Δείκτες Δυσκαμψίας για Προβλήματα Αλληλεπίδρασης Εδάφους Κατασκευής

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-71 Δείκτες Δυσκαμψίας για Προβλήματα Αλληλεπίδρασης Εδάφους Κατασκευής Γ. Δ. ΜΑΝΩΛΗΣ Η. Α. ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ Κ. Π. ΠΛΑΤΣΟΥΚΑΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Διπλ. Πολ. Μηχ., Διδάκτωρ Α.Π.Θ. Διπλ. Πολ. Μηχ., Μ.Δ.Ε. Περίληψη Στην παρούσα εργασία μελετήθηκαν αναλυτικές και προσεγγιστικές λύσεις ομοιογενών καθώς και ανομοιογενών εύκαμπτων πλακών επί εδάφους. Οι λύσεις αφορούν στο πεδίο των μετατοπίσεων για λεπτές, ελαστικές, κυκλικές πλάκες υπό εγκάρσιο σημειακό φορτίο στο κέντρο τους. Στη συνέχεια, οι μετατοπίσεις αυτές ολοκληρώθηκαν πάνω στην επιφάνεια της πλάκας, για να προκύψουν δείκτες εμπέδησης (impedance functions) ή δείκτες δυσκαμψίας (stiffness indices) που βρίσκουν εφαρμογή σε προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφουςκατασκευής (soil-stuctue inteaction). 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια εφαρμογή των πλακών είναι σε θεμελιώσεις του τύπου της γενικής κοιτόστρωσης [1]. Ως γνωστόν, αυτές παρουσιάζουν γενικώς πολύ καλή μηχανική συμπεριφορά, αλλά υψηλότερο κόστος σε σχέση με συστήματα πεδιλοδοκών. Ένας τρόπος μείωσης του κόστους και βέλτιστης χρήσης του υλικού θα ήταν η κατασκευή ανομοιογενών πλακών με συνεχή ελάττωση του πάχους τους μακριά από τα σημεία φόρτισης []. Ταυτόχρονα, οι πλάκες αυτές θα πρέπει να παρουσιάζουν εξίσου καλή συμπεριφορά με τις ομοιογενείς, ειδικά σε περιπτώσεις σημειακών φορτίσεων (όπως, π.χ., όταν ένας στύλος εδράζεται σε εκτεταμένη πλάκα θεμελίωσης). Το μεταβλητό πάχος της πλάκας μπορεί να διέπεται από διάφορες μαθηματικές συναρτήσεις, όπως εκθετική, πολυωνυμική, κ.λ.π. Οι αναλυτικές λύσεις για πλάκες που παρουσιάζουν γεωμετρική ανομοιογένεια είναι εξαιρετικά επίπονες από μαθηματικής πλευράς, με αποτέλεσμα να έχουν εξετασθεί σχετικά λίγες περιπτώσεις [3]. Από πρόσφατες μελέτες, αναφέρουμε την περίπτωση χρήσης της μαθηματικής τεχνικής της σύμμορφης απεικόνισης σε συνδυασμό με το μετασχηματισμό Radon [4], για την ανάλυση πλακών με ανομοιογένεια που διέπεται από τη μορφή της απεικόνισης και αντιστοιχεί σε κυκλικές πλάκες με πάχος που μεταβάλλεται εκθετικά ή και αντιστρόφως, ανάλογα με την ακτίνα [5]. Οι πλάκες στηρίζονται στον ελαστικό ημίχωρο, η δε απλά εδραζόμενη πλάκα αποτελεί ειδική περίπτωση. Η παραπάνω τεχνική ανήκει σε μια ευρύτερη μεθοδολογία που ξεκινά με αφετηρία τη σύμμορφη απεικόνιση [6] και ακολούθως χρησιμοποιείται για την εξεύρεση Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: θεμελειωδών λύσεων για πολλές κατηγορίες προβλημάτων της μηχανικής των ανομοιογενών υλικών [7]. Οσον αφορά προσεγγιστικές λύσεις, κατά κανόνα χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) [8] και συγκεκριμένα εκπονούνται τρισδιάστατα μοντέλα για τις συνήθεις στατικές αναλύσεις με τη βοήθεια προγραμμάτων ανάλυσης σε Η/Υ, όπως είναι π.χ., το πρόγραμμα Nastan [9]. Μια πλέον εξειδικευμένη αριθμητική μέθοδος για ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων είναι η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ), που χρησιμοποιεί τις θεμελιώδεις λύσεις πλακών υπό σημειακή φόρτιση [1] ως πυρήνες στα ολοκληρώματα πεδίου γύρω από την περίμετρο του φορέα, με αποτέλεσμα την επίτευξη μεγάλης ακρίβειας στη ζητούμενη λύση [11]. Η ΜΣΣ έχει βρεί εφαρμογές σε σύνθετα προβλήματα πλακών [1], όπως είναι η πλάκα με μεταβλητό πάχος υπό συνθήκες δυναμικής φόρτισης [13], η πλάκα με ελαστική έδραση [14] ή επί του ημίχωρου [15], η αλληλεπίδραση πλάκας με το περιβάλλον εδάφος [16], κ.λ.π.. Η μηχανική συμπεριφορά κατασκευών που εδράζονται σε ενδόσιμα εδάφη και υπόκεινται σε δυναμικές φορτίσεις, εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τα χαρακτηριστικά του εδάφους και της θεμελίωσης [17]. Η πλήρης ανάλυση του προβλήματος επιβάλει να ληφθούν υπόψη και οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης που αναπτύσσονται μεταξύ κατασκευής και εδάφους [18], το οποίο κατά κανόνα συνοδεύεται από υψηλό υπολογιστικό κόστος. Απλοποιημένες λύσεις του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής που έχουν προταθεί στο παρελθόν και χρησιμοποιούνται επιτυχώς, μετατρέπουν το σύστημα άκαμπτης θεμελίωσης-ενδοσίμου εδάφους σε μια σειρά ελατηριακών σταθερών, σημειακών αποσβεστήρων και μαζών [19], που μπορούν να ενσωματωθούν σε πρόγραμμα της ΜΠΣ για την ανάλυση της κατασκευής. Επίσης, η θεώρηση της θεμελίωσης ως άκαμπτο σώμα οφείλει να αρθεί, όταν αναμένεται πως η πλάκα θα παραμορφωθεί σημαντικά []. Οι πλάκες γενικής κοιτόστρωσης που εξετάζονται εδώ θεωρούνται ως εύκαμπτες, τόσο αυτές με σταθερό πάχος, όσο και οι ανομοιογενείς που το πάχος τους περιορίζεται σημαντικά μακριά από το σημείο φόρτισης. Συγκεκριμένα, η θεμελίωση συμμετέχει στο συνολικό πρόβλημα ως ελαστικό σώμα υπό εξωτερική φόρτιση, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται εσω-

2 7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1- τερικές δυνάμεις και παραμορφώσεις [1]. Τέλος, μόνο με τη θεώρηση της πεπερασμένης δυσκαμψίας της πλάκας θεμελίωσης είναι δυνατόν να αξιολογηθεί ρεαλιστικά η πρόταση της χρήσης ελατηριακών σταθερών για ανομοιογενείς πλάκες μεταβλητού πάχους σε θεμελιώσεις γενικής κοιτόστρωσης και να γίνουν οι σχετικές συγκρίσεις με τις συνήθεις πλάκες σταθερού πάχους. Το υπέδαφος της θεμελίωσης (πλάκας) έχει τα εξής χαρακτηριστικά: έδαφος τύπου Winkle (σχήμα ), ελαστικός ημίχωρος (σχήμα 3). Διακρίνονται πέντε κατηγορίες εδαφών [1] για να μελετηθεί η επιρροή του εδάφους στο πρόβλημα αλληλεπίδρασης. Z, w. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ α λόγος αντίδρασης εδάφους προς εξωτερικό φορτίο, ψ x,ψ y συνολικές στροφές παραμορφωμένης θέσης, γ xz, γ yz στροφές λόγω διατμητικών παραμορφώσεων, w,x,w,y στροφές λόγω βυθίσεων, D, K() δυσκαμψία πλάκας, Ε μέτρο ελαστικότητας εδάφους, Ε s μέτρο συμπιεστότητας εδάφους, s απόσταση θέσης-φορτίου στο επίπεδο της πλάκας, β σταθερά αντίδρασης εδάφους. Σχήμα : Πλάκα επί εδάφους τύπου Winkle. Figue : late on Winkle foundation. k 3. ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΣ ΠΛΑΚΕΣ Οι πλάκες που εξετάζονται στην παρούσα εργασία είναι λεπτές, ελαστικές, κυκλικές πλάκες με μικρές βυθίσεις και εγκάρσια σημειακή φόρτιση στο κέντρο τους. Ως ομοιογενής πλάκα ορίζεται η πλάκα σταθερού πάχους h, ενώ ως εκθετικά και τετραγωνικά ανομοιογενείς ορίζονται οι πλάκες μεταβλητού πάχους (σχήμα 1), που διέπονται από τις παρακάτω εξισώσεις: εκθετικά ανομοιογενής: 3 h1 ( ) h e (1) τετραγωνικά ανομοιογενής: h h 1() h () Σχήμα 1: Περιπτώσεις πλακών. Figue 1: Vaious types of plates. 1 h ( ) h () 3 4 Σχήμα 3: Πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου (b=4a) με ελατήρια δυσκαμψίας k στα σύνορα. Figue 3: late on elastic half-space (b=4a) with sping constants k at the boundaies. Το μέτρο συμπιεστότητας του εδάφους E s [kn/m ] συνδέεται με το μέτρο ελαστικότητας Ε [kn/m ] μέσω της σχέσης E (1 ) E s (3) 1 και με το μέτρο δυστμησίας G [kn/m ] ως εξής: E G (1 ) (4) Συνοψίζοντας, οι περιπτώσεις που εξετάζονται στην παρούσα εργασία είναι οι εξής: ομοιογενής πλάκα επί εδάφους τύπου Winkle,

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-73 ομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου, εκθετικά ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου, τετραγωνικά ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου. Όλες οι παραπάνω επιλύονται αναλυτικά ακολουθώντας τη μεθοδολογία της εργασίας [5], όσο και προσεγγιστικά με τη ΜΠΣ και το πρόγραμμα Η/Υ Nastan [9]. 4. ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ Εξετάζονται ελαστικές, κυκλικές πλάκες μικρού πάχους h σε σχέση με την ακτίνα (h/ <.1), υπό εγκάρσια σημειακή φόρτιση στο κέντρο τους. Θεωρούνται άπειρα εκτεινόμενες, με την έννοια ότι το εντατικό πεδίο φθίνει σε μεγάλη απόσταση από το σημείο εφαρμογής του φορτίου. Ισχύει η θεωρία των μικρών βυθίσεων, καθώς και η παραδοχή του Kichhoff []. u=-z x w, x z w x x, u Σχήμα 4: Μεγέθη κάμψης πλακών. Figue 4: Defomation field in the plate. Η κλίση της μέσης επιφάνειας ως προς κάθε διεύθυνση θεωρείται ίση με τη γωνία που σχηματίζουν η εφαπτομένη της παραμορφωμένης επιφάνειας με το μέσο επίπεδο x-y, ενώ αγνοούνται οι υψηλότεροι όροι (σχήμα 4). Η συνολική στροφή ισούται μόνο με το τμήμα της στροφής λόγω βυθίσεων, διότι το τμήμα που οφείλεται στις διατμητικές παραμορφώσεις θεωρείται μηδενικό. Η μαθηματική διατύπωση των παραπάνω έχει ως εξής: w zz z w, u w yz (5) xz z y z x w x, x xz w, x w y, y yz w y tan Οι καμπυλότητες της πλάκας σε κάμψη ορίζονται ως: (5) 1 w/ x dw w ( ), 3 / [1 ( w/ x) ] x dx x x 1 w y y η δε δυσκαμψία της πλάκας D [knm] δίδεται ως: 3 E h D (7) 1 (1 ) Η διαφορική εξίσωση κάμψης της πλάκας για συνθήκες συμμετρίας εκ περιστροφής και ο τελεστής του Laplace δίνονται παρακάτω: d d 1 d d d w d w 1 d w 1 dw p( ) w (9) d d d d D ( K( ) ) w( ) p( ) (1) Η τρίτη εξίσωση αντιπροσωπεύει την κάμψη ανομοιογενούς πλάκας με μεταβλητή δυσκαμψία. Ο όρος K() αντιπροσωπεύει τη μη-σταθερή δυσκαμψία, ο δε όρος β την αντίδραση του εδάφους. Προκειμένου να λυθεί αναλυτικά η εξίσωση αυτή, χρησιμοποιούνται η τεχνική της σύμμορφης απεικόνισης με το μετασχηματισμό Radon. Τα βασικά αποτελέσματα της επίλυσης των εξισώσεων που αφορούν ομοιογενείς και ανομοιογενείς πλάκες συνοψίζονται ως εξής: Ελεύθερα εδραζόμενη ομοιογενής πλάκα: Για σταθερή δυσκαμψία πλάκας K() = D και με μηδενική αντίδραση του εδάφους (β = ), οι βυθίσεις δίνονται [1] ως: w( ) (ln 1) (11) 16 D όπου είναι το μέγεθος του σημειακού φορτίου που εφαρμόζεται στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων. Ομοιογενής πλάκα επί εδάφους τύπου Winkle: Όταν η αντίδραση του εδάφους θεωρείται γραμμικώς ανάλογη της βύθισης της πλάκας, τότε οι βυθίσεις δίνονται [] από την εξίσωση: l w( ) ( ) kei( ) D (6) (8) (1) 4 όπου kei είναι συνάρτηση Kelvin και D k είναι η παράμετρος μήκους. Ομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου: Για την περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται η λύση κατά Boussinesq [], που δίνει τη συνάρτηση επιρροής του εδάφους ως Κ (α)=(1-ν ) /(π. Ε. α), όπου Ε και ν είναι το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος oisson, αντίστοιχα, ενώ α είναι η προβολή της απόστασης του δέκτη στην ελεύθερη επιφάνεια. Ορίζοντας μία νέα παράμετρο μήκους ως 3 D k και με σταθερά εδάφους

4 74 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1- k E [(1 w( ) D )], η λύση των βυθίσεων προκύπτει ως: J 1 3 d (13) όπου J είναι συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης και. Ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου: Για αυτήν την περίπτωση, η αναλυτική λύση [5] που προκύπτει είναι: V V dn 1 V ( y, ) 1 (14) 4 J ( ) s n, y με V 1 1 n 1 ( )( ) H ( ) d s V d ln s s [ H ( )sin( ( ))] d s ή ln s V ci( 1 ( s))cos( 1 ( s)) si( 1 ( s))sin( 1 ( s)) όπου z cos t sin t ci(z) - dt, si(z) - dt t είναι οι συ- t ναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου αντίστοιχα, ενώ 1 p q p s. Οι ίδιες παραδοχές υιοθετούνται και για την αριθμητική ανάλυση με τρισδιάστατα μοντέλα της ΜΠΣ, όπου το επιφανειακό στοιχείο της πλάκας είναι λεπτό [8] και δεν λαμβάνει υπ όψη τις διατμητικές παραμορφώσεις. Συνεπώς, η θεμελίωση προσομοιώνεται με ομόκεντρα στοιχεία πλάκας, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. z αναπαράγει το μέσο όρο του πάχους, από την εσωτερική προς την εξωτερική ακτίνα, της αρχικής πλάκας. Σχήμα 6: Προσομοίωση ανομοιογενούς πλάκας με ΜΠΣ. Figue 6: Finite element modelling of the non-homogeneous plate. Οι πλάκες είναι από οπλισμένο σκυρόδεμα με μέτρο ελαστικότητας E=,8 1 7 ka και λόγο του oisson ν =,5. Οι διαστάσεις είναι =,5m και h =,m, οπότε και ικανοποιείται η συνθήκη για λεπτές πλάκες (h/ <,1). Ο όγκος της ομοιογενούς πλάκας είναι V =π,5, = 3,93m 3, ο δε όγκος της εκθετικά ανομοιογενούς πλάκας υπολογίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα: V,5,5 3 h ) dd (, e ) dd 1, 4 1 ( m Ομοίως, ο όγκος της τετραγωνικά ανομοιογενούς πλάκας υπολογίζεται παρακάτω (κρατώντας ένα σταθερό πάχος,36m σε απόσταση,1m από το κέντρο της πλάκας, όπου θεωρητικά η δυσκαμψία της πλάκας απειρίζεται) ως: V, m 4,5,1,36 ( ) dd 1, 99,1 3 Η φόρτιση σ όλες τις περιπτώσεις είναι το κάθετο σημειακό φορτίο με τιμή = 1kN που εφαρμόζεται στο κέντρο των πλακών. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το υπέδαφος προσομοιώνεται με δύο τρόπους, πρώτα ως μοντέλο τύπου Winkle και μετά ως ελαστικός ημιχώρος. Η πρώτη θεώρηση ιστορικά ανάγεται στον Hetz [], με βασική παραδοχή πως το υπέδαφος είναι ένα ισότροπο, ομοιογενές και γραμμικά ελαστικό υλικό, ενώ η αντίδραση του εδάφους είναι ανάλογη των μετατοπίσεων της πλάκας (σχήμα 7). Η σχέση που συνδέει την αντίδραση του εδάφους p με τη βύθιση w δίνεται παρακάτω ως: 3 3 Σχήμα 5: Προσομοίωση πλάκας με επιφανειακά στοιχεία Figue 5: late modeling with suface finite elements. Οι ανομοιογενείς πλάκες προσομοιώνονται με τα ίδια επιφανειακά στοιχεία, όπως και πριν, αλλά διαφορετικού πάχους για κάθε σειρά με σταθερή ακτίνα (σχήμα 6). Η σταθερή τιμή του πάχους ενός στοιχείου πλάκας της ΜΠΣ Σχήμα 7: Χρήση ελατηρίων για την προσομοίωση του εδάφους τύπου Winkle. Figue 7: Sping elements fo modeling a Winkle foundation.

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-75 p( x, y) k w( x, y ) (15) Η προσομοίωση του προβλήματος με τη ΜΠΣ έγινε με βάση τον παραπάνω κάναβο (σχήμα 7), όπου διακρίνονται τα ελατήρια που τοποθετήθηκαν σ όλους τους κόμβους της πλάκας, όπως απαιτεί το μοντέλο τύπου Winkle. Οι τιμές των σταθερών των ελατηρίων (πίνακας 1) προκύπτουν αριθμητικά από τη θεώρησή τους ως ίσες με τις σταθερές εδάφους για ελαστικό ημίχωρο ως: E k (16) (1 ) Στη δεύτερη θεώρηση, το έδαφος έχει τις ιδιότητες ενός ημιάπειρου ελαστικού σώματος, χωρίς δυνάμεις τριβής στη διεπιφάνεια θεμελίωσης-εδάφους, ενώ διατηρείται πλήρης επαφή (welded contact) ακόμη και στην περίπτωση αρνητικής πίεσης. Η συνάρτηση επιρροής του εδάφους που χρησιμοποιείται είναι αυτή του Boussinesq []: (1 ) K( s) E s (17) Οι τιμές των Ε και ν πρέπει να προσδιορίζονται πειραματικά ή με μετρήσεις πεδίου. Ο πίνακας 1 ταξινομεί τις πέντε κατηγορίες εδαφών που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, μαζί με τις σχετικές αριθμητικές τιμές των ιδιοτήτων τους από πίνακες του Bowles [1]. Παρόλο που οι αριθμητικές τιμές των k και k είναι ίσες, επισημαίνεται ότι πρόκειται για διαφορετικά μεγέθη, όπως φαίνεται και από τις μονάδες τους. Πίνακας 1: Τύποι εδαφών και αριθμητικές τιμές των ιδιοτήτων τους. Table 1: Gound categoies and numeical values fo thei Τύπος εδάφους popeties. Ε ν k k [kn/m 3 ] & [kn/m ] [kn/m ] Α, Β 1, Γ 5, Δ 3, Ε, Στη συνέχεια, δίδονται τα τρισδιάστατα στερεά στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου (σχήμα 8). Ο θεωρητικά ημιάπειρος χώρος τερματίζεται σε απόσταση b=4a=m από το κέντρο (a=5m η διάμετρος της θεμελίωσης) και σε βάθος επίσης m. Οι συνθήκες στήριξης σ αυτές τις αποστάσεις δεν επηρεάζουν πρακτικά την απόκριση του συστήματος, αλλά παραταύτα απαιτείται η τοποθέτηση ελατηρίων στα όρια του κανάβου [9]. Πιο συγκεκριμένα, οι ελατηριακές σταθερές προκύπτουν ως οι αντιδράσεις του τετμημένου ημίχωρου σε μοναδιαίους καταναγκασμούς σε κάθε κόμβο και είναι απολύτως ισοδύναμες με το τμήμα αυτό του ημιχώρου που αγνοείται [3]. Τα ελατήρια έχουν έξι συζευγμένους βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο, τοποθετούνται στα πλευρικά σύνορα και στη βάση του κανάβου, και υπολογίζονται από τους τύπους που δίδονται στον Givoli (199). Παραμετρικές σπουδές κατέδειξαν πως αύξηση της διακριτοποίησης του κεντρικού κυλινδρικού χώρου (σχήμα 8) δεν αλλάζει τα αποτελέσματα που υπολογίζονται για την περίπτωση της πλάκας θεμελίωσης σταθερού πάχους. Σχήμα 8: Στερεά στοιχεία για την προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου με τη ΜΠΣ (διακρίνονται οι στηρίξεις στα όρια). Figue 8: Solid elements fo FEM modeling of the elastic half-space (the suppot conditions ae shown at the edges). 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι βυθίσεις που υπολογίστηκαν με τη ΜΠΣ παρουσιάζονται στα παρακάτω διαγράμματα (σχήμα 9), που καλύπτουν μία μεσημβρινή τομή της κυκλικής πλάκας και λόγω της εκ περιστροφής συμμετρίας, αντιπροσωπεύουν το πλήρες πεδίο των μετατοπίσεων. Ταυτόχρονα, παρατίθενται οι αναλυτικές λύσεις [5], ώστε να είναι δυνατή η σύγκρισή τους Winkle

6 76 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-.1 Winkle - B Winkle Winkle Winkle

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No "" "" "" "" -.3 "" "" ""

8 78 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No "" αφορά στο άπειρα εκτεινόμενο υπόστρωμα, ενώ στη ΜΠΣ θεωρήθηκε ως πεπερασμένο (διατηρώντας βέβαια το λόγο /h > 1 για ακτίνα =,5m) και κρατώντας τις συνολικές εξωτερικές διαστάσεις του ελαστικού ημίχωρου σε 8aΧ4a (όπου a=). Λόγω όμως της προσθήκης ελατηρίων στους εξωτερικούς κόμβους [3], χρήση κανάβου μεγαλύτερου μεγέθους είναι περιττή όσον αφορά στην προσομοίωση του υπολοίπου τμήματος του ημιχώρου που αγνοείται ΔΕΙΚΤΕΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΠΛΑΚΩΝ ΕΠΙ ΕΔΑΦΟΥΣ "" "". - Οι δείκτες δυσκαμψίας του συστήματος θεμελίωσηςεδάφους είναι δύο ειδών, ανάλογα με τη μηχανική συμπεριφορά της υπερκείμενης πλάκας θεμελίωσης. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε: δείκτες δυσκαμψίας για άκαμπτη πλάκα, δείκτες δυσκαμψίας για εύκαμπτη πλάκα. Η πρώτη παραδοχή είναι και η παλαιότερη προσέγγιση του προβλήματος της βύθισης πλάκας επί ελαστικού ημιχώρου. Το εξωτερικό φορτίο εφαρμόζεται σημειακά (σχήμα 1) και προκαλεί σταθερή βύθιση w ig σ όλη την επιφάνεια της πλάκας. h Σχήμα 9: Διαγράμματα βυθίσεων-θέσης για διάφορες περιπτώσεις πλακών επί εδάφους. Figue 9: Displacements vesus adial distance fo vaious cases of plates esting on gound. Με βάση τα παραπάνω, παρατηρείται ικανοποιητική σύγκλιση στις ομοιογενείς πλάκες, ανεξαρτήτως της κατηγορίας του υπεδάφους. Στις ανομοιογενείς πλάκες, οι αναλυτικές λύσεις δίδουν βυθίσεις που παρουσιάζουν έντονες διακυμάνσεις κατά μήκος της ακτίνας, ενώ η ΜΠΣ προβλέπει βυθίσεις που έχουν περίπου την ίδια μορφή με αυτή των ομοιογενών. Η παραπάνω διαφορά οφείλεται στο ότι η μεν αναλυτική λύση λαμβάνει υπ όψη την ακριβή μαθηματική μεταβολή του πάχους της πλάκας, ενώ η ΜΠΣ την προσεγγίζει με διγραμμικά πολυώνυμα. Επιπλέον, η αναλυτική λύση w ig Σχήμα 1: Βυθίσεις άκαμπτης πλάκας υπό σημειακό φορτίο. Figue 1: Deections of igid plate unde a point load. Το φορτίο εξισορροπείται μέσω της συνολικής αντίδρασης του εδάφους στην κατακόρυφη διεύθυνση, και από το γενικευμένο νόμο του Hooke έχουμε πως: K ig w ig (18) Ως K ig ορίζεται ο δείκτης δυσκαμψίας [kn/m] που ανάγει το έδαφος κάτω από την πλάκα σε στοιχείο ελατηρίου, υποκαθιστώντας με τον απλό αυτό τρόπο το σύστημα θεμελίωσης - εδάφους (σχήμα 11).

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-79 h w ig 11: K ig. Figue 11: Modeling of the gound with a sping element fo the igid plate on elastic half-space. Σχήμα 11: Μοντέλο αντικατάστασης εδάφους με στοιχείο ελατηρί- για άκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου. ου Figue 11: Modeling of the gound with a sping element fo the [1] igid plate on elastic half-space., Ο δείκτης δυσκαμψίας για την περίπτωση αυτή υπολογίζεται βάσει τυπολογίου [1] για ( κυκλικές ), άκαμπτες πλάκες, : εξαρτάται από την ακτίνα και τα ελαστικά χαρακτηριστικά (19) του εδάφους (πίνακας ), και δίδεται ως: w ig ( 11), 4G K ig (19) 1 k [kn/m 3 ], Επειδή η βύθιση, w ig είναι : σταθερή παντού (σχήμα 11), ορίζεται ένας νέος δείκτης εδάφους k εδ [kn/m 3 ], ανηγμένος () στην επιφάνεια της πλάκας, ως: k K ig / () K ig k Ο πίνακας περιέχει αριθμητικές τιμές για τους δύο δείκτες. K ig και k εδ ως συναρτήσεις της κατηγορίας εδάφους. Οι δείκτες αυτοί θα επαναδιατυπωθούν για την. περίπτωση εύκαμπτης πλάκας επί ελαστικού ημιχώρου. Πίνακας : Δείκτες δυσκαμψίας για άκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου. Table. : Impedance functions fo igid plate on elastic half-space. Table : Impedance functions fo igid plate on elastic half-space. Τύπος K ig,z k K εδ εδάφους [kn/m] [kn/m ig,z k 3 ] [kn/m] [kn/m 3 ] Α Β Γ Δ Ε Ακολουθεί ο υπολογισμός των δεικτών δυσκαμψίας για τη θεμελίωση να λειτουργεί ως εύκαμπτη πλάκα. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και η φόρτιση παραμένουν όπως και πριν. Η εύκαμπτη πλάκα υπό σημειακή φόρτιση παραμορφώνεται. και εμφανίζει βυθίσεις w (σχήμα 1).. w ( 1). 1:. Figue 1: Deections of the exible plate unde a point load. Σχήμα 1: Βυθίσεις εύκαμπτης : πλάκας υπό σημειακό φορτίο. Figue 1: Deections of the exible plate unde a point load. (1) Η συνολική αντίδραση του εδάφους υπολογίζεται από το παρακάτω επιφανειακό ολοκλήρωμα: ( k w ) q da k ( w ) dd (1) : Στην ισορροπία δυνάμεων στην κάθετη διεύθυνση πρέπει να ληφθεί υπ όψη και η τέμνουσα της πλάκας q () που αναπτύσσεται λόγω της πεπερασμένης δυσκαμψίας,, ως:. q k () ( ), Για τις εύκαμπτες πλάκες, συνεπώς, ισχύει ότι. Οι τιμές που λαμβάνει ο συντελεστής. k εδ προέρχονται από τις τιμές για άκαμπτη πλάκα (πίνακας ),, ώστε το έδαφος να αποτελεί κοινό σημείο αναφοράς. Ορίζεται επιπλέον [m ], ένα νέο μέγεθος, η ενεργός επιφάνεια Α εν [m ], ως το τμήμα της επιφάνειας ( της 13). πλάκας που δεν παρουσιάζει ανύψωση (σχήμα 13) O A Σχήμα 13: Ορισμός ενεργούς επιφάνειας της πλάκας επί εδάφους. 13:. Figue 13: Definition of the active suface of a plate on gound. Figue 13: Definition of the active suface of a plate on gound. Επειδή το έδαφος δεν αναπτύσσει εφελκυστικές τάσεις, τα ανυψωμένα τμήματα της επιφάνειας πρέπει να απαλειφθούν και με κατάλληλη θαμιστική μέθοδο να επαναϋπολογιστούν, οι βυθίσεις ως πρόβλημα μονόπλευρης επαφής. Στα πλαίσια αυτής της εργασίας, δεν χρησιμοποιήθηκε θαμιστική μέθοδος, παρά μόνο ως πρώτο βήμα αφαιρέθηκαν από τον υπολογισμό οι ανυψωμένες περιοχές. Υπό συνήθεις συνθήκες, το πρώτο βήμα της προσέγγισης είναι αυτό με το μεγαλύτερο. βάρος στην επίτευξη της σύγκλισης,, οπότε και το αποτέλεσμα εκτιμάται ως επαρκές.,., w

10 8 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1- Η ολοκλήρωση της (1) για τον υπολογισμό της 18a γίνεται πάνω στην Α εν, 14:, ενώ οι υπόλοιπες βυθίσεις δεν λαμβάνονται υπ όψη στον υπολογισμό των δεικτών : δυσκαμψίας.. Το δεξί μέλος της (1) πολλαπλασιάζεται και διαιρείται με την ενεργό επιφάνεια, Figue 14: Modeling of the goundfoundation system with a οπότε προκύπτει: (6) sping element fo the igid plate on elastic half-space. w wda k k w q (6) (4), : (3) όπου w k η σταθερά που w αντιπροσωπεύει (7), μια ισοδύναμη, K μέση βύθιση της εύκαμπτης πλάκας επί ελαστικού ημιχώρου. Η συνολική (18), αντίδραση του εδάφους w μπορεί να δοθεί. βάσει του νόμου του Hooke ως: K [kn/m] - K w Σχήμα 14: Μοντέλο αντικατάστασης εδάφους θεμελίου με στοιχείο (4), : ελατηρίου για εύκαμπτη πλάκα ( επί 15), ελαστικού ημιχώρου. με δείκτη δυσκαμψίας του εδάφους Κ εδ [kn/m] Figue 14: Modeling of the gound foundation system with a sping element fo the igid plate on elastic half-space. K k (8) ( w w w ). k A (5) Όπως φάνηκε και στα παραπάνω σχήματα, οι δείκτες Επίσης, εισάγεται ο αδιάστατος ig λόγος της συνολικής αφορούν στην κατακόρυφη διεύθυνση και προκύπτουν από αντίδρασης του εδάφους προς το εξωτερικό φορτίο ως: τις βυθίσεις της πλάκας λόγω κάμψης. Αυτό σημαίνει ότι το. (18) (7), (6) ελατηριακό ανάλογο του συστήματος θεμελίωσης - εδάφους : αφορά ελατήρια εν παραλλήλω (σχήμα 15), επειδή η πλάκα Με αντικατάσταση της (6) στην (4), προκύπτει η και το έδαφος έχουν κοινή βύθιση ( w w w ). K σχέση: f wig (9) K Kig w q K k w, () (8), (7) Σε αντιστοιχία με την (18), ο συντελεστής της w 15:. : είναι Figue 15: Equivalent sping model fo the plate on gound. ο δείκτης δυσκαμψίας K [kn/m] για εύκαμπτη πλάκα επί K A ελαστικού ημιχώρου, δηλαδή: 1 (3) K q K Kig A K k (5), (8) D Η σχέση των. συντελεστών, Κ και Κ ig εξετάζεται παρακάτω. Διαιρώντας κατά μέλη τις (18) και (7), προκύπτει ο Figue D., Σχήμα 15: Ελατηριακό ανάλογο συστήματος πλάκας εδάφους. 15: Equivalent sping model fo the plate on gound., εξής λόγος δεικτών: Ο δείκτης Κ εδ δίνεται από την (5),, ενώ ο δείκτης Κ πλ., K f w συνδέεται με τη δυσκαμψία της πλάκας D μέσω της σχέσης ig ig w (9) Κ πλ =ε. D. Η παράμετρος lim D ( D K ε ) είναι., μια αδιάστατη, φθίνουσα K ig συνάρτηση της δυσκαμψίας, της πλάκας, με ιδιότητα στο Επίσης, αντικαθιστώντας / 1/, την () στην (8), προκύπτει όριο την lim D ( D). Προφανώς, στην περίπτωση της ο ίδιος λόγος των δεικτών στη μορφή:. D άκαμπτης πλάκας,, ισχύει ότι D, οπότε και η K πλάκα συμπεριφέρεται ως στερεό σώμα., A 1. Kig A (3) Οι σχέσεις που διέπουν τους δείκτες συνοψίζονται ως εξής: : Οι δύο παραπάνω σχέσεις προσδίδουν την εξής φυσική ερμηνεία στους ( δείκτες 14). w δυσκαμψίας. Πρώτον, οι δείκτες w είναι αντιστρόφως ανάλογοι των βυθίσεών τους, ως απόρροια του κοινού εξωτερικού φορτίου. Δεύτερον, ο δείκτης q w K διαφοροποιείται ως προς τον K ig με τους αδιάστατους w K (31) (31) λόγους Α εν /Α και 1/α, επειδή λαμβάνεται υπ όψη η ενδεχόμενη ανύψωση και η τέμνουσα της πλάκας. Τέλος, και q ο δείκτης Κ προσομοιώνει την ελαστική w αντίσταση του q συστήματος θεμελίωσης έδαφος στην κατακόρυφη διεύθυνση (σχήμα Κρατώντας το Κ (=c), πλ σταθερό (=c), μπορεί να ελεγχθεί η 14). επιρροή (=x) του Κ εδ (=x). στο α. Επειδή το α είναι συνάρτηση K τριών μεταβλητών (Κ (, k πλ, k εδ και Α ), εν ), για να γίνουν μονό-,

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-81 τονες οι παραπάνω συναρτήσεις, σταθεροποιείται η Α εν. Ισχύει τότε στην περίπτωση αυτή ότι K x c x. Παραγωγίζοντας το λόγο των δύο φορτίων, προκύπτει 1 x c ( ), αφού c >. Αυτό c x ( c x) ( c x) σημαίνει πως ο λόγος είναι μια αύξουσα συνάρτηση, οπότε συμπεραίνουμε ότι, όταν αυξάνεται η δυσκαμψία του εδάφους, αυξάνεται και η αντίδρασή του, που εκφράζεται με παράλληλη αύξηση του α. Θεωρούμε τώρα δύο παραμέτρους (Κ εδ και Α εν ) σταθερές (=c) για να ελεγχθεί η επιρροή του Κ πλ (=x) στο α. Ισχύει η σχέση q K x, και εξετάζοντας την πρώτη x c παράγωγο, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για μια φθίνουσα συνάρτηση, αφού q c x ( ) ( x c) (x'=ε'<). Το συμπέρασμα εδώ είναι πως όταν μειώνεται η δυσκαμψία της πλάκας, αυξάνεται η αντίδρασή της και μειώνεται η αντίδραση του εδάφους, που εκφράζεται με μείωση του α. Ακολουθούν πίνακες που περιέχουν όλα τα απαραίτητα στοιχεία για υπολογισμό των K,i, όπου ο δείκτης i υποδηλώνει τις εξής περιπτώσεις: i = για ομοιογενή πλάκα επί εδάφους τύπου Winkle, για ομοιογενή πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου, 1 για εκθετικά ανομοιογενή πλάκα και για τετραγωνικά ανομοιογενή πλάκα. Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος wd εν γίνεται με τμηματική γραμμική προσέγγιση και με γνωστά τα ζεύγη τιμών ακτίνας-βύθισης σε πυκνό κάναβο θέσεων [1]. Οι βυθίσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τους παρακάτω πίνακες προέρχονται από τις αναλυτικές λύσεις. Πίνακας 3: Δείκτες δυσκαμψίας για ομοιογενή πλάκα επί εδάφους τύπου Winkle. Table 3: Impedance functions fo the homogeneous plate esting on Winkle foundation. Τύπος εδάφους w, d εν, A εν, Α K, [kn/m] [m ] Α, ,63, Β, ,63, Γ,644 19,63, Δ,843 19,63, Ε, ,63,31 38 Πίνακας 4: Δείκτες δυσκαμψίας για ομοιογενή πλάκα επί του ελαστικού ημιχώρου. Table 4: Impedance functions fo the homogeneous plate esting on elastic half-space. Τύπος εδάφους w, d εν, A εν, α K, [kn/m] [m ] Α, ,63, Β, ,63, Γ,175 19,63, Δ,441 19,63, Ε, ,63, Πίνακας 5: Δείκτες δυσκαμψίας για εκθετικά ανομοιογενή πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου. Table 5: Impedance functions fo the exponentially nonhomogeneous plate on elastic half-space. Τύπος εδάφους w,1 d εν,1 A εν,1 α 1 K,1 [kn/m] [m ] Α,618 4,35, Β,186 5,13, Γ,5 5,9, Δ,39 5,19, Ε,556 5,58, Πίνακας 6: Δείκτες δυσκαμψίας εδάφους για τετραγωνικά ανομοιογενή πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου. Τύπος εδάφους Table 6: Impedance functions fo the quadatically nonhomogeneous plate on elastic half-space. w, d εν, A εν, α K, [kn/m] [m ] Α,41 1,34, Β,461 1,17, Γ,698 8,9, Δ,935 1,33, Ε, ,76, Από τα παραπάνω αποτελέσματα εξάγονται τα εξής συμπεράσματα: (ι) Το υπέδαφος τύπου Winkle είναι πιο δύσκαμπτο σε σχέση με τον ελαστικό ημίχωρο, καθώς στο δεύτερο λαμβάνεται υπ όψη και η εγκάρσια διόγκωσή του. (ιι) Στις ομοιογενείς πλάκες, όπου δεν επεισέρχεται το φαινόμενο της ανύψωσης, επαληθεύεται το συμπέρασμα που βασίστηκε στο ελατηριακό ανάλογο, ότι δηλαδή αύξηση της δυσκαμψίας του εδάφους δημιουργεί παράλληλη αύξηση στην αντίδρασή του, καθώς και στην τιμή του συντελεστή α. (ιιι) Επίσης, μια ιεραρχική σύγκριση των πλακών, ξεκινώντας από την πιο δύσκαμπτη προς την πιο εύκαμπτη (ομοιογενής εκθετικά ανομοιογενής τετραγωνικά ανομοιογενής), επαληθεύει το συμπέρασμα που βασίστηκε στο ελατηριακό ανάλογο, ότι δηλαδή μείωση της δυσκαμψίας της πλάκας αυξάνει την αντίδρασή της και ταυτόχρονα μειώνει την αντίδραση του εδάφους, που εκφράζεται με μείωση της τιμής του συντελεστή α.

12 8 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ Τα συμπεράσματα που εξάγονται αφορούν στις βυθίσεις που προσδιορίστηκαν με τις αναλυτικές λύσεις και με τη ΜΠΣ, καθώς και στους δείκτες δυσκαμψίας. Έχουμε συνεπώς ότι: Η κατανομή των βυθίσεων παρουσιάζει εντονότερες διακυμάνσεις στα εύκαμπτα εδάφη, υπακούοντας στο γνωστό φαινόμενο της μηχανικής, σύμφωνα με το οποίο οι διαφορικές μετακινήσεις αυξάνονται στα εύκαμπτα εδάφη. Οι βυθίσεις των ομοιογενών πλακών παρουσιάζουν ικανοποιητική σύγκλιση, ανεξαρτήτως μεθόδου υπολογισμού και θεώρησης υπεδάφους. Οι βυθίσεις των ανομοιογενών πλακών παρουσιάζουν κάποιες διαφορές ανάλογα με τη μέθοδο υπολογισμού. Αυτές οφείλονται στις προσεγγίσεις της ΜΠΣ όσον αφορά στη μεταβολή του πάχους της πλάκας με πολυωνυμικές συναρτήσεις. Σημειώνουμε πως η προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου με πεπερασμένο κάναβο για τη ΜΠΣ, με τις κατάλληλες ελατηριακές σταθερές στα σύνορα, δεν επηρεάζει την ακρίβεια του υπολογισμού των βυθίσεων των πλακών. Η αύξηση της δυσκαμψίας του εδάφους δημιουργεί μια παράλληλη αύξηση στην αντίδρασή του. Όταν μειώνεται η δυσκαμψία της πλάκας, αυξάνεται η αντίδρασή της και ταυτόχρονα μειώνεται η αντίδραση του εδάφους. Όσον αφορά μελλοντική επέκταση της παρούσης εργασίας, σημειώνουμε πρώτα πως όλοι οι υπολογισμοί αφορούν στον κατακόρυφο δείκτη δυσκαμψίας και μόνο. Χρησιμοποιώντας τις ανάλογες εργικά ανταποκρινόμενες μετατοπίσεις [15], είναι δυνατός ο υπολογισμός των δεικτών δυσκαμψίας και για τους υπόλοιπους πέντε Β.Ε. (δύο μετακινήσεις συν τρεις στροφές) που ανταποκρίνονται στο πλήρες τρισδιάστατο μοντέλο θεμελίωσης εδάφους. Επίσης, οι δείκτες δυσκαμψίας που υπολογίστηκαν οφείλονται σε στατική φόρτιση και δεν λαμβάνεται υπ όψη η εξάρτησή τους από τη συχνότητα της διέγερσης. Η πλήρης μορφή των στοιχείων του μητρώου των δυναμικών δεικτών δυσκαμψίας είναι telos, όπου το πραγματικό μέρος εξαρτάται από τη δυσκαμψία του συστήματος θεμελίωσης έδαφος, ενώ το φανταστικό μέρος από την απόσβεση [17]. Με επαναδιατύπωση του προβλήματος στο πεδίο των συχνοτήτων, οι δείκτες δυσκαμψίας που υπολογίστηκαν εδώ μπορούν να μετατραπούν σε δυναμικούς δείκτες. Επίσης, σε προβλήματα δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, έχουμε κάποιο ποσοστό της μάζας του εδάφους, που περιβάλλει τη θεμελίωση, να ταλαντώνεται. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση του προβλήματος, συνεπώς, επιβάλλει τον υπολογισμό ενός μητρώου μάζας για το έδαφος []. Τέλος, στις περιπτώσεις όπου η δυσκαμψία της πλάκας θεωρείται πεπερασμένη σε σχέση με αυτήν του εδάφους, παρουσιάζεται το φαινόμενο της ανύψωσης. Επειδή στο έδαφος δεν αναπτύσσονται εφελκυστικές τάσεις, το πρόβλημα του υπολογισμού των βυθίσεων μετατρέπεται σε πρόβλημα μονόπλευρης επαφής, το οποίο διέπεται από μη-γραμμικές θεωρίες [18]. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. J.E. Bowles, Foundation Analysis and Design, 5 th Edition, McGaw-Hill, New Yok, 1.. S.. Timoshenko, S. Woinowsky Kiege, Theoy of lates and Shells, McGaw Hill, New Yok, R. Szilad, Theoy and Analysis of lates: Classical and Numeical Methods, entice-hall, Englewood Cliffs, A.I. Zayed., Handbook of Function and Genealized Function Tansfomations, CRC ess, Boca Raton, G.D. Manolis, T.V. Rangelov, R.. Shaw, The Non-Homogeneous Bihamonic late Equation: Fundamental Solutions, Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 4, , J.B. Bown, R.V. Chuchill, Complex Vaiables and Applications, 7 th Edition, McGaw-Hill, New Yok, R.. Shaw, G.D. Manolis, A Genealized Helmholtz Equation Fundamental Solution using Confomal Mapping and Dependent Vaiable Tansfomation, Engineeing Analysis with Bounday Elements, 4, ,. 8. R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. lesha, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, J. Wiley, New Yok, MSC/NASTRAN fo Windows, Vesion 4.6, MacNeal-Schwendle Cop., Los Angeles,. 1. M.D. Geenbeg, Application of Geen s Functions in Science and Engineeing, entice Hall, Englewood Cliffs, G. Bezine, Bounday Integal Fomulation fo late Flexue with Abitay Bounday Conditions, Mechanics Reseach Communications, 5, 197-6, M. Sten, A Geneal Bounday Integal Fomulation fo the Numeical Solution of late Bending oblems, Intenational Jounal of Solids & Stuctues, 15, , J.T. Katsikadelis, E.J. Sapountzakis, A BEM Solution to Dynamic Analysis of lates with Vaiable Thickness, Computational Mechanics, 7, , J.T. Katsikadelis, A.E. Amenakas, lates on Elastic Foundation by the BIE Method, ASCE Jounal of Engineeing Mechanics, 11, , M.O. Fauque, M. Zaman, A Mixed Vaiational Appoach fo the Analysis of Cicula late-elastic Half-space Inteaction, Computational Methods in Applied Mechanics & Engineeing, 9, 75-86, J.B. de aiva, R. Buttefield, Bounday Element Analysis of late- Soil Inteaction, Computes & Stuctues, 64, , J.J. Johnson, Soil-Stuctue-Inteaction: The Status of Cuent Analysis Methods and Reseach, Repot No. NUREG/CR-178, Lawence Livemoe Laboatoies ublication, asadena, J. Dominguez, Twenty-five yeas of Bounday Elements fo Dynamic Soil-Stuctue-Inteaction, Chap. 1 in W.S. Hall and G. Oliveto (eds.), Bounday Element Methods fo Soil-Stuctue-Inteaction, Kluwe ublishes, Dodecth, E. Kausel, R.V. Whitman, J.. Moay, F. Elsabee, The Sping Method fo Embedded Foundations, Nuclea Engineeing & Design., 48, , J.. Wolf, Foundation Vibation Analysis using Simple hysical Models, entice-hall, Englewood Cliffs, Κ.Π. Πλατσούκας, Δείκτες Δυσκαμψίας για Προβλήματα Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής, Διπλωματική Εργασία, Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης Α.Σ.Τ.Ε., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη, 3.. H. Hetz, Gesammelte Weke, Vol. 1, Enst und Sohn, Belin, 1895.

13 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No D. Givoli, Numeical Methods fo oblems in Infinite Domains, Elsevie, Amstedam, 199. Γεώργιος Μανώλης, Δρ. Πολ. Μηχ., καθηγητής, Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 5414 Θεσσαλονίκη, τηλ: , φαξ: , Ηλίας Παρασκευόπουλος, Διπλ. Πολ. Μηχ., διδάκτωρ, Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 5414 Θεσσαλονίκη, τηλ: Κωνσταντίνος Πλατσούκας, Διπλ. Πολ. Μηχ., Μετ. Δίπλ. Ειδ., Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 5414 Θεσσαλονίκη, τηλ:

14 84 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1- Extended Summay Stiffness Coefficients fo oblems in Soil-Stuctue Inteaction G.D. MANOLIS E. ARASKEVOOULOS K. LATSOUKAS ofesso, A.U.T.H. Civil Enginee, h.d. Civil Enginee, M.Sci. Abstact The pesent wok focuses on fundamental solutions fo exible inhomogeneous plates esting on an elastic foundation. Moe specifically, the solutions ae fo the displacement field geneated in thin, cicula, elastic plates with vaiable thickness unde a vetical point load at the cente. Subsequently, these solutions ae integated ove the suface of the plate so as to yield impedance functions (o stiffness coefficients) that can be used within the context of dynamic soil-stuctue inteaction (SSI) analyses involving discete paamete epesentations of the stuctuefoundation-soil system. Simila esults, shown fo the igid plate case and fo the exible homogeneous plate case, seve as points of efeence. functions deived hee epesent the soil-foundation system and a finite element model is needed fo the supestuctue. The baseline solution fo compaison puposes is that of the fixed-base stuctue. aametes that inuence the stuctual esponse and ae epesented in the impedance functions deived hee ae igid vesus exible foundation, type of suppoting soil, and degee of plate inhomogeneity when the foundation is exible. Finally, these impedance functions can be augmented to include the emaining five possible degees of feedom (two hoizontal plus thee otational) fo a fully 3D model and can be futhe supplemented by appopiate mass and damping coefficients. 1. INTRODUCTION The inhomogeneous cicula plates examined heein have vaiable thickness, which is gadually educed away fom thei cente. The educed thickness may follow a powe law o an exponential law, although othe vaiations ae possible as well. It is believed that vaiable thickness plates ae an impovement ove plates with constant thickness, especially when point loads ae involved, as would be the case fo columns eaching gound level and esting on spead footings. The fundamental solutions fo such plates come fom ecent wok epoted in the liteatue, wheeby techniques such as confomal mapping in conjunction with the Radon tansfomation have been used. Both fee-standing as well as elastically suppoted inhomogeneous plate solutions ae ecoveed. In addition, classical solutions fo plates on a Winkle foundation (i.e. the oating plate case fist solved by Hetz) and plates on the elastic half-space (Boussinesq s solution) ae consideed as the means fo gaging the effect of inhomogeneity on the displacement field. Once these solutions have been appopiately pocessed so as to yield the impedance functions that ae the main thust of this pape, the next step would be to conduct soil-stuctue inteaction studies fo vetical vibations. The impedance Submitted: Jan Accepted: June 15, 7. ANALYTICAL SOLUTIONS The computation of fundamental solutions (o Geen s functions) fo non-homogeneous plates esting on an elastic half-space and unde a point load ae the key step in developing impedance functions fo the soil-foundation system. To that end, we ecoveed analytical esults fom ou ealie wok and used them to compute the displacement field that develops unde the plate. Specifically, we employed a methodology based on confomal mapping in conjunction with the Radon tansfom. The specific type of plate inhomogeneity is dependent on the type of confomal mapping pescibed. Fo instance, an exponential mapping yields a plate modulus that also vaies exponentially with distance fom the point load, a quadatic mapping yields a simila quadatic function fo the plate thickness, etc. We note hee that confomal mapping methods fo obtaining fundamental solutions have been intoduced as an altenative to integal tansfoms (Fouie, Laplace, etc.), which despite thei geneality equie an invese tansfomation in the fom of a contou integal ove the complex plane. The second step in the solution pocedue involves use of the Radon tansfom fo computing the solution of the confomally mapped bihamonic equation. With the Radon tansfom, a

15 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-7 Tech. Chon. Sci. J. TCG, I, No 1-85 function of two vaiables is econstucted fom its integals ove all staight lines in the D plane o fom contou integals ove smooth cuves in 3D. This allows fo compact expessions to be obtained that include the sub-gade effect. All esults fo the cicula plate wee checked by unning paallel computations with the finite element method (FEM). Finally, appopiate integation of the displacement field ove the plate-soil contact aea, along with the use of basic pinciples of mechanics, yields stiffness coefficients fo vetical vibations. 3. IMEDANCE FUNCTIONS Once the stiffness coefficients K,i, fo non-homogeneous plates on exible soil ae deived, they ae tabulated fo use in SSI poblems. Specifically, we distinguish the following cases: (a) Index i = is the homogeneous (i.e. constant thickness) plate on a Winkle foundation, i = is the homogeneous plate on the elastic half-space, i = 1 is the exponentially inhomogeneous plate on sub-gade and i = is the quadatic inhomogeneous plate on sub-gade. Computation of the key integal involving plate displacement ove the contact aea with the soil, wd εν, is pefomed with piece-wise linea intepolation ove the cicula aea using a athe fine mesh. The analytical esults peviously deived wee used in this pocess. Fom an examination of the vetical impedance functions that wee thus obtained, the following obsevations aise: (a) The Winkle foundation case yields stiffe coefficients when compaed with the elastic half-space model, since the latte case includes mechanical action in the tansvese diection; (b) The homogeneous plate case, whee no uplifting occus, seves to veify the elementay mechanical dictum fo the sping, namely inceasing soil stiffness yields highe soil eactions that tanslate into lage values fo the impedance functions (in tems of dimensionless coefficient α); (c) Finally, a hieachical classification of the plates, stating fom stiff and moving to exible (constant thickness-exponentially inhomogeneous-quadatically inhomogeneous), veifies a conclusion dawn based on the sping analogue, namely, eduction in the plate stiffness inceases the value of the plate eaction and deceases the soil eaction (manifested by smalle values fo coefficient α). 4. CONCLUSIONS The basic conclusions eached have to do with (a) the plate displacement field, evaluated analytically as well as by the FEM; and (b) the stiffness factos fo vetical movement. Specifically, we have: The displacement distibution in the foundation plate becomes less smooth in soft soils, as expected in view of the fact that diffeential movement is moe ponounced in exible mateials, with all othe factos (e.g. load, geomety) emaining fixed. The displacements that develop in homogeneous plates show excellent convegence, iespective of the method of computation (analytical vesus numeical) and egadless of the type of sub-gade. The displacements that develop in the inhomogeneous plates show some divegence that depends on the method of computation. This has to do with the fact that the FEM employs polynomial functions to model the kinematic field vaiation in an element, while caeful analysis eveals that this is not so. Moe specifically, it depends on the paticula type of plate examined, and we have Bessel functions o sine and cosine integals as the mathematical expessions that contol kinematics. An additional souce of divegence is the tuncation of a semi-infinite mesh epesenting the half-space by the FEM, but that can be minimized by use of appopiate spings at the boundaies. Any incease in soil stiffness causes an incease in the eaction to the load, which filtes into the impedance function. As the foundation plate becomes less exible, the magnitude of the eaction it develops inceases with a paallel dop in the soil eaction. In tems of futue developments, it should be mentioned that one key step in the pesent development of platesoil impedance functions has to do with integation of the displacement field ove the contact suface. Fo inhomogeneous plates unde a point load, the analytical solution pedicts uplift at a cetain distance fom the load, which in eality would cause loss of contact. Thus, the poblem becomes geometically non-linea and the esults pesented heein do not include this phenomenon. This could be the subject of futue wok, so that the pesent degee of appoximation can be established. Geoge D. Manolis, D. Civil Engng., pofesso, Division of Stuctues, Civil Engineeing Depatment, Aistotle Univesity, Thessaloniki, GR-5414, Geece; Tel: ; Fax: ; gdm@civil.auth.g Elias aaskevopoulos, Dipl. Civil Engng., h.d., Division of Stuctues, Civil Engineeing Depatment, Aistotle Univesity, Thessaloniki, GR-5414, Geece; Tel: Konstantine latsoukas, Dipl. Civil Engng., M.Sci., Division of Stuctues, Civil Engineeing Depatment, Aistotle Univesity, Thessaloniki, GR-5414, Geece; Tel: