Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κλασσική Θεωρία Ελέγχου"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών. Κανόνες κατασκευής του γεωμετρικού τόπου των ριζών. 4

5 Σκοποί Ενότητας Περιγραφή του γεωμετρικού τόπου των ριζών και των κανόνων κατασκευής του. 5

6 Walter R. Evans ( ) Γεωμετρικός τόπος των ριζών (root locus) Εικόνα 1 6

7 Γεωμετρικός τόπος των ριζών (1) Έστω το κλειστό σύστημα: Έστω G s = h s d s και K σταθερά. Η συνάρτηση μεταφοράς του παραπάνω κλειστού συστήματος θα είναι h s KG s K H s = 1 + KG s = d s = 1 + K h s d s Kh s d s + Kh s 7

8 Γεωμετρικός τόπος των ριζών () Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών (Evans) (δηλ. οι πόλοι του κλειστού συστήματος για τις διάφορες τιμές του Κ) του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p c s = d s + Kh s παίζει σημαντικό ρόλο στην ευστάθεια του συστήματος. 8

9 Παράδειγμα 1 (1) H s = 1 G s = s s + 1 K s s K = 1 s + s + K 9

10 Παράδειγμα 1 () p c s = s + s + K Οι πόλοι του συστήματος θα είναι: s 1 = K και s = 1 1 4K Περίπτωση 1: 1 4K > 0 K < 1 έχω ρίζες πραγματικές. 4 Πιο συγκεκριμένα έχω s = 1 1 4K < 0 Και i. 1 4K > 1 K < 0 έχω s 1 > 0. ii. 1 4K < 1 K > 0 έχω s 1 < 0. 10

11 Παράδειγμα 1 (3) p c s = s + s + K Οι πόλοι του συστήματος θα είναι: s 1 = K και s = 1 1 4K Περίπτωση : 1 4K < 0 K > 1 έχω ρίζες μιγαδικές j 4K 1 1 j 4K 1 s 1 = και s = με αρνητικό πραγματικό μέρος. Περίπτωση 3: 1 4K = 0 K = 1 έχω την διπλή ρίζα 4 s 1, = 1 11

12 Παράδειγμα 1 (4) < Κ < 0 s 1 = K > 0 s = 1 1 4K < 0 Κ = 0 s 1 = 0, s = 1 0 < Κ < 1 4 Κ = 1 4 s 1 = 1 + διπλή ρίζα 1 4 < Κ < + s 1 = 1 4K s 1, = 1 < j 4K 1 < 0 s = s = 1 1 4K < 0 1 j 4K 1 1

13 Παράδειγμα 1 (5) p c s = s + s + K Οι πόλοι του συστήματος θα είναι: s 1 = K και s = 1 1 4K Κ 0 13

14 Παράδειγμα 1 (6) p c s = s + s + K Οι πόλοι του συστήματος θα είναι: s 1 = K και s = 1 1 4K Κ < 0 14

15 Κανόνας 1. Πλήθος κλάδων s + 1 G s = s s 3 Κανόνας 1. Πλήθος κλάδων Οι κλάδοι του γεωμετρικού τόπου των ριζών (των οποίων το πλήθος είναι ίσο με το max n z, n p όπου n z : πλήθος των μηδενικών του ανοιχτού συστήματος και n p : πλήθος των πόλων του ανοιχτού συστήματος) αρχίζουν από τους πόλους του ανοιχτού συστήματος και καταλήγουν στα μηδενικά του συστήματος ή στο άπειρο. Στο παράδειγμα μας θα έχω δύο κλάδους (max,1 ) που θα ξεκινούν από το (πρώτος πόλος) και το 3 (δεύτερος πόλος) και θα καταλήγουν στο -1 (ρίζα) και στο. 15

16 Κανόνας. Κλάδοι πάνω στον πραγματικό άξονα s + 1 G s = s s 3 Κανόνας. Κλάδοι πάνω στον πραγματικό άξονα Ένα τμήμα του άξονα R μπορεί να είναι γ.τ.ρ. για K 0, K 0 αν ο αριθμός των πραγματικών πόλων και μηδενικών της KG s (η γενικά G s F s εάν αντί για Κ είχα F s ) που βρίσκονται δεξιά του τμήματος είναι περιττός (άρτιος). Στο παράδειγμά μας έχουμε 16

17 Κανόνας 3. Συμμετρία ως προς τον πραγματικό άξονα G s = s + 1 s s 3 Κανόνας 3. Συμμετρία ως προς τον πραγματικό άξονα Επειδή οι μιγαδικές ρίζες έρχονται ανά συζυγή ζευγάρια για αυτό ο γ.τ.ρ. είναι συμμετρικός ως προς τον πραγματικό άξονα. 17

18 Κανόνας 4. Ασύμπτωτες s + 1 G s = s s 3 Κανόνας 4. Ασύμπτωτες Όταν το Κ τότε ο γ.τ.ρ. πλησιάζει ασυμπτωτικά ευθείες γραμμές που λέγονται ασύμπτωτες του γ.τ.ρ. Το σημείο τομής των ασυμπτώτων είναι το Σ πόλων της G s Σ μηδενικών της G s σ a = n p n z n p το πλήθος των πόλων της G s, n z το πλήθος των μηδενικών της G s. Το πλήθος των ασυμπτώτων είναι n p n z. 18

19 Παράδειγμα (1) G s = s + 1 s s 3 Το πλήθος των ασυμπτώτων είναι ( 1 = 1). Στο παράδειγμα μας το κέντρο των ασυμπτώτων θα είναι το σημείο σ a = p i z i = = +6 n p n z 1 19

20 Παράδειγμα () s + 1 G s = s s 3 Οι ασύμπτωτες σχηματίζουν γωνίες: l + 1 π φ α = για Κ > 0 και l = 0,1,,, n n p n p n z 1 z φ α = lπ n p n z για Κ 0 και l = 0,1,,, n p n z 1 0

21 Παράδειγμα (3) φ α = s + 1 G s = s s 3 l + 1 π l + 1 π = = l + 1 π για Κ > 0 και l n p n z 1 = 1 1 = 0 Δηλαδή φ α = π για Κ > 0 φ α = lπ = lπ = lπ για Κ 0 και l = 1 1 n p n z 1 = 0 Δηλαδή φ α = 0 για Κ 0. 1

22 Κανόνας 5. Σημείο τομής με τον φανταστικό άξονα s + 1 G s = s s 3 Κανόνας 5. Σημείο τομής με τον φανταστικό άξονα Οι κλάδοι του γ.τ.ρ. είναι δυνατό μερικές φορές να τέμνουν τον φανταστικό άξονα. Τα σημεία τομής μπορούν να βρεθούν από την εφαρμογή του κριτηρίου Routh στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστού συστήματος.

23 Παράδειγμα 3 (1) s + 1 G s = s s 3 Στην εφαρμογή μας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστού συστήματος είναι: p c s = s 5s K s + 1 = s + K 5 s K Ο πίνακας Routh είναι: s K K K 0 s 1 Που μας δίνει ότι το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές για K 5 > 0 και 6 + K > 0 K > 5 3

24 Παράδειγμα 3 () Άρα στο σημείο Κ = 5 έχω εναλλαγή από αστάθεια σε ασυμπτωτική ευστάθεια. Η εξίσωση που προκύπτει από την γραμμή (s ) μας βοηθάει πάντα να βρούμε τα σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα. Έχω δηλαδή K = 5 s K = 0 s + 11 = 0 s = ±j 11 = ±j

25 Κανόνας 6. Σημεία θλάσης (1) Σε περιπτώσεις που έχω δύο πραγματικούς πόλους (ή δύο πραγματικές ρίζες) του ανοικτού συστήματος που είναι τοποθετημένες η μία δίπλα στην άλλη στον άξονα των πραγματικών αριθμών τότε υπάρχει ένα σημείο από το οποίο φεύγει (ή αντίστοιχα έρχεται) ο κλάδος των γ.τ.ρ. Εάν θέλουμε να βρούμε αυτό το χαρακτηριστικό σημείο, λύνουμε την παρακάτω εξίσωση ως προς Κ 1 + G s K = h s d s K = 0 d s K = h s 5

26 Κανόνας 6. Σημεία θλάσης () Και ακολούθως βρίσκω τις ρίζες της παραγώγου της παραπάνω έκφρασης ως προς s: dk = h 1 s d s h s d 1 s ds h s 6

27 Παράδειγμα 3 (3) Στην εφαρμογή μας έχω Κ = s 5s + 6 s + 1 G s = s + 1 s s 3 dk ds = 1 s 5s + 6 s + 1 s 5 s + 1 dk ds = s s + 11 s + 1 dk ds = 0 για s 1 = και s =.464 Και αντίστοιχα για αυτές τις τιμές έχω Κ 1 = και Κ =

28 Κανόνας 7. Γωνία άφιξης ή αναχώρησης (1) Η γωνία που σχηματίζει ο γ.τ.ρ. στους πόλους και στα μηδενικά της G s K (ή πιο γενικά G s K s ) μπορεί να υπολογισθεί από τον παρακάτω τύπο: η γωνία που σχηματίζεται στον πόλο p q είναι s 1 p q θ pq = s 1 + p q n z = k + 1 π + s 1 + z i i=1 n z n q s 1 + p i i=1,i q n q, K > 0 θ pq = s 1 + p q = kπ + s 1 + z i s 1 + p i, K < 0 i=1 i=1,i q 8

29 Κανόνας 7. Γωνία άφιξης ή αναχώρησης () ενώ η γωνία που σχηματίζεται στην ρίζα είναι z q είναι s 1 z q είναι θ zq = s 1 + z q n z = k + 1 π s 1 + z i i=1 θ zq = s 1 + z q = kπ s 1 + z i n z i=1,i q n q + s 1 + p i i=1,i q n q i=1 s 1 + p i, K > 0, K < 0 9

30 Παράδειγμα 3 (4) Στην εφαρμογή μας G s = s s+1 s 3 Θα έχουμε για Κ > 0 (καθώς το s 1,3, 1) θ = s 1 = k + 1 π + s i=1 s 1 + p i i=1,i = k + 1 π + s s 1 3 = k + 1 π + 0 π = k π k = 0, θ = π ή ισοδύναμα θ = 0. 30

31 Παράδειγμα 3 (5) θ 3 = s 1 3 = k + 1 π + s i=1 = k + 1 π + s s 1 = k + 1 π = k + 1 π k = 0, θ 3 = π. θ 1 = s = k + 1 π s i=1,i 1 s 1 + p i i=1,i 3 + s 1 + p i s = k + 1 π + s 1 + s 1 3 = k + 1 π + π + π = kπ + π k = 0, θ 1 = 3π. i=1 31

32 Παράδειγμα 3 (6) Τις τιμές του Κ για ορισμένες τιμές s i του γ.τ.ρ. μπορώ να τις υπολογίσω από τον παρακάτω τύπο: 1 + KG s i = K h s i d s i = 0 K = d s i K = d s i h s i h s i Επίσης έχω ότι argg s i K = l + 1 π, l = 0, ±1, ±, 3

33 Matlab rlocus (1) >> sys=zpk([-1],[,3],1) Zero/pole/gain: (s+1) (s-) (s-3) >>rlocus(sys) 33

34 Matlab rlocus () s + 4 G s = s + s 1 >> rlocus(sys) >> sys=zpk([-4],[-,1],1) Zero/pole/gain: (s+4) (s+) (s-1) >> rlocus(sys) 34

35 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Πουλιέζος Αναστάσιος, 013, Περί Συστημάτων Ελέγχου. Εισαγωγικό Εγχειρίδιο της Σύγχρονης Θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. https://en.wikipedia.org/wiki/walter_r._evans Norman Nise, 011, Control Systems Engineering, 6th Edition, John Willey. 35

36 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (1) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: "Walter R. Evans" by Source. Licensed under Fair use via Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/file:walter_r._evans.jpg#/media/file:walte r_r._evans.jpg 36

37 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 37

38 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 38

39 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 39

40 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 8: ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική, Χρηματοοικονομική Ενότητα των Επιχειρήσεων, :Εισαγωγή Ενότητα βασικές : έννοιες, Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ-Ανοικτά

Διαβάστε περισσότερα

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογικά στοιχεία καρκίνου του πνεύμονα Ο καρκίνος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Παραχώρηση (Franchising) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική Χρηματοοικονομική των,δημοσιονομική Επιχειρήσεων, πολιτική, Ενότητα : Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Ενότητα 4: Ξενοδοχειακή Βιομηχανία. Γιανναράκης Γρηγόρης ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 12: Ηλεκτρικός Ισολογισμόςς Πλοίου Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση (καλωσόρισμα) Εύκαμπτο βρογχοσκόπιο Επιθεώρηση βρογχικού δέντρου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 2: Βασικές αρχές λειτουργίας και χρήσης του υπολογιστή Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική υπολογιστών

Αρχιτεκτονική υπολογιστών 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρχιτεκτονική υπολογιστών Ενότητα 12 : Δομή και Λειτουργία της CPU 2/2 Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυμεσικές Εφαρμογές

Πολυμεσικές Εφαρμογές Πολυμεσικές Εφαρμογές Ενότητα 7: ΒΙΝΤΕΟ Γεώργιος Στυλιαράς Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Αναλογικό και ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 1: Ο Νόμος του ΟΗΜ και ο Χρωματικός Κώδικας Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική των επιχειρήσεων

Διοικητική των επιχειρήσεων Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 13 :Ιστορία της Διοικητικής Σκέψης Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Πυελική μάζα Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Γεώργιος Α. Ανδρουτσόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Ιατρική Σχολή Μαιευτικής - Γυναικολογίας Πανεπιστημίου Πατρών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση Πυελικής Μάζας Πρόπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Λειτουργικά

Εισαγωγή στα Λειτουργικά Εισαγωγή στα Λειτουργικά Συστήματα Ενότητα 9: Αρχεία ΙΙ Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Ενότητα 4: Συλλογή Εμπορευμάτων Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Διάλεξη 1η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Εισαγωγή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία Σκοποί ενότητας Κατανόηση του φαινομένου της ιοντικής ανταλλαγής Περιεχόμενα ενότητας 1) Ρόφηση 2) Απορρόφηση

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Θετικών Επιστημών

Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ενότητα 13: Η Επιστημολογία από το 1800 έως το 1950 Ευθύμιος Ντάλλας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας, Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Σκοποί Ενότητας Η γνώση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 12. Γλύπτες του 4 ου αι. π.χ. Σκόπας, Ευφράνωρ,

Διαβάστε περισσότερα

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Υγιεινή Πρωτεΐνες Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Αποτελούνται από αμινοξέα ενωμένα με πεπτιδικούς δεσμούς. Μέση σύσταση: Ν: 16 % C: 50 % H: 7 % O: 22 % S: 0,5-3%

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Με την εισαγωγική διάλεξη επιδιώκεται η εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9. Ναοί του 4 ου αι. π.χ. στην ηπειρωτική Ελλάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Πρακτική Άσκηση Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία Αν. Καθηγήτρια: Σοφία Αυγητίδου E-mail: saugitidoy@uowm.gr Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Υγείας

Κοινωνιολογία της Υγείας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Κοινωνιολογία της Υγείας Ενότητα 10 : Κοινωνιολογία του Σώματος Μέρος Γ Μαίρη Γκούβα 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Νοσηλευτικής

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Ενότητα 3: Θεωρία του Διεθνούς Εμπορίου Θεωρητικές προσεγγίσεις Γεώργιος Μιχαλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Ενότητα: Θερµικός υπολογισµός ηλιακού συλλέκτη Ταουσανίδης Νίκος Τµήµα ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία Διδάσκων : Κων/νος Τσιτσιλιάνης, Καθηγητής Ουρανία Κούλη, Ε.ΔΙ.Π. Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Σκοπός Η εξοικείωση των φοιτητών με την πειραματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική. Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μικροοικονομική. Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μικροοικονομική Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 3 : Αποκατάσταση εικόνας (Image Restoration) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών Εργαστήριο: XQuery - 2 Όνομα Καθηγητή: Χρήστος Νικολάου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2. ΑΔΕΙΕΣ Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιανική Γραμματεία Ι

Χριστιανική Γραμματεία Ι Χριστιανική Γραμματεία Ι Ενότητα 1-A3-4: Εκκλησιαστικές διατάξεις και ποίηση Αναστάσιος Γ. Μαράς, Δρ Θ. Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος Ενότητα: Σημειώσεις Εργαστηρίου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.)

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) Ενότητα 5: Γεωθερμία Σπύρος Τσιώλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Φωτοτεχνία Ενότητα 3: Μελέτες Φωτισμού Εσωτερικών Χώρων Mέθοδος Favie-Οικονομόπουλος Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Νο 07 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010

Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010 Γεώργιος Κουρουπέτρογλου Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010 Έκδοση: 1.1 Αθήνα 2013 Έργο «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΤΕ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS) Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος AO Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική βαθυμετρία

Δορυφορική βαθυμετρία Πανεπιστήμιο Αιγαίου Δορυφορική βαθυμετρία Διάλεξη 12 Γεωπληροφορική και εφαρμογές στο παράκτιο και θαλάσσιο περιβάλλον Γεωπληροφορική και εφαρμογές στο παράκτιο και θαλάσσιο περιβάλλον ΔΙΑΛΕΞΗ 12 Δορυφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση: «Τεχνολογίες Δικτύων Επικοινωνιών & Υπολογιστών» Βασικές Αρχές Κυψελωτών Συστημάτων Δημοσθένης Βουγιούκας

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Ενότητα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΣΦΑΛΜΑΤΩΣΗΣ Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Περιβάλλοντος

Χημεία Περιβάλλοντος Χημεία Περιβάλλοντος Ενότητα 4: Ρύπανση Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Απορρυπαντικά Μύκονος, Ψαρού 1 Απορρυπαντικά Στις εγκαταστάσεις δευτεροβάθμιας επεξεργασία λυμάτων απομακρύνεται ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Ενότητα 3: Ο Υπολογιστής Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 4 : Μέτρηση της στάθμης του υπόγειου νερού Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 4.1 Εγκατάσταση πιεζομετρικών σωλήνων Η στάθμη

Διαβάστε περισσότερα