Επειδή ο παρατηρητής άργησε ή βιάστηκε να µηδενίσει το χρονόµετρο

Transcript

1 Επειδή ο παρατηρητής άργησε ή βιάστηκε να µηδενίσει το χρονόµετρο Όταν µας ζητούν να γράψοµε την εξίσωση ενός κύµατος, το σηµαντικό είναι να αναγνωρίσοµε το «σηµείο αναφοράς». Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο στο οποίο φθάνει η διαταραχή τη χρονική στιγµή πο θεωρούµε ως αρχή µέτρησης το χρόνο t=0. Το σηµείο ατό θα αρχίσει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας το (y=0), είτε προς τα πάνω (θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων), είτε προς τα κάτω (αρνητική φορά). Σνεπώς η εξίσωση αποµάκρνσης το σηµείο αναφοράς θα είναι, είτε y=aηµ(ωt) όταν αρχίζει να κινείται προς τα πάνω, είτε y=aηµ(ωt+π) όταν αρχίζει να κινείται προς τα κάτω. 1) Η εξίσωση κύµατος: y=αηµω(t-/)=aηµ2π(t/t-/λ) (1) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στην αρχή το άξονα διάδοσης το κύµατος, θέση =0 και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα πάνω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. y (0,0) 1

2 Στην περίπτωση ατή, ο παρατηρητής «έκανε καλά τη δολειά το», δηλαδή «µηδένισε το χρονόµετρο την κατάλληλη στιγµή». 2) Η εξίσωση κύµατος: y=αηµω(t+/)=aηµ2π(t/t+/λ) (2) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα αριστερά (αρνητική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στην αρχή το άξονα διάδοσης το κύµατος, θέση =0 και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα πάνω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. Και σε ατή την περίπτωση, ο παρατηρητής «έκανε καλά τη δολειά το», δηλαδή «µηδένισε το χρονόµετρο την κατάλληλη στιγµή». 3) Η εξίσωση κύµατος: y=αηµ[ω(t-/)+π]=aηµ[2π(t/t-/λ)+π] (3) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στην αρχή το άξονα διάδοσης το κύµατος, θέση =0 και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα κάτω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt+π). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. 2

3 y (0,0) Και σε ατή την περίπτωση, ο παρατηρητής «έκανε καλά τη δολειά το», δηλαδή «µηδένισε το χρονόµετρο την κατάλληλη στιγµή». 4) Η εξίσωση κύµατος: y=αηµ[ω(t+/)+π]=aηµ[2π(t/t+/λ)+π] (4) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα αριστερά (αρνητική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στην αρχή το άξονα διάδοσης το κύµατος, θέση =0 και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα κάτω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt+π). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. y (0,0) Και σε ατή την περίπτωση, ο παρατηρητής «έκανε καλά τη δολειά το», δηλαδή «µηδένισε το χρονόµετρο την κατάλληλη στιγµή». Όταν όµως ο παρατηρητής «δεν έκανε καλά τη δολειά το», αφού «δε µηδένισε το χρονόµετρο την κατάλληλη στιγµή, δηλαδή όταν το κύµα έφθανε στη θέση =0», αλλά το µηδένισε όταν το κύµα έφθανε στη θέση = 1, τότε διακρίνοµε τις περιπτώσεις: 3

4 5) Η εξίσωση κύµατος: t t y A t A A T λ T λ λ = ηµω( ) = ηµ 2 π ( ) = ηµ 2 π ( + ) (5) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στη θέση = 1 το άξονα διάδοσης το κύµατος και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα πάνω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. 6) Η εξίσωση κύµατος: t t y A t A A T λ T λ λ = ηµω( + ) = ηµ 2 π ( + ) = ηµ 2 π ( + ) (6) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα αριστερά (αρνητική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στη θέση = 1 το άξονα διάδοσης το κύµατος και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα πάνω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt). 4

5 Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. y (0,0) X1 7) Η εξίσωση κύµατος: 1 t 1 t 1 y A ηµ ω ( t ) π A ηµ 2 π ( ) A 2 ( ) T λ π ηµ π T λ λ π = + = + = + + (7) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στη θέση = 1 το άξονα διάδοσης το κύµατος και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα κάτω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt+π). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. 8) Η εξίσωση κύµατος: 5

6 1 t 1 t 1 y A ηµ ω ( t ) π A ηµ 2 π ( ) A 2 ( ) T λ π ηµ π T λ λ π = + + = + + = + + (8) ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλοθες σνθήκες: Α) Το κύµα διαδίδεται προς τα αριστερά (αρνητική φορά το άξονα διάδοσης το κύµατος) Β) Σηµείο αναφοράς είναι το σηµείο το µέσο το οποίο βρίσκεται στη θέση = 1 το άξονα διάδοσης το κύµατος και ατό αρχίζει να ταλαντώνεται κινούµενο προς τα κάτω, δηλαδή έχει ως εξίσωση αποµάκρνσης την y=aηµ(ωt+π). Γ) Το σύµβολο χ εκφράζει την τετµηµένη θέσης κάθε σηµείο το άξονα διάδοσης το κύµατος. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Εγκάρσιο αρµονικό κύµα σχνότητας f=2hz και πλάτος Α=0,1m διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσο µε ταχύτητα =20m/s. Να αντιστοιχίσετε τις παρακάτω εξισώσεις y=f(,t): 1) y= 0,1ηµ 4 π ( t ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t ) + π ( S. I ) 10 2) 3) 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t + )( S. I) y= 0,1ηµ 4 π ( t ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t + ) + π ( S. I)

7 4) y= 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t )( S. I) ) y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t+ ) + π ( S. I) 10 6) 7) 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) = 0,1ηµ 2 π (2 t+ )( S. I) y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t+ ) + π ( S. I ) ) y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) = 0,1ηµ 2 π (2 t+ )( S. I ) µε τα αρµονικά κύµατα, τα οποία τη χρονική στιγµή t=0, έδωσαν τα παρακάτω στιγµιότπα: y(m) y(m) 0,1 0,1-10 (0,0) -0,1 (m) (0,0) -0,1 10 (m) (α) (β) y (m) 0, (0,0) (m) -0,1 (γ) 7

8 8

9 Η παρακάτω µορφή το µέσο, η οποία αντιστοιχεί στη χρονική στιγµή t=0,75 s, από ποιες σνθήκες διάδοσης το παραπάνω κύµατος προκύπτει; 9

10 AΠΑΝΤΗΣΗ Το στιγµιότπο (α) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στην αρχή το άξονα διάδοσης χ=0. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t y = Aηµω ( t ) Aηµ 2 π ( ) y 0,1ηµ 4 π ( t ) 0,1ηµ 2 π (2 t )( S. I) = T λ = 20 = 10 δηλαδή η (4). Το στιγµιότπο (β) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στην αρχή το άξονα διάδοσης χ=0. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t y = Aηµω ( t + ) Aηµ 2 π ( ) y 0,1ηµ 4 π ( t ) 0,1ηµ 2 π (2 t )( S. I) = T + λ = + 20 = + 10 δηλαδή η (8). Το στιγµιότπο (γ) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στην αρχή το άξονα διάδοσης χ=0. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t y= Aηµ ω( t ) + π = Aηµ 2 π ( ) + π y= 0,1ηµ 4 π ( t ) + π T λ y= 0,1ηµ 2 π (2 t ) + π ( S. I) 10 δηλαδή η (1). Το στιγµιότπο (δ) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στην αρχή το άξονα διάδοσης χ=0. Το 10

11 σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t y= Aηµ ω( t+ ) + π = Aηµ 2 π ( + ) + π y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) + π T λ y= 0,1ηµ 2 π (2 t+ ) + π ( S. I ) 10 δηλαδή η (5). Το στιγµιότπο (ε) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t t y A t A A T λ T λ λ 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t + )( S. I) = ηµω( ) = ηµ 2 π ( ) = ηµ 2 π ( + ) δηλαδή η (2). Το στιγµιότπο (στ) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t t y A t A A T λ T λ λ 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) = 0,1ηµ 2 π (2 t+ )( S. I ) = ηµω( + ) = ηµ 2 π ( + ) = ηµ 2 π ( + ) δηλαδή η (6). Το στιγµιότπο (ζ) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m. Το 11

12 σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t t y A t A A T λ T λ λ 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t + ) + π ( S. I) = ηµ ω( ) + π = ηµ 2 π ( ) + π = ηµ 2 π ( + ) + π δηλαδή η (3). Το στιγµιότπο (η) αντιστοιχεί σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά την αρνητική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m. Το σηµείο στη θέση ατή, αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω. Εύκολα δείχνοµε ότι η εξίσωση το κύµατος είναι η: t t y A t A A T λ T λ λ 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t+ ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t+ ) + π ( S. I) = ηµ ω( + ) + π = ηµ 2 π ( + ) + π = ηµ 2 π ( + ) + π δηλαδή η (7). ΣΧΟΛΙΟ Η εξίσωση κύµατος: 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t + )( S. I) πο αντιστοιχεί στο στιγµιότπο (ε), δηλαδή σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m, το οποίο αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω, δεν πρέπει να µετασχηµατιστεί στη µορφή: y= 0,1ηµ 2 π (2 t ) + π ( S. I ) 10, διότι ατή παραπέµπει σε κύµα όπο το σηµείο αναφοράς χ=0 αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς 12

13 την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω, όπως στο στιγµιότπο (γ). Γενικότερα µε την ίδια εξίσωση µπορεί να περιγράφονται δύο διαφορετικά κύµατα. Γι ατό θα πρέπει η εξίσωση το κύµατος να γράφεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να δίνει τη µέγιστη δνατή πληροφορία για το κύµα πο περιγράφει. Επίσης η εξίσωση κύµατος: 5 1 y= 0,1ηµ 4 π ( t ) + π = 0,1ηµ 2 π (2 t + ) + π ( S. I) 10 2 πο αντιστοιχεί στο στιγµιότπο (ζ), δηλαδή σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m, το οποίο αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς την αρνητική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα κάτω, δεν πρέπει να µετασχηµατιστεί στη µορφή: 1 y= 0,1ηµ 2 π (2 t ) + 2π + π y= 0,1ηµ 2 π (2 t ) + 2π y= 0,1ηµ 2 π (2 t )( S. I) 10 διότι ατή παραπέµπει σε κύµα το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική φορά το άξονα χ χ και τη στιγµή t=0, φθάνει στην αρχή το άξονα διάδοσης χ=0, το οποίο αρχίζει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση προς τη θετική φορά το άξονα των εγκάρσιων αποµακρύνσεων, δηλαδή προς τα πάνω. Τέλος, η µορφή το µέσο: y(m) 0,1-20 (0,0) 5 20 (m) -0,1 13

14 προκύπτει αν θεωρήσοµε την πηγή το κύµατος στο σηµείο µε τετµηµένη θέσης χ 1 =5m. Το κύµα πο διαδίδεται προς τα δεξιά, έχει εξίσωση: 5 1 y1 = 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t + )( S. I) µε 5m, ενώ το κύµα πο διαδίδεται προς τα αριστερά, έχει εξίσωση: 5 1 y2 = 0,1ηµ 4 π ( t ) = 0,1ηµ 2 π (2 t+ )( S. I) µε 5m Σε χρονικό διάστηµα Δt=0,75s το κύµα έχει διαδοθεί κατά Δ=Δt=15m εκατέρωθεν της πηγής. Θοδωρής Παπασγορίδης papasgou@gmail.com 14