Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών"

Transcript

1 Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/ / 47

2 Περιεχόµενα I. Θεωρήµατα Wedderburn Κλασικά αποτελέσµατα II. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn III. Σχέσεις µηδενιστικών, δυϊκών και ψευδο-h-(τοπολογικών) αλγεβρών - Υλοποίηση συµπληρουσών απεικονίσεων µέσω µηδενιστών - Ψευδο-Hilbert-άλγεβρες ως δυϊκές άλγεβρες IV. Μητρικές αναπαραστάσεις αλγεβρών Ambrose Βιβλιογραφία 2 / 47

3 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

4 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

5 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

6 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

7 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

8 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

9 Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47

10 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

11 Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47

12 Για µοναδιαίες προσεταιριστικές άλγεβρες τα ϑεωρήµατα δοµής Wedderburn διατυπώνονται ως εξής : Το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn - Αναγωγή σε άλγεβρες που είναι µηδενοδύναµες και ηµιαπλές αντίστοιχα Μία πεπερασµένης διάστασης άλγεβρα A (υπεράνω ενός σώµατος χαρακτηριστικής 0) µε ριζικό Jacobson R(A), αναλύεται (µέσω ενός ισοµορφισµού διανυσµατικών χώρων) στο ευθύ άθροισµα του R(A) και µιάς ηµιαπλής υπάλγεβρας B, που είναι µοναδική (ως προς έναν ισοµορφισµό). 5 / 47

13 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

14 Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie ( ) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47

15 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

16 Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47

17 Θεώρηµα - Μητρική αναπαράσταση Μία πεπερασµένης διάστασης, µοναδιαία άλγεβρα (υπεράνω ενός σώµατος F χαρακτηριστικής 0) είναι απλή αν και µόνο αν A = M n (D) για κάποιον ακέραιο n 1 και κάποια διαιρετική άλγεβρα D υπεράνω του F. Στην περίπτωση που το F είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε A = M n (F) για κάποιο θετικό ακέραιο n. 8 / 47

18 Στο πλαίσιο της αφηρηµένης άλγεβρας, διαπιστώνεται µια αξιόλογη παρουσίαση των ϑεωρηµάτων δοµής για διαφορετικές κλάσεις προσεταιριστικών ή ακόµη µη προσεταιριστικών αλγεβρών µε την έννοια του Wedderburn. Για παράδειγµα, έχει αναπτυχθεί µια δοµική ϑεωρία από τον ίδιο τον Wedderburn για την κλάση των προσεταιριστικών αλγεβρών όπως έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω. Για το κύριο (πρωταρχικό) ϑεώρηµα Wedderburn, και για την προσεταιριστική περίπτωση υπάρχουν εργασίες από τους Albert, Campbell, Chaffer, Hemminger kai Rodabaugh. Σχετικές εργασίες έχουν δοθεί από τον Helemskii για µη µεταθετικές συµµετρικές άλγεβρες και τον Kolesnikov για σύµµορφες (conformal) άλγεβρες. Για εναλλάσσουσες (alternative) άλγεβρες από τους Schafer, Smith, ενώ για άλγεβρες Jordan από τους Albert, Khan, Penico, Thedy. το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn έχει αντιµετωπιστεί για ορισµένα τριπλά συστήµατα ( Kamiya). οµική ϑεωρία Wedderburn σε άλγεβρες Banach έχει δοθεί από τους Curtis, Bade-Dales, Feldman, Johnson, Solovej και τον White. - Ανάλυση ή και ισχυρή ανάλυση Wedderburn (Wedderburnian άλγεβρα, η ονοµασία οφείλεται στον Glaeser). 9 / 47

19 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

20 Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47

21 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

22 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

23 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

24 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

25 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

26 Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47

27 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

28 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

29 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

30 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

31 ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47

32 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

33 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

34 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

35 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

36 Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47

37 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

38 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47

39 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

40 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

41 Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47

42 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

43 Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47

44 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

45 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

46 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

47 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

48 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

49 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

50 Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47

51 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

52 Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 8 Ιουλίου 2015 1 τοπολογικές οµάδες 2 3 4 τοπολογικές οµάδες Ορισµός Μια οµάδα G λέγεται τοπολογική οµάδα αν είναι εφοδιασµένη µε µια τοπολογία τ.ω. οι (x, y) xy και x x 1 να είναι συνεχείς. Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα