3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α = είαι ακέραιοι αριθμοί.. Δίεται η ακολουθία α = 5. Να βρείτε τη τάξη του πρώτου όρου αυτής, που είαι μεγαλύτερος από το αριθμό Δίεται η ακολουθία: α =. 4 Να βρείτε τους όρους τους ακολουθίας που ικαοποιού τη σχέση α < Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω παρακάτω ακολουθιώ. α) α = 4+ β) = + ( ) α α = γ) δ) α = 0, α + = α + ( ). ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ. Να βρείτε τους πέτε πρώτους όρους τω ακολουθιώ: i) α = + ii) α = iii) α = + iv) α = + 77

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ v) α = vi) α = - vii) α = 0 5 viii) α = π ημ 4 ix) α = + x) α = ( ) x) α = ( ) +. AOM π Το σημείο Μ κιείται στο ημικύκλιο κέτρου Ο και ακτίας έτσι, ώστε = όπου θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μοάδας. Να βρείτε το γεικό όρο της ακολουθίας (α ), της οποίας κάθε όρος εκφράζει το μήκος του ΑΜ.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο τέταρτος όρος είαι ο και ο δέκατος όρος είαι ο 4. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο και τη διαφορά ω της προόδου, β) το 5ο όρο της προόδου, γ) ποιος όρος της προόδου είαι ο Σε μια αριθμητική πρόοδο ο πέμπτος όρος είαι ίσος με. Ο δεύτερος και ο έατος όρος έχου άθροισμα 9. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο και τη διαφορά, β) το 0ο όρο.. Ο τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι μεγαλύτερος από το πρώτο κατά 6. Το άθροισμα του τρίτου και του πέμπτου είαι 44. Να βρείτε το πρώτο όρο της προόδου. ( α β) + β ( α + β) 4. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί:, α, είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Με τι ισούται η διαφορά της προόδου αυτής; 5. Δίεται το άθροισμα: S = α) Πόσοι είαι οι όροι του αθροίσματος S; β) Να υπολογίσετε το άθροισμα S. 78

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ) το άθροισμα τω πρώτω όρω της είαι. Να υπολογίσετε το άθροισμα του πρώτου, του έκτου και του εδέκατου όρου. 7. Α το επταπλάσιο του έβδομου όρου μιας αριθμητικής προόδου ισούται με το εδεκαπλάσιο του εδέκατου όρου, α αποδείξετε ότι ο δέκατος όγδοος όρος της προόδου είαι ίσος με μηδέ. 8. Α ο έατος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι ίσος με μηδέ, α αποδείξετε ότι ο εικοστός έατος όρος είαι διπλάσιος από το δέκατο έατο όρο. 9. Τρεις διαδοχικοί αριθμοί μιας αριθμητικής προόδου είαι οι: ( ) x +, ( x + ) και ( x 5) Να βρείτε: α) τη τιμή του x, β) τη διαφορά της προόδου. 0. ( α ) Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ότι: α μ + α = αμ+ Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου ισούται με το πρώτο όρο της.. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί διαιρούται με το αριθμό 6;. Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι: α + α + α5 + α7 + α9 + α = 7 Να βρείτε το άθροισμα του πρώτου, του έκτου και του εδέκατου όρου.. Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας με α = ( ) α 4. Α ο αριθμητικός μέσος τω αριθμώ α και γ είαι ο β, α αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( α γ) α) β α + β γ = β) 4( α β)( β γ) = ( α γ) 5. Πόσους όρους της προόδου 7, 5,,... πρέπει α πάρουμε, ώστε το άθροισμα τους α είαι ίσο με 7; 6. Οι δύο μεσαίοι όροι μιας αριθμητικής προόδου με εκατό όρους και θετική διαφορά είαι οι 50 και 5. α) Να βρείτε τη πρόοδο. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα τω εκατό αυτώ αριθμώ. 7. Δίεται η ακολουθία ( α ) με α = 4 5. α) Να αποδείξετε ότι η ( α ) είαι αριθμητική πρόοδος. β) Να βρείτε το άθροισμα: S = α 50 + α α70

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι S = και S0 = 60. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου, β) το εδέκατο όρο της προόδου. 9. Δίοται τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Α διπλασιάσουμε το μεσαίο όρο και αυξήσουμε κατά τους δύο άλλους όρους, προκύπτου πάλι τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε: α) το μεσαίο όρο της αρχικής προόδου, β) τη διαφορά της προόδου, α οι τρεις αριθμοί έχου άθροισμα τετραγώω ίσο με Σε μια αριθμητική πρόοδο ο τρίτος, ο πέμπτος και ο όγδοος όρος έχου άθροισμα 5, εώ το άθροισμα τω πέτε πρώτω όρω είαι κατά 0 μεγαλύτερο από το έβδομο όρο. Να βρείτε: α) τη πρόοδο, β) το άθροισμα τω πρώτω όρω.. Οι πλευρές εός ορθογώιου τριγώου ΑΒΓ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά 6. Να βρείτε: α) τα μήκη τω πλευρώ, β) το εμβαδό του, γ) το ύψος προς τη υποτείουσα. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο -οστός όρος είαι 0, η διαφορά είαι και το άθροισμα τω πρώτω όρω είαι 77. Να βρείτε: α) τη τιμή του, β) το πρώτο όρο, γ) το 0ο όρο.. Αάμεσα στο 7 και στο 7 α παρεμβάλλετε 9.αριθμούς, ώστε όλοι μαζί α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Σε μια αριθμητική πρόοδο ο πέμπτος όρος είαι ο 8 και S βρείτε: α) τη πρόοδο, β) το άθροισμα τω πρώτω όρω. v = Sv * 4, για κάθε Ν. Να α Οι αριθμοί, α =, α,..., α, 7 σχηματίζου αριθμητική πρόοδο. Α, α α αποδείξετε ότι = Έας μαθητής θέλει α γράψει αάμεσα στο 5 και το 65 ακόμα 9 αριθμούς έτσι, ώστε όλοι μαζί α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε τη διαφορά της προόδου. β) Να βρείτε το άθροισμα όλω τω όρω της προόδου αυτής από το 5 έως και το

5 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) α 7. Δίεται μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω 0. Α ο αριθμητικός μέσος τω αμ και α είαι ίσος με το αριθμητικό μέσο τω α κ και α λ, α αποδείξετε ότι μ + = κ + λ. 8. Η μικρότερη γωία εός πολυγώου είαι 0. Α οι γωίες σχηματίζου αριθμητική πρόοδο με διαφορά 5, α βρείτε το πλήθος τω πλευρώ του πολυγώου. 9. Sμ μ Σε μια (μη σταθερή αριθμητική) πρόοδο ( α ) είαι: = όπου μ. Να S αποδείξετε ότι: ω α) α = αμ μ β) = α 0. Αάμεσα στους αριθμούς και, με >, παρεμβάλλουμε αριθμούς, ώστε όλοι μαζί α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε: α) τη διαφορά της προόδου, β) το άθροισμα τω παρεμβαλλόμεω όρω. ( *. Σε μια ακολουθία α ) είαι: S v = v + 7v για κάθε Ν. α) Να βρείτε το α. β) Να αποδείξετε ότι η ( α ) είαι αριθμητική πρόοδος. γ) Να βρείτε το άθροισμα: S = α + α α0.. Α οι αριθμοί 5, α, α,, α, 5 είαι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου και α έχουμε: = α αποδείξετε ότι: α 4 α) = 9 β) α + α α 80 =. Τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχου άθροισμα και άθροισμα τω τετραγώω τους ίσο με 6. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. ( ) α 4. Δίεται αριθμητική πρόοδος με: α ω 0 όπου ω είαι η διαφορά της προόδου. Να αποδείξετε ότι: = α α α α α α α α

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5. Α α, β, γ και δ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α αποδείξετε ότι: α β γ + δ = α β αβ γδ ( )( ) 6. Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = ( ) ( ) ( ) 7. Σε μια αριθμητική πρόοδο α είαι: Sμ = S όπου μ. Να αποδείξετε ότι: α) α + ( μ + ) ω = 0 όπου ω είαι η διαφορά της προόδου. β) S = 0 μ+ ( 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο α ) είαι: α = μα = Να αποδείξετε ότι, α τότε: α) α = ω β) ω = μ + μ γ) Sμ = μ μ, 9. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο α αποδείξετε ότι: S = S α) ( ) v v Sv v+ Sv+ = Sv β) S + + S v+ ( 40. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο α ) με: μ, κ λ και μ + = κ + λ, α αποδείξετε ότι: S μ S μ Sκ S = κ λ λ 4. Οι αριθμοί:,,,, ίαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να αποδείξετε ότι: x x x x v xx + x x x v x v = x ( v ) x v 4. Μια στέγη σχήματος ισοσκελούς τραπεζίου, έχει 0 σειρές με κεραμίδια. Τα πλήθη τω κεραμιδιώ κάθε σειράς είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Η η σειρά έχει 6 κεραμίδια, εώ η 7η έχει 8 κεραμίδια. Α. α) Να βρείτε πόσα κεραμίδια έχει η 0η σειρά. β) Πόσα κεραμίδια υπάρχου από τη 4η έως και τη 0η σειρά; Β. Η η σειρά της στέγης έχει 6 σπασμέα κεραμίδια, η η σειρά έχει 9 σπασμέα κεραμίδια και η η σειρά έχει σπασμέα κεραμίδια. α) Από ποια σειρά και μετά υπάρχου μόο σπασμέα κεραμίδια; β) Πόσα είαι τα καλά κεραμίδια που έχει η στέγη; 8

7 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Κάποιος αποφάσισε α κάει αακαίιση στο σπίτι του, γι' αυτό αγόρασε έπιπλα αξίας 5 χιλιάδω ευρώ. Συμφώησε με το πωλητή τω επίπλω α δώσει προκαταβολή 0 χιλιάδες ευρώ και α πληρώσει το υπόλοιπο ποσό σε πέτε ακέραιες μηιαίες δόσεις. Η κάθε δόση είαι μεγαλύτερη από τη προηγούμεη κατά έα σταθερό αριθμό ευρώ και το γιόμεο τω δόσεω είαι 945 χιλιάδες ευρώ. Να βρείτε το ποσό της κάθε δόσης. 44. Διαθέτουμε 9999 όμοια ατικείμεα, τα οποία θέλουμε α συσκευάσουμε σε δέματα έτσι. ώστε το πρώτο δέμα α περιέχει ατικείμεα, το δεύτερο δέμα α περιέχει 5 ατικείμεα, το τρίτο δέμα α περιέχει 7 ατικείμεα και γεικά κάθε δέμα α περιέχει δύο ατικείμεα περισσότερα από το προηγούμεο του. α) Να βρείτε πόσα δέματα θα δημιουργηθού. β) Α η συσκευασία του πρώτου δέματος κοστίζει 0 λεπτά, του δεύτερου 40 λεπτά, του τρίτου 50 λεπτά και γεικά, α η συσκευασία κάθε δέματος κοστίζει 0 λεπτά περισσότερο από το κόστος της συσκευασίας του προηγούμεου, α βρείτε πόσο θα κοστίσει η συσκευασία του δέματος που περιέχει τα περισσότερα ατικείμεα. 45. Η τιμή αγοράς εός ηλεκτροικού ημερολογίου είαι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640. Κατά τη αγορά συμφωήθηκα τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 0. Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού α γίει σε 0 μηιαίες δόσεις. Κάθε δόση α είαι μεγαλύτερη από τη προηγούμεη κατά ω, όπου ω θετικός ακέρα ιος π/. Η τέταρτη δόση α είαι 48. α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης του ηλεκτροικού ημερολογίου ως συάρτηση του ω. β) Να εκφράσετε τη τιμή αγοράς του ημερολογίου ως συάρτηση του ω. γ) Να βρείτε τη τιμή του ω. δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης. ε) Να βρείτε τη τιμή αγοράς του ηλεκτροικού ημερολογίου. 46. Σε μια πολυτελή πολυκατοικία με 0 ορόφους, τα διαμερίσματα του ίδιου ορόφου έχου το ίδιο εοίκιο. Κάθε διαμέρισμα του ου ορόφου εοικιάζεται προς 00 το μήα. Κάθε διαμέρισμα εός ορόφου εοικιάζεται κατά 0 το μήα ακριβότερα από έα διαμέρισμα του προηγούμεου ορόφου. α) Ποιο είαι το μηιαίο εοίκιο εός διαμερίσματος του 6ου ορόφου; β) Ποια η διαφορά στο εοίκιο αάμεσα σε έα διαμέρισμα του ου ορόφου και του 0ου ορόφου; γ) Από ποιο όροφο και μετά το εοίκιο τω διαμερισμάτω ξεπερά τα 500 το μήα; δ) Α όλοι οι όροφοι αήκου στο ίδιο ιδιοκτήτη και κάθε όροφος έχει 4 διαμερίσματα α βρείτε τα συολικά μηιαία έσοδα του ιδιοκτήτη. 8

8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 47. Κατά τη διάρκεια έργω συτήρησης του οδοστρώματος εός τμήματος της εθικής οδού είχα τοποθετηθεί ειδικοί φωτειοί σηματοδότες (σχήματος βέλους) που εμπόδιζα τη κυκλοφορία σε εκείο το τμήμα του δρόμου. Οι σηματοδότες αυτοί ήτα τοποθετημέοι αά 0 m. Μόλις τέλειωσα τα έργα, έας εργάτης που βρισκότα στο πρώτο σηματοδότη πήρε ετολή α μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στο τελευταίο. Όμως λόγω του μεγάλου βάρους του σηματοδότη ο εργάτης μπορούσε α μεταφέρει μόο έα κάθε φορά. Ότα τελείωσε τη μεταφορά, είχε καλύψει συολικά,44 km. α) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το πρώτο έως το τελευταίο σηματοδότη; β) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το δεύτερο έως το τελευταίο σηματοδότη; γ) Πόσοι ήτα οι σηματοδότες; 48. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου, της οποίας ο πρώτος όρος 4 και η διαφορά ω δίοται από τις λύσεις της εξίσωσης x + 5x + 7x + 5x Να βρείτε το ιοστό όρο τω αριθμητικώ προόδω: i) 5,,, λ λ + λ + ii),,, iii) 5, 0, 5, 5 7 iv),,, Να βρείτε το ζητούμεο όρο σε καθεμιά από τις πιο κάτω προόδους: i) το α της, 5, 9... ii) το α 7 της, 9, 5,... iii) το α της 7,,,... 5 i) το α της,,, Α ο 7ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι 9 και ο ος είαι, α βρείτε το ο όρο και τη διαφορά ω. 5. Α ο 5ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι και ο 0ος είαι 4, α βρείτε το 0ό όρο της. ( 5. Σε αριθμητική πρόοδο α ) ισχύου οι σχέσεις: α + α 0 και α + α 50. Να βρείτε τη πρόοδο ( ) α,ω και το γεικό της όρο. 5 = 7 0 = 84

9 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 54. Να βρείτε τους αριθμητικούς μέσους τω αριθμώ: i) 48 και 80 ii) 57 και 95 iii) και 7 i) 77 και Να βρεθεί μια αριθμητική πρόοδος α γωρίζουμε ότι ο πρώτος όρος της είαι και ότι το άθροισμα τω 5 πρώτω όρω της είαι ίσο με το /4 του αθροίσματος τω 5 επόμεω όρω της. 56. Τρεις αριθμοί που σχηματίζου αριθμητική πρόοδο έχου γιόμεο Ο μικρότερος από αυτούς είαι 0. Να βρεθού οι άλλοι δύο. 57. Το άθροισμα τω 9 πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι 6, η δε διαφορά τω άκρω όρω είαι 4. Να βρεθεί η πρόοδος. 58. Ο 4ος όρος, ο 4ος και ο ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι ατίστοιχα 66, 666, Να βρεθεί ο πρώτος όρος και ο. 59. Να υπολογιστεί το άθροισμα ( όροι). Να υπολογιστεί ο ιοστός όρος του αθροίσματος και το άθροισμα τω πρώτω όρω. 60. Να βρεθεί το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω τω αριθμητικώ προόδω: i), 7,,... ii) v 5,,, iii), 6, 9,... iv),,, Α α + α 6 και + α = 56 ( α,ω) 8 = α, α βρεθεί η πρόοδος και ο γεικός της όρος Να βρεθεί το άθροισμα τω 00 πρώτω όρω τω προόδω 7, 4,,... 5 ii),,, iii), 4, 7,... i) 6,, 0,... 9 v),,, Να υπολογιστού τα αθροίσματα: i) ii) iii)

10 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 64. Να ορίσετε ααδρομικά τη αριθμητική πρόοδο της οποίας ο 5ος και ο 0ος όρος έχου άθροισμα 06 και διαφορά Πόσους πρώτους όρους πρέπει α πάρουμε από καθεμιά από τις πιο κάτω αριθμητικές προόδους για α έχου άθροισμα 0; i) 5, 0, 5,... ii), 4, 6, Να υπολογιστεί ο ιοστός όρος και τo άθροισμα τω μ όρω της προόδου: + +, v,, 67. Να προσδιοριστεί το κ ώστε οι επόμεοι αριθμοί α αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου: i) κ, κ +0, κ 6 ii) 4 κ, + κ, 6 + 7κ. 68. Για ποιες τιμές τω α, β οι αριθμοί: αβ αβ β β α,, β α β αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου; Ποια η διαφορά της προόδου σε κάθε περίπτωση; 69. Να επαληθευτεί ότι, εά οι αριθμοί x, y, ω σχηματίζου αριθμητική πρόοδο, θα σχηματίζου αριθμητική πρόοδο και οι x + xy + y, x + xω+ ω, y + yω+ ω. Να βρεθεί το πηλίκο τω διαφορώ αυτώ τω προόδω. 70. Πόσους αριθμητικούς διάμεσους πρέπει α παρεμβάλουμε αάμεσα στους αριθμούς και 9 ώστε ο λόγος του δεύτερου εδιάμεσου προς το τελευταίο εδιάμεσο α είαι ίσος με /6; 7. Μεταξύ δυο αριθμώ οι οποίοι έχου άθροισμα 6/5 παρεβλήθηκα αριθμητικοί μέσοι τω οποίω το άθροισμα είαι ίσο με 8. Να βρεθεί πόσοι αριθμητικοί μέσοι παρεβλήθηκα. 7. Μεταξύ του και του 4 παρεμβάλλουμε αριθμητικούς εδιάμεσους ώστε: i) Ο 4ος εδιάμεσος είαι φυσικό πολλαπλάσιο του 7. ii) Ο προτελευταίος εδιάμεσος είαι περιττό πολλαπλάσιο του 7. Να βρεθού τα ω,. 0. Να βρεθού οι τρεις όροι μιας αριθμητικής προόδου α το άθροισμα τους είαι, εώ το άθροισμα τω τετραγώω τους είαι Να βρεθού 4 αριθμοί που αποτελού αριθμητική πρόοδο α γωρίζουμε ότι το άθροισμα τους είαι, εώ το άθροισμα τω τετραγώω τους είαι

11 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 74. Να βρεθού 4 αριθμοί που σχηματίζου αριθμητική πρόοδο α γωρίζουμε ότι το γιόμεο τω άκρω όρω της είαι 7, εώ το γιόμεο τω μέσω όρω της είαι Να βρείτε πέτε αριθμούς που α είαι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου και συγχρόως το άθροισμά τους α είαι 0 και το άθροισμα τω ατιστρόφω α είαι Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ) ο ος και 8ος όρος της διαφέρει κατά 4 εώ το άθροισμα του 4ου και του ου όρου της είαι 70. Να βρείτε τη πρόοδο ( α ) α α+ > α. Ύστερα α υπολογίσετε το άθροισμα τω όρω της που βρίσκοται αάμεσα στο 8ο και στο 5ο όρο της. 77. Να βρεθού δυο αριθμοί που α είαι ακραίοι όροι μιας αριθμητικής προόδου α γωρίζουμε ότι το άθροισμα τω τεσσάρω πρώτω όρω της είαι 4, το άθροισμα τω τεσσάρω τελευταίω όρω της είαι 8 και το άθροισμα όλω τω όρω της είαι Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος με ακέραιους όρους α γωρίζουμε ότι το άθροισμα τω τετραγώω του 4ου και του ου όρου είαι 578, εώ το άθροισμα του 7ου και του 5ου όρου είαι Σε αριθμητική πρόοδο το πλήθος τω όρω της είαι περιττός αριθμός, το άθροισμα τω όρω περιττής τάξης είαι 0, εώ τo άθροισμα τω όρω άρτιας τάξης είαι 85. Να βρεθεί ο μεσαίος όρος και το πλήθος τω όρω. 80. Α S είαι το άθροισμα τω λ πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου, S το άθροισμα τω μ πρώτω όρω της και S το αθροισμάτω πρώτω όρω της, α S ( μ ) S ( λ) S( λ μ) αποδειχτεί ότι θα είαι + + = 0. λ μ 8. Να βρεθεί το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω ( S 0 ) αριθμητικής προόδου α ξέρουμε ότι: α + α + α + α = 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο α υπολογιστεί το α + α6 + α α ξέρουμε ότι: α + α + α α = 7. ( ) 8. Το άθροισμα S τω πρώτω όρω μιας ακολουθίας Να βρείτε το ιοστό όρο της και α αποδείξετε ότι η ακολουθία πρόοδος. Ύστερα, α βρείτε τη τάξη του όρου που είαι ίσος με 05. * v α είαι v για κάθε v N. ( α ) είαι αριθμητική 87

12 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) * 84. Α α, v N, μια ακολουθία της οποίας το άθροισμα τω πρώτω όρω είαι S = v + α + β α, β R, α βρεθού τα α και β ώστε η ακολουθία ( α ) α είαι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το. 85. Να βρεθεί το άθροισμα τω πρώτω δώδεκα όρω αριθμητικής προόδου γωρίζοτας ότι α + α + α + α = 86. Α οι αριθμοί α, α α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α υπολογιστού τα αθροίσματα: S = και S κ = α α α α α α α α α α α α α α α 87. Α κ είαι το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου, εώ είαι το άθροισμα τω πρώτω κ όρω της ίδιας προόδου, α υπολογιστεί το άθροισμα τω πρώτω κ + όρω της προόδου, όπου κ. 88. Σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε α = κ και α κ =. Να υπολογιστεί ο α +κ λ. 89. Να δείξετε ότι οι x, y, z αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου α και μόο α, x y + z + xy x y yz + y z = Α α, α... α είαι όροι μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, α υπολογιστεί, ως συάρτηση τω α, ω και, το άθροισμα: = α + α α + α + α α + α + α α α + α α ( ) ( ) ( ) S 9. Να δειχθεί ότι οι αριθμοί α + βγ, αβ + αγ + βγ, γ + αβ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου α, και μόο α, α β, γ α, β γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Να δειχθεί ότι α οι αριθμοί x + xy + y, x + xz + z, y + yz + z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε και οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ή x + y + z = 0 και ατιστρόφως. 9. Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = 6 και α = 94. Να βρείτε τη διαφορά ω και το 0 ο όρο της προόδου. 94. Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α = και ω = 7. α) Να βρείτε το πλήθος τω πρώτω όρω της προόδου που δίου άθροισμα ίσο με 679. β) Ποιος θα είαι ο τελευταίος όρος α σ αυτή τη περίπτωση; 88 4 κ κ κ

13 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 95. Να βρείτε το ιοστό όρο τω παρακάτω αριθμητικώ προόδω: Α.,0,,6,. Β. 5 9,,,.. Γ. α -, α +, α +,. 96. Να βρείτε το ζητούμεο όρο σε καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους : Α. 5,0,5,0,..α 5 =.. Β. α-, α+, α+, α 0 = Για ποια τιμή του x οι αριθμοί 4-x,x+,7x+6 είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου. 98. Α οι αριθμοί (x-), x+, x + 4, είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου, α προσδιορίσετε το x. 99. Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της είαι S 0 = 60 και το άθροισμα τω πρώτω όρω της S =. Να βρείτε τη διαφορά ω και το ο όρο της. 00. Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο στη οποία α) το άθροισμα του ου και του 5 ου όρου είαι -, εώ το άθροισμα του ου και του 6 ου είαι β) το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είαι 7, εώ το γιόμεο τω ίδιω όρω είαι Σε μια αριθμητική πρόοδο ο ος και ο 8 ος όρος διαφέρου κατά 4, εώ το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είαι 70. α) Να βρείτε τη πρόοδο, α είαι γωστό ότι είαι γησίως φθίουσα. β) Ποιο είαι το άθροισμα τω όρω της που βρίσκοται μεταξύ του 8 ου και του 5 ου όρου της στη περίπτωση αυτή; 0. Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω πρώτω της όρω είαι ίσο με - και άθροισμα τω 5 πρώτω όρω ίσο με Να βρείτε το άθροισμα τω 4 πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου με α 6 = 8, α 4 = Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α ο ος και ο 7 ος όρος έχου γιόμεο 00 και οι μεταξύ τους όροι έχου άθροισμα 50 89

14 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 05. Σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 9 = 5 και S = 65. α) Να βρείτε το 5 ο όρο της προόδου και β) το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της. 06. α) Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α α = και α 6 = β) Πόσοι πρώτοι όροι της έχου άθροισμα που δε υπερβαίει το 0; 07. Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο στη οποία ο 4 ος και ο 8 ος όρος της έχου άθροισμα 8, εώ το άθροισμα τω κύβω τω όρω αυτώ είαι Να αποδείξετε ότι για κάθε αβγ,, R οι αριθμοί ( ) διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ( ) α+ β, α + β και α β είαι 09. Α οι αριθμοί,, είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α δείξετε β+ γ γ + α α+ β ότι το ίδιο ισχύει και για τους α, β, γ. 0. Α οι αριθμοί αβγ,, R είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) δείξτε ότι οι αριθμοί α β γ, β α γ, γ α β είαι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) α βρείτε το λόγο τω διαφορώ τω δυο προόδω αυτώ.. α) Α οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι: α β = β γ. β) Α οι αριθμοί β+ γ α γ + α β α+ β γ,, α β γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι οι,, είαι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α β γ.. 4. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισμα και γιόμεο 440. Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισμα 6 και γιόμεο άκρω όρω 7. S S 0 5 Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο α S = και α. 5 = 5. Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχοται μεταξύ του 5 και του

15 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Να βρείτε το πλήθος και το άθροισμα α) τω διψήφιω περιττώ αριθμώ β) τω διψήφιω αρτίω αριθμώ γ) τω διψήφιω φυσικώ αριθμώ δ) τω διψήφιω πολλαπλασίω του α) Ποιο είαι το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της προόδου:, 5, 7, 9,... ; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους της προόδου αυτής πρέπει α προσθέσουμε, για α πάρουμε άθροισμα 99; 8. α) Ποιο είαι το άθροισμα τω 7 πρώτω όρω της προόδου:, 5, 7, 9,... ; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους της προόδου αυτής πρέπει α προσθέσουμε, για α πάρουμε άθροισμα 99; 9. Πόσους αριθμούς πρέπει α παρεμβάλουμε μεταξύ του 5 και του 50 ώστε ο τελευταίος από τους αριθμούς αυτούς α είαι πλάσιος από το δεύτερο τους; 0. Να βρείτε τις γωίες εός ορθογωίου τριγώου, α γωρίζετε ότι είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.. Α τα μήκη τω πλευρώ εός ορθογωίου τριγώου είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι είαι αάλογα τω αριθμώ, 4, 5.. Σε μια ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε ώστε τα μήκη τω ευθυγράμμω τμημάτω ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ α είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Α ΑΓ = 6 cm και ΓΕ = 4 cm α βρείτε τα μήκη τω ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ.. Α οι πλευρές α, β και γ τριγώου ΑΒΓ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α δείξτε ότι και τα ημα, ημβ και ημγ είαι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποιος ο λόγος τω διαφορώ τω δυο αυτώ προόδω; 4. Α οι αριθμοί x, y, z R είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, δείξτε ότι ημx ημz α) = σϕy συz συx β) ημx + ημz = ημy συω 5. Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω όρω της ακολουθίας:, -, 5, - 7, 9, -, Στις προόδους :7,, 5,... και β :6,, 6,... εμφαίζοται κοιοί όροι (όπως ο ). α) Να βρείτε το επόμεο κοιό τους όρο. β) Να βρείτε το άθροισμα τω 0 πρώτω κοιώ όρω τους. (α ) ( ) 9

16 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Να βρείτε τα αθροίσματα: α) ( + ) και β) ( + ). 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( x+ ) + ( x+ 5) + ( x+ 8) + + ( x+ 9) = 65. β) x = 80 με x > 0 9. Ο ιοστός όρος μιας ακολουθίας είαι α = +. α) Να βρείτε το επόμεο όρο α + β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος γ) Να βρείτε το άθροισμα τω 0 πρώτω όρω της δ) Να βρείτε τη τάξη του όρου της που είαι ίσος με 6 (Μπορού α γίου και αάλογα προβλήματα για α = 4 ή α = + ή α = 4+ 9 κ.λ.π.) Μιας ακολουθίας το άθροισμα τω πρώτω όρω της είαι S = +. α) Να βρείτε το άθροισμα τω (-) πρώτω όρω της β) Να βρείτε το ιοστό της όρο γ) Να βρείτε το όρο α + δ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος ε) Να βρείτε τη τάξη του όρου της που είαι ίσος με 00 (Μπορού α γίου και αάλογα προβλήματα για S = + ή S = 4 ή = + κ.λ.π.) S 0. Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω πρώτω όρω, για κάθε ( ) φυσικό αριθμό, είαι S = +.. Να βρείτε τη αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα τω πρώτω όρω, για κάθε φυσικό αριθμό, είαι S =.. Α. Α α, β δυο αριθμητικές πρόοδοι με διαφορές ω, ω ατίστοιχα και για κάθε είαι β 0, εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται αριθμητική πρόοδος. α) α + στ) α + β β) α ζ) α β γ) α + η) α + β δ) ( α ) θ) α β ε) α ι) β β Β. Στις περιπτώσεις που σχηματίζεται αριθμητική πρόοδος, βρείτε τη ατίστοιχη έα διαφορά. 9

17 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Α α μ, α k είαι οι όροι τάξεως μ, k ατιστοίχως μιας αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι ισχύει: αμ = α k + ( μ k) ω. β) Δείξτε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο α, α,..., α οι όροι α ρ και α ρ+ ισαπέχου από τα άκρα α και α. γ) Δείξτε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο α, α,..., α οι όροι που ισαπέχου από τα άκρα, έχου άθροισμα ίσο με το άθροισμα τω άκρω όρω.. Σ έα ουραοξύστη 7 ορόφω, τα γραφεία του ιδίου ορόφου έχου το ίδιο εοίκιο. Κάθε γραφείο του πρώτου ορόφου εοικιάζεται δρχ. το μήα. Κάθε γραφείο εός ορόφου εοικιάζεται.500 δρχ. το μήα ακριβότερα από έα γραφείο του προηγουμέου ορόφου. α) Ποιο είαι το μηιαίο εοίκιο εός γραφείου του πέμπτου ορόφου; β) Πόσο ακριβότερο είαι έα γραφείο του 5 ου ορόφου από έα του 7 ου ορόφου; γ) Σε ποιους ορόφους το εοίκιο ξεπερά τις δρχ. το μήα; δ) Α το πλήθος τω γραφείω εός ορόφου είαι μικρότερο κατά από το πλήθος τω γραφείω του αμέσως προηγουμέου ορόφου και ο 7 ος όροφος έχει γραφεία, πόσα γραφεία έχει ο πρώτος όροφος; 4. Μια ομάδα 4 στρατιωτώ παρατάσσεται σε τριγωικό σχήμα ώστε: στη πρώτη σειρά μπαίει έας στη δεύτερη τρεις, στη τρίτη πέτε κ.λ.π. α) Πόσοι θα είαι στη η σειρά; β) Πόσες σειρές σχηματίστηκα συολικά; 5. Α. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτω, το πλήθος τω καθισμάτω κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7η 8 καθίσματα. α) Πόσα καθίσματα έχει η 0η σειρά; β) Πόσα καθίσματα υπάρχου από τη 4η έως τη και τη 0η σειρά; Β. Α στη η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχου 6 κεά καθίσματα, στη η υπάρχου 9 κεά καθίσματα, στη η κ.λ.π. α) από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχου μόο κεά καθίσματα; β) Πόσοι θα είαι οι θεατές; 6. Κατά τη διάρκεια έργω συτήρησης του οδοστρώματος εός τμήματος της εθικής οδού, είχα τοποθετηθεί ειδικοί φωτειοί σηματοδότες (σχήματος βέλους) που εμπόδιζα τη κυκλοφορία σε εκείο το τμήμα του δρόμου. Οι σηματοδότες αυτοί ήτα τοποθετημέοι αά 0 m. Μόλις τελείωσα τα έργα, έας εργάτης που βρισκότα στο πρώτο σηματοδότη, πήρε ετολή α μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στο τελευταίο. Όμως, λόγω του μεγάλου βάρους του σηματοδότη, ο εργάτης μπορούσε α μεταφέρει μόο έα κάθε φορά. Ότα τελείωσε τη μεταφορά, είχε καλύψει συολικά,44 km. α) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το πρώτο έως το τελευταίο σηματοδότη; β) Πόσες φορές έκαε τη διαδρομή από το δεύτερο έως το τελευταίο σηματοδότη; γ) Πόσοι ήτα οι σηματοδότες; 9

18 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Έας αθλητής μετά τη αποθεραπεία του από έα ατύχημα, άρχισε τη Δευτέρα 9 Φεβρουαρίου 996 έες προποήσεις. Αάμεσα στις άλλες ασκήσεις έπρεπε α κάει και κάμψεις (push ups) καθημεριά (ακόμα και τα Σάββατα και τις Κυριακές), σύμφωα με το παρακάτω πρόγραμμα: Ημέρα Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη... Αριθμός Κάμψεω μέχρι α φθάσει το αριθμό τω 0 κάμψεω. Έπειτα θα συέχιζε με 00 κάμψεις κάθε ημέρα εκτός Κυριακής. α) Πόσες κάμψεις θα έκαε τη Τετάρτη της επόμεης εβδομάδας; β) Μετά από πόσες μέρες έφθασε τις 0 κάμψεις; γ) Ποια ήτα η ημερομηία της πρώτης Κυριακής που σταμάτησε τις κάμψεις; 8. Έα παιδί παίζοτας με κύβους του cm έφτιαξε μια τετραγωική πυραμίδα με πατώματα. Το ο πάτωμα (η βάση) έχει επιφάεια 5 cm, το ο (το μεσαίο) έχει επιφάεια 9 cm και το ο (η κορυφή) αποτελείται από έα μόο κύβο. Α το παιδί έφτιαχε μια παρόμοια πυραμίδα με 0 πατώματα, α) πόσους κύβους θα περιείχε η βάση της; β) πόσους κύβους θα είχε χρησιμοποιήσει; γ) Α είχε στη διάθεσή του 0 κύβους, πόσα πατώματα θα είχε η πυραμίδα του; 9. Να βρείτε το άθροισμα: Α. τω πρώτω 00 άρτιω αριθμώ Β. τω περιττώ ακεραίω που είαι μεταξύ του 0 και του 00 Γ. τω πολλαπλασίω του που είαι μεταξύ του 0 και του Να λυθεί η εξίσωση: (x+)+(x+6)+(x+9)+.(x+)=54 4. Α α+β+γ 0 και οι αριθμοί α -βγ, β -αγ, γ -αβ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου, α δείξετε ότι και οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4. Α οι αριθμοί,, είαι διαδοxικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, α a + β β + γ γ + a δείξετε ότι και οι αριθμοί α,β,γ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4 Α οι θετικοί αριθμοί α,β,γ, είαι διαδοxικοί αριθμητικής προόδου, α δείξετε ότι και οι αριθμοί α (β+γ), β (γ+α), γ (α+β) είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου. 94

19 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 44. Α οι αριθμοί α,β,γ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου α δείξετε ότι και οι αριθμοί (β+γ) -α, (γ+α) -β, (α+β) -γ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου. 45. Α οι αριθμοί x,ψ,ζ καθώς και οι αριθμοί,, είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής ψ Z w προόδου, α δείξετε ότι x. w=ψ. Ζ. 46. Να δείξετε ότι η ακολουθία (α ) με α =+ είαι αριθμητική πρόοδος και έπειτα α υπολογίσετε το Σ Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου: α +α 5 = και α 8 -α 6, α υπολογίσετε το Σ Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου: α 7 -α =8 και α. α 7 =9. Να βρείτε το α 00 και το Σ Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου Σ =6 και Σ 9 =Σ Να βρείτε τη πρόοδο και το άθροισμα τω όρω της που είαι μεταξύ του 0 και του Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος (α ) σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : Α. α 4 +α 6 =0 και α. α 8 =- Β. α -α +α 5 =00 και α +α 8 =8 Γ. Σ +Σ 9 =8 και Σ = Να βρείτε τρεις αριθμούς που είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου, έxου άθροισμα 9 και το άθροισμα τω κύβω τους είαι Να βρείτε 4 αριθμούς που είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου, έxου άθροισμα 6 και ο 4 ος όρος είαι επταπλάσιος του πρώτου Μεταξύ τω αριθμώ x και παρεμβάλλοται 5 αριθμητικοί εδιάμεσοι. Α ο 5 ος x εδιάμεσος είαι επταπλάσιος του ου εδιάμεσου, α προσδιορίσετε το θετικό αριθμό x. 54. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου α +α 5 +α 8 =5 και Σ 5 =α Να υπολογίσετε το Σ Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου α +α 6 +α 7 =Σ 7 =7. Να υπολογίσετε το άθροισμα S=α 7 +α 8 +.+α

20 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 56. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου : α +α 5 +α 9 =4 και α 8 +α 9 +α 0 =7. Να βρείτε τη πρόοδο και το άθροισμα S=α 5 +α α. 57. Σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒΓ οι αριθμοί εφα, εφβ, εφγ είαι διαδοxικοί όροι αριθμητικής προόδου, α αποδειxθεί ότι εφα. εφγ= Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) με διαφορά ω=α, α αποδειxθεί ότι =00. Σ Σ Α σε μια αριθμητική πρόοδο (α ) ισxύου : Σ 00 =0 και Σ 0 =00, α δείξετε ότι Σ 0 =- 0.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ. Να βρείτε το όρο τω αριθμητικώ προόδω: i) 7, 0,,... ii),, 5,... iii) 5,, -,... 5 iv),,,... )-6,-9,-,.... Να βρείτε το ζητούμεο όρο σε καθεμιά από τις αριθμητικές προόδους: ί) Το α 5 της -,, 8... ii) Το α 0 της, 8, 5,... iii) Το α 0 της 4, 5, 6, iv) Το α 5 της 7, 5,,... ) Το α 50 της,, vi) Το α 47 της,,, ί) Α ο 6 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι και ο 0 ος όρος είαι 6,α βρείτε το ο όρο και τη διαφορά της προόδου. ii) Ομοίως, α είαι α 5 = 4 και α = 4 iii) Ομοίως, α είαι α = 0 και α 7 =. ί) Ο 5 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είαι -5 και ο 5 ος όρος της είαι -. Να βρείτε το 50 όρο της προόδου. ii) Α σε μια αριθμητική προόδο είαι α 7 = 55 και α = 45, α βρείτε το α i) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α, = και ω = 5 ισούται με 97; ii) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με α, = 80 και ω = - ισούται με -97; 96

21 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. i) Να βρείτε το αριθμητικό μέσο τω 0 και -40 ii) Να βρείτε για ποια τιμή του χ ο αριθμητικός μέσος τω 5χ+ και είαι ο χ-. 7. Α δυο αριθμοί διαφέρου κατά 0 και ο αριθμητικός τους μέσος είαι ο 5, α βρείτε τους δυο αυτούς αριθμούς. 8. Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω 40 όρω τω αριθμητικώ προόδω: i) 0 7,9,,... ii) 0,, 4,... iii) 6, 0, 4,... iv)-7,-,+, Να βρείτε το άθροισμα τω πρώτω 80 όρω τω αριθμητικώ προόδω: ),-,-4,... ), 5,,, 0. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) iii) Πόσους πρώτους όρους πρέπει α πάρουμε από καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για α έχου άθροισμα 80; ί) 4, 8,,... ii) 5, 0, 5,.... Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 5 σειρές κεραμίδια. Η πρώτη σειρά έχει 5 κεραμίδια και κάθε επόμεη σειρά έχει δυο κεραμίδια λιγότερα. Πόσα κεραμίδια έχει η 5η σειρά και πόσα κεραμίδια έχει συολικά η στέγη;. 4. Ο ος όρος μιας ακολουθίας είαι α = -4. Να δείξετε ότι η ακολουθία αυτή είαι αριθμητική πρόοδος και α γράψετε το πρώτο όρο της αϊ και τη διαφορά της ω. Α οι α, β, γ είαι θετικοί αριθμοί και οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, α δείξετε ότι και οι αριθμοί,, είαι επίσης β + γ α + γ α + β διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. Α οι α,, β,, γ, καθώς και οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής αχ + βψ = γ προόδου, α δείξετε ότι το σύστημα α χ + βψ = γ έχει ως μια λύση το ζεύγος (-, ). 6. Να βρείτε το άθροισμα: i) τω πρώτω 00 περιττώ αριθμώ, ii) τω πρώτω 00 θετικώ άρτιω iii) όλω τω περιττώ αριθμώ μεταξύ 6 και

22 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Να βρείτε το άθροισμα: i) τω πολλαπλασίω του 5 μεταξύ και 99, ii) τω πολλαπλασίω του μεταξύ 0 και Να βρείτε το άθροισμα: ί) τω πρώτω 0 όρω της ακολουθίας α = 5-4, ii) τω πρώτω 40 όρω της ακολουθίας α = Να βρείτε το άθροισμα τω ακεραίω από μέχρι 00 που δε είαι πολλαπλάσια του 4 ή του Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου,, 5, 7,... που απαιτούται, ώστε το άθροισμα του α ξεπεράει το ί) Είαι γωστό ότι, για κάθε IN*, το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας ακολουθίας (α ) είαι S v = 4 -. Να δείξετε ότι η (α ) είαι αριθμητική πρόοδος και α γράψετε τους α ι και ω. ii) Ομοίως, α είαι S v = 4. Να συμπληρώσετε το διπλαό πίακα, στο οποίο τα α, ω,, α και S v αήκου σε κάθε γραμμή στη ίδια αριθμητική πρόοδο. α, ω α Έα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγοται σε έα 4/ωρο; 4. Έα στάδιο έχει σειρές καθισμάτω. Στη κάτω-κάτω σειρά βρίσκοται 800 θέσεις και στη πάω-πάω σειρά βρίσκοται 460 θέσεις. Το πλήθος τω θέσεω αυξάει από σειρά σε σειρά κατά το ίδιο πάτα αριθμό θέσεω. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συολικά το στάδιο και πόσες θέσεις έχει η μεσαία σειρά. 5. Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς που αποτελού διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου, α το άθροισμα τους είαι και το γιόμεο τους είαι

23 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Μεταξύ τω αριθμώ και 80 θέλουμε α βρούμε άλλους 0 αριθμούς που όλοι μαζί α είαι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθού οι αριθμοί αυτοί. [Τέτοια προβλήματα λέγοται προβλήματα παρεμβολής όρω]. 7. Να υπολογίσετε το άθροισμα: Έας αγρότης, για α κάει μια γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώησε τα εξής με το ιδιοκτήτη του γεωτρύπαου: Το μέτρο θα κοστίσει 000 δρχ. και, αυξαομέου του βάθους, θα αυξάεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά 500 δρχ. Ο αγρότης διαθέτει δρχ. Σε πόσο βάθος μπορεί α πάει ή γεώτρηση στο κτήμα του;. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο τέταρτος όρος είαι ο 4 και ο εδέκατος είαι ο. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο της προόδου, β) το -οστό όρο της προόδου.. Ο τέταρτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είαι ο. Να βρείτε: 64 α) το λόγο της προόδου, β) το πρώτο όρο. και ο εδέκατος όρος είαι ο. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο δεύτερος και ο τρίτος όρος έχου άθροισμα, εώ η διαφορά του δεύτερου από το πρώτο είαι 8. Να βρείτε τη πρόοδο. 4. Ο τρίτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είαι. Να βρείτε το γιόμεο τω πέτε πρώτω όρω της προόδου. 5. Οι τρεις πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου είαι οι x, x + και x +. Να βρείτε τη πρόοδο. 6. Α οι αριθμοί α, β, γ και δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α αποδείξετε ότι: α) οι αριθμοί α + β, β + γ και γ + δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, β) οι αριθμοί α β, β γ και γ δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, γ) ( α + β + γ )( β + γ + δ ) = ( αβ + βγ + γδ ), β γ + γ α + δ β = α δ. δ) ( ) ( ) ( ) ( ) 99

24 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( α ) ο όγδοος όρος είαι ο 84 και ο λόγος είαι. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο, β) το άθροισμα τω οκτώ πρώτω όρω. 8. Ο τέταρτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είαι 54 και ο έβδομος είαι 458. Να βρείτε: α) το λόγο της προόδου, β) το άθροισμα τω 5 πρώτω όρω. 9. Στη ακολουθία α, α, 9α,... ο έκτος όρος είαι 97. Να βρείτε: α) τη τιμή του α, β) το -οστό όρο, γ) το άθροισμα τω πρώτω όρω. 0. Σε μια γεωμετρική πρόοδο είαι: α =, α = 64 και Sv = 6 Να αποδείξετε ότι: α) λ = 5 5 β) = 6 a. Ο 4ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είαι ο 8 και ο ος όρος είαι ο 04. Έας μαθητής βρήκε τους πρώτους όρους της προόδου, αλλά τους έγραψε με τη ατίστροφη τάξη, δηλαδή πρώτα το ο, ύστερα το 0ο κ.λπ. α) Ποιος είαι ο 6ος όρος στη διάταξη αυτή τω αριθμώ; β) Όπως είαι τοποθετημέοι οι παραπάω αριθμοί, σχηματίζου γεωμετρική πρόοδο; Α αι, ποιος είαι ο λόγος της προόδου;. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο ος, ο ος και ο ος όρος έχου άθροισμα 7, εώ ο ος, ο ος και ο 4ος όρος έχου άθροισμα 4. Να βρείτε: α) το πρώτο όρο και το λόγο της προόδου, β) το -οστό όρο της προόδου, γ) το άθροισμα τω πρώτω όρω, δ) το πλήθος τω πρώτω όρω της προόδου, που έχου άθροισμα 55.. Οι αριθμοί α. β, γ, δ και ε είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, με α ε = 64. Να βρείτε τη τιμή του γ. ) 4. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( α είαι: S 4 = 40 και S8 = 80. Να βρείτε: α) το λόγο λ, β) το πρώτο όρο της προόδου. 5. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο ( α ) α αποδείξετε ότι: α = α α αμ μ+ a 00

25 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6. Να παρεμβάλλετε: α) τρεις αριθμούς αάμεσα στους και 56, ώστε όλοι μαζί α αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, 4 7 β) τέσσερις αριθμούς αάμεσα στους και, ώστε όλοι μαζί α αποτελού 9 8 διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 7. Α οι αριθμοί α, β, γ και δ αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, α αποδείξετε ότι: α) αδ = βγ β γ β) + = α + δ γ β x 55 * 8. Α είαι:... = και x N, α βρείτε τη τιμή του x. 9. ( ) α Σε μια γεωμετρική πρόοδο είαι: α = 4 και α = 97 και το άθροισμα τω πρώτω όρω είαι 456. Να βρείτε: α) το λόγο της προόδου, β) τη τιμή του. 0. Οι τέσσερις πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής έχου γιόμεο 6. Ο δεύτερος και ο έχου γιόμεο επίσης 6. Να βρείτε τη πρόοδο.. Τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου έχου άθροισμα 70. Α πολλαπλασιάσουμε το μεσαίο με 5 και τους άλλους δύο με 4, προκύπτου διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.. Σε μια γεωμετρική πρόοδο είαι: α = 4, λ = και S = 7 Να βρείτε: α) το πλήθος τω όρω, β) το άθροισμα του ου, ου, 5ου,..., 7ου όρου.. Δίεται η γεωμετρική πρόοδος ( ) α με: α 4 + α5 α = 66 και α + α 4 α = Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = α α + α... + α9 α 0 4. Α οι αριθμοί α, β και γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ο x είαι γεωμετρικός μέσος τω α και β και ο y είαι γεωμετρικός μέσος τω β και γ, α αποδείξετε ότι οι αριθμοί x, β και y είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 0

26 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5. Οι τρεις πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου έχου άθροισμα 6, εώ οι τρεις επόμεοι όροι έχου άθροισμα 70. Να βρείτε: α) το λόγο της προόδου, β) το πρώτο όρο της, γ) το -οστό όρο της. 6. Α οι αριθμοί α, β, γ και δ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α αποδείξετε ότι: ( )( ) * α) α + β + γ α β + γ = α + β + γ, για κάθε Ν β) ( α + δ)( β + γ) ( α + γ)( β + δ) = ( β γ) γ) α β + γ β + γ = β α + β α + β ( )( ) ( )( ) 7. Τρεις αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, σχηματίζου αριθμητική πρόοδο. Τα γιόμεα του πρώτου με το δεύτερο, του δεύτερου με το τρίτο και του τρίτου με το πρώτο σχηματίζου γεωμετρική πρόοδο. Να βρείτε το λόγο λ της προόδου αυτής. 8. ( α ) Σε μια ακολουθία είαι S 5 v * =, για κάθε Ν. α) Να βρείτε το α, ως συάρτηση του. β) Να αποδείξετε ότι η ( α ) είαι γεωμετρική πρόοδος. 9 γ) Να αποδείξετε ότι: α + α + α α = 5 5 v ( ) Α α, β, γ και δ είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, α αποδείξετε ότι: α + β + γ β + γ + δ = αβ + βγ + γδ ( )( ) ( ) 0. Τέσσερις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου έχου γιόμεο 79 και ο τέταρτος ισούται με το γιόμεο τω δύο μεσαίω. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.. Οι πλευρές εός τριγώου σχηματίζου γεωμετρική πρόοδο. Η περίμετρος του τριγώου είαι 7 και η μικρότερη πλευρά είαι 9. Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές. ( ). Δίεται η ακολουθία α με α = και α+ = α +. Να αποδείξετε ότι * α =, για κάθε Ν.. Α Σε έα τρίγωο ΑΒΓ το συ είαι γεωμετρικός μέσος τω ημβ και ημγ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ισοσκελές. 4. Α S είαι το άθροισμα, Ρ το γιόμεο και R το άθροισμα τω πρώτω όρω μια R γεωμετρικής προόδου ( α ), α αποδείξετε ότι: P =. S v 0

27 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Δίεται η ακολουθία ( α ) με α = και α + = α + 4. α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία λευκό ( β ροδάκιο ) με: β = α + είαι γεωμετρική πρόοδος. β) Να βρείτε το γεικό όρο της ακολουθίας ( β ). * γ) Να αποδείξετε ότι α =, Ν. δ) Να βρείτε το άθροισμα: S = α + α α 6. Το άθροισμα τω τριώ πρώτω όρω μιας γεωμετρικής προόδου είαι 7 και το άθροισμα τω τετραγώω τους είαι. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου είαι λ = ή λ = β) Να βρείτε το πρώτο και το -οστό όρο της προόδου στη κάθε περίπτωση. γ) Να βρείτε το S στη κάθε περίπτωση. 7. Έας πληθυσμός βακτηριδίω τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μία ώρα. Α. Α αρχικά υπάρχου 0 βακτηρίδια, α βρείτε το πλήθος τω βακτηριδίω ύστερα από 6 ώρες. Β. Στο τέλος της 6ης ώρας ο πληθυσμός τω βακτηριδίω ψεκάζεται με μια ουσία η οποία σταματά το πολλαπλασιασμό τους και συγχρόως προκαλεί τη καταστροφή 0 βακτηριδίω κάθε ώρα. α) Να βρείτε το πλήθος τω βακτηριδίω που απομέου 0 ώρες μετά το ψεκασμό. β) Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφού όλα τα βακτηρίδια; 8. Στους δίσκους Α και Β μιας ζυγαριάς υπάρχου βάρη 40 και 0 γραμμαρίω ατίστοιχα. Στο δίσκο Α τοποθετούμε διαδοχικά βάρη τω 0 γραμμαρίω το καθέα. Στο δίσκο Β τοποθετούμε τριπλάσιο βάρος του αρχικού και συεχίζουμε προσθέτοτας βάρη, καθέα από τα οποία είαι τριπλάσιο του βάρους που είχε τοποθετηθεί τη αμέσως προηγούμεη φορά. α) Α το συολικό βάρος στο δίσκο Β είαι 40 γραμμάρια, α βρείτε πόσες φορές χρειάστηκε α τοποθετήσουμε βάρη στο δίσκο αυτό. β) Πόσα βάρη τω 0 γραμμαρίω πρέπει α τοποθετήσουμε στο δίσκο Α, ώστε α ισορροπήσει η ζυγαριά; 9. Η μητέρα του Γιώργου αποφάσισε στα δωδέκατα ( α ) γεέθλια του, α του κάει δώρο τo ποσό τω 00 και κάθε χρόο α του αυξάει το ποσό αυτό κατά 50 μέχρι τα γεέθλια του. Ο Γιώργος σκέφτηκε και ατιπρότειε το εξής: "Δώσε μου σήμερα μόο 5, αλλά κάθε χρόο α μου διπλασιάζεις το ποσό του προηγούμεου χρόου". Η μητέρα του Γιώργου απέρριψε τη πρόταση του γιου της, γιατί υπολόγισε ότι στα 6 α γεέθλια του ο Γιώργος θα πάρει περισσότερα χρήματα από όσα είχε σκοπό α του δώσει. 0

28 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 40. Έας φυσιοδίφης αακάλυψε στη ζούγκλα του Αμαζοίου έα περίεργο είδος φιδιού. Μελετώτας το παρατήρησε ότι ότα συμπληρώσει το ο χρόο ζωής έχει σχηματιστεί στο μέσο του σώματός του μια κόκκιη λωρίδα (Κ). Με τη συμπλήρωση του ου χρόου του, στο μέσο του σώματός του έχου σχηματιστεί μια μαύρη λωρίδα (Μ) και δεξιά και αριστερά της από μια κόκκιη (Κ). Ότα συμπληρώσει το ο χρόο, η μαύρη λωρίδα παραμέει στο μέσο του σώματος του φιδιού, εώ κάθε κόκκιη έχει δώσει τη θέση της σε μια τριάδα (Κ) - (Μ) - (Κ). Και συεχίζει α ααπτύσσεται κάθε χρόο με το ίδιο τρόπο. Α. α) Πόσες κόκκιες (Κ) και πόσες μαύρες (Μ) λωρίδες θα έχει το φίδι μόλις κλείσει 6 χρόια ζωής; β) Να γεικεύσετε για χρόια. Β. Κάποια στιγμή μετρήθηκα 55 λωρίδες στο σώμα του φιδιού. α) Πόσες από αυτές είαι κόκκιες; β) Πόσα χρόια ζωής είχε κλείσει το φίδι; γ) Να γεικεύσετε για N = n λωρίδες. Γ. Οι παρατηρήσεις έδειξα ακόμη ότι οι λωρίδες έχου το ίδιο πλάτος και ότα το φίδι συμπληρώσει το 0ο χρόο ζωής, το μήκος του φτάει τα 0, m, εώ όλο του το σώμα καλύπτεται από τις λωρίδες. Να βρείτε το πλάτος κάθε λωρίδας. 4. Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος που ο α και ο λ είαι ρίζες της εξίσωσης x 7x + = Να βρείτε το ιοστό όρο τω γεωμετρικώ προόδω: i),,, 4 ii),,, 7 9 iii),,, iv) 4,,, 9 9 v),,, vi),,, Να βρεθεί ο ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6ος όρος είαι 8 και ο λόγος. 04

29 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 44. Να βρείτε το ζητούμεο όρο σε καθεμιά από τις γεωμετρικές προόδους: i) Το α 6 της,,, ii) Το α της,,, iii) Το α 7 της,,, iv) Το της 9,,, α Α ο ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είαι λόγος. 4 9 και ο 6ος είαι 4, α βρεθεί ο 46. Σε μια γεωμετρική πρόοδο α βρεθού: i) Ο α α α = 8 και λ =. ii) Ο α α α5 = και α. 0 9 = 47. Στη γεωμετρική πρόοδο 7 87 = ,,,... α βρείτε τη τάξη του όρου της που ισούται με 48. Αάμεσα στις ρίζες της εξίσωσης 9x 44x + 96 = 0 α παρεμβάλετε 5 γεωμετρικούς εδιάμεσους. 49. Αάμεσα στις ρίζες της εξίσωοης x = α παρεμβάλετε 4 γεωμετρικούς εδιάμεσους. 50. Έστω οι εξισώσεις x x + γ = 0 και x x + δ = 0 με ρίζες x, x και x, x 4 ατίστοιχα. Να βρεθού τα γ, δ ώστε οι αριθμοί α είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 5. Έστω γεωμετρική πρόοδος 00. 4,,... Να βρεθεί ο πρώτος όρος της, που υπερβαίει το 5. Έστω γεωμετρική πρόοδος 79, 4, 8... Να βρεθεί ο πρώτος όρος που είαι μικρότερος του. 05

30 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5. Να βρεθού οι γεωμετρικοί μέσοι τω αριθμώ: ί) και 6 ii) και 54. Να βρεθεί ο x ώστε οι πιο κάτω αριθμοί α αποτελού γεωμετρική πρόοδο: i) 5x, 8 x + 5, 0 x + ii) x 9, x, 7x 6 x + x x iii),, x x x x ( x ) x iv),, x x 7 5x Να βρείτε τα αθροίσματα τω 5 πρώτω όρω τω γεωμετρικώ προόδω: ί) 6,, 4,... ii) 9, 96, 48,... iii),, 5, iv),,, v),,, vi),,, Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) iii) Να σχηματιστεί η γεωμετρική πρόοδος που έχει σα πρώτο όρο τη μεγαλύτερη της εξίσωσης x 7x + 6 = 0 και σα λόγο τη μικρότερη ρίζα αυτής. 58. Να βρεθού τρεις ακέραιοι αριθμοί που αποτελού γεωμετρική πρόοδο α το άθροισμα τους είαι 65, εώ η διαφορά τω άκρω είαι Να βρεθού τρεις αριθμοί που αποτελού γεωμετρική πρόοδο α γωρίζουμε ότι το γιόμεό τους είαι 6, εώ ο τρίτος είαι ειαπλάσιος του πρώτου. 76. Το άθροισμα 5 όρω γεωμετρικής προόδου είαι 4, εώ το άθροισμα της άρτιας τάξης όρω είαι 68. Να βρεθού οι 5 όροι της. 06

31 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 60. Να βρείτε το πλήθος όρω που πρέπει α πάρουμε από μία γεωμετρική πρόοδο α ξέρουμε ότι: i) α = 4, λ = 4, S v = ii) α = 4, α = 97, S v = iii) α =, α =, S v =. 6. Να σχηματίσετε μια γεωμετρική πρόοδο που έχει ως 5ο όρο της τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x x 5x + 50 = 0 και ως λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα. Ύστερα, α βρείτε το αθροισμάτω πρώτω όρω της α ως πάρουμε το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας της παραπάω εξίσωσης. 6. Τρεις αριθμοί x, y, z έχου άθροισμα 8. Α oι x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι x, z, y γεωμετρικής προόδου, α βρείτε αυτούς τους αριθμούς. 6. Να προσδιορίσετε το πραγματικό αριθμό x ώστε οι αριθμοί α + x, β + x, γ + x α είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Τι συμβαίει α οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; 64. Να προσδιορίσετε το πραγματικό αριθμό x ότα είαι γωστό ότι οι παρακάτω αριθμοί είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου: i) x, x, 7 x + 4 ii) x, x +, x Να αποδειχτεί ότι, εά οι αριθμοί x, y, ω αποτελού γεωμετρική πρόοδο, θα είαι: x + y + ω x y + ω = x + y + ω ( )( ). 66. Α καθέας από τους αριθμούς x, y, ω είαι γεωμετρικός μέσος τω δύο άλλω, α x y + y ω + ω x = xyω x + y + ω. αποδειχτεί ότι θα είαι: ( ) 67. Α x, y, ω αποτελού γεωμετρική πρόοδο, α αποδειχτεί ότι θα είαι: ( x + y) x = ( y + ω) ω. 68. Α οι αριθμοί α, β, γ, δ αποτελού γεωμετρική πρόοδο, α αποδειχτεί ότι θα είαι: α + δ β + γ α + γ β + δ = β δ. ( )( ) ( )( ) ( ) 69. β Α α + β γ = 0 και α + β + γ = 0, α αποδειχτεί ότι οι αριθμοί α, γ, αποτελού γεωμετρική πρόοδο. 07

32 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 70. Α οι α, β, γ,..., μ, αποτελού γεωμετρική πρόοδο, α αποδειχτεί ότι: α + β + γ μ β + γ = αβ + βγ μ. ( )( ) ( ) 7. Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο α το γιόμεο τω τριώ πρώτω όρω της προόδου είαι 6, εώ το άθροισμα τω κύβω τους είαι Να λυθού οι εξισώσεις: x = 046 x ii) + α + α α = + α i) ( x N) 4 ( )( + α )( + α ) 7. Να υπολογιστού τα αθροίσματα: i) ii) ψηφία ψηφία 74. Ομοίως: i) S = + 4x + 7x v x 5 v ii) S = v v ( ) 75. Α α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου και ισχύει η σχέση ρ σ τ α = β = γ, α αποδειχτεί ότι οι αριθμοί,, είαι διαδοχικοί όροι μιας ρ σ τ αριθμητικής προόδου. 76. Α α + αβ + β = 0 και α + β = γ, α αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, γ, β 4 είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. 77. Να αποδειχτεί ότι, εά τρεις αριθμοί σχηματίζου ταυτόχροα αριθμητική και γεωμετρική πρόοδο, είαι ίσοι. 78. Το άθροισμα τω αριθμώ x, y, z είαι 47. Να βρεθού οι αριθμοί α γωρίζουμε ότι η σειρά x, y, z αποτελεί αριθμητική πρόοδο, εώ η σειρά x, z, y αποτελεί γεωμετρική πρόοδο. 79. Δυο πρόοδοι, μια αριθμητική και μια γεωμετρική, έχου κοιούς τους δύο πρώτους όρους. Ο τέταρτος όρος υπερβαίει το δεύτερο κατά 0 στη αριθμητική και κατά 0 στη γεωμετρική. Να βρεθού οι δύο πρόοδοι. 80. Α α α = και λ. 5 +, α δείξετε ότι η ακολουθία είαι γεωμετρική πρόοδος. Να βρείτε τα 08

33 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( 0) 8. Α S v = είαι το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας ακολουθίας, α δείξετε ότι η ακολουθία είαι γεωμετρική πρόοδος και α βρείτε τα και λ. 8. Να δειχθεί ότι α οι όροι τάξης κ, λ, μ, μιας αριθμητικής προόδου είαι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, τότε οι αριθμοί κ λ, λ μ, μ είαι διαδοχικοί επίσης όροι γεωμετρικής προόδου. ( xy + yz + zx) = xyz ( x + y + z ) 8. Να δείξετε ότι α, τότε οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με οποιαδήποτε σειρά. 84. Να δείξετε ότι α α, α,..., α v είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ισχύει η σχέση: α + α + + α = α α α α α α 85. Να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με οποιαδήποτε σειρά α: α βγ + β αγ + γ αβ α + β + γ αβγ =. ( ) ( ) ( ) ( ) Να σχηματισθού οι γεωμετρικές πρόοδοι με: α) α = 5 και λ = β) α = και λ = 4 γ) α = - 0 και λ = 87. Ποιο αριθμό πρέπει α προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για α γίου τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; α α) Α α = και λ = α βρεθεί ο α 6 β) Α α 6 = 448 και λ = α βρεθεί ο α γ) Α α = 9 και α 5 = 44 α βρεθεί ο λ δ) Α α = και λ = και α = 6 α βρεθεί ο Να ορισθεί μία γεωμετρική πρόοδος, α α 4 = - 6 και α 8 = Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α = και α 8 = 84, α βρεθεί ο λ. 09

34 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. Στη γεωμετρική πρόοδο α) με α =, α = και λ = α βρείτε το πλήθος 64 8 β) με α =, α 5 = α βρείτε το λόγο λ Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος, ότα α) με α 4 - α = 4, α + α = 6 α 4 β) με = 4 και α α 8 = α α) Α σε μία γεωμετρική πρόοδο είαι α 4 = α 6 = 7 και α = 9477, α βρεθεί ο. β) Να βρεθεί το πλήθος τω όρω μιας γεωμετρικής προόδου α, α έχουμε: α = 4, α = 97 και S = Να βρεθού τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου άθροισμα 4 και γιόμεο Να βρεθού τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου γιόμεο 6 και άθροισμα μεσαίω όρω Να βρεθού τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι α έχου γιόμεο 65 και το τετράγωο του τρίτου είαι τετραπλάσιο του γιομέου τω δύο άκρω όρω. 97. Να βρεθού τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α γωρίζουμε ότι το άθροισμα τω δύο πρώτω είαι 0 και το άθροισμα τω δύο τελευταίω είαι 5. α) Να βρεθεί μία γεωμετρική πρόοδος που α είαι γησίως αύξουσα και οι διαφορές του πρώτου από το πέμπτο όρο της είαι 60 και του δεύτερου από το τέταρτο όρο της είαι 48. β) Να βρεθεί μία γεωμετρική πρόοδος που α είαι γησίως φθίουσα και οι διαφορές του πρώτου από το πέμπτο όρο της είαι 60 και του δεύτερου από το τέταρτο όρο της είαι Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος α ο έκτος όρος είαι τετραπλάσιος του τέταρτου όρου της και το άθροισμα του δεύτερου και του πέμπτου όρου της είαι Να βρεθού τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, α ξέρουμε ότι ο δεύτερος είαι μεγαλύτερος από το πρώτο κατά και ο τρίτος μικρότερος από το τέταρτο κατά. 0

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε :

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ. iii) 32, 16,8, iv) 27, 9, 3,... και λ=2.να βρείτε : και α4=6.να βρείτε : Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 8ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων: i) 1,, 4 ii) 1, 1,1,... 9 3 iii) 3, 16,8, iv) 7, 9, 3,... 8 4 3. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ. 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-2,-7,-12, Ν-οστός όρος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΟΔΟΥΣ 1. Να βρείτε τον 31 ο όρο των παρακάτω αριθμητικών προόδων: i)1,4,7, ii)-9,-5,-1, iii)7,5,3, iv)-,-7,-1,. Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν) είναι α1= και ω=3.να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù úï ùþ üÿùÿ üÿ ù + ü ú ù 10 03. ÿ+ü ÿù ü!&10" # *Œ # ³&1)- " 1. * þ1#!1 I [ 03[ 0. Œ0! / 0 Œ0! / Œ. * þ1#!1 I [ 1#[ 0. Œ0!. 3. * þ 1#!1 I [ 13[ $0 Œ0/!1 * 1* ^x R x 0 }. 4.

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ασκήσεις στο ορισμό και τις ιδιότητες 0) Να βρείτε το μέτρο τω μιγαδικώ αριθμώ α) 3i = ε) ( ) 5 β) = 7 στ) γ) = 4 3i ζ) δ) = 4+ 3i η) = = i θ) 3 = + i 3 = i ( α βi)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

3. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας Γ. R 2. R 3

3. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας Γ. R 2. R 3 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εά το απόστηµα καοικού πολυγώου, εγγεγραµµέου σε κύκλο ακτίας R, είαι R, η πλευρά του είαι Α. R Β. R Γ. R. R Ε. R. * Εά η πλευρά καοικού πολυγώου, εγγεγραµµέου σε κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα