E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι"

Transcript

1 E. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Συνθήκες Μεγιστοποίησης.Έσοδο.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής 3.Κερδοφορί.Προσφορά προιόντος 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Συνθήκες Μεγιστοποίησης Θ εξετάσουμε πλά προβλήμτ βελτιστοποίησης στ οικονομικά της πρκάτω μορφής: max{b(x) = r(x) c(x) x Δικρίνουμε τις συνρτήσεις: r(x), έσοδο (revenue) ή χρησιμότητ (utility) Mr = r (x), ορικό έσοδο (marginal revenue) ή η ορική χρησιμότητ (marginal utility),: c(x), κόστος (cost) Mc= c (x), ορικό κόστος (marginal cost), b(x) = r(x) c(x), κέρδος (rofit) ή όφελος (benefit) Όσον φορά την λύση του πρπάνω προβλήμτος μεγιστοποίησης, δικρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:. x =. Λέμε ότι η διδικσί είνι μη συμφέρουσ. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: b () r () c () Mr() Mc() Δηλδή το ρχικό ορικό έσοδο θ είνι οπωσδήποτε μικρότερο πό το ρχικό ορικό κόστος.. x >. Λέμε ότι η διδικσί είνι συμφέρουσ. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: {b (x) =, b (x) {r (x) = c (x), r (x) c (x)} {Mr(x) = Mc(x), Mr (x) Mc(x)} Δηλδή στη λύση το ορικό έσοδο θ κόβει το ορικό κόστος πό πάνω προς τ κάτω, ή ισοδύνμ το ορικό κόστος θ κόβει το ορικό έσοδο πό κάτω προς τ πάνω. 3. x +, η λύση είνι μη φργμένη Σε πολλές περιπτώσεις έχουμε κι πάνω φράγμ στη μετβλητή επιλογής, της μορφής: max{b(x) = r(x) c(x) x β} Τότε θ ντικτστήσουμε στις περιπτώσεις κι 3, ως εξής:. < x < β 3.. x = β. Λέμε ότι ο περιορισμός είνι δεσμευτικός. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: b (β) r (β) c (β) Mr(β) Mc(β) Το τελικό ορικό έσοδο είνι μεγλύτερο πό το τελικό ορικό κόστος, κι θ μπορούσμε ν υξήσουμε το x γι μεγλύτερο κέρδος ν δεν υπήρχε ο πάνω περιορισμός. Οι πρπάνω συνθήκες ως νγκίες μς δίνουν τ υποψήφι σημεί γι λύση, οπότε θ πρέπει ν συγκρίνουμε μετξύ τους τις τιμές της συνάρτησης κέρδους b(x). Σε πολλά προβλήμτ οι πρπάνω συνρτήσεις έχουν κι τ εξής πρόσθετ χρκτηριστικά: Το έσοδο r(x) είνι κοίλη, γρμμική ή γνήσι κοίλη. Το κόστος c(x) είνι κυρτή, γρμμική ή γνήσι κυρτή. Δηλδή Το ορικό έσοδο Mr = r (x) είνι φθίνουσ, στθερή ή γνήσι φθίνουσ. Tο ορικό κόστος Mc= c (x) είνι ύξουσ, στθερή ή γνήσι ύξουσ. Τότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ, οι πρπάνω συνθήκες γίνοντι κι ικνές, οπότε ν κάποι πό υτές ικνοποιείτι τότε υτή είνι κι η λύση. κι έχουμε τις εξής περιπτώσεις:. b () : r () c (). Η διδικσί είνι μη συμφέρουσ. Η λύση είνι: x = Αν b () > : r () > c (), τότε η διδικσί είνι συμφέρουσ, κι δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. Η ύξουσ συνάρτηση ορικού κόστους κόβει την φθίνουσ συνάρτηση ορικού εσόδου πό κάτω προς τ πάνω, κι η λύση βρίσκετι στο σημείο τομής: r (x) = c (x) x > 3. Οι δύο κμπύλες δεν συνντώντι, το ορικό κόστος είνι πντού μικρότερο πό το ορικό έσοδο, κι η λύση βρίσκετι στο άπειρο, ως όριο: r (x) > c (x) x + r (x) x c (x) c (x) r (x) r (x) c (x)

2 Πρτήρηση. Θεωρούμε δύο συνρτήσεις κι την διφορά τους: {f,g} h= f g Αν το γράφημ της f δισχίζει υτό της g πό πάνω προς τ κάτω ή ισοδύνμ ν το γράφημ της g δισχίζει υτό της f πό κάτω προς τ πάνω, τότε στο σημείο τομής ικνοποιούντι οι συνθήκες: {f(x) = g(x), f (x) g(x)} {h(x) =, h(x) Το ντίστροφο επίσης ισχύει ν οι νισότητες είνι γνήσιες. f g

3 . Εσοδο Αν μι πργωγή ποσότητς διτεθεί στην κτνάλωση με μονδιί τιμή P, θ προκύψει έσοδο (revenue): R= P Όσον φορά την εξάρτηση της τιμής πό την ποσότητ, δικρίνουμε δύο βσικές περιπτώσεις, ως εξής:. Στη γενική περίπτωση η μονδιί τιμή εξρτάτι πό την ποσότητ σύμφων με την εξίσωση ζήτησης του προϊόντος, οπότε λέμε ότι επικρτούν συνθήκες ελλιπούς ντγωνισμού, ειδικότερ συνθήκες μονοπωλίου (monooly): P= P() R= P(). Η μονδιί τιμή είνι στθερή εξωγενώς κθορισμένη, οπότε λέμε ότι επικρτούν συνθήκες πλήρους ντγωνισμού (full cometition). Έχουμε: P() R= Εδώ θ σχοληθούμε μόνο με το, που μπορεί ν θεωρηθεί κι ως ειδική (ορική) περίπτωση του.. Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής Θεωρούμε πργωγή σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου η μονδιί τιμή είνι δοσμένη εξωγενώς: P= Συτή την περίπτωση το έσοδο θ είνι R Π= C(), = κι το κέρδος (rofit): όπου η συνάρτηση κόστους C= C() είνι συνήθως κυρτή, λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε είνι ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν γίνει κυρτή. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= C() Θ πριστάνουμε τις μετβλητές με κεφλί γράμμτ, τις βέλτιστες ποσότητες κι τις πρμέτρους με μικρά. Έτσι η βέλτιστη ποσότητ πργωγής κι το μέγιστο κέρδος θ πριστάνοντι ντίστοιχ με:,π = Π() Μεγιστοποίηση κέρδους ντγωνιστικής πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι κρόττο στο ριστερό σύνορο: Π () C () Δηλδή η μονδιί τιμή είνι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος.. >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό κρόττο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π () =, Π () {= C (), C () {= (), () Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση κόστους είνι κυρτή, τότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ κι οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες ικνοποιείτι δίνει την λύση. Σε κάθε περίπτωση, ν η τιμή είνι συμφέρουσ κι η λύση φργμένη, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος είνι ίσο με την μονδιί τιμή κι υξνόμενο. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος δισχίζει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω, οπότε είνι μικρότερο πριν κι μεγλύτερο μετά. Ειδικότερ όσον φορά την προσφορά προιόντος, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς > είνι υτή στην οποί το ορικό κόστος συμπίπτει με την μονδιί τιμή: = C () γι > Η πρπάνω σχέση είνι η γνωστή ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς (inverse demand function). Διπιστώνουμε ότι συμπίπτει με την συνάρτηση ορικού κόστους, εφόσον η τιμή είνι συμφέρουσ. Πρτήρηση. Αν δεν έχουμε στθερό κόστος τότε η συμφέρουσ τιμή είνι κι κερδοφόρος: π= Π() > Π() = Αν όμως έχουμε στθερό κόστος το οποίο υπάρχει κι χωρίς πργωγή, τότε η συμφέρουσ τιμή δεν είνι πρίτητ κερδοφόρος, λλά είνι κλλίτερη πό την ζημιά του στθερού κόστους της μη πργωγής: π= Π() > Π() = C() 3

4 Πράδειγμ. Θεωρούμε το πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή με συνάρτηση κόστους: C= + + C = + Λύση. Είνι το κλσικό πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους που εκφράζετι ως διφορά μις κοίλης (γρμμικής) συνάρτηση εσόδου κι μις κυρτής συνάρτησης κόστους, στο θετικό διάστημ: Π= R C, όπου: R() =, C() = + + Έχουμε στθερό ορικό έσοδο κι ύξον ορικό κόστος : R =, C = + όπου: R () =, C () = Η λύση, θ είνι:. = ν R () C (), < η τιμή είνι μη συμφέρουσ. > ν R () > C () >, < η τιμή είνι συμφέρουσ, κι η λύση, δίνετι πό = > > την σχέση: = C () = + γι {>, > μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος Όπως φίνετι στ σχήμτ πρπάνω είνι το σημείο όπου το ύξον ορικό κόστος κόβει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Τo μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση της τιμής, είνι: C() = ν π= C() = + ( ) / ν > Θ έχουμε κερδοφορί μόνο ν: π= + ( ) / > >, οπότε > Βρήκμε πρπάνω κι την εξίσωση ζήτησης, όπου η ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς δίνετι πό τη συνάρτηση ορικού κόστους, γι τις συμφέρουσες τιμές. Αντιστρέφοντς βρίσκουμε κι την συνάρτηση προσφοράς: ν = ( ) / ν Πρτηρούμε ότι ως συνρτήσεις της τιμής : Η προσφορά προιόντος: = (), είνι ύξουσ. Το μέγιστο κέρδος:π= π(), είνι ύξουσ κυρτή, δηλδή υξάνει με υξνόμενο ρυθμό, κι κυμινόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό στθερές ενδιάμεσες τιμές, κτά μέσο όρο. 3. Κερδοφορί Θ εξετάσουμε τώρ το πρόβλημ κερδοφορίς χρησιμοποιώντς το ορικό κι τ μέσ κόστη. Το συνολικό κόστος C() προκύπτει ως άθροισμ του στθερού κόστους κι του μετβλητού κόστους: C() = FC+ VC() Το κέρδος ντγωνιστικής πργωγής γράφετι: Π= C() = [ AC], όπου: AC= C() / είνι το μέσο κόστος Αν πρλείψουμε το στθερό κόστος τότε βρίσκουμε το μετβλητό ή λειτουργικό κέρδος (variable, oerational rofit): VΠ= VC() = [ AVC], όπου: AVC= VC() / είνι το μέσο μετβλητό κόστος Έτσι το κέρδος προκύπτει φιρώντς το στθερό κόστος πό το λειτουργικό κέρδος: Π= VΠ FC Το κέρδος κι το λειτουργικό κέρδος έχουν μέγιστο στο ίδιο διότι διφέρουν μετξύ τους μόνο κτά μι στθερά. Πρτηρούμε ότι η τιμή είνι: συμφέρουσ το μέγιστο λειτουργικό κέρδος είνι γνήσι θετικό κερδοφόρος το μέγιστο κέρδος είνι γνήσι θετικό. Διπιστώνουμε ότι: = C () π= π() = ()

5 Συμφέρουσ τιμή. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι συμφέρουσ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο μετβλητό κόστος: > > = min{avc}, Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος: vπ= VΠ() > είνι γνήσι θετικό κι δίνετι πό το προσημσμένο εμβδό μετξύ της οριζόντις ευθείς της τιμής κι της κμπύλης ορικού κόστους: vπ = [ C ()]d > Κερδοφόρ τιμή. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι κερδοφόρ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο κόστος: π> > = min{ac} Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος όχι μόνο είνι γνήσι θετικό, λλά υπερκλύπτει το στθερό κόστος κι η γνήσι θετική διφορά τους μς δίνει το μέγιστο κέρδος. Πράδειγμ. Θ λύσουμε πάλι το προηγούμενο πράδειγμ χρησιμοποιώντς τώρ το ορικό κι τ μέσ κόστη. Έχουμε: C= + + = +, AC= + +, min{ac} = VC= + AVC= +, min{avc} = Στο πρώτο σχήμ βρίσκουμε γρφικά το ελάχιστο του μέσου κόστους κι το ελάχιστο του μέσου μετβλητού κόστους στην ντίστοιχη τομή τους με το ορικό, σύμφων με την θεωρί του κεφ. Ε: AC= min AC=, AVC= min AVC= Πρτηρούμε ότι το ελάχιστο μέσο κόστος είνι το ρχικό κι συμπίπτει με το ρχικό ορικό κόστος: min AVC= () = AC = min AC AVC < < = min AVC = >, vπ> >,π > μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + Πρτηρούμε κι τ εξής:. Στο δεύτερο σχήμ η τιμή είνι μη συμφέρουσ διότι είνι μικρότερη πό το min AVC=. Στο τρίτο σχήμ η τιμή είνι συμφέρουσ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AVC=, λλά είνι μη κερδοφόρ διότι είνι μικρότερη του min AC=. 3. Στο τέτρτο σχήμ η τιμή είνι κι κερδοφόρ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AC=. Στο δεύτερο κι τρίτο σχήμ η βέλτιστη πργωγή βρίσκετι εκεί όπου το ορικό κόστος κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Γρφική Λύση. Δίνουμε πρκάτω κι μι γρφική λύση του πρπάνω προβλήμτος μεγιστοποίησης κέρδους, χρησιμοποιώντς τις ρχικές συνρτήσεις κόστους C= C() κι εσόδου R= με τρεις διφορετικές τιμές που δίνοντι πό τις κλίσεις της ευθείς του εσόδου. Σε κάθε περίπτωση το βέλος πριστάνει το μέγιστο κέρδος. Ειδικότερ η τιμή θ είνι: 5

6 μη συμφέρουσ όπως στο πρώτο σχήμ, ν η κλίση είνι μικρότερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου μετβλητού κόστους που εδώ συμπίπτει με το ρχικό ορικό κόστος: = min{avc} = συμφέρουσ όπως στο δεύτερο σχήμ, ν η κλίση είνι μεγλύτερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου μετβλητού κόστους: > = min{avc} = κερδοφόρος όπως στο τρίτο σχήμ ν η κλίση είνι μεγλύτερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου κόστους: > = min{ac} =. C C R π> FC= π< R = < < μη συμφέρουσ συμφέρουσ μη κερδοφόρος.κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + Πράδειγμ. Θ εξετάσουμε κι έν πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή, που δεν είνι ΚΠ. Ειδικότερ η συνάρτηση κόστους δεν είνι κοίλη. Αρχικά έχουμε οικονομίες κλίμκς, οπότε είνι κυβική, ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν είνι κυρτή: 3 C= / 3 9 = 3 +, AC= + 3 +, AVC= Στο ελάχιστό του, το μέσο μετβλητό κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: AVC= 3= {=.5, AVC(.5) =.5} { =.5, =.5}. Στο ελάχιστό του, το μέσο κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: 3 AC= 3 7= = 3, AC(3) = } { = 3, = } Συμπερίνουμε ότι: η ελάχιστη συμφέρουσ τιμή είνι η =.5 με πργωγή =.5 η ελάχιστη κερδοφόρ τιμή είνι = με πργωγή = 3 Στο πρκάτω γράφημ δίνουμε ορισμέν χρκτηριστικά της λύσης. Στο πρώτο σχήμ εντοπίζουμε την συμφέρουσ τιμή κι την κερδοφόρο τιμή. Βρίσκοντι στις τομές του ορικού κόστους με τ ντίστοιχ μέσ κόστη. Στο δεύτερο σχήμ η τιμή είνι συμφέρουσ κι η λύση βρίσκετι στο σημείο όπου η κμπύλη ορικού κόστους κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Το ίδιο στο τρίτο σχήμ όπου η τιμή είνι τώρ κι κερδοφόρος. R FC< π C AC AVC βέλτιστη ντγωνιστική πργωγή με 3 C=

7 Πρτήρηση. Σε ντίθεση με το προηγούμενο πράδειγμ, τώρ η τιμή μπορεί ν είνι συμφέρουσ πρότι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος, διότι ενώ ρχικά έχουμε ζημιά, στη συνέχει έχουμε κερδοφορί διότι το ορικό κόστος είνι φθίνον. Κόβει την τιμή σε δύο σημεί, λλά μόνο το δεύτερο σημείο που κόβει πό κάτω προς τ πάνω είνι ποδεκτό.. Προσφορά προιόντος Διπιστώσμε ότι στην ντγωνιστική πργωγή η προσφορά προϊόντος ρχίζει με την ελάχιστη συμφέρουσ τιμή = min AVC κι ντίστοιχη ποσότητ, κι κθορίζετι έτσι ώστε το ορικό κόστος ν συμπίπτει με την τιμή κι ν είνι ύξον. Η εξίσωση προσφοράς προϊόντος γι τ δύο προβλήμτ ντγωνιστικής πργωγής που εξετάσμε έχει ως εξής: = γι =. C= + + = C () = + γι > 3 = γι =.5. C= = C () = 3 + γι {> =.5, > =.5} Δηλδή, γι συμφέρουσες τιμές οι ντίστροφες συνρτήσεις προσφοράς συμπίπτουν με τις συνρτήσεις ορικού κόστους, όπως φίνετι κι στο πρκάτω γράφημ. Πρτηρούμε ότι στο δεύτερο σχήμ, όπου η συνάρτηση κόστους είνι ρχικά γνήσι κοίλη με φθίνον ορικό κόστος, κθώς η μονδιί τιμή περνάει το κτώφλι του = min AVC κι γίνετι συμφέρουσ, η πργωγή εμφνίζει συνέχει κι πό μηδενική πηγίνει στην ντίστοιχη ποσότητ, πρκάμπτοντς τελείως το ενδιάμεσο τμήμ. προσφορά ντγωνιστικής πργωγής: = C (), Πρτήρηση. Σόλ τ πρπάνω υποθέσμε ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι με μηδενική πργωγή: C() = FC Αν υποθέσουμε ότι το στθερό κόστος εμφνίζετι μόνο με την ένρξη της πργωγής, τότε η μηδενική πργωγή θ έχει μηδενικό κόστος: C() = Συτή την περίπτωση έχουμε πάντοτε την επιλογή της μηδενικής πργωγής με μηδενικό κόστος, οπότε η συμφέρουσ θ συμπίπτει με την κερδοφόρο. Η πργωγή θ ρχίσει με τιμή κι ποσότητ. Πρτήρηση. Αν η συνάρτηση κόστους είνι γρμμική: C= C + m = = C () τότε η προσφορά προιόντος είνι: ν < m = ν > m Δηλδή η προσφορά είνι πλήρως ελστική. Εξάλλου συτή την περίπτωση η συνάρτηση ορικού κόστους είνι οριζόντι: = C () = m, 5. Κέρδος με συντελεστή πργωγής Στη συνέχει θ εξετάσουμε μι πργωγική διδικσί όπου η πργωγή κι το κόστος δεν συνδέοντι πευθείς, λλά μέσω ενός συντελεστή πργωγής τον οποίο συμβτικά θ ποκλούμε εργσί (Labor) L. Τώρ η πργωγή θ είνι συνάρτηση της εργσίς: = (L) = +, = 7 =.5 C () = 3 +, =.5 C () = m

8 συνήθως κοίλη συνάρτηση λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε μπορεί ν είνι στην ρχή κυρτή πριν κτλήξει ν είνι κοίλη. Θ υποθέσουμε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος κι της εργσίς, οπότε η μονδιί τιμή του προιόντος P, κι το μονδιίο κόστος της εργσίς W θ είνι πράμετροι, δηλδή στθερές κθορισμένες εξωγενώς: P=, W = Το κόστος κι το έσοδο της πργωγής θ είνι: C= L, R= (L) Υποθέτοντς ως συνήθως ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι χωρίς πργωγή, το πρλείψμε ν υπάρχει, δεδομένου ότι δεν επηρεάζει την βέλτιστη πργωγή λλά μόνο το επίπεδο του κέρδους κτά μι στθερά. Έτσι, η πρκάτω μελέτη φορά στην πργμτικότητ το λειτουργικό κέρδος. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π(l) = (L) L L L Μεγιστοποίηση κέρδους με συντελεστή πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ εργσίς l, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. l =. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: Π () {R () C ()} (). l >. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι συμφέρουσες. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π (L) =,Π (L) {R (L) = C (L), R (L) C (L)} { (L) =, (L) Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση πργωγής (L) είνι κοίλη, ως συνήθως, τότε κι η συνάρτηση κέρδους Π(L) θ είνι κοίλη. Θ έχουμε πρόβλημ Κυρτού Προγρμμτισμού (ΚΠ), οπότε η λύση θ δίνετι πό οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες που ικνοποιείτι. Σε κάθε περίπτωση, ν οι τιμές είνι συμφέρουσες, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο είνι ίσο με το ορικό κόστος, που εδώ συμπίπτει με το μονδιίο κόστος της εργσίς, κι φθίνον. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο δισχίζει το μονδιίο κόστος της εργσίς πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερο πριν κι μικρότερο μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ εργσίς, ως συνάρτηση των πρμέτρων {,} : l= l (,), ζήτηση εργσίς (labor demand) Στη συνέχει ντικθιστώντς βρίσκουμε επίσης την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, κι το μέγιστο κέρδος επίσης ως συνρτήσεις των πρμέτρων: (,) = ( l ), προσφορά προιόντος (roduct suly) π(,) = Π( l) = ( l) l, μέγιστο κέρδος (maximal rofit) Ειδικότερ όσον φορά την ζήτηση εργσίς, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς είνι μηδενική: l =. Αν οι τιμές {, } είνι συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς l > είνι υτή στην οποί το ορικό έσοδο συμπίπτει με την μονδιί τιμή της εργσίς: ( l) = ( l ) = / Λύνοντς την εξίσωση ως προς l βρίσκουμε την συνάρτηση ζήτησης (demand function) γι τις συμφέρουσες τιμές.. Πρτηρούμε ότι η λύση του προβλήμτος εξρτάτι μόνο πό τον λόγο των τιμών: / R= L Πράδειγμ. = L max{π= L L L Πρόβλημ ΚΠ με στάσιμη λύση, όπως στο γράφημ, όπου το βέλος C= L πριστάνει το μέγιστο κέρδος. π L = = = L= l L Η λύση βρίσκετι εκεί όπου το φθίνον ορικό έσοδο κόβει το μονδιίο R = / L κόστος εργσίς πό πάνω προς τ κάτω. Βρίσκουμε: = C = l,,π = l = = l = l L 8

9 Πράδειγμ. = ln(+ L) max{π= ln(+ L) L L Πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη: Π (L) = = l = ν l + L. Συνορική μηδενική: l =, ν Π () = Έτσι θ έχουμε πργωγή: l > μόνο ν η μονδιί τιμή του προιόντος είνι μεγλύτερη πό το μονδιίο κόστος της εργσίς. Πρτήρηση. Η λύση μπορεί ν βρεθεί κι γρφικά πρτηρώντς ότι οι συνρτήσεις εσόδου ln(+ L) κι κόστους L ρχίζουν πό το (,) με κλίσεις κι ντίστοιχ. Ανάλογ ποι είνι μεγλύτερη, βρίσκουμε το έν πό τ δύο σχήμτ πρπλεύρως. Στ δεξιά το κόστος εργσίς είνι σχετικά υψηλό κι δεν συμφέρει η πργωγή. Στ ριστερά το κόστος εργσίς είνι σχετικά χμηλό, οπότε συμφέρει η πργωγή. Συτή την περίπτωση η ζητούμενη εργσί είνι υτή στην οποί το φθίνον πργόμενο l > l > ορικό έσοδο συνντάει το μονδιίο κόστος της εργσίς. Η λύση πριστάνετι με τον πρκάτω πίνκ. Δίνουμε κι το γράφημ του μέγιστου κέρδους π ως συνάρτησης του κι του. C > C R R L C= L l = l = R= = ln(+ L} C R L συνθήκη l π / ln( / ) ln( / ) ( ) π= π() π= π() Όσον φορά την εξάρτηση της ζήτησης εργσίς κι του μέγιστου κέρδους πό τις τιμές {,}, διπιστώνουμε τ εξής Η ζήτηση εργσίς l= l (, ) είνι ύξουσ ως προς την τιμή του προιόντος κι φθίνουσ ως προς το κόστος εργσίς Το μέγιστο κέρδος π= π(,) είνι ύξουσ ως προς την τιμή του προιόντος,φθίνουσ ως προς το κόστος εργσίς, κυρτή ως προς μφότερες. Επομένως κυμινόμενες τιμές {,} είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό ενδιάμεσες στθερές, κτά μέσο όρο. Πράδειγμ. {= L με < < } max{π= L L L Έχουμε πρόβλημ ΚΠ, με στάσιμη λύση: 9 = = ( ) Π = L = l = =, l, π= l l = Πράδειγμ. = L max{π= L L L c}. Έχουμε πάνω περιορισμό στην εργσί. Τώρ η συνάρτηση πργωγής είνι κυρτή ντί ν είνι κοίλη. Το ίδιο ισχύει γι την συνάρτηση κέρδους. Επομένως το μέγιστο κέρδος θ βρίσκετι σέν πό τ δύο π= π() σύνορ: L c, όπου είνι μεγλύτερο. Έχουμε: c c ν c c / c π= max{π() =,Π(c) = c c} = ν c c / c Έτσι δεν θ έχουμε πργωγή ν η μονδιί τιμή είνι μικρή σε σχέση με το μονδιίο κόστος, ενώ θ έχουμε την μέγιστη επιτρεπτή πργωγή ν είνι σχετικά μεγάλη. Η λύση είνι κρί λόγω της κυρτότητς της συνάρτησης πργωγής. Αν δεν υπήρχε ο πάνω περιορισμός η δεύτερη περίπτωση θ έδινε άπειρη λύση. / c π= π() c

10 Πρτήρηση. Όπως φίνετι στ γρφήμτ πρπάνω, ισχύει πάλι η ιδιότητ κυρτότητς της συνάρτησης μέγιστου κέρδους ως προς τις πρμέτρους {,}. Ζήτηση προιόντος στην κτνάλωση Αντίστοιχο πρόβλημ βελτιστοποίησης εμφνίζετι στην κτνάλωση. Θεωρούμε ότι η κτνάλωση μις ποσότητς:, ενός γθού έχει κάποι ξί η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση χρησιμότητς: U(), ενώ συνεπάγετι κι μι δπάνη η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση κόστους: C(). Θ υποθέσουμε ως συνήθως ότι η συνάρτηση χρησιμότητς είνι γνήσι ύξουσ κοίλη: U() U () >, U () Δηλδή, η ορική χρησιμότητ της κτνάλωσης θ είνι θετική φθίνουσ. Σε ντίθεση με τις συνρτήσεις πργωγής η συνάρτηση χρησιμότητς δεν έχει πρίτητ θετικές τιμές. Αλλά π.χ. θ έχει θετικές τιμές ν θεωρήσουμε ότι εκφράζει το χρημτικό ποσό που θ ήτν διτεθειμένος ν δώσει ο κτνλωτής γι ν ποκτήσει την συγκεκριμένη ποσότητ. Υποθέτοντς συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος όπου η μονδιί τιμή του γθού είνι δοσμένη: P=, η δπάνη θ χρκτηρίζετι πό μι γρμμική συνάρτηση κόστους: C= Ως ποτέλεσμ της κτνάλωσης θεωρούμε ότι προκύπτει γι τον κτνλωτή έν όφελος (benefit) στη μορφή κέρδους, που δίνετι πό την διφορά: B() = U(B) C(B) = U(B) Το πρόβλημ βελτιστοποίησης γι τον κτνλωτή διτυπώνετι στη μορφή: max{b() = U() Το πρόβλημ είνι ίδιο με το προηγούμενο της μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή πργωγής, όπου η συνάρτηση χρησιμότητς ντικθιστά την συνάρτηση εσόδου, κι ντιμετωπίζετι με τον ίδιο τρόπο. Μεγιστοποίηση οφέλους Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσa. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: B () {U () C ()} U (). >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, εφόσον η λύση είνι φργμένη: {Β () =, () {U () = C (), U () C ()} {U () =, U () Έτσι, ν η τιμή είνι συμφέρουσ, τότε στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ είνι ίση με το ορικό κόστος που είνι η μονδιί τιμή του γθού. Δηλδή στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ δισχίζει την μονδιί τιμή του γθού πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερη πριν κι μικρότερη μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, ως συνάρτηση της πρμέτρου : = (), συνάρτηση ζήτησης γθού Προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ζήτηση είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ζήτηση > είνι υτή στην οποί η ορική χρησιμότητ συμπίπτει με την μονδιί τιμή του γθού κόβοντάς την πό πάνω προς τ κάτω: U () = Η πρπάνω σχέση είνι η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης (inverse demand function). Πράδειγμ. U= ln(+ ) max{b= ln(+ ) Είνι πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη: B () = = = +. Συνορική μηδενική: =, ν U () = ν = > U C = C = R

11 Έτσι θ έχουμε κτνάλωση: > μόνο ν η μονδιί τιμή του γθού είνι μικρότερη πό μι κρίσιμη τιμή. Η λύση βρίσκετι κι γρφικά όπως στο ντίστοιχο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή. Στ πρώτ δύο γρφήμτ πρπάνω δείχνουμε μι μη συμφέρουσ κι μι συμφέρουσ τιμή. Πρτήρηση. Η συνάρτηση ορικής χρησιμότητς μς δίνει την ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = D () = U () = D() = Η ντίστροφή της μς δίνει την συνάρτηση ζήτησης όπως στο τελευτίο γράφημ πρπλεύρως. Πράδειγμ. U= ln max{b= ln Η συνάρτηση χρησιμότητς πίρνει κι ρνητικές τιμές. Είνι όμως ύξουσ κοίλη, οπότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ μάλιστ με λύση πάντοτε εσωτερική. Δηλδή υπάρχει πάντοτε κτνάλωση. Η λύση βρίσκετι εκεί όπου η φθίνουσ ορική χρησιμότητ κόβει την μονδιί τιμή του γθού πό πάνω προς τ κάτω.: = U () =, ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Λύνοντς ως προς βρίσκουμε την συνάρτηση ζήτησης. = / 7. Συνάρτηση μέγιστου κέρδους = Θεωρούμε πάλι το ρχικό πρόβλημ μεγιστοποίηση κέρδους στη μορφή: max{π= C() Η λύση του μς δίνει την ζήτηση προιόντος κι το μέγιστο κέρδος ως συνρτήσεις της μονδιίς τιμής: = (),π = π() Οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες: Η συνάρτηση ζήτησης είνι φθίνουσ Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους είνι ύξουσ κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γι οιδήποτε συνάρτηση κόστους, γι συνορικές κι εσωτερικές λύσεις, κι επληθεύοντι σόλ τ πρδείγμτ που εξετάσμε Απόδειξη. Θ δώσουμε την πόδειξη μόνο γι εσωτερικές λύσεις. Αρχίζουμε με τις συνθήκες που πρέπει ν ισχύουν σε εσωτερική λύση: {Π (),Π () {= C (), C (). Υποθέτοντς ότι η λύση = () ορίζετι πλεγμέν πό την εξίσωση στσιμότητς, πργωγίζουμε πλεγμέν ως προς, κιν βρίσκουμε: = C () = C () () () = C () Επομένως η συνάρτηση ζήτησης είνι φθίνουσ διότι έχει θετική πράγωγο.. Στη συνέχει εξετάζουμε την συνάρτηση μέγιστου κέρδους: π(() = C() Πργωγίζοντς ως προς, βρίσκουμε: π() = C() π = + C () = + [ C ()] = >, διότι C () = Η πράγωγος είνι θετική κι ύξουσ, επομένως η συνάρτηση είνι ύξουσ κυρτή Οι ιδιότητες μονοτονίς κι κυρτότητς της συνάρτησης μέγιστου κέρδους μπορούν ν διτυπωθούν κι ως εξής: Το μέγιστο κέρδος υξάνει με ύξοντ ρυθμό ότν υξάνει η τιμή του προϊόντος, κι μετβλλόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο κερδοφόροι πό ντίστοιχες στθερές ενδιάμεσες τιμές, κτά μέσο όρο. U C

12 Αντίστοιχες ιδιότητες ισχύουν στο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με ένν συντελεστή πργωγής, στη μορφή: max{π(l) = (L) L L L Τώρ έχουμε δύο πρμέτρους {,}, κι η λύση μς δίνει τις συνρτήσεις: (,) l : ζήτηση εργσίς (labor demand) (,) = ( l ) : προσφορά προϊόντος (roduct suly) π(, ) = ( l) l : (μέγιστο) κέρδος (rofit) Με τον ίδιο βσικά τρόπο όπως κι προηγουμένως, ποδεικνύετι ότι οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες νεξάρτητ της συγκεκριμένης συνάρτησης πργωγής(l), ως εξής:. Η συνάρτηση ζήτησης εργσίς l (, ), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο /. Η συνάρτηση προσφοράς προϊόντος (,), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο / 3. Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους π(,), είνι: ύξουσ κυρτή, φθίνουσ κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γενικά, είτε η λύση είνι εσωτερική είτε συνορική, κι επληθεύοντι άμεσ στ πρδείγμτ που λύσμε πρπάνω. Οι ιδιότητες της συνάρτησης μέγιστου κέρδους εξετάζοντι στ πλίσι της γενικότερης θεωρίς της περιβάλλουσς.

EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής.κερδοφορί 3.Προσφορά προιόντος.κέρδος μονοπωλίου 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Κέρδος ντγωνιστικής

Διαβάστε περισσότερα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

1 Δύο εισροές-μία εκροή

1 Δύο εισροές-μία εκροή Ε8 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ II 1.Δύο εισροές-μί εκροή.πργωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-μί εισροή 4.Συμφέρουσες τιμές 5.Διφοροποίηση τιμών 6.Ελστικότητες στην διφοροποίηση τιμών 7.Εξωτερικότητες 8.Εισροές-Εκροές

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης)

Micro-foundations of macroeconomics (or Το υπόδειγμα Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥ 2017-2018 ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΤΟ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. ) ωστό β) ωστό γ) Λάθος δ)ωστό ε) Λάθος Α2. γ Α3. δ ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1. Το εισόδημ των κτνλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πγκόσμι χωριό γνώσης ΜΑΘΗΜΑ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. Έννι της πργώγυ Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση κι Α, νμάζετι πράγωγς της f στ σημεί κι συμβλίζετι f(), τ όρι: f() f f() () εφόσν βέβι υπάρχει κι νήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Πρδείγµτ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ συνολική επιφάνει κτιρίου ~ επιφάνει που κλύπτετι πό πράθυρ πλιότητ κτιρίου ~ πώλει θερµικής ενέργεις κτνάλωση ηλεκτρικής ενέργεις κτοικίς ~ κτνάλωση νερού ~ µέγεθος

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx =

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι: Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισγωγή Στ επόµεν Κεφάλι η νάλυση θ επικεντρωθεί στην κτηγορί υποδειγµάτων που ποκλούντι υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα