u = da / dt = A ω * cos ω t

Transcript

1 A] ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ TOY ΗΧΟΥ Α1. H Ακουστική Φυσική Η Ακουστική ως τµήµα της Φυσικής και σε συνδυασµό µε άλλους κλάδους της Τεχνικής Μηχανικής µελετά την ηχοδιάδοση, τις ηχητικές ταλαντώσεις, τα φαινόµενα και τα αποτελέσµατα τους. Τα ακουστικά φαινόµενα δεν περιορίζονται µόνο σε αέρια υλικά αλλά στο σύνολο της Kυµατικής Mηχανικής. Η Ακουστική ασχολείται µε εκείνο το τµήµα της κυµατικής που συνδέεται µε την ακοή και µε εκείνο το φάσµα των ταλαντώσεων που διεγείρει την ακουστική αίσθηση. Στην Ακουστική Επιστήµη καταλήγουν ή διαπλέκονται η Μουσική, η Ιατρική, η Ψυχολογία, η Μηχανική των Στερεών και των Ρευστών, η Φυσική των Κατασκευών, η Χηµεία, η Ηλεκτρονική και η Αρχιτεκτονική. Ο ήχος είναι αποτέλεσµα της ελαστικής µετακίνησης, ταλάντωσης, δόνησης των στοιχείων ενός ρευστού όπου διαδίδεται µια κύµανση. Ο ήχος είναι ταλάντωση, απλή ή περιοδικά σύνθετη, αποτελούµενη απά συνιστώσες θεωρητικά ηµιτονοειδείς, οι οποίες χαρακτηρίζονται από 3 παραµέτρους : -το εύρος ταλάντωσης Α, -την ταχύτητα κίνησης u = da / dt, -τη µεταβολή της πίεσης p σε σχέση µε την ατµοσφαιρική πίεση P o Τα ακουστικά φαινόµενα γίνονται αντιληπτά σε απειροελάχιστα µεγέθη των παραπάνω παραµέτρων, για την ακρίβεια το ανθρώπινο αισθητήριο διεγείρεται και διακρίνει τις ελάχιστες µεταβολές των παραπάνω φυσικών µεγεθών : -ένα σύνηθες ακουστό εύρος ταλάντωσης στον αέρα είναι 0,05mm, -το κατώφλι του πόνου αντιστοιχεί σε µεταβολές της ατµοσφαιρικής πίεσης κατά 0,01 Watt/cm 2. Όπως το σύνολο των Φυσικών Επιστηµών, η Ακουστική µελετά τη γενική µορφή ενός φαινοµένου σε συνάρτηση µε τις ιδιοµορφίες της πηγής (αρχικές συνθήκες) και τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος (χώρος, χρονική διάρκεια, απλοποιητικές παραδοχές). Οι βασικές θεωρίες της ακουστικής διακρίνουν την ηχοδιάδοση σε τέλεια ή µη τέλεια ρευστά, ρευστά σε ηρεµία ή σε κίνηση, σε

2 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 2. οµογενή ή µη οµογενή υλικά, επιλύνοντας αντίστοιχα την γενική συνάρτηση της κυµατοµορφής στα όρια ενός συγκεκριµένου προβλήµατος Βασικά ηχητικά φαινόµενα και τοµείς της Ακουστικής είναι η διάθλαση (αλλαγή ρευστού), η περίθλαση (ακουστική σκιά), η διαύγεια (ηχο-περατότητα), η αντήχηση (ακουστική ποιότητα ενός χώρου), η µη γραµµική ακουστική, η αεροακουστική κλπ. Στη Φυσική των Κατασκευών, η Ακουστική διατηρεί ένα ευρύ πεδίο ενδιαφέροντος και εφαρµογών όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Κεφάλαια Εφαρµογές Φαινόµενα 1) ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ακουστικός σχεδιασµός περιβαλλοντικές µελέτες 2) ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ηχοµόνωση εργασιακός θόρυβος αντικραδασµική προστασία κατασκευών σχεδιασµός συνηχητών 3) ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ηχοφράγµατα υπαίθρια ηχοπροστασία ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΗΧΟΑΝΑΚΛΑΣΗ ΗΧΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΗΧΟΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΗΧΟΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ συγκοινωνιακά έργα 4) ΑΝΤΗΧΗΣΗ ακουστική ποιότητα - κριτήρια αξιολόγησης ΗΧΟ ΙΑΧΥΣΗ ΗΧΟΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ αιθουσών

3 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 3. Α.2. Βασικές έννοιες Η µελέτη των ακουστικών φαινοµένων προϋποθέτει δύο αρχικές απλοποιήσεις : -την ελαστικότητα των κυµάνσεων, -το απειροστό µέγεθος των ταλαντώσεων. Οι ακουστικές κυµάνσεις και ταλαντώσεις έχουν περιοδικό χαρακτήρα, δηλαδή όλα τα βασικά µεγέθη τους (µετατόπιση, ταχύτητα, επιτάχυνση) επαναλαµβάνονται σε τακτά διαστήµατα διάρκειας Τ, την λεγόµενη περίοδο του φαινοµένου (ανά sec). Συχνότητα (f ή ν) είναι ο αριθµός των κύκλων της περιόδου στη µονάδα του χρόνου (f = 1 / T, σε κανονικοποιηµένη κλίµακα hertz, Hz). Στην πραγµατικότητα, κατά την ηχοδιάδοση οι ταλαντώσεις δεν επαναλαµβάνονται αναλλοίωτες, αλλά υφίστανται απόσβεση (αµελητέα σε πρώτη προσέγγιση) που οδηγεί σε µείωση του εύρους ταλάντωσης εξαιτίας του ιξώδους και των τριβών στο µέσο διάδοσης. Η Ακουστική αποτελεί κεφάλαιο της Μηχανικής των Συνεχών Μέσων : η ηχοδιάδοση στην ολότητα της απαιτεί πηγή, δέκτη και µέσο διάδοσης. Η µετάδοση της ηχητικής δόνησης εξασφαλίζεται µέσω ελαστικών δυνάµεων, µε χρονική καθυστέρηση (το διάστηµα της εναλλαγής των ρόλων δέκτη και πηγής για κάθε µόριο). Τα ακουστικά κύµατα είναι διαµήκη ή εγκάρσια. Σε κύµατα αρµονικά, επίπεδα και διαµήκη, η µετατόπιση και η πίεση βρίσκονται σε απόκλιση φάσης Στα στερεά υλικά εντοπίζονται κύµατα διαµήκη και εγκάρσια. Στα υγρά κυριαρχούν τα διαµήκη κύµατα. Στα αέρια, εκτός της ζώνης των ορίων, τα εγκάρσια κύµατα είναι αµελητέα. Ουσιαστικά, η ηχοδιάδοση συντελείται σε συνθήκες αδιαβατικής κατάστασης καθώς η ταχύτητα της θερµότητας στον αέρα (0,5m/s) είναι αµελητέα σε σχέση µε την ταχύτητα της ηχοδιάδοσης (340m/s). Στην απλουστευτική περίπτωση των απλών ήχων (καθαροί τόνοι), η ηχητική ταλάντωση ενός µέσου διάδοσης είναι ηµιτονοειδούς µορφής, περί την θέση ισορροπίας των στοιχείων του µέσου : α = Α * sin ω t u = da / dt = A ω * cos ω t

4 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 4. γ = du / dt = -ω 2 * a όπου συµβολίζεται µε α η µετατόπιση, u η ταχύτητα ταλάντωσης γ η επιτάχυνση ταλάντωσης t ο χρόνος Α το εύρος ταλάντωσης, ω ο παλµός ταλάντωσης ω = 2π * f (σε κύκλους /sec) Είναι φανερό πως τα τρία παραπάνω βασικά µεγέθη µιας ταλάντωσης ακολουθούν παράλληλες τροχιές, µε διαφορά φάσης π/2. Μήκος κύµατος λ είναι η ελάχιστη χωρική απόσταση ανάµεσα σε δύο σηµεία του µέσου, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο καθεστώς ταλάντωσης. ιαστηµική ταχύτητα c (velocity, celerite) λέγεται η ταχύτητα της ηχοδιάδοσης, όπου ισχύει : c = λ / t λ = c / f λ = c * T δηλαδή το γινόµενο µήκους κύµατος - συχνότητας είναι µια σταθερά του µέσου της ηχοδιάδοσης. Προφανώς δεν υφίσταται ηχοδιάδοση στο κενό, όπου απουσιάζει κάθε συστατικό στοιχείο ικανό να µεταδώσει την ηχητική κύµανση. Στα στερεά, για τα διαµήκη κύµατα ισχύει ο βασικός τύπος : c = (E / ρ) 1/2 όπου συµβολίζεται µε E το µοντέλο του Young ρ η ειδική µάζα σε Kg/m3 Εξ αυτών προκύπτει ότι c = 2500 m/s στο µόλυβδο, c = 6000 m/s στο ατσάλι, c = 3500 m/s στα οστά και c = 1500 m/s στους ιστούς. Στα ρευστά, για τα διαµήκη κύµατα, η ηχοδιάδοση εξελίσσεται µε ανταλλαγή ενέργειας (θερµότητας) και όγκου σε συνθήκες σταθερής θερµοκρασίας : c = (ρ * 1/ χ t ) 1/2 όπου συµβολίζεται χ t ο συντελεστής ισόθερµης συµπίεσης.

5 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 5. Στα αέρια, για διαµήκη κύµατα, η ηχοδιάδοση (συνήθως) εξελίσσεται σε αδιαβατική κατάσταση, δηλαδή µε τοπικές µεταβολές θερµοκρασίας κατά την ταλάντωση : c = (ρ * 1/ χ s ) 1/2 όπου συµβολίζεται χ s ο συντελεστής αδιαβατικής συµπίεσης. Σύµφωνα µε τους νόµους της θερµοδυναµικής των Mariotte - Gay Lussac, εξ αυτών προκύπτει ότι c = m/s στον αέρα και c = m/s στο νερό. Τέλος ειδικά στα υγρά, ισχύει : χ t = χ s

6 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 6. Β] ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ Β.1. H ηχητική ένταση Ο ήχος ως µηχανική δόνηση είναι µια ελαστική µετατόπιση των στοιχείων ενός ρευστού εντός του οποίου διαδίδεται. Ο ήχος αποτελεί µια απλή ή περιοδικά σύνθετη ταλάντωση, που θεωρητικά αποσυντίθεται σε διάφορες ηµιτονοειδείς συνιστώσες, οι οποίες χαρακτηρίζονται από 3 παραµέτρους : -το εύρος ταλάντωσης -την ταχύτητα ταλάντωσης -τη σχετική µεταβολή της πίεσης ως προς την ατµοσφαιρική πίεση. Στην Ακουστική, η έννοια της έντασης έχει διπλή σηµασία : -για τη φυσική, η ένταση ενός κυµατικού φαινοµένου είναι το έργο που δαπανάται ή παράγεται στη µονάδα του χρόνου (ή αντίστοιχα, ο ρυθµός κατανοµής της ενέργειας σε ολόκληρη την έκταση ενός χώρου), -για τη φυσιολογία, η ένταση ενός ηχητικού φαινοµένου είναι η σχετική µεταβολή της πίεσης του περιβάλλοντος (σε δεδοµένο χώρο και χρόνο). Για τους ακουστούς ήχους, συµβατικά, η ηχητική ένταση που αναλογεί σε κατανο- µή ενέργειας : I 0 = Watt/cm 2 I max = 10-2 Watt/cm 2 αντιστοιχίζεται µε το κατώφλι της ακουστότητας αντιστοιχίζεται µε το κατώφλι του πόνου Για έναν ήχο 1000Hz, σε θερµοκρασία 20 0 (µε ταχύτητα θερµότητας 0,5m/s, σε συνθήκες αδιαβατικής κατάστασης), τα παραπάνω συµβατικά όρια αντιστοιχίζονται µε µεταβολές της ατµοσφαιρικής πίεσης : Ρ 0 = Pascal, Ρ max = 20 Pascal, το κατώφλι της ακουστότητας το κατώφλι του πόνου Σύµφωνα µε το νόµο των Weber - Fechner, η ακουστική αίσθηση S µεταβάλλεται λογαριθµικά ως προς την ηχητική ένταση I της διέγερσης. Με άλλα λόγια (επειδή

7 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 7. το δέκατο ενός δυνατού ήχου είναι εξίσου δυνατός ήχος), η αύξηση της φυσικής έντασης και τα 100, 1000, φορές κλπ, οδηγεί σε αύξηση της φυσιολογικής έντασης κατά 2, 3, 4 φορές κλπ. Εποµένως : S = κ * log ( I / I 0 ) όπου I 0 η οριακή, στοιχειώδης ένταση ( πχ το κατώφλι της ακουστότητας). Η παραπάνω σχέση είναι παραγωγίσιµη, δηλαδή επιτρέπει τη διάκριση κάθε µεταβολής στην υποκειµενική αίσθηση της ηχητικής έντασης : S = Κ * ( I / I ) Β.2. Μονάδες και κανονικοποιηµένες καµπύλες διόρθωσης Ο σχετικός χαρακτήρας του ορισµού της έντασης οδήγησε στη διαµόρφωση ενός συστήµατος λογαριθµικών µονάδων, που παρακολουθεί (συνελίσσεται καλά µε) την ακουστική αίσθηση. ηλαδή ένα σύστηµα µονάδα προσαρµοσµένο στην ανθρώπινη κλίµακα, όπου η άθροιση µονάδων αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό δεκάδων. Προς τιµήν του Gr.Bell, η λογαριθµική µονάδα µέτρησης των ηχητικών φαινο- µένων ονοµάστηκε bell. Για λόγους κανονικοποίησης, κρίθηκε πρόσφορη η αξιολόγηση των µεγεθών σε δέκατα αυτής της µετρικής µονάδας, δηλαδή σε decibell (ή συντοµογραφικά db). Σε πρώτη προσέγγιση, η µεταβολή της έντασης δείχνει να είναι ανεξάρτητη της συχνότητας και της στάθµης έντασης (το αυτί µας, ανεξαρτήτως επιπέδου έντασης, διακρίνει τη ίδια, σχετική διαφορά έντασης). Ο Fletcher προσδιόρισε εµπειρικά ότι για την ακριβή προσέγγιση των µεταβολών της ηχητικής έντασης (συχνοτικά και ποσοτικά) χρειάζονται ορισµένες διορθώσεις (αντιστοιχίσεις) σύµφωνα µε πρότυπες καµπύλες διόρθωσης. Ανάλογα µε το προς διερεύνηση ηχητικό φαινόµενο, η ακρίβεια της µέτρησης καθορίζει την προσφορότερη καµπύλη διόρθωσης [πχ db(a), db(c), db(w) κλπ]. Ηχοµετρήσεις που σχετίζονται µε την προσοµοίωση της ανθρώπινης φωνής (η διάκριση, η ανάδειξη, η καταληπτότητα κλπ) διεξάγονται µε µηχανήµατα ρυθ-

8 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 8. µισµένα στην καµπύλη C. Ακουστικές αξιολογήσεις που σχετίζονται µε την προσοµοίωση της ανθρώπινης ακοής πραγµατοποιούνται σύµφωνα µε την καµπύλη Α (οι µετρήσεις του ηλεκτρονικού θορύβου των ηχητικών µηχανηµάτων στην καµπύλη W, κλπ) Η ένδειξη db(a), db(ε) κλπ προσδιορίζει τη σφαιρική, ή προσεγγιστικά µέση τιµή ενός ηχητικού µεγέθους σύµφωνα µε την αντίστοιχη καµπύλη. Οι επιµέρους συχνοτικές τιµές του ίδιου µεγέθους αξιολογούνται µονοσήµαντα σε db. Αυτό που κάθε φορά αλλάζει (σύµφωνα µε την καµπύλη µέτρησης) είναι τα συχνοτικά όρια, η καµπύλη διόρθωσης και η κεντροβαρική συνιστώσα των επιµέρους συχνοτήτων, για τον προσδιορισµό της αντίστοιχης, σχετικής, σφαιρικής τιµής. Β.3. Ηχητικές στάθµες αναφοράς και βασικές σχέσεις υο ήχοι, ίδιας συχνότητας, µε εντάσεις I 1 και I 2 (µε αντίστοιχες σχετικές πιέσεις Ρ 1 και Ρ 2 και αντίστοιχες αποστάσεις d 1 και d 2 απο την πηγή) διαφέρουν κατά Ν δέκατα του bell, ή Ν decibell (Ν db) όταν : Ν db = 10 * log (I 1 / I 2 ) Ν db = 20 * log (Ρ 1 / Ρ 2 ) ή ή Ν db = 20 * log (d 2 / d 1 ) Ο διπλασιασµός της λογαριθµικής αναλογίας των πιέσεων οφείλεται στη σχέση : I = p 2 / ρc η οποία προσδιορίζει την ηχητική ένταση σε περίπτωση επίπεδης ή σφαιρικής διάδοσης της κύµανσης. Ο διπλασιασµός της λογαριθµητικής αναλογίας των αποστάσεων οφείλεται στη σχέση : Ι = W/ E = W / 4πd 2 η οποία προσδιορίζει την κατανοµή της ηχητικής ενέργειας σε σφαιρικό κύµα και συναρτά τη µεταβολή της έντασης αντιστρόφως ανάλογα της σχετικής απόστασης από την πηγή.

9 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 9. Από τη συνάρτηση της ηχητικής έντασης µε τη σχετική απόσταση, προκύπτει εύλογα ότι, η µεταβολή κατά 1 db αντιστοιχεί σε : -µικρή διαφορά έντασης σε µικρή απόσταση (για µεγάλες στάθµες έντασης), -µικρή διαφορά έντασης σε µεγάλη απόσταση (για µικρές στάθµες έντασης). Όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί, ανεξαρτήτως µεγέθους έντασης, µε στάθµη αναφοράς την ένταση σε απόσταση 1m από την πηγή : -ο διπλασιασµός της έντασης (από δύο ταυτόσηµες ή παράλληλες πηγές) οδηγεί σε κέρδος 3dB, -ο διπλασιασµός της απόστασης απο την πηγή καταλήγει σε απώλεια 6dB. Απόσταση Ελάττωση Αποµείωση Παρατηρήσεις σε m σε W/m 2 σε db ,4 2 3 * διπλασιασµός της ελάττωσης ηχοµείωση 3dB * διπλασιασµός της απόστασης ηχοµείωση 6dB ,5 Εξ ορισµού, η ηχητική ένταση είναι σχέση ενός επιπέδου (στάθµης) ως προς ένα άλλο επίπεδο (στάθµη), το λεγόµενο επίπεδο αναφοράς (στάθµη αναφοράς). Η στάθµη αναφοράς 0dB προσδιορίζεται για συνθήκες έντασης που αντιστοιχούν στο κατώφλι της ακουστότητας : I 0 = Watt/cm 2 ή Ρ 0 = Pascal, Η τιµή µονάδας 1 db, αντιστοιχεί -σε σχετικές µεταβολές έντασης κατά 26% περίπου -σε σχετικές µεταβολές πίεσης κατά 12% περίπου.

10 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 10. Β.4. Φαινόµενα ηχοανάκλασης Κατά την πρόσπτωση του ήχου σε ένα λείο, ανακλαστικό τοίχο εµφανίζεται το φαινόµενο της ανάκλασης : η ηχοδιάδοση φαίνεται να προέρχεται από µια συµµετρική ηχητική πηγή, είδωλο της αυθεντικής πηγής ως προς τον τοίχο. Ο ανακλώ- µενος, ως προς τον προσπίπτοντα ήχο παρουσιάζει : -χρονική καθυστέρηση, -µεταβολή έντασης, -αλλαγή φασµατικής σύνθεσης. Σύµφωνα µε την οπτική (τη λεγόµενη γεωµετρική χάραξη), η ηχοανάκλαση ακολουθεί συγκεκριµένη διαδροµή (η γωνία ανάκλασης ίση της γωνίας πρόσπτωσης). Σύµφωνα µε την κυµατική (την ηχοδιάχυση), η ηχοανάκλαση διαχέεται προς όλες τις κατευθύνσεις σε συνάρτηση µε το ηχητικό φάσµα, τη γωνία πρόσπτωσης, τις διαστάσεις και την ανακλαστική ικανότητα του τοίχου. Με µια σειρά απλοποιητικών παραδοχών, στις τεχνικές εφαρµογές, η ηχοανάκλαση χαρακτηρίζεται από την κεντρική της δέσµη (κατά τους νόµους της γεωµετρικής οπτικής) και µια ποικιλία άλλων κατευθύνσεων (τις τοπικές συνθήκες ηχοδιάχυσης). Ανάλογα µε την διακύµανση των παραπάνω, επιµέρους παραµέτρων, το φαινόµενο της ηχοανάκλασης µπορεί να βελτιώσει ή να επιδεινώσει την ακουστική επικοινωνία. Β.5 Ακουστικά φαινόµενα εξαιτίας χρονικών καθυστερήσεων Σύµφωνα µε τα ψυχοακουστικά πειράµατα των Haas & Meyer, η επίδραση των ηχοανακλάσεων στην ακουστική επικοινωνία καθορίζεται σύµφωνα µε ορισµένες κρίσιµες χρονικές διαβαθµίσεις, σε σχέση µε τον άµεσο ήχο. ύο όµοιοι ήχοι, από πηγές που βρίσκονται σε απόσταση 3m και ένας ακροατής που βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο της εστιακής απόστασης, σε ακτίνα τουλάχιστον 3m, ανάλογα µε την χρονική καθυστέρηση της εκποµπής, γίνονται αντιληπτοί ως εξής :

11 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 11. -για χρονικές διαφορές < 5msec (αντίστοιχο διάστηµα µέχρι 1,7m για ταχύτητα ηχοδιάδοσης 340m/s), διπλασιασµός της ηχητικής έντασης, προέλευση από την κατεύθυνση της µεσοκαθέτου των πηγών, -για χρονικές διαφορές 5 ως 35msec (αντίστοιχο διάστηµα από 1,7 ως 12m), διπλασιασµός της ηχητικής έντασης, προέλευση από την κατεύθυνση της πηγής που εκπέµπει πρώτη, -για χρονικές διαφορές 35 ως 50msec (αντίστοιχο διάστηµα από 12 ως 17m), επιµήκυνση της ακουστικής εντύπωσης, σχετικός διαχωρισµός των πηγών, διάκριση της πρώτης εκποµπής σαν ισχυρότερης, -για χρονικές διαφορές > 50msec (αντίστοιχο διάστηµα πάνω από 17 m), πλήρης διαχωρισµός των πηγών, διάκριση ανεξάρτητων εκποµπών. Επακόλουθο των παραπάνω χρονικών διακρίσεων, στην περίπτωση δύο όµοιων ήχων από µια σταθερή απόσταση (οµιλητή - ακροατή), όσον αφορά τη θέση των χρήσιµων ανακλαστικών επιφανειών γύρω απο τον οµιλητή : -η ένταση του κατευθείαν ήχου διπλασιάζεται από ηχοανακλάσεις πρόσθετης ηχοδιαδροµής µέχρι 12m, -η µέγιστη αποδεκτή, απόσταση των ανακλαστήρων από τον οµιλητή είναι 6m (συνυπολογίζοντας την ενδιάµεση απόσταση : 12 / 2 = 6). Λαµβάνοντας υπόψη τη φυσιολογική ηχοµείωση της έντασης, σε συνάρτηση µε την αύξηση της απόστασης (σύµφωνα µε τα δεδο- µένα του πίνακα στο 2.3), η αποτελεσµατικότητα της ακουστικής επικοινωνίας προσδιορίζει τα λειτουργικά όρια του χώρου : -ανακλαστήρας σε απόσταση 7,5m από στον οµιλητή (πρόσθετη ηχοδιαδροµή 15m), Α] ακροατής σε απόσταση 3m από τον οµιλητή, -αποµείωση του κατευθείαν ήχου I 0 = -9,5dB, -αποµείωση του ανακλώµενου ήχου I α = -23,5dB -απόκλιση των ηχητικών εντάσεων κατά 14dB, δηλαδή αµελητέα επίδραση της ηχοανάκλασης, Β] ακροατής σε απόσταση 30m από τον οµιλητή, -αποµείωση του κατευθείαν ήχου I 0 = -29,5dB, -αποµείωση του ανακλώµενου ήχου I α = -33dB

12 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 12. -απόκλιση των ηχητικών εντάσεων 3,5dB, δηλαδή έντονη επίδραση της ηχοανάκλασης. Στη γενική µορφή του φαινοµένου της ηχοανάκλασης, ο ανακλώµενος ήχος λειτουργεί ως παρασιτικό φίλτρο του κατευθείαν ήχου, δηλαδή επιδρά στην ακουστική επικοινωνία σαν µάσκα, προκαλώντας µια σύνθετη ακουστική ενόχληση (ανάλογα µε τη σχετική διαφορά των ηχοδιαδροµών και των εντάσεων). Οι διαφορικές µεταβολές των µεταβλητών της ακουστικής επικοινωνίας προσδιορίζουν τα ακουστικά όρια του χώρου : -σε αποδεκτό επίπεδο όχλησης (µάσκας) µέχρι 10%, Α] διαφορές ηχοστάθµης µέχρι 3dB, -αντιστοιχούν σε χρονικές καθυστερήσεις µέχρι 60msec (δηλαδή σχετική απόσταση οµιλητή ακροατή περίπου 20,5m). Β] διαφορές ηχοστάθµης µέχρι 6 db, -προσδιορίζουν χρονικές καθυστερήσεις µέχρι 75msec (δηλαδή η ανεκτή, σχετική απόσταση οµιλητή - ακροατή, επεκτείνεται στα 25,5m). Σε πρώτη προσέγγιση τα παραπάνω µεγέθη θα µπορούσαν να καθορίσουν το ανάπτυγµα ενός θεατρικού χώρου. Β.6. Σύνθεση ηχητικών εντάσεων Στην προηγούµενη ανάλυση, η µελέτη των χρονικής καθυστέρησης βασίστηκε στην παραδοχή δύο όµοιων ήχων, ίδιας ηχητικής έντασης. Στην πραγµατικότητα, οι ηχοανακλάσεις και ο κατευθείαν ήχος εµφανίζουν πάντοτε διαφορές έντασης, λόγω αποσβέσεων στην ατµόσφαιρα ή στα τοιχώµατα (ηχοαπορρόφηση). Σύµφωνα µε τα πειράµατα του Canac, η σύνθεση δύο όµοιων ήχων είτε λευκού θορύβου (δηλαδή σηµάτων σταθερής συχνοτικής σύνθεσης σε µεγάλο φάσµα) είτε ανθρώπινης φωνής (δηλαδή σηµάτων σταθερής συχνοτικής σύνθεσης σε περιορισµένο, κρίσιµο ακουστικό φάσµα), εµφανίζει ιδιόµορφα αποτελέσµατα : -στην περίπτωση µεγάλης διακύµανσης των επιµέρους τιµών ( > 7dB), το αποτέλεσµα της άθροισης των ηχητικών εντάσεων είναι ανεξάρτητο της ύπαρξης της µικρότερης συνιστώσας (+0dB),

13 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 13. -στην περίπτωση µικρής διακύµανσης των επιµέρους τιµών ( 6dB), η άθροιση των ηχητικών εντάσεων είναι γραµµική συνάρτηση της απόκλισης των συνιστωσών (+0,5 ως 3dB). Αναλυτικά, το αποτέλεσµα της σύνθεσης δύο ήχων, µε την προϋπόθεση της συχνοτικής οµοιότητας, ανεξαρτήτως του µεγέθους των εντάσεων είναι : -για αποκλίσεις κάτω από 1dB, διπλασιασµός του ήχου της µεγαλύτερης έντασης (+3dB), -για αποκλίσεις 1 ως 2dB, αύξηση της ηχητικής έντασης του ισχυρότερου κατά 2,5dB -για αποκλίσεις 2 ως 3dB, αύξηση της ηχητικής έντασης του ισχυρότερου κατά 2dB, -για αποκλίσεις 3 ως 4dB, αύξηση της ηχητικής έντασης του ισχυρότερου κατά 1,5dB -για αποκλίσεις 4 ως 5dB, αύξηση της ηχητικής έντασης του ισχυρότερου κατά 1dB -για αποκλίσεις 5 ως 6dB, αύξηση της ηχητικής έντασης του ισχυρότερου κατά 0,5dB -για αποκλίσεις πάνω από 6dB, διάκριση του ήχου της µεγαλύτερης ηχητικής έντασης.

14 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 14. Γ] ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για λόγους απλοποίησης, στην προηγούµενη διαπραγµάτευση υποθέσαµε ότι, η διάδοση της κύµανσης σε ένα ελαστικό µέσο (η ηχο-διάδοση) εξελίσσεται χωρίς αποσβέσεις, δηλαδή πως η ροή ενέργειας διατηρείται σταθερή, το εύρος διακύ- µανσης και η µεταβολή της σχετικής πίεσης παραµένουν ίδια σε κάθε σηµείο της διαδροµής. Στην πραγµατικότητα, κατά την ηχοδιάδοση, ένα τµήµα της δονητικής ενέργειας µετατρέπεται σε θερµότητα, δηλαδή το ηχητικό κύµα σταδιακά αποσβένεται, καθώς το εύρος και η µεταβολή της σχετικής πίεσης φθίνουν όσο αυξάνει η απόσταση από την πηγή. Στα ρευστά εντοπίζουµε δύο βασικές αιτίες απόσβεσης : το ιξώδες και τη θερ- µική αγωγιµότητα του µέσου της ηχοδιάδοσης. Το ιξώδες οδηγεί σε εκθετική αποµείωση του εύρους ταλάντωσης : α = A e -tx sin 2π (t/τ - x/λ) Aν θέσουµε ως µ το συντελεστή απόσβεσης ενός ελαστικού µέσου είναι : µ = 8π 2 η ƒ 2 / 3ρc 3 όπου συµβολίζεται µε -η το στατικό ιξώδες, -ƒ η συχνότητα, -ρ η ειδική µάζα και -c η ταχύτητα ηχοδιάδοσης Ο λόγος η/ρ ονοµάζεται δυναµικό ιξώδες. Από τον ορισµό του συνάγεται ότι, η αύξηση του συντελεστή απόσβεσης είναι ανάλογη του τετραγώνου της συχνότητας, δηλαδή κατά την εξέλιξη της ηχοδιάδοσης αποσβένονται (περιορίζονται) κυρίως οι µέσες & υψηλές συχνότητες του ηχητικού κύµατος. Εξαιτίας της θερµικής αγωγιµότητας, ο συντελεστής ιξώδους µ τροποποιείται καθώς, σε γενικές γραµµές, κατά τη διαδικασία της αδιαβατικής συµπίεσης η απόσβεση αυξάνει λόγω θερµικής

15 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 15. εξαέρωσης. Η αναπλήρωση της ενέργειας, λόγω πτώσης της θερµότητας, κατά το επόµενο στάδιο της αδιαβατικής εκτόνωσης δεν είναι εφικτή. Εποµένως : µ = 4/ ρc [ 2η/3c 2 + θτα 2 /2 c 2 ] όπου συµβολίζεται -θ η θερµική αγωγιµότητα του µέσου, -Τ η απόλυτη θερµοκρασία του µέσου, -α ο συντελεστής ειδικής διόγκωσης του µέσου. Στα στερεά ισχύουν τα ίδια φαινόµενα, ωστόσο πρωτεύων παράγων της απόσβεσης είναι η κρυσταλλική δοµή του µέσου. Γ.1. Σύνθεση ακουστικών δονήσεων (ηµιτονοειδείς ταλαντώσεις) Η σύνθεση των ταλαντώσεων επιτρέπει τη µελέτη ενός εκάστου φαινοµένου (συνιστώσας) ως µοναδικού, σύµφωνα µε το νόµο υπέρθεσης των µικρών κυµάνσεων (κανόνας Fresnel). Μια σύνθετη, περιοδική δόνηση, συχνότητας ƒ, θεωρείται η σύνθεση ορισµένου αριθµού ηµιτονοειδών δονήσεων µε συχνότητες ƒ, 2ƒ, 3ƒ κλπ, σύµφωνα µε το θεώρηµα Fourier. Κατά τον τρόπο αυτό, µια περιοδική κύµανση µε εύρος διακύ- µανσης α, δύναται να θεωρηθεί ως άθροισµα συνιστωσών : α = Α + Α 1 sin ωt + Α 2 sin 2ωt Β 1 cos ωt + B 2 cos 2ωt +... O ακριβής προσδιορισµός των Α i & B I µπορεί να γίνει εργαστηριακά µε αρµονικό αναλυτή φάσµατος, µέσω της καµπύλης α = F (t) : Α η = 2/Τ 0 Τ α sin (ηωt) dt και Β η = 2/Τ 0 Τ α cos (ηωt) dt Έστω δύο ηµιτονοειδείς δονήσεις, ίδιας κατεύθυνσης και ίδιας συχνότητας : α 1 = Α 1 sin ωt και α 2 = Α 2 sin (ωt + φ), όπου την χρονική στιγµή t o υποθέτουµε πως α 1 = 0 και φ η διαφορά φάσης της κύµανσης 2 ως προς την 1. Από τη σύνθεση διανυσµάτων κατά Fresnel ( ã = ã 1 + ã 2 ) συνάγεται ευθέως ότι : Α cos ψ = Α 1 + Α 2 cos φ και Α sin ψ = Α 2 sin φ

16 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 16. Το άθροισµα των δύο δονήσεων είναι κύµανση ηµιτονοειδής, της ίδιας συχνότητας, µε γενική µορφή : α = Α sin (ωt + ψ) Η εξίσωση του αθροίσµατος λαµβάνει τη µορφή : Α 1 sin ωt + Α 2 sin (ωt + φ) = Α sin (ωt + ψ) Α 1 sin ωt + Α 2 sin ωt cos φ + Α 2 sin φ cos ωt = Α sinωt cos ψ + Α sin ψ cos ωt Σχηµατίζοντας σύστηµα δύο εξισώσεων ως προς sinωt και ως προς cosωt προκύπτει : Α1 + Α2 cos φ = Α cos ψ και Α2 sin φ = Α sin ψ Από την απλή τριγωνοµετρική σύνθεση των γραφικών διανυσµάτων συνάγεται : Α 2 = Α Α Α 1 Α 2 cosφ και tg ψ = Α 2 sinφ / (Α 1 + Α 2 cosφ) Στις χαρακτηριστικές περιπτώσεις όπου : -φ = 0, οι δονήσεις ενισχύονται καθώς, κάθε στιγµή, οι κυµάνσεις ως οµόσηµες προστίθενται και εποµένως ψ = 0, δηλαδή οι κυµάνσεις βρίσκονται στην ίδια φάση, -φ = π, οι δονήσεις αναιρούνται καθώς, κάθε στιγµή, οι κυµάνσεις είναι ετερόσηµες, εποµένως είτε ψ = 0, είτε ψ = π, ανάλογα µε το σήµα της α1 - α2. Αν α1 = α2, υπάρχει πλήρης αναίρεση (αλληλοεξουδετέρωση) και συµβολή. Αν α1 α2, οι δονήσεις αποµειώνονται συντιθέµενες και το τελικό αποτέλεσµα ισούται µε τη διαφορά του εύρους των δύο συνιστωσών, δηλαδή οι κυµάνσεις είναι σε αντίθετη φάση. Κατά τη συνύπαρξη ηµιτονοειδών δονήσεων, ίδιας συχνότητας, από διαφορετικές πηγές, στο ίδιο σηµείο, δηµιουργείται στάσιµο κύµα. Έστω d 1 & d 2 οι αποστάσεις των πηγών απο το σηµείο : α 1 = Α 1 sin ω(t - d 1 /c) και α 2 = Α 2 sin ω(t - d 2 /c), -αντικαθιστώντας µε t` [= t - d 1 /c ] την απόσταση και φ [= ωt` - ωt + ωd 2 /c] τη διαφορά φάσης, είναι : α 1 = Α 1 sin ωt` και α 2 = Α 2 sin (ω t` - φ), -δηλαδή φ = ω (d 1 - d 2 )/ c φ = 2π δ/λ, όπου δ η διαφορά βήµατος των αποστάσεων d 1 & d 2. -το εύρος κύµανσης µεγιστοποιείται όταν cos φ = 1, δηλαδή φ = 2πκ, (όπου κ ακέραιος αριθµός) και τότε δ = κλ.

17 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 17. -το εύρος κύµανσης ελαχιστοποείται όταν cos φ = 0, δηλαδή φ = (2κ+1) π, και τότε δ = (2κ+1)λ/2. Κατά τη δηµιουργία ενός στάσιµου κύµατος, ορισµένα σηµεία βρίσκονται σταθερά σε ηρεµία (όταν Α 1 = Α 2 ), ενώ άλλα σηµεία βρίσκονται σταθερά στη µέγιστη απο- µάκρυνση (µέγιστο εύρος κύµανσης). Εποµένως, αντίθετα µε τα δεδοµένα της ηχοδιάδοσης, ένα στάσιµο κύµα αποσχηµατίζεται επί τόπου, χωρίς να διαδίδεται : οι διακυµάνσεις δεν µεταδίδονται, αλλά παραµένουν ως επιµέρους δονήσεις σε συγκεκριµένα σηµεία. Κατά τη σύνθεση δύο ηµιτονοειδών δονήσεων, ίδιας διεύθυνσης και γειτονικών συχνοτήτων σχηµατίζεται διακρότηµα. Έστω δύο δονήσεις α 1 = Α 1 sin ω 1 t και α 2 = Α 2 sin ω 2 t, µε συχνότητες ƒ 1 και ƒ 2, όπου ƒ 2 = ƒ 1 + ƒ -α 2 = Α 2 sin 2π (ƒ 1 + ƒ)t ή α 2 = Α 2 sin ( 2πƒ1 t + φ), όπου φ = 2π ƒ t = ω t Κατά τη σύνθεση των δονήσεων του διακροτήµατος, η διαφορά φάσης φ (µολονότι είναι χρονική συνάρτηση) υπολογίζεται όπως προηγουµένως (η διακύµανση της φάσης είναι τόσο αργή, όσο η χρονική µεταβολή τείνει να µηδενίζεται) -αν φ = 2κπ, οι δονήσεις του διακροτήµατος βρίσκονται σε όµοια φάση, οι κυµάνσεις προστίθενται. -αν φ = (2κ+1)π, οι δονήσεις του διακροτήµατος βρίσκονται σε αντίθετη φάση, οι κυµάνσεις αναιρούνται. -για το κοινό εύρος Α της διακύµανσης ισχύει : α = α 1 + α 2 = Α [ sin ω 1 t + sin (ω 1 t +φ) ] α = 2Α cos ( ω t/2) sin (ω 1 + ω/2) t -το νέο εύρος της κύµανσης (2Α cos ω t/2) είναι περιοδική συνάρτηση. Η µεγιστοποίηση της κύµανσης ( α max ) του διακροτήµατος προκύπτει όταν : ω Τ = 2π ƒ Τ = 2π δηλαδή όταν η συχνότητα ƒ του διακροτήµατος ισούται µε τη συχνοτική διαφορά των δονήσεων ƒ = ƒ 2 - ƒ 1. Το αισθητήριο της ακοής διακρίνει έναν ήχο, µε περιοδικά µεταβλητό εύρος και συχνότητα ƒ, η οποία κυµαίνεται µεταξύ 0 και 2Α. Η

18 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 18. συνιστώσα συνάρτηση δεν είναι καθαρά ηµιτονοειδής, αλλά εξελίσσεται µε ένα πρόσθετο συνηµιτονοειδή παράγοντα. (cos ω t/2) Γ.2. Μηχανικές δονήσεις Μια ακουστική δόνηση οφείλεται σε κυµάνσεις των συστατικών στοιχείων ενός ελαστικού µέσου, περί την θέση ισορροπίας τους. Η µηχανική δόνηση αναφέρεται σε αντίστοιχες δονήσεις µηχανικών συστηµάτων και οφείλεται στην επενέργεια µιας διεγείρουσας δύναµης F. Κατά τη διάρκεια της δράσης, η διεγείρουσα δύναµη τείνει να αποµακρύνει το σύστηµα από τη θέση ισορροπίας του, µε εξαναγκασµένες ταλαντώσεις. Μετά την παύση της διεγείρουσας δύναµης, το σύστηµα τείνει να επανέλθει στη θέση ισορροπίας του, µε ελεύθερες ταλαντώσεις, σε συνάρτηση µε τις διαδικασίες απόσβεσης που οφείλονται στα µηχανικά του χαρακτηριστικά (αντίσταση R`, ακαµψία K κλπ). Από µαθηµατικής πλευράς, η µελέτη των ταλαντώσεων στα µηχανικά συστηµατα είναι ιδιαίτερα σύνθετη. Ωστόσο υπάρχουν περιπτώσεις (ή απλοποιητικές προσοµοιώσεις) όπου η επίλυση εµφανίζεται σχετικά απλή µε την υπόθεση των συστηµάτων ενός, ή έστω δύο, βαθµών ελευθερίας. α) Ελεύθερες, µη αποσβενόµενες ταλαντώσεις Στην περίπτωση που ένα σώµα µάζας Μ αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας του, τείνει να επανέλθει µέσω της αδρανειακής του δύναµης F, η οποία είναι ανάλογη της αποµάκρυνσης α : F = - Κα όπου Κ η ακαµψία του συστήµατος, κατά το νόµο του Hooke. Σύµφωνα µε την βασική αρχή της δυναµικής ισχύει : F = Μγ όπου γ η επιτάχυνση του σώµατος, δεύτερη παράγωγος της µετατόπισης ως προς τον χρόνο. Εποµένως : Μγ + Κα = 0 Μ da 2 / dt 2 + K a = 0 Η γενική λύση της δευτεροβάθµιας διαφορικής εξίσωσης έχει τη µορφή : α = Α sin (ωt + φ)

19 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 19. όπου οι σταθερές Α και φ καθορίζονται απο τις αρχικές συνθήκες. Ο λόγος ω 0 = (Κ / Μ ) 1/2 είναι ο χαρακτηριστικός παλµός (ή ιδιοπαλµός) του σώ- µατος, απο τον οποίο προσδιορίζονται η ιδιοσυχνότητα ƒ 0 και η ιδιοπερίοδος Τ 0 του συστήµατος ταλάντωσης. β) Ελεύθερες, αποσβενόµενες ταλαντώσεις Η απόσβεση συναρτάται ευθέως µε τις αντιστάσεις στην ταχύτητα ταλάντωσης. Η φυσική καταστατική ισορροπία, διατυπώνεται µε τη γενική µαθηµατική σχέση : Μ da 2 / dt 2 + R` da/dt + K a = 0 (αδράνεια) (ιξώδες) (ελαστικότητα) Η απόσβεση έχει εκθετική µορφή, η ρίζα επίλυσης της εξίσωσης είναι γενικά: α = e -αt Μ a 2 + R` a + K = 0 Από την δευτεροβάθµια εξίσωση συνάγεται ότι : α = - (R` / 2Μ) ± [ (R`2 / 4Μ 2 ) - (Κ/Μ) ] 1/2 Το ενδιαφέρον της επίλυσης εστιάζεται στη διερεύνηση της διακρίνουσας : -αν < 0, το σύστηµα διαθέτει ασθενή απόσβεση των ελεύθερων ταλαντώσεων. Η κύµανση αποσβένεται εκθετικά µε ψευδοπερίοδο : Τ = 2π/ ω` Ο ψευδοπαλµός της απόσβεσης συνδέεται µε τον ιδιοπαλµό του συστήµατος µέσω της σχέσης : ω` 2 = ω λ 2 όπου λ = R` / 2Μ και ω 0 = ( Κ/Μ ) 1/2 Το µέγεθος λτ ονοµάζεται λογαριθµική απόσβεση και αναπαριστά την απoκλιµάκωση (τον νεπέριο λογάριθµο του λόγου) δύο διαδοχικών µεγίστων ή ελαχίστων της αποσβενόµενης ταλάντωσης. Η γενική µορφή επίλυσης της εξίσωσης είναι : -λ ± j ω`, όπου j = -1 και ω` = [ (R`2/ 4Μ2) - (Κ/Μ) ] 1/2 -δηλαδή έχει τη µορφή a = Β 1 e -λt + j ω`t + B 2 e -λt - j ω`t όπου οι σταθερές Β 1 & B 2 καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της ταλάντωσης.

20 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 20. Η λύση διατυπώνεται συχνά και µε τη µορφή : a = Β e - λt sin (ω`t - φ`), όπου οι σταθερές Β και φ` καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στη περίπτωση µηδενικής απόσβεσης (λ=0), η έκφραση περιγράφει µια µη αποσβενόµενη, ηµιτονοειδή κύµανση. -αν > 0, το σύστηµα εµφανίζει ιδιαίτερα έντονες τριβές, η ταλάντωση είναι απεριοδικής µορφής. Το σώµα αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια επιστρέφει ύστερα από άτακτα και µεγάλα χρονικά διαστήµατα. Η γενική µορφή επίλυσης της εξίσωσης είναι : 2 2 α 1, 2 = -λ ± ( λ - ω 0 ) 1/2 εκ των οποίων συνάγεται ότι : α = C e -a1 t + C e -a2 t Οι σταθερές C 1 & C 2 καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της ταλάντωσης. -αν = 0, το καθεστώς ταλάντωσης παρουσιάζεται σύντοµη επιστροφή στη θέση ισορροπίας (όπως η απόσβεση στους ζυγούς ή στα µικρόφωνα). Από την επίλυση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης προκύπτει ότι : [ (R`2 / 4Μ 2 ) - (Κ/Μ) ] 1/2 R` = 2(ΚΜ) 1/2 = R c όπου R c η κρίσιµη απόσβεση του συστήµατος. Η διπλή ρίζα της επίλυσης έχει τη γενική µορφή : α = ( D 1 + D 2 t) e -λt όπου οι σταθερές D 1 & D 2 καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Χαρακτηριστική περίπτωση είναι ταλάντωση µε αρχικές συνθήκες : το σταθερό εύρος και τη µηδενική ταχύτητα. -για t = 0 α = ζ και da/dt = 0 Από τη γενική µορφή της εξίσωσης α = ( D 1 + D 2 t) e -λt -για t = 0 συνάγεται ότι : α = ζ = D 1 e 0 και da/dt = 0 = -λ D 1 + D 2 Η λύση της συγκεκριµένης ταλάντωσης λαµβάνει τη µορφή : α = ζ (1 + λ t) e -λt -κατά την εξέλιξη του φαινοµένου (t + ) η απόσβεση εκµηδενίζει τις µετακινήσεις (α = 0).

21 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 21. γ) Εξαναγκασµένες, αποσβενόµενες ταλαντώσεις Με βάση την αρχή της υπέρθεσης και της σύνθεσης των κυµάνσεων, το καθεστώς των ελεύθερων ταλαντώσεων διευκολύνει τη µελέτη των εξαναγκασµένων ταλαντώσεων. Το καθεστώς της δυναµικής ισορροπίας διατυπώνεται µε τη σχέση : Μ da 2 / dt 2 + R` da/dt + K a = F = F m sin ωt (αδράνεια) (ιξώδες) (ελαστικότητα) (διεγείρουσα δύναµη) Η παραπάνω σχέση εµφανίζει την υπέρθεση δύο δονήσεων : -τη φυσική, αποσβενόµενη ταλάντωση (ή ιδιοταλάντωση) του συστήµατος, η οποία οδηγεί στην προηγούµενη τετριµµένη λύση (µηδενικό το δεύτερο µέρος της εξίσωσης), -την επιµέρους, εξαναγκασµένη ταλάντωση, που αποτελεί µια µερική λύση της γενικής εξίσωσης, της οποίας οι σταθερές των συναρτησιακών ριζών (Α και φ) καθορίζονται από τα ιδιοχαρακτηριστικά της διεγείρουσας δύναµης (αρχικές συνθήκες). Η ιδιοταλάντωση αναπαριστά το λεγόµενο µεταβατικό καθεστώς, καθώς εκµηδενίζεται γρήγορα ή τάχιστα ανάλογα µε την απόσβεση λ του συστήµατος. Ο µηδενισµός του πρώτου µέρους της εξίσωσης αναπαριστά την κατάργηση του µόνιµου ή παραµένοντος καθεστώτος ταλάντωσης : το σύστηµα µεταπηδά σε καθεστώς εξαναγκασµού. Στην πραγµατικότητα, τα δύο καθεστώτα συνυπάρχουν και συνδυάζονται διακεκριµένα, κατά τη διάρκεια ενός σύντοµου χρονικού διαστήµατος που εξαρτάται αποκλειστικά από το µέγεθος λ της απόσβεσης. Τα µεγέθη Α και φ προσδιορίζονται είτε τριγωνοµετρικά (κανόνας Fresnel), είτε µε την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης του συστήµατος. Με τον κανόνα Fresnel, προκύπτει : -το εύρος της ταλάντωσης Α ( ως µεγίστη αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του συστήµατος) Α = F m [ R`2 ω 2 + (Κ - Μω 2 ) 2 ] -1/2 -η απόκλιση φ (ως διαφορά φάσης µεταξύ µετατόπισης & διεγείρουσας δύναµης) tg φ = R` ω / (Κ - Μ ω 2 )

22 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 22. Απο τις παραπάνω τριγωνοµετρικές σχέσεις, εύλογα συνάγεται ότι το εύρος Α µεγιστοποιείται για µια συγκεκριµένη τιµή του παλµού ω, µε οποία ελαχιστοποιείται ο παρανοµαστής του σχετικού τύπου. Για την εξεύρεση αυτής της τιµής του ω, θέτοντας y = R`2 ω 2 + (Κ - Μω 2 ) 2 και ω 2 = Χ η έκφραση του παρονοµαστή τροποποιείται y = R`2 Χ + (Κ - ΜΧ) 2 Παραγωγίζοντας ως προς Χ : y χ = R`2 + 2ΧΜ 2-2ΚΜ 2 2 -ισχύσει ότι : R`2-2Μ ( Κ - ΜΧ) = 0, δηλαδή ω 1 = ω 0 - R`2/2Μ 2 όπου ω 0 = Κ/Μ ο ιδιοπαλµός του συστήµατος Η συγκεκριµένη τιµή ω 1 του µεγέθους ω 0 αποτελεί τον παλµό συντονισµού του καθεστώτος εξαναγκασµού. Ο παλµός συντονισµού ω 1 λαµβάνει τιµές σταθερά µικρότερες του ιδιοπαλµού ω 0 (παλµός συντονισµού σε ελεύθερο, µη απόσβενόµενο καθεστώς). Ο παλµός συντονισµού τείνει προς τον ιδιοπαλµό όσο η αντίσταση R` του συστήµατος ελαττώνεται. 2 Γ. 3. Σύνθετα πετάσµατα (πολλαπλοί, συζευγµένοι φλοιοί) Τα παραπάνω εδάφια διευκολύνουν την κατανόηση ορισµένων φαινοµένων που εµφανίζονται σε εφαρµογές ηχοµόνωσης όπως : -η επίδραση της µάζας Μ και της ακαµψίας Κ στο εύρος ταλάντωσης ενός πετάσµατος -η διαφορά φάσης ανάµεσα στη διεγείρουσα δύναµη και τη µετατόπιση του συστήµατος. Κατά παράδοξο τρόπο, η συνδυασµένη τροποποίηση της αντίστασης και της ακαµψίας ενός διαχωριστικού τοιχώµατος (την εφαρµογή αντικραδασµικών διατάξεων) θα µπορούσε να οδηγήσει σε σηµαντική µεταβολή της δοµής του αρχικού τοιχώµατος, διευκολύνοντας τη µετάδοση συγκεκριµένων συχνοτήτων (µε συνήχηση ή συντονισµό) και καταλήγοντας στην επιδείνωση της ενόχλησης. Στην προσπάθεια να βελτιωθεί η ηχοµονωτική ικανότητα ενός τοιχώµατος είναι σκόπιµη η εφαρµογή πολλαπλών και ετερογενών πετασµάτων : η ενεργειακή αποµείωση της ηχοδιάδοσης βελτιώνεται χάρη στα επαναλαµβανόµενα, διαδοχικά φαινόµενα ανάκλασης και απόσβεσης. Θεωρητικά, η σύνθεση δύο όµοιων πε-

23 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 23. τασµάτων βελτιώνει την ηχοµονωτική ικανότητα του απλού κατά 6dB (διπλασιασµός της µάζας). Το αποτέλεσµα γίνεται περισσότερο εφικτό, όσο οι δύο επιµέρους φλοιοί του συστήµατος αποσχηµατίζονται στατικά. Τη βελτίωση της ηχοµονωτικής ικανότητας ενός συνθέτου πετάσµατος διευκολύνει η αποµάκρυνση των επιµέρους φλοιών (εγκλωβισµός µιας στρώσης αέρα στο εσωτερικό διάκενο). Η υπόθεση της άθροισης των αυτόνοµων ηχοµονωτικών ικανοτήτων (σε db) κάθε φλοιού (εφόσον είναι ικανά αποµακρυσµένοι, εγκλωβίζοντας ενδιάµεσες στρώσεις αέρα) είναι θεωρητικά θεµιτή (αρκεί η σχετική απόσταση να είναι µεγαλύτερη της τιµής λ/4, του προσπίπτοντος θορύβου). Έστω m 1 και m 2 οι επιφανειακές µάζες των δύο φλοιών ενός συνθέτου πετάσµατος και R η συνολική του ηχοµονωτική ικανότητα : R = 20 log K m log Km 2 R = 20 log K (m 1 * m 2 ) όπου η σταθερά Κ σχετίζεται µε την ακαµψία του συστήµατος. Στο ενιαίο πέτασµα, για την αθροιστικά ενιαία, επιφανειακή µάζα (m = m 1 + m 2 ) είναι : R` = 20log Km R` = 20 log K (m 1 + m 2 ) Το πέτασµα διπλού φλοιού έχει σαφή ηχοµονωτική υπεροχή σε σχέση µε το πέτασµα διπλής µάζας ( R > R`). Γ.4. Ακουστική σύζευξη Στην πραγµατικότητα των τεχνικών εφαρµογών ηχοµόνωσης τα πράγµατα είναι πολύπλοκα : οι ενδιάµεσοι, ελαστικοί σύνδεσµοι των επιµέρους φλοιών ενός συνθέτου πετάσµατος διευκολύνουν τη δηµιουργία φαινοµένων ακουστικής σύζευξης (συνήχησης, συντονισµού), τα οποία αποµειώνουν δραστικά τη θεωρητική ηχο- µονωτική ικανότητα R, στο όριο µιας πραγµατικής τιµής R reel (που βέβαια συνεχίζει να υπερέχει της ηχοµονωτικής ικανότητας R` ενός ενιαίου πετάσµατος διπλής µάζας). Επίσης, σε επίπεδο εφαρµογής, δεν είναι ούτε εφικτή αλλά ούτε και αποτελεσµατική η συνεχής αποµάκρυνση των επιµέρους φλοιών ενός συνθέτου πετάσµατος :

24 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 24. -στην περίπτωση σχετικά ελαφρών κατασκευών (επιφανειακό βάρος φλοιού µέχρι 150Kg), το διάκενο του αέρα έχει µια βέλτιστη τιµή που, κατά περίπτωση, εξαρτάται από τον τρόπο σύνδεσης και τη σχέση των επιµέρους βαρών, -στην περίπτωση σχετικά βαριών κατασκευών (επιφανειακό βάρος φλοιού άνω των 150Kg), η ηχοµονωτική ικανότητα, κατά προσέγγιση, αυξάνει γραµµικά (σε µονάδες db) ανάλογα µε το λογάριθµο του πλάτους διατοµής (σε cm), τείνοντας στη θεωρητική τιµή της ηχοµονωτικής ικανότητας R του συνθέτου πετάσµατος. Η µάζα της ενδιάµεσης στρώσης του εγκλωβισµένου αέρα επενεργεί, κατά τη φυσική έννοια, ως ελατήριο του οποίου η συχνότητα συντονισµού εξαρτάται κυρίως από τις µάζες των επιµέρους φλοιών και τη µεταξύ τους απόσταση. Γενικά, στην περιοχή αυτής της θεµελιώδους συχνότητας (αλλά και των αρµονικών της) η ηχοµονωτική ικανότητα µειώνεται δραστικά, µηδενίζεται ή και εκτρέπεται σε αρνητικές τιµές (ενίσχυση της ηχοδιάδοσης). Εποµένως, είναι σκόπιµη η πρόβλεψη ετερογενών φλοιών, µε διαφορετικά επιφανειακά βάρη (ιδίως σε εφαρµογές ελαφρών πετασµάτων ξηράς δόµησης), µε στόχο να εξαλειφθεί η πιθανότητα ταύτισης ή σύµπτωσης των επιµέρους συχνοτήτων συντονισµού. Η αντιµετώπιση των συνεπειών του φαινοµένου επιβάλλει την αύξηση της απόστασης µεταξύ των φλοιών ενός συνθέτου πετάσµατος. Μια τεχνικά εφικτή από- µάκρυνση των φλοιών δεν µπορεί να καταργήσει την ακουστική σύζευξη, αλλά να µεταβάλλει, να µετατοπίσει τη συχνοτική περιοχή του συντονισµού. Γ.5. Πορώδη υλικά Στο πεδίο των εφαρµογών ηχοµόνωσης, συχνά, δεν επαρκεί µια απλή συχνοτική µετατόπιση. Χρειάζεται η πλήρωση του διάκενου µεταξύ των φλοιών µε κάποιο άλλο υλικό του οποίου η ιδιοσυχνότητα δεν θα γειτονεύει µε την συχνοτική περιοχή των συζευγµένων φλοιών. Τέτοια υλικά, όπως αποδεικνύεται εµπειρικά και εργαστηριακά, µε χαρακτηριστικά (ακαµψία, επιφανειακό βάρος) αρκετά διαφορετικά από τα αντίστοιχα ενός συνήθους οικοδοµικού υλικού, είναι τα πορώδη. Τα πορώδη, ως υλικά πλήρωσης του διάκενου µεταξύ των φλοιών ενός συνθέτου τοιχώµατος, επιτρέπουν το δραστικό περιορισµό (έως και µηδενισµό) των συνεπειών της ακουστικής σύζευξης, δηλαδή

25 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 25. αποτρέπουν την αναπόφευκτη πτώση της ηχοµονωτικής ικανότητας ενός συνθέτου τοιχώµατος σε σηµαντικές (και κρίσιµες) περιοχές του συχνοτικού φάσµατος. Ωστόσο απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή: τα διαδεδοµένα θερµοµονωτικά υλικά δεν είναι πορώδη (είναι κυψελωτά ή αφρώδη). Εποµένως η συνεισφορά τους στην αύξηση της ηχοµονωτικής ικανότητας ενός συνθέτου πετάσµατος (όταν δεν καθίσταται αρνητική) είναι αδιάφορη. Γ.6. Μηχανική σύζευξη Η µηχανική σύζευξη εξαρτάται από τον τρόπο και το είδος της σύνδεσης των επι- µέρους φλοιών ενός πετάσµατος. Αφορά κυρίως τον τρόπο και το είδος της στερέωσης ενός τοιχώµατος σε σχέση µε τα γειτονικά τοιχώµατα της κατασκευής (έδραση στο δάπεδο, ανάρτηση από την οροφή, σύνδεση µε τους παράπλευρους τοίχους κλπ). Στην υποβάθµιση της µηχανικής σύζευξης, µε στόχο την ενίσχυση της ηχοµονωτικής ικανότητας ενός τοιχώµατος, συνεισφέρει η αύξηση της µάζας του πετάσµατος και η χαλάρωση των περιµετρικών συνδέσµων µε όλα τα παράπλευρα τοιχώ- µατα. Στις ηχοµονωτικές εφαρµογές, οι συνδέσεις ανάµεσα στους φλοιούς και οι στηρίξεις µεταξύ των τοιχωµάτων υλοποιούνται µε αντικραδασµικούς συνδέσµους (cineblock έδρασης ή διάτµησης, ελατήρια ανάρτησης, amortisseur κλπ). Ο βασικός στόχος της χρήσεις ελαστικών συνδέσµων είναι η εξασφάλιση ακλόνητων συνδέσεων µεταξύ των φλοιών ή των πετασµάτων και παράλληλα ο περιορισµός (η εξάλειψη) της µετάδοσης των κραδασµών διαµέσου των επιµέρους τµηµάτων της κατασκευής. Εξετάζοντας συγκριτικά το πρόβληµα της ηχοµονωτικής ικανότητας µιας κατασκευής, η αντιµετώπιση της µηχανικής σύζευξης στοχεύει στις χαµηλές συχνότητες, ενώ η αντιµετώπιση της ακουστικής σύζευξης στις µέσες και υψηλές συχνότητες του θορύβου.

26 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 26. Γ.7. Συγκριτικά παραδείγµατα Στα τεχνικά έργα, κατά το σχεδιασµό ενός διαχωριστικού τοιχώµατος, η επιλογή µιας κατασκευαστικής λύσης συνδυάζει παραµέτρους αποτελεσµατικότητας και κόστους (υλικά, χώρος). Είναι προφανές πως η επιδίωξη ενίσχυσης της ηχοµονωτικής ικανότητας των τοιχωµάτων θα πρέπει να συµβαδίζει µε το λογικό περιορισµό του επιφανειακού βάρους των φλοιών, αλλά και την σύµπτυξη των ενδιά- µεσων διάκενων (οικονοµία διατοµής). Ενδεικτικά : -ένα συµπαγές τοίχωµα επιφανειακού βάρους 50Kg, εξασφαλίζει µέση ηχοµονωτική ικανότητα R = 35dB περίπου, -ένα δικέλυφο τοίχωµα (µε ενδιάµεσο διάκενο 10cm), αντίστοιχου επιφανειακού βάρους, προσφέρει µέση ηχοµονωτική ικανότητα R = 44dB περίπου, -το ίδιο δικέλυφο τοίχωµα, µε κατάλληλο ηχοαπορροφητικό υλικό πλήρωσης στο διάκενο, αυξάνει τη µέση ηχοµονωτική ικανότητα σε R = 50dB περίπου, -για ηχοµονωτική ικανότητα R = 50dB, απαιτείται συµπαγές τοίχω- µα επιφανειακού βάρους 200Kg περίπου. Η άθροιση των παραπάνω ηχοµονωτικών ικανοτήτων (η σύνθεση ενός πολλαπλού και ετερογενούς τοιχώµατος) είναι πρακτικά ανέφικτη : τα ενδιάµεσα διάκενα προσεγγίζουν τα 70 ή 80 cm (σχεδόν πλήρης στατική ασυνέχεια της κατασκευής). Στις περιπτώσεις που η ενίσχυση της ηχοµονωτικής ικανότητας πρέπει να επιτευχθεί µε φλοιούς χαµηλού επιφανειακού βάρους (10 ως 15Kg), η συµπλήρωση του ενδιάµεσου διάκενου µε κάποιο πορώδες υλικό είναι αναπόφευκτή : στα ελαφρά πετάσµατα, κατά προσέγγιση, η σχετική αύξηση του δείκτη ηχοµείωσης είναι ευθέως ανάλογη του λογαρίθµου της απόστασης (δηλαδή λογαριθµική συνάρτηση του πάχους του πορώδους υλικού πλήρωσης). Στις περιπτώσεις που η ενίσχυση της ηχοµονωτικής ικανότητας µπορεί να επιλυθεί µε τοιχώµατα µεγάλου επιφανειακού βάρους ( > 250Kg) η επίδραση ενός µικρού διάκενου (10 ή 15 cm) είναι αµελητέα : η προσθήκη πορώδους υλικού στο ενδιάµεσο των παραδοσιακών µοναστηριακών κατασκευών είναι άχρηστη.

27 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 27. ] ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Από την διερεύνηση των φαινοµένων της ηχοανάκλασης, έγινε αντιληπτό ότι κατά την ηχοδιάδοση δεν ισχύουν απόλυτα οι νόµοι της γεωµετρικής οπτικής. Η αυστηρά γεωµετρική συµπεριφορά του ήχου (ανάκλαση σε προκαθορισµένη κατεύθυνση ανάλογα µε την γωνία πρόσπτωσης) ισχύει µόνο για ένα, συχνοτικά περιορισµένο, τµήµα του ακουστικού µηνύµατος, τα µήκη κύµατος του οποίου σχετίζονται µε το µέγεθος των εµποδίων. Εξαιτίας της κυµατικής φύσης και της συχνοτικής ποικιλίας των ήχων του περιβάλλοντος, τα ηχητικά κύµατα υφίστανται φασµατικές παραµορφώσεις, όταν στην πορεία της ηχοδιάδοσης παρεµβάλλονται διάφορα φυσικά σώµατα ή τεχνητά αντικείµενα. Αυτές οι ακουστικές παραµορφώσεις σχετίζονται µε τη χρονική φάση, την ένταση ή τη συχνοτική σύνθεση των ήχων και ανάγονται στο (µαθηµατικά περίπλοκο) φαινόµενο της περίθλασης. Το προστατευόµενο αγαθό µιας µελέτης ηχοπροστασίας (κυρίως οι περιβαλλοντικές επιπτώσεις των κυκλοφοριακών θορύβων) στις περιοχές κατοικίας είναι οι οικιακές δραστηριότητες, η αναψυχή και κυρίως η ανάπαυση των κατοίκων. Κεντρικός στόχος της υπαίθριας ηχοπροστασίας είναι η εκµετάλλευση του φαινοµένου της ακουστικής περίθλασης, µε την παρεµβολή ηχοφραγµάτων ανά- µεσα στις πηγές του θορύβου και την προστατευόµενη περιοχή. Οι εφαρµογές ηχοφραγµάτων επιτρέπουν τη δηµιουργία κατάλληλου κώνου ηχητικής σκιάς, η οποία περιορίζει το συχνοτικό φάσµα του ανακλώµενου κύµατος και εξοικονοµεί ένα κρίσιµο µέγεθος ηχοµείωσης. Απαραίτητη συνθήκη για την δηµιουργία εκτεταµένης ηχητικής σκιάς αποτελεί ο περιορισµός της γωνίας του κώνου πρόσπτωσης και η µεγέθυνση των διαστάσεων του ηχοφράγµατος σε σχέση µε το οριακό µήκος κύµατος. Για την φυσική προσοµοίωση των φαινοµένων της περίθλασης έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες, οι οποίες καταλήγουν σε επιλύσιµες σχέσεις κυµατοµορφής, ανάλογα µε τις οριακές και αρχικές συνθήκες του προβλήµατος.

28 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 28. Κατά τη θεωρία των Helmholtz - Huygens σε ένα απείρως εκτεινόµενο ρευστό, τέλειο και σε ηρεµία, η περίθλαση δηµιουργείται σε περιοχές ανοµοιογένειας, µε τοπικές ανωµαλίες στην ειδική πυκνότητα ή το συντελεστή συµπίεσης. Η ανάλυση του φαινοµένου, µε εξίσωση των σχετικών πιέσεων και των ταχυτήτων στα όρια του φράγµατος), ακολουθεί την ολοκληρωµατική επίλυση Born, µε οριακές συνθήκες Sommerfeld. Κατά την οπτική θεωρία των Kirchhoff Fresnel, η περίθλαση στην περιοχή ενός εµποδίου προκαλεί τοπική µεταβολή της συνθεταντίστασης του µέσου, µε αποτέλεσµα η ηχοδιάδοση να συνεχίζεται ως σύνθεση της προσπίπτουσας, της ανακλώµενης και της διαχεόµενης κύµανσης (ενός πρόσθετου παράγοντα γωνιακής κατανοµής και κατευθυντικότητας). Το εµπόδιο προσοµοιώνεται µε οπή ανάµεσα σε δύο τοιχώµατα (ένα ανύπαρκτο και ένα ηµιάπειρο). Σύµφωνα µε την 1 η υπόθεση Kirchhoff η σχετική πίεση και η ταχύτητα µηδενίζονται στη σκιασµένη επιφάνεια του εµποδίου (για µικρά µήκη κύµατος σε σχέση µε τις διαστάσεις του ανοίγµατος). Σύµφωνα µε την 2 η υπόθεση Kirchhoff στη φωτισµένη επιφάνεια του εµποδίου οι τοπικές ανωµαλίες εξαφανίζονται (η επιφάνεια του φράγµατος θεωρείται απόλυτα ηχοαπορροφητική και η ηχοδιάδοση συνεχίζεται µε σφαιρικά κύµατα). Κατά την γεωµετρική προσέγγιση Keller, η περίθλαση σχετίζεται µε πρόσκαιρες, τοπικές ανωµαλίες της δοµής του µέσου και της µορφή του πεδίου ηχοδιάδοσης (περιδίνηση των ηχητικών ακτίνων κάθετα στην περίµετρο του φράγµατος. Σύµφωνα µε αυτή τη θεώρηση οι αλληλεπιδράσεις των ακτίνων, το σχήµα και η επένδυση των παρειών του εµποδίου θεωρούνται αµελητέοι παράγοντες ή αγνοούνται. Με ποιοτικούς όρους, όπως φαίνεται στα σχήµατα που ακολουθούν, εξαιτίας της περίθλασης, η ηχητική ένταση εµφανίζει διακυµάνσεις (περί τη µέγιστη τιµή) στη γειτονιά της ηχητικής σκιάς, υποδιπλασιάζεται στο όριο του ηχοφράγµατος και µηδενίζεται τάχιστα στο εσωτερικό της σκιασµένης περιοχής.

29 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 29. Η µαθηµατική περιγραφή της εξελιγµένης κυµατοµορφής (εύρος, κατεύθυνση) και ο προσδιορισµός της ενεργειακής αποµείωσης (το κέρδος της ηχοπροστασίας) κατά την περίθλαση σε επίπεδο φράγµα επιτυγχάνεται µε ολοκλήρωση κατά Fresnel (για σφαιρικό προσπίπτον κύµα) ή κατά Sommerfeld (για επίπεδο προσπίπτον κύµα). Η ακριβής επίλυση του προβλήµατος σε τεχνικές εφαρµογές δίδεται µε τον τύπο του Bruckmayer, όπου η επιθυµητή στάθµη ηχοµείωσης (R w σε db) εκφράζεται ως λογαριθµική συνάρτηση : -ευθέως ανάλογη του ύψους του ηχοφράγµατος (h το ενεργό ύψος σε m) -αντιστρόφως ανάλογη της οριακής συχνότητας (λ το µήκος του προσπίπτοντος κύµατος σε m), -αντιστρόφως ανάλογη των αποστάσεων της πηγής και της προστατευµένης περιοχής (r, d σε m) από το παρεµβαλλόµενο ηχόφραγµα, R w = 10 log(40/λ) {r [ [1+(h/r) 2 ] 1/2-1] + d [ [1+(h/d ) 2 ] 1/2-1] } / [1 + (h/r) 2 ] Η επιλογή των κατάλληλων συνθηκών για την αποτελεσµατική εφαρµογή ενός ηχοφράγµατος απαιτεί την εξαντλητική διερεύνηση των δεδοµένων της ηχοδιάδοσης (αρχικές και οριακές συνθήκες). Κατά την ηχοδιάδοση σε ελεύθερο, ανοικτό πεδίο (από σηµειακή πηγή, µε σφαιρικά κύµατα), η ηχοµείωση είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης. Ωστόσο, αυτές οι συνθήκες είναι κατά κανόνα σπάνιες (εµπόδια, ηχοανακλάσεις κλπ). Η συσσωµάτωση επιµέρους, στοιχειωδών πηγών σχηµατίζει µια ηχητική πηγή

30 θεωρία : ΗΧΟ ΙΑ ΟΣΗ ΨΥΧΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ 30. γραµµικής µορφής (π.χ. η αλληλουχία και σύνθεση των οχηµάτων στον άξονα ενός αυτοκινητοδρόµου, ο σιδηρόδροµος). Σε αυτή την περίπτωση, η ηχοδιάδοση περιλαµβάνει κυλινδρικά κύµατα και οι απώλειες της ηχητικής έντασης είναι γραµµικές (ηχοµείωση ανάλογη της απόστασης). Τέλος, η σύνθεση γραµµικών πηγών σε περιορισµένο χώρο, µε λεία και ηχοανακλαστικά όρια (σωλήνας, οδικός κόµβος πεπλατυσµένης διατοµής) προσδίδει στην ηχοδιάδοση τη µορφή επιπέδου κύµατος, δηλαδή κατά προσέγγιση η ηχητική ένταση δεν υφίσταται ενεργειακές απώλειες (ανεξάρτητη της απόστασης). Στο παρακάτω σχήµα, το διάγραµµα Harris δίνει προσεγγιστικά την αποµείωση της ηχητικής έντασης ως συνάρτηση της απόκλισης φ (µεταξύ προσπίπτουσας και περιθλώ- µενης ακτίνας) και της αναλογίας των σχετικών µεγεθών (ενεργό ύψος φράγµατος h προς µήκος κύµατος λ). Στην ακουστική (αντίθετα µε το πεδίο της οπτικής), δεν είναι εύκολη η δηµιουργία ενεργειακής σκιάς. Ένα αποτελεσµατικό ηχόφραγµα (ένα ακουστικό αλεξήλιο - σκίαστρο) απαιτεί τεράστιες διαστάσεις συγκρινόµενο µε τα επιµέρους µήκη κύ- µατος των θορύβων του περιβάλλοντος (ισχύουν οι αυστηρές προϋποθέσεις της ηχοανάκλασης : απόλυτα λείες παρειές, διαστάσεις συγκρίσιµες µε το µήκος κύ- µατος του προσπίπτοντος ήχου). Στην πραγµατικότητα, το φαινόµενο της περίθλασης αποδίδει πεπερασµένα ακουστικά κέρδη, σε περιορισµένο συχνοτικό φάσµα. Οι συριστικοί απόηχοι από τις ανακλάσεις των κυκλοφοριακών θορύβων στα προστατευτικά στηθαία των αυτοκινητοδρόµων αποκαλύπτουν τη φασµατική παραµόρφωση της ηχοδιάδοσης στη γειτονιά των εµποδίων (υψηλές συχνότητες που αντιστοιχούν σε µικρά µήκη κύµατος).