ΔΙΠΛΩΜΑΤΙKH ΕΡΓΑΣΙΑ. Γεώργιος Δούμουρας

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ (MSc) στα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙKH ΕΡΓΑΣΙΑ «Αυτόματη αντιστοίχηση ιεραρχικών δομών μέσω SVD» Γεώργιος Δούμουρας Μ ΑΘΗΝΑ, ΜΑΡΤΙΟΣ 2009

2 Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ιωάννη Κωτίδη για την εποικοδομητική συνεργασία που είχαμε και την αμέριστη βοήθεια που μου προσέφερε. Επίσης πρέπει να ευχαριστήσω τον συμφοιτητή και φίλο Ε.Χ. Νοβάκοβιτς αλλά και τους υπόλοιπους συμφοιτητές για τη στήριξη καθ όλη τη διάρκεια του μεταπτυχιακού προγράμματος. Ακόμα ένα μεγάλο ευχαριστώ στην Αγγελική Νόλα για τη συμβολή της κατά τη συγγραφή του κειμένου. Τέλος, επειδή όλα ξεκινάνε και τελειώνουν στην οικογένεια, τους ευχαριστώ ιδιαίτερα για την ηθική υποστήριξη και τη πίστη στις δυνατότητες μου. 2

3 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ (MSc) στα ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙKH ΕΡΓΑΣΙΑ «Αυτόματη αντιστοίχηση ιεραρχικών δομών μέσω SVD» Γεώργιος Δούμουρας Μ Επιβλέπων Καθηγητής: Ιωάννης Κωτίδης Εξωτερικός Κριτής: Αντώνης Δεληγιαννάκης ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, ΜΑΡΤΙΟΣ

4 4

5 Αυτόματη Αντιστοίχηση Ιεραρχικών Δομών μέσω SVD Γεώργιος Δούμουρας Διπλωματική Εργασία ΠΜΣ Πληροφοριακά Συστήματα, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Περίληψη Τα τελευταία χρόνια η σημαντική αύξηση των δεδομένων και της γνώσης σε συνδυασμό με την μεγάλη ανάπτυξη του διαδικτύου και των υπηρεσιών του ιστού, επιδείνωσε την ανάγκη για τη σημασιολογική διαλειτουργικότητα μεταξύ ετερογενών πηγών. Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο την υλοποίηση μιας τεχνικής αυτόματης αντιστοίχησης μεταξύ ιεραρχικών δομών. Οι ιεραρχικές δομές μπορεί να είναι κατάλογοι Internet (Web Directories) όπως τo Yahoo ή το Open Directory Project. Η προτεινόμενη τεχνική χρησιμοποιεί τη μέθοδο Singular Value Decomposition (SVD). Ο μακροπρόθεσμος στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να δείξει ένα δρόμο προς αυτή την ενοποίηση των Web Directories, αλλά όχι μόνο. Όπως φαίνεται από το θέμα, στόχος είναι η αντιστοίχηση ανάμεσα σε ιεραρχικές δομές και κάτω από αυτό το πρίσμα σίγουρα θα θέλαμε να εφαρμόσουμε τη πρόταση αυτή και σε άλλες δομές πέρα από καταλόγους Internet, σε καταλόγους προϊόντων ηλεκτρονικών καταστημάτων ή ακόμα και σε XML αρχεία. Παρόλα αυτά στο πλαίσιο της συγκεκριμένης εργασίας εστιάζουμε κυρίως στη περιγραφή και στην ανάλυση της τεχνικής σε συνθετικά δεδομένα με σκοπό να διερευνήσουμε τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα αυτής. Με τον αλγόριθμο που προτείνουμε βασική επιδίωξη μας είναι να καταφέρουμε να αντιστοιχίσουμε δυο διαφορετικά κατηγοριοποιημένες δομές. Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο στο οποίο βρίσκεται ένα δεδομένο στη μια δομή, θα πρέπει ο αλγόριθμος να μπορέσει να εκτιμήσει μια πιθανή αντιστοίχηση με ένα άλλο δεδομένο στη δεύτερη δομή. Βασική προϋπόθεση είναι οι δομές που θα δοθούν σαν είσοδο να γνωρίζουμε καταρχήν ότι ταυτίζονται εννοιολογικά, αλλά και την ακριβή ιεραρχία τους. Η καινοτομία στη πρόταση μας έγκειται στη μοντελοποίηση των δομών αυτών σε ένα δυαδικό πίνακα πάνω στον οποίο εφαρμόζουμε και τη μέθοδο SVD. Χρησιμοποιώντας τα παράγωγα του SVD δίνουμε τη δυνατότητα στο χρήστη να εκτελέσει τις επερωτήσεις του και να λάβει τις πιθανές αντιστοιχήσεις για το κόμβο που ρώτησε. Μετά την ενδελεχή ανάλυση του αλγορίθμου φροντίζουμε με μια σειρά από πειράματα να αντλήσουμε τα συμπεράσματα για μελλοντική έρευνα προς αυτή τη κατεύθυνση. Τα συμπεράσματα θα βοηθήσουν στην υλοποίηση μιας πληρέστερης εφαρμογής στο μέλλον. Επιβλέπων : Ιωάννης Κωτίδης 5

6 Automatic Hierarchical Structures Matching using SVD Georgios Doumouras Master s Thesis MSc in Information Systems, Athens University of Economics and Business Abstract In recent years a significant increase in data and knowledge combined with the rapid growth of Internet and Web services, aggravated the need for semantic interoperability among heterogeneous sources. This thesis aims to implement a technique for automatic matching of hierarchical structures. The hierarchical structures can be Web Directories such as Yahoo Directory or Open Directory Project. The proposed technique uses the method of Singular Value Decomposition (SVD). The long term objective is not only to show a way to the integration of Web Directories, but also to implement our proposition to other forms of hierarchical structures like online shops product catalogues or even XML files. However, in the present thesis context we mainly focus on simpler structures in order to find the technique s advantages and disadvantages. The algorithm, we propose, aims to match two differently categorized structures. Given the place where a node is in the first hierarchical structure, the algorithm would be able to find a possible matching with another node in the second structure. A key requirement is that the structures provided should be conceptually related. The innovation in our proposal lies in the modeling of these structures in a binary table on which we apply the SVD method. Using the SVD product we enable the user to execute his queries. After careful analysis of the algorithm, we organize a series of experiments in order to reach conclusions for future research. The findings will help implement a more comprehensive application in the future. Supervisor: Yannis Kotidis 6

7 Πίνακας Περιεχομένων Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή Κεφάλαιο 2 ο Αντιστοίχιση Οντολογιών και Σχημάτων Πεδίο Αντιστοίχησης Οντολογιών Κατηγοριοποίηση των μεθόδων αντιστοίχησης Συντακτική και Σημασιολογική Αντιστοίχιση Κατηγοριοποίηση κατά Bernstein και Rahm Κατηγοριοποίηση κατά Shvaiko Ταξινόμηση τριών επιπέδων Κριτήρια αξιολόγησης [5] Περιγραφή μερικών συστημάτων αντιστοίχησης [17] Κεφάλαιο 3 ο Μέθοδος Διάσπασης Ιδιόμορφων Τιμών Διάσπαση Ιδιόμορφων Τιμών (Singular Value Decomposition-SVD) Ορισμός του SVD Ανάλυση του SVD Παράδειγμα Κεφάλαιο 4 ο Αλγόριθμος αντιστοίχησης μέσω SVD Ορισμός του προβλήματος Κωδικοποίηση Δεδομένων Αρχεία εισόδου ιεραρχικής δομής Αρχείο αντιστοίχησης Κατασκευή Δυαδικού πίνακα (bitmap) Κωδικοποίηση επερώτησης Αλγόριθμος αντιστοίχησης μέσω SVD Γενική περιγραφή αλγορίθμου Ανάλυση του Αλγορίθμου

8 4.3.3 Εφαρμογή του Αλγορίθμου Αποτίμηση των αποτελεσμάτων Αλγόριθμος που χρησιμοποιεί το γινόμενο των score των κόμβων Αποτίμηση με τη χρήση Ουράς Προτεραιότητας Υλοποίηση Κεφάλαιο 5 ο Πειράματα-Μελλοντική Έρευνα Πειράματα Αλλαγές των αντιστοιχήσεων στο αρχείο αντιστοίχησης Επίδραση του μεγέθους του αρχείου αντιστοιχήσεων στην επιτυχία του αλγορίθμου Χρονική Απόδοση Ανάγκες σε μνήμη Μελλοντική Έρευνα Βιβλιογραφικές Αναφορές

9 Κατάλογος Εικόνων ΕΙΚΟΝΑ 2 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗ [2] ΕΙΚΟΝΑ 3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ ΚΑΤΑ BERNSTEIN ΚΑΙ RAHM [4] ΕΙΚΟΝΑ 4 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ [1] ΕΙΚΟΝΑ 5 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ [5] ΕΙΚΟΝΑ 6. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ SVD ΣΕ ΕΝΑ M N ΠΙΝΑΚΑ A ΕΙΚΟΝΑ 7 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ X ΚΑΙ Y ΠΟΥ ΥΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ SVD ΣΤΟ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ [14][20] ΕΙΚΟΝΑ 8. ΔΥΑΔΙΚΟ ΔΕΝΔΡΟ 7 ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ Η ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕ ΑΡΧΕΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟΥ ΕΙΚΟΝΑ 9. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΑΡΧΕΙΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ ΕΙΚΟΝΑ 10. ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΕΙΚΟΝΑ 11 ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ Η ΔΟΜΗ Α, ΕΝΩ ΔΕΞΙΑ Η ΔΟΜΗ Β ΕΙΚΟΝΑ 12 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗ ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ Α ΚΑΙ Β ΕΙΚΟΝΑ 13 ΔΕΝΔΡΟ 7 ΚΟΜΒΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΑ SCORES ΠΟΥ ΕΠΕΣΤΡΕΨΕ Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΙΚΟΝΑ 14 ΟΥΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΕΙΚΟΝΑ 15 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΒΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΙΚΟΝΑ 16 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΗ ΕΝΤΟΛΩΝ ΤΩΝ WINDOWS

10 Κατάλογος Γραφημάτων ΓΡΑΦΗΜΑ 1 ΠΕΙΡΑΜΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΩΝ ΣΤΟ TRAINING SET ΓΡΑΦΗΜΑ 2 ΔΥΑΔΙΚΟ ΔΕΝΔΡΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 3 ΤΡΙΑΔΙΚΟ ΔΕΝΔΡΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 4 ΠΕΝΤΑΔΙΚΟ ΔΕΝΔΡΟ ΓΡΑΦΗΜΑ 5 ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΔΕΝΔΡΟ

11 Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο την υλοποίηση μιας τεχνικής αυτόματης αντιστοίχησης μεταξύ ιεραρχικών δομών. Οι ιεραρχικές δομές μπορεί να είναι κατάλογοι Internet (Web Directories) όπως τo Yahoo ή το Open Directory Project. Η προτεινόμενη τεχνική χρησιμοποιεί τη μέθοδο Singular Value Decomposition (SVD), όπως αυτό περιγράφεται στη συνέχεια του κειμένου. Στη σημερινή εποχή η ευρεία χρήση του παγκόσμιου ιστού έχει οδηγήσει σε μια ανεξέλεγκτη αύξηση του αριθμού των διαθέσιμων ιστοσελίδων. Αυτός ο τεράστιος αριθμός καθιστά την εύρεση κάποιων εξ αυτών το λιγότερο δύσκολη διαδικασία. Πράγμα που καθιστά τις μηχανές αναζήτησης απαραίτητο εργαλείο. Γενικά, οι μηχανές αναζήτησης που χρησιμοποιούνται αυτή τη στιγμή στηρίζονται σε αναζήτηση μέσα από λέξεις κλειδιά. Μέσα από αυτή τη μέθοδο οι χρήστες μπορούν να βρουν αρκετά αξιόπιστα τις σελίδες που περιέχουν αυτές τις λέξεις κλειδιά. Παρόλα αυτά όμως, αν ο χρήστης δεν είναι πολύ καλός γνώστης του πεδίου πάνω στο οποίο γίνεται η αναζήτηση ή πιο απλά δε γνωρίζει τις κατάλληλες λέξεις κλειδιά η αναζήτηση μέσω αυτών των μηχανών γίνεται πολύ δύσκολη. Για τη επίλυση του παραπάνω προβλήματος τα Web Directories και η αναζήτηση σε αυτά είναι μια πολύ καλή ιδέα. Τα Web Directories κατηγοριοποιούν σημασιολογικά ένα μεγάλο αριθμό από σελίδες του παγκόσμιου ιστού και χρησιμοποιούνται ευρέως με στόχο την εύρεση κάποιων εξ αυτών σε ένα συγκεκριμένο πεδίο ενδιαφέροντος. Υπό αυτό το πρίσμα, η αντιστοίχηση μεταξύ δυο διαφορετικών Web Directories κρίνεται σημαντική και πολύ χρήσιμη καθώς με αυτό τον τρόπο μπορεί να ενοποιηθεί η πληροφορία δυο διαφορετικών δομών, να βελτιωθούν οι επερωτήσεις και τα αποτελέσματα της αναζήτησης. Η δημιουργία τέτοιων αντιστοιχήσεων αποτελεί μια μεγάλη πρόκληση λόγω του μεγάλου μεγέθους και της ετερογένειας που παρουσιάζουν αυτές οι δομές. Ο μακροπρόθεσμος στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να δείξει ένα δρόμο προς αυτή την ενοποίηση των Web Directories, αλλά όχι μόνο. Όπως φαίνεται από το θέμα στόχος είναι η αντιστοίχηση ανάμεσα σε ιεραρχικές δομές και κάτω από αυτό το πρίσμα σίγουρα θα θέλαμε να εφαρμόσουμε τη πρόταση αυτή και σε άλλες δομές πέρα από καταλόγους Internet, σε καταλόγους προϊόντων [18] ηλεκτρονικών καταστημάτων ή ακόμα και σε XML αρχεία. Η δομή που ακολουθείται είναι η εξής: Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μια παράθεση διαφόρων ερευνών που έχουν λάβει χώρα στο πεδίο της αντιστοίχησης οντολογιών και σχημάτων. Γίνεται μια κατηγοριοποίηση των μεθόδων αντιστοίχησης όπως αυτή προτείνεται στη βιβλιογραφία και παρουσιάζονται λίγες πληροφορίες για κάποια συστήματα που έχουν υλοποιηθεί και χρησιμοποιούνται στο συγκεκριμένο πεδίο. Οι έννοιες που παραθέτονται στο κεφάλαιο αυτό μας δίνουν μια εικόνα της βιβλιογραφίας που υπάρχει. Συγκεκριμένα για την αντιστοίχιση ιεραρχικών δομών η βιβλιογραφία που υπάρχει 11

12 είναι ελάχιστη και εν γένει εκφράζεται μέσα στο ευρύτερο πλαίσιο της αντιστοίχησης οντολογιών και σχημάτων. Στα συστήματα που εξετάζονται στο κεφάλαιο αυτό κάποια χρησιμοποιούνται για την αντιστοίχηση ενός μεγάλου εύρους οντολογιών στις οποίες ανήκουν και οι ιεραρχικές δομές όπως είναι τα Web Directories οι κατάλογοι προϊόντων και τα XML αρχεία Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται μια ανάλυση της μεθόδου Singular Value Decomposition, σε σχέση με τον τρόπο που ορίζεται, λειτουργεί και χρησιμοποιείται. Στη συνέχεια στο Κεφάλαιο 4 γίνεται αναλυτική περιγραφή του αλγορίθμου που προτείνεται για την αντιστοίχηση ιεραρχικών δομών μέσω του SVD τόσο σε θεωρητικό επίπεδο, όσο και με τη χρήση παραδειγμάτων. Η ανάλυση του αλγορίθμου χωρίζεται στο τμήμα που αναφέρονται τα σχετικά με τα δεδομένα εισόδου, στο τμήμα όπου γίνεται η επεξεργασία αυτών και παράγεται η αντιστοίχηση μεταξύ των δυο δομών και τέλος στο τμήμα όπου γίνεται από τον αλγόριθμο η αποτίμηση των αποτελεσμάτων Τέλος στο Κεφάλαιο 5 κάνουμε ορισμένα πειράματα για να δούμε την απόδοση του αλγορίθμου σε συγκεκριμένες καταστάσεις. Τα πειράματα που λαμβάνουν χώρα στοχεύουν στην μέτρηση της χρονικής απόδοσης του αλγορίθμου, της μνήμης που χρειάζεται αλλά και της ακρίβειας του. 12

13 Κεφάλαιο 2 ο Αντιστοίχιση Οντολογιών και Σχημάτων 2.1 Πεδίο Αντιστοίχησης Οντολογιών Τα τελευταία χρόνια η σημαντική αύξηση των δεδομένων και της γνώσης σε συνδυασμό με την μεγάλη ανάπτυξη του διαδικτύου και των υπηρεσιών του ιστού, επιδείνωσε την ανάγκη για τη σημασιολογική διαλειτουργικότητα μεταξύ ετερογενών πηγών. Το επίπεδο της προσπάθειας που χρειάζεται για να επιτευχθεί αυτή η διαλειτουργικότητα είναι γραμμικό ως προς τον αριθμό των αντιστοιχήσεων που πρέπει να γίνουν, δεδομένου του τεράστιου όγκου των δεδομένων που υπάρχουν στο διαδίκτυο. Βέβαια εκτός από τον όγκο υπάρχει και το τεράστιο μέγεθος των δεδομένων του πραγματικού κόσμου που με τις χιλιάδες έννοιες και ιδιότητες που διαθέτουν, καθιστούν το ζήτημα της χειροκίνητης ταυτοποίησης και της εύρεσης αντιστοιχιών μεταξύ δεδομένων πηγών σχεδόν αδύνατη αποστολή. Δεδομένων των παραπάνω, το ζήτημα της αντιστοίχησης έχει γίνει ένα θεμελιώδες βήμα σε πολλές εφαρμογές όπως ενοποίηση των δεδομένων (data integration) και σημασιολογική επεξεργασία επερωτήσεων (semantic query processing). Στη νέα εποχή του διαδικτύου υπάρχει το όραμα για πληροφορίες οι οποίες θα είναι κατανοητές από πληροφοριακά συστήματα και θα μπορούν να προσπελαύνονται αλλά και να ανταλλάσσονται από σημασιολογικά πληροφορημένες εφαρμογές. Επιπρόσθετα, δεδομένης της αποκεντρωμένης ανάπτυξης του σημασιολογικού διαδικτύου, αναμένεται εκθετική αύξηση στον αριθμό των οντολογιών και των βασισμένων σε οντολογίες εφαρμογών. Η διάδοση των οντολογιών μεταξύ των διαφόρων κοινοτήτων έρευνας δημιούργησε ταυτόχρονα μια αναδυόμενη πληθώρα εργαλείων και μεθοδολογιών για τη διατήρηση, τη διαχείριση, τη συγχώνευση και αντιστοίχηση των οντολογιών. Ανάμεσα σε αυτές τις μεθόδους, οι αλγόριθμοι αντιστοίχησης κατέχουν ένα καίριο ρόλο, διευκολύνοντας τη παγκόσμια επιτυχία του σημασιολογικού διαδικτύου λόγω των επιπτώσεων που έχουν σχεδόν σε κάθε φάση της μηχανικής των οντολογιών και της διαδικασίας διαχείρισης τους: Επιπρόσθετα, η αντιστοίχηση οντολογιών είναι ένα σημαντικό ζήτημα για να επιτραπεί η διαλειτουργικότητα σε web εφαρμογές οι οποίες χρησιμοποιούν διαφορετικές αλλά συσχετιζόμενες οντολογίες: ο συνδυασμός τεχνικών είναι απαραίτητος για να παρέχεται σημασιολογική αντιστοίχιση ανάμεσα σε οντολογίες για αναζήτηση και διαμοιρασμό γνώσεων και δεδομένων. Επιπλέον, μία καθοριστική απαίτηση για την πραγματοποίηση του οράματος του παγκόσμιου σημασιολογικού ιστού είναι η χρήση δοκιμασμένων και αποδεδειγμένων αλγορίθμων αντιστοίχησης, ικανών να αντιμετωπίσουν την ετερογένεια των υπαρχουσών πηγών οντολογιών που είναι διαθέσιμες στο Διαδίκτυο. Η σημασία του ζητήματος της αντιστοίχισης αντανακλάται επίσης από τον μεγάλο αριθμό των αλγορίθμων που έχουν προταθεί, και από την ποικιλία της υιοθέτησης τέτοιων αλγορίθμων σε πολλούς τομείς της επιστήμης των υπολογιστών. 13

14 Ο αριθμός των προσεγγίσεων, που συμμετείχαν στις καμπάνιες αξιολόγησης του OAEI (Ontology Alignment Evaluation Initiative) έχει επίσης αυξηθεί σταθερά. Οι ολοκληρωμένες μελέτες, οι έρευνες και οι ταξινομήσεις επί του ζητήματος, καθώς και ο συνεχώς αυξανόμενος αριθμός των εκδόσεων σε σχέση με την αντιστοίχηση οντολογιών/σχημάτων και την σημασιολογική αντιστοίχιση είναι περαιτέρω απόδειξη της σημασίας του ζητήματος για το σημασιολογικό ιστό. Παρόλα αυτά η βιβλιογραφία που στοχεύει συγκεκριμένα σε ιεραρχικές δομές είναι ελάχιστη. Για το λόγο αυτό στις επόμενες ενότητες θα συνεχίσουμε να αναλύουμε το πρόβλημα της αντιστοίχησης θεωρώντας ότι η έννοια της οντολογίας περικλείει και τις ιεραρχικές δομές όπως τις ορίζουμε στην Εισαγωγή. Άλλωστε τα περισσότερα συστήματα αντιστοίχησης που περιγράφουμε παρακάτω έχουν χρησιμοποιηθεί για αντιστοίχηση XML αρχείων, καταλόγων προϊόντων και διαδικτύου. 2.2 Κατηγοριοποίηση των μεθόδων αντιστοίχησης Η αντιστοίχηση εννοιολογικών δομών, είτε πρόκειται για βάσεις δεδομένων, ΧML σχήματα, εννοιολογικά γραφήματα, ή πιο πρόσφατα σημασιολογικές οντολογίες ιστού, είναι μια τακτική με μακρά παράδοση, η οποία παίζει έναν σημαντικό ρόλο σε πολλούς τομείς της επιστήμης των υπολογιστών, όπως στην ενοποίηση δεδομένων, στις αποθήκες δεδομένων και στη σύνθεση των υπηρεσιών ιστού. Παρακάτω, παρέχεται μία γενική άποψη των υπαρχουσών ταξινομήσεων των προσεγγίσεων αντιστοίχισης Συντακτική και Σημασιολογική Αντιστοίχιση Η πιο γενική κατηγοριοποίηση των προσεγγίσεων αντιστοίχησης είναι η ταξινόμηση η οποία λαμβάνει υπ όψιν τον τρόπο με τον οποίο τα στοιχεία αντιστοίχισης υπολογίζονται και τον τύπο της σχέσης ομοιότητας που χρησιμοποιείται. Σε αυτό το ευρύτερο πλαίσιο διακρίνουμε τις παρακάτω αντιστοιχήσεις: συντακτική αντιστοίχηση της οποίας το κύριο στοιχείο διαχωρισμού είναι οι ετικέτες των κόμβων και η χρήση μέτρων συντακτικής ομοιότητας για την εύρεση ομοιοτήτων. Με αυτόν τον τρόπο αντιστοίχισης, τα σημασιολογικά στοιχεία δεν αναλύονται απευθείας, αλλά ελέγχονται μόνο στη βάση των συντακτικών χαρακτηριστικών[1]. σημασιολογική αντιστοίχιση της οποίας κύριο χαρακτηριστικό είναι η αντιστοίχηση εννοιών. Οι αντιστοιχήσεις γίνονται στη βάση των οντολογιών (π.χ. κόμβοι γραφημάτων) με τον ορισμό σημασιολογικών σχέσεων, όπως ισότητα (=), σχέσεων γενίκευσης (, ), αναντιστοιχίας ( ) και επικαλύψεως ( ), αντί για βαθμολόγηση της ποιότητας αντιστοίχισης στο πεδίο [0,1] [2]. 14

15 Εικόνα 1 Συντακτική και σημασιολογική αντιστοίχηση [2] Κατηγοριοποίηση κατά Bernstein και Rahm Η πιο γνωστή κατηγοριοποίηση είναι αυτή των Bernstein και Rahm. Μια υλοποίηση του συσχετισμού μπορεί να χρησιμοποιεί πολλούς αλγορίθμους συσχετισμού ή συσχετιστές (matchers). Αυτό μας δίνει την ικανότητα να επιλέξουμε τους συσχετιστές ανάλογα με το πεδίο εφαρμογής και τους τύπους των σχημάτων. Δεδομένου ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε πολλούς συσχετιστές διακρίνουμε δύο υπό-προβλήματα. Πρώτον, υπάρχει η πραγματοποίηση ανεξάρτητων συσχετιστών (individual matchers), καθένας από τους οποίους υπολογίζει μια συσχέτιση βασιζόμενος σε ένα μόνο κριτήριο συσχέτισης. Δεύτερον, υπάρχει ο συνδυασμός από ανεξάρτητους συσχετιστές (combining matchers), είτε χρησιμοποιώντας πολλαπλά κριτήρια συσχέτισης (π.χ. ισότητα ονόματος και τύπου) μέσα σε έναν υβριδικό συσχετιστή είτε συνδυάζοντας πολλαπλά αποτελέσματα συσχετισμού που παράχθηκαν από διαφορετικούς αλγορίθμους συσχέτισης [3]. Εικόνα 2 Κατηγοριοποίηση των προσεγγίσεων αντιστοίχησης κατά Bernstein και Rahm [4] 15

16 Οι ανεξάρτητοι συσχετιστές εφαρμόζουν μόνο μία απλή μέθοδο αντιστοίχισης αντικειμένων, μπορούν να λειτουργήσουν σε στιγμιότυπα δεδομένων (instance/contents-based matchers), να υπολογίσουν δομικές πληροφορίες, τύπους σχέσεων, τύπους δεδομένων και δομές σχημάτων (schema-only based matchers). Και οι δύο αλγόριθμοι μπορούν να εφαρμοστούν σε ανεξάρτητα δεδομένα σχημάτων όπως γνωρίσματα και έννοιες (element-level matchers). Επιπλέον, οι προσεγγίσεις βασισμένες σε σχήματα μπορούν να ασχοληθούν με συνδυασμούς στοιχείων όπως σύνθετες σχηματικές δομές, άρα οι συσχετίσεις μπορούν να υπολογιστούν αναλύοντας υπόγραφήματα (structure-level matcher). Όπως προαναφέρθηκε ο συνδυασμός συσχετιστών χρησιμοποιείται για να ξεπεράσει τους περιορισμούς των ανεξάρτητων συσχετιστών. Οι συνδυασμός αυτός χωρίζεται σε δύο κατηγορίες σε σύνθετους και υβριδικούς. Οι σύνθετοι συσχετιστές (GLUE, COMA) συνδυάζουν τα διαφορετικά αποτελέσματα των ανεξάρτητων συσχετιστών των οποίων η σειρά εκτέλεσης προσδιορίζεται χειροκίνητα ή ημιαυτόματα, έτσι ώστε η ευελιξία της προσέγγισης να αυξηθεί. Σε αντίθεση, ένας υβριδικός συσχετιστής δεν επιτρέπει κάποια χειροκίνητη επέμβαση και ακολουθεί ένα παράδειγμα μαύρου κουτιού, στο οποίο διάφοροι ανεξάρτητοι συσχετιστές ενώνουν τη λειτουργία τους με σκοπό να δημιουργήσουν ένα νέο αλγόριθμο με ένα σταθερό συνδυασμό πολλαπλών κριτηρίων αντιστοίχισης. Αυτός ο τύπος των συσχετιστών είναι δύσκολο να επεκταθεί και να ενισχυθεί Κατηγοριοποίηση κατά Shvaiko Η κατηγοριοποίηση των συσχετιστών κατά Shvaiko βασίζεται στις δυο προηγούμενες κατηγοριοποιήσεις. Είναι σημαντικό να προσθέσουμε ότι αυτή η ταξινόμηση επικεντρώνεται στις προσεγγίσεις συσχετισμού σχημάτων, οι οποίες λαμβάνουν υπ όψιν μόνο τις πληροφορίες των οντολογιών, και όχι τα στιγμιότυπα των δεδομένων. Αν αναλογιστούμε προσεγγίσεις σημασιολογικών αντιστοιχίσεων, θα ήταν καλύτερο να χειριστούμε τα σημασιολογικά στοιχεία που βρίσκονται στις οντολογίες σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομερειών. Εφόσον υπάρχει ανάγκη να διαχωρίσουμε τις τεχνικές αντιστοίχισης οντολογιών, μπορούμε να διαφοροποιηθούμε ανάμεσα σε ευριστικές (heuristic) και τυπικές (formal) τεχνικές [1]. 16

17 Εικόνα 3 Κατηγοριοποίηση των προσεγγίσεων αντιστοίχησης σχημάτων [1] Οι ευριστικές τεχνικές μπορούν να εντοπίσουν τις υποβόσκουσες σχέσεις ανάμεσα σε παρόμοιες ετικέτες ή σε δομές γραφημάτων. Σε αντίθεση, οι τυπικές τεχνικές έχουν θεωρητικά σημασιολογικά μοντέλα το οποία χρησιμοποιούν για να δικαιολογήσουν τα συμπεράσματά τους. Επιπλέον, μπορούμε να διαφοροποιηθούμε ανάμεσα σε implicit τεχνικές που είναι βασισμένες στο συντακτικό (π.χ. τεχνικές που θεωρούν τις ετικέτες ως αλφαριθμητικά ή αναλύουν τύπους δεδομένων) και explicit τεχνικές που εκμεταλλεύονται τις σημασιολογικές έννοιες των ετικετών και βασίζονται σε εργαλεία που ρητά κωδικοποιούν σημασιολογικές πληροφορίες [1] Ταξινόμηση τριών επιπέδων Και οι τρεις ταξινομήσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως βασίζονται σε τρία διαφορετικά υπόβαθρα και χρησιμεύουν ως θεμέλιο για την επόμενη ταξινόμηση των στοιχειωδών προσεγγίσεων αντιστοίχισης. Αυτή η ταξινόμηση περιλαμβάνει τρία κύρια επίπεδα: Το επίπεδο διερμηνείας της εισόδου (Input Interpretation layer) βασίζεται κυρίως στην ταξινόμηση Bernstein & Rahm, περιλαμβάνοντας συσχετιστές επιπέδου στοιχείου και δομής καθώς και ταξινόμηση που βασίζεται σε δομικούς ή σημασιολογικούς συσχετιστές. Σε αυτή την περίπτωση, οι τεχνικές, που εκμεταλλεύονται τις εξωτερικές πηγές ενός τομέα και κοινή γνώση με σκοπό να εξηγήσουν τα δεδομένα που εισήχθησαν, έχουν κατηγοριοποιηθεί με τον ξεχωριστό όρο external Το επίπεδο βασικών τεχνικών (Basic Techniques) ξεχωρίζει ανάμεσα στις τεχνικές στοιχειωδών αντιστοιχίσεων και παρακινείται από τον τρόπο που μία συγκεκριμένη μέθοδο ερμηνεύει τις πληροφορίες που εισάγονται (π.χ. μία ετικέτα μπορεί να ερμηνευτεί ως μια συμβολοσειρά ή λέξη, ενώ μία ιεραρχία μπορεί να ερμηνευτεί ως γράφημα ή ταξινομία.) 17

18 Το επίπεδο που ξεχωρίζει τους τύπους των εισόδων (Kind of Input layer) που μπορεί να εξυπηρετηθούν από κάποιον αλγόριθμο. Σε αυτό το πλαίσιο, ξεχωρίζουμε ανάμεσα σε μεθόδους ορολογίας (terminological) που μπορούν να είναι αλφαριθμητικά, δομικές προσεγγίσεις που θεωρούν είτε εσωτερικές δομές (internal) ή σχέσεις οντοτήτων με οντότητες (relational), και αλγόριθμους που μπορούν να δουλέψουν σε μοντέλα (semantic) ή στιγμιότυπα δεδομένων (extensional). Εικόνα 4 Κατηγοριοποίηση τριών επιπέδων [5] Όλες οι ταξινομήσεις που έχουν αναφερθεί προσφέρουν μία κοινή εννοιολογική βάση για τις τεχνικές αντιστοίχισης και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την γενική περιγραφή των συστημάτων αντιστοίχισης. Μπορούν επίσης να βοηθήσουν να αναπτυχθούν νέες τεχνικές αντιστοίχισης, οι οποίες θα λαμβάνουν υπ όψιν τις υπάρχουσες λύσεις. Παρ όλα αυτά, για να μπορούμε να συγκρίνουμε αναλυτικά τους αλγορίθμους αντιστοιχίσεων χρειάζονται περισσότερα και πιο συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Οι υπάρχουσες ταξινομήσεις μπορούν να προσφερθούν ως μία από τις πηγές βασικών πληροφοριών για την ανάπτυξη των λεπτομερών χαρακτηριστικών. 2.3 Κριτήρια αξιολόγησης [5] Το εξέχων κριτήριο για την αξιολόγηση της ποιότητας των τεχνικών αντιστοίχισης είναι η ακρίβεια (precision) και η ανάκληση (recall), οι οποίες αν και έχουν τις ρίζες τους στην 18

19 ανάκτηση πληροφοριών, έχουν υιοθετηθεί και για τα ζητήματα της αντιστοίχισης οντολογιών. Η ακρίβεια και η ανάκληση βασίζονται στην σύγκριση της προκύπτουσας ευθυγράμμισης Α και μιας ευθυγράμμισης R που αποτελεί αναφορά για να δούμε ποιες αντιστοιχήσεις βρέθηκαν και ποιες όχι. Η ακρίβεια μετράει την αναλογία των ορθώς ευρισκόμενων αντιστοιχιών σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των επιστρεφόμενων αντιστοιχιών. Προορίζεται για να μετρήσει τον βαθμό της ορθότητας της προσέγγισης. Pr(A, R) = R A A Η ανάκληση μετράει την αναλογία των ορθώς ευρισκόμενων αντιστοιχήσεων σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των αναμενομένων αντιστοιχιών. Προορίζεται να μετρήσει το βαθμό της πληρότητας της ευθυγράμμισης: Re(A, R) = R A R 2.4 Περιγραφή μερικών συστημάτων αντιστοίχησης [17] Στη συνέχεια, δίνεται μια σύντομη παρουσίαση μερικών υπαρχουσών προσεγγίσεων αντιστοίχισης, κυρίως των περισσότερο συνηθισμένων εξ αυτών. To COMA [9] αποτελεί μια από τις πρώτες ολοκληρωμένες προσπάθειες δημιουργίας ενός εργαλείου που επιτρέπει στο χρήστη να συνδυάζει διαφορετικούς συσχετιστές. Εξέλιξη του εργαλείου αυτού αποτελεί το COMA++ [10] το οποίο δόθηκε στην διάθεση των ερευνητών τον Οκτώβριο του Το εργαλείο αυτό παρέχει μια μεγάλη βιβλιοθήκη από διαφορετικούς συσχετιστές και υποστηρίζει διάφορους τρόπους συνδυασμού των αποτελεσμάτων από διαφορετικούς συσχετιστές. Οι συσχετιστές υποστηρίζουν εύρεση συσχετισμών βασισμένοι και σε επίπεδο δομής αλλά και σε επίπεδο στοιχείου. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι συσχετίσεις οι οποίες 19

20 προκύπτουν από τους συσχετιστές επαναχρησιμοποίησης αποτελεσμάτων. Τα σχήματα μετατρέπονται σε κατευθυνόμενο άκυκλο γράφο και αποθηκεύονται σε κατάλληλη βάση για να τα χρησιμοποιήσουν οι συσχετιστές που θα επιλέξει ο χρήστης μέσω της διεπαφής. Κάθε στοιχείο ενός σχήματος αναγνωρίζεται από το μονοπάτι που χρειάζεται να ακολουθηθεί από τον αρχικό κόμβο (root) μέχρι το κόμβο που βρίσκεται αυτό στον γράφο. Οι συσχετιστές του εργαλείου μπορούν να πάρουν ως είσοδο σχεσιακές βάσεις, oντολογίες (rdf, owl) καθώς και XML σχήματα (XSD, XDR). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι συσχετιστές τμημάτων (fragment) καθώς και οι συσχετιστές επαναχρησιμοποίησης αποτελεσμάτων. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από το εργαλείο είναι ιδιαιτέρως καλά λόγω της χρήσης κατάλληλων λεξικών συνωνύμων και συντμήσεων. Το Cupid [11] είναι μια προσέγγιση βασισμένη στα σχήματα και στα μεταδεδομένα αυτών και όχι μια προσέγγιση βασισμένη στα δεδομένα. Επίσης, επιστρέφει συσχετίσεις 1:1 και 1:n και το δυνατό σημείο του είναι ο δομικός αλγόριθμος που χρησιμοποιεί. Τέλος μπορεί να συσχετίσει Σχεσιακές βάσεις δεδομένων και XML σχήματα. Αλλά μέχρι στιγμής έχει δοκιμαστεί μόνο σε ομοειδή σχήματα (π.χ. XML με XML). Το GLUE [23] είναι ένα σύστημα που απασχολεί τεχνικές εκμάθησης για να δημιουργεί ημιαυτόματα σημασιολογικές αντιστοιχήσεις ανάμεσα σε οντολογίες και συνδέεται στενά με το σύστημα LSD που χρησιμοποιείται στην ενοποίηση σχημάτων, π.χ. για την εύρεση αντιστοιχήσεων ανάμεσα σε διάφορα τοπικά σχήματα βασισμένα στα ίδια ενδιάμεσα σχήματα. Το SF [8] μετατρέπει σχήματα περιγραφής δεδομένων (Σχεσιακές βάσεις, RDF οντολογίες και XML σχήματα) σε κατευθυνόμενους γράφους και χρησιμοποιεί σταθερά σημεία υπολογισμού για να ανιχνεύσει τις συσχετίσεις μεταξύ των κόμβων των γράφων. Τα αποτελέσματα από έναν απλό συσχετιστή ονόματος επιπέδου στοιχείου, τροφοδοτούνται σε ένα δομικό συσχετιστή, στηριζόμενος στα σταθερά σημεία υπολογισμού ομοιότητας. Το σύστημα αυτό δε χρησιμοποιεί κανένα εξωτερικό λεξικό, παρέχει ωστόσο διάφορα φίλτρα για την επιλογή των καλύτερων συσχετίσεων από το αποτέλεσμα που προέκυψε από τη χρήση του δομικού συσχετιστή. Μετά το τέλος του δομικού αλγορίθμου ο χρήστης πρέπει να επιλέξει ποιες συσχετίσεις από το αποτέλεσμα θέλει να κρατήσει με την βοήθεια των φίλτρων που του προσφέρει το σύστημα. To S-Match είναι ένα σύστημα αντιστοίχησης σχημάτων και οντολογιών το οποίο εφαρμόζει μία προσέγγιση σημασιολογικής αντιστοίχισης. Είναι επιπλέον ένα υβριδικό σύστημα το οποίο πραγματοποιεί σύνθεση τεχνικών επιπέδου στοιχείου. Σαν έξοδο, δίνει μία σημασιολογική σχέση (ισοδυναμία, γενίκευση, αναντιστοιχία, ή επικάλυψη) ανάμεσα 20

21 σε κόμβους των γραφημάτων εισόδου που αντιστοιχούν σημασιολογικά το ένα στο άλλο. Οι βιβλιοθήκες S-Match περιλαμβάνουν 13 συσχετιστές επιπέδου στοιχείου και 3 συσχετιστές επιπέδου δομής[6]. Το εργαλείο Clio [22] κατασκευάστηκε από την εταιρεία IBM Research Almaden και αποσκοπεί σε μια ημιαυτόματη (υποβοηθούμενη από το χρήστη) δημιουργία συσχετίσεων μεταξύ ενός σχήματος στόχου και ενός νέου σχήματος πηγής δεδομένων. Αποτελείται από ένα σύνολο Αναγνωστών Σχημάτων (Schema Readers), που διαβάζουν ένα σχήμα και το μεταφράζουν σε μια εσωτερική αναπαράσταση, μια Μηχανή Ανταπόκρισης (Correspondence Engine CE), που χρησιμοποιείται για να ανιχνευθούν συσχετιζόμενα τμήματα των σχημάτων ή των βάσεων δεδομένων, και μια Γεννήτρια Συσχετίσεων (Mapping Generator), που παράγει περιγραφές όψεων για να συσχετιστούν τα δεδομένα του σχήματος πηγής στα δεδομένα του σχήματος στόχου. Η μηχανή ανταπόκρισης χρησιμοποιεί n:m συσχετισμούς επιπέδου στοιχείου που έχουν αποκτηθεί λόγω γνώσης ή τους έχει δώσει ο χρήστης μέσω μιας γραφικής διεπαφής χρήσης. Η Miller και οι συνεργάτες της παρουσίασαν έναν αλγόριθμο για την εξαγωγή μιας συσχέτισης μεταξύ του στόχου και της πηγής, δοσμένου ενός συνόλου από συσχετισμούς στοιχείων, υποδομών και εκφράσεων[21]. 21

22 Κεφάλαιο 3 ο Μέθοδος Διάσπασης Ιδιόμορφων Τιμών 3.1 Διάσπαση Ιδιόμορφων Τιμών (Singular Value Decomposition-SVD) Η Διάσπαση Ιδιόμορφων Τιμών (Singular Value Decomposition-SVD) είναι μια πολύ σημαντική μέθοδος γραμμικής άλγεβρας και χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογισμούς και αναλύσεις πινάκων. Χρησιμοποιώντας το SVD ενός πίνακα στους υπολογισμούς, αντί για τον αρχικό πίνακα, κερδίζουμε το πλεονέκτημα ότι ο νέος πίνακας είναι πιο συμπαγής και ανθεκτικός στο αριθμητικό λάθος. Επιπρόσθετά, το SVD εκθέτει τη γεωμετρική δομή ενός πίνακα, ένα σημαντικό ζήτημα για πολλούς υπολογισμούς πινάκων. Ένας πίνακας μπορεί να περιγραφεί σαν μια μετατροπή από τον ένα διανυσματικό χώρο στον άλλον. Οι συνιστώσες του SVD ποσοτικοποιούν τις αλλαγές που απορρέουν μεταξύ της υποκείμενης γεωμετρίας των εν λόγω διανυσματικών χώρων. Η μέθοδος SVD χρησιμοποιείται σε μια ποικιλία εφαρμογών, από το πρόβλημα των ελαχίστων τετραγώνων μέχρι και την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Κάθε μια από αυτές τις εφαρμογές εκμεταλλεύονται ιδιότητες-κλειδιά της μεθόδου SVD, όπως της σχέσης της με τη τάξη του πίνακα. Πολλές θεμελιώδεις εφαρμογές της γραμμικής άλγεβρας βασίζονται στον υπολογισμό της τάξης ενός πίνακα, πράγμα που καθιστά τη μέθοδο SVD μια σημαντική και ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνική[13] Ορισμός του SVD Έστω ένας m n πίνακας Α του οποίου το περιεχόμενο ανήκει είτε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, είτε στο σύνολο των μιγαδικών. Τότε ο A μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδυασμός τριών άλλων πινάκων, ενός m m ορθογώνιου πίνακα U (U U = I), ενός m n διαγώνιου πίνακα S και του ανάστροφου του n n ορθογώνιου πίνακα V (V V = I). H μέθοδος παρουσιάζεται ως εξής: A = U S V (1) με τις στήλες του U να είναι τα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του ΑΑ, τις στήλες του V να είναι τα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα του Α A και ο πίνακας S να είναι ο διαγώνιος πίνακας που περιέχει τις τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών από το U ή το V σε φθίνουσα σειρά [12][13][15]. 22

23 Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί και στη μορφή Εικόνα 5. Εκτέλεση του SVD σε ένα m n πίνακα A. Α = s u v + s u v + + s u v Όπου u και v είναι τα διανύσματα στις στήλες των πινάκων U και V. Επίσης με s συμβολίζονται τα στοιχεία της διαγωνίου του πίνακα S. Όπως προαναφέρθηκε, χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα s βρίσκονται σε φθίνουσα σειρά. Η χρονική πολυπλοκότητα του SVD στη περίπτωση που αυτό εφαρμόζεται σε έναν πίνακα m n όπως παραπάνω θα είναι O(nm ) στη περίπτωση όπου n m Ανάλυση του SVD Γενικά τη μέθοδος SVD μπορούμε να την αναλύσουμε από τρεις διαφορετικές οπτικές γωνίες. Από τη μια πλευρά μπορούμε να τη δούμε σαν μια μέθοδο μετατροπής ενός συνόλου συσχετισμένων μεταβλητών, σε ένα σύνολο ασυσχέτιστων οι οποίες όμως εκθέτουν καλύτερα τις ποικίλες σχέσεις ανάμεσα στα αρχικά δεδομένα. Την ίδια ώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο SVD για ταυτοποίηση και διάταξη των διαστάσεων, έτσι ώστε τα σημεία των δεδομένων στο χώρο να επιδεικνύουν τη μεγαλύτερη δυνατή απόκλιση. Αυτό μας οδηγεί στη τρίτη οπτική γωνία, κατά την οποία εφόσον έχουμε βρει σε ποια σημεία του χώρου προκύπτει η μεγαλύτερη απόκλιση των δεδομένων, μπορούμε να βρούμε και την καλύτερη δυνατή προσέγγιση γι αυτά μειώνοντας τις διαστάσεις τους. 23

24 Εικόνα 6 Αναπαράσταση των αξόνων x και y που υπαγορεύονται από το SVD στο δισδιάστατο χώρο [14][20] Μια αναπαράσταση των προαναφερθέντων βρίσκεται στην Εικόνα 7. Ο άξονας x αποτελεί τη βέλτιστη προσέγγιση των σημείων του δισδιάστατου χώρου όπως φαίνονται στην Εικόνα 7, με την έννοια ότι βρίσκεται στην ελάχιστη δυνατή απόσταση από το σύνολο των σημείων του δισδιάστατου χώρου. Αν ορίσουμε έναν άξονα y κάθετο στον x και θεωρήσουμε τη τομή τους σαν μια προσέγγιση των αρχικών δεδομένων, θα έχουμε μια μειωμένη αναπαράσταση αυτών, που καταγράφει το μέγιστο δυνατό της αρχικής μεταβολής. Επίσης είναι δυνατόν, να χρησιμοποιηθούν οι άξονες αυτοί για τη δημιουργία συνόλων ασυσχέτιστων σημείων από τα αρχικά. Τα σύνολα αυτά είναι ικανά να εμφανίζουν διάφορες ομαδοποιήσεις των αρχικών, που δεν είναι προφανείς με τη πρώτη ματιά Παράδειγμα Για τη καλύτερη κατανόηση του SVD θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω παράδειγμα. Έστω ο πίνακας Α Α = Για να υπολογίσουμε το U, πρέπει να ξεκινήσουμε από τον υπολογισμό του γινομένου του Α με τον ανάστροφο του. έτσι έχουμε 3 1 Α = ΑΑ = =

25 Στη συνέχεια βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του ΑΑ. Γνωρίζουμε ότι τα ιδιοδιανύσματα ορίζονται από την εξίσωση Α v = λv και εφαρμόζοντας την στο γινόμενο ΑΑ έχουμε τα εξής: x x = λ x x Αν το ξαναγράψουμε σαν σύνολο εξισώσεων έχουμε: 11x + x = λx (11 λ)x + x = 0 x + 11x = λx x + (11 λ)x = 0 Λύνουμε ως προς λ, θέτοντας την ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών σε μηδέν (11 λ) 1 1 (11 λ) = 0 και παίρνουμε τις δυο ιδιοτιμές λ=10 και λ=12. Τοποθετώντας το λ πάλι στις αρχικές εξισώσεις προκύπτουν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Ειδικότερα για λ=10 ισχύει η εξίσωση x = x η οποία αληθεύει για ένα μεγάλο σύνολο τιμών. Θα διαλέξουμε τις τιμές x = 1 και x = 1 καθώς είναι μικρές και εύκολες να δουλέψεις μαζί τους. Έτσι για λ=10, έχουμε το ιδιοδιάνυσμα [1,-1]. Κατά τον ίδιο τρόπο για λ=12 παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα [1,1]. Αυτά τα ιδιοδιανύσματα αποτελούν τις στήλες του πίνακα και είναι σε φθίνουσα διάταξη ανάλογα με την τιμή της αντίστοιχης ιδοτιμής. Με άλλα λόγια το ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ=12, αποτελεί τη πρώτη στήλη του πίνακα, ενώ το ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ=10 τη δεύτερη στήλη. Δηλαδή προκύπτει ο πίνακας: Εφαρμόζοντας την ορθοκανονικοποίηση κατά Gram-Schmidt στον παραπάνω πίνακα μπορούμε να παράγουμε τον πίνακα U. Ξεκινάμε κανονικοποίοντας το διάνυσμα v. Στη συνέχεια υπολογίζουμε ότι u = v v = [1,1] 2 w = v u. v u w = [1, 1] 1 2, 1 1. [1, 1] 2 2,

26 Κανονικοποιόντας λοιπόν έχουμε w = [1, 1] u = w w = 1 2, 1 2 Άρα ο πίνακας U είναι ίσος με 1 U = Κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε τον πίνακα V o οποίος βασίζεται στο γινόμενο πινάκων Α A. Έτσι έχουμε Βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα του Α Α ως εξής: 3 1 Α Α = = x x x = λ x x x που αναπαριστά το παρακάτω σύστημα εξισώσεων 10x + 2x = λx 10x + 4x = λx και το οποίο γράφεται ως εξής: 2x + 4x + 2x = λx (10 λ)x + 2x = 0 (10 λ)x + 4x = 0 2x + 4x + (2 λ)x = 0 Λύνοντας την ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών (10 λ) (10 λ) 4 = (2 λ) 26

27 βρίσκουμε ότι οι ιδιοτιμές του Α Α είναι οι εξής λ=0, λ=10, λ=12. Αντικαθιστώντας το λ στις αρχικές εξισώσεις βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για λ=12 έχουμε v = [1,2,1], για λ=10 έχουμε v = [2, 1,0] και για λ=0 v = [1,2, 5]. Διατάσσοντας τα v, v, v σε έναν πίνακα σύμφωνα με την τιμή της αντίστοιχης ιδιοτιμής προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Εφαρμόζοντας τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης κατά Gram-Schmidt κατά τον ίδιο τρόπο όπως και στο πίνακα U μετατρέπουμε το παραπάνω πίνακα σε ορθοκανονικό. u = v v = [ 1 6, 2 6, 1 6 ] w = v u. v u = [2, 1,0] u = w w = 2 5, 1 5, 0 w = v u. v u u. v u = [ 2 3, 4 10, 10 3 ] u = w w = [ 1 30, 2 30, 5 30 ] Από όλα τα παραπάνω έχουμε ότι ο πίνακας V είναι ίσος με V = και ο ανάστροφος του είναι ίσος με 1 6 V 2 =

28 Τέλος για τον πίνακα S παίρνουμε τις τετραγωνικές ρίζες των μη μηδενικών ιδιοτιμών και τις τοποθετούμε στη διαγώνιο έτσι ώστε να ισχύει s s s 0 [15] όπου s, η μεγαλύτερη ιδιοτιμή, s, η αμέσως επόμενη και ούτω καθεξής μέχρι τη μικρότερη ιδιοτιμή s. Οι μη μηδενικές ιδιοτιμές είναι πάντα ίδιες και για τους πίνακες U και V οπότε δεν παίζει ρόλο από που θα τις επιλέξουμε. Στη προκειμένη περίπτωση είναι απαραίτητο να προσθέσουμε ένα μηδενικό διάνυσμα για να είναι στις κατάλληλες διαστάσεις, έτσι ώστε να είναι εφικτός ο πολλαπλασιασμός με τους πίνακες U και V. Άρα έχουμε ότι S = Τελικά καταλήξαμε να μπορούμε να γράψουμε το A σαν γραμμικό συνδυασμό των U, S, V. Δηλαδή 1 A = U S V = =

29 Κεφάλαιο 4 ο Αλγόριθμος αντιστοίχησης μέσω SVD 4.1 Ορισμός του προβλήματος Στο 4 ο κεφάλαιο θα αναλυθεί αναλυτικά η μέθοδος η οποία προτείνεται στα πλαίσια της εν λόγω εργασίας. Για να γίνει αυτό, θα ήταν σωστό να ορίσουμε αρχικά το πρόβλημα το οποίο προσπαθούμε να επιλύσουμε. Όπως περιγράφηκε και στο Κεφάλαιο 2, το πρόβλημα της αντιστοίχησης κρίνεται πολύ σημαντικό για τα επόμενα βήματα προς τη κατεύθυνση του σημασιολογικού ιστού και της ενοποιημένης πληροφορίας. Ειδικά για τη συγκεκριμένη εργασία, ο πρωταρχικός στόχος είναι η προσπάθεια αντιστοίχησης ιεραρχικών δομών μέσα από μεθόδους όπως αυτή του SVD. Ως ιεραρχική δομή ορίζουμε κάθε τι μπορεί να παρασταθεί σε μια δενδροειδή δομή. Αυτές οι δομές μπορούν να είναι κατάλογοι του Internet (Web Directories) όπως το Open Directory Project ή το Yahoo Directory μέχρι και απλά XML αρχεία. Στο πλαίσιο της εργασίας δεν επικεντρωνόμαστε σε κάποια συγκεκριμένη ιεραρχική δομή από τις παραπάνω. Αντίθετα επικεντρωνόμαστε στον αλγόριθμό που προτείνουμε και στα αποτελέσματα αυτού, αφού κωδικοποιήσουμε τα δεδομένα και τα φέρουμε στη δομή που εμείς χρειαζόμαστε. Ειδικεύοντας τα παραπάνω, στόχος είναι, χρησιμοποιώντας σαν δεδομένα δυο ιεραρχικές δενδροειδής δομές και μια αντιστοίχηση μεταξύ των κόμβων των δυο δομών (training set), να είμαστε σε θέση να κάνουμε επερωτήσεις στη μια δομή και να παίρνουμε σαν απάντηση τη πιο πιθανή αντιστοίχηση στην άλλη. Το σύνολο των αντιστοιχήσεων που δίνεται στο training set δεν είναι προκαθορισμένο. Βέβαια είναι προφανές ότι όσο πιο επαρκές είναι το σύνολο αυτό, τόσο πιο κοντά στη πραγματικότητα θα είναι τα αποτελέσματα που θα λάβουμε. Με τον αλγόριθμο που προτείνουμε βασική επιδίωξη μας είναι να καταφέρουμε να αντιστοιχίσουμε δυο διαφορετικά κατηγοριοποιημένες δομές. Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο στο οποίο βρίσκεται ένα δεδομένο στη μια δομή, θα πρέπει ο αλγόριθμος να μπορέσει να εκτιμήσει μια πιθανή αντιστοίχηση με ένα άλλο δεδομένο στη δεύτερη δομή. Βασική προϋπόθεση είναι οι δομές που θα δοθούν σαν είσοδο να γνωρίζουμε καταρχήν ότι ταυτίζονται εννοιολογικά, αλλά και την ακριβή ιεραρχία τους. Η ανάλυση του αλγορίθμου θα γίνει ως εξής: σε πρώτη φάση θα ασχοληθούμε με τα δεδομένα εισόδου και πως αυτά θα μπορέσουμε να τα κωδικοποιήσουμε έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τη μέθοδο με σκοπό την εξαγωγή αποτελεσμάτων. σε πρώτη φάση θα κάνουμε μια γενική περιγραφή των βημάτων του αλγορίθμου, έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι σε θέση να κατανοήσει τη διαδικασία που ακολουθεί ο αλγόριθμος, τα βήματα της οποίας θα περιγραφούν αναλυτικά παρακάτω.. Τέλος θα περιγραφεί ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η αξιολόγηση των καλύτερων πιθανών αντιστοιχήσεων. 29

30 4.2 Κωδικοποίηση Δεδομένων Λόγω της δυσκολίας να αναπτύξουμε ένα κοινό σύνολο δεδομένων ανάμεσα σε δυο καταλόγους internet, ασχοληθήκαμε με την λειτουργία του αλγορίθμου πάνω σε συνθετικά δεδομένα. Τα δεδομένα αυτά έχουν δενδροειδή ιεραρχική δομή όπως ακριβώς τα web directories. Για να τα περιγράψουμε χρησιμοποιήσαμε αρχεία κειμένου όπου κάθε κόμβος των δένδρων αυτών έχει ένα αύξων αριθμό (id) και ένα πατέρα, δηλαδή ένα προηγούμενο κόμβο του οποίου είναι παιδί Αρχεία εισόδου ιεραρχικής δομής Ενδεικτικά ας σκεφτούμε ένα δυαδικό δένδρο με εφτά (7) κόμβους όπως φαίνεται στην Εικόνα 8 παρακάτω. Η δομή που θα έχει το αρχείο κείμενου για να αναπαραστήσει το εν λόγω δένδρο φαίνεται ακριβώς δίπλα. Παρατηρούμε ότι η ρίζα με id μηδέν εφόσον δεν έχει κάποιο κόμβο πατέρα αντί για το id αυτού έχει μια παύλα (-). Όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι περιγράφονται από το id που έχουν και από το id του κόμβου πατέρα. Η αρίθμηση των κόμβων του δένδρου γίνεται διασχίζοντας κατά πλάτος το δένδρο χωρίς αυτό να είναι κάτι δεσμευτικό για τη λειτουργία του αλγορίθμου. Εικόνα 7. Δυαδικό δένδρο 7 κόμβων και η αναπαράσταση του σε αρχείο κειμένου. Μετά την είσοδο των δένδρων χρησιμοποιούμε τη δομή δεδομένων συνδεδεμένη λίστα, με σκοπό να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη πληροφορία που πήραμε στα επόμενα βήματα του αλγορίθμου Αρχείο αντιστοίχησης Εκτός από τα δυο δένδρα στα οποία θα γίνει η αντιστοίχιση, ο αλγόριθμος θα λάβει σαν είσοδο και το αρχείο αντιστοίχησης. Στο αρχείο αυτό γίνεται ουσιαστικά η εκμάθηση του αλγορίθμου, καθώς id κόμβων του ενός δένδρου συνδέονται με id κόμβων του δεύτερου. Από το αρχείο αυτό ο αλγόριθμος θα λάβει σημαντική πληροφορία με σκοπό τη τελική αντιστοίχηση των δυο 30

31 δένδρων για να μπορέσει να απαντήσει στις επερωτήσεις που θα του γίνουν. Ένα τυχαίο αρχείο αντιστοίχησης φαίνεται παρακάτω. Εικόνα 8. Αναπαράσταση ενός αρχείου αντιστοίχησης. Σύμφωνα με την αντιστοίχηση οι κόμβοι του ενός δένδρου 3,4,5,6 αντιστοιχίζονται με τους κόμβους 5,6,3,4 αντίστοιχα. Για χάριν ευκολίας σαν είσοδο έχουμε δώσει την ίδια δενδροειδή δομή αντιστοιχίζοντας όμως τυχαία τους κόμβους. Όπως φαίνεται η αντιστοίχηση είναι στο επίπεδο των φύλλων του δένδρου. Θα μπορούσε να γίνει και σε ανώτερο επίπεδο χωρίς κάποια διαφοροποίηση Κατασκευή Δυαδικού πίνακα (bitmap) Το επόμενο βήμα του προγράμματος είναι η μετατροπή των δεδομένων του αρχείου αντιστοίχησης σε μια δομή την οποία θα μπορέσει να χρησιμοποιήσει η μέθοδος SVD με σκοπό την εξαγωγή αποτελεσμάτων. Η δομή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ένας δυαδικός πίνακας, η κατασκευή του οποίου θα εξηγηθεί παρακάτω. Ας υποθέσουμε το αρχείο αντιστοίχησης της Εικόνας 9. Παρατηρούμε ότι ο κόμβος 3 αντιστοιχίζεται με το κόμβο 5. Θα χρησιμοποιήσουμε μια ακολουθία από bits να περιγράψουμε αυτή τη συσχέτιση. Αυτό θα γίνει με τη χρήση των μονοπατιών του κάθε δένδρου για να φτάσουμε μέχρι το εν λόγω κόμβο. Για να φτάσουμε στο κόμβο 3 το μονοπάτι του δένδρου που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το εξής: Αν θέλουμε λοιπόν να αναπαραστήσουμε το συγκεκριμένο μονοπάτι με bits οι κόμβοι 0,1,3 θα έχουν τιμή 1 ενώ οι υπόλοιποι κόμβοι του δέντρου θα έχουν τιμή 0. Αν τοποθετήσουμε τα bits αυτά σε σειρά ανάλογα με το id του κόμβου τους προκύπτει η ακολουθία Κατά τον ίδιο τρόπο για το κόμβο 5, το μονοπάτι που πρέπει να ακολουθηθεί είναι το Αυτό σημαίνει ότι οι κόμβοι 0,2,5 θα έχουν τιμή 1 ενώ όλοι οι υπόλοιποι τιμή 0. Τοποθετώντας τα bits σε σειρά ανάλογα με το id προκύπτει η ακολουθία Οι δυο ακολουθίες από bits που εκφράζουν τα μονοπάτια προς τους κόμβους 3 και 5 στη συνέχεια συνενώνονται και αποτελούν τη πρώτη γραμμή του bitmap, όπως αυτό εκφράζεται στο αρχείο αντιστοίχησης. Υπενθυμίζεται ότι για χάριν ευκολίας στην επεξήγηση της διαδικασίας χρησιμοποιείται το ίδιο δένδρο. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω για κάθε μια γραμμή του αρχείου αντιστοίχησης στο τέλος προκύπτει ένας δυαδικός πίνακας μεγέθους m n όπου m είναι ο αριθμός των αντιστοιχήσεων που δίδονται ως δεδομένα στο αρχείο αντιστοίχησης μεταξύ των δύο δένδρων και n είναι το άθροισμα του συνολικού αριθμού των κόμβων των δύο δένδρων. Στην περίπτωση που περιγράφεται θα είναι 4 14, αφού οι αντιστοιχήσεις είναι τέσσερις και ο 31

32 συνολικός αριθμός των κόμβων 14. Ολόκληρος ο πίνακας φαίνεται στην Εικόνα 10. Η διαχωριστική γραμμή χωρίζει την δυαδική αναπαράσταση των δυο δέντρων. Εικόνα 9. Δυαδική αναπαράσταση του πίνακα αντιστοιχήσεων της Εικόνας Κωδικοποίηση επερώτησης Η ίδια διαδικασία που ακολουθείται κατά τη κατασκευή του bitmap ακολουθείται και κατά τη κωδικοποίηση της επερώτησης. Η επερώτηση προς χάριν απλοποίησης της διαδικασίας γίνεται πάνω στη δομή του δέντρου η αναπαράσταση του οποίου βρίσκεται αριστερά από το διαχωριστικό της Εικόνας 10. Το πρόγραμμα θα μας απαντήσει την πιο πιθανή αντιστοίχηση πάνω στη δεξιά ιεραρχική δομή. Αν για παράδειγμα θέλουμε να ζητήσουμε τη πιθανή αντιστοίχηση του κόμβου 3 του αριστερού δένδρου, όπως αυτό απεικονίζεται στο bitmap, στο δεξί δένδρο, η ακολουθία από bits που θα χρησιμοποιήσουμε είναι κατά τον τρόπο που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα η εξής: Αλγόριθμος αντιστοίχησης μέσω SVD Γενική περιγραφή αλγορίθμου Σε αυτό το σημείο θα κάνουμε μια γενική περιγραφή του αλγορίθμου πριν μπούμε σε πιο λεπτομερή ανάλυση των επιμέρους τμημάτων. Όπως προαναφέρθηκε ο αλγόριθμος που προτείνεται στη παρούσα εργασία χρησιμοποιεί ένα σύνολο δεδομένων με στόχο την εκμάθηση του και στη συνέχεια απαντά ερωτήσεις των χρηστών με βάση τα αποτελέσματα του SVD. Σε ότι αφορά την είσοδο του αλγορίθμου όπως περιγράφηκε και στη προηγούμενη ενότητα μοντελοποιούμε το training set σε ένα δυαδικό πίνακα πάνω στον οποίο εφαρμόζουμε τη μέθοδο SVD. Κατά τον ίδιο τρόπο μοντελοποιείται και η επερώτηση του χρήστη για κάποιο κόμβο της μιας δομής. Μετά την μοντελοποίηση αυτή η ερώτηση του χρήστη έχει τη μορφή μιας γραμμής του δυαδικού πίνακα με τη διαφορά ότι τα bits που αναφέρονται στη δεύτερη δομή είναι κενά. Το επόμενο βήμα του αλγορίθμου είναι να χρησιμοποιήσει τα bits της επερώτησης που αναφέρονται στη πρώτη δομή με στόχο να γίνει η απεικόνιση αυτής στο χώρο των concepts. 32

33 Βρίσκοντας την απεικόνιση αυτή ουσιαστικά θα γνωρίζουμε τα concepts στα οποία θα αντιστοιχούν τα bits της δομής που γίνεται η επερώτηση. Ακολουθώντας λοιπόν την αντίστροφη διαδικασία, χρησιμοποιούμε την απεικόνιση αυτή για να βρούμε τα scores που θα μας οδηγήσουν στα bits της δεύτερης δομής που λείπουν. Τελικά χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που επέστρεψε η μέθοδος, το επόμενο στάδιο είναι αυτό της αξιολόγησης. Σε αυτό το στάδιο εξετάζονται οι κόμβοι της δεύτερης δομής και τελικά επιστρέφεται μια ταξινομημένη λίστα με όλες τις πιθανές αντιστοιχήσεις για το κόμβο που έγινε η επερώτηση. Κωδικοποιημένα τα βήματα του αλγορίθμου είναι τα εξής: 1. Μοντελοποίηση των ιεραρχικών δομών 2. Μοντελοποίηση του training set σε ένα δυαδικό πίνακα 3. Μοντελοποίηση της επερώτησης που γίνεται από το χρήστη 4. Χρήση των bits της πρώτης δομής για την εύρεση των κατάλληλων concepts 5. Επιστροφή των scores για τους κόμβους της δεύτερης δομής 6. Αποτίμηση των αποτελεσμάτων για την εύρεση των πιθανών αντιστοιχήσεων Ανάλυση του Αλγορίθμου Σε αυτό το στάδιο μετά και τη κωδικοποίηση των δεδομένων ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τον αλγόριθμο μας θα αναλύσουμε βήμα προς βήμα τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε στην πιθανή αντιστοίχηση. Τα δεδομένα που υπάρχουν είναι ένας δυαδικός πίνακας, όπως αυτός περιγράφηκε σε προηγούμενη ενότητα και μια δυαδική ακολουθία που αναπαριστά την επερώτηση. Στον δυαδικό αυτό πίνακα, έστω Α με διαστάσεις m n, θα εφαρμόσουμε την μέθοδο SVD. Το αποτέλεσμα θα είναι να διασπαστεί ο πίνακας αυτός και να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των πινάκων: U, διαστάσεων m n, με τις στήλες του να αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του Α A. V, διαστάσεων m n, με τις στήλες του να αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του ΑΑ. S, του διαγώνιου πίνακα που περιέχει τις τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών ενός από τους δυο προηγούμενους σε φθίνουσα σειρά. Αφού λοιπόν διασπάσαμε το δυαδικό πίνακα Α στους τρεις προαναφερθέντες πίνακες, θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα V. Σε πρώτη φάση τον αναστρέφουμε και προκύπτει ο πίνακας V του οποίου οι γραμμές είναι οι στήλες του V και οι στήλες του είναι οι γραμμές του V. Στη συνέχεια ορίζουμε ένα διαγώνιο πίνακα E με 1 στις τιμές της διαγωνίου του οποίου οι διαστάσεις θα είναι n1 n όπου n1 είναι το σύνολο των κόμβων της πρώτης δομής και n το άθροισμα των συνόλων των κόμβων και των δυο δομών. Ο πίνακας Ε, ουσιαστικά προκύπτει από τον μοναδιαίο πίνακα I αν αφαιρέσουμε από αυτόν τις n2 τελευταίες γραμμές, όπου n2 είναι το σύνολο των κόμβων της δεύτερης δομής. Για παράδειγμα ένας τέτοιος πίνακας σχετικός με το 33

34 παράδειγμα που αναφέρεται στη προηγούμενη ενότητα αναφέρεται παρακάτω όπου n1=7 και n= E = Επίσης ορίζουμε ένα πίνακα b διαστάσεων 1 n, ο οποίος αποτελεί την επερώτηση μας στα πρώτα n1 bits ενώ τα υπόλοιπα είναι κενά αφού ουσιαστικά είναι τα bits που ψάχνουμε να βρούμε. Αυτά τα bits θα αποτελούν το μονοπάτι προς το κόμβο, ο οποίος είναι μια πιθανή αντιστοίχηση του κόμβου που ζητήσαμε. Για παράδειγμα αν ψάχνουμε να αντιστοιχίσουμε το κόμβο 3 του δένδρου που βρίσκεται στην Εικόνα 8, o πίνακας b θα έχει τη μορφή b = [ ??????? ] Τα ερωτηματικά (?) υποδηλώνουν τις τιμές των bits, που αποτελούν το μονοπάτι με το οποίο αντιστοιχίζεται ο κόμβος 3 στη δεύτερη δομή. Παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε το πίνακα E με τον ανάστροφο του πίνακα b, θα προκύψει ο πίνακας b, που αποτελείται από τα bits που μας δίνουν το μονοπάτι που ψάχνουμε να αντιστοιχίσουμε από τη πρώτη ιεραρχία. 1 1 b = Ε b 0 = Το επόμενο βήμα του αλγορίθμου είναι να ορίσουμε τον πίνακα V, ο οποίος είναι το γινόμενο των πινάκων Ε και V. Ο πίνακας V λοιπόν θα έχει διαστάσεις n1 n. Με αυτό τον τρόπο ουσιαστικά θέλουμε να κρατήσουμε μόνο τις γραμμές του V που αναφέρονται στη πρώτη δενδροειδή δομή και να διαγράψουμε τις υπόλοιπες που αναφέρονται στη δομή που προσπαθούμε να βρούμε την πιο πιθανή αντιστοίχηση. Έστω λοιπόν ένα διάνυσμα x για το οποίο ισχύει η παρακάτω εξίσωση V x = b Με την εξίσωση αυτή ουσιαστικά ψάχνουμε να βρούμε εκείνο το διάνυσμα x για το οποίο οι συσχετίσεις που υπάρχουν στο πίνακα V για το πρώτο θησαυρό, μας επιστρέφουν τα bits που περιγράφουν το μονοπάτι προς το κόμβο που ψάχνουμε. Αυτά τα bits βρίσκονται στον πίνακα b. Εφόσον λοιπόν βρήκαμε τα κατάλληλες συσχετίσεις που αντιστοιχούν στα bits του πρώτου θησαυρού, πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα x με το πίνακα V θα βρούμε και τα εναπομείναντα στοιχεία στο πίνακα b. Τελικά δηλαδή θα έχουμε όλα εκείνα τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε ένα πιθανό μονοπάτι αντιστοίχησης. 34