2 και οι αντιδράσεις F! 1. των ράβδων, οι οποίες διευθύνονται κάθετα προς αυτές. Όταν το σύστηµα ισορροπεί πρέπει ο φορέας της συνισταµένης!

Transcript

1 Δύο σφαιρίδια Σ 1 και Σ 2 µε αντίστοιχα βάρη w 1 και w 2, συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και ανθεκτικό νήµα µπορούν δε να ολισθαί νουν χωρίς τριβή κατά µήκος δύο µεταλλικών ράβδων, οι οποίες είναι συγκοληµένες υπό ορθή γωνία και έχουν στερεωθεί σε οριζόν τιο έδαφος, ώστε το επίπεδό τους να είναι κατακόρυφο, όπως φαίνε ται στο σχήµα 1). Εάν η κλίση της µιας ράβδου ως προς το έδαφος είναι φ, να υπολογιστεί η γωνία του νήµατος µε τη ράβδο αυτή, όταν το σύστηµα ισορροπεί και να εξετάσετε το είδος της ισορρο πίας του. ΛΥΣΗ: Στο σύστηµα των δύο σφαιριδίων ενεργούν τα βάρη τους w 1, w 2 και οι αντιδράσεις F 1, F 2 των ράβδων, οι οποίες διευθύνονται κάθετα προς αυτές. Όταν το σύστηµα ισορροπεί πρέπει ο φορέας της συνισταµένης w 1 + w 2 των βαρών και οι φορείς των αντιδράσεων να τέµνονται στο ίδιο σηµείο σηµείο Μ). Εξάλλου ο φορέας της δύναµης w 1 + w 2 τέµνει το νήµα στο κέντρο µάζας των δύο σφαιριδίων, οπότε θα ισχύει: Σχήµα 1 Σ 1 )w 1 = Σ 2 )w 2 w 1 /w 2 = Σ 2 / Σ 1 1) Εφαρµόζοντας τον νόµο των ηµιτόνων στα τρίγωνα Σ 1 Μ και Σ 2 Μ παίρνουµε τις σχέσεις: 1 "µ# = M "µ $ /2 - %) M = 1 "#$% &µ 2) 2 "µ # /2 - $) = M "µ% M = "µ# 2 $%& 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 2) και 3) παίρνουµε:

2 1 "#$% &µ = 2&µ% "#$ µ" #$%" = & 1#$% & 2 µ 1) "# = w 2 w 1 $%" 4) Η βαρυτική δυναµική ενέργεια U του συστήµατος ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Ο είναι: U=-w 1 h 1 -w 2 h 2 =-[w 1 OΣ 1 ηµφ+w 2 ΟΣ 2 ηµπ/2-φ)] U=-w 1 Lσυνθηµφ+w 2 Lηµθσυνφ)=-w 1 Lηµφσυνθ+w 2 σφφηµθ/w 1 ) όπου L το µήκος του νήµατος. Θέτοντας w 2 σφφ/w 1 =εφω η προηγούµενη σχέ ση γράφεται: U = -w 1 Lηµφσυνθ+εφωηµθ)=-w 1 Lηµφσυνθ+ηµωηµθ/συνω) U = - w 1 Lµ" #$%& #$%#$%& + µ&µ)= - w Lµ" 1 #$% - &) 5) #$%& Από την 5) παρατηρούµε ότι η βαρυτική δυναµική ενέργεια U γίνεται ελά χιστη όταν θ=ω ή όταν εφθ=εφω ή όταν εφθ=w 2 σφφ/w 1, δηλαδή στη θέση ισορροπίας του συστήµατος. Άρα η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής. Παρατήρηση: ii) Εάν x, y είναι οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας των δύο σφαιρι δίων στο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οx, Οy, θα ισχύουν οι σχέσεις: x = 2 )"µ#/2 - $) % & y = 1 )"µ$ x2 = 2 ) 2 "#$ 2 % y 2 = 1 ) 2 &µ 2 % ) x 2 / 2 ) 2 = "#$ 2 % y 2 / 1 ) 2 = &µ 2 % ) x 2 2 ) 2 + y2 1 ) 2 = 1 6) Σχήµα 2 Η σχέση 6) δηλώνει ότι, αν εκτραπεί το σύστηµα από τη θέση ισορροπίας του το κέντρο µάζας του θα διαγράψει τόξο έλλειψης, το οποίο στρέφει το κυρτό του µέρος προς τα κάτω, δηλαδή το τόξο αυτό βρίσκεται πάνω από

3 την εφαπτόµενη ε) της έλλειψης στη θέση του κέντρου µάζας του συστήµα τος, όταν αυτό ισορροπεί σχήµα 2). Όµως η εφαπτόµενη ε) είναι οριζόντια, διότι αυτό απαιτείται από την ισορροπία του συστήµατος και το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι, αν διαταραχθεί η ισορροπία του µε µεταβολή της γωνίας θ, το κέντρο µάζας του θα ανέρχεται, δηλαδή η ισορροπία του συστήµατος είναι ευσταθής. P.M. fysikos Mια λεπτή ράβδος AΓ µήκους L, αφήνεται ελεύθερη να κινείται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο κατακόρυ φο επίπεδο οι δε άκρες της A και Γ να ολισθαίνουν πάνω σε δύο λείους οδηγούς, όπως φαίνεται στο σχήµα 3). i) Nα καθορίσετε την µορφή της γραµµής που <<διαγράφει>> το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της ράβδου. ii) Nα εκφράσετε το λόγο των ταχυτήτων των άκρων A και Γ της ράβδου, σε συνάρτηση µε τη γωνία θ. Δίνεται η γωνία α των δύο οδηγών. ΛYΣH: i) Θεωρούµε τη ράβδο σε µια τυχαία θέση, στην οποία η γωνία της ράβδου µε τον οριζόντιο οδηγό είναι θ και έστω v A, v οι ταχύτητες των Σχήµα 3 άκρων A και Γ της ράβδου στη θέση αυτή. Tότε το αντίστοιχο στιγµιαίο κέν τρο περιστροφής K της ράβδου θα είναι η τοµή των καθέτων ευθειών στους φορείς των ταχυτήτων v A και v, θα βρίσκεται δε στο κατακόρυφο επίπεδο κίνησης της ράβδου. Eπειδή το τετράπλευρο KΓOA είναι εγγράψιµο σε κύκ λο, οι γωνίες ΓKO και ΓAO είναι ίσες µεταξύ τους, η δε γωνία ΓKA είναι ίση µε α. Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο AOΓ το νόµο των ηµιτόνων παίρνουµε: O "µ# = A "µ$ - %) O "µ# = L "µ$ 1)

4 Eξάλλου, από το ορθογώνιο τρίγωνο OΓK έχουµε OΓ=KOηµθ, οπότε η σχέση 1) γράφεται: KOµ" µ" = L µ# KO = L µ" 2) Δηλαδή κατά την κίνηση της ράβδου AΓ πάνω στους δύο οδηγούς το στιγ µιαίο κέντρο περιστροφής της K διαγράφει πάνω στο επίπεδο κίνησης της ράβδου κυκλικό τόξο, κέντρου O και ακτίνας L/ηµα. ii) Eάν είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου στη θέση που την εξετάζουµε, τότε τότε για τις ταχύτητες v A και v θα ισχύουν οι σχέ σεις: = " KA) $ " ) v # = & % - v = " # KA) - " # K) " K#) & - v = [" # KA) - K)] 3) Όµως από το σχήµα 3) προκύπτει η διανυσµατική σχέση: KA + A = K KA - K = A οπότε η 3) γράφεται: - v = " # A ) 4) Aλλά το πρώτο µέλος της 4) αποτελεί την σχετική ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου ως προς το άλλο της άκρο Γ και εποµένως η 4) εγγυάται ότι, η σχετική αυτή ταχύτητα έχει διεύθυνση κάθετη στην ράβδο. iii) Για τα µέτρα των ταχυτήτων και v ισχύουν οι σχέσεις: = KA) # $ v " = K") % :) v = KA K v = OK"#$% - &) OK"#$& v = "#$% - &) "#$& Σηµαντική παρατήρηση: Το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής ενός στερεού σώµατος που εκτελεί επίπε δη κίνηση δεν είναι ένα αυστηρά καθορισµένο σηµείο αυτού ή της επέκτα σής του, όπως λογουχάρη το κέντρο µάζας του, αλλά λόγω της εξ ορισµού ιδιότητάς του η ταχύτητά του ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς να είναι µηδενική, η θέση του αλλάζει, υπό την έννοια ότι άλλο σηµείο του στερεού ή της επέκτασής του αποτελεί το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του την χρονική στιγµή t 1 και κάποιο άλλο την χρονική στιγµή t 2. Ο γεωµετρι κός τόπος των στιγµιαίων κέντρων περιστροφής του στερεού που αντιστοι

5 χούν στις διάφορες χρονικές στιγµές της επίπεδης κίνησής του, θεωρούµε νος ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ονοµάζεται κεντροειδές χώρου του σώµατος. Είναι προφανές ότι δεν έχει νόηµα να ισχυριστούµε ότι το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο του στερεού κινείται ως προς το αδρανει ακό σύστηµα, διότι δεν πρόκειται για ένα συγκεκριµένο σηµείο που διαγ ράφει µια συγκεκριµένη τροχιά, άλλα πρόκειται για ένα σηµειοσύνολο που αποτελεί το κεντροειδές χώρου, που αντιστοιχεί στην επίπεδη κίνηση του στερεού. P.M. fysikos Hµισφαιρικό σώµα ακτίνας R, στερεώνεται σε οριζόντιο έδαφος στρέφοντας την κυρτή του επιφάνεια πρός τα πάνω. Μια ράβδος µήκους L και µάζας m µετατοπίζεται ώστε το ένα της άκρο να κινείται επί του εδάφους η δε ράβδος να παραµένει στο ίδιο κατα κόρυφο επίπεδο εφαπτόµενη συνεχώς του ηµισφαιρικού σώµατος. Να βρείτε: i) την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, ως συνάρτηση της γωνίας φ που σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση και της ταχύτητας v A του άκρου της Α και ii) την αντίστοιχη ταχύτητα του σηµείου επαφής της ράβδου µε το ηµισφαιρικό σώµα. ΛΥΣΗ: i) Η ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση, η οποία µπορεί να θεωρηθεί κάθε στιγµή ως γνήσια περιστροφή αυτής σε κατακόρυφο επίπεδο περί το αν τίστοιχο στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ, το οποίο προκύπτει ως τοµή των Σχήµα 4 καθέτων στα διανύσµατα των ταχυτήτων των σηµείων Μ και Α της ράβδου σχήµα 4). Εάν είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου τη στιγµή που σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση, θα ισχύει: = AK) = /AK 1) Από την γεωµετρία του σχήµατος έχουµε ακόµη τις σχέσεις:

6 MA = KAµ" $ % MA = R#"" & KAµ" = R #$%" µ" KA = R "#$ %µ 2 $ 2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1) και 2) παίρνουµε: = "µ 2 # R$%&# 3) H ταχύτητα v M του σηµείου επαφής Μ της ράβδου µε το ηµισφαιρικό σώµα έχει φορέα την ράβδο, η φορά της είναι πρός το άκρο της Α, το δε µέτρο της δίνεται από τη σχέση: 2),3) v M = MK) = KA)"#$% v M = v µ 2 A " #$%" &R R#$%" µ 2 " #$%" v = v M A "#$ 4) P.M. fysikos Μια µη οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας r, ισορροπεί στην ανώτατη θέση ενός ακίνητου ηµισφαιρίου ακτίνας R, όπως φαίνε ται στο σχήµα 5). i) Εάν µεταξύ της σφαίρας και του ηµισφαιρίου υπάρχει η απαραί τητη τριβή, ώστε να µη συµβαίνει ολίσθηση της σφαίρας, όταν αυτή εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας της, να βρείτε τη συνθήκη που εξασφαλίζει ευσταθή ισορροπία της σφαίρας. ii) Να δείξετε ότι, αν η σφαίρα εκτραπεί λίγο από τη θέση ισορρο πίας της και αφεφεί ελευθερη, η γωνία θ µεταβάλλεται περιοδικά µε τον χρόνο στην διάρκεια της κίνησης της σφαίρας και να υπολογίσετε την περίοδο. Δίνεται η απόσταση α του κέντρου µάζας της σφαίρας από το γεωµετρικό της κέντρο Κ και η ροπή αδρά νειας Ι O αυτής ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η σφαίρα εκτρέπεται από την ανώτατη θέση της κυλιόµενη επί του ηµισφαιρίου, ώστε η µεν επιβατική ακτίνα ΚΟ να λάβει την θέση ΚΟ η δε ευθεία ΟΑ της σφαίρας να λάβει τη θέση Ο Α. Λόγω της κύλισης της σφαίρας το µήκος του τόξου ΑΒ είναι ίσο µε το µήκος του τόξου Α Β, δηλαδή ισχύει η σχέση: τοξαβ) = τοξα Β) Rθ = rφ θ =rφ/r 1) όπου θ η γωνία Α Ο Β. Εξάλλου η κύλιση της σφαίρας µπορεί να θεωρηθεί κάθε στιγµή ως γνήσια περιστροφή αυτής περι το στιγµιαίο κέντρο Β ση

7 µείο επαφής της σφαίρας µε το ηµισφαίριο), οπότε για να είναι η ισορροπία της σφαίρας ευσταθής, πρέπει στη θέση εκτροπής της να δέχεται περί το σηµείο Β συνισταµένη ροπή επαναφοράς στην αρχική της θέση. Για να συµ Σχήµα 5 βαίνει αυτό πρέπει ο φορέας του βάρους w να βρίσκεται αριστερά του σηµεί ου Β, όπως δηλώνεται στο σχήµα 5). Το µέτρο της συνισταµένης ροπής επαναφοράς είναι: Στ) = wx = w M BN) 2) όπου x η απόσταση του Β από τον φορέα του βάρους w και Μ, Ν οι προβο λές των σηµείων και Β στην κατακόρυφη διεύθυνση Ο z. Όµως ισχύουν οι σχέσεις M = αηµφ+θ) και ΒΝ = rηµθ οπότε η 2) γράφεται: Στ) = w[αηµφ + θ) rηµθ] 3) Αν η εκτροπή θ της επιβατική ακτίνας ΚΟ είναι πολύ µικρή, τότε και η γωνία φ θα είναι µικρή και µπορούµε να χρησιµοποιούµε τις προσεγγιστικές σχέσεις: ηµφ + θ) φ + θ και ηµ θ θ οπότε η σχέση 3) γράφεται: 1) ") = w [#$ + %) - r% ] + % ") = w # $ + r$ * - r2 $. - 0, & R ) R / µε % ") = w #$ + #r$ R - r2 $ $ * ") = w # + #r & R ) R - r2 & % R ) * = D* 4)

8 " D = w + r R - r2 % $ # R 5) & Όµως πρέπει η ποσότητα D να είναι θετική, δηλαδή πρέπει: + r R - r2 R > 0 > r2 R - r R R > rr - ) R > r r - ) R > r " $ r # - 1 % 6) & H σχέση 6) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε η ισορροπία της σφαίρας να είναι ευσταθής. ii) Εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το στιγ µιαίο * κέντρο περιστροφής Β, παίρνουµε την σχέση: I B d 2 dt 2 = -"#) I B d 2 dt 2 = -D d 2 R / r) dt 2 + D I B R r = 0 d2 dt 2 + D I B = 0 7) όπου Ι Β η ροπή αδράνειας της µη οµογενούς σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της Β και είναι κάθετος στο επίπεδο κινήσεως της. Eάν Ι είναι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι παράλληλος προς τον προηγούµενο άξονα, θα ισχύει συµφωνα µε το θεώρηµα Steiner η σχέση: I O = I + m 2 I = I O - m 2 8) To ίδιο θεώρηµα µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: 8) I B = I + mb) 2 I B = I O - m 2 + mb) 2 9) Eφαρµοζοντας στο τρίγωνο ΒΚ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε: B) 2 = 2 + r 2-2r"#$% & 2 + r 2-2r * Ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ισχύει υπό την γνωστή µορφή: " ) = I # όταν οι ροπές των δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο εξεταζόµενο στερεό σώµα θεωρούνται περί το κέντρο µάζας του ή περί ένα σηµείο που είναι ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς της κίνησής του. Σε κάθε άλλη περίπτωση ο θεµελιώδης νό µος της στροφικής κίνησης έχει πολυπλοκότερη µορφή. Βλέπε ανάρτηση µε τον τίτλο Γενική κίνηση στερεού σώµατος σελίδα 6, στην διεύθυνση:

9 διότι η γωνία φ είναι µικρή. Έτσι η σχέση 9) γράφεται: I B I O - m" 2 + m" 2 + r 2-2"r) I B I O + mrr - 2") 10) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 7) και 10) παίρνουµε: d 2 dt + D 2 I O +mrr - 2") = 0 d2 dt + 2 "2 = 0 11) µε Ω 2 =D/ [I O +mrr-2α)]. Η 11) αποτελεί µια γραµµική και οµογενή διαφο ρική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές που δέχεται λύση της µορφής: = 0 "µ #t + $) 8) όπου θ 0, δ σταθερές ποσότητες, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της σφαίρας. Η σχέση 8) εγγυάται ότι, αν η σφαίρα εκτραπεί πολύ λίγο από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της και αφεθεί ελεύθερη, τότε θα κυλίεται παλινδροµικά περί την θέση αυτή και η γωνία θ θα µεταβάλλεται ηµιτονικά µε τον χρόνο. Μια τέτοια κίνηση της σφαίρας ονοµάζεται στρο φική αρµονική ταλάντωση. Η περίοδος Τ της ταλάντωσης αυτής δίνεται από τη σχέση: T = 2 " = 2 I B D 10) T = 2 I O + mrr - 2") ) w " + "r / R) - r 2 / R P.M. fysikos Λεπτή στεφάνη µάζας m και αρκετά µεγάλης ακτίνας, φέρει στο κοίλο µέρος της εσωτερική πλευρά) ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m ενσωµατωµένο µε τη στεφάνη. Κάποια στιγµή η στεφάνη φέρεται σε επαφή µε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ και σε τέτοια θέση, ώστε η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο της στεφάνης να είναι παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο. Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη, ώστε όταν η στεφάνη αφεθεί ελεύ θερη ν αρχίσει κυλιόµενη προς τα πάνω. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι τη χρονική στιγµή t=0 που σύστηµα στεφάνη-σφαι ρίδιο αφήνεται ελεύθερο επί του κεκλιµένου επιπέδου η στεφάνη αρχίζει να κύλίεται προς τα πάνω. Τη στιγµή αυτή η κύλιση µπορεί να θεωρηθεί ως γνήσια περιστροφή περί το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής, που ταυτίζεται µε το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το κεκλιµένο επίπεδο. Επί του συστή µατος ενεργεί το βάρος του W =2m g του οποίου ο φορέας είναι κατακόρυ φος και διέρχεται από το κέντρο βάρους του συστήµατος που βρίσκεται στο µέσον της ακτίνας ΟΣ και η δύναµη επαφής επί της στεφάνης από το κεκλιµένο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή T και την κάθετη αντίδρα

10 ση N. Επείδη η περιστροφή πρέπει να είναι δεξιόστροφη, η τριβή T έχει φο ρά προς τα πάνω ο δε φόρεας του βάρους W πρέπει να βρίσκεται δεξιά του Σχήµα 6 σηµείου Α, ώστε να δηµιουργεί περί το Α δεξιόστροφη ροπή. Αυτό ση µαίνει ότι η γωνία ΟB πρέπει να είναι µεγαλύτερη από την γωνία ΟA, δηλαδή πρέπει να ισχύει: γωνίαοb)>γωνίαοα) π/2-φ>π/2-θ θ>φ εφθ>εφφ Ο/OA<εφφ R/2R>εφφ εφφ<1/2 1) Aκόµη πρέπει η τριβή T να είναι στατική τριβή, δηλαδή το µέτρο της οφεί λει να ικανοποιεί τη σχέση: T < nn 2) Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το Α, παίρνουµε τη σχέση: = I A " 3) όπου η γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος την χρονική στιγµή t=0, I A η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της στεφάνης και διερχόµενο από το Α και τ το µέτρο της ροπής του βάρους W περί το Α. Όµως για το µέτρο τ έχουµε: =Wx = 2mgx = 2mgA)"µ[AB] = 2mg R 2 +R 2 /4"µ# - $) = 5mgR"µ# - $) 4) όπου x η απόσταση του σηµείου Α από τον φορέα του βάρους W. Εξάλλου για την ροπή αδράνειας Ι Α ισχύει: A) I A = I "#$ A) + I $%& = 2mR 2 + 2mA) 2 = 2mR 2 + 2mR 2 = 4mR 2 5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3) 4) και 5) παίρνουµε:

11 5mgR µ" -#) = 4mR 2 $ = 5g "µ# -$)/ 4R 6) H επιτάχυνση a του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t=0 είναι µόνο επιτρόχια επιτάχυνση, διότι η ταχύτητα του εκείνη τη στιγµή είναι µηδε νική, οπότε µηδενική θα είναι και η κεντροµόλος επιτάχυνση του. H a έχει φορέα κάθετο στην Α και αναλύεται στις συνιστώσες a x και a y κατά τις κάθετες διευθύνσεις x και y. Εξετάζοντας την χρονική στιγµή t=0 την κίνηση του κέντρου µάζας κατά τις διευθύνσεις αυτές, παίρνουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα τις σχέσεις: T - 2mgµ" = 2ma x & 2mg#$%" - N = 2ma y T - 2mgµ" = 2ma #$%& 2mg#$%" - N = 2ma µ& ) T - 2mgµ" = 2m#A)$%& 2mg$%&" - N = 2m#A)µ ) * T - 2mgµ" = m#r 5$%& 2mg$%&" - N = m#r 5µ * ) + * 6) T = 2mgµ" + 5mRgµ# - ")$%&# /4R N = 2mg$%&" - 5mRgµ# - ")µ# /4R ) T = 2mgµ" + 5mgµ # - ")$%&# /4 N = 2mg$%&" - 5mgµ # - ")µ# /4 ) 7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 2) και 7) έχουµε τη σχέση: 2mgµ"+5mgµ #-")$%&# /4 < n[2mg$%&"-5mgµ #-")µ# /4] 8µ" + 5µ # - ")$%&# < n[8$%&" - 5µ# - ")µ#] 8) µε εφθ=1/2. Οι σχέσεις 1) και 7) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες ώστε, όταν η στεφάνη αφεθεί ελεύθερη να αρχίσει κυλιόµενη προς τα πάνω επί του κεκ λιµένου επιπέδου. P.M. fysikos Ένα σώµα κυβικού σχήµατος ακµής α και µάζας m ολισθαίνει χω ρίς τριβή επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ και όταν φθά νει στη βάση του επιπέδου συναντά ένα µικρό σταθερό εµπόδιο. Να βρεθεί σε πόση απόσταση από το εµπόδιο πρέπει να αφεθεί το σώµα, ώστε να επίκειται η ανατροπή του όταν συναντήσει το εµπό

12 διο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι 0 =2mα 2 /3 του κύβου ως προς µία ακµή του. ΛΥΣΗ: Έστω v η ταχύτητα του σώµατος λίγο πρίν συναντήσει το εµπόδιο στο Ο και S η ζητούµενη απόσταση. Τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: S = gt 2 µ" /2 # $ v = gtµ" % v 2 = 2gSµ" v = 2gSµ" 1) όπου t ο απαιτούµενος χρόνος για να διανύσει το σώµα την απόσταση S. Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση του σώµατος µε το εµπόδιο, η ροπή περί την ακµή Ο της παράλληλης προς το κεκλιµένο επί πεδο συνιστώσας του βάρους του έχει αµελητέα ώθηση, οπότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η στροφορµή του περί την Ο λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του αµέσως µετά, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv /2 = I 0 " mv /2 = 2m 2 " / 3 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος περί την ακµή Ο, αµέσως µετά την κρούση. Η προηγούµενη σχέση γράφεται: v = 4" 3 = 3v 4" 1) = 3 4" 2gS#µ$ 2) Σχήµα 7 Σχήµα 8 Για να επίκειται η ανατροπή του κυβικού σώµατος πρέπει τη στιγµή που η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας του ως προς το Ο γίνεται κατακόρυφη, να µηδενίζεται η γωνιακή του ταχύτητα, οπότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει: 1 2 I mg " 2 2 #µ & $ 4 + % ) + = 0 + mg " 2 * 2 2m 2 & " 2 + mg 2#µ $ % ) + = mg 2 * " 9 2gS#µ$ & + g 2#µ % $ ) + = g 2 *

13 3 4 gsµ" + g# 2µ % $ & 4 + " * = g# 2 ) 3 4 Sµ" = # µ % $ & 4 + ". - * 0 S = 4 2 +, ) / 3"µ# 1 - "µ % $ & 4 + #. - * 0, ) / P.M. fysikos Οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους 2L, κρατείται σε κατακόρυφη θέση ώστε το άκρο της Α να ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος. Δίνου µε στη ράβδο ελαφρά ώθηση µε αποτέλεσµα να τίθεται σε κίνηση, στη διάρκεια της οποίας το άκρο Α ολισθαίνει στο έδαφος. i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου σε συ νάρτηση µε την γωνία θ που σχηµατίζει µε το οριζόντιο έδαφος. ii) Να βρείτε τις ταχύτητες των άκρων της ράβδου, λίγο πριν αυτή φθάσει στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζοντας τη ράβδο κατά την τυχαία χρονική στιγµή t που σχη µατίζει γωνία θ µε το έδαφος, παρατηρούµε ότι οι δυνάµεις που ενεργούν πάνω σ αυτή είναι το βάρος της w και η αντίδραση R του εδάφους στο άκρο της Α. Επειδή οι δυνάµεις αυτές είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας της ράβδου δεν επιταχύνεται κατά τον οριζόντιο άξονα Οx, δηλαδή η οριζόν τια συνιστώσα v x της ταχύτητάς του είναι σταθερή και µά λιστα ίση µε µη δέν, αφού την χρονική στιγµή t=0 η ράβδος είναι σχεδόν ακίνητη. Εξάλλου η y-συντεταγµένη του κέντρου µάζας κατά τη χρονική στιγµή t είναι: y = L 2 µ" dy = L "#$ d$ 2 dy dt = L d$ "#$ 2 dt v = L 2 "#$% 1) Σχήµα 9 όπου v η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας και η γωνιακή ταχύ τητα της ράβδου ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας και κάθετο

14 στην ράβδο. Εφαρµόζοντας για τη ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως της κατά την χρονική στιγµή t, παίρνουµε τη σχέση: K "# + U "# = K t + U t 0 + mg L 2 = 1 2 mv I 2 + mg L 1) 2 "µ# mg L 2 = 1 2 mv ml % 2v * & L"#$ ) 2 + mg L 2 +µ$ gl - glµ" = v 2 + v 2 / 3#$% 2 " 3gL1 - µ")#$% 2 " = v #$% 2 ") v 2 = 3gL1 - µ")#$% 2 " 1 + 3#$% 2 " v = 3gL1 - µ")#$% 2 " 1 + 3#$% 2 " 2) ii) Κατά τη χρονική στιγµή που η ράβδος φθάνει στο οριζόντιο έδαφος είναι θ=0, οπότε η 2) δίνει: v = 3gL 4 = 1 2 3gL 3) Τη στιγµή αυτή η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου είναι: = v + v A = v - v = 0 διότι η ταχύτητα v A του Α λόγω της περιστροφής της ράβδου περί το κέν τρο µάζας είναι αντίθετη της v. Πράγµατι τη στιγµή αυτή ισχύει: v A " v και v A = L 2 1) v A = L 2 % 2v * = v & L"#$ ) Εξάλλου η αντίστοιχη ταχύτητα v B του άκρου Β είναι: v B = v + v B = v + v = 2 v διότι η ταχύτητα v B του Β λόγω της περιστροφής της ράβδου περί το κέν τρο µάζας είναι ίση µε v. Πράγµατι τη στιγµή αυτή ισχύει: v B v 1) v B = L % 2v * = v 2 & L"#$ ) P.M. fysikos

15 Oµογενής ράβδος OA, µάζας M και µήκους L, µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της O, όπως φαίνεται στο σχήµα 10). Aρχικά η ράβδος κρα τείται σε θέση που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ, εφάπτεται δε µιας σφαίρας ακτίνας R και µάζας m, η οποία είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Kάποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, οπότε ωθεί την σφαίρα η οποία αρχίζει να κυλί εται στο οριζόντιο επίπεδο, εφαπτόµενη συνεχώς της ράβδου. Nα βρεθεί η ταχύτητα του άκρου A της ράβδου την στιγµή που αυτή γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται η ροπή αδράνειας I σ =2mR 2 /5 της σφαί ρας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, η ροπή αδρά νειας I ρ =ML 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η απόσταση α του σηµείου επαφής ράβδου-σφαίρας όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Έστω " η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή που γίνεται κατακόρυφη και " η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της κυλιόµενης στο οριζόντιο έδαφος σφαίρας. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα ράβδος-σφαίρα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως που αναφέρθηκε προηγούµενα, παίρνουµε τη σχέση: Σχήµα 10 Σχήµα 11 1 M 2 3 L2 2 " + 1 2m 2 5 R2 2 # mv 2 = W w M 3 L2 2 " + 2m 5 R2 2 # + mv 2 = 2Mgh 5ML 2 " 2 + 6mv mv 2 = 30Mgh 5ML 2 " mv 2 = 30MgL/2)1 - #$%&) 5ML 2 " mv 2 = 15MgL1 - #$%&) 1)

16 όπου W w το έργο του βάρους w της ράβδου και v η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας την στιγµή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Όµως την στιγµή αυτή η ταχύτητα του σηµείου επαφής Μ της ράβδου µε την σφαίρα είναι ίση µε v, διότι η σταθερότητα του µήκους Μ όταν η ράβδος διατηρεί επαφή µε την σφαίρα εγγυάται ότι η ταχύτητα του Μ ως σηµείου της ράβ δου, είναι ίση µε την συνιστώσα της v κατα την διεύθυνση Μ. Έτσι θα έχουµε την σχέση: " # = v 2) Συνδιάζοντας τις σχέσεις 1) και 2) παίρνουµε: 5ML 2 " m# 2 " 2 = 15MgL1 - $%&) " 2 5ML m# 2 ) = 15MgL1 - $%&) " = 15MgL1 - #$%&) 5ML m 2 3) To µέτρο της ζητούµενης ταχύτητας του άκρου Α της ράβδου είναι: 3) = " L = L 15MgL1 - "#$) 5ML m% 2 P.M. fysikos