3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

Transcript

1 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητς. Στην παράγραφο αυτή πρόκιται να ισαγάγουμ μια σημαντική, ίσως την σημαντικότρη, κλάση τοπολογικών γραμμικών χώρων. Αυτή ίναι η κλάση των τοπικά κυρτών χώρων Ορισμός 3.2. Έστω E διανυσματικός χώρος. Μια ημινόρμα στον E ίναι μια απικόνιση : E R ώστ: (ι) 0, E = K E. (ιι) ( λ ) λ, λ, (ιιι) ( + y) + ( y),, y E. Η ιδιότητα (ιιι) ονομάζται υποπροσθτικότητα. Παρατηρήσις () Παρατηρούμ ότι οι συνθήκς (ιι) και (ιιι) έχουν σαν συνέπια την (ι).( Πράγματι, ( 0) = ( 2 0) = 2 ( 0), άρα ( 0) = 0. Επίσης 0 = ( + ( ) ) + ( ) ( ). Επιδή ( ) = 0, E.) (2) ( y) ( y),, y E,( Αν, y E τότ = ( y) + y ( y) + ( y) ( y) ( y) τους ρόλους των και y έχομ ότι ( y) ( y). Έτσι έχουμ το συμπέρασμα. ) (3) Αν { i : i I} su { i : },, έπται ότι. Εναλλάσσοντας οικογένια ημινορμών πί του διανυσματικού χώρου E και i I < + E τότ η απικόνιση { i } : E R : = su : i I, E ίναι μια ημινόρμα πί του E. Ιδιαίτρα αν { } η οικογένια ίναι ππρασμένη, έστω {,..., }, τότ η = m,..., ίναι πάντοτ ημινόρμα. ( Άσκηση). (4) Είναι προφανές ότι μια ημινόρμα ίναι νόρμα αν και μόνο αν > 0, E μ 0. Παραδίγματα () Έστω E διανυσματικός χώρος και Λ : E K γραμμικό συναρτησοιδές, τότ η απικόνιση = Λ, E, ίναι μια ημινόρμα πί του E. ( Πότ η = Λ γίνται νόρμα; )

2 33 (2) Έστω l R =, όπου : : limsu ημινόρμα πί του χώρου Bch = l. Τότ η ίναι μια l.( Πρβλ. το παράδιγμα. ). Πρόταση Έστω E διανυσματικός χώρος και : E R ημινόρμα πί του E. Τότ ισχύουν: (ι) Το σύνολο F { 0} (ιι) Για κάθ 0 = ίναι διανυσματικός υπόχωρος του E. { } >, τα σύνολα ( 0, ) : { } ( 0, ) : Β = E < και Β = E ίναι κυρτά ισορροπημένα και απορροφούντα υποσύνολα του E. Απόδιξη: Αποδικνύουμ μόνο ότι το ( 0, ) υπόλοιπους ισχυρισμούς ως άσκηση. Έστω E. Αν 0 t t = t < + 2 τότ Β ίναι απορροφούν και αφήνουμ τους και άρα t ( 0, ) + 2, Β. Αν : E R ίναι μια ημινόρμα πί του διανυσματικού χώρου E τότ ίναι ύκολο να αποδίξουμ ότι η οικογένια των συνόλων της μορφής { } Β, = y E : y < = +Β 0,, E, > 0 συνιστούν μια βάση για μια τοπολογία πί του E η οποία ίναι συμβατή μ την αλγβρική δομή του E και έτσι ο ( E, ) γίνται τοπολογικός διανυσματικός χώρος. Εντούτοις οι τοπικά κυρτές τοπολογίς ορίζονται από μια ολόκληρη οικογένια ημινορμών πί του Eμ τον ακόλουθο τρόπο. Έστω E διανυσματικός χώρος και μια οικογένια ημινορμών πί του E. Αν { } =,...,, E και > 0 θέτομ. = (, ) (, ) { y E : ( y ),,2,..., } Β = Β = < = Κατόπιν θωρούμ κίνη την τοπολογία = η οποία έχι ως υποβάση τα σύνολα της μορφής ( ) Β,,, E, > 0 Ένα τυπικό μέλος της βάσης που παράγι η παραπάνω υποβάση ίναι πομένως της μορφής όπου = Έστω Β (, ),..., E,,..., και,..., 0 >

3 34 Έστω Β (, ), θέτομ ( ) =. Παρατηρούμ ότι Β (, ) Β (, ) = = { } = mi : συνπώς > 0. Πράγματι, αν y Β (, ), τότ,,2,..., = έχομ,,,2,... y Β = y =. Έτσι y y + < = από όπου έπται ότι (, ). Από την παρατήρηση αυτή συμπραίνουμ ότι η κλάση των συνόλων της μορφής { Β (, ) : E, > 0 και ππρασμένο } ίναι και αυτή μια βάση για την τοπολογία = ( ) που ορίσθηκ παραπάνω. { E } Ειδικότρα τα σύνολα της μορφής ( ) Β 0, = : <,, όπου ππρασμένο ίναι μια βάση πριοχών του 0 E η οποία αποτλίται από κυρτά και ισορροπημένα ( και απορροφούντα ) σύνολα. ( Πρβλ την πρόταση ). Παρατηρούμ τα ακόλουθα: z A ) Έστω δίκτυο στον E και z E. Τότ (α) z z ( z z) 0 για κάθ Πράγματι, z z [ > 0, ππρασμένο υπάρχι 0 0 Α : z Β z, ] > 0, ππρασμένο υπάρχι : 0 0 Α ( z z) ( z z) (β) Αν z z τότ ( z) ( z) <, 0 για κάθ. για κάθ. Το συμπέρασμα προκύπτι αμέσως από την ανισότητα, z z z z Α. Έπται ιδιαίτρα κάθ ημινόρμα ίναι συνχής συνάρτηση πί του χώρου ( E, ( )) 2) Η τοπολογία = ίναι συμβατή μ την αλγβρική δομή του E και έτσι ο ( E, ) ίναι ένας τοπολογικός γραμμικός χώρος.

4 35 Για την απόδιξη αυτού του ισχυρισμού θωρούμ ένα δίκτυο (, ) την τοπολογία γινόμνο δίκτυο (, ) λ Α y στον E E ( μ Α ) και (, y) E E ώστ (, y ) (, y) στον χώρο K E ( μ την τοπολογία γινόμνο ) και ( λ, ) K E ώστ ( λ, ) ( λ, ) Έπται τότ από τις ανισότητς ότι. + y + y και λ ( ) λ + y + y + y y και λ λ λ λ + λ, και ακόμη ένα ότι y y + + και λ λ. Έτσι οι πράξις του E ίναι συνχίς και ο ( E, ) ίναι ένας τοπολογικός διανυσματικός χώρος. 3) Ο τ.δ.χ., E ίναι Husdorff αν και μόνο αν η οικογένια ημινορμών διαχωρίζι τα σημία του E, δηλαδή αν, για κάθ, y E μ ώστ 0 y υπάρχι y >.( Ισοδύναμα, για κάθ E μ 0 υπάρχι τέτοιο ώστ ( ) > 0). Η απόδιξη αυτού του ισχυρισμού προκύπτι ύκολα από την πρόταση Ορισμός Ένας τοπολογικός διανυσματικός χώρος λέγται ότι ίναι τοπικά κυρτός (τ.κ.), αν η τοπολογία του ορίζται από μια οικογένια ημινορμών δηλαδή = ( ), όπως παραπάνω. Παρατηρούμ ότι αν ( E, ) ίναι ένας τοπικά κυρτός τ.δ.χ., τότ: ) Ο E έχι μια βάση πριοχών του 0 E που αποτλίται από ( κλιστά ) κυρτά και ισορροπημένα σύνολα έτσι ώστ να ικανοποιούνται οι συνθήκς του θωρήματος ) Κάθ διανυσματικός υπόχωρος F του E ίναι μ τη σχτική τοπολογία ένας τοπικά κυρτός τ.δ.χ. ( η σχτική τοπολογία πί του F συμπίπτι μ την τοπικά κυρτή τοπολογία που ορίζουν οι ημινόρμς της οικογένιας αν πριορισθούν στον F.) Παραδίγματα ) Έστω (, ) ένας Husdorff τοπικά κυρτός χώρος μ την τοπολογία Πράγματι η οικογένια των ανοικτών σφαιρών ( ) διανυσματικός χώρος μ νόρμα. Τότ ο ίναι = που ορίζι η νόρμα. {, :, 0} Β > αποτλί μια βάση της έτσι σύμφωνα μ τον ορισμό 3.2.5, ο (, ) ίναι τοπικά κυρτός ( μτρικοποιήσιμος ) χώρος.

5 36 2) Έστω Γ σύνολο. Θέτομ E K Γ ( K Rή C) = =. Δηλαδή ο E ίναι ο διανυσματικός χώρος ( μ τις συνήθις κατά σημίο πράξις ) όλων των συναρτήσων f : κάθ γ Γ ορίζουμ την ημινόρμα : E R : ( f ) f γ γ γ Γ K. Για =. Έστω = { γ : γ Γ } Η τοπικά κυρτή τοπολογία = ( ) που ορίζι η πί του E σύμφωνα μ τον ορισμό έχι ως βάση πριοχών του 0 E ( της σταθράς συνάρτησης ίσης μ μηδέν ) τα σύνολα της μορφής γ,...,, γ Γ N και > 0. Αν f { } Vγ :,, 2,...,,..., γ f E f, = γ < =, όπου E, τότ μια βάση πριοχών του f αποτλίται από τα σύνολα της μορφής { } V, γ,..., γ, = g E : g γ f γ, =, 2,..., f f A Έστω δίκτυο στον E και f E τότ ίναι προφανές ότι, f f f γ f γ γ Γ. Η τοπολογία = ονομάζται η τοπολογία της σύγκλισης κατά σημίο πί του E και βέβαια συμπίπτι μ τη γνωστή μας τοπολογία γινόμνο πί του E. Ακόμη σημιώνουμ ότι ο ( E, ) ίναι χώρος Husdorff αφού αν, υπάρχι γ Γ : f ( γ ) g( γ ), δηλαδή ( f g) 3)Έστω (, ) χώρος μ νόρμα, και γ > 0. 0 f g E μ f g τότ ο συζυγής του. Θα ορίσουμ τώρα δύο νδιαφέρουσς τοπικά κυρτές τοπολογίς, την ασθνή τοπολογία πί του και την ασθνή τοπολογία του. (α) Η ασθνής τοπολογία του. Για κάθ θέτομ : R : =,. Η τοπικά κυρτή τοπολογία που ορίζι η οικογένια ημινορμών { : } και συμβολίζται μ w. Παρατηρούμ τα ακόλουθα: = πί του ονομάζται η ασθνής ( we ) τοπολογία του (ι) Η οικογένια διαχωρίζι τα σημία του και έτσι ο μ την ασθνή τοπολογία ίναι χώρος Husdorff. Ο ισχυρισμός αυτός ίναι συνέπια του θωρήματος Hh- Bch, αφού αν, y μ y, τότ το z = y 0και συνπώς υπάρχι z z = > 0. μ = ώστ

6 37 (ιι) Ένα δίκτυο ( ) A μόνο αν συγκλίνι ασθνώς στο, δηλαδή,,. w αν και (ιιι) Μια βάση ( ανοικτών ) πριοχών του 0 αποτλίται από όλα τα σύνολα της μορφής όπου 2,...,, { :,, 2,..., } V = < =,,...,, N και > 0. Επιδή κάθ ένα από τα σύνολα V,...,, ίναι και ανοικτό στην τοπολογία της νόρμας στον ( γιατί; ), έπται ότι η ασθνής τοπολογία w του ίναι ασθνέστρη ( μικρότρη ) της τοπολογίας της νόρμας του, δηλαδή w. Σημιώνουμ ότι, ένας ισοδύναμος τρόπος να ορίσουμ την ασθνή τοπολογία του προκύπτι από την παρατήρηση ότι ο μπορί να θωρηθί ως διανυσματικός υπόχωρος του χώρου K, ο οποίος σύμφωνα μ το παράδιγμα (2) ίναι τοπικά κυρτός μ την τοπολογία σύγκλισης κατά σημίο. Έτσι η ασθνής τοπολογία του μπορί να ορισθί ως η σχτική τοπολογία που πάγται από τον (, ) θώρημα Hh-Bch ( αν { 0} τότ ) { 0} K στον. Πράγματι, από το και η μφύτυση του στον ορίζται από την απικόνιση ϕ ϕ (Συμπληρώστ τις λπτομέρις.) (β) Η ασθνής τοπολογία του : K : =,,. Για κάθ : R : =,. Η οικογένια ημινορμών { : } ορίζουμ μια ημινόρμα K = ορίζι τότ μια τοπικά κυρτή τοπολογία στον, η οποία ονομάζται η ασθνής ( we ) τοπολογία του w και συμβολίζται μ Παρατηρούμ ότι: ίναι χώρος Husdorff, αφού αν, y μ, w (ι) Ο( ) υπάρχι μ ( y) ( y ) > 0. y τότ βέβαια (ιι) Ένα δίκτυο συγκλίνι ασθνώς στο A,. και μόνο αν, δηλαδή, w αν

7 38 (ιιι) Μια βάση ανοικτών πριοχών του { } 0 αποτλίται από τα σύνολα της μορφής V,...,, = : <, =,2,...,, όπου,...,,, 0 N >. Έπται ιδιαίτρα ότι, w τοπολογίας της νόρμας του χώρου, δηλαδή, η ασθνής τοπολογία ίναι ασθνέστρη της. Σημιώνουμ ότι ( όπως και η ασθνής τοπολογία ) η ασθνής τοπολογία μπορί να ορισθί και μ τη βοήθια του παραδίγματος (2). Πράγματι η απικόνιση τ : K :τ =,, ίναι μια ( αλγβρική ) μφύτυση του στον διανυσματικό χώρο K. Έτσι η w τοπολογία μπορί να ορισθί ως η σχτική τοπολογία που πάγται από τον τοπικά κυρτό χώρο (, ) υπόχωρο του ( ακριβέστρα στον τ( )). K στον διανυσματικό 4) Έστω M μτρικός χώρος ή γνικότρα ένας τοπολογικός χώρος Husdorff, ας συμβολίσουμ μ C( M ) C ( M ) τον χώρο των συνχών συναρτήσων f : M K ο K οποίος ίναι βέβαια μ τις συνήθις πράξις ( της πρόσθσης βαθμωτών συναρτήσων και του πολλαπλασιασμού συνάρτησης μ βαθμωτό ) ένας διανυσματικός χώρος πί του K. Για κάθ Κ M συμπαγές μη κνό σύνολο θέτομ, { } Κ f = su f : Κ. Η τοπικά κυρτή τοπολογία τ C που καθορίζι η οικογένια ημινορμών { : M συµπαγές} = Κ ονομάζται τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα Κ συμπαγή υποσύνολα του M. Παρατηρούμ τα ακόλουθα: (ι) Η τοπολογία C τ ίναι Husdorff, αφού αν f, g C( M ) μ f g τότ υπάρχι : και συνπώς Κ ( f g) > 0, όπου Κ = { } M f g.( Ουσιαστικά η τ C ίναι Husdorff αφού ίναι λπτότρη της τοπολογίας της κατά σημίο σύγκλισης πί του C( M ).). (ΙΙ) Ένα δίκτυο ( f ) C( M ) συγκλίνι ως προς την C A τ στην συνάρτηση f C( M ) τc ( γράφουμ τότ f f ) αν και μόνο αν f κάθ συμπαγές Κ M. Κ f ομοιόμορφα πί του Κ, για Κ

8 39 (ιιι) Οι βασικές πριοχές του 0 C( M ) στην τοπολογία τ C ίναι της μορφής, VΚ, = { f C( M ) : su { f : Κ } < }, Κ M συμπαγές και > 0. 5) Έστω Ω C ανοικτό μη κνό σύνολο. Ας συμβολίσουμ μ Η( Ω ) τον χώρο των ολομόρφων συναρτήσων f : υπόχωρος του χώρου C C Ω C, ο οποίος ίναι βέβαια ένας διανυσματικός Ω. Έτσι η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή (η οποία ορίσθηκ στο προηγούμνο παράδιγμα ) καθιστά τον Η( Ω ) ένα Husdorff τοπικά κυρτό υπόχωρο του CC ( Ω ).