Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ.. Τετραγωική ρίζα πραγµατικού αριθµού. Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το σύολο τω πραγµατικώ αριθµώ ( R ) αποτελείται από τους ρητούς αριθµούς και τους άρρητους. Έας αριθµός λέγεται ρητός ότα έχει ή µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή ότα π.χ: 4=,,5=, 8,5=,,0= 0 99 Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί α γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και ατίστροφα. Έας αριθµός λέγεται άρρητος ότα δε µπορεί α πάρει κλασµατική µορφή. π.χ: =, , π =,45... Θυµίζουµε ότι κάθε άρρητός δε µπορεί α γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως περιοδικός δεκαδικός. Κάθε πραγµατικός αριθµός παριστάεται (απεικοίζεται) µε έα σηµείο πάω στο άξοα τω πραγµατικώ αριθµώ. Σελίδα - -

2 Θυµίζουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είαι το σύολο: N= { 0,,,,... } οι ακέραιοι αριθµοί είαι το σύολο: Z = {...,,,,0,,,,... }. εώ Ατίθετοι λέγοται οι αριθµοί που έχου άθροισµα µηδέ, όπως ο α και ο α αφού α+ ( α ) = 0 Ατίθετος εός αθροίσµατος ισούται µε το άθροισµα τω ατιθέτω τω προσθετέω, δηλαδή ( α+β ) = α β Λόγος δύο αριθµώ (ή παραστάσεω) οοµάζουµε το πηλίκο της διαίρεσής τους, δηλαδή α α : β= =α β β µε β 0 (λογικό αφού διαίρεση µε διαιρέτη 0 δε ορίζεται!!!) Ατίστροφοι λέγοται οι αριθµοί που έχου γιόµεο τη µοάδα, όπως ο α και ο α αφού α = (προφαώς ο α = 0 δε έχει ατίστοφο Γιατι?) α Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που διαιρείται µε το. Είαι οι γωστοί µας ζυγοί από το δηµοτικό δηλαδή το 0,, 4, 6, 8, 0,. Συµβολικά κάθε άρτιος έχει τη µορφή, όπου ακέραιος. Περιττός λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που δε διαιρείται µε το. Είαι οι γωστοί µας µοοί από το δηµοτικό δηλαδή το,, 5, 7, 9,... Συµβολικά κάθε περιττός έχει τη µορφή +, όπου ακέραιος. Απόλυτη τιµή εός αριθµού ορίζεται ως η απόσταση του αριθµού αυτού πάω στο άξοα από τη αρχή Ο και είαι πάτα θετικός αριθµός ή µηδέ. Πιο ααλυτικά είαι: α =α α α 0 α = α α α< 0 Η απόσταση δυο σηµείω Α, Β είαι: ΑΒ= α β. Σελίδα - -

3 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) αρκεί α προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: + + 4=+ 7 και 4= 7 Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί α αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 4= και + 4=+ Για α πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε τη εξής διαδικασία: Α οι αριθµοί είαι οµόσηµοι (δηλαδή έχου το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + ) ( + 4) =+ και 4 =+ Α οι αριθµοί είαι ετερόσηµοι (δηλαδή έχου διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τω αριθµώ (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα α βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + ) ( 4) = και + 4 = (*) Γεικά όσο ααφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης έχουµε: + + = + + : + = + ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) και όµοια για τη διαίρεση ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) Σελίδα - -

4 Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Για α απαλείψουµε παρεθέσεις ακολουθούµε τη εξής διαδικασία. Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της όπως είαι. π.χ + ( ) = Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και τη παρέθεση γράφοτας τους όρους της µε ατίθετα πρόσηµα. π.χ ( ) = Α µπροστά από µια παρέθεση υπάρχει αριθµός, τότε εφαρµόζουµε τη επιµεριστική ιδιότητα. π.χ ( x ) = x = x 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α α+ α = (iv) Ιδιότητα Ατιθέτου: 0 Σελίδα - 4 -

5 ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίουµε τις εξής δύο περιπτώσεις (i) Ότα τα κλάσµατα είαι οµώυµα (δηλαδή έχου τους ίδιους παροοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Ότα τα κλάσµατα είαι ετερώυµα (δηλαδή έχου διαφορετικούς παροοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π τω παροοµαστώ, τα µετατρέπω σε οµώυµα (µε τη γωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Ατιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α =α (iv) Ιδιότητα Ατιστρόφου: α =, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για α πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δε µας εδιαφέρει α είαι οµώυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παροοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ β αβ =, β, δ 0 ή α =, γ 0 α έχουµε α πολλ\σουµε αριθµό µε β δ βδ γ γ κλάσµα. (**) Για α διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί α ατιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και α κάω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ Σελίδα - 5 -

6 (***)Για το πολλαπλασιασµό και τη διαίρεση ισχύου ατίστοιχα: α 0= 0 α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ α =α 0 : α= 0 εώ για τη διαίρεση α α=α α :=α προσοχη: αλλο το α+α= α α : α= Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ ΓΕΝΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ (i) Έα γιόµεο είαι ίσο µε το µηδέ ότα ή ο έας ή ο άλλος ή και ακόµα και οι δύο παράγοτες του γιοµέου είαι ίσοι µε το 0, δηλαδή: α β= 0 α= 0 ή β= 0 (ii) Έα γιόµεο είαι διάφορο του µηδεός ότα και οι δύο παράγοτες του γιοµέου δε είαι µηδέ, δηλαδή: α β 0 α 0 και β 0 (*) Για όλες τις παραπάω Ιδιότητες θεωρούµε τα α, β, γ ως πραγµατικοί αριθµοί Σελίδα - 6 -

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστού οι παραστάσεις (i) 7 ( + 7) 6 ( + 4) (ii) : 5 (iii) 7 Λύση. Μεθοδολογία Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις (i) Σύµφωα µε τη προτεραιότητα πράξεω έχουµε: 7 ( + 7) 6 ( + 4) = = = = = = 7 6 0= = 7 6= = Σελίδα - 7 -

8 (ii) Όµοια έχουµε: : = = + : = = + : = = + = = + = = + = = = 6 4 = = 6 (iii) = = = = = = Α α+ β = α υπολογιστεί η τιµή της παρακάτω παράστασης: ( α β) α β Λύση. ( α β) α β + 5 5= = α β α + 0β 5= = α α β + 0β 5= = α β 5= ( α β) 5 = + 5= = = = 5= = 4 Σελίδα - 8 -

9 . Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: 6+ α 5 α = 0 (i) (ii) α ( β 5) ( α β) = + ( β α+ ) Λύση. Μεθοδολογία Μια ισότητα Α=Β µπορεί α αποδειχθεί µε δυο τρόπους: ος Τρόπος Παίρουµε το πιο σύθετο µέλος της ισότητας, κάουµε τις πράξεις και καταλήγουµε στο άλλο µέρος ος Τρόπος Α και τα δύο µέλη της ισότητας είαι σύθετα, τότε τα δουλεύουµε ταυτόχροα(κάοτας πράξεις) και καταλήγουµε στη ίδια παράσταση. 6+ α 5 α = 6+ α 6+ α = 6 α 6+ α = 6 6+ α α = 0 (i) (ii) α β 5 α β = + β α+ α β+ 5 α + β = + β α + α α β + β + 5= + α + β α + β+ = α + β+ [ ( x)] ( x 4) (5 x) 4. Να υπολογίσετε τη παράσταση: A= και α δείξετε ότι είαι αεξάρτητη από τη µεταβλητή χ. Λύση. [ ( + x)] ( x+ 4) + (5 x) ( x) + x 4+ 0 x A= = x+ x 4+ 0 x = = = Σελίδα - 9 -

10 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Ο αριθµός -4 δε είαι άρτιος Σ Λ. Ο αριθµός -7 είαι περιττός Σ Λ. Ο αριθµός 0 είαι άρτιος Σ Λ 4. Κάθε ακέραιος αριθµός είαι ρητός Σ Λ 5. Κάθε ακέραιος αριθµός είαι φυσικός Σ Λ 6. Όλοι οι αριθµοί έχου ατίστροφο Σ Λ 7. Ο αριθµός α είαι αρητικός αριθµός Σ Λ 8. Α δύο αριθµοί είαι ατίθετοι, τότε το γιόµεο τους είαι αρητικός Σ Λ 9. Α δύο αριθµοί είαι ατίστροφοι, τότε είαι οµόσηµοι Σ Λ 0. Οι ατίθετοι αριθµοί έχου ίσες απόλυτες τιµές Σ Λ. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο αριθµώ είαι το ίδιο µε το πρόσηµο του γιοµέου τους. Σ Λ. Α το άθροισµα δύο αριθµώ είαι αρητικός αριθµός και το πηλίκο τους θετικός αριθµός, τότε οι αριθµοί είαι αρητικοί. Σ Λ Σελίδα - 0 -

11 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ποια από τις παρακάτω ισότητες εκφράζει τη προσεταιριστική ιδιότητα ; A α+ 6 α α. αβ= βα B. =α+ +γ=γ+ α+ 5 +β= α+ 5+β Γ. β β.. Α α, β, γ είαι πραγµατικοί αριθµοί, ποια από τις παρακάτω ιδιότητες εκφράζει η ισότητα : α( β+γ ) = ( β+γ) α ; Α. Τη ατιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης; Β. Τη ατιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού; Γ. Τη προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης;. Τη επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς τη πρόσθεση;. Α α, β πραγµατικοί, µη µηδεικοί και ατίθετοι, τότε η τιµή του λόγου α είαι ίση µε : β Α. Β. 0 Γ. -. Τίποτα από τα προηγούµεα 4. Α α, β πραγµατικοί αριθµοί, ώστε α + β =0. Τότε θα είαι : Α. α = β Β. α = β = 0 Γ. α = β = 0 ή α, β ετερόσηµοι. δε προκύπτει συµπέρασµα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρώσετε οι παρακάτω πίακες: α. Αριθµός - Φυσικός Ακέραιος Ρητός Άρρητος,5 0,,75 9 π Σελίδα - -

12 β. Αριθµός - Ατίθετος Ατίστροφος -. Να συµπληρώσετε τις ισότητες : 5 7 =... 5 =... + =... 5 =... + = =... = =... 5 Να συµπληρωθού τα κεά: =... 0 = = : =... ( ) = x... x =... 5 x +... = = x 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: 7 4 i) Α= ii) Β= + :( ) + : + 4 : ( ) iii) Γ= ( ) : + : ( 4) + : 4 iv) = : 4 4 : Σελίδα - -

13 . Να απλοποιηθού οι παραστάσεις: { } α) x y x y + x y + x { } β) x y+ x y+α { } { } γ) α β γ + β γ α γ α β δ) α β γ α β γ α β. Α α+β=, α βρεθεί η τιµή της παράστασης: { 7 } Α= α+ β+ + +γ γ+ 4. Α α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, α βρείτε το άθροισµα Α= ( α γ+β) ( α β+ γ ) + ( 4α β ) και έπειτα α α=, 0 γ= α βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α. 5 β= και 6 5. Να πολλαπλασιάσετε µε - τη παράσταση α ( β γ ) και το γιόµεο αυτό α το αφαιρέσετε από τη παράσταση α β γ. Στη συέχεια α βρείτε το ατίθετο της παραπάω διαφοράς, 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α ) + κ λ κ λ = β) x y + y x = 0 γ) α β β α = 5β+ α 7. Α x= 5 και y=, α υπολογίσετε τις παραστάσεις: a) K = + x 5y xy x β ) Λ= 5( x y) + y + = 0, α δείξετε ότι οι α,β είαι ατίθετοι ή ατίστροφοι. 8. Α ( α β) ( αβ ) 9. Να απλοποιήσετε τη παράσταση ( ) βρείτε τη τιµή της, για x= 0, και 0,5 Σελίδα - - Α= x x x y yκαι µετά α y=. 0. Α a+ β = και β γ = 5, α υπολογίσετε τη παράσταση Α= 5γ 8 β β γ + α

14 Β. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύαµη µε βάση έα πραγµατικό αριθµό α και εκθέτη έα φυσικό αριθµό µε, που συµβολίζεται µε α, λέµε το γιόµεο παραγότω ίσω µε το αριθµό α. ηλαδή α Εκθετης =α α α... α βαση παραγοτες Ορίζουµε επίσης ότι: 0 α =, α =α και α = µε α 0 α ΠΡΟΣΟΧΗ: = X αλλά X+ X+ X= X X X X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζοται στη ίδια βάση: i) µ +µ α α =α ii) α µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζοται στο ίδιο εκθέτη : i) α β = α β ii) Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) µ α =α µ α β α = β Με τη βοήθεια του ορισµού α = µε α 0 προκύπτει και η α α β β = α Σελίδα µε α, β 0

15 Επίσης ισχύου: α =α, οπου αρτιος ( α ) = α, οπου περιττος ΠΡΟΣΟΧΗ: =+ 4 εω = 4 = 8 εω = 8 Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είαι βολικό α τους γράφουµε µε τυποποιηµέη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 0 µε α 0 και ακέραιο. π.χ =,5 0 0, =, ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: 0 = 0 0 = 00 0 = = µηδεικα και 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0 0, = 0, µηδεικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για α κάουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε τη εξής προτεραιότητα πράξεω: Α οι παράσταση έχει παρεθέσεις τότε κάουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις µε τη εξής σειρά: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρεθέσεις ακολουθούµε πάλι τη ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Σελίδα - 5 -

16 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύαµης τις παρακάτω παραστάσεις 5 (i) 9 6 (ii) : 4 9 (iii) 8 5 (iv) (v) ( ) 4 : 7 Λύση. (i) 9 = = = : 4 = : = : = = = = 7 (ii) (iii) 8 5 = 5 = 5 = 5 = 0 (iv) = 5 5 = 5 + = : 7= : = : = = = = 7 (v) 7. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις (i) ( x y) (ii) x y x y 4 (iii) ( ) x x (iv) ( x y) ( xy) :( x 8 y 7 ) Σελίδα - 6 -

17 Λύση. 6 (i) (ii) x y = x y = 9x y = 9x y 6 x y x y = x x y y = x y = x y x x = x x = x x = x 7 (iii) (iv) 8 7 ( x y ) x y xy x y 4x y 4x y 5 7 : x y xy x y = = = = y = y x y x y. Να υπολογίσετε τη τιµή κάθε παράστασης 0 (i) A= ( 5) ( 5) 5 4 ( 4) (ii) B x x x =, για x= Λύση. 0 (i) A= = = = 49 (ii) x x x B= ( ) = ( ) = = = + = 9 = + = + 8= 4 = 4 Σελίδα - 7 -

18 4. Να βρείτε το φυσικό κ, ώστε α ισχύου οι ισότητες: (i) 5 = (ii) = 9 (iii) (iv) κ = 6 κ+ 8 = 7 Λύση. Μεθοδολογία Οι παραπάω εξισώσεις λέγοται εκθετικές. Μια εκθετική εξίσωση µπορεί α λυθεί µε το εξής τρόπο: Τρόπος ηµιουργούµε και στα δύο µέλη της εξίσωσης δυάµεις µε τη ίδια βάση. Έπειτα εξισώουµε τους εκθέτες τω δυάµεω αυτώ και λύουµε ως προς το άγωστο. (i) (ii) (iii) κ 5 = κ 5 = 5 κ = 0 κ = 9 0 κ = κ = κ = 6 κ = 4 κ = κ = 4 4 Σελίδα - 8 -

19 (iv) κ+ 8 = 7 κ+ = κ+ = κ + = κ = κ = κ = ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να ατιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. α. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ( :) : ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. Γ. 9. Ε. 9 β. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. 6.. Γ ( ) Ε. 8 Σελίδα - 9 -

20 γ. ΣΤΗΛΗ (Α). ( α+β ). ( α β ). ( α β ) 4. ( α+β ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. ( α β ) Β. ( α β ) Γ. ( α β ). ( α+β ) Ε. ( α+β ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθού οι ισότητες: α. =... =... =... =... =... =... β. µ x : x =... x =... 0 x =... y x y =... x =..., µε... µ x =... γ. 7 =... =... = =.... Να συµπληρωθού οι παρακάτω πίακες: α. χ Χ Σελίδα - 0 -

21 β. Αριθµός ύαµη ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε καθεµία από τις παρακάτω παραστάσεις ως µία δύαµη. 5 7 i) = ii) : 6 5 iii) iv) = v) 4 5 = = vi)8 5 = vii)9 = x = viii ) = ix)4 7 = 5 ) =. Να γράψετε κάθε παράσταση ως µια δύαµη. xi) 6= xii) 7 5 ( ) xiii)8 5 = 5 = xiv) A= + B= Γ= = Να υπολογιστού οι δυάµεις: α) και και β) και 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) = ( ) x y y x µε x y 5. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 A= : 5 Σελίδα - -

22 6. Να γίου οι πράξεις: α) α β γ 4α β γ α β γ x y 4 ) 4xy, x, y 0 β y 5x 7. Να υπολογιστεί ο x στις παρακάτω ισότητες: i) = x ii) 4 4x 9 x 5 = 8 x iii) = 6 iv) 5 x = 5 5 v) = 5 9 x 4 8. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: i) Α= ( ) 6 ( ) 0 ii) B= + 4+ ( ) : iii) Γ = + : iv) = : : : + 9. Να γίου οι πράξεις: i) x : x x 4 0 ii) 8x y : x y x 4 iii)x y ( x y ) 6 xy x y iv) : v) ( x : y) y : x Σελίδα - -

23 A= α βγ : αβ 0. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης β = και γ =. για α = -,. Να απλοποιηθεί η παράσταση υπολογιστεί η τιµή της, ότα x ( 0) 5. Α ( x y) y 4 4 x y x y x y Α= και α = και 4 y= 0. xy =, α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης: 5 A= y x y x y. Α οι αριθµοί x, y είαι ατίστροφοι, α βρείτε τη τιµή της παράστασης Α= x y x y x Γ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετραγωική ρίζα εός µη αρητικού αριθµού α (συµβολισµός α ) είαι ο θετικός αριθµός που ότα υψωθεί στο τετράγωο µας δίει το αριθµό α ηλαδή έχουµε : α x= α τότε (µε α 0 και x 0). Ορίζουµε επίσης 0 = 0 διότι x =α δηλαδή ( α ) =α 0 = 0 και προφαώς = αφού = Ι ΙΟΤΗΤΕΣ α = α όµως = α α π.χ ( ) = = αλλα = = Σελίδα - -

24 α β = α β, προφαώς α, β 0 Απόδειξη α β = α β α β = α β α β =α β α β=α β α β = α β, προφαώς α 0 και β > 0 Απόδειξη α α = β β α α = β β ( α) ( β) α α = β β α = β ΠΡΟΣΟΧΗ : ΕΝ ισχύει η ιδιότητα α ± β = α± β π.χ 6+ 9 = 4+ = 7. Ελπίζω α παρατηρούµε ότι ΕΝ είαι ίσα 6+ 9 = 5 = 5 Πότε όµως µπορεί α ισχύει; Απάτηση: Μόο α έας τουλάχιστο από τους α, β είαι 0 π.χ 0+ 4 = 4= και 0+ 4 = 0+ = Σελίδα - 4 -

25 ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµβολο χρησιµοποιείται µόο ότα ο αριθµός (ή η παράσταση) που είαι κάτω από τη ρίζα (δηλαδή η υπόριζη ποσότητα) είαι θετικός ή µηδέ. π.χ Η δε παίζει µπάλα!!!!! (Μη το δω σε καέα γραπτό έτσι παιδάκια.) ΠΡΟΣΟΧΗ : Η ιδιότητα α β = α β εφαρµόζεται µε τη προϋπόθεση ότι α 0 και β 0. Είαι λάθος δηλαδή α γράψουµε π.χ ( 4) ( 4) = 4 4 ΠΡΟΣΕΞΤΕ ΜΗ ΚΑΝΕΤΕ ΤΟ ΕΞΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι (i) = (ii) 6 4 = (iii) 75= Λύση. Μεθοδολογία Α θέλουµε α απλοποιήσουµε τη α, γράφουµε το αριθµό α ως γιόµεο δύο αριθµώ, όπου τουλάχιστο ο έας από τους δύο α είαι τέλειο τετράγωο ( ηλ.α γράφετε ως έας αριθµός στο τετράγωο). Παράδειγµα: 8= 9 = 9 = (i) = 4 = 4 = (ii) 6 4 = 6 4= 84= 4 = 4 = (iii) 75= 4 5 = 4 5 = 5 = Σελίδα - 5 -

26 . Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα που έχου άρρητους παροοµαστές σε ισοδύαµα κλάσµατα µε ρητούς παροοµαστές (i) 6 6 (ii) (iii) Λύση. Μεθοδολογία Α θέλουµε α µετατρέψουµε έα κλάσµα µε άρρητο παροοµαστή σε ισοδύαµο µε ρητό παροοµαστή, αρκεί α πολλαπλασιάσουµε το αριθµητή και το παροοµαστή του κλάσµατος µε το παροοµαστή. (i) = 6 = 6 = 6 = (ii) Αρχικά σπάω τη 48µε το τρόπο που µάθαµε παραπάω = = = = = = = = (iii) = + = 5+ = 5+ 5 (Σωστός..;;;). Να υπολογίσετε τις τιµές τω παρακάτω παραστάσεω. (i) (ii) 5 7 (iii) (iv) ( ) ( + ) Λύση. (i) 5 7 5= ( 7) 5= 5 5 Σελίδα - 6 -

27 (ii) 5 7 = ( 7) ( 5+ ) = 4 6 (iii) = = = = = = = = 5 6+ = = 5 4+ = = + = = 4 (iv) ( ) ( + ) = + = ( ) ( + ) = + = 4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. (i) 7+ x= 8+ x x (ii) 5 = 8 Λύση. (i) 7+ x= 8+ x x x= 8 7 x= x= x= 7 7 x= 7 Σελίδα - 7 -

28 (ii) x 5 = x x x x x= x= x= 8 5= 8 5= 8 5= 6 5= ( 5) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις α σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. 5= 5 Σ Λ. + 7 = 0 Σ Λ. 6 4 = Σ Λ = Σ Λ 5. = Σ Λ Σελίδα - 8 -

29 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να ατιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ (Α) ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. Β. ε ορίζεται Γ. 5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθού οι ισότητες: x =... α... x =... α... α β=... α... α β=... α... α =... α... β. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: χ x Σελίδα - 9 -

30 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 6 Α= Β= ( ) ( ) Γ= + +. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= Β= Γ= = Ε= Να γίου οι πράξεις: i) + ii)6 + 5 iii) iv) v) vi) vii) Να υπολογίσετε τις τιµές τω παραστάσεω: Σελίδα - 0 -

31 ( ) ( 5)( 5) Α= + Β= + Γ= 6 5. Να αποδείξετε ότι: i) = 7 ii) = 8 iii) 7+ = 4 iv) 8+ = v) 0= 0 vi) = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 8,, 8, 0, 4, 7, 8,, 40, 44, 50, 5, 7, 5 ii) 00, Α α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, α απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) iii) v) α β α β α α β 4 α αβ +β α β α+ β 8. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύαµα µε ρητό παροοµαστή: 0 8,,,, Σελίδα - -

32 α 9. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί β και 9β α αριθµοί. µε α, β θετικοί, είαι ατίστροφοι A= Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: B= είαι ίσες.. Να απλοποιήσετε τη παράστασηα= Να δείξετε ότι οι αριθµοί +, είαι ατίστροφοι.. Να κάετε τις πράξεις: + και Να λύσετε τις εξισώσεις: i)5 + x= 8+ x ii) x 5 0= 0 x iii) = iv) x 5= x 5. Να αποδείξετε ότι ( )( + ) =. Χρησιµοποιώτας τη προηγούµεη ισότητα, α µετατρέψετε το κλάσµα παροοµαστή σε ισοδύαµο µε ρητό παροοµαστή. που έχει άρρητο Σελίδα - -

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α

Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Βασικές γώσεις Μαθηµατικώ Α και Β Λυκείου που πρέπει α ξέρουµε για α ξεκιήσουµε τις σπουδές µας στο TEI Επιµέλεια Όµηρος Κορακιαίτης Προσθήκες διορθώσεις: Θεολόγος Πααγιωτίδης Άλγεβρα και πράξεις: (ή το

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 7 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Λυµένες Ασκήσεις * * *

Λυµένες Ασκήσεις * * * Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα