Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing
|
|
- Πελαγία Ρέντης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές Μηχανές. Ορισµός του Αλγορίθµου: η Θέση των Church και Turing. Συµβάσεις Περιγραφής Μηχανών Turing. 2 εκεµβρίου 2016 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Αποτελείται από: Μια ταινία άπειρου µήκους που λειτουργεί σαν µνήµη. Μηχανές Turing Οπου καταχωρείται η είσοδος στη µηχανή (συµβολοσειρά / λέξη εισόδου). Οπου η µηχανή µπορεί να καταγράφει έξοδο (συµβολοσειρά εξόδου). Μια κεφαλή ανάγνωσης / εγγραφής που µπορεί να: Κινείται αριστερα και δεξιά πάνω στην ταινία άπειρου µήκους. Γράφει σύµβολο στη ϑέση της ταινίας που ϐρίσκεται κάτω από την κεφαλή. ιαβάζει σύµβολο από τη ϑέση της ταινίας κάτω από την κεφαλή. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
2 ιαφορές µε τα Πεπερασµένα Αυτόµατα (1/2) ιαφορές µε τα Πεπερασµένα Αυτόµατα (2/2) Μια TM µπορεί να διαβάζει και να γράφει οπουδήποτε στην ταινία µνήµης. Η ταινία µνήµης είναι άπειρη. Ενα DFA/NFA µόνο διαβάζει από (υπονοούµενη) «ταινία» εισόδου. Οπως εξάλλου και η στοίβα ενός PDA. Ενα PDA διαβάζει και γράφει µόνο στο ένα άκρο της ταινίας µνήµης. Αλλά τα DFA/NFA έχουν πεπερασµένη µνήµη. Η κεφαλή ανάγνωσης / εγγραφής µπορεί να κινείται αριστερά και δεξιά. Οι καταστάσεις αποδοχής και απόρριψης τερµατίζουν άµεσα την TM. Ενα DFA/NFA «καταναλώνει» είσοδο µόνο προς τα δεξιά. Τα PDA/DFA/NFA δεν έχουν κατάσταση απόρριψης (ούτε και οι TM πάντα). Ενα PDA µπορεί να «ϐλέπει» µόνο το άκρο της µνήµης του (στοίβας). Ο υπολογισµός τους συνεχίζεται όσο υπάρχει είσοδος. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ατυπο Παράδειγµα TM (1/2) Μια TM που αναγνωρίζει τη γλώσσα B = { w # w w { 0, 1 } }. 1. Μετακινεί την κεφαλή παλινδροµικά πάνω στην ταινία: σε «οµόλογες» ϑέσεις εκατέρωθεν του #, ελέγχει αν αυτές οι ϑέσεις έχουν το ίδιο σύµβολο. 1.1 Απορρίπτει (µεταβαίνει σε κατάσταση απόρριψης) αν: δεν εµφανίζεται πουθενά το σύµβολο #, κάποιο Ϲεύγος «οµόλογων» ϑέσεων δεν έχουν το ίδιο σύµβολο. 1.2 Αντικαθιστά τα Ϲεύγη ίδιων συµβόλων που διαβάζει µε «κενά»,. 2. Αποδέχεται αν έχουν διαγραφεί όλα τα σύµβολα εκατέρωθεν του #. ιαφορετικά, απορρίπτει. Ατυπο Παράδειγµα Λειτουργίας (2/2) Στιγµιότυπα της ταινίας της TM από τον υπολογισµό για είσοδο # # # # # # # Αποδοχή Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
3 Ορισµός Μηχανής Turing Λειτουργία Μηχανής Turing ( Q, Σ, Γ, δ, q 0, q αποδοχή, q απόρριψη ) 1. Q είναι το σύνολο καταστάσεων της µηχανής, 2. Σ είναι το αλφάβητο εισόδου, που δεν περιέχει το σύµβολο κενού,. 3. Γ είναι το αλφάβητο της ταινίας, µε Γ και Σ Γ, 4. δ : Q Γ Q Γ {, } είναι η συνάρτηση µεταβάσεων, 5. q 0 Q είναι η αρχική κατάσταση, 6. q αποδοχή είναι η κατάσταση αποδοχής, 7. q απόρριψη είναι η κατάσταση απόρριψης και q αποδοχή q απόρριψη. Αρχικοποίηση (αρχική κατάσταση) για είσοδο w = a 1 a 2... a n : Αριστερό άκρο: a 1 a 2 a n Το πρώτο Σ σηµατοδοτεί το τέλος της λέξης εισόδου. Αρχικά, η κεφαλή είναι τοποθετηµένη στην πρώτη ϑέση από αριστερά. Ο υπολογισµός εξελλίσεται όπως ορίζει η συνάρτηση µεταβάσεων δ. εκτός αν η κεφαλή ϐρίσκεται στο αριστερό άκρο της ταινίας και η δ ορίζει µετακίνηση προς τα αριστερά. Τότε η κεφαλή παραµένει στη ϑέση της. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Υπολογισµός Μηχανής Turing Υπολογισµός TM Η Τρέχουσα Φάση / ιαµόρφωση (Configuration) της µηχανής, περιγράφει: Κατάσταση µηχανής. Περιεχόµενα ταινίας. Θέση της κεφαλής. Αναπαράσταση: u q v, που σηµαίνει: Η µηχανή ϐρίσκεται στην κατάσταση q. Η ταινία περιέχει τη λέξη u v. Η κεφαλή ϐρίσκεται στο πρώτο σύµβολο της (υπο-)λέξης v. Μετά το v υπονοείται ότι ακολουθούν στην ταινία. Λέµε «η ϕάση C 1 αποδίδει τη ϕάση C 2» και γράφουµε C 1 M C 2, αν: Με ϐάση τη συνάρτηση µεταβάσεων δ, η µηχανή µεταβαίνει από τη C 1 στη C 2 σε ένα υπολογιστικό ϐήµα Εστω σύµβολα a, b, c Γ, λέξεις u, v Γ, καταστάσεις q i, q j Q u a q i b v M u q j a c v αν: δ(q i, b) = (q j, c, ) u a q i b v M u a c q j v αν: δ(q i, b) = (q j, c, ) q i b v M q j c v αν: δ(q i, b) = (q j, c, ). u q i a M u b q j αν: δ(q i, a) = (q j, b, ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
4 Υπολογισµός µε TM Παράδειγµα 1 (α) Αρχική Φάση για είσοδο w: q 0 w. Φάση Αποδοχής / Απόρριψης: η TM είναι στην q αποδοχή / q απόρριψη. Αποδέχεται είσοδο w αν υπάρχει ακολουθία ϕάσεων C 1,..., C k, όπου: C 1 = q 0 w C i M C i+1, i = 0,..., k 1 C k ϕάση αποδοχής Μια TM µπορεί να: αποδεχθεί, απορρίψει, εγκλωβιστεί σε loop. (Turing) Αναγνωρίσιµες Γλώσσες: TM που αποδέχεται κάθε λέξη τους. (Turing) Αποφασίσιµες Γλώσσες: TM που τερµατίζει πάντα και: Η TM M 1, που αποφασίζει τη γλώσσα: { w # w w {0, 1} } Τυπική Περιγραφή: Q = { q 1,..., q 8, q αποδοχή, q απόρριψη }. Αρχική κατάσταση: q 1. Σ = { 0, 1, # }. Γ = { 0, 1, #,, }. Αποδέχεται κάθε λέξη τους, απορρίπτει κάθε µη λέξη τους. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Παράδειγµα 1 (ϐ) Παράδειγµα 2 (α) 0, 1 q 1 0, # 1, q 2 q 8 q 3 0, 1 Μια TM, M, που αποφασίζει τη γλώσσα { 0 2n n 0 }. Ατυπη Αλγοριθµική Περιγραφή της M: 1. Σαρώνει την ταινία από αριστερά προς τα δεξιά, διαγράφοντας κάθε 2ο 0. q 7 # # 2. Αν στο στάδιο 1. η ταινία περιείχε µόνο ένα `0, η M αποδέχεται. 0, 1 q 4 q αποδοχή q 5 3. Αν στο στάδιο 1. η ταινία περιείχε > 1 `0 περιττού πλήθους, απορρίπτει. 4. Η M επιστρέφει την κεφαλή στο αριστερό άκρο της ταινίας. # 0, 1, 5. Η M επαναλαµβάνει από το στάδιο 1. q 6 0, 1, Σχόλιο: η M 2 επιχειρεί σε κάθε επανάληψη να υποδιπλασιάσει το πλήθος των 0. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
5 Παράδειγµα 2 (ϐ) Παράδειγµα 2 (γ) q 5 0 Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο (κάθετα ανά στήλη) 0, 0, q 1 q 2 q 3 q απόρριψη q αποδοχή 0 0, q 4 q q 3 q q 3 q q 5 0 q 4 0 q 5 0 q 3 q 5 0 q 5 q 5 q 5 0 q 2 q 5 0 q 2 q 5 0 q 2 q 2 0 q 2 q 2 0 q αποδοχή Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Παράδειγµα 3 (α) Παράδειγµα 3 (ϐ) Η TM που αναγνωρίζει τη γλώσσα { a i b j c k i, j, k 1 και i j = k }. 1. ιατρέχει την ταινία από αριστερά προς τα δεξιά: ελέγχει αν η είσοδος ανήκει στη γλώσσα a + b + c +. Αν όχι, απορρίπτει. 2. Η κεφαλή επιστρέφει στην αρχή της ταινίας. 3. ιαγράφει ένα a και µετακινεί την κεφαλή προς τα δεξιά µέχρι να ϐρει b: Παλινδροµεί µεταξύ b και c, διαγράφοντας ένα Ϲεύγος τη ϕορά, µέχρι να εξαντληθούν όλα τα b. Αν εξαντληθούν πρώτα τα c, απορρίπτει. 4. Αποκαθιστά τα διαγραµµένα b και επαναλαµβάνει το ϐήµα 3: Αρχικά, στο στάδιο 1. η TM λειτουργεί σαν πεπερασµένο αυτόµατο, ελέγχοντας αν η είσοδος ανήκει στη γλώσσα a + b + c +. Πώς αναγνωρίζει (στάδιο 2.) ότι έφτασε στο αριστερό άκρο της ταινίας; Αρχικά γράφει ειδικό σύµβολο στην αριστερή ϑέση (που πρέπει να έχει a). Επιστρέφοντας αριστερά, «ϐλέπει» το ειδικό σύµβολο και επαναφέρει το a. για το 1ο από τα a που δεν έχουν ακόµη διαγραφεί. 5. Οταν «τελειώσουν» τα a: αν έχουν διαγραφεί όλα τα c, αποδέχεται, αλλιώς, απορρίπτει. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
6 Παράδειγµα 4 (α) Μια TM που αποφασίζει τη γλώσσα: E = { } # x 1 # x 2 # # x l l 0, xi {0, 1} και x i x j για κάθε i j Περιληπτική Περιγραφή: Συγκρίνει επαναληπτικά τη x i µε τις x i+1,..., x l. Ατυπη Αλγοριθµική Περιγραφή: 1. Τοποθετεί ένα «σηµάδι» πάνω από το σύµβολο του αριστερού άκρου της ταινίας. Αν διαβάζει, αποδέχεται. Αν διαβάζει #, συνεχίζει στο επόµενο ϐήµα. Σε κάθε άλλη περίπτωση, απορρίπτει. 2. ιατρέχει την ταινία προς τα δεξιά, µέχρι το επόµενο #, το οποίο «σηµαδεύει». Αν συναντήσει, αποδέχεται την είσοδο # x Συγκρίνει τις δύο λέξεις που ϐρίσκονται στα δεξιά των σηµαδεµένων #. Αν συµπίπτουν απορρίπτει. Παράδειγµα 4 (ϐ) Συνέχεια Ατυπης Αλγοριθµικής Περιγραφής: 4. Μετακινεί το δεξιότερο «σηµάδι» στο επόµενο (προς τα δεξιά) #, και εκτελεί το 5., εκτός αν δεν υπάρχει επόµενο # δεξιά του δεξιότερου «σηµαδιού», οπότε: (α) Η TM µετακινεί και τα δύο «σηµάδια», ως εξής. (β) Μετακινεί το αριστερό «σηµάδι» στο επόµενο # προς τα δεξιά. (γ) Μετακινεί το δεξιό «σηµάδι» στο 1ο # δεξιά από τη ϑέση του αριστερού. (δ) Αν επόµενο # δεξιά από τη ϑέση του αριστερού «σηµαδιού», αποδέχεται. 5. Η TM επαναλαµβάνει από το ϐήµα 3. Σχόλιο: Τα «σηµάδια» είναι πλασµατικά. Ουσιαστικά, αντικαθιστούµε προσωρινά τα προς σήµανση # µε ένα επιπλέον σύµβολο, που ανήκει στο αλφάβητο ταινίας, Γ. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Σύνθεση TMs και Απλοποίηση ιαγραµµάτων Παράδειγµα 1: Μηχανή Αντιγραφής R: η απλή TM που µετακινεί την κεφαλή µια ϑέση δεξιά. L: η απλή TM που µετακινεί την κεφαλή µια ϑέση αριστερά. a: η απλή TM που γράφει σύµβολο a Γ στην ταινία. R a br a a R L Μετακινεί την κεφαλή δεξιά Η TM R : Μετακινεί την κεφαλή δεξιά, Αν διαβάσει a: Μέχρι ανάγνωσης του 1ου. γράφει b, Η TM L : µετακινεί την κεφαλή δεξιά Μετακινεί την κεφ. αριστερά, Μέχρι ανάγνωσης του 1ου. Η TM που µετασχηµατίζει την είσοδο w σε w w. a R R 2 a L2 a R Η κεφαλή αρχικά είναι στο αριστερό άκρο της ταινίας (πάνω από το ). Στο τέλος η κεφαλή είναι στο πρώτο δεξιά της «εξόδου». Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
7 Παράδειγµα 2: Μηχανή εξιάς Μετατόπισης Παράδειγµα 3: Μηχανή ιαγραφής Η TM που µετασχηµατίζει την είσοδο w σε w. Η TM που διαγράφει την είσοδό της: w. L a R a L a a a $ R R $ L R Υποθέτουµε ότι αρχικά η κεφαλή είναι στο 1ο δεξιά της w. Στο τέλος η κεφαλή ϑα ϐρίσκεται στο 1ο δεξιά της (µετατοπισµένης) w. Η κεφαλή αρχικά είναι στο αριστερό άκρο της ταινίας. Στο τέλος η κεφαλή είναι και πάλι στο αριστερό άκρο της ταινίας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Παραλλαγές Μηχανών Turing Υπάρχουν πολλές διαφορετικές παραλλαγές του ορισµού των TMs. Το αυθεντικό µοντέλο και οι εύλογες παραλλαγές του έχουν την ίδια ισχύ. Αναγνωρίζουν / αποφασίζουν την ίδια κλάση γλωσσών. Παραλλαγές της Μηχανής Turing Οι παραλλαγές προσοµοιώνονται αποδοτικά από το ϐασικό µοντέλο TM. Παράδειγµα: Κεφαλή επαυξηµένη µε τη δυνατότητα να µένει στάσιµη. ηλαδή, συνάρτηση µεταβάσεων: δ : Q Γ Q Γ {,, Σ}. δ (q, a) = (r, b, Σ) προσοµοιώνεται από δ : Q Γ Q Γ {, }: εισάγουµε µία επιπλέον κατάσταση, s Q και ορίζουµε: δ(q, a) = (s, b, ) και δ(s, x) = (r, x, ) για κάθε x Γ Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
8 Πολυταινιακές Μηχανές Turing (Multi-tape TMs) Πολυταινιακές Μηχανές Turing k > 1 ταινίες, ξεχωριστή κεφαλή ανάγνωσης / εγγραφής για κάθε ταινία. Οι κεφαλές διαβάζουν/γράφουν τις ταινίες και µετακινούνται ταυτόχρονα. Συνάρτηση µεταβάσεων: δ : Q Γ k Q Γ k {,, Σ } k Επιτρέπουµε στη δ να ορίζει ότι κάποια κεφαλή µένει στάσιµη (Σ) (ϐάσει του µετασχηµατισµού που συζητήσαµε προηγουµένως). δ( q i, a 1, a 2,..., a k ) = ( q j, b 1,..., b k,,,..., Σ, ) σηµαίνει: Στην κατάσταση q i η µηχανή διαβάζει a i στην ταινία i = 1,..., k (ταυτόχρονα για όλες τις ταινίες). Θεώρηµα: Για κάθε πολυταινιακή TM υπάρχει ισοδύναµη µονοταινιακή TM. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: σχεδιάζουµε µονοταινιακή TM που προσοµοιώνει την πολυταινιακή. Πόρισµα: Μια γλώσσα είναι αναγνωρίσιµη αν και µόνο αν αναγνωρίζεται από πολυταινιακή TM. Γράφει b i στην ταινία i = 1,..., k και µεταβαίνει στην q j. Μετακινεί τις κεφαλές όπως ορίζεται στο δεξί µέλος της έκφρασης. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Απόδειξη (1/2) Απόδειξη (2α/2) Αλγοριθµική Περιγραφή της µονοταινιακής TM (µ-tm) για είσοδο w = x 1... x n : Η µονοταινιακή TM αποθηκεύει τα περιεχόµενα k ταινιών σε µία ταινία. Οριοθετεί τα περιεχόµενα των k ταινιών µε ειδικό σύµβολο, #. Παρακολουθεί τις ϑέσεις των k κεφαλών. «Σηµαδεύει» το σύµβολο (στην κάθε ταινία) που διαβάζει η κάθε κεφαλή. Το «σηµαδεµένο σύµβολο» είναι απλώς ένα ακόµα (διαφορετικό) σύµβολο. 1. Καταρχάς διαµορφώνει την ταινία, ώστε να αναπαριστά τις k ταινίες: # ˆx 1, x 2, x 3, x n # # # # 2. Προσοµοίωση ενός βήµατος της πολυταινιακής TM (π-tm): 2.1 1η Σάρωση: σαρώνει την ταινία από αριστερά (πρώτο #) προς τα δεξιά: προσδιορίζει τα (σηµαδεµένα) σύµβολα που διαβάζουν οι k κεφαλές η Σάρωση: ενηµερώνει τις «εικονικές» ταινίες (µεταξύ συνεχόµενων #): όπως υπαγορεύει η συνάρτηση µεταβάσεων της π-tm. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
9 Απόδειξη (2β/2) Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Ορίζονται ανάλογα µε τα NFAs. 3. Αν σε οποιοδήποτε σηµείο της προσοµοίωσης κάποια από τις «εικονικές κεφαλές» µετακινούµενη δεξιά ϐρεθεί πάνω σε #: 3.1 Σηµαίνει πως η π-tm µετακινεί την κεφαλή στο µέχρι στιγµή µη αναγνωσµένο τµήµα της συγκεκριµένης ταινίας της. 3.2 Η µ-tm µετακινεί (αντιγράφει) όλα τα σύµβολα από τη ϑέση αυτή (του #) µέχρι και το ακραίο δεξιό #, κατά µία ϑέση δεξιά. 3.3 Η µ-tm επιστρέφει πίσω στην (προηγούµενη) ϑέση του # όπου µετακινήθηκε η «εικονική κεφαλή» και εγγράφει ένα εκεί. Ουσιαστικά η µ-tm επιµηκύνει την «εικονική ταινία». Σε οποιοδήποτε σηµείο του υπολογισµού µπορούν να έχουν περισσότερες από µία δυνατότητες για τη συνέχεια, τις οποίες ακολουθούν ταυτόχρονα. Αυτό ϕαίνεται από τον ορισµό της συνάρτησης µεταβάσεων της µηχανής: ( ) δ : Q Γ P Q Γ {, } δηλαδή οι τιµές της συνάρτησης είναι σύνολα τριάδων: (κατάσταση, σύµβολο ταινίας, µετακίνηση κεφαλής) Ο υπολογισµός είναι δέντρο από διαφορετικά µονοπάτια εκτέλεσης. Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 NTMs (2/6) NTMs (3/6) Θεώρηµα: Για κάθε NTM υπάρχει ισοδύναµη TM. Κατασκευάζουµε TM που προσοµοιώνει την NTM. Η TM «εξερευνά» όλο το δέντρο µε µονοπάτια υπολογισµού της NTM. Η TM αποδέχεται όταν προσοµοιώσει ϕάση αποδοχής της NTM (σε κάποιο µη ντετερµινιστικό µονοπάτι υπολογισµού). Λάθος πρακτική η εξερεύνηση του δέντρου υπολογισµού κατά βάθος: Χρησιµοποιούµε µια TM µε τρεις (3) ταινίες. 1 Ταινία Εισόδου: Η ταινία 1 περιέχει απλώς την είσοδο της NTM. 2 Ταινία Προσοµοίωσης: Η ταινία 2 περιέχει αντίγραφο της ταινίας της NTM: για κάποιο κλάδο (µονοπάτι) του µη ντετερµινιστικού υπολογισµού. 3 Ταινία ιεύθυνσης: Η ταινία 3 παρακολουθεί τη ϑέση της TM: Μπορεί η NTM σε κάποιο µονοπάτι να πέφτει σε ατέρµονο υπολογισµό. στο δέντρο του µη ντετερµινιστικού υπολογισµού της NTM. Τότε και η TM ϑα εγκλωβιστεί και ϑα «χάσει» κάποιο αποδεχόµενο µονοπάτι. Η TM ϑα προσοµοιώνει το δέντρο εκτέλεσης της NTM κατά πλάτος. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
10 NTMs (4/6) Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing (5/6) Αν κάθε κόµβος στο δέντρο υπολογισµού της NTM έχει b «παιδιά»: διευθυνσιοδοτούµε κάθε κόµβο µε µια λέξη επί του Σ b = {1, 2,..., b }. Παράδειγµα: στον κόµβο ϕτάνουµε αν ξεκινώντας από τη ϱίζα: ακολουθήσουµε τη 2η εναλλακτική µετάβαση της NTM, κατόπιν την 3η εναλλακτική µετάβαση της NTM και, τέλος, την 1η εναλλακτική µετάβαση της NTM. Αν η N έχει λιγότερες από b εναλλακτικές µεταβάσεις σε κάποιον κόµβο, τότε κάποιες διευθύνσεις είναι απλώς άκυρες. Η ταινία 3 (διεύθυνσης) της TM περιέχει πάντα µια λέξη επί του Σ b. Αλγοριθµική Περιγραφή της TM: 1. Αρχικά, η ταινία 1 περιέχει τη λέξη εισόδου και οι άλλες δύο είναι κενές. 2. Αντιγράφουµε την ταινία 1 στην ταινία Προσοµοιώνουµε έναν κλάδο υπολογισµού της NTM, για είσοδο w. Σε κάθε ϐήµα προσοµοίωσης, διαβάζουµε επόµενο σύµβολο στην ταινία 3, για να δούµε ποιά µετάβαση της δ(, ) της NTM ϑα προσοµοιώσουµε. Αν δεν έχει αποµείνει σύµβολο στην ταινία 3, πάµε στο ϐήµα 4. Το ίδιο, αν συναντήσουµε απορριπτική ϕάση της NTM. Αν συναντήσουµε ϕάση αποδοχής της NTM, αποδεχόµαστε. 4. Αντικαθιστούµε τη λέξη της ταινίας 3 µε τη λεξικογραφικά επόµενή της και επιστρέφουµε στο ϐήµα 2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39 Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing (6/6) Πόρισµα Μια γλώσσα είναι Turing-αναγνωρίσιµη αν και µόνο αν αναγνωρίζεται από NTM. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μηχανές Turing 2 εκεµβρίου / 39
Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.
Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.
Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,
Διαβάστε περισσότεραΜια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.
Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες (3) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς (Ντετερµινιστική) Κλειστότητα Κανονικών Γλωσσών ως προς Ενωση. Κατασκευή: DFA
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;
Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.
Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata
Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww rev w {a, b} * και w αποτελεί καρκινική λέξη } (α) H ζητούμενη μηχανή
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 8 Λύσεις
Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1
Διαβάστε περισσότεραnum(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))
Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις
Διαβάστε περισσότεραΠοιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);
Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές
Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 8 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 8 Λύσεις Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing όπου όλες οι μεταβάσεις που απουσιάζουν οδηγούν στην κατάσταση απόρριψης (q απόρριψης). Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 10 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜηχανές Turing (T.M) I
Μηχανές Turing (T.M) I Οι βασικές λειτουργίες μιας TM είναι: Διάβασε το περιεχόμενο του τρέχοντος κυττάρου Γράψε 1 ή 0 στο τρέχον κύτταρο Κάνε τρέχον το αμέσως αριστερότερο ή το αμέσως δεξιότερο κύτταρο
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8: Πεπερασμένα Αυτόματα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 9 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Ορισμός και λειτουργία των μηχανών Turing Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines
CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 21 November 2008 1 Dr. Vicky Papadopoulou 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει την ακόλουθη γλώσσα. { a n b n+2 c n 2 n 2 } Λύση: H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation
Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ. Μάθηµα 3.2: ηµήτρης Ψούνης
ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Μάθηµα 3.2: Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β. Θεωρία 1. Πεπερασµένα Αυτόµατα 1. Λειτουργία και Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΓενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.
Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II Τι θα κάνουμε σήμερα Ισοδυναμία αυτομάτων στοίβας με ασυμφραστικές γραμματικές (2.2.3) 1 Ισοδυναμία PDA με CFG Θεώρημα: Μια
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Προτάσεις. έντρα. υαδικά έντρα Αναζήτησης ( Α) Ισοζυγισµένα έντρα και Υψος. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές.
Βασικές Προτάσεις έντρα Ορέστης Τελέλης Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n ακµές. ικαιολόγηση: Με επαγωγή στο πλήθος των κόµβων, n. έντρο µε k εσωτερικούς κόµβους και l ϕύλλα έχει n = k + l κόµβους. tllis@unipi.r
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων
Κεφάλαιο 6 Μηχανές Turing Σύνοψη Οι Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν είναι απλά μία ακόμη μηχανή αναγνώρισης για κάποια ευρύτερη οικογένεια γλωσσών από τις γλώσσες, που γίνονται δεκτές από τα Αυτόματα Στοίβας.
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού
Διαβάστε περισσότερα771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων
771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 4 ο ιδάσκων: Α. Ντελόπουλος Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA)
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Αυτόματα Στοίβας Τυπικός Ορισμός Αυτομάτου Στοίβας (2.2.1) Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα (4) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. v 2. u 3.
Παράδειγµα (2) s t Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) w x Ορέστης Τελέλης z y tllis@unipi.r v u Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:
Διαβάστε περισσότεραΗ δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ
Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Ορίζουμε τη συναρμογή δύο γλωσσών Α και Β ως ΑΒ = { uv u A, v B }. (α) Έστω Α = {α,β,γ} και Β =. Να περιγράψετε τη γλώσσα ΑΒ. (β) Θεωρήστε τις γλώσσες L, M και N. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις
Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 18 Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 1 / 21 Παράδειγµα (2) s t w x h g
Διαβάστε περισσότεραΚωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)
Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις από παλιές εξετάσεις
Άσκηση 2 - Τελική εξέταση 2012 Ασκήσεις από παλιές εξετάσεις (α) [10 μονάδες] Να μετατρέψετε το πιο κάτω NFA σε ένα ισοδύναμο DFA χρησιμοποιώντας την κατασκευή που μελετήσαμε στο μάθημα. a a q 0 a, ε q
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης
Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραHEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT
Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΓνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.
Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr
Διαβάστε περισσότεραΥπολογίσιμες Συναρτήσεις
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραK είναι το σύνολο των καταστάσεων. Σ είναι το αλφάβητο των συµβόλων που χρησιµοποιούνται και το οποίο. s K είναι η αρχική κατάσταση της M.
Ισοδυναµία των Μηχανών Turing (TM) Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 11 Απριλίου 2006 1 Βασική µορφή Μηχανών Turing (BTM) Η ϐασική µορφή της Μηχανής Turing (ΒΤΜ) αποτελείται από ένα σύνολο εντολών, µία ταινία που
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότεραΚανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΗΥ252 - Οντοκεντρικός Προγραµµατισµός Προγραµµατιστική Εργασία Εαρινού Εξαµήνου 2004 Περιγραφή Παραδοτέων
ΗΥ252 - Οντοκεντρικός Προγραµµατισµός Προγραµµατιστική Εργασία Εαρινού Εξαµήνου 2004 Περιγραφή Παραδοτέων Περιγραφή Στην εργασία αυτή καλείστε να υλοποιήσετε την προσοµοίωση µηχανών Turing. Μια µηχανή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων
Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΜΤ Τυχαίας Προσπέλασης Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμα Πληροφορικής Επ. Καθ.
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 23: Μηχανές Turing Τυχαίας Προσπέλασης Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 2. Πίνακες 45 23 28 95 71 19 30 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούμενου. Πίνακες (Arrays) Πίνακες (Arrays): Βασικές Λειτουργίες. Πίνακες (Arrays) Ορέστης Τελέλης
Σύνοψη Προηγούμενου Πίνακες (Arrays Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαδικαστικά θέματα. Aντικείμενο Μαθήματος. Aντικείμενα, Κλάσεις, Μέθοδοι, Μεταβλητές.
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΣύνοψη Προηγούµενου. Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις. Σχέσεις Ισοδυναµίας. Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση. Ανακλαστικές (a, a) R
Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ανακλαστικές (, ) R Συµµετρικές (, ) R
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 2. Πίνακες 45 23 28 95 71 19 30 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 12/10/2017
Διαβάστε περισσότεραΠλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.
30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜεταγλωττιστές. Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Μεταγλωττιστές Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines
CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 28 November 2008 1 1 Υπολογισμοί σε Μηχανές Turing Πως χρησιμοποιούμε μια μηχανή Turing? Για την αναγνώριση μιας γλώσσας? Σύμβαση για την αναγνώριση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Φεβρουαρίου 0 / ένδρα Ενα δένδρο είναι
Διαβάστε περισσότερα