Katero metodo za natančne 3D-dimenzijske meritve izbrati in kdaj

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Katero metodo za natančne 3D-dimenzijske meritve izbrati in kdaj"

Transcript

1 dogodki in dosežki Katero metodo za natančne 3D-dimenzijske meritve izbrati in kdaj Z današnjimi metodami 3D-merjenja lahko podjetja hitro in učinkovito nadzirajo svoje izdelovalne procese. Podobno kot smo danes na skoraj vseh področjih priča veliki izbiri in konkurenci, pa je tudi na področju merjenja na voljo kar nekaj različnih metod. Te se med seboj razlikujejo v fizikalnem principu merjenja, tudi v točnosti meritev, ponovljivosti, robustnosti in prilagodljivosti sistema itn. Če načelno velja, da se lahko z vsemi metodami izmeri večina projektov, vseeno na izbiro optimalnega postopka vpliva veliko dejavnikov. Pričujoča primerjava različnih metod je zasnovana kot pomoč pri odločanju in izbiri pravega sistema za 3D-meritve. Samo Gazvoda, Dušan Sivka Na splošno dimenzijske meritve delimo v dve skupini dotične in brezdotične. Zaradi razmeroma enostavnega principa so se v zgodovini najprej razvile dotične metode, ki so pravzaprav mehanske narave. Z dotikom merjenca na enem ali več mestih izmerimo ali koordinato točke dotika (koordinatni merilni stroj) ali razdaljo med dvema dotikalnima točkama (pomična merila, mikrometri...). osemdesetih letih prejšnjega stoletja pa so se začele razvijati brezdotične metode 3D-merjenja, ki so svoj razmah doživele malo pred letom 2000 in predvsem po njem. Splošen pregled metod natančnega 3D-merjenja Laserski sistemi Od optičnih metod dimenzijskega merjenja so se najprej pojavile laserske glave s točkovnim merjenjem, ki so v merilnih sondah zamenjale mehanska tipala. S tem se klasični dotični koordinatni merilni stroj spremeni v brezdotičnega. Položaj (koordinata) merjene točke se določi na podlagi odboja laserskega žarka. Naslednja stopnja so linijski laserski senzorji, ki podatkov ne zajemajo samo točkovno, ampak linijsko, s premikanjem glave pa tudi površino objekta. Podatki se zajemajo s triangulacijo na 2D-profilu, ki ga zazna senzor v laserski glavi. slednjem primeru se meritve izvajajo s posebno programsko opremo po zajemu vseh potrebnih detajlov merjenca. v primerjavi z natančnostjo pozicioniranja laserske glave, ki je pri prostoročnih laserjih ali izvedbah z merilno roko lahko nižja za razred ali dva. Optični sistemi na belo svetlobo Drugačen fizikalni princip optičnih meritev uporablja metoda merjenja z belo svetlobo. Poznamo tri principe zajemanja podatkov: optično glavo za koordinatni merilni stroj, fotogrametrijo in topometrijo. Medtem ko je optična glava za koordinatni merilni stroj samo nadomestek senzorja, preostala dva prinašata povsem drugo filozofijo merjenja. Fotogrametrija se je razvila v geodeziji, zadnji dve desetletji pa so jo uspešno prilagodili za zelo natančne meritve v strojništvu. Na karakteristična mesta na merjencu se nalepi kodirane referenčne točke, zatem se merjenec poslika s fotoaparatom z naj- Laserska meritev je tako pravzaprav sestavljena iz dveh odčitkov: prvi je določanje položaja in orientacije laserske glave (pozicioniranje) v prostoru, drugi pa odčitek laserske glave. Zato je tudi merilna negotovost sestavljena iz merilnih negotovosti obeh odčitkov, velja pa pravilo, da je natančnost odčitka laserske glave zelo velika Slika 1: Laserska roka FARO (vir: northwestmetrology.com) 46

2 Rio Tinto z rekordno proizvodnjo železove rude Angleško-avstralska rudarska družba Rio Tinto je v tretjem četrtletju letos zabeležila rekordno proizvodnjo železove rude, saj se je glede na enako obdobje lani povečala za odstotek na 47,6 milijarde ton.» četrtletju smo beležili rekordno proizvodnjo železove rude, boksita in koksa. Investicija v organsko rast dobiva zagon,«je dejal prvi mož družbe Tom Albanese. Rio Tinto je v četrtletju proizvedel 47,6 milijona ton železove rude, kar je štiri milijone ton več kot v drugem četrtletju. Celoletna proizvodnja je ocenjena na 179 milijonov ton. Slika 2: Optični digitalizator na belo svetlobo ATOS III podjetja GOM iz Nemčije manj treh zornih kotov, iz katerih morajo biti vidne vsaj tri skupne referenčne točke, da programska oprema samodejno s triangulacijo poravna vse meritve v isti koordinatni sistem. Meritve se izvajajo s posebno programsko opremo pozneje. Pri topometriji se v primerjavi s fotogrametrijo zajema celotne površine naenkrat. Na površino se v več prehodih projicira optični vzorec, ki ga zajame ena ali več CCD-kamer. Programska oprema s triangulacijo določi koordinate za vse piksle iz zajetih 2D-slik, ki ustrezajo kriterijem. Na objekt moramo za precizne meritve oz. 3D-digitalizacijo nujno nalepiti referenčne točke za poravnavo podatkov iz zajetih 2D-slik v glavni koordinatni sistem. Pri manjših objektih se jih lahko nalepi tudi v okolico. Tudi v tem primeru se meritve izvajajo s posebno programsko opremo potem, ko posnamemo vse potrebne detajle merjenca. Optični koordinatni merilni stroji To so pravzaprav zelo natančni fotogrametrični sistemi. Srce teh sistemov je zelo dober digitalni fotoaparat, s katerim z več stojišč poslikamo merjeni objekt. S kodiranimi referenčnimi točkami nato programska oprema vse slike združi v isti koordina- 47

3 Izbor ustrezne tehnologije Zagotovo je izbor ustrezne tehnologije odvisen od posamezne aplikacije. saka od opisanih tehnologij ima svoje prednosti in slabosti, iz česar izhaja tudi področje uporabe. Res je tudi, da se področja uporabe za optične (laser in bela svetloba) in dotične metode bolj ali manj prekrivajo, vsaj na splošno, tako da je odločitev za ustrezno tehnologijo odvisna predvsem od cene meritve in dostopnosti. Tabela 1 prikazuje pregled opisanih tehnologij 3D-merjenja, njihovih prednosti in slabosti. Slika 3: Optični koordinatni merilni stroj TRITOP (fotoaparat, računalnik, kalibracijske letve) podjetja GOM iz Nemčije tni sistem. primerjavi z digitalizatorji na belo svetlobo ne zajemamo površin, ampak samo referenčne točke (nekodirane), ki jih moramo obvezno nalepiti na mesta, ki nas zanimajo. Uporabljajo se namenske referenčne točke, katerih debelina je kontrolirana in se lahko pri meritvah kompenzira, tako da se dobi točna mera. Rentgenska tomografija Zadnje čase se za meritve uveljavlja tudi rentgenska metoda, ki deluje po enakem principu kot v medicini. zaprtih komorah, ki so pri nekaterih proizvajalcih primerne celo za uporabo v običajnem pisarniškem okolju, se ob zaporedni rotaciji merjenca po nekem koraku (npr. 1 stopinja) le-tega vsakič presvetli z rentgenskimi žarki. Žarki padejo na senzor in na njem naredijo 2D-sliko sivin glede na gostoto snovi. Programska oprema na podlagi vseh Slika 3: Rentgenski merilni stroj Metrotom podjetja Carl Zeiss meritev zajete slike združi v 3D-model, zapisan v STL-formatu, podobno kot pri drugih tehnikah 3D-digitalizacije. Kakovost STL-modelov, dobljenih z rentgensko metodo pri optimalnih pogojih uporabe, je zelo podobna kakovosti STL-modelov, dobljenih z vodilnimi sistemi na belo svetlobo (npr. sistemi ATOS podjetja GOM). Ta tehnologija je trenutno edina neporušna metoda 3D-merjenja, ki omogoča tudi meritve votlih objektov. Edini pogoj je dovolj nizka gostota materiala, da rentgenske žarke spusti skozi. Pri današnjih strojih se s to metodo lahko skenira materiale z gostoto aluminija, če le niso preveč masivni. Za manj natančne meritve ali samo pregled poroznosti lahko metodo uporabljamo tudi za materiale z višjo gostoto (npr. titan). Metoda se je sicer najprej začela uporabljati za neporušno testiranje poroznosti ulitkov. Tabela predpostavlja uporabo vodilnih sistemov pri posameznih tehnologijah. sekakor niso vsi merilni sistemi na belo svetlobo zelo točni, hkrati pa npr. tudi z vsemi dotičnimi sistemi ne moremo meriti globokih lukenj in ozkih utorov. Kateri sistem torej izbrati? Seveda je to odvisno od aplikacije in predvsem zahtev po natančnosti meritev, vendar ne moremo spregledati dejstva, da je 3D-merjenje kot del kontrole kakovosti zelo konzervativno področje. Bolj ali manj vsi trenutno veljavni standardi in predpisi veljajo za klasične metode merjenja, tj. merjenje s koordinatnim merilnim strojem, podobno je tudi razmišljanje večine strokovnjakov. Ne zavedamo se še dovolj novih možnosti kontrole dimenzijskih odstopanj, ki jih prinašajo metode merjenja z zajemom površin, npr. kontrola toleranc oblike. Po drugi strani pa še vedno velja, da so pri sklopih, ki vključujejo kakršno koli medsebojno gibanje sestavnih delov, za funkcionalnost še vedno odločilne razne medosne razdalje, tolerance lege (vzporednost, soosnost, pravokotnost...) itn. Torej vseh merilnih projektov ne moremo strpati v en koš, zato tudi ni sistema, ki bi bil najboljša izbira za vse meritve. Acroni in Metal dosegla lansko prodajo skupini SIJ Slovenska industrija jekla letos beležijo bistveno ugodnejše tržne razmere kot lani. Jeklarski družbi skupine, jeseniški Acroni in Metal Ravne, sta že v prvih devetih mesecih letos dosegli lansko celoletno raven prodaje tako po količini kot po vrednosti, je povedal predsednik uprave skupine Tibor Šimonka. Slovenski jeklarji so, tako Šimonka, v prvih devetih mesecih letošnjega leta v največji možni meri izkoristili ugodne tržne razmere na svetovnih trgih. Zadnje trimesečje se sicer kaže umirjanje gospodarske rasti, vendar bo leto v primerjavi z lanskim izjemno kriznim neprimerno boljše. 48

4 Tabela 1: Pregled različnih tehnologij 3D-merjenja predpostavlja se uporaba vodilnih sistemov na trgu pri vseh tehnologijah (prirejeno po Kunststoffe 4/2010) Princip merjenja Brezdotično merjenje Dotično merjenje Merilni sistem Računalniška Bela svetloba Laserski Koordinatni Karakteristika tomografija digitalizator merilni stroj Prilagodljivost velikosti merjenca + O O Merjenje poljubnih površin + O + ečkomponentni polizdelki Izvrtine L/D > 1,5 + +* Notranja struktura + Točnost + O + Investicijski stroški O O Mobilnost + + Hitrost merjenja + + Postavitev merjenca + + Merjenje serij +** O pozitivno, O - srednje, - negativno; * z uporabo prave merilne sonde; ** z dodatno opremo (vrtljiva miza, enota za avtomatizacijo...) nadaljevanju podajamo podrobnejši pregled tehnologij z vidika pomembnih kriterijev odločanja za tehnologijo merjenja. Rentgenska tomografija Rentgenska metoda je najprimernejša za merjence srednjih in majhnih dimenzij iz materialov z manjšo gostoto (polimeri in lahke kovine, npr. aluminij). Merilno območje dosega pri največjih strojih največ φ300x300 mm. Točnost je na splošno zelo dobra, tudi manj kot 0,01 mm (dosegljiva tudi 0,002 mm), vendar je odvisna od velikosti objekta. Zajemajo se površine, poravnava koordinatnega sistema se dela po zajemu podatkov. Meritve se izvajajo po digitalizaciji merjenca na poligoniziranem 3D-modelu (STL) in so odvisne od uporabljene programske opreme (na trgu je kar nekaj ponudnikov programske opreme za 3D-meritve poligoniziranih modelov, neodvisnih od proizvajalcev digitalizatorjev). Avtomatizacija je delno možna pri manjših merjencih, saj jih lahko merimo več hkrati. Hitrost digitalizacije je odvisna le od gostote materiala, ker je postopek enak pri vseh oblikah merjencev, tudi če so še tako kompleksne. elika prednost metode je skeniranje votlih predmetov, posebnost metode je tudi možnost kontrole zračnih vključkov, poroznosti in lunkerjev na nekaterih strojih. Tehnologija je zaradi nevarnosti sevanja problematična s stališča varstva okolja, čeprav so novejši stroji primerni tudi za uporabo v pisarniškem okolju. Kakovost surovih poligoniziranih modelov (brez ročne dodelave) je zelo odvisna od gostote materiala. primeru plastičnih materialov je slabša kot pri metodi z belo svetlobo in boljša kot pri laserski metodi. Poleg velike odvisnosti od gostote materiala je največja pomanjkljivost metode omejenost velikosti merjenca. Laserski 3D-digitalizatorji Sam koncept merjenja je podoben tistemu pri rentgenski tomografiji, torej najprej digitaliziramo površine merjenca, filtriramo in obdelamo podatke ter nato izvajamo meritve na STL-modelu. Ker gre za optično metodo, je treba zelo temne, odbojne in prozorne površine merjenca pripraviti s tankim slojem površinskega nanosa. Merilno območje je sicer majhno, vendar gre v večini izvedb za ročne sonde, s katerimi lahko razmeroma hitro skeniramo tudi večje objekte (v praksi velike največ 3 metre, vendar so pri teh velikostih težave s točnostjo pozicioniranja merilne sonde v prostoru). Točnost laserjev zmanjšuje težava zaradi pozicioniranja merilne sonde pri najboljših sistemih doseže 0,1 mm, pri majhnih objektih je lahko tudi boljša. Avtomatizacija je sicer možna z dodatno opremo (npr. vrtljive mize), vendar se tovrstni sistemi zaradi manjše točnosti ne uporabljajo za serijske meritve. Laserska metoda je primerna za manj zahtevne meritve objektov srednjih dimenzij, kjer se tolerančna polja merijo v desetinkah milimetra. Kakovost surovih poligoniziranih modelov je razmeroma slaba, težave so predvsem ostri robovi in razmeroma velik šum, ker laser zajema linije namesto površin. Slabost so tudi meritve globokih lukenj in utorov, ki skoraj niso možni. So pa zelo fleksibilni, saj jih hitro pripravimo za teren. 3D-digitalizatorji na belo svetlobo Koncept merjenja je na las podoben laserskim meritvam, le da podatke zajemamo s CCD-kamerami, ne z laserskim senzorjem. Ker gre tudi tu za optično metodo, je treba površine merjencev, če so pretemne, odbojne ali prozorne, pripraviti s tankim slojem prahu TiO 2. Debeline nanosov so 0,002 0,003 mm, če nanašamo z brizgalno pištolo, oziroma 0,01 mm, če uporabimo industrijska pakiranja pršil. Merilno območje je odvisno od uporabljenih leč in je lahko od 30x20 do pribl. 2000x2000 mm, merjenci so lahko še večji, saj na referenčnih točkah z dodatnimi meritvami zajamemo precej večjo površino od nazivnega merilnega območja. praksi so se s tovrstnimi sistemi digitalizirali tudi objekti, kot je krilo Airbusovega letala, trup 25-metrske barke ipd. Točnost je odvisna od merilnega območja 49

5 in za objekte, velike največ 500 mm, znaša pri vrhunski opremi 0,03 mm, za manjše objekte (manjše od 100 mm) tudi bolje od 0,01 mm (pri najboljših sistemih tudi 0,002 mm). Meritve se tudi pri tej metodi izvajajo na STL-modelu in so odvisne od uporabljene programske opreme. Avtomatizacija je možna z dodatno opremo (vrtljive mize, roboti, popolne avtomatske celice), vendar nekaj težav predstavljajo merjenci, katerih površine je treba prej pripraviti. Tovrstni digitalizatorji veljajo za najbolj fleksibilne sisteme, saj so samo z zamenjavo leč na senzorski glavi primerni za precizne meritve tako velikih kot manjših dimenzij. rhunske sisteme na belo svetlobo odlikuje predvsem visoka kakovost surovih poligoniziranih modelov, ki jih ročno ni treba dodelovati. Slabost so podobno kot pri laserjih meritve globokih lukenj in ozkih utorov manjših dimenzij (L/D > 2). So večinoma prenosni in dajejo enako dobre rezultate tudi na prostem in v industrijskem okolju (z vključeno temperaturno kompenzacijo). Uporabljajo se tudi v avtomobilski industriji, za npr. končno kontrolo sestavov karoserije. Optični koordinatni merilni stroji Gre za specifično metodo merjenja, ki daje izredno točne rezultate, primerljive s klasičnimi koordinatnimi merilnimi stroji. Sistem se vedno pred uporabo kalibrira z letvami. Tako kalibriran je primeren za najtočnejše meritve objektov malih in večjih dimenzij, tudi na 0,001 mm za objekte, velike največ en meter. Metoda sicer zahteva, da na karakteristična mesta nalepimo referenčne točke in merimo razdalje med njimi. Luknje, utori in ostri robovi se merijo tudi brez referenčnih točk (primerno npr. za merjenje obreza komponent iz pločevine ali meritve poroznosti ulitkov na prerezih, označenih na tehnični dokumentaciji). Ta metoda je uporabna predvsem za natančno merjenje merjencev velikih dimenzij. praksi se je izkazala pri meritvah ladij, dolgih 50 metrov in več, vetrnih turbin, turbin in vodih hidroelektrarn ipd. Sistem je predvsem zelo fleksibilen, saj ga sestavlja samo prenosni računalnik s fotoaparatom in kalibracijskimi letvami. Koordinatni merilni stroji Koncept merjenja je dobro poznan, zato ga ne bomo posebej opisovali. Ker zajemamo točke namesto površin kot pri prej opisanih metodah, je ta metoda zelo hitra pri manjšem številu kontrolnih mer in počasnejša, kadar je to število večje. Za merjenje odstopkov prostih površin je primerna, le kadar tehnična dokumentacija natančno določa majhno gostoto točk na točno določenih segmentih in se s tem preverja bodisi serija izdelkov bodisi proces izdelave. Točnost je sicer odvisna od uporabljenega stroja, vendar je zagotovo največja od vseh opisanih sistemov, saj lahko tudi večje objekte merimo z natančnostmi na 0,001 mm. Avtomatizacija postopka je preprosta, saj sproti z merjenjem prvega merjenca nastaja program, ki po vpetju naslednjega merjenca vse meritve in poročilo izdela samodejno. Priprava merjencev ni potrebna, pojavijo pa se seveda težave pri meritvah deformabilnih in mehkih površin. Podobno kot rentgenska metoda so koordinatni merilni stroji stoječi sistemi. Poznamo izvedbe z merilnimi rokami (enako kot pri laserskih sondah), vendar je tam točnost manjša, v najboljšem primeru 0,05 mm. Fleksibilnost je torej slaba, tudi digitalizacija nam zaradi točkovnega zajema podatkov da ali premalo informacij o objektu ali pa je preveč zamudna. Obstajajo sicer portalni stroji, namenjeni meritvam merjencev velikih dimenzij (tudi več kot 5 metrov), vendar niso primerni za meritve manjših merjencev, hkrati pa sta investicija in vzdrževanje zelo visoki postavki pri oblikovanju cene merjenja. Pogosto so za točne meritve (tudi prvih kosov) potrebne vpenjalne priprave ali pa uporabimo univerzalne vpenjalne sisteme za meritve ali obdelavo prototipov, ki so zadnje čase precej napredovali (npr. sistemi Matrix). Namesto sklepa Iz vsega povedanega lahko sklenemo, da bomo za najpreciznejše meritve še vedno izbrali klasične koordinatne merilne stroje, čeprav bi bil za nekatere aplikacije lahko primernejši optični koordinatni merilni stroj ali rentgenski digitalizator. Zelo blizu s točnostjo so tudi sistemi na belo svetlobo, ki pa imajo svoje posebnosti. Zaradi svoje fleksibilnosti so za meritve prvih kosov in prototipnih serij najprimernejši sistemi na belo svetlobo, ki s hitro izdelavo barvne lestvice odstopkov površin dajo zelo dobro informacijo o splošni ustreznosti kosa. Za nameček lahko s kakovostno programsko opremo, ki je na voljo pri vodilnih sistemih (npr. ATOS), hitro izvedemo tudi kontrolo karakterističnih mer objekta. Hkrati so uporabni tudi za širok spekter velikosti merjencev (od manj kot 10 do več kot 2000 mm). Pri meritvah serij so še vedno najprimernejši klasični koordinatni merilni stroji, čeprav se že dalj časa, npr. v industriji mobilnih telefonov, uporabljajo sistemi na belo svetlobo kot standardna metoda kontrole ohišij na popolnoma avtomatiziranih sistemih, lahko tudi kot 100-odstotna kontrola. Za merjence majhnih dimenzij (manj kot 10 mm) je verjetno najprimernejša metoda rentgen, ker jih lahko merimo več hkrati in tudi dobimo vse detajle, vključno z utori in luknjami, ki jih je sicer zelo težko meriti. Za meritve velikih dimenzij je najprimernejša uporaba optičnega koordinatnega merilnega stroja, ki je v primerjavi s klasičnimi portalnimi koordinatnimi merilnimi stroji veliko cenejši in predvsem zelo fleksibilen. Zato ga lahko uporabljamo na terenu, da zelo hitro dobimo informacije o točnosti izdelave. Ker se klasični koordinatni merilni stroji večinoma uporabljajo pod kontroliranimi pogoji, pogosto pozabljamo, da lahko tudi vse ostale sisteme prav tako uporabljamo pod kontroliranimi pogoji, kar jim dodatno izboljša točnost in zanesljivost rezultatov. Sicer pa lahko skoraj enake rezultate kot v kontroliranih pogojih dosežemo tudi s temperaturno kompenzacijo (če se seveda temperatura med meritvijo ne spreminja). Pri tem ne smemo pozabiti, da imajo klasični koordinatni merilni stroji veliko težav s prahom in vlago v zraku ter tresljaji tal. Zagotavljanje kontroliranih pogojev (priprava zraka, ločeno temeljenje koordinatnega merilnega stroja in nadzor temperature) pa zahteva dodatne investicije in stroške vzdrževanja. Laserski digitalizatorji zaradi manjše točnosti niso primerni za precizne 3D-meritve, so pa primerni za projekte 3D-digitalizacije, kjer niso zahtevane največje točnosti. Seveda je uporaba prave metode odvisna od narave projekta, ki ga moramo izvesti. Pričujoči prispevek je samo opora pri izbiri med mnogimi rešitvami, ki so danes dostopne na trgu. Predvsem pa se morate pred izbiro prepričati, na kakšni opremi bodo vaše meritve izvedene, ker so razlike med posameznimi sistemi ogromne. Krog vrhunskih proizvajalcev je namreč pri posameznih tehnologijah veliko bolj ozek kot pri zreli tehnologiji klasičnih koordinatnih merilnih strojev. Samo Gazvoda, TECOS, Celje. Dušan Sivka, Akrapovič, d. d. Linija za natančno podajanje z valji dogodki in dosežki Podjetje Waddington Electronics Inc., Cranston, ZDA, predstavlja napravo za podajanje z valji True Feed SF, ki ponuja neposredno krmiljenje s servo tehnologijo za eliminiranje možnih napak, ki se običajno pojavljajo na konvencionalnih transportnih napravah. Enota je sestavljena iz štirih valjev premera od 32 mm do 102 mm in širine od 76 mm do 915 mm. isoko zmogljiva naprava za sprotno kontrolo pomaga pri natančnosti podajanja - ±0,001mm. Najvišja hitrost podajanja je 2400 spm. Poleg tega je možno dobiti še veliko dodatkov za natančno podajanje pri velikih hitrostih. 50

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70 KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih

Διαβάστε περισσότερα

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laboratorijska vaja št. 5: Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laserski sistemi - Laboratorijske vaje 1 Namen vaje Spoznati polprevodniške laserje visokih moči Osvojiti osnove laserskega varjenja

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

STANDARD1 EN EN EN

STANDARD1 EN EN EN PRILOGA RADIJSKE 9,000-20,05 khz naprave kratkega dosega: induktivne aplikacije 315 600 khz naprave kratkega dosega: aktivni medicinski vsadki ultra nizkih moči 4516 khz naprave kratkega dosega: železniške

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov 28. 3. 11 UV- spektrofotometrija Biuretska metoda Absorbanca pri λ=28 nm (A28) UV- spektrofotometrija Biuretska metoda vstopni žarek intenziteta I Lowrijeva metoda Bradfordova metoda Bradfordova metoda

Διαβάστε περισσότερα

Zajemanje merilnih vrednosti z vf digitalnim spominskim osciloskopom

Zajemanje merilnih vrednosti z vf digitalnim spominskim osciloskopom VSŠ Velenje ELEKTRIČNE MERITVE Laboratorijske vaje Zajemanje merilnih vrednosti z vf digitalnim spominskim osciloskopom Vaja št.2 M. D. Skupina A PREGLEDAL:. OCENA:.. Velenje, 22.12.2006 1. Besedilo naloge

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Metrologija 24.okt.,2016

Metrologija 24.okt.,2016 Metrologija 24.okt.,2016 tolerance označevanje toleranc referenčni elementi in pozicije kalibri o napakah pri merjenju blokovni diagram meritve vzroki za nastanek napak - po izvoru primer merilnega sistema

Διαβάστε περισσότερα

Fizikalne količine zapisujemo kot zmnožek številske vrednosti in ustrezne enote.

Fizikalne količine zapisujemo kot zmnožek številske vrednosti in ustrezne enote. Fizikalne količine zapisujemo kot zmnožek številske vrednosti in ustrezne enote. Včasih je potrebno poznati enoto za količino, za katero ne poznamo enote, poznamo pa relacijo med količinami, kot npr. da

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 WP 14 R T d 9 10 11 53 d 2015 811/2013 WP 14 R T 2015 811/2013 WP 14 R T Naslednji podatki o izdelku izpolnjujejo zahteve uredb U 811/2013, 812/2013, 813/2013 in 814/2013 o dopolnitvi smernice 2010/30/U.

Διαβάστε περισσότερα

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto

S53WW. Meritve anten. RIS 2005 Novo Mesto S53WW Meritve anten RIS 2005 Novo Mesto 15.01.2005 Parametri, s katerimi opišemo anteno: Smernost (D, directivity) Dobitek (G, gain) izkoristek (η=g/d, efficiency) Smerni (sevalni) diagram (radiation pattern)

Διαβάστε περισσότερα

Nedestruktivne preiskave materialov in konstrukcij

Nedestruktivne preiskave materialov in konstrukcij Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar Nedestruktivne preiskave materialov in konstrukcij Vid Agrež Mentor: dr. Primož Ziherl 15. 5. 2008 Povzetek Z razvojem industrije in tehnike

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO 000 Maribor, Smetanova ul. 17 Študijsko leto: 011/01 Skupina: 9. MERITVE LABORATORIJSKE VAJE Vaja št.: 10.1 Merjenje z digitalnim

Διαβάστε περισσότερα

Uvod v senzorsko in merilno tehniko

Uvod v senzorsko in merilno tehniko Uvod v senzorsko in merilno tehniko V človekovi naravi je da želi vse kar zazna s svojimi čutili kvantitativno in kvalitativno ovrednotiti oziroma izmeriti. Merjenje je postopek pri katerem poskušamo objektivno

Διαβάστε περισσότερα

Merjenje temperature v orodju na brizgalno/pihalnem stroju

Merjenje temperature v orodju na brizgalno/pihalnem stroju Merjenje temperature v orodju na brizgalno/pihalnem stroju Krištof Debeljak V seminarski nalogi je opisan problem izdelave plastičnih vsebnikov z brizganjem in pihanjem. Predstavljen je tudi proizvodno

Διαβάστε περισσότερα

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

ODBOJNOSTNI SENZOR Z OPTIČNIMI VLAKNI

ODBOJNOSTNI SENZOR Z OPTIČNIMI VLAKNI ODBOJNOSTNI SENZOR Z OPTIČNIMI VLAKNI Spoznavanje osnovnih vlakensko-optičnih (fiber-optičnih) komponent, Vodenje svetlobe po optičnem vlaknu, Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ GR ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ H OLJLAJNYOMÁSÚ SZEGECSELŐ M4/M12 SZEGECSEKHEZ HASZNÁLATI UTASÍTÁS - ALKATRÉSZEK SLO OLJNO-PNEVMATSKI KOVIČAR ZA ZAKOVICE

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

PREDSTAVITEV PRODUKTA. Prenosna merilna roka

PREDSTAVITEV PRODUKTA. Prenosna merilna roka PREDSTAVITEV PRODUKTA ROMER Absolute Arm Prenosna merilna roka ROMER Absolute Arm ABSOLUTNO VSESTRANSKA Nadzor kakovosti, merjenje, kontrola izdelkov na stroju, vzvratno inženirstvo, ali 3D modeliranje,

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE. U no gradivo zbornik seminarjev

IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE. U no gradivo zbornik seminarjev IZZIVI DRUŽINSKE MEDICINE Uno gradivo zbornik seminarjev študentov Medicinske fakultete Univerze v Mariboru 4. letnik 2008/2009 Uredniki: Alenka Bizjak, Viktorija Janar, Maša Krajnc, Jasmina Rehar, Mateja

Διαβάστε περισσότερα

Multivariatna analiza variance

Multivariatna analiza variance (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti

Διαβάστε περισσότερα

Tehnika za življenje SOLUTIONS KTS 560 / KTS 590. Diagnostika ECU z ESI[tronic]

Tehnika za življenje SOLUTIONS KTS 560 / KTS 590. Diagnostika ECU z ESI[tronic] Tehnika za življenje SOLUTIONS KTS 560 / KTS 590 Diagnostika ECU z ESI[tronic] Visokotehnološka diagnoza ECU za optimalno učinkovitost Nova trpežna modula KTS KTS 560 in KTS 590 sta osnovana na Boschevi

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

Domača naloga 6: dušeno nihanje

Domača naloga 6: dušeno nihanje Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE) Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer

Διαβάστε περισσότερα

Razsvetljava z umetno svetlobo

Razsvetljava z umetno svetlobo Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo Univerze v Ljubljani Oddelek za tehniško varnost 3. letnik Univerzitetni študij Elektrotehnika in varnost Razsvetljava Razsvetljava z umetno svetlobo predavatelj

Διαβάστε περισσότερα

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE

MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Gimnazija Murska Sobota POROČILO K LABORATORIJSKI VAJI MIKROSKOP IN MIKROSKOPIRANJE Sandra Gorčan, 4.c prof. Edita Vučak Murska Sobota,8.10.2003 UVOD: Mikroskop je naprava, ki služi za gledanje mikroskopsko

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

Izpitna vprašanja za prvi del izpita (1. kolokvij)

Izpitna vprašanja za prvi del izpita (1. kolokvij) TEHNIŠKE MERTIVE Izpitna vprašanja za prvi del izpita (1. kolokvij) 1. Osnovni pravili merjenja. Merjena veličina mora biti nedvoumno definirana; pri fizikalnih veličinah to vedno velja. Referenčna veličina

Διαβάστε περισσότερα

PRILOGA VI POTRDILO O SKLADNOSTI. (Vzorci vsebine) POTRDILO O SKLADNOSTI ZA VOZILO HOMOLOGIRANEGA TIPA

PRILOGA VI POTRDILO O SKLADNOSTI. (Vzorci vsebine) POTRDILO O SKLADNOSTI ZA VOZILO HOMOLOGIRANEGA TIPA PRILOGA VI POTRDILA O SKLADNOSTI (Vzorci vsebine) A POTRDILO O SKLADNOSTI ZA VOZILO HOMOLOGIRANEGA TIPA Stran 1 POTRDILO O SKLADNOSTI ZA VOZILO HOMOLOGIRANEGA TIPA (1) (številka potrdila o skladnosti:)

Διαβάστε περισσότερα

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri

Διαβάστε περισσότερα

ADS sistemi digitalnega snemanja ADS-DVR-4100D4

ADS sistemi digitalnega snemanja ADS-DVR-4100D4 ADS-DVR-4100D4 Glavne značilnosti: kompresija, idealna za samostojni sistem digitalnega snemanja štirje video vhodi, snemanje 100 slik/sek v D1 ločljivosti pentaplex funkcija (hkratno delovanje petih procesov):

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Zanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21

Zanesljivost psihološkega merjenja. Osnovni model, koeficient α in KR-21 Zanesljivost psihološkega merjenja Osnovni model, koeficient α in KR- Osnovni model in KTT V kolikšni meri na testne dosežke vplivajo slučajne napake? oziroma, kako natančno smo izmerili neko lastnost.

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ČHE AVČE. Konzorcij RUDIS MITSUBISHI ELECTRIC SUMITOMO

ČHE AVČE. Konzorcij RUDIS MITSUBISHI ELECTRIC SUMITOMO ČHE AVČE Konzorcij RUDIS MITSUBISHI ELECTRIC SUMITOMO MONTAŽA IN DOBAVA AGREGATA ČRPALKA / TURBINA MOTOR / GENERATOR S POMOŽNO OPREMO Anton Hribar d.i.s OSNOVNI TEHNIČNI PODATKI ČRPALNE HIDROELEKTRARNE

Διαβάστε περισσότερα

CNC REZKANJE: DOOSAN NXII

CNC REZKANJE: DOOSAN NXII CNC REZKANJE: CNC triosni vertikalni visokohitrostni in visokoprecizni vertikalni orodjarski obdelovalni center DOOSAN NXII, delovno območje X1050, Y650 Z550, tri osi, delovna miza X1200,Y650, Renishaw

Διαβάστε περισσότερα

CO2 + H2O sladkor + O2

CO2 + H2O sladkor + O2 VAJA 5 FOTOSINTEZA CO2 + H2O sladkor + O2 Meritve fotosinteze CO 2 + H 2 O sladkor + O 2 Fiziologija rastlin laboratorijske vaje SVETLOBNE REAKCIJE (tilakoidna membrana) TEMOTNE REAKCIJE (stroma kloroplasta)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013 Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo

Διαβάστε περισσότερα

MOTORJI Z NOTRANJIM ZGOREVANJEM

MOTORJI Z NOTRANJIM ZGOREVANJEM MOTORJI Z NOTRANJIM ZGOREVANJEM Dvotaktni Štititaktni Motorji z notranjim zgorevanjem Motorji z zunanjim zgorevanjem izohora: Otto motor izohora in izoterma: Stirling motor izobara: Diesel motor izohora

Διαβάστε περισσότερα

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T 2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.

Διαβάστε περισσότερα

Prepoznavanje krožnic na digitalnih slikah

Prepoznavanje krožnic na digitalnih slikah Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Domen Kren Prepoznavanje krožnic na digitalnih slikah DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO

Διαβάστε περισσότερα

Tokovi v naravoslovju za 6. razred

Tokovi v naravoslovju za 6. razred Tokovi v naravoslovju za 6. razred Bojan Golli in Nada Razpet PeF Ljubljana 7. december 2007 Kazalo 1 Fizikalne osnove 2 1.1 Energija in informacija............................... 3 2 Projekti iz fizike

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

LVTS. Tehnične meritve. Študijsko gradivo. Tehnične meritve. Predavanja. Avtor: Marko Hočevar

LVTS. Tehnične meritve. Študijsko gradivo. Tehnične meritve. Predavanja. Avtor: Marko Hočevar Študijsko gradivo Predavanja Avtor: Marko Hočevar Ljubljana, januar 009 1 Merilni inštrumenti Merilni inštrumenti so naprave, ki pretvarjajo fizično spremenljivko (npr. temperaturo mleka v kotlu, električno

Διαβάστε περισσότερα

Gradniki TK sistemov

Gradniki TK sistemov Gradniki TK sistemov renos signalov v višji rekvenčni legi Vsebina Modulacija in demodulacija Vrste analognih modulacij AM M FM rimerjava spektrov analognih moduliranih signalov Mešalniki Kdaj uporabimo

Διαβάστε περισσότερα