Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών"

Transcript

1 Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/ / 47

2 Περιεχόµενα I. Θεωρήµατα Wedderburn Κλασικά αποτελέσµατα II. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn III. Σχέσεις µηδενιστικών, δυϊκών και ψευδο-h-(τοπολογικών) αλγεβρών - Υλοποίηση συµπληρουσών απεικονίσεων µέσω µηδενιστών - Ψευδο-Hilbert-άλγεβρες ως δυϊκές άλγεβρες IV. Μητρικές αναπαραστάσεις αλγεβρών Ambrose Βιβλιογραφία 2 / 47

3 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

4 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

5 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

6 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

7 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

8 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

9 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

10 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

11 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

12 Για µοναδιαίες προσεταιριστικές άλγεβρες τα ϑεωρήµατα δοµής Wedderburn διατυπώνονται ως εξής : Το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn - Αναγωγή σε άλγεβρες που είναι µηδενοδύναµες και ηµιαπλές αντίστοιχα Μία πεπερασµένης διάστασης άλγεβρα A (υπεράνω ενός σώµατος χαρακτηριστικής 0) µε ριζικό Jacobson R(A), αναλύεται (µέσω ενός ισοµορφισµού διανυσµατικών χώρων) στο ευθύ άθροισµα του R(A) και µιάς ηµιαπλής υπάλγεβρας B, που είναι µοναδική (ως προς έναν ισοµορφισµό). 5 / 47

13 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

14 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

15 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

16 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

17 Θεώρηµα - Μητρική αναπαράσταση Μία πεπερασµένης διάστασης, µοναδιαία άλγεβρα (υπεράνω ενός σώµατος F χαρακτηριστικής 0) είναι απλή αν και µόνο αν A = M n (D) για κάποιον ακέραιο n 1 και κάποια διαιρετική άλγεβρα D υπεράνω του F. Στην περίπτωση που το F είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε A = M n (F) για κάποιο θετικό ακέραιο n. 8 / 47

18 Στο πλαίσιο της αφηρηµένης άλγεβρας, διαπιστώνεται µια αξιόλογη παρουσίαση των ϑεωρηµάτων δοµής για διαφορετικές κλάσεις προσεταιριστικών ή ακόµη µη προσεταιριστικών αλγεβρών µε την έννοια του Wedderburn. Για παράδειγµα, έχει αναπτυχθεί µια δοµική ϑεωρία από τον ίδιο τον Wedderburn για την κλάση των προσεταιριστικών αλγεβρών όπως έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω. Για το κύριο (πρωταρχικό) ϑεώρηµα Wedderburn, και για την προσεταιριστική περίπτωση υπάρχουν εργασίες από τους Albert, Campbell, Chaffer, Hemminger kai Rodabaugh. Σχετικές εργασίες έχουν δοθεί από τον Helemskii για µη µεταθετικές συµµετρικές άλγεβρες και τον Kolesnikov για σύµµορφες (conformal) άλγεβρες. Για εναλλάσσουσες (alternative) άλγεβρες από τους Schafer, Smith, ενώ για άλγεβρες Jordan από τους Albert, Khan, Penico, Thedy. το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn έχει αντιµετωπιστεί για ορισµένα τριπλά συστήµατα ( Kamiya). οµική ϑεωρία Wedderburn σε άλγεβρες Banach έχει δοθεί από τους Curtis, Bade-Dales, Feldman, Johnson, Solovej και τον White. - Ανάλυση ή και ισχυρή ανάλυση Wedderburn (Wedderburnian άλγεβρα, η ονοµασία οφείλεται στον Glaeser). 9 / 47

19 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

20 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

21 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

22 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

23 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

24 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

25 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

26 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

27 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

28 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

29 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

30 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

31 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

32 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

33 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

34 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

35 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

36 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

37 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

38 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

39 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

40 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

41 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

42 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

43 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

44 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

45 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

46 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

47 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

48 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

49 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

50 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

51 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

52 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ. ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ. Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ιδάσκων : ρ. Β. ΒΑΛΑΜΟΝΤΕΣ Πύλες - Άλγεβρα Boole 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α)Ηλεκτρονικά κυκλώµατα Αναλογικά κυκλώµατα Ψηφιακά κυκλώµατα ( δίτιµα ) V V 2 1 V 1 0 t t Θετική λογική: Ο V 1 µε V 1 =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα