ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x"

Transcript

1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγωνοµετρίς (Ενλήψεις). Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε ορθογώνιο τρίγωνο ένντι Γ Α β υοτείνουσ γ ροσκείµενη Ορίζω: β. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε σύστηµ συντετγµένων ηµβ= β ένντι κάθετη υοτείνουσ συνβ= γ ροσκείµενη κάθετη υοτείνουσ εφβ= γ β ένντι κάθετη ροσκείµενη κάθετη γ σφβ= β ροσκείµενη κάθετη ένντι κάθετη Σε έν σύστηµ O τοοθετώ µί γωνί ω έτσι ώστε ο άξονς O ν είνι η ρχική λευρά της γωνίς. Η άλλη λευρά της λέγετι τελική λευρά της ω. Έστω Μ(,) σηµείο τυχίο της τελικής λευράς της ω ου έχει ό το Ο όστση ρ. Β ψ M(,) ρ Ορίζω: ηµω= ρ συνω= ρ O εφω= ( 0) σφω= ( 0) γ. Προσντολισµός γωνίς Στο κρτεσινό σύστηµ ορίζετι θετική κι ρνητική γωνί νάλογ ν η τελική λευρά της κινείτι ντίθετ ό την κίνηση των δεικτών του ρολογιού ή κτά τη φορά της κίνησής τους. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.χ. O ω θετική O ρνητική δ. Γωνίες µεγλύτερες των 360 ο Αν η τελική λευρά της γωνίς συµληρώσει µι εριστροφή (360 ο ) κι εριστρφεί ειλέον κτά γωνί ω, τότε η γωνί είνι µεγλύτερη ό 360 ο. Είνι φ =360 ο + ω. Γενικά γι κ εριστροφές (θετικές ή ρνητικές) σχηµτίζοντι οι γωνίες φ =κ.360 ο + ω, κ Ζ. Γι υτές ισχύει: ηµ(κ.360 ο +ω)=ηµω συν(κ.360 ο +ω)=συνω εφ(κ.360 ο +ω)=εφω σφ(κ.360 ο +ω)=σφω ε. Τριγωνοµετρικός κύκλος (ορισµός) Αυτός έχει: - Κέντρο την ρχή των ξόνων O. - Ακτίν ίση µε την µονάδ (ρ=1) - Φορά θετική την ντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού - Ε υτού τοοθετούντι γωνίες ρος υολογισµό των τριγωνοµετρικών των ριθµών. Ισχύουν: -1 ηµ 1-1 συν 1 Η Ο Ε ξ. ηµιτόνων Ο ω Σ ξ. συνεφτοµένων ξ. συνηµιτόνων ξ. εφτοµένων στ. Το κτίνιο κι η µοίρ είνι µονάδες µέτρησης γωνιών Συµβολισµός: 1 rad, 1 ο (µοίρ) Σχέση rad κι ο (µοίρς) Έστω γωνί µ ο κι rad. Ισχύει η σχέση: µ =. 180 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ζ. Πίνκς γνωστών τριγωνοµετρικών ριθµών Γωνί ω Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 ο ο /6 1/ 3 / 3 / ο /4 / / ο /3 3 / 1/ 3 3 /3 90 ο / ο ο 3/ ο η. Τριγωνοµετρικές τυτότητες ηµ ω+συν ω=1 ηµω εφω= συνω εφω.σφω=1 συν 1 ω= 1+ εφ ω σφω= συνω ηµω ηµ εφ ω ω= 1+ εφ ω θ. Ανγωγή στο 1 ο τετρτηµόριο 1. Γωνίες ντίθετες: Γι τις γωνίες ω κι -ω ισχύουν: ηµ(-ω)=-ηµω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω. Γωνίες µε άθροισµ ( ω κι - ω ): ηµ( -ω)=συνω συν( -ω)=ηµω εφ( -ω)=σφω σφ( -ω)=εφω 3. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ηµ( +ω)=συνω συν( +ω)=-ηµω εφ( +ω)=-σφω σφ( +ω)=-εφω 4. Γωνίες µε άθροισµ ( ω κι - ω ): ηµ( -ω)=ηµω συν( -ω)=-συνω εφ( -ω)=-εφω σφ( -ω)=-σφω 5. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ηµ( +ω)=-ηµω συν( +ω)=-συνω 6. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ηµ( +ω)=-ηµω συν( +ω)=-συνω εφ( +ω)=εφω σφ( +ω)=σφω εφ( +ω)=εφω σφ( +ω)=σφω 3 7. Γωνίες µε άθροισµ ( ω 3 κι -ω ): 3 3 ηµ( -ω)=-συνω εφ( -ω)=σφω 3 3 συν( +ω)=-ηµω σφ( -ω)=εφω 3 8. Γωνίες µε διφορά ( ω 3 κι + ω ): 3 3 ηµ( +ω)=-συνω εφ( +ω)=-σφω 3 3 συν( +ω)=ηµω σφ( +ω)=-εφω Σηµείωση: Γι ιο εύκολη οµνηµόνευση των σχέσεων υτών ισχύουν οι εξής κνόνες:. Ότν έχω 90 ο ή 70 ο ο τριγωνοµετρικός ριθµός λλάζει. Έτσι το ηµ γίνετι συν, η εφ γίνετι σφ κι ντίστροφ. β. Ότν έχω 180 ο ή 0 ο ή 360 ο ο τριγωνοµετρικός ριθµός δεν λλάζει. γ. Γι ν βρω το ρόσηµο εξετάζω σε οιο τετρτηµόριο τελειώνει η γωνί ου θέλω ν νάγω στο τετρτηµόριο. []. Οι τριγωνοµετρικές συνρτήσεις Ορισµός: Η συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το Α ΙR λέγετι ΠΕΡΙΟ ΙΚΗ, ν υάρχει ργµτικός ριθµός Τ>0, τέτοιος, ώστε γι κάθε A, ν ισχύει:. +T, -T A β. f(+t)=f(-t)=f() O T λέγετι ΠΕΡΙΟ ΟΣ της f. Σηµείωση: Ο έλεγχος ως ρος την εριοδικότητ µίς συνάρτησης θ γίνετι εδώ εµειρικά ό τη γρφική της ράστση..χ. f(-t)=f()=f(+t) f -T +T T ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η συνάρτηση f()=ηµ / Α=IR - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί ισχύει ηµ(-)=ηµ(+)=ηµ. - Είνι εριττή γιτί: ηµ(-)=ηµ. - Πίνκς µετβολών: 3 ηµ 1-1 ma min - Γρφική ράστση T= β. Η συνάρτηση f()=συν / Α=IR - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί συν(-)=συν(+)=συν. - Είνι άρτι γιτί: συν(-)=συν. - Πίνκς µετβολών: συν - -1 Ο ma 1 min ma - Γρφική ράστση ηµ γ. Η συνάρτηση f()=εφ=, συν T= συν - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί εφ(+)=εφ(-)=-εφ. - Είνι εριττή γιτί: εφ(-)=-εφ. - Ο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Η γρφική της ράστση έχει σύµτωτες ευθείες = κι =- κι ερνάει ό την ρχή των ξόνων Ο(0,0) γιτί εφ0=0. - Γρφική ράστση Ο Σχόλιο Γενικά σε µι συνάρτηση της µορφής f()=ρηµω, όου ρ,ω>0: i) το ρ είνι η µέγιστη τιµή της κι το ρ η ελάχιστη τιµή της. ii) το ω κθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είνι ίση µε Τ=. ω Τ ίδι συµεράσµτ ισχύουν κι γι τη συνάρτηση της µορφής f()=ρσυνω. Είσης σε µι συνάρτηση της µορφής f()=κ+ρηµβ, η µέγιστη τιµή της είνι κ+ρ κι η ελάχιστη κ-ρ. Η ερίοδός της είνι Τ=. ω [3]. Λύση βσικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµ = ηµ = ηµθ = κ+ θ, κ Ζ 1 1, θ [,], = κ+ θ συν= συν = συνθ = κ+ θ, κ Ζ 1 1, θ [,], = κ θ εφ = εφ = εφθ = κ+ θ, κ Ζ ΙR θ [, ], σφ = σφ = σφθ = κ+ θ, κ Ζ ΙR θ [, ], ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πρδείγµτ τριγωνοµετρικών εξισώσεων: 1. Ν λυθεί η εξίσωση: ηµ Λύση Έχω ηµ 3 + =ηµ =ηµ + =κ++ (1) κι =κ+-(+ ) () κ Ζ (1) =-κ-, κ Ζ 1 κ () = +, κ Ζ Ν λυθεί η εξίσωση: συν 5 =ηµ. συν συν Λύση 5 =ηµ =κ =κ- 3 (1) = 4κ κ () =, κ Ζ 11, κ Ζ Λύση συν (1) κ Ζ () κ Ζ =συν συν 6 5 = 3 3. Ν λυθεί στο [0,] η εξίσωση εφ(- )= 3. 6 Λύση εφ(- )= 3 εφ( κ )=εφ - =κ+ = +, κ Ζ Ν λυθεί η εξίσωση σφ =σφ Λύση σφ = 5 =σφ + 8 κ 3 +, κ Ζ =κ =- +κ+ 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 [4]. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος κι διφοράς γωνιών συν(-β)=συν συνβ+ηµ ηµβ (1) συν(+β)=συν συνβ-ηµ ηµβ () ηµ(+β)=ηµ συνβ+συν ηµβ (3) ηµ(-β)=ηµ συνβ-συν ηµβ (4) εφ+ εφβ εφ(+β)= 1 εφ εφβ (5) Αόδειξη (1) Χωρίς όδειξη. () συν(+β)=συν(-(-β))=συνσυν(-β)+ηµην(-β)=συνσυνβ-ηµηµβ. (3) ηµ(+β)=συν -(+β) =συν - -β = συν - συνβ+ηµ - ηµβ=ηµ συνβ+συν ηµβ. (4) ηµ(-β)=ηµ(+(-β))=ηµσυν(-β)+συνηµ(-β)=ηµσυνβ-συνηµβ. (5) εφ(+β)= ηµσυνβ συνηµβ + ηµ(+ β) ηµσυνβ+ συνηµβ συνσυνβ συνσυνβ εφ+ εφβ = = = = συν(+ β) συνσυνβ-ηµηµβ συνσυνβ ηµηµβ 1-εφεφβ συνσυνβ συνσυνβ [ ιιρώ τους όρους του κλάσµτος µε συνσυνβ 0] Όµοι οδεικνύοντι οι τύοι: εφ εφβ εφ(-β)=,σφ(+β)= σφσφφβ-1 1+ εφεφβ σφβ+ σφ,σφ(-β)= σφσφφβ+1 σφβ σφ [5]. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί της γωνίς. ηµ=ηµ συν β. συν=συν -ηµ =συν -1=1-ηµ εφ γ. εφ= 1-εφ Αοδείξεις. ηµ=ηµ(+)=ηµσυν+συνηµ=ηµσυν β. συν=συν(+)=συνσυν-ηµηµ=συν -ηµ =συν -(1-συν )=συν -1= =(1-ηµ )-ηµ =1-ηµ εφ+ εφ εφ γ. εφ=εφ(+)= = 1-εφεφ 1-εφ [6]. Τύοι ό-τετργωνισµού ) ηµ = 1-συν, β) συν = 1 + συν, γ) εφ = 1-συν 1+ συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αοδείξεις 1-συν ) Ισχύει ότι: συν=1-ηµ ηµ =1-συν ηµ =. 1+συν β) Είσης: συν=συν -1 1+συν=συν συ =. 1-συν ηµ 1-συν γ) Τέλος: εφ = = / =. συν 1+συν 1+συν / [7]. Μετσχηµτισµός γινοµένου σε άθροισµ ή διφορά. ηµσυνβ=ηµ(+β)+ηµ(-β) β. συνσυνβ=συν(-β)+συν(+β) γ. ηµηµβ=συν(-β)-συν(+β) Αοδείξεις Πίρνω το δεύτερο µέλος κι εφρµόζω τους τύους θροίσµτος ή διφοράς. Έτσι κτλήγω στο ρώτο µέλος. Π.χ. γι την (): ηµ(+β)+ηµ(-β)= ηµσυνβ+συνηµβ+ηµσυνβ-συνηµβ=ηµσυνβ+ηµσυνβ=ηµσυνβ. [8]. Μετσχηµτισµός θροισµάτων κι διφορών σε γινόµεν A+ B A B ηµα+ηµβ=ηµ συν A B A+ B ηµα-ηµβ=ηµ συν A+ B A B συνασυνβ=συν συν A B A+ B συνα-συνβ=ηµ ηµ [9]. Η συνάρτηση f()=ηµ+βσυν Θεώρηµ Αν,β 0, τότε γι κάθε IR ισχύει: ηµ+βσυν=ρηµ(+φ), όου ρ= + β κι συνφ = ηµφ = β ρ ρ Αόδειξη ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

10 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 M(,β) ρ O β φ Έστω φ γωνί µε τελική λευρά την ΟΜ. Τότε: συνφ = = ρσυνφ ρ ρ=(ομ)= + β κι β ηµφ = β = ρηµφ ρ Άρ: ηµ+βσυν=ρσυνφηµ+ρηµφσυν=ρ(συνφηµ +ηµφσυν)==ρηµ(+φ) Άρ ηµ+βσυν=ρηµ(+φ) [10]. Νόµος ηµιτόνων Θεώρηµ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εριγεγρµµένου κύκλου. ηµα β γ = = = R, όου R η κτίν του ηµβ ηµγ Αόδειξη Στον εριγεγρµµένο κύκλο φέρω διάµετρο ΒΟ, οότε το τρίγωνο ΓΒ είνι ορθογώνιο γιτί βίνει σε ηµικύκλιο. Ακόµ Α γ β είνι = Α γιτί βίνουν στο ίδιο τόξο. Στο τρίγωνο Β Γ έχω: ηµ = Β ηµ = R =Rηµ ) ( = A RηµΑ R= ηµα Β Ο Γ β γ Όµοι βρίσκω ότι =R κι =R ηµβ ηµγ Εοµένως ηµα = β ηµβ = γ ηµγ = R [11]. Νόµος συνηµιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: =β +γ -βγσυνα ή β =γ + -γσυνβ ή γ = +β -βσυνγ Αόδειξη Έστω τρίγωνο ΑΒΓ όου η ΑΒ βρίσκετι άνω στον άξον Ο όως στο σχήµ. Ισχύει: συνα= β Γ(,) κι ηµα= β ή =βσυνα κι =βηµα (1) Τ Β(γ,0) κι Γ(,) έχουν όστση µετξύ τους: =(ΒΓ)= ( ) + ( 0). Οότε λόγω της (1): =(-γ) +(-0) =(βσυνα-γ) +(βηµα) =β συν Α+γ - βγσυνα+β ηµ Α=β (συν Α+ηµ Α)+γ -βγσυνα= β O=Α γ B(γ,0) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

11 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 =β.1+γ -βγσυνα. Άρ: =β +γ -βγσυνα Όµοι οδεικνύοντι κι οι άλλες. Σχόλι Είλυση τριγώνου ονοµάζετι το ρόβληµ κτά το οοίο ζητείτι ο υολογισµός γνώστων κυρίων στοιχείων ενός τριγώνου, ότν δίνοντι ερκή στοιχεί του. Το ρόβληµ λύνετι µε χρήση των νόµων ηµιτόνου κι συνηµιτόνου. Θ χρησιµοοιώ νόµο ηµιτόνων ότν δίνοντι:. Μί λευρά κι δύο γωνίες του. β. ύο λευρές κι µί µη εριεχόµενη γωνί. Θ χρησιµοοιώ νόµο συνηµιτόνων ότν:. ίνοντι δύο λευρές κι η εριεχόµενη γωνί. β. ίνοντι κι οι τρεις λευρές κι ζητούντι οι γωνίες του γράφοντς τον νόµο συνηµιτόνων ως εξής: συνα= β + γ βγ συνβ= γ + β γ συνγ= + β γ β Τριγωνοµετρικές συνρτήσεις Ασκήσεις 1. Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: ) f()=ηµ, g()=-ηµ, h()=ηµ β) f()= συν, g()= - συν, h()= συν+ 1. γ) f()=συν, g()=συν + 3, h()= συν - 3. δ) f()=εφ, g()=-εφ, h()=-εφ-1.. ίνετι η συνάρτηση: f()= 1 ηµ. ) Ν ροσδιορίσετε την ερίοδό της κι το σύνολο τιµών της. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική της ράστση σε λάτος µίς εριόδου. 3. ίνετι η συνάρτηση: f()=ηµ +β,,β R. 5 ) Ν υολογίσετε τους ριθµούς κι β ν η γρφική της ράστση 5 διέρχετι ό τ σηµεί Α(10, 6) κι Β,1. 6 β) Γι τις τιµές υτές των κι β ν βρείτε τ κρόττ της f κι την ερίοδό της. Ποι είνι η µονοτονί της f στο διάστηµ [0, 10]; ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

12 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ίνετι η συνάρτηση:f()=ηµ - +συν(3+)ηµ - -συν(-)+1. ) Ν λοοιήσετε τον τύο της f. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική ράστση της συνάρτησης g()= f(). συν συν 5. ίνετι η συνάρτηση: f()= +. 1-ηµ 1+ ηµ ) Ν λοοιήσετε τον τύο της f. 1 f() β) Ν σχεδιάσετε την γρφική ράστση της συνάρτησης g()= f() σε λάτος µίς εριόδου. 6. Αν < 1 < <, ν συγκριθούν οι ριθµοί: ) ηµ κι ηµ, β) εφ κι εφ. 7. ίνετι η συνάρτηση f()= ηµ ) Ν υολογίσετε τον ριθµό ώστε η µέγιστη τιµή της f ν είνι 1. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική της ράστση σε λάτος µίς εριόδου. Τριγωνοµετρικές εξισώσεις 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 4συν -3=0 β) ηµ -1=0 γ) (ηµ+1)(1- συν)(6-3συν)=0. 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) συν3+ =0 β) εφ - = Ν λυθεί η εξίσωση 4συν + = γ) σφ = Ν λυθεί στο διάστηµ, η εξίσωση συν + =ηµ Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) ηµ (+)+3συν + -=0. β) ηµ -3συν =- γ) 3σφ -3+ 3σφ+ 3 =0 δ) συν +( 3-1)ηµ=1-3 1 ε) + 3εφ=1 συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

13 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ν λυθεί η εξίσωση εφ=- ηµ, στο διάστηµ [0, ]. 14. Ν λυθεί η εξίσωση ηµ -συν= 4 1 ν είνι γνωστό ότι ο ριθµός 3 είνι µί λύση της. 15. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) ηµ -ηµσυν-συν =0 β) συν + 3ηµ+1=0 γ) εφ+ 3σφ=1+ 3 δ) συν(ηµ+συν)=1 16. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 3ηµ+συν= 3 β) ηµ+ 3συν= γ) 3ηµ-συν= ίνετι η συνάρτηση f()=εφ+βσφ-,,β R. 3 ) Ν υολογίσετε τους ριθµούς κι β ώστε η γρφική ράστση της f ν 5 τέµνει τον άξον χ χ στ σηµεί µε τετµηµένες 1 =. 6 κι = 3 β) Ν βρείτε τις τιµές του γι τις οοίες το σηµείο Μ(, +β) νήκει στη γρφική ράστση της f, όου κι β οι ριθµοί του ερωτήµτος ). Τριγωνοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος γωνιών 18. Υολογίστε την τιµή των ρστάσεων: ) συν 1 συν 4 -ηµ 1 ηµ 4 β) συν170 ο συν50 ο +ηµ170 ο ηµ50 ο γ) ηµ110 ο ηµ70 ο -συν110 ο συν70 ο 7 7 δ) συν συν +ηµ ηµ ε) συν + συν Ν οδειχθούν οι σχέσεις: 4 ) ηµ + συν β) συν 4 + +συν γ) ηµ + +ηµ 3 -ηµ +συν + ηµ ηµ 4 4 = συν = 3συν δ) συν -συν =ηµσυν 4 εφ εφ ε) = εφ 1+ εφεφ + 4 =συν(-) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

14 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 εφ + + εφ 3 6 στ) = σφ 1 εφ + εφ 3 6 ηµ(+ β) ζ) = εφ+ εφβ συν(+ β) + συν( -β) ηµ( β) ηµηµβ ηµ(β γ) ηµβηµγ ηµ(γ ) ηµγηµ η) + + = 0 ι) ηµ( β) = σφβ-σφ ηµηµβ ηµ(+ β) θ) = εφ+ εφβ συνσυνβ 0. Ν οδείξετε ότι: ηµ(+β) ηµ(-β) ) =εφ -εφβ συν συνβ ηµ(-β) β) =σφβ-σφ συν(-β)-συν(+β) ηµ(+β)-ηµ(-β) γ) =εφβ συν(+β)+συν(-β) συνηµβ-ηµ(+β) δ) =σφβ-σφ συνσυνβ-συν(+β) 1. Ν οδείξετε ότι: ) εφ -εφβ =εφ(+β) εφ(-β) 1-εφ εφβ β) σφ σφ -1 =σφ3 σφ σφ -σφ. Ν οδείξετε ότι: ) ηµ(+β)ηµ(-β)=ηµ -ηµ β β) συν(+β)συν(-β)=1-ηµ -ηµ β ίνετι ηµ=, συνβ=-, 0<< κι <β<. Ν υολογιστούν τ ηµ(+β) 5 13 κι συν(-β). 4. είξτε ότι το κλάσµ Α= ηµ(+ ) -ηµ( συν(β - ) -συν(β ), είνι νεξάρτητο του. + ) 5. Ν οδείξετε ότι η ράστση Α=συν -συνσυνσυν(-)+συν (-) είνι στθερή. 6. Αν ηµ+συνβ=κ κι συν+ηµβ=λ, ν υολογίσετε το ηµ(+β). 7. Aν συν(+β)=συνσυνβ, ν οδείξετε ότι: ηµ (+β)=(ηµ+ηµβ) Αν, β 0, µε εφ= κι εφβ=, -1 ν οδείξετε ότι: -β=. 4 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

15 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν +β=, ν οδείξετε ότι: 4 ) (1+εφ)(1+εφβ)= β) (1+σφ)(1+σφβ)=σφσφβ. 30. Αν +β=135 ο, ν οδείξετε ότι: (1-εφ)(1-εφβ)=. 31. Αν +β+γ=0, ν οδείξετε ότι: ) εφ+εφβ+εφγ=εφεφβεφγ. β) σφσφβ+σφβσφγ+σφγσφ=1 3. Αν +β+γ=, ν οδείξετε ότι: εφεφβ+εφβεφγ+εφγεφ= Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. ηµ=ηµ ii. ηµ=συν iii. εφ+εφ + =- iv. συν=ηµ Ν λυθεί η εξίσωση: εφ(45 ο -)-εφ(45 ο +)= Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: εφα+εφβ+εφγ=εφαεφβεφγ. 36. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: 4 Α Β Γ Α Β Γ σφ +σφ +σφ =σφ σφ σφ 37. ) Αν Α, Β, Γ είνι γωνίες τριγώνου ν οδείξετε ότι: ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ-συνΑσυνΒσυνΓ=. β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ=, ν οδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. 38. ) Ν οδείξετε την τυτότητ: ηµ(+β)ηµ(-β)=ηµ -ηµ β β) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: ηµαηµ(β-γ)+ηµβηµ(γ-α)+ηµγηµ(α-β)= Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (1-σφΓ)[1+σφ(45 ο -Β)]=, ν οδείξετε ότι το τρίγωνο υτό είνι ορθογώνιο. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί του. 40. Ν οδειχθούν οι ισότητες: ηµ. = εφ 1+ συν γ. εφ(45 ο συν -)= 1+ ηµ 4 ε. συν -ηµ 4 συν+ ηµ συν ηµ ζ. = εφ συν -ηµ συν+ ηµ ηµ β. = σφ 1 συν δ. εφ+σφβ= ηµ 1-εφ (45 ) =ηµ στ. = ηµ ο 1+ εφ (45 ) 1-συν + ηµ η. = εφ 1+ συν + ηµ ο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

16 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 θ. ηµεφ+συν = ι. ηµ 3 συν+συν 3 ηµ= 1 ηµ 41. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. συν-ηµ-1=0 ii. ηµ-συν+ηµ-1=0 iii. συν+συν 3 =0 iv. συν-ηµ =0 v. συν -1=συν vi. -συν =4ηµ 4. είξτε ότι: 1+ εφ+ εφ εφ i. = εφ+ σφ iii. συν4=8συν 4 +1 ii. 3 4συν+ συν4 3+ 4συν+ συν4 = 4 εφ 43. είξτε ότι: ηµ+ ηµ i. = εφ συν+ συν+ 1 ii. εφ 4 = 1-ηµ 1+ ηµ 44. είξτε ότι: ηµ-ηµ ) =εφ β) 1+συν+ηµ =1+εφ 1-συν+συν 1+συν 0 1-εφ (45 -) γ) 0 =ηµ 1+εφ (45 -) συν 1+ηµ δ) = εφ(45 0 -)+συν 1-ηµ ηµ-ηµ ε) =εφ ζ) 1-συν4+ηµ4 =εφ ηµ+ηµ 1+συν4+ηµ4 ηµ4 συν συν η) =εφ 1+συν4 1+συν 1+συν θ) συν+ηµ συν-ηµ σφ+1 συν - =εφ ι) = συν-ηµ συν+ηµ σφ-1 1-ηµ κ) συν (+β)+συν εφ εφ(+) (-β)=1+συνσυνβ λ) + εφ 1+εφ 1-εφ 45. Ν οδείξετε ότι: ηµ =. 1+ηµ (1+εφ)(1+σφ) ηµ +ηµ 46. Ν οδείξετε ότι: =εφ. 1+συν +συν 1-συν 47. Ν οδείξετε ότι: εφ + εφ- = συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

17 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν (, ] ν οδειχθεί ότι: (1+συν)+συν= Γι τη γωνί ισχείει:5συν-14συν-7=0. είξτε ότι: συν=-. Aν ειλέον 5 3 ισχείει a, ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς ηµ,συν κι εφ. 50. είξτε ότι: i. συν 4 +συν = ii. ηµ 4 +ηµ = Ν οδειχθεί ότι: συνω= ηµω. Κτόιν δείξτε ότι: ηµω 16συν.συν.συν4.συν8= ηµ16. ηµ 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 1+συν-6ηµ =0 β) 3συν -ηµ -ηµ=0 γ) 3ηµ +συν + 3ηµ=1 δ) συν4=-συν 53. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµ 3 + συν 5 = ηµ 4 β) ηµ + + συν + = 1+συν Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµ+συν=0 β) συν+3ηµ= γ) εφ=ηµ, (, ). δ) 3+εφ.εφ=0, ( 0, ). ε) ηµ=εφ στ) συν=ηµ 1 + ζ) συν+3συν-4=0. η) ηµ +3συν=0 θ) ηµ=(συν-ηµ) ι) ηµ.σφ+ηµ =4ηµ, [ 0, ). Τριγωνοµετρικοί µετσχηµτισµοί 55. είξτε ότι: συν3 συν5. = εφ ηµ3+ ηµ5 ηµ+ ηµ3+ ηµ5+ ηµ7 γ. = εφ4 συν+ συν3+ συν5+ συν7 ηµηµ+ ηµηµ4+ ηµηµ7 ε. = εφ5 ηµσυν ηµσυν5 ηµσυν8 + + ηµ+ ηµ3+ ηµ5 β. = εφ3 συν+ συν3+ συν5 ηµηµ+ ηµ3ηµ6 δ. = εφ5 ηµσυν + ηµ3συν6 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

18 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ν λυθούν οι εξισώσεις:. ηµ3-ηµ=συν β. συν5-συν=ηµ3 γ. ηµ3+ηµ6+ηµ9=0 δ. συν=ηµ4+ηµ6+συν8, [0,] ε. συν3συν5-συνσυν7=0 στ. εφ+εφ4=εφ3 57. είξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:. συνα+συνβ+συνγ=1+4ηµ Α ηµ Β ηµ Γ β. ηµα-ηµβ+ηµγ=4συνα συνβ συνγ γ. συνα+συνβ+συνγ=-1-4συνα συνβ συνγ δ. ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ=+συνΑ συνβ συνγ ε. συν Α+συν Β+συν Γ=1-συνΑ συνβ συνγ στ. ηµ4α+ηµ4β+ηµ4γ=-4ηµα ηµβ ηµγ ζ. ηµα + ηµβ+ ηµγ ηµα + ηµβ+ ηµγ Α Β Γ = 8ηµ ηµ ηµ 58. Ν λυθούν οι εξισώσεις:. 3ηµ4+συν4= 3 β. 3ηµ-συν= γ. συν-ηµ=1 δ. ηµ+ 6συν+=0 Νόµος ηµιτόνων 59. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι =8, γ=0 κι Γ=13 ο. Ν βρεθούν οι γωνίες Α κι Β. 60. Ν βρεθούν οι γωνίες Β κι Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, ν είνι =1, β=1+ 3 κι Α =15 ο. 61. Ν δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: +β +γ =4R (ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ). 6. Όµοι: (ηµβ-ηµγ)+β(ηµγ-ηµα)+γ(ηµα-ηµβ)=0 63. Όµοι: ηµα+βηµβ+γηµγ= + β + γ R. Νόµος συνηµιτόνων 64. Ν ειλυθεί τρίγωνο ΑΒΓ, ου έχει =3, β=17 κι γ=38. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

19 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει σχέση =βσυνγ, ν δειχθεί ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές. 66. Ν ειλυθεί τρίγωνο ΑΒΓ κι β= 6, γ= 34 κι Α =45 ο. 67. Σε κάθε τρίγωνο ν οδειχθεί ότι ισχύει β=συνγ+γσυνα. 68. Όµοι: βσυνγ-γσυνγ= β γ. 69. Όµοι: βγσυνα+γσυνβ+βσυνγ= +β +γ. Γενικές σκήσεις σε τρίγωνο 70. Σε κάθε τρίγωνο ν δειχθεί ότι ισχύει: βσυνβ+γσυνγ=συν(β-γ). 71. Όµοι η σχέση: γ β + + γ β - = εφα εφβ. 7. Όµοι η σχέση: ηµ(β-γ)-βηµ(γ-α)+γηµ(α-β)= Όµοι η σχέση: β -γ Α συν Β -Γ = ηµ. 74. Όµοι η σχέση: β+ γ ηµ Α = Β -Γ συν. 75. Όµοι η σχέση: β γ β+ γ Β -Γ Α = εφ εφ. 76. Σε κάθε τρίγωνο ν δειχθεί ότι ισχύει: Α Β Γ Α Β Γ ηµ + ηµ + ηµ 1= 4ηµ ηµ ηµ Α Β Γ συνα+συνβ+συνγ= συν συν συν ηµ Α+ηµ Β-ηµ Γ=ηµΑηµΒηµΓ συν Α+συν Β-συν Γ=1-ηµΑηµΒηµΓ ηµ4α+ηµ4β+ηµ4γ=4ηµαηµβηµγ ηµ4α+συν4β+συν4γ=-1+4συνασυνβσυνγ εφα+εφ4β+εφγ=εφαεφβεφγ σφασφβ+σφβσφγ+σφγσφα=1 77. Αν Β, Γ οι οξείες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο. είξτε ότι: Β Γ Β Γ. ηµβ+ηµγ= συν β. ηµβ-ηµγ= ηµ γ. ηµ Β-ηµ Β Γ Γ=ηµ Β Γ συν =ηµ(β-γ). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

20 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν <<β<, 4. Αν <<β<, 4 3. Αν <<β<, 4 4. Αν <<β<, 4 Ερωτήσεις τύου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» τότε ηµ<ηµβ. Σ Λ τότε συν<συνβ. Σ Λ τότε ηµ>ηνβ Σ Λ τότε συν -β >συν -. Σ Λ Η συνάρτηση f()=5-3ηµ ίρνει τη µέγιστη τιµή της ότν = κ+,κ Z. Σ Λ 6. Η βσική ερίοδος της συνάρτησης f()=συν είνι Τ=. Σ Λ 7. Το εδίο τιµών της συνάρτησης f()=ηµ3-3 είνι το [-5,-1]. Σ Λ 8. Η εξίσωση ηµ= έχει µί τουλάχιστον ρίζ γι κάθε R. Σ Λ 9. Η εξίσωση εφ= έχει µί τουλάχιστον ρίζ γι κάθε R. Σ Λ 10. Οι εξισώσεις εφ=1 κι σφ=1 είνι ισοδύνµες. Σ Λ 11. Οι εξισώσεις ηµ-συν=0 κι εφ=1 είνι ισοδύνµες. Σ Λ 1. H εξίσωση συν=0 έχει κριβώς µί λύση στο διάστηµ [0, ]. Σ Λ 13. Ισχύει συν55 ο συν5 ο -ηµ55 ο ηµ5 ο = 1. Σ Λ 14. Ισχύει συν(+β)=συν+συνβ, γι κάθε,β R. Σ Λ 15. Ισχύει συν50 ο συν40 ο =ηµ50 ο ηµ40 ο Σ Λ 16. Υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει:συν(α+β)=συνασυνβ. Σ Λ 17. Υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει:ηµ(α-β)=ηµασυνβ+ηµασυνβ. Σ Λ 18. εν υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει: συν(α-β)=συνασυνβ-ηµαηµβ. Σ 19. συν50 συν0 +ηµ50 ηµ0 =. Σ Λ ο ο εφ5 -εφ50 0. Ισχύει ότι ο ο =-1. 1+εφ50 εφ5 Σ Λ 1. Ισχύει ότι ηµ(-β)συνβ+ηµβσυν(-β)=ηµ. Σ Λ ο ο ο ο 3 Λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

21 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Γι κάθε γωνί R ισχύει συν =συν+ηµ. Σ Λ 3. Γι κάθε γωνί R ισχύει (ηµ+συν) =1+ηµ. Σ Λ 4. Γι κάθε γωνί R ισχύει (ηµ-συν) =1+συν. Σ Λ ηµ Αν [0, ] κι =, τότε = ή =. 1+συν 4 4 Σ Λ 6. Iσχύει συν =1+συν γι κάθε γωνί. Σ Λ 7. Ισχύει ηµ =1+ηµ γι κάθε γωνί. Σ Λ βγ 8. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο τότε ηµβ=. Σ Λ 9. Γι κάθε R ισχύει ηµσυν= 1 ηµ. Σ Λ 30. Ισχύει ότι (1-εφ 10 ο )εφ0 ο =εφ10 ο. Σ Λ ****************** Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. 1. Η συνάρτηση f()=ηµ(-) έχει ερίοδο Τ=: Α:, Β:, Γ: /, :4, Ε: Άλλη.. Η συνάρτηση f()=3συν έχει ερίοδο Τ=: Α:, Β:, Γ: /, :4, Ε: Άλλη. 3. Η συνάρτηση f()=-εφ +1 έχει: Α: µέγιστο το, Β: ελάχιστο το, Γ: µέγιστο το 1, : δεν έχει κρόττ. 4. Η συνάρτηση f()=ηµ+1, έχει εδίο τιµών το: Α: [1, 3], Β: [-1, 3], Γ: [-1, 1], : R, Ε: [0, + ). 5. Η µέγιστη τιµή της συνάρτησης f()=3ηµ +003 είνι: 3 Α: 000, Β: 006, Γ: 1996, :3. Ε: Άλλη. 6. H συνάρτηση f()=ηµ είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ: 3 Α: 0,, Β: 0,, 4 Γ:,, 4 :,. 7. Η εξίσωση ηµ+συν=0 είνι ισοδύνµη µε την εξίσωση: Α: εφ=1, B: ηµ +συν =0, Γ: εφ=-1, : εφ=σφ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

22 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 8. H συνάρτηση f()= ορίζετι στο σύνολο: ηµ-1 Α: R- κ+,κ Z, Β: R κ+,κ Z, Γ: R, : R κ+, κ+, κ Z Η ράστση ηµ3 ο συν37 ο +συν3 ο ηµ37 ο είνι ίση µε: Α: 1, Β: 3, Γ: 3, : - 3, Ε: Αν Α+Β+Γ=, τότε η ράστση ηµαηµβ-συνασυνβ ισούτι µε: Α: ηµγ, Β: συνγ, Γ: -ηµγ, : -συνγ, Ε: Η ράστση Α= ηµ - συν + +ηµ + συν ισούτι µε: Α: Α: 0, Β:, Γ: -1, : 1, Ε: Η τιµή της ράστσης Α= συν συν -ηµ ηµ είνι ίση µε: Α: 1, Β: -1, Γ:0 : 1, Ε: Η ράστση συν10 ο συν0 ο +συν(-80) ο ηµ(-0) ο ισούτι µε: Α: 1, Β: συν60 ο, Γ: ηµ70 ο, : 3, Ε: Οι εφ κι εφβ είνι ρίζες της εξίσωσης 4-3-5=0. Τότε η εφ(+β) είνι: Α: 1, Β:, Γ: 1, 3 : - 1, 3 Ε: Η ράστση Α: -1, Β: ο ο εφ5 +εφ0 ο ο 1-εφ5εφ0 είνι ίση µε: 3, Γ :, : 3, Ε : Η εφ105 ο είνι ίση µε: Α: 1+ 3, Β: 3+ 1, 3 1 Γ: 3 1, 3+ 1 : 1 3, Ε: Άλλο. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

23 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν εφ= κι εφβ=ψ, τότε η εφ(+β) είνι ίση µε: -ψ Α:, Β: +ψ, Γ: ψ-1, : ψ+1, 1+ψ 1-ψ +ψ -ψ ψ. Ε: ( +ψ ) 18. Αν εφ(+z)= κι εφ(z-ψ)=β, τότε η εφ(+ψ) είνι ίση µε: Α: +β, 1-β Β: -β, 1+β Γ: β+1, -β : β+1, +β Ε: Η ράστση συν 45 - είνι ίση µε: Α: 1-ηµ, Β: 1+συν, Γ: 1+ηµ, : συν-1, Ε: 1-συν. ο 0. Η ράστση συν 40 ο -ηµ 140 ο ισούτι µε: Α: συν10 ο, Β: συν 80 ο, Γ: συν80 ο, : ηµ80 ο, Ε: ηµ Αν, β 0, κι εφ=, εφβ=, τότε το +β ισούτι µε: Α:, Β: 0, Γ:, :, Ε: Η ράστση συν-συν είνι ίση µε: Α: 0, Β: -1, Γ: 1, : 1, Ε: Μί λύση της εξίσωσης συν -συν= 3 είνι η : 4 Α: =, Β:=0, Γ: =, :=, Ε:= ηµθ 4. Αν 0<θ<, η ράστση είνι ίση µε: 1-ηµθ θ θ θ εφ 1-εφ 1+εφ Α: θ, Β: εφ, Γ:, :, Ε: εφ θ. θ θ θ 1+εφ 1+εφ 1-εφ 5. Η ράστση (ηµ,5 ο -συν,5 ο ) είνι ίση µε: Α:, Β:, Γ:, :, Ε: +. **************** *********** ***** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ:

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α Μάθηµ 0 Κεφάλιο: Τριγωνοµετρί Θεµτικές Ενότητες:. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίς Εισγωγή Χρησιµοοιώντς τους τύους ου υολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του θροίσµτος (ροηγούµενο µάθηµ), ροσδιορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

απέναντι ) έτσι ώστε ο άξονα Ox να είναι η

απέναντι ) έτσι ώστε ο άξονα Ox να είναι η ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ - 5 - ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ 6.. Τριγνµετρικί ριθµί. ρισµός τυς σε ρθγώνι τρίγν ρίζ ηµβ= Β= Β= σφβ= β ένντικάθετη υτείνυσ γ ρσκείµενη κάθετη υτείνυσ β ένντικάθετη γ ρσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

συν x = συνθ x= Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χαρακτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

συν x = συνθ x= Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χαρακτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Γωνί ω Χρκτηριστικοί Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 ο 0 0 0 0 ο 6 5 ο 60 ο 90 ο 0 δεν ορίζετι δεν ορίζετι 0 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ηµ ( κ x ηµ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 =

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 = Τριγωνοµετρί Στο ορθογώνιο τρίγωνο : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 0 90 ) ισχύουν: + γ ( Πυθγόρειο Θεώρηµ) ηµ Β γ συν εφ Β Β, γ 0 B + Γ 90, ηµγγ/ συν Γ, σφγγ/ Γι την µεττροή µοιρών ( µ 0 ) σε κτίνι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. x-2 x 5x x -3 x dx, ε. 20x 3- x dx, στ. dx. εφx+εφ3x dx, δ. e dx, ε. ηµ - +3 dx. 2 3 - 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + )

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 1 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ +

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή

= συν. Μάθηµα 9. Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία. Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών. Εισαγωγή Μάθηµα 9 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Αθροίσµατος Γωνιών Εισαγωγή Γνωρίζουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 30 0, όως και των 45 0 Είναι δυνατόν, µέσω αυτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ:..4 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d. Εειδή ( ) ( + ) =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 19 19 1. Ν λύσετε την η εξίσωση ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν (ηµ + συν ) ηµ ηµσυν συν + ηµ + συν 0 (1 + )ηµ ηµσυν + ( 1)συν 0 Αν συν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) = ( +) ( -) log ( -) γ ( ) = ( +) ( - ) +, > ln( -) ln( -) ( ) = + 5, > δ ( ) = 5 +, > Ν ρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης:

1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης: Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0.. Γραµµικά συστήµατα ο Κεφάλαιο Συστήµατα Α. Γραµµικό σύστηµα Χ. Να λύσετε γραφικά τα αρακάτω συστήµατα: α) ψ= + β) ψ= γ) -ψ= ψ= -ψ= + ψ=. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ.8: Κυρτότητ Σημεί Κμής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο [, ]

Διαβάστε περισσότερα

1.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών

1.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ λ y λ.0 Δίνεται τ σύστημα:, λy λ λ R. Να υλγίσετε τις τιμές τυ λ ώστε για τη λύση τυ συστήματς (,y) να ισχύει y 0.0 Δίνεται η συνάρτηση : αν 0 f() με λ R λ αν 0 Να βρεθύν ι τιμές τυ λ ώστε f(0)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται: Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ ΛYKEIOY. Μαθηματικά Προσανατολισμού. ανάλυση Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση. νάλυση Γ ΛYKEIOY Μθημτικά Προσντολισμού 9 - Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά 65 Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 ΕΩΣ 0/0/06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Πέμτη 9 Δεκεμβρίου 06 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αοδείξετε ότι ημ ω συν ω Α. Να δώσετε τον ορισμό της εριοδικής

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου 3 ου κεφαλαίου Γενικές σκήσεις σχ. Βιβλίου ου κεφλίου. Ν χρησιµοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( ηµ )d f ( ηµ )d ηµ i Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ d +ηµ u du d κι u u Έστω Ι ( ) f ( ηµ )d Ι ( ) ( u) f ηµ u

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝAΡΤΗΣΗ Ορισµός Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ Αρχική ή ράγουσ συνάρτηση της f στο, ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F, ργωγίσιµη στο, τέτοι

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 Μάθημ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνί κι ώρ εξέτσης: Δευτέρ, 6/6/16 8: 11: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση.

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Ολοκληρώματα. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση. Γ Λυκείου Μθημτικά Προσντολισμού 6-7 Mίλτος Πγρηγοράκης Χνιά νάλυση Τξινομημένες σκήσεις γι λύση Ολοκληρώμτ & Γενικές Ασκήσεις Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά ροσντολισμού Θετικών Σουδών & οικονομίς κι

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την

Απάντηση: όπου c R. Δίνεται όμως ότι f(0) = 1, άρα η προηγούμενη για x = 0, δίνει c = ½. Παίρνουμε λοιπόν την _ Θέμ Γ Θεωρούμε τις συνρτσεις,:rr, με την ργωγίσιμη κι τέτοιες, ώστε: () = κι, γι κάθε R, Γ Ν οδείξετε ότι, R Γ Ν βρείτε το λθος των ργμτικών ριζών της εξίσωσης Γ Ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένς,

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΞΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Χρησιμιύμε τις αρακάτω μνάδες μέτρησης τόξων και γωνιών: Τόξ ενός ακτινίυ ( rad ), λέγεται τ τόξ u υ έχει μήκς ίσ με την ακτίνα R τυ κύκλυ Αν

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµος ηµίτονων ηµα β ηµβ ηµγ R. Νόµος συνηµίτονων β + β συνα κι κυκλικά ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Τι σηµίνει επίλυση τριώνου Υπολοισµός των κύριων στοιχείων του (πλευρές ωνίες).

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Ορισμός Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε Α να ισχύει: ( T)A και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα