HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Σχέσεις. Σύνθεση σχέσεων Σχέσεις

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 01/04/2016 Σχέσεις Αντώνης Α. Αργυρός -mil: Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Ks vn Dmtr, από το Univrsity of Arn 4/3/ /3/ Σύνθεση σχέσεων Έστω R:A B, και S:B C. Τότε η σύνθεση SR:A Cτης R και της S είναι µία σχέση που ορίζεται ως: SR = {(,) A C Β: R S} Παράδειγµα: Σύνθεση σχέσεων Σχέση Μ= O φοιτητής x παίρνει το µάθηµα y (ορίζεται στο Φοιτητές x Μαθήµατα) Μ={(Κώστας, ιακριτά), (Νίκος, ιακριτά), (Πάνος, Προγραµµατισµός), (Μαρία, Λογική)} 4/3/ /3/

2 Σύνθεση σχέσεων Σχέση = Το µάθηµα y το διδάσκει ο καθηγητής z (ορίζεται στο Μαθήµατα x Καθηγητές) ={( ιακριτά, Αργυρός), (Υπολογιστική Όραση, Αργυρός), (Προγραµµατισµός, Παπαγιαννάκης), (Λογική, Πλεξουσάκης)} Σύνθεση σχέσεων Σχέση Μ= Ο φοιτητής x παρακολουθεί µάθηµα που διδάσκει ο καθηγητής z (ορίζεται στο Φοιτητές x Καθηγητές) Μ={(Κώστας, Αργυρός), (Νίκος, Αργυρός), (Πάνος, Παπαγιαννάκης), (Μαρία, Πλεξουσάκης)} 4/3/ /3/ n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R Η n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R επί ενός συνόλου A κλπ. Η 1 η δύναµητης R είναι η ίδια η R Η 2 η δύναµητης R είναι η R 2 = RR Η 3 η δύναµητης R είναι η R 3 = RRR n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R Η n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R επί ενός συνόλου A µπορεί να οριστεί αναδροµικά ως R 1 : R ; R n+1 : R n R για κάθε n 1. Π.χ., Έστω η σχέση R 4/3/ /3/

3 n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R n οστή δύναµη R n µίας σχέσης R R R 2 = RR R 2 = RR R R 3 = R 2 R R 2 = RR = {(,),(,),(,),(,)} R 3 = R 2 R = {(,),(,),(,),(,)} 4/3/ /3/ R* R* Πως θα ορίζαµε τυπικά την R*; Πως θα ορίζαµε τυπικά την R*; i= 1 R i 4/3/ /3/

4 R* Πως θα ορίζαµε τυπικά την R*; Αρκεί n = A i= 1 4/3/ n R i Έστω ένας γράφος G(A, E). Ένα µονοπάτι µήκους n από ένα κόµβο A προς ένα κόµβο A στο G είναι µία ακολουθία (,x 1 ), (x 1,x 2 ),, (x n 1,) από n διατεταγµένα ζεύγη του E (σύνολο ακµών) Ένα µονοπάτι µήκους n 1 από το στον εαυτό του είναι ένας κύκλος. Θεώρηµα: Έστω ο γράφος G(Α, E) που αναπαριστά µία διµελή σχέση R επί ενός συνόλου Α και δύο στοιχεία Α, Α. Υπάρχει ένα µονοπάτι µήκους n από το στο στον G αν και µόνο αν (,) R n. 4/3/ R * Ένα διατεταγµένος ζεύγος (, ) ανήκει στην R * αν και µόνο αν υπάρχει ένα µονοπάτι πεπερασµένου µήκους από το στο στην αναπαράσταση της R ως γράφος. 4/3/ Γιατί η R* είναι ενδιαφέρουσα; Υποθέστε ότι µία µολυσµατική ασθένεια µεταδίδεται από άνθρωπο σε άνθρωπο µέσω χειραψίας Χ(, ) Έστω ότι ξέρετε ότι ο Φώτης είναι µολυσµένος και ότι θέλετε να µάθετε ποιός άλλος έχει µολυνθεί από αυτόν. Για να το πετύχετε, πρέπει να: 1. Προσδιορίσετε τους ανθρώπους που έκαναν χειραψία µε το Φώτη. Αυτό σας δίνει τους άµεσα µολυσµένους 2. Βρείτε οποιονδήποτε µολύνθηκε από κάποιον που µολύνθηκε από τον Φώτη... Και ούτω καθεξής... 4/3/

5 τελικά, ποιός µολύνθηκε;;; εν ξέρουµε πάντα την R* Υποθέστε ότι η «Χειραψία» είναι η ακόλουθη σχέση: Χ={ (Φώτης,Νίκος), (Νίκος,Κώστας), (Κώστας, Πέτρος), (Μάνος, Μαρία)}. Η ίδια η σχέση µας δίνει τους άµεσα µολυσµένους από το Φώτη Η µεταβατική της κλειστότητα µας δίνει όλους τους µολυσµένους X* = {(Φώτης, Νίκος), (Νίκος,Κώστας), (Κώστας, Πέτρος), (Μάνος, Μαρία), (Φώτης, Κώστας), (Φώτης Πέτρος)} Σε αυτή εµφανίζονται τα στοιχεία (Φώτης,Νίκος), (Φώτης, Κώστας), (Φώτης Πέτρος) εποµένως και αυτοί, εµµέσως (µεταβατικά) µολύνθηκαν! 4/3/ Στην πραγµατική ζωή, συχνά δεν ξέρουµε την ακριβή έκταση της R* (δηλ., ποιά ζεύγη ανήκουν σε αυτή τη σχέση) εν έχω κάνει ποτέ χειραψία µε τον δήµαρχο του Hong Kong ((Αργυρός, ήµαρχοςhongkong) Χ) Τι µπορούµε να πούµε για την Χ*(Αργυρός, ήµαρχοςhongkong) ; 4/3/ Αλγοριθµικός υπολογισµός µεταβατικής κλειστότητας Αλγόριθµος του Wrshll (επίσης γνωστός ως αλγόριθµος Roy-Wrshll) Χρησιµοποιεί την αναπαράσταση πίνακα µιας σχέσης. 4/3/ Υπολογισµός της R* /* Assum funtion g (i,j) whih is 1 if i is rlt to j n 0 othrwis. Also ssum tht n is th numr of vrtis */ int pth[][]; /* A 2-Dimnsionl mtrix. At h stp in th lgorithm, pth[i][j] is 1 if thr is pth from i to j using intrmit vlus in (1..k-1). Eh pth[i][j] is initiliz to g(i,j). */ prour Wrshll() for k: = 1 to n Bgin for i: = 1 to n for j: = 1 to n gin pth[i][j] = OR ( pth[i][j], pth[i][k] AND pth[k][j] ); En En npro 4/3/

6 Εύρεση ελαχίστων µονοπατιών Αν ξεκινήσω από ένα λιµάνι, σε ποιο µπορώ να φτάσω (R*); Ποια είναι η οικονοµικότερη διαδροµή; Σηµείωση: για µία συµµετρική σχέση, δεν χρησιµοποιούµε βέλη στον αντίστοιχο γράφο 4/3/ Εύρεση ελαχίστων µονοπατιών /* Assum funtion gcost(i,j) whih rturns th ost of th g from i to j (infinity if thr is non). Also ssum tht n is th numr of vrtis n gcost(i,i) = 0 */ int pth[][]; /* A 2-imnsionl mtrix. At h stp in th lgorithm, pth[i][j] is th shortst pth from i to j using intrmit vrtis (1..k 1). Eh pth[i][j] is initiliz to gcost(i,j). */ prour FloyWrshll () for k := 1 to n for i := 1 to n for j := 1 to n pth[i][j] = min(pth[i][j], pth[i][k]+pth[k][j] ); En 4/3/ Σχέσεις ισοδυναµίας Σχέσεις ισοδυναµίας Ορισµός: Μία διµελής σχέση επί ενός συνόλου A είναι σχέση ισοδυναµίας αν και µόνο αν έχει την ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική ιδιότητα. 4/3/ /3/

7 Παράδειγµα Έστω, πραγµατικοί αριθµοί και έστω R(, ) = o - είναι ακέραιος. Είναι η R σχέση ισοδυναµίας; Παράδειγµα Έστω, πραγµατικοί αριθµοί και έστω R(, ) = o - είναι ακέραιος. Είναι η R σχέση ισοδυναµίας; Για να είναι σχέση ισοδυναµίας, θα πρέπει να έχει την ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική ιδιότητα Ανακλαστική:Για κάθε πραγµατικό αριθµό, -=0 (ακέραιος) Συµµετρική: Για πραγµατικούς αριθµούς, αν ο - είναι ακέραιος, τότε και ο - είναι ακέραιος Μεταβατική:Για πραγµατικούς αριθµούς,,, αν - ακέραιος, και - ακέραιος, τότε - ακέραιος 4/3/ /3/ Παράδειγµα Έστω R(w1, w2) = Οι δύο τελευταίοι χαρακτήρες της λέξης w1 είναι ίδιοι µε τους δύο τελευταίους χαρακτήρες της λέξης w2. H R είναι σχέση ισοδυναµίας γιατί είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική. Έστω R µία σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Ηκλάση ισοδυναµίας [] R του Α ως προς τη σχέση R ορίζεται ως [] R : { x Rx} ιαισθητικά, το σύνολο όλων των στοιχείων που είναι ισοδύναµα µε το ως προς την R. Κάθε τέτοιο x (συµπεριλαµβανοµένου και του ) µπορεί να θεωρηθεί ως αντιπρόσωπος της [] R. 4/3/ /3/

8 - παραδείγµατα R = Οι λέξεις και έχουν το ίδιο µήκος. Ας υποθέσουµε ότι η έχει µήκος 3. Ποια είναι η κλάση ισοδυναµίας της; [] R = το σύνολο όλων των λέξεων µήκους 3. S = Οι ακέραιοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιµή. Ποια είναι η [] S ; [] S = {, } - παραδείγµατα Θεωρείστε την σχέση λογικής ισοδυναµίας ( ) προτάσεων του προτασιακού λογισµού Ποιά είναι η [p q]; 4/3/ /3/ παραδείγµατα Θεωρείστε την σχέση λογικής ισοδυναµίας ( ) προτάσεων του προτασιακού λογισµού Ποια είναι η [p q]; Όλες οι προτάσεις που είναι λογικά ισοδύναµες µε την p q Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν, είναι στοιχεία του Α, τότε R [] R =[] R Απόδειξη: Έστω [] R. Τότε R R (λόγω συµµετρικής) Επίσης αr. R και Rεποµένως, λόγω µεταβατικής, R [] R Έστω [] R. Τότε R R (λόγω συµµετρικής) Επίσης αr λόγω σyµµετρικής, R R και R εποµένως, λόγω µεταβατικής, R [] R Άρα εάν R τότε [] R =[] R 4/3/ /3/

9 Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν, είναι στοιχεία του Α, τότε [] R =[] R [] R [] R Απόδειξη:??? Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν, είναι στοιχεία του Α, τότε [] R =[] R [] R [] R Απόδειξη: [] R εφόσον [] R και εποµένως, [] R [] R 4/3/ /3/ Θεώρηµα: Έστω R-σχέση ισοδυναµίας επί ενός συνόλου Α. Αν, είναι στοιχεία του Α, τότε [] R [] R R Απόδειξη: [] R [] R τ.ω. R και R. Εφόσον R [] R =[] R [] R [] R R Ισχύει ότι R [] R =[] R [] R [] R Εποµένως, R και R. (συµµετρικότητα της R) Εποµένως, R. (µεταβατικότητα της R) 4/3/ /3/

10 Τώρα ξέρουµε ότι Εάν R τότε { x Rx } = { x Rx }... Με άλλα λόγια, µία κλάση ισοδυναµίας βασισµένη στην R είναι απλά ένα µέγιστο σύνολο αντικειµένων που σχετίζονται µεταξύ τους µέσω της R 4/3/