Περιεχόμενα. Εύρεση των ριζών της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης Τελικά συμπεράσματα Παραδείγματα... 57

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Πρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»

5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

α έχει μοναδική λύση την x α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας.

Τα παρακάτω θέματα αποτελούν ασκήσεις προαγωγικών εξετάσεων της Γ Γυμνασίου σε κάποια σχολεία της Ελλάδας. 1.Δίνεται η παράσταση: A x 1 x x 1x 1 α)να αποδείξετε ότι Ax 11 β)να λύσετε την εξίσωση A 1x γ)να

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

1 Εξισώσεις Β βαθμού Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2 Λύση της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0, α 0 Εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Πρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 0 3 3 1 1 1 8 3 Α= + + : και Β= : 4 +. 4 31 8 4 4 1 3 9 Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την

A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΜΑΪΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ A. Να αποδείξετε ότι,

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

2) Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση και να εξετάσετε αν έχει τις ίδιες λύσεις με την παραπάνω εξίσωση.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Γ Α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Επιλέγετε και απαντάτε σε ένα (1) από τα δύο θέματα θεωρίας ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α+β) = α + αβ + β. Β)

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Άσκηση. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός a, τέτοιος ώστε να ισχύει

Πειραματικό λύκειο Αναβρύτων Δρεκόλιας Δημήτρης Γ Λυκείου 2//2 Άσκηση Έστω η συνάρτηση f(x) = 2e x x 2 + με πεδίο ορισμού το σύνολο D f = R. (i)(α) Να αποδειχθεί ότι η ƒ αντιστρέφεται και να βρεθεί το

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλυτέρου βαθμού 4.1 Εξίσωση τετάρτου

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Η εξίσωση 2ου βαθμού στο επίπεδο

Η εξίσωση ου βαθμού στο επίπεδο Στο επίπεδο θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xοy, και την εξίσωση ax +βxy+γy +δx+εy+η=0 () με α, β,γ R α +β +γ 0 Το ερώτημα στο οποίο θέλουμε να απαντήσουμε είναι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΛΥΚΕΙΟ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΝΝΟΙΑ

Έκδοση 1 η (διορθωμένη): Μάιος Συγγραφική Ομάδα. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. Παράρτημα Λάρισας. Επαναληπτικές Ασκήσεις.

Συγγραφική Ομάδα Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Λάρισας Επαναληπτικές Ασκήσεις Α Λυκείου Συνεργάστηκαν : Θέου Νάντια Κουρδουκλάς Αποστόλης Κοφίνας Στέλιος Μαχαίρας Δημήτρης Πατσούρα Ιφιγένεια Σκόδρα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +