Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων"

Transcript

1 Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:

2 Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε

3 Εισαγωγή Δημιουργούνται επομένως ερωτήματα όπως:

4 Εισαγωγή Τι είναι Αλγόριθμος? Αλγόριθμος Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή Δεδομένων Μέθοδος αποθήκευσης δεδομένων

5 Εισαγωγή Αλγόριθμος Πολλαπλασιασμού

6 Εισαγωγή Οι αλγόριθμοι προϋπάρχουν των υπολογιστών Αλγόριθμος του Ευκλείδη Αλγόριθμος του Ευκλείδη για υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι int Euclid(int x, int y) { if y==0 return x; return Euclid(y, x%y); } Παράδειγμα Euclid (128,40)= Euclid (40,8)= Euclid (8,0)= 8 Ευκλείδης (300 πχ)

7 Εισαγωγή Προβλήματα και Στιγμιότυπα Ορθότητα

8 Εισαγωγή Ορθότητα

9 Εισαγωγή Πολυπλοκότητα

10 Εισαγωγή Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα Αλγόριθμου Άνω Φράγμα του Π = Απόδειξη ενός ελάχιστου χρόνου για την επίλυση του προβλήματος Π Κάτω Φράγμα του Π Βέλτιστος (optimal) Αλγόριθμος

11 Εισαγωγή Πρόβλημα Π Αλγόριθμος Άνω Φράγμα του προβλήματος Π Το Π απαιτεί χρόνο το ΠΟΛΥ T 1 (n)

12 Εισαγωγή Πρόβλημα Π Αλγόριθμος Άνω Φράγμα του προβλήματος Π Το Π απαιτεί χρόνο το ΠΟΛΥ T 1 (n) Το Π απαιτεί χρόνο ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟ T 2 (n) Θεώρημα Κάτω Φράγμα του προβλήματος Π

13 Εισαγωγή Πρόβλημα Π Αλγόριθμος Άνω Φράγμα του προβλήματος Π Το Π απαιτεί το χρόνο το ΠΟΛΥ T(n) Το Π απαιτεί το χρόνο ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟ T(n) Θεώρημα Κάτω Φράγμα του προβλήματος Π Βέλτιστος Αλγόριθμος

14 Εισαγωγή Πολυπλοκότητα Εμπειρική Θεωρητική!!!!!!!

15 Εισαγωγή Πολυπλοκότητα Εμπειρική

16 Αποτελεσματικότητα Αλγορίθμου Θεωρητική Πολυπλοκότητα

17 Αποτελεσματικότητα Αλγορίθμου Πολυπλοκότητα

18 Αποτελεσματικότητα Αλγορίθμου Εστιάζω στο Χρόνο Πολυπλοκότητα

19 Αποτελεσματικότητα Αλγορίθμου Πολυπλοκότητα

20 Αποτελεσματικότητα Αλγορίθμου Πλεονεκτήματα Θεωρητική Προσέγγισης Ερώτημα

21 Βασικές Πράξεις Βασική Πράξη

22 Βασικές Πράξεις n-1 βασικές πράξεις

23 Βασικές Πράξεις

24 Βασικές Πράξεις α) [1, 3, 5, 2, 9, 7] b) [9, 3,7, 2, 1, 5] c) [5, 7, 1, 2, 9, 3] d) [7, 9, 5, 2, 3, 1] max = 9 Το πλήθος των συγκρίσεων S[i] > max είναι το ίδιο!!!

25 Βασικές Πράξεις α) [1, 3, 5, 2, 9, 7] x = 5 b) [9, 3,7, 2, 1, 5] c) [5, 7, 1, 2, 9, 3] d) [7, 9, 2, 4, 3, 1] Το πλήθος των συγκρίσεων S[index] <> x ΔΕΝ είναι το ίδιο!!!

26 Πολυπλοκότητα Χρόνου

27 Πολυπλοκότητα Χρόνου

28 Πολυπλοκότητα Χρόνου

29 Πολυπλοκότητα Χρόνου

30 Πολυπλοκότητα Χρόνου

31 Πολυπλοκότητα Χρόνου

32 Πολυπλοκότητα Χρόνου

33 Πολυπλοκότητα Χρόνου

34 Πολυπλοκότητα Χρόνου 1 Πρόβλημα: Εύρεση του max στοιχείου Αλγόριθμος: Find_Max-1

35 1 Πολυπλοκότητα Χρόνου

36 Πολυπλοκότητα Χρόνου 2 Πρόβλημα: Εύρεση του max στοιχείου Αλγόριθμος: Find_Max-2

37 2 Πολυπλοκότητα Χρόνου

38 Πολυπλοκότητα Χρόνου 3 Πρόβλημα: Εύρεση του min-max στοιχείων Αλγόριθμος: Find_Min_Max-1

39 3 Πολυπλοκότητα Χρόνου

40 Πολυπλοκότητα Χρόνου 4 Πρόβλημα: Εύρεση του min-max στοιχείων Αλγόριθμος: Find_Min_Max-2

41 4 Πολυπλοκότητα Χρόνου

42 Πολυπλοκότητα Χρόνου 5 Πρόβλημα: Εύρεση δεύτερου max στοιχείου Αλγόριθμος: Find_Second_Max-1

43 5 Πολυπλοκότητα Χρόνου

44 Πολυπλοκότητα Χρόνου 6 Πρόβλημα: Εύρεση δεύτερου max στοιχείου Αλγόριθμος: Find_Second_Max-2

45 Πολυπλοκότητα Χρόνου

46 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Έως τώρα Ερώτημα Επόμενο Εύλογο Ερώτημα Υπολογισμός του πλήθους των Βασικών Πράξεων ενός αλγόριθμου - W(n) και A(n) Μήπως με αυτή την προσέγγιση της πολυπλοκότητα υπεισέρχονται στον υπολογισμό μας και παράγοντες οι οποίοι δεν μας διευκολύνουν να εκτιμήσουμε την αποτελεσματικότητα ενός αλγόριθμου; Είναι οι παράγοντες αυτοί τόσο σημαντικοί ώστε να μην μπορούν να αγνοηθούν;

47 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Ας αναφερθούμε στο πρώτο ερώτημα. Έστω Αλγόριθμος Α με πολυπλοκότητα W(n) = n 3 / 4 Αλγόριθμος B με πολυπλοκότητα W(n) = 10 n 2 Ισχύει n 3 / 4 < 10 n 2 για n < 40 Τότε Ο αλγόριθμος Α είναι αποτελεσματικότερος του Β. Όμως Χωρίς δυσκολία, παρατηρούμε ότι για μεγάλες τιμές του n (μέγεθος εισόδου) ο αλγόριθμος Β είναι πολύ πιο αποτελεσματικός από τον αλγόριθμο Α.

48 Πολυπλοκότητα Αλγορίθμου Παράδειγμα 3n 3 ΒΠ n ΒΠ Πρόβλημα π

49 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Από το παραπάνω παράδειγμα γίνεται σαφές ότι: Χρειαζόμαστε ένα τρόπο να εξασφαλίσουμε μερικές κατηγορίες συναρτήσεων οι οποίες ΕΞΑΛΕΙΦΟΥΝ ΜΗ-ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ όπως σταθερές, μικρού μεγέθους εισόδους, κλπ.

50 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

51 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

52 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

53 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

54 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

55 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

56 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

57 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

58 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

59 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

60 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

61 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα

62 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα Ο(n 3 ) Πολυπλοκότητα Ο(n) Πρόβλημα π

63 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμος: Find_Min_Max-1 W(n) = Ο(n) A(n) = Ο(n)

64 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμος: Find_Min_Max-2 W(n) = Ο(n) A(n) = Ο(n)

65 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμος: MinMax W(n) =??????

66 Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αναδρομική Σχέση

67 Αναδρομικές Σχέσεις Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεων Επίλυση με Μαντεψιά Με Χρήση της Χαρακτηριστικής Εξίσωσης Με Επαναληπτική Αντικατάσταση Κύρια Μέθοδος (Master Method)

68 Αναδρομικές Σχέσεις Επίλυση της Αναδρομικής Σχέσης

69 Αναδρομικές Σχέσεις

70 Αναδρομικές Σχέσεις

71 Αναδρομικές Σχέσεις

72 Αναδρομικές Σχέσεις

73 Αναδρομικές Σχέσεις Επίλυση της Αναδρομικής Σχέσης

74 Αναδρομικές Σχέσεις

75 Αναδρομικές Σχέσεις

76 Αναδρομικές Σχέσεις

77 Αναδρομικές Σχέσεις Επίλυση της Αναδρομικής Σχέσης

78 Αναδρομικές Σχέσεις

79 Αναδρομικές Σχέσεις

80 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Κύρια Μέθοδος (Master Method)

81 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα

82 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Θεωρούμε ότι:

83 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα 1 εάν 2 εάν 3 εάν!!!

84 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Παράδειγμα 1: και Ισχύει : 2

85 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Παράδειγμα 2: και Ισχύει : 2

86 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Παράδειγμα 3: και Ισχύει : 3

87 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Παράδειγμα 4:??????

88 Κύρια Μέθοδος ή Κύριο Θεώρημα Παράδειγμα 4:

89 Άνω και Κάτω φράγματα Πρόβλημα Π?????? Αλγόριθμος Πόσο αποτελεσματικός είναι ο Αλγόριθμος που σχεδίασα για το πρόβλημα Π?

90 Άνω και Κάτω φράγματα Πολυπλοκότητα Αλγόριθμος Άνω Φράγμα του Π Κάτω Φράγμα του Π Θεώρημα Βέλτιστος Αλγόριθμος

91 Άνω και Κάτω φράγματα Πόσο αποτελεσματικός είναι ο Αλγόριθμος Α που επιλύει το Πρόβλημα Π? Πρόβλημα P Ανέλυσε τον αλγόριθμο Α και υπολόγισε μια συνάρτηση W A τέτοια ώστε: για κάθε είσοδο Ι μήκους n, Α απαιτεί το πολύ W A (n) πράξεις για την επίλυση του Π. Βρες μια συνάρτηση F και απέδειξε το εξής Θεώρημα: για κάθε αλγόριθμο Χ (ίδιας κλάσης) που επιλύει το πρόβλημα Π υπάρχει μια είσοδος μήκους n, για την οποία ο αλγόριθμος απαιτεί τουλάχιστο F(n) πράξεις.

92 Άνω και Κάτω φράγματα Πόσο αποτελεσματικός είναι ο Αλγόριθμος Α που επιλύει το Πρόβλημα Π? Πρόβλημα P 1. Άνω Φράγμα $ A, " I, A(I) = P(I) & Time(A,I) T upper ( I ) 2. Κάτω Φράγμα " A, $ I, A(I) = P(I) or Time(A,I) T lower ( I )

93 Άνω και Κάτω φράγματα Ο(n 4 ) Αλγόριθμος 1 Πρόβλημα Π Πολυπλοκότητας Ο(n) Ο(n 3 ) Αλγόριθμος 2 Ο(n 2 ) Αλγόριθμος 3 Ο(n) Αλγόριθμος 4 Ω(n) Θεώρημα 3 Άνω Φράγμα Κάτω Φράγμα Ω(logn ) Θεώρημα 2 Ω(1) Θεώρημα 1

94 Άνω και Κάτω φράγματα Ο(n 4 ) Αλγόριθμος 1 Ο(n 3 ) Αλγόριθμος 2 ΚΕΝΟ Ω(n 2 ) Θεώρημα 4 Πρόβλημα Π Πολυπλοκότητας Ο(n 3 ) Άνω Φράγμα Κάτω Φράγμα Ω(n) Θεώρημα 3 Ω(logn ) Θεώρημα 2 Ω(1) Θεώρημα 1

95 Άνω και Κάτω φράγματα Πρόβλημα Παράδειγμα Εύρεση του ΜΑΧ στοιχείου από ένα σύνολο S, με S =n και στοιχεία τύπου type(s). Κλάση Αλγορίθμων: Βασικές Πράξεις: Αλγόριθμοι που Συγκρίνουν και Αντιγράφουν στοιχεία τύπου type(s). Σύγκριση ενός στοιχείου του S με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο τύπου type(s).

96 Άνω και Κάτω φράγματα Άνω Φράγμα Παράδειγμα Αλγόριθμος: Find_Max Το πλήθος των Βασικών Πράξεων (S[i]>max) είναι ακριβώς n-1, και επομένως W Find_Max (n) = n-1.

97 Άνω και Κάτω φράγματα Άνω Φράγμα Παράδειγμα Αλγόριθμος: Find_Max Υπάρχει Ταχύτερος Αλγόριθμος!!! Το πλήθος των Βασικών Πράξεων (S[i]>max) είναι ακριβώς n-1, και επομένως W Find_Max (n) = n-1.

98 Άνω και Κάτω φράγματα Κάτω Φράγμα Παράδειγμα Υπολόγισε ένα ελάχιστο πλήθος Βασικών Πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του Προβλήματος Έστω ένα σύνολο S με n στοιχεία τύπου type(s). Υποθέτουμε ότι όλα τα στοιχεία είναι διαφορετικά. Μπορούμε να κάνουμε αυτή την υπόθεση γιατί το κάτω φράγμα αποδεικνύεται για την χειρίστη-περίπτωση και επομένως όλες οι είσοδοι είναι αποδεκτές.

99 Άνω και Κάτω φράγματα Κάτω Φράγμα Παράδειγμα Υπολόγισε ένα ελάχιστο πλήθος Βασικών Πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του Προβλήματος Στο σύνολο S, που έχει n διαφορετικά στοιχεία, υπάρχουν n-1 που δεν είναι max. Ένα στοιχείο x του S, ΔΕΝ είναι max μόνο εάν είναι μικρότερο από ένα τουλάχιστο στοιχείο y του S (x<y). Στη σύγκριση (x<y), το στοιχείο x είναι ο ηττημένος, και το στοιχείο y είναι ο νικητής.

100 Άνω και Κάτω φράγματα Κάτω Φράγμα Παράδειγμα Υπολόγισε ένα ελάχιστο πλήθος Βασικών Πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του Προβλήματος Άρα, n-1 στοιχεία πρέπει να νικηθούν συγκρινόμενα. Προσοχή: με οποιοδήποτε Αλγόριθμο και αν επινοήσουμε!!! Κάθε σύγκριση έχει μόνο ένα ηττημένο (και φυσικά μόνο ένα νικητή ). Άρα, πρέπει να τουλάχιστο n-1 συγκρίσεις!!!

101 Άνω και Κάτω φράγματα Κάτω Φράγμα Παράδειγμα Υπολόγισε ένα ελάχιστο πλήθος Βασικών Πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του Προβλήματος Αυτό σημαίνει ότι, εάν υπάρχουν δύο ή περισσότεροι μη-ηττημένοι όταν οποιοσδήποτε Αλγόριθμος τερματίσει, τότε δεν θα μπορεί να εντοπίσει το max. Άρα, F(n) = n-1 είναι ένα κάτω-φράγμα για το πλήθος των απαιτούμενων συγκρίσεων!!!

102 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα

103 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα

104 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα

105 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα

106 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα

107 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πολυπλοκότητα Ενότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

108 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία των Sissa και Moore

109 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Sissa Σύμφωνα με την παράδοση όταν κάποτε ο ηγεμόνας της περιοχής που ζούσε ο βραχμάνος Σίσσα κάλεσε αυτόν για να επιδείξει το παιγνίδι που είχε εφεύρει, τόσο πολύ γοητεύτηκε απ αυτό που ρώτησε τον Σίσσα τι θα ήθελε ως ανταμοιβή. Τότε ο σοφός εκείνος ζήτησε

110 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Το αίτημα του Sissa Το σιτάρι που χρειάζονταν ανέρχονταν σε κόκκους, που αυτοί εκπεφρασμένοι σε βάρος, έχοντας ότι το βάρος ενός κόκκου ίσο με 0, 053 γραμμάρια, ισοδυναμούσαν στη τεράστια ποσότητα των τόνων!

111 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965 Ως «Νόμος του Μουρ» ονομάζεται η παρατήρηση πως ο αριθμός των τρανζίστορ ενός πυκνού ολοκληρωμένου κυκλώματος διπλασιάζεται κάθε δύο χρόνια.

112 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965 Διατηρεί την ισχύ του αξιοσημείωτα καλά επί 40 χρόνια!!!

113 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965

114 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965 Ο Νόμος του Moore δίνει αντικίνητρα για την ανάπτυξη πολυωνυμιών αλγορίθμων??? Εάν ένας αλγόριθμος είναι εκθετικός, γιατί να μην περιμένουμε μέχρι να τον κάνει εφικτό ο Νόμος του Moore!!! Συμβαίνει το αντίθετο!!! Ο Νόμος του Moore αποτελεί ένα τεράστιο κίνητρο για την ανάπτυξη αποδοτικών αλγορίθμων!!!!

115 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965 Ορίστε γιατί!!! Ένας αλγόριθμος Ο(2 n ) για το πρόβλημα SAT είχε στη διάθεσή του 1 ώρα, θα μπορούσε να λύσει το πρόβλημα με 25 μεταβλητέ το 1975, με 31 μεταβλητές το 1985, με 38 μεταβλητές το 1995, και με περίπου 45 μεταβλητές με τους σημερινού Η/Υ.

116 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία του Moore Νόμος του Moore 1965 Αρκετή Πρόοδος!!! Κάθε επιπλέων μεταβλητή απαιτεί ΕΝΑΜΙΣΗ χρόνο αναμονής!!!!!! Αντίθετα. Το μέγεθος των στιγμιότυπων που επιλύονται από έναν αλγόριθμο Ο(n) ή ένα αλγόριθμο Ο(n logn) ΕΚΑΤΟΝΤΑΠΛΑΣΙΑΖΕΤΕ κάθε δεκαετία!!!!!!

117 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ιστορία των Sissa και Moore Οι Εκθετικοί Αλγόριθμοι παρουσιάζουν πολυωνυμική αργή πρόοδο!!! ενώ οι Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι παρουσιάζουν εκθετικά γρήγορα πρόοδο!!!

118 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι Πολυωνυμικοί Εκθετικοί Ο(n k ), k 1 Πολυωνυμικό Χρόνο Εκτέλεσης Ο(c n ), c >1 Εκθετικό Χρόνο Εκτέλεσης

119 Ερωτήματα - Προβληματισμοί???? Πρόβλημα π

120 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ακολουθία Fibonacci εάν εάν εάν

121 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Ακολουθία Fibonacci Οι αριθμοί Fibonacci αυξάνουν σχεδόν το ίδιο γρήγορα με τις δυνάμεις του 2 Για παράδειγμα: αποτελείται ήδη από 21 ψηφία!!! Γενικά:

122 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+ Fib1(n-2)

123 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1) + Fib1(n-2) Ερωτήματα Μόνο 3!!! Είναι σωστός; Πόσο χρόνο επαιτεί (ως συνάρτηση του μεγέθους n της εισόδου); Μπορούμε να τον βελτιώσουμε;

124 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 1 Είναι σωστός; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Ακαδημαϊκή ερώτηση!!! καθώς ο αλγόριθμος Fib1 είναι ακριβώς ο ορισμός του Fibinacci για το F n. Καμία σοβαρή δική μας σκέψη!!!

125 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Έστω T(n) το πλήθος των υπολογιστικών βημάτων (βασικών πράξεων) που απαιτούνται για τον υπολογισμό της Fib1(n).

126 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2)

127 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Πολύ άσχημα νέα!!! Ο χρόνος εκτέλεσης του αλγόριθμου αυξάνει το ίδιο γρήγορα με τους αριθμούς Fibonacci!!! Εκθετικό ως προς το n

128 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Τι σημαίνει αυτό?... Πόσο κακός είναι ο Fib1? υπολογιστικά βήματα Earth Simulator της NEC με ταχύτητα 40 τρισεκατομμύρια βήματα/sec Η συνάρτηση Fib1(200) απαιτεί sec

129 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Η συνάρτηση Fib1(200) απαιτεί sec Εάν ξεκινήσει σήμερα τον υπολογισμό, αυτός θα συνεχιζόταν και μετά την μετατροπή του ήλιου μας σε κόκκινο γίγαντα!!!!

130 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Η ταχύτητα των Η/Υ διπλασιάζεται περίπου κάθε 18 μήνες (Νόμος του Moore) Ίσως τότε ο αλγόριθμος Fib1 να εκτελείται πολύ πιο γρήγορα στους Η/Υ του επόμενου έτους!!!! Ο χρόνος εκτέλεσης του Fib1(n) είναι ανάλογος του n (1.6) n Σήμερα το Fib1(100), το επόμενο έτος το Fib1(101), το επόμενο το Fib1(102), Ένα μόνο όρο κάθε έτος!!!!!

131 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Γιατί ο αλγόριθμός μας είναι τόσο αργός? Πρέπει να τον μελετήσουμε και να απαντήσουμε την ερώτηση!!!!????

132 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2)

133 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2)

134 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2)

135 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2)

136 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib1 3 Μπορούμε να τον βελτιώσουμε; Fib1(n) if n=0 then return 0 if n=1 then return 1 return Fib1(n-1)+Fib1(n-2) Ιδέα!!! Να αποθηκεύουμε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα!!!!

137 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib2 Fib2(n) if n=0 then return 0 Δημιούργησε έναν πίνακα f[0..n] Θέσε f[0]=0 και f[1]=1 for i=2 to n do f[i]=f[i-1]+f[i-2] return f[n] f

138 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib2 1 Είναι σωστός; Η ορθότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του F n Fib2(n) if n=0 then return 0 Δημιούργησε έναν πίνακα f[0..n] Θέσε f[0]=0 και f[1]=1 for i=2 to n do f[i]=f[i-1]+f[i-2] return f[n] 2 Πόσο χρόνο επαιτεί; Ο εσωτερικός βρόχος έχει 1 μόνο υπολογιστικό βήμα και εκτελείται n-1 φορές Τώρα με τον Fib2(n) μπορούμε να υπολογίσουμε όχι μόνο τον όρο αλλά και τον!!!

139 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Αλγόριθμος Fib2 3 Μπορούμε να τον βελτιώσουμε; ΝΑΙ!!! Fib2(n) if n=0 then return 0 Δημιούργησε έναν πίνακα f[0..n] Θέσε f[0]=0 και f[1]=1 for i=2 to n do f[i]=f[i-1]+f[i-2] return f[n] Ιδέα!!! Πολλαπλασιασμός Πινάκων!!!! Αλγόριθμος Fib3

140 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα με Πολυωνυμική Λύση Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι Ο(n k ), k 1 Πολυωνυμικό Χρόνο Εκτέλεσης

141 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα με Εκθετική Λύση Εκθετικοί Αλγόριθμοι Ο(c n ), c >1 Εκθετικό Χρόνο Εκτέλεσης

142 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑΣ ΑΛΓΌΡΙΘΜΟΣ

143 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Με δεδομένη μια πολυωνυμική εξίσωση πολλών μεταβλητών, όπως για παράδειγμα η εξίσωση υπάρχουν ακέραιες τιμές των x, y, z οι οποίες να την ικανοποιούν;

144 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Το πρώτο μη-επιλύσιμο πρόβλημα ανακαλύφθηκε το 1936 από τον Alan Turing, τότε φοιτητής των μαθηματικών στο Cambridge της Αγγλίας. Το Πρόβλημα του Τερματισμού Όταν το διατύπωσε ο Turing δεν υπήρχαν Η/Υ ή γλώσσες προγραμματισμού. Εμφανίστηκαν αργότερα ακριβώς επειδή είχε αυτή την λαμπρή και ευφυή ιδέα ο Turing.

145 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Πρόβλημα Τερματισμού Έστω ότι σας δίνεται ένα πρόγραμμα P στην αγαπημένη σας γλώσσα προγραμματισμού, μαζί με μια είσοδο X. Μπορείτε να απαντήσετε εάν το πρόγραμμα Π με την είσοδο X θα μπορέσει ποτέ να τερματίσει! Θα θέλαμε να είχαμε έναν Αλγόριθμο, ας τον ονομάσουμε terminates(p,x), ο οποίος μετά από υπολογισμούς θα μας έλεγε εάν το P με είσοδο Χ θα τερματίσει την εκτέλεσή του. Πως θα γράφατε το πρόγραμμα terminates(p,x)

146 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Πρόβλημα Τερματισμού Λοιπόν, δεν μπορείτε!... Τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει!!! Να και η απόδειξη: Υποθέστε ότι είχατε το πρόγραμμα terminates(p,x). Τότε θα μπορούσατε να το χρησιμοποιήσετε ως υποπρόγραμμα του ακόλουθου κακού προγράμματος: paradox(z: file) 1. if terminates(z,z) goto 1

147 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Πρόβλημα Τερματισμού paradox(z: file) 1. if terminates(z,z) goto 1 Παρατηρήστε τι κάνει το πρόγραμμα paradox: Τερματίζει, εάν και μόνο εάν το πρόγραμμα z δεν τερματίζει με είσοδο z. Και εάν εκτελούσαμε το πρόγραμμα paradox(paradox); Θα μπορούσε ποτέ να τερματίσει; Ή όχι; Καμία απάντηση δεν είναι δυνατή!!!!

148 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Προβλήματα Μη-επιλύσιμα Πρόβλημα Τερματισμού Καταλήξαμε σε αντίφαση υποθέτοντας ότι υπάρχει αλγόριθμος που μπορεί να πει εάν ένα πρόγραμμα τερματίζει. Επομένως αυτό το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί με κανένα αλγόριθμο!!! Όλα αυτά μας λένε κάτι σημαντικό για τον προγραμματισμό: ποτέ δεν θα αυτοματοποιηθεί, και πάντοτε θα βασίζεται στην πειθαρχεία, την επινοητικότητα, και την σοβαρή μελέτη!!!

149 Ερωτήματα - Προβληματισμοί Στόχος ο Σχεδιασμός Αποτελεσματικών Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδίασης Αναδρομή (recursion) Διαίρει και κυρίευε (divide and conquer) Δυναμικός προγραμματισμός (dynamic programming) Απληστία (greedy algorithms) Τυχαιοποίηση (randomization) Αντιστάθμιση (amortization)

150 Τέλος Ενότητας Ευχαριστώ για τη Συμμετοχή σας!!! Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός Προγραμματισμός

Δυναμικός Προγραμματισμός πρόβλημα μεγέθους Ν «Διαίρει και βασίλευε» : ανεξάρτητα υποπροβλήματα διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k πρόβλημα μεγέθους Ν Σε κάποιες περιπτώσεις όμως τα υποπροβλήματα δεν είναι ανεξάρτητα

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες

Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Μια Επισκόπηση της Ύλης & Μερικές Οδηγίες Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Γενικά Σχόλια (1) 2 Για το τελικό διαγώνισμα θα χρειαστείτε: Φοιτητική

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Εισαγωγή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Εισαγωγή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Robert Sedgewick, Αλγόριθμοι σε C, Μέρη 1-4 (Θεμελιώδεις Έννοιες, Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 1 Άγγελος Σιφαλέρας sifalera@uom.gr 4 η Διάλεξη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής, Παν. Μακεδονίας 2 Knapsack Problem, (1/9) Ένας επενδυτής διαθέτει ένα χρηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 15: Αναδρομή (Recursion) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η έννοια της αναδρομής Μη αναδρομικός / Αναδρομικός Ορισμός Συναρτήσεων Παραδείγματα Ανάδρομης Αφαίρεση της Αναδρομής

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες. Β. Ζησιμόπουλος

Ευχαριστίες. Β. Ζησιμόπουλος ÂÆÁÃÇÃ ÁÃ ÈÇ ÁËÌÊÁ ÃÇÈ Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀËÃ ÁÌÀÄ ÈÁÃÇÁÆÏÆÁÏÆ ÌÇÅ ËÂ ÏÊÀÌÁÃÀËÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀË Ð Ö ÑÓ ÈÓÐÙÔÐÓ Ø Ø º Ñ ÔÓÙÐÓ Ò ¾¼¼ Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τους συνεργάτες μου στο Τμήμα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Ε Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Ο Π Ε Ρ Ι Β Α Λ Λ Ο Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

O Χρόνος Εκτέλεσης. προγραμμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Τα θέματα αυτού του κεφαλαίου

O Χρόνος Εκτέλεσης. προγραμμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Τα θέματα αυτού του κεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 O Χρόνος Εκτέλεσης Προγραμμάτων Στο Κεφάλαιο 2 είδαμε δύο ριζικά διαφορετικούς αλγόριθμους ταξινόμησης: τον αλγόριθμο ταξινόμησης με εισαγωγή και τον αλγόριθμο ταξινόμησης με συγχώνευση. Υπάρχουν,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν είναι σωστή, ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Περίγραµµα Εισαγωγή Στοιχεία Πολυπλοκότητας Ηλίας Κ. Σάββας Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Email: savvas@teilar teilar.gr Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 (Α) Σημειώστε δίπλα σε κάθε πρόταση «Σ» ή «Λ» εφόσον είναι σωστή ή λανθασμένη αντίστοιχα. 1. Τα συντακτικά λάθη ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και

εισαγωγικές έννοιες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα ενθετική ταξινόμηση ανάλυση αλγορίθμων σχεδίαση αλγορίθμων 2 ενθετική ταξινόμηση 3 ενθετική ταξινόμηση Βασική αρχή: Επιλέγει ένα-έναταστοιχείατηςμηταξινομημένης ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάρτιος 2010 Προηγούμενη διάλεξη Μαθησιακές δυσκολίες Σε όλες

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å.

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å. 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1: Α. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ) 2007 ΘΕΜΑ 1ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Η πολυνηματική γλώσσα προγραμματισμού Cilk

Η πολυνηματική γλώσσα προγραμματισμού Cilk Η πολυνηματική γλώσσα προγραμματισμού Cilk Β Καρακάσης Ερευνητικά Θέματα Υλοποίησης Γλωσσών Προγραμματισμού Μεταπτυχιακό Μάθημα (688), ΣΗΜΜΥ Νοέμβριος 2009 Β Καρακάσης (CSLab, NTUA) ΣΗΜΜΥ, Μετ/κό 688 9/2009

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑ Ρ Μ Α ΜΑΤΙ Τ ΣΜΟΣ

ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑ Ρ Μ Α ΜΑΤΙ Τ ΣΜΟΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εξάμηνο Α' Φύλλο Ασκήσεων 3 ΔΟΜΕΣ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ Διδάσκοντες: Μάγια Σατρατζέμη, Αλέξανδρος Χατζηγεωργίου, Ηλίας Σακελλαρίου, Στέλιος Ξυνόγαλος

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ «ΕΝΑ» ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ «ΕΝΑ» ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ «ΕΝΑ» ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (2ος Κύκλος) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ηµεροµηνία: Κυριακή 22 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1: Α. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÁÈÇÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÁÈÇÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α1. 1. Λάθος 2. Λάθος 3. Σωστό 4. Λάθος 5. Σωστό Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (2ος Κύκλος) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ηµεροµηνία: Κυριακή 19 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

www.lazarinis.gr ΑΕΠΠ - ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ 2011 - ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

www.lazarinis.gr ΑΕΠΠ - ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ 2011 - ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Σελίδα 1 από 12 www.lazarinis.gr ΑΕΠΠ - ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΛΥΚΕΙΑ 2011 - ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Σε συνεργασία µε τις εκδόσεις ΕΛΛΗΝΟΕΚ ΟΤΙΚΗ κυκλοφορούν τα βοηθήµατα «Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον:

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. if (παράσταση) εντολή1 else εντολή2. Από εδώ και πέρα θα αναφέρεται ως K&R.

Πρόλογος. if (παράσταση) εντολή1 else εντολή2. Από εδώ και πέρα θα αναφέρεται ως K&R. Περιεχόμενα Πρόλογος v ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Προπαρασκευαστική εισαγωγή 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τύποι, τελεστές, και παραστάσεις 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η ροή του ελέγχου 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Συναρτήσεις και δομή του προγράμματος 69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας μαθητής της Γ γυμνασίου, για να περάσει το μάθημα της Πληροφορικής θα πρέπει να βγάλει γενικό μέσο όρο (ΓΜΟ) 9.5 Το πρόγραμμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ. Δρ. Ιωάννης Λυχναρόπουλος 2014-2015. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ. Δρ. Ιωάννης Λυχναρόπουλος 2014-2015. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Δρ. Ιωάννης Λυχναρόπουλος 2014-2015 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τι είναι τα υποπρογράμματα Αυτόνομες μονάδες κώδικα Γραμμένα από τον χρήστη Η δομή

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - 02/05/2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω ο παρακάτω αλγόριθμος ταξινόμησης: Για κ από.. μέχρι 19 Για λ από 19 μέχρι κ με_βήμα -1

Διαβάστε περισσότερα