας R. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχ θεί αβαρές νήµα στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου εξασκείται σταθε ρή οριζόνια δύναµη F. Eάν µέχρις

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A! Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!

από την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T! Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.

i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1. Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί

Διαβάστε περισσότερα

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον

(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V! Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!! Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1. ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ 1 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α.5 να σημειώσετε την σωστή απάντηση Α.1 Το στερεό του σχήματος δέχεται αντίρροπες δυνάμεις F 1 kαι F 2 που έχουν ίσα μέτρα. Το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. Στην διάταξη του σχήµατος () το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:

, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει. Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή

Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα

Διαβάστε περισσότερα

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο:

6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: 6ο Πρόχειρο Τεστ Γ Τάξης Λυκείου Θεµελιώδης Νόµος Στροφικής Κίνησης Σύνολο Σελίδων: πέντε (5) - ιάρκεια Εξέτασης: 90 min Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T

που δέχεται από την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια αυτή, αφού θεωρείται λεία και των δυνάµεων T Mιά κυκλική σπείρα εύκαµπτης αλυσίδας βάρους w, είναι τοποθετηµένη πάνω σε λείο ορθό κώνο ύψους h, του οποίου η βάση έχει ακτίνα R (σχ. 9). O κατακόρυφος άξονας του κώνου διέρ χεται από το κέντρο της αλυσίδας

Διαβάστε περισσότερα

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T! Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.

Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.

της οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4. Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

! =A'B=C!! C! = R" (1)

! =A'B=C!! C! = R (1) Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F

ΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!

όπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L! Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της

Διαβάστε περισσότερα

( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A

( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν: Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων

ΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F

ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F Τρία µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας είναι αρθρωµένα στις άκρες δύο συνεχόµεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (1), το δε σύστηµα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σφαιρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις:

Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: Nα δείξετε τις εξής προτάσεις: i) Εάν ένα υλικό σηµείο µάζας m κινείται πάνω σ ένα άξονα x x, ώστε κάθε στιγµή η ταχύτητά του v και η αποµάκρυνσή του x ως προς µια αρχή Ο του άξονα, να ικανοποιούν τη σχέση:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.1 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται: α. μόνο από τη μάζα του σώματος β. μόνο τη θέση του άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

όπως φαίνεται στο σχήµα (1).

όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Οµογενής δίσκος βάρους w και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθη ση σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, ελκόµενος µε αβαρές και µή εκτατό νήµα που είναι κατάλληλα δεµένο στο κέντρο του δίσκου. Το νήµα διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t! Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας.

i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. Στην διάταξη του σχήµατος ) οι δύο κυκλικοί δίσκοι Δ, Δ έχουν την ιδια ακτίνα R και αντίστοιχες µάζες m, m µπορούν δε να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος δύο κεκλιµέ νων επιπέδων που είναι µεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν

την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και

. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού

Διαβάστε περισσότερα

Κ τελ Κ αρχ = W αντλ. + W w 1 2 m υ2-0 = W αντλ. - m gh W αντλ. = 1 2 m υ2 + m gh. Άρα η ισχύς της αντλίας είναι: dw m υ + m g h m υ + g h

Κ τελ Κ αρχ = W αντλ. + W w 1 2 m υ2-0 = W αντλ. - m gh W αντλ. = 1 2 m υ2 + m gh. Άρα η ισχύς της αντλίας είναι: dw m υ + m g h m υ + g h ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Κυριακή 19 Φεβρουαρίου 2017 Α1. δ Α2. β Α3. β Α4. γ Α5. α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ Θέµα Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ. Στο δίσκο ασκούνται τρεις δυνάµεις:

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε: Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως

Διαβάστε περισσότερα

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους.

i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Ένα δοκάρι µεγάλου µήκους και µάζας M, είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Στο ένα άκρο του δοκαριού βρίσκεται ξύλινο σώµα µάζας m, το οποίο παρουσιάζει µε την επιφά νεια του δοκαριού συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α

6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α 6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12

των Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12 Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο

Διαβάστε περισσότερα

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

που εξασκείται στο άκρο της Γ και των αντιδράσεων A! , A 2

που εξασκείται στο άκρο της Γ και των αντιδράσεων A! , A 2 Oµογενής ράβδος BΓ βάρους w, ισορροπεί ώστε τα άκρα της να εφάπτονται σε µια λεία και ακίνητη κοίλη σφαίρα ακτί νας R, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Eάν η κατακόρυφη δύναµη F που εξασκείται στο άκρο Γ της

Διαβάστε περισσότερα

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

ως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.

ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) ΕΚΦΩΝΗΣΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1 (Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Έργο και ισχύς σταθερής ροπής) Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε: Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος

Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος Ασκήσεις στροφικής κίνησης στερεού σώµατος. Ένας κύλινδρος, βάρους w=0 και διαµέτρου 80 c, περιστρέφεται γύρω από τον γεωµετρικό του άξονα. Ποια σταθερή ροπή (τ) πρέπει να ασκείται, στον κύλινδρο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΥΕΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της.

i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της. Ένα σφαιρίδιο Σ 1 µάζας m, είναι στερεωµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήµα (α). Το σφαιρίδιο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

, που είναι στατική τριβή µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του κέντρου µάζας C 1 της σφαίρας (σχήµα 1) και η δύναµη επαφής!

, που είναι στατική τριβή µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του κέντρου µάζας C 1 της σφαίρας (σχήµα 1) και η δύναµη επαφής! Δύο οµογενείς σφαίρες Α και Β, της ίδιας ακτίνας R µε αντίστοιχες µάζες m και m είναι ακίνητες επί οριζοντίου εδάφους και εφάπ τονται µεταξύ τους. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού Σώµατος Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Φλεβάρη 2018 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!

τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L! Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι συνεχώς οριζόντια.

i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι συνεχώς οριζόντια. Στην διάταξη του σχήµατος (1) η ράβδος ΑΒ έχει αµε λητέο βάρος, µήκος L και στο άκρο της Β έχει στερεωθεί σφαίρα µάζας m. Το σηµείο στήριξης Ο της ράβδου απέχει από το άκρο της Β απόσταση x. H ελεύθερη

Διαβάστε περισσότερα

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο Πρισµατικό σώµα και κύλινδρος (ΙΙ) Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο (Σ 2 ) (Σ 1 ) A F εξ Ζ Ο Πρισµατικό σώµα (Σ 2 ) µάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ 1 ) ίσης µάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!

διέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα! Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ονοµατεπώνυµο: Διάρκεια: (3 45)+5=50 min Τµήµα: ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ζήτηµα ο Ένα στερεό µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και αρχικά ηρεµεί. Σε µια στιγµή δέχεται (ολική) ροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο κύλινδρος και ο δίσκος του σχήματος, έχουν την ίδια μάζα και περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. Ποιό σώμα θα σταματήσει πιο δύσκολα; α) Το Α. β) Το Β. γ) Και τα δύο το ίδιο. 2. Ένας ομογενής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) Α1. Σε στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ενεργεί σταθερή ροπή. Τότε αυξάνεται με σταθερό ρυθμό: α. η ροπή αδράνειας του β. η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο

Διαγώνισμα Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού. Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος. Σάββατο 24 Φεβρουαρίου Θέμα 1ο Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Σάββατο 24 Φεβρουαρίου 2018 Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1 1.4 να επιλέξτε την σωστή απάντηση (4 5 = 20 μονάδες ) 1.1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα.

Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα. Δίσκος Σύνθετη Τρίτη 01 Μαϊου 2012 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα. ΠΕΙΡΑΜΑ Α Θα εκτοξευθεί με ταχύτητα από τη βάση του κεκλιμένου

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!

ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a! Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

i) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:

i) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής: Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω

Διαβάστε περισσότερα

του σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ.

του σφαιριδίου κατευθύνεται προς τα κάτω και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Μικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσπίπτει σε σηµεί ο Α της περιφέρειας ενός δακτυλιδιού ακτίνας R, το οποίο µπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από ένα σηµείο του Ο. Η ταχύτητα πρόσπτωσης

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη. Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που

Διαβάστε περισσότερα

Κύληση. ΦΥΣ Διαλ.33 1

Κύληση. ΦΥΣ Διαλ.33 1 Κύληση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 1 Κύλιση χωρίς ολίσθηση ΦΥΣ 111 - Διαλ.33 H συνθήκη για να έχουµε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι: s = Rθ = d ή a εφ. = αr V = d d ( Rθ ) = R dθ d = Rω για σταθερό R To σηµείο επαφής

Διαβάστε περισσότερα