ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ 2 & 3 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ & 3 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 1 Η κματσνάρτηση δεύντς κύματς δίνεται από τη σχέση: (,,,t) cos[3π 10 6 t 60π( 8-4) φ] Να πρσδιριστύν η σχνότητα, η κατεύθνση διάδσης, τ μήκς κύματς και η φασική ταχύτητα τ κύματς. Λύση Από τη γενική μρφή τ τρισδιάστατ ατύ κύματς είναι: cos(t - ) (,,,t) cos(3π10 6 t 60 8π 10π - 40π) Επμένς από την παραπάν πρκύπτει ότι: π πv π v H H και 60 8π, 10π, 40π Η κατεύθνση διάδσης τ κύματς καθρίζεται από τ κματδιάνσμα είναι η κατεύθνση τ, τ πί είναι:, δηλαδή ˆ ˆ ˆ 60 8πˆ -10πˆ 40πˆ Τ μήκς κύματς είναι: λ π π 8800π π 14400π 57600π π λ 0, 0063m 6, π 317, 5 Ενώ η φασική ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: -3 πv -3 5 λv 6, , 4510 π/λ m 3 m/sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ Να δείξετε ότι η εξίσση Klein Gordon στν τρισδιάστατ χώρ: 1 ( r, t) ( r, t) - n ( r, t), όπ u, n πραγματικές σταθερές t επιδέχεται σα λύσεις τις: ( r, t) Acos(t - r φ) αν r και ( r, t) Ae cos(t φ) αν Δίνεται ότι Α και φ είναι σταθερές και o n. Λύση Θέτντας : (r, t) cos( t r ) cos( t ) (1) r ( ˆ ˆ ) ˆ (ˆ ˆ ) ˆ είναι: επειδή Acos( t - φ) Acos( t - φ) Acos( t - φ) ( ) Acos( t - r φ) () και cos( t r ) t (3) Αντικαθιστώντας τις (), (3) στη δθείσα εξίσση Klein-Gordon πρκύπτει: ( ),( 3) 1 Ψ n t 1 n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ n n ) / ( (4) Άρα η εξίσση Klein-Gordon επιδέχεται ς λύση την (1) αν ισχύει η (4). Ομίς θέτντας : r (r, t) e cos( t ) e cos( t ) (5) Είναι: φ) t Ae φ) t Ae cos( cos( φ) t Ae ( φ) t Ae r cos( ) cos( (6) και r - φ) t e t cos( (7) Σνεπώς αντικαθιστώντας τις (6), (7) στην εξίσση Klein-Gordon πρκύπτει: 7 6 n 1 n t 1 ) ),( ( n (8) Άρα η (5) είναι λύση της εξίσσης Klein-Gordon αν ισχύει η (8).

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 3 Μπρεί να δειχθεί ότι ένα σφαιρικό ιστρπικό κύμα ικανπιεί τη διαφρική εξίσση ( rξ) ( rξ). Επαληθεύστε ότι η λύση ατής της εξίσσης είναι ξ ( 1/ r)f(r t). t r Λύση Είναι: 1 ξ f (r ut) rξ f (r t) (1) r Θέτντας rt είναι rξ f (), πότε: (1) (rξ) f df df f df ( ) t t d t d t d () και () (rξ) f d df d df d f ( ) t t dt d d d t d Επίσης: (rξ) t (rξ) f df df df 1 r r d r d d d f d (3) (4) Και (4) (rξ) f d df d df d f (rξ) d f 1 r r dr d d d r d r d (5) Άρα αντικαθιστώντας τις (3) και (5) στη δθείσα διαφρική εξίσση εύκλα πρκύπτει ότι =, δηλαδή η ξ (1/ r)f (r t) την ικανπιεί και απτελεί μια λύση ατής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 4 Δ γραμμικά πλμένα, επίπεδα αρμνικά κύματα, π έχν την ίδια σχνότητα, διαδίδνται κατά την κατεύθνση με τα επίπεδα πλώσες κάθετα μεταξύ τς, δηλαδή έχν τη γενική μρφή: Α Α cos(t φ )ˆ A ˆ Α Α cos(t φ )ˆ A ˆ α) Να δείξετε ότι η εξίσση, π ικανπιύν ι σνιστώσες Α1 και Α τ σνισταμέν κύματς σε πιαδήπτε θέση περιγράφει κνική τμή. β) Πότε τ σνιστάμεν κύμα είναι γραμμικά πλμέν, πότε ελλειπτικά και πότε κκλικά πλμέν; Λύση α) Τ σνιστάμεν κύμα είναι: Α(,t) Α (,t) Α (,t) Α ˆ Α ˆ (1) 1 1 και σχηματίζει γνία θ με τν άξνα τέτια ώστε: tαnθ Α Α cos(t φ ) Α Α cos(t φ ) 1 1 Α cos(t ) cos φ sin(t )sin φ Α cos(t ) cos φ sin(t )sin φ 1 1 Α cos φ tαn(t )sin φ tαnθ A cos φ tαn(t )sin φ 1 1 () Από τη σχέση () παρατηρείται ότι αν φ1 φ η tαnθ εξαρτάται γενικά από τ χρόν σε δσμένη θέση, δηλαδή τ Α(,t) δεν έχει σταθερή διεύθνση για δσμέν ή δσμέν t. Για τν πρσδιρισμό της καμπύλης π διαγράφει τ Α(,t) σε τχύσα θέση, αρκεί να βρεθεί η εξίσση π ικανπιύν ι πρβλές τ A1 και A, ι πίες μπρύν να γραφύν ς: Α1 Α cos(t φ 1) Α cos(t ) cos φ1 Α sin(t )sin φ1 (3) Α Α cos(t φ ) Α cos(t ) cos φ Α sin(t )sin φ (4) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αν λθεί τ γραμμικό σύστημα τν (3) και (4) ς πρς cos(t-) και sin(t-) πρκύπτει εύκλα: ΑΑ sin φ1 ΑΑ1 sin φ cos(t ) Α Α (cosφ sin φ sin φ cosφ ) 1 1 (5) ΑΑ cosφ1 ΑΑ1 sin φ sin(t ) Α Α (cosφ sin φ sin φ cosφ ) 1 1 (6) Υψώνντας στ τετράγν τις (5), (6) και πρσθέτντάς τις κατά μέλη τελικά πρκύπτει: A1 AA AA cos( φ1 φ) 1 sin ( φ φ1) (7) Η σχέση (7) είναι η ζητύμενη εξίσση π ικανπιύν ι σνιστώσες Α1 και Α και περιγράφει κνική τμή. Επειδή τα Α1, Α έχν φραγμένες τιμές η εξίσση ατή ανάγεται σε έλλειψη κι επμένς τ σνιστάμεν κύμα θα είναι γενικά ελλειπτικά πλμέν. β) Αν φ1=φ=φ η σχέση () δίνει tαnθ A /A σταθ., δηλαδή η διεύθνση θα είναι ανεξάρτητη και τ και τ t, πότε τ πρκύπτν κύμα (, t) θα είναι γραμμικά πλμέν και η στιγμιαία τιμή τ σνιστάμεν κύματς θα είναι: A(, t) A 1 A A A cos( t - φ) Αν φ π τότε η (7) γίνεται: φ1 / A 1 A A A A η πία παριστάνει εξίσση έλλειψης με ημιάξνες Α και A παράλληλς αντίστιχα πρς τς άξνες και. Αν επιπλέν είναι A = A τότε πρκύπτει κκλικά πλμέν κύμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 5 Δείξτε ότι ισχύει η τατότητα: όπ 1 1 sin cos( t) Asin( 1 r t) - Asin( r t) ˆ και ˆ. 1 ˆ ˆ Η τατότητα ατή είναι η βάση για την περιγραφή ενός δεύντς κύματς, π διαδίδεται ζιγκ-ζαγκ μέσα σε ένα κματδηγό. Είναι μια απόδειξη τ γεγνότς ότι τα τρισδιάστατα δεύντα αρμνικά κύματα (ή τα στάσιμα κύματα) σχηματίζν ένα πλήρες σύνλ σναρτήσεν για την περιγραφή τν τρισδιάστατν κμάτν. Λύση Θέτντας πρκύπτει: X, Y και t = Z και αντικαθιστώντας στη δθείσα σχέση sin cos( t) AsinXcos(Y - Z) A A [sin( X Y Z) sin( X Y Z)] [sin( X Y Z) sin( Y X Z)] [ sin( t) - sin( t)] (1) Αλλά: και r ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ) 1 r ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ) Άρα η (1) παίρνει τελικά τη μρφή: [ sin( r t) - sin( r 1 t)] ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 6 Την επιφάνεια μιας μεμβράνης απείρν διαστάσεν διατρέχν δ εγκάρσια αρμνικά κύματα τν πίν ι διεθύνσεις τν κματδιανσμάτν και σχηματίζν γνία θ. α) Αν άξνας τν σμπίπτει με τη διχτόμ της γνίας θ να βρεθεί γεμετρικός τόπς τν σημείν στα πία σχηματίζεται δεσμός κατά τη σμβλή τν δ κμάτν. Δίνεται ότι 1 /, όπ η κκλική σχνότητα και η ταχύτητα τ κύματς στη μεμβράνη και ότι τα πλάτη τν δ κμάτν είναι ίσα. β) Στις θέσεις o π / και 5 11π / τπθετύνται δ στερεές ράβδι και αμελύνται τα τμήματα της μεμβράνης π δεν περιέχνται στ χώρ μεταξύ τν δ ράβδν. Τι περιρισμός πεισέρχεται στη διάδση τν κμάτν κατά τη διεύθνση ; 1 Λύση 1 θ/ θ/ 1 - α) Η μρφή τν δ κμάτν δίνεται από τις σχέσεις: cos( r t) Acos( 1 1 t) cos( r t) Acos( t) όπ r ˆ ˆ και 1 ˆ ˆ, ˆ ˆ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ σνιστάμεν κύμα είναι: cos( 1 [ t) cos( cos( t t/) cos( t t/) t)] cos( ) cos( t) (1) Άρα από την (1) παρατηρείται ότι τ σνιστάμεν κύμα δεύει κατά τη διεύθνση, δηλαδή στη διχτόμ της γνίας π σχηματίζν ι διεθύνσεις διάδσης τν δ αρχικών κμάτν και έχει πλάτς διαμρφμέν κατά τη διεύθνση, δηλαδή είναι στάσιμ κύμα κατά τη διεύθνση ατή. Η ταχύτητα φάσης είναι: (γιατί cos θ/ <1) cosθ/ cosθ/ Οι δεσμί σχηματίζνται στα σημεία εκείνα για τα πία τ πλάτς Αcos() μηδενίζεται, δηλαδή για τις τιμές τ τέτιες ώστε: π π cos( ) 0 ( n 1) (n 1), n=0,1,, () Επμένς γεμετρικός τόπς τν σημείν στα πία σχηματίζεται δεσμός δίνεται από την () και παριστάνει εθείες παράλληλες πρς τν άξνα τν. β) Η απόσταση μεταξύ τν δ ράβδν είναι: Οπότε: 5 o 11π π 10π 5π 5π (3) Αλλά: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ ) ( ) / ( 3 5π (4) Σνεπώς για να πάρχει διάδση κύματς κατά τη διεύθνση θα πρέπει να ισχύει η σχέση: 4 5π 5π 0 5π 0 ) ( 5π Δηλαδή σμπεραίνεται ότι κατά τη διεύθνση δεν μπρύν να διαδθύν κύματα με σχνότητα μικρότερη από 5π/.

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΘΕΜΑ 7 Επίπεδη μγενής ρθγώνια μεμβράνη έχει πλερές μήκς α, b ι πίες είναι ακίνητες. Η κίνηση της μεμβράνης κάθετα στ επίπεδό της ικανπιεί τη διαφρική εξίσση: t τ σ όπ Ψ(,,t) είναι η μετατόπιση τ σημεί (,) της μεμβράνης τη χρνική στιγμή t, σ είναι η επιφανειακή πκνότητα μάζας της μεμβράνης και τ η δύναμη ανά μνάδα μήκς π τέντσε τη μεμβράνη. Ένας καννικός τρόπς ταλάντσης της μεμβράνης δίνεται από τη σχέση: Ψ(,, t) (Αsin Bcos )(Csin Dcos )(Esin t Fcost) () τ Όπ A,B,C,D,E,F σταθερές και ( ) η σχέση διασπράς. σ Να πρσδιριστύν ι ιδισχνότητες ταλάντσης της μεμβράνης. (1) Λύση Ο b Ψ(,,t) α ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επειδή ι πλερές της μεμβράνης είναι ακίνητες τα σημεία = 0 και = 0 της μεμβράνης είναι ακίνητα. Δηλαδή: () (0,, t) 0 (Csin Dcos )(Esin t Fcos t) 0 B 0 (3) και () (,0, t) 0 sin D(E sin t Fcost) 0 D 0 (4) Σνεπώς η () λόγ τν (3) και (4) γίνεται: Ψ(,, t) Asin Csin (Esin t Fcost) sin sin (ACEsin t ACFcost) Ψ(,, t) sin sin (Αsin t Bcost) (5) όπ Α ACE και Β ACF η σύμπτηξη τν σταθερών. Επίσης επειδή τα σημεία = α της μεμβράνης είναι ακίνητα, για = α η σχέση (5) δίνει: (5) Ψ(α,,t) 0sin αsin (Αsin t Βcost) 0 sin α 0 nπ α nπ n, α n=1,, (6) Ομίς τα σημεία =b είναι ακίνητα πότε η (5) δίνει: (5) Ψ(,b,t) 0sin sin b(αsin t Bcost) 0 sin b 0 mπ b mπ m, m=1,, (7) b Αντικαθιστώντας τις (6), (7) στη δθείσα σχέση διασπράς πρκύπτν ι σχνότητες τν καννικών τρόπν ταλάντσης της μεμβράνης ς : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ nm 7 6 b m α n σ τ π b π m α π n σ τ σ τ ) ),( ( ) (