ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ηλκτρικό Πδί Αγωγύ Τα υλικά σύμφωνα μ τις ηλκτρικές τυς ιδιότητς διακρίννται σ μνωτές (όπως γυαλί, καυτσύκ), όπυ κάθ ηλκτρόνι ίναι δσμυμέν σ κάπι άτμ και σ αγωγύς (όπως τα μέταλλα), όπυ ένας παρά πλύ μγάλς αριθμός λύθρων ηλκτρνίων μπρύν να κινηθύν λύθρα σ λόκληρ τν όγκ τυ. Οι βασικές ηλκτρστατικές ιδιότητς των αγωγών ίναι ι ακόλυθς : α) Η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ στ σωτρικό νός αγωγύ ίναι μηδέν, Εσ = 0. Επιδή στην ηλκτρστατική νδιαφέρυν μόν καταστάσις, στις πίς τα ηλκτρόνια τυ αγωγύ βρίσκνται σ ισρρπία (ακινητύν), η απαραίτητη συνθήκη για να συμβαίνι αυτό ίναι τα ηλκτρόνια να κατανέμνται μ τέτι τρόπ ώστ η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ στ σωτρικό τυ αγωγύ να ίναι μηδέν. Διαφρτικά αν υπήρχ πιδήπτ πδί στ σωτρικό τυ αγωγύ, τα λύθρά τυ φρτία θα κινύνταν, γγνός πυ αντιτίθται στην ηλκτρστατική. Επιδή η ένταση τυ ηλκτρικύ πδίυ ίναι μηδέν στ σωτρικό μιας αγώγιμης κιλότητας, η κιλότητα αυτή απτλί ένα χώρ θωράκισης από τ ηλκτρικό πδί (κλωβός Faraday). β) Η χωρική πυκνότητα στ σωτρικό νός αγωγύ ίναι μηδέν, ρ=0. Σύμφωνα μ τη διαφρική μρφή τυ νόμυ τυ Gauss ρ /, πιδή η ένταση τυ πδίυ στ σωτρικό κάθ αγωγύ ίναι μηδέν ( 0 ), πρκύπτι ύκλα ότι στ σωτρικό κάθ αγωγύ ίναι ρ=0. Αυτό δν σημαίνι ότι δν υπάρχι φρτί στ σωτρικό τυ αγωγύ, αλλά ότι τ θτικό φρτί ίναι ακριβώς όσ και τ αρνητικό, έτσι ώστ η λική πυκνότητα φρτίυ στ σωτρικό να ίναι μηδέν. γ) Τα φρτία κατανέμνται μόν στην πιφάνια τυ αγωγύ. Τα φρτία νός αγωγύ σ κάθ πρίπτωση κατανέμνται στην πιφάνιά τυ και κατά τέτι τρόπ, ώστ στ σωτρικό η ένταση τυ πδίυ να ίναι μηδέν. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ δ) Τ ηλκτρικό δυναμικό ίναι σταθρό σ όλ τν αγωγό. Εφόσν η ένταση τυ πδίυ στ σωτρικό τυ αγωγύ ίναι μηδέν θα ισχύι ότι 0, δηλαδή = σταθ. Επμένως τ δυναμικό θα ίναι σταθρό σ όλη την έκταση τυ αγωγύ πριλαμβανμένης και της πιφάνιάς τυ, η πία ως κ τύτυ ίναι πάντα ισδυναμική πιφάνια. Αυτό πρκύπτι και από την παρατήρηση ότι πιαδήπτ διαφρά δυναμικύ τόσ στην πιφάνια, όσ και μταξύ της πιφάνιας και τυ σωτρικύ τυ αγωγύ θα ίχ ως απτέλσμα κίνηση των φρτίων κι πμένως διατάραξη της κατάστασης ισρρπίας. ) Η ένταση τυ πδίυ ίναι κάθτη στην πιφάνια τυ αγωγύ. Αγωγός σ 0 Σχήμα 3. Αν η ένταση δν ήταν κάθτη στην πιφάνια τυ αγωγύ αλλά υπό κλίση, τότ θα αναλυόταν σ δυ συνιστώσς, μια κάθτη στν αγωγό και μια φαπτόμνη στν αγωγό, η πία θα κινύσ τα φρτία κατά την διύθυνση αυτή. Αλλά κάτι τέτι αντιβαίνι στην συνθήκη ισρρπίας των φρτίων (ηλκτρστατική). Άρα πράγματι τ διάνυσμα της έντασης ίναι πάντα κάθτ στην πιφάνια τυ αγωγύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παράδιγμα: Να υπλγιστί η ένταση και τ δυναμικό τυ ηλκτρικύ πδίυ κντά στην πιφάνια αγωγύ πιυδήπτ σχήματς μ θτική πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ σ. Λύση Ε = 0 Σχήμα 3. Τνίζται ότι για έναν τυχαί αγωγό η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ δν ίναι σταθρή, αλλά μπρί να θωρηθί σταθρή σ μια σχτικά μικρή πριχή. Σύμφωνα μ την ιδιότητα () των αγωγών, η ένταση κντά στν αγωγό ίναι κάθτη στην πιφάνιά τυ. Επμένως λαμβάνντας ως πιφάνια Gauss στιχιώδη κλιστό κύλινδρ μ άξνα κάθτ στην πιφάνια τυ αγωγύ, παρατηρίται ότι η ηλκτρική ρή πυ διέρχται τόσ από την πιφάνια τυ κυλίνδρυ πυ βρίσκται στ σωτρικό τυ αγωγύ, όπυ Ε = 0, όσ και από την κτός τυ αγωγύ παράπλυρη πιφάνια αυτύ, πρς την πία η ένταση ίναι παράλληλη, ίναι μηδέν. Δηλαδή ρή ξέρχται μόν από την ξωτρική βάση τυ κυλίνδρυ. Άρα νόμς τυ Gauss δίνι: q d enc σ σ () Τ δυναμικό υπλγίζται από την σχέση : (3) d d Edx dx 0 d σ x σ dx 0 x ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Πυκνωτές Μια διάταξη δυ γιτνικών αγωγών πιυδήπτ σχήματς, πυ φέρυν ίσα και αντίθτα φρτία λέγται πυκνωτής και ι αγωγί πλισμί αυτύ. Χαρακτηριστικό μέγθς κάθ πυκνωτή ίναι η χωρητικότητα C, η πία ρίζται ως τ πηλίκ τυ μέτρυ τυ φρτίυ τυ κάθ πλισμύ πρς τη διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών. Δηλαδή : C () Η χωρητικότητα κάθ πυκνωτή ξαρτάται από τ σχήμα κάθ πλισμύ, τη διάταξη των πλισμών στ χώρ και τ υλικό μέσα στ πί βρίσκνται ι πλισμί. Μνάδα μέτρησης της χωρητικότητας στ.i. ίναι τ Farad (F = Cb/olt). Συνδσμλγία πυκνωτών α) Σύνδση πυκνωτών σ σιρά : C C C3 3 Σχήμα 3.3 Πυκνωτές συνδδμένι σ σιρά παρυσιάζυν τ ίδι φρτί στυς πλισμύς τυς και διαφρτική διαφρά δυναμικύ σ αυτύς. Από αυτή την ιδιότητα πρκύπτι ότι τ αντίστρφ της ισδύναμης χωρητικότητας Ceq τυ συνδυασμύ σ σιρά ισύται μ τ άθρισμα των αντιστρόφων των πί μέρυς χωρητικτήτων. Δηλαδή : C eq... (3) C C C 3 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Παράλληλη σύνδση πυκνωτών : Πυκνωτές συνδδμένι παράλληλα παρυσιάζυν την ίδια διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών τυς και διαφρτικό φρτί σ αυτύς. C C C 3 3 Από την ιδιότητα αυτή πρκύπτι ότι η ισδύναμη χωρητικότητα Ceq τυ συνδυασμύ παράλληλης σύνδσης ισύται μ τ άθρισμα των πί μέρυς χωρητικτήτων. Δηλαδή : Σχήμα 3.4 Ceq 3 C C C... (4) Ενέργια πυκνωτή Κάθ φρτισμένς πυκνωτής έχι απθηκυμένη δυναμική νέργια U ίση μ τ έργ πυ απαιτίται για τη φόρτισή τυ. Η νέργια αυτή απδίδται αν πιτραπί στν πυκνωτή να κφρτιστί. Υπθέτντας ότι σ χρόν t έχι μταφρθί στν πυκνωτή φρτί q, η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών τυ ίναι σύμφωνα μ την () : = q/c. Τ στιχιώδς έργ dw πυ απαιτίται για να μταφρθί πιπλέν φρτί dq στν πυκνωτή ίναι: dw dq q dq C Επμένως τ λικό έργ W πυ απαιτίται για να αυξηθί τ φρτί q από τ μηδέν ως την τλική τιμή ίναι : W W dw qdq 0 C Άρα η νέργια U νός πυκνωτή, χρησιμπιώντας και την () μπρί να κφραστί ως : 0 C U U C (5) C ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εφαρμγές. Χωρητικότητα πίπδυ πυκνωτή d Σχήμα 3.5 Θωρύμ έναν πίπδ πυκνωτή, δηλαδή σύστημα από δυ μταλλικές αγώγιμς παράλληλς πίπδς πλάκς μβαδύ, σ απόσταση d μταξύ τυς, φρτισμένς μ ίσα και αντίθτα φρτία. Λόγω αμιβαίας έλξως τα φρτία κατανέμνται στην σωτρική πιφάνια των πλακών. Αν παραβλέψυμ την ανωμαλία στις άκρς των πλακών, η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ σ ίναι σταθρή σ λόκληρη την έκταση της σωτρικής πιφάνιας κάθ πλάκας. Συνπώς μταξύ των δυ πλακών δημιυργίται μγνές ηλκτρικό πδί, πυ σύμφωνα μ τ παράδιγμα της παραγράφυ ίναι : σ (πιδή σ / ) Άρα η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών ίναι : d dx d 0 d dx Δ d Επμένως σύμφωνα μ την (3 ) η χωρητικότητα πίπδυ πυκνωτή ίναι: C Δ d C (6) d Παρατηρίται ότι η χωρητικότητα πίπδυ πυκνωτή ξαρτάται μόν από τις γωμτρικές παραμέτρυς και από τ παρμβαλλόμν υλικό μταξύ των πλισμών. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Χωρητικότητα σφαιρικύ πυκνωτή - O Σχήμα 3.6 Ένας σφαιρικός πυκνωτής απτλίται από δυ μόκντρυς σφαιρικύς αγωγύς ακτίνων και, φρτισμένων μ ίσα και αντίθτα φρτία. Για τν υπλγισμό της έντασης τυ πδίυ μταξύ των πλισμών (σ πιαδήπτ άλλη πριχή ίναι Ε=0), λαμβάνται μια σφαιρική κλιστή πιφάνια ακτίνας < r <, πότ νόμς Gauss δίνι : q d enc 4πr 4π r Επμένως η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών ίναι : d dr d dr 4π dr r 4π 4π Πρσέξτ ότι η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών κάθ πυκνωτή ίναι τ δυναμικό τυ θτικύ αγωγύ μίν τ δυναμικό τυ αρνητικύ. Άρα σύμφωνα μ την (3 ) η χωρητικότητα σφαιρικύ πυκνωτή ίναι : C 4π C 4π (7) Δηλαδή ξαρτάται μόν από τα γωμτρικά στιχία τυ και τ υλικό μταξύ των πλισμών τυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Χωρητικότητα κυλινδρικύ πυκνωτή O - Ένας κυλινδρικός πυκνωτής απτλίται από δυ μαξνικύς κυλινδρικύς αγωγύς απίρυ μήκυς και ακτινών,, φρτισμένυς μ ίσα και αντίθτα φρτία. Θωρώντας ως πιφάνια Gauss μαξνικό κύλινδρ ακτίνας < r < και μήκυς κι φαρμόζντας τ νόμ Gauss, υπλγίζται η ένταση τυ πδίυ μταξύ των πλισμών ως ξής : Σχήμα 3.7 q d enc πr π r Επμένως η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών ίναι : d dr d dr π dr r n π π n Άρα σύμφωνα μ την () η χωρητικότητα κυλινδρικύ πυκνωτή ανά μνάδα μήκυς ίναι : C n π C π n( / ) (8) Δηλαδή και στν κυλινδρικό πυκνωτή η χωρητικότητα ίναι συνάρτηση των γωμτρικών στιχίων τυ και τυ υλικύ πυ παρμβάλλται μταξύ των πλισμών τυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ