Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου*

Transcript

1 Παρατηρήσεις στη δηµιουργία του στάσιµου* Κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου το οποίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ χ, διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα, ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας, τα οποία υποχρεώνουν τα σηµεία του µέσου να ξεκινήσουν την ταλάντωσή τους, κινούµενα προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων). Η εξίσωση που θα χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε τα κύµατα εξαρτάται από το σηµείο αναφοράς που θα λάβουµε. Ορίζουµε ως σηµείο αναφοράς,το σηµείο του µέσου στο οποίο φθάνει το κύµα τη χρονική στιγµή που θεωρούµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου t=0. Το σηµείο αυτό θα αρχίσει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του (y=0), προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων). Κάποια στιγµή τα κύµατα θα συναντηθούν και θα αρχίσουν να συµβάλουν. Το αποτέλεσµα της συµβολής θα είναι η δηµιουργία στάσιµου «κύµατος»..... * Όπως υποχρεωνόµαστε να το διδάξουµε από το σχολικό βιβλίο. Οι παρακάτω παρατηρήσεις αποτελούν µια προσπάθεια καλύτερης διδακτικής προσέγγισης σε κάτι που δε µπορείς να αποφύγεις. Σε καµία περίπτωση δεν αποτελούν προσωπικές θέσεις, πολύ δε περισσότερο δεν είναι πρόταση για δηµιουργία ασκήσεων. 1

2 Η εξίσωση που θα χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψει το στάσιµο, εξαρτάται από τις εξισώσεις που θα χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε τα τρέχοντα κύµατα, συνεπώς από την επιλογή του σηµείου αναφοράς. Α) Μια καλή ιδέα είναι, να θεωρήσουµε ως σηµείο αναφοράς το σηµείο στο οποίο θα συναντηθούν τα κύµατα. Θεωρούµε λοιπόν ως χ=0, το σηµείο συνάντησης των κυµάτων και ως αρχή µέτρησης του χρόνου t=0, τη στιγµή που το σηµείο στη θέση χ=0, αρχίζει να ταλαντώνεται εξαιτίας και των δύο κυµάτων, από τη θέση y=0, προς τα πάνω (v>0). Η εξίσωση ταλάντωσης του σηµείου στη θέση χ=0 εξαιτίας του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά, είναι y 1 =Aηµωt, ενώ αντίστοιχα εξαιτίας του κύµατος που διαδίδεται προς τα αριστερά, είναι y =Aηµωt. Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, η κίνηση του σηµείου στη θέση χ=0, περιγράφεται από την εξίσωση: y=y 1 +y =Aηµωt. Η πιο πάνω επιλογή του σηµείου αναφοράς, εξασφαλίζει ότι η εξίσωση ταλάντωσης του σηµείου στη θέση χ εξαιτίας του κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά, είναι: y 1 =Aηµ(t/T-/λ) ενώ αντίστοιχα εξαιτίας του κύµατος που διαδίδεται προς τα αριστερά, είναι: y =Aηµ(t/T+/λ). Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, η κίνηση του σηµείου στη θέση χ, µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων στο σηµείο αυτό, περιγράφεται από την εξίσωση:

3 y=y 1 +y = Aηµ(t/T-/λ)+ Aηµ(t/T+/λ) Μετά τις γνωστές πράξεις καταλήγουµε στη σχέση: y= Aσυν ηµ t (1) όπου λ T t υ Η σχέση αυτή δηλώνει ότι το σηµείο του µέσου στη θέση χ εκτελεί αρµονική ταλάντωση ίδιας συχνότητας µε τη συχνότητα των κυµάτων που συµβάλουν και πλάτους : A' = Aσυν () λ Η πιο πάνω θεώρηση, όπου θεωρούµε ως χ=0, το σηµείο συνάντησης των κυµάτων και ως αρχή µέτρησης του χρόνου t=0, τη στιγµή που το σηµείο στη θέση χ=0, αρχίζει να ταλαντώνεται εξαιτίας και των δύο κυµάτων από τη θέση y=0 προς τα πάνω (v>0), προϋποθέτει ότι µαζί µε τη σχέση (1) που εκφράζει την αποµάκρυνση του σηµείου στη θέση χ σε συνάρτηση µε το χρόνο, πρέπει να γράφουµε και πεδίο ορισµού για το χρόνο, αφού η συνάρτηση ισχύει µόνο εφόσον έχει γίνει συµβολή των κυµάτων στο σηµείο που εξετάζουµε. Η θεώρηση αυτή δέχεται ότι το στάσιµο σχηµατίζεται σταδιακά και εφόσον τα κύµατα συµβάλουν στη θέση χ=0 τη στιγµή t=0 µπορούµε να ξέρουµε σε ποιο τµήµα του µέσου έχει σχηµατισθεί στάσιµο µια ορισµένη χρονική στιγµή. Έξω από το ευθύγραµµο τµήµα που ορίζεται, από την περιοχή της συµβολής, τα σηµεία του µέσου ταλαντώνονται εξαιτίας µόνο του κύµατος που έχει φθάσει σε αυτά. Π.χ: τη χρονική στιγµή t 1 = 1,5T η επαλληλία των αποµακρύνσεων των σηµείων της χορδής µεταξύ των Κ, Γ έχει ως αποτέλεσµα η µορφή της χορδής µεταξύ των σηµείων Κ και Γ να είναι ευθεία γραµµή. Το σηµείο Γ είναι το σηµείο της χορδής µέχρι το οποίο έχει φθάσει το κύµα y 1 που διαδίδεται προς τα δεξιά, δηλαδή το 3

4 σηµείο στη θέση χ Γ =1,5λ, ενώ Κ είναι το σηµείο της χορδής µέχρι το οποίο έχει φθάσει το κύµα y που διαδίδεται προς τα αριστερά, δηλαδή το σηµείο στη θέση χ Κ =- 1,5λ. Στο τµήµα (ΚΓ)=3λ, από τη συµβολή των δύο κυµάτων έχει δηµιουργηθεί στάσιµο. Τη χρονική αυτή στιγµή, η επαλληλία των αποµακρύνσεων στα σηµεία µεταξύ των Κ και Γ, έχει ως αποτέλεσµα η χορδή να είναι ευθεία γραµµή, αφού όλα τα σηµεία διέρχονται τη στιγµή αυτή από τη θέση ισορροπίας τους. Tο σηµείο Γ στο οποίο έχει σχηµατισθεί κοιλία, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του µε ταχύτητα υ ma =ωα, αφού το σηµείο αυτό κινείται εξαιτίας και των δύο κυµάτων προς τα πάνω µε υ=ωα. Το ίδιο συµβαίνει στα Μ, Π, Κ. Αντίστοιχα τα Η, Ο, Λ όπου επίσης σχηµατίζεται κοιλία, διέρχονται από τη θέση ισορροπίας του µε ταχύτητα υ ma =-ωα αφού τα σηµεία αυτά κινούνται εξαιτίας και των δύο κυµάτων προς τα κάτω µε υ=-ωα. Αντίστοιχα στα Ζ,Θ,Ρ,Σ,Ν,Ι όπου σχηµατίζεται δεσµός, από την επαλληλία των αντίθετων αποµακρύνσεων ±Α προκύπτει µηδενική αποµάκρυνση. Τα σηµεία στις θέσεις χ 1,5λ ταλαντώνονται εξαιτίας µόνο του κύµατος y που διαδίδεται προς τα αριστερά, ενώ τα σηµεία στις θέσεις χ -1,5λ ταλαντώνονται εξαιτίας µόνο του κύµατος y 1 που διαδίδεται προς τα δεξιά. Β) Μια δεύτερη εκδοχή είναι να θεωρούµε ως t=0, τη στιγµή που έχει ολοκληρωθεί ο σχηµατισµός του στάσιµου σε ορισµένη περιοχή του µέσου. 4

5 Τότε όµως θα πρέπει όταν δίνεται η εξίσωση του στάσιµου: y= Aσυν ηµ t (1) λ T να δίνεται και πεδίο ορισµού για τη µεταβλητή θέσης χ, αφού δε µπορούµε να γνωρίζουµε σε ποιο τµήµα του µέσου, έχει δηµιουργηθεί το στάσιµο. Στην περίπτωση αυτή ως σηµείο χ=0, θεωρούµε κάποιο σηµείο του µέσου το οποίο τη στιγµή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται εξαιτίας και των δύο κυµάτων, από τη θέση y=0, προς τα πάνω (v>0), εξασφαλίζοντας ότι στο σηµείο αυτό δηµιουργείται κοιλία του στάσιµου. Τι µας δείχνει το σχήµα του σχολικού Η προσέγγιση του σχολικού, µέσω του σχήµατος.14, στη σελίδα 5: δηµιουργεί ασάφειες λόγω της επιλογής της θέσης χ=0. Προφανώς αναφέρεται σε χρονική στιγµή, πριν τη δηµιουργία του στάσιµου, αφού τα κύµατα δεν έχουν αρχίσει να συµβάλουν. Τότε όµως η συνάντηση των κυµάτων θα πραγµατοποιηθεί µια µεταγενέστερη χρονική στιγµή σε θέση χ 0. Δε µπορούµε 5

6 λοιπόν να ξέρουµε, µε ποιο τρόπο θα συµβάλουν τα κύµατα στη θέση χ=0, όπως αυτή προσδιορίζεται στην αρχική εικόνα. Αν η συµβολή στη θέση αυτή, δεν οδηγεί σε σχηµατισµό κοιλίας, τότε η εξίσωση του στάσιµου δε µπορεί να δίνεται από τη σχέση: y= Aσυν ηµ t λ T Στιγµιότυπα στάσιµου Έστω λοιπόν ότι από τη συµβολή δύο κυµάτων ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο µέσο κατά αντίθετη φορά και τα οποία υποχρεώνουν τα σηµεία του µέσου να ξεκινήσουν την ταλάντωσή τους κινούµενα προς τα πάνω, σχηµατίζεται στάσιµο «κύµα», το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: y= Aσυν ηµ t (1) t 0 λ T Για ορισµένο σηµείο του µέσου στη θέση χ, το πλάτος της αρµονικής ταλάντωσης εξαρτάται αποκλειστικά από τη θέση χ: A' = Aσυν () όπου 0 A' A λ Οι κοιλίες του στάσιµου βρίσκονται στις θέσεις: A' = A Aσυν = A συν = 1 συν =± 1 = συν ( κπ ) λ λ λ λ = κπ = κ, κ Ζ λ Οι δεσµοί του στάσιµου βρίσκονται στις θέσεις: 6

7 π A' = 0 Aσυν = 0 συν = 0 = συν (κ + 1) λ λ π λ = (κ + 1) = (κ + 1), κ Ζ λ 4 Τις χρονικές στιγµές όπου: π π T ηµ ( ωt) = 1 = ηµ ( κπ + ) t= κπ + t= κt+, κ Ζ T 4 + ισχύει: y= Aσυν, δηλαδή όλα τα σηµεία του µέσου φθάνουν ταυτόχρονα σε λ ακρότατη θέση της ταλάντωσης που εκτελούν. Για τα σηµεία όπου: λ συν = 1 = συν ( κπ ) = κπ = ( κ), κ Ζ, ισχύει: y= A λ λ Για τα σηµεία όπου: λ συν = 1 = συν (κ + 1) π = (κ + 1) π = (κ + 1), κ Ζ, ισχύει: λ λ y= A Με βάση τα παραπάνω, σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο του στάσιµου, µια χρονική στιγµή t=κt+t/4, στην περιοχή του µέσου όπου: -λ χ λ: 7

8 y Α -λ -3λ/4 -λ/ λ/ -λ/4 (0,0) λ/4 3λ/4 λ -Α Τις χρονικές στιγµές όπου: 3π 3π 3T ηµ ( ωt) = 1 = ηµ ( κπ + ) t= κπ + t= κt+, κ Ζ T 4 + ισχύει: y= Aσυν, δηλαδή όλα τα σηµεία του µέσου φθάνουν ταυτόχρονα σε λ ακρότατη θέση της ταλάντωσης που εκτελούν. Για τα σηµεία όπου: λ συν = 1 = συν ( κπ ) = κπ = ( κ), κ Ζ, ισχύει: y= A λ λ Για τα σηµεία όπου: λ συν = 1 = συν (κ + 1) π = (κ + 1) π = (κ + 1), κ Ζ, ισχύει: λ λ y= A 8

9 Με βάση τα παραπάνω, σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο του στάσιµου, µια χρονική στιγµή t=κt+3t/4, στην περιοχή του µέσου όπου: -λ χ λ: Τις χρονικές στιγµές όπου: T ηµ ( ωt) = 0 = ηµ ( κπ ) t= κπ t= κ, κ Ζ T + ισχύει: y=0, δηλαδή όλα τα σηµεία του µέσου διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. Σχόλιο (όχι για µαθητές) Κατά τη δηµιουργία του στάσιµου από τη συµβολή των κυµάτων που διαδίδονται κατά αντίθετη φορά, υπάρχουν σηµεία που είναι σχεδόν δεσµοί αφού το πλάτος ταλάντωσης είναι πολύ µικρό. Τα σηµεία αυτά δεν είναι δυνατό να είναι πραγµατικοί δεσµοί, γιατί κατά µήκος της χορδής πρέπει να µεταφέρεται ενέργεια από την πηγή παραγωγής των κυµάτων, αφού πάντα έχουµε αποσβέσεις οπότε πρέπει να αναπληρώνονται οι απώλειες ενέργειας ώστε να έχουµε ταλάντωση σταθερού πλάτους. Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com 9

10 10