Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών"

Transcript

1 Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/ / 47

2 Περιεχόµενα I. Θεωρήµατα Wedderburn Κλασικά αποτελέσµατα II. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn III. Σχέσεις µηδενιστικών, δυϊκών και ψευδο-h-(τοπολογικών) αλγεβρών - Υλοποίηση συµπληρουσών απεικονίσεων µέσω µηδενιστών - Ψευδο-Hilbert-άλγεβρες ως δυϊκές άλγεβρες IV. Μητρικές αναπαραστάσεις αλγεβρών Ambrose Βιβλιογραφία 2 / 47

3 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

4 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

5 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

6 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

7 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

8 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

9 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

10 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

11 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

12 Για µοναδιαίες προσεταιριστικές άλγεβρες τα ϑεωρήµατα δοµής Wedderburn διατυπώνονται ως εξής : Το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn - Αναγωγή σε άλγεβρες που είναι µηδενοδύναµες και ηµιαπλές αντίστοιχα Μία πεπερασµένης διάστασης άλγεβρα A (υπεράνω ενός σώµατος χαρακτηριστικής 0) µε ριζικό Jacobson R(A), αναλύεται (µέσω ενός ισοµορφισµού διανυσµατικών χώρων) στο ευθύ άθροισµα του R(A) και µιάς ηµιαπλής υπάλγεβρας B, που είναι µοναδική (ως προς έναν ισοµορφισµό). 5 / 47

13 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

14 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

15 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

16 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

17 Θεώρηµα - Μητρική αναπαράσταση Μία πεπερασµένης διάστασης, µοναδιαία άλγεβρα (υπεράνω ενός σώµατος F χαρακτηριστικής 0) είναι απλή αν και µόνο αν A = M n (D) για κάποιον ακέραιο n 1 και κάποια διαιρετική άλγεβρα D υπεράνω του F. Στην περίπτωση που το F είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε A = M n (F) για κάποιο θετικό ακέραιο n. 8 / 47

18 Στο πλαίσιο της αφηρηµένης άλγεβρας, διαπιστώνεται µια αξιόλογη παρουσίαση των ϑεωρηµάτων δοµής για διαφορετικές κλάσεις προσεταιριστικών ή ακόµη µη προσεταιριστικών αλγεβρών µε την έννοια του Wedderburn. Για παράδειγµα, έχει αναπτυχθεί µια δοµική ϑεωρία από τον ίδιο τον Wedderburn για την κλάση των προσεταιριστικών αλγεβρών όπως έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω. Για το κύριο (πρωταρχικό) ϑεώρηµα Wedderburn, και για την προσεταιριστική περίπτωση υπάρχουν εργασίες από τους Albert, Campbell, Chaffer, Hemminger kai Rodabaugh. Σχετικές εργασίες έχουν δοθεί από τον Helemskii για µη µεταθετικές συµµετρικές άλγεβρες και τον Kolesnikov για σύµµορφες (conformal) άλγεβρες. Για εναλλάσσουσες (alternative) άλγεβρες από τους Schafer, Smith, ενώ για άλγεβρες Jordan από τους Albert, Khan, Penico, Thedy. το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn έχει αντιµετωπιστεί για ορισµένα τριπλά συστήµατα ( Kamiya). οµική ϑεωρία Wedderburn σε άλγεβρες Banach έχει δοθεί από τους Curtis, Bade-Dales, Feldman, Johnson, Solovej και τον White. - Ανάλυση ή και ισχυρή ανάλυση Wedderburn (Wedderburnian άλγεβρα, η ονοµασία οφείλεται στον Glaeser). 9 / 47

19 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

20 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

21 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

22 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

23 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

24 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

25 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

26 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

27 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

28 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

29 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

30 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

31 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

32 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

33 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

34 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

35 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

36 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

37 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

38 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

39 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

40 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

41 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

42 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

43 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

44 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

45 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

46 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

47 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

48 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

49 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

50 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

51 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

52 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα