ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ."

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος Δ. ίσος με Ε. πραγματικός 3. * Η γραφική παράσταση μιας ακολουθίας είναι Α. Μια ευθεία γραμμή Β. Μια παραβολή Γ. Μια υπερβολή Δ. Μεμονωμένα σημεία του επιπέδου με τετμημένες φυσικούς αριθμούς Ε. Μια τυχαία γραμμή στο επίπεδο 4. * Ο γενικός όρος της ακολουθίας 5 5 είναι Α. 5 Β. 0 Γ. 0 Δ. Ε. 5. * Ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. 6. * Ο 3 ος όρος της ακολουθίας 3, είναι Α. - 6 Β. - Γ. Δ. 7 Ε. 55

2 7. * Η γραφική παράσταση της ακολουθίας είναι σημεία με τετμημένες θετικούς ακεραίους της ευθείας Α. y 0 Β. y Γ. y Δ. y 3 Ε. y 4 8. * Για την ακολουθία 5, ισχύει Α. Β. Γ. Δ. 5 Ε ** Η γραφική παράσταση της ακολουθίας, όταν άρτιος είναι Α. Η ευθεία y Β. Ο θετικός ημιάξονας Οx Γ. Η διχοτόμος της γωνίας xoy Δ. Τα σημεία της ευθείας y με τετμημένες άρτιους φυσικούς Ε. Τα σημεία του ημιάξονα Οx με τετμημένες άρτιους φυσικούς 0. * Σε κάθε ακολουθία ( ) ισχύει Α. Β. όλοι οι όροι ομόσημοι Γ. όλοι οι όροι 0 Δ. Ε. τίποτε από τα προηγούμενα. * Aπό τις παρακάτω ακολουθίες αριθμητική πρόοδος είναι η Α. 3, 6, 8, 0,,... Β., 4, 8, 6, 3,... Γ. -3,, 5, 9, 3,... Δ. -3, 0, 3, 6,... Ε.,,,,

3 . * Αν η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είναι η μεγαλύτερη ρίζα και ο πρώτος της όρος η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x 5x 6 0, τότε ο 3 ος όρος της προόδου είναι ο Α. 7 Β. - 5 Γ. 5 Δ. - 7 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 5 3. Τότε η διαφορά είναι ίση με Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 0 και 3. Τότε είναι ίσο με Α. 5 Β. Γ. - Δ. 6 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 3 και διαφορά 4 έχουμε 35. Τότε το πλήθος των όρων της είναι Α. 7 Β. 3 Γ. 3 Δ. 9 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 8 40 και 0 0. Τότε o 4 ος όρος της είναι ίσος με Α. 5 Β. Γ. 0 Δ. 9 Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 3. Τότε οι θετικοί της όροι είναι οι Α. Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε. όλοι οι όροι της 8. * Ο 0 ος όρος της αριθμητικής προόδου : 0, 7, 4, είναι Α. - 4 Β. - 0 Γ. - 7 Δ Ε * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 7 και. Τότε δεν είναι όρος της ο Α. 5 Β. Γ. 5 Δ. Ε. 57

4 0. * Η ακολουθία με γενικό όρο 3 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ίση με Α. 5 Β. Γ. - Δ. 3 Ε. 0. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 8 και 3. Τότε ο νιοστός της όρος είναι ίσος με Α. 8 3 Β. 3 8 Γ. 3 5 Δ. 5 3 Ε.. ** Ένας μαθητής ύψους,7 m στέκεται μπροστά σε μια σκάλα, κάθε σκαλοπάτι της οποίας έχει ύψος 8 cm. α) Το πρώτο σκαλοπάτι της σκάλας, που βρίσκεται σε μεγαλύτερο ύψος από το μαθητή, είναι το Α. όγδοο Β. δέκατο Γ. ενδέκατο Δ. δωδέκατο Ε. εικοστό β) Δεν υπάρχει σκαλοπάτι που να βρίσκεται σε ύψος από το έδαφος Α. 36 cm Β. 54 cm Γ. 7 cm Δ.,44 m Ε.,56 m 3. ** Η αριθμητική πρόοδος:, c, 4c, είναι γνησίως αύξουσα όταν Α. 0 Β. c 0 Γ. c 0 Δ. c 0 Ε. πάντοτε 4. ** Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 4 x και 6 y, τότε η διαφορά είναι ίση με Α. x y Β. x y x Γ. y Δ. y x Ε. y x 5. * Η διαφορά της αριθμητικής προόδου :,,, είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 58

5 6. * Από τις παρακάτω τριάδες δεν αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α. 5, 0, 35 Β. - 5, 0, 5 Γ. 45, 0, - 5 Δ. 5, -0, -5 Ε. - 5, 0, *Αν οι αριθμοί 3k, k + 4, k - είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ο k είναι ίσος με Α. 4 Β. Γ. 5 Δ. 4,5 Ε.,5 8. * Αν τρεις ακέραιοι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα και γινόμενο 80, τότε αυτοί είναι Α., 0, 4 Β. 5, 7, 9 Γ. 4, 7, 0 Δ., 7, 3 Ε. - 4, 7, * Αν οι αριθμοί x, y, z είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει Α. y x z Β. z x y Γ. z x y Δ. z y y x Ε. z x y 30. * Αν οι,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. Β. Γ. Δ. 3 Ε * Αν οι αριθμοί Α. Δ.,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Β. Ε. Γ. 59

6 3. * Από τις επόμενες τετράδες δεν αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α., 5, 8, Β. - 3, - 9, - 5, - Γ. 8, 8, 38, 58 Δ. - 6, -, 4, 9 Ε. - 4, -, 0, 33. * Αν οι,,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ποια από τις παρακάτω απαντήσεις δεν είναι σωστή; Α. Β. Γ. Δ. Ε. 34. * Ο 5 είναι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών Α. 5 και 0 Β. -5 και -5 Γ. -9 και - Δ. 9 και Ε. 9 και * Στην αριθμητική πρόοδο: 5, 9, 3, 7,, 5 αριθμητικός μέσος είναι ο Α. 8 Β. 0 Γ. 30 Δ. 5 Ε * Οι διάφοροι του μηδενός πραγματικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποια από τις παρακάτω τριάδες δεν αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου; Α.,, Β.,, Γ.,, Δ.,, Ε.,, * Αν σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε 5 και 5 των 4 πρώτων όρων της είναι, τότε το άθροισμα Α. 8 Β. 43 Γ. 50 Δ. 0 Ε

7 38. * Σε μια αριθμητική πρόοδο τα αθροίσματα S 6 93 και S Τότε ισχύει Α. 3 Β. 3 Γ. 3 Δ. 3 Ε. S * Τα πολλαπλάσια του 3 μεταξύ του 5 και του 35 είναι Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ. 0 Ε * Μια ακολουθία,, 3,, είναι αριθμητική πρόοδος αν Α. η διαφορά δυο οποιωνδήποτε όρων της είναι σταθερός πραγματικός αριθμός Β. η διαφορά μεταξύ πρώτου και τελευταίου όρου της είναι σταθερός αριθμός Γ. οι διαφορές των διαδοχικών όρων της είναι ίδιοι πραγματικοί αριθμοί Δ. οι διαφορές των διαδοχικών όρων της είναι ίδιοι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Ε. το άθροισμα των όρων της είναι σταθερός πραγματικός αριθμός. 4. * Σε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά, το άθροισμα δυο όρων της που ισαπέχουν από τα άκρα της είναι Α. Πολλαπλάσιο της διαφοράς. Β. Παίρνει τιμές που εξαρτώνται από την τάξη των όρων αυτών. Γ. Ίσο με το πλήθος ν. Δ. Ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων της προόδου. Ε. Ίσο με τον αριθμητικό μέσο της. 4. * Σε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω > 0 ισχύει Α. 4 3 Β. 4 4 Γ. 3 4 Δ. 4 3 Ε * Αν για τους όρους μιας ακολουθίας ( ) ισχύει c, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός, τότε 6

8 Α. η ( ) είναι αριθμ. πρόοδος Β. η ( ) είναι γν. αύξουσα Γ. c Δ. όλοι οι όροι είναι ομόσημοι Ε. όλοι οι όροι της είναι ίσοι 44. * Σε κάθε αριθμητική πρόοδο η διαφορά είναι Α. θετικός ρητός Β. σταθερός ακέραιος Γ. 0 Δ. ίσος με Ε. σταθερός πραγματικός 45. * Αν οι αριθμοί x, y, z είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. x y z Β. z x y Γ. y x z Δ. y x z Ε. y x z 46. * Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S των ν πρώτων όρων της είναι Α. Δ. Β. Ε. Γ. 47. * Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S των ν πρώτων όρων της είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6

9 Ερωτήσεις συμπλήρωσης. * Να γράψετε τους όρους που λείπουν στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5, 8,, 4, 7,,, 6. β) 7,,, 5. γ) k, k + 3,, 4k + 9,. δ) x,, 5x +, 7x + 3,,.. * Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τους όρους που λείπουν στις παρακάτω ακολουθίες. Ακολουθία με αναδρομικό τύπο α) 3 β) * Να γράψετε τους όρους που λείπουν στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5 3 β) γ) δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπουν στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 0 70 β) 0 70 γ) 0 70 δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπουν έτσι ώστε κάθε γραμμή να είναι αριθμητική πρόοδος α) x y x - y β) x - y x y γ) x - 3y x + 3y δ) x + 3y x - 3y 63

10 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Συνδέστε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α με τον αντίστοιχο όρο της, που υπάρχει στη στήλη Β. ) Στήλη Α Α) Στήλη Β, 3 ) Β) 3, 5 3 Γ) 8, 7 3 3) 3 Δ), 3 Ε), 0 3 4) 3 8 ΣΤ),

11 . * Συνδέστε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α με τον 5 ο της όρο, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) ) 4,, 8, Β) Γ) ) 8,4,, Δ) 4 3) 0, 7, 4, Ε) 5 4) 7, 9, 3, ΣΤ) 3 65

12 3. * Συνδέστε κατάλληλα κάθε στοιχείο της στήλης Α με το αντίστοιχό του, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α), 3 ) Β), ) 3 Γ), 3 Δ) 3, 5 3) 3 Ε) 3, 3 4) ΣΤ) 3, 4. * Συνδέστε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α με τον 5 ο της όρο, που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ) 5 Α) 5 5 Β) 5 5 ) 5 Γ) 5 0 3) 5 Δ) Ε)

13 5. * Να χαρακτηρίσετε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α με βάση το είδος της μονοτονίας της, που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) αύξουσα ) -5, -3, -,... Β) γνησίως αύξουσα ), 5, 8, Γ) φθίνουσα 3) 6,, 6, Δ) γνησίως φθίνουσα Ε) σταθερή 4) 3,,, 0, 0, 0,... ΣΤ) όχι μονότονη 6. * Να χαρακτηρίσετε κατάλληλα κάθε ακολουθία της στήλης Α με βάση το είδος της μονοτονίας της, που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) αύξουσα ) 4, Β) γνησίως αύξουσα ), Γ) φθίνουσα 3), Δ) γνησίως φθίνουσα Ε) σταθερή 4), ΣΤ) όχι μονότονη 67

14 7. * Συνδέστε κατάλληλα κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α με το νιοστό όρο της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ), 3 Α) 4 4 Β) 5 0 ) 4, 3 Γ) 3 3) 0, 4 Δ) 3 7 Ε) 6 8. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 3 5 Α) S ), 3 Β) S ) 4, 3 3) 0, 4 3 Γ) S Δ) 6 S Ε) S 68

15 9. ** Συνδέστε κατάλληλα κάθε αριθμητική πρόοδο της στήλης Α με τη διαφορά της, που υπάρχει στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) ) 4 3 Β) - ) 7 6 Γ) 3) 3 Δ) - Ε) 3 4) 4 ΣΤ) ** Να αντιστοιχίσετε σε κάθε τριάδα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου της στήλης Α, την τιμή που πρέπει να πάρει το x της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) x = 5 ), x +, Β) x = 6 ) 3 + x, 5, Γ) x = 3) 4, 9 + x, 0 + x Δ) x = 6 Ε) x = 0 69

16 Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α) 4 3 β) γ) δ) 0, 3. ** Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών α) 3 β) 53 γ) 3. ** Να βρείτε τον γενικό τύπο των ακολουθιών α), β) 3, 5 γ), 3 4. * Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 94. Να βρείτε τη διαφορά και τον 0 ο όρο της προόδου. 5. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7. α) Να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμα ίσο με 679. β) Ποιος θα είναι ο τελευταίος όρος σ αυτή την περίπτωση; 70

17 6. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι S 0 = 60 και το άθροισμα των πρώτων όρων της S =. Να βρείτε τη διαφορά και τον ο όρο της. 7. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία α) το άθροισμα του ου και του 5 ου όρου είναι -, ενώ το άθροισμα του ου και του 6 ου είναι β) το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 7, ενώ το γινόμενο των ίδιων όρων είναι ** Σε μια αριθμητική πρόοδο ο ος και ο 8 ος όρος διαφέρουν κατά 4, ενώ το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 70. α) Να βρείτε την πρόοδο, αν είναι γνωστό ότι είναι γνησίως φθίνουσα. β) Ποιο είναι το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του 8 ου και του 5 ου όρου της στην περίπτωση αυτή; 9. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα των 3 πρώτων της όρων είναι ίσο με -3 και άθροισμα των 5 πρώτων όρων ίσο με ** Να βρείτε το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου με 6 8, ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν ο ος και ο 7 ος όρος έχουν γινόμενο 00 και οι μεταξύ τους όροι έχουν άθροισμα 50. ** Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 9 5 και S 65. α) Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου και β) το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. 7

18 3. ** α) Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν α 3 = και α 6 = 3 β) Πόσοι πρώτοι όροι της έχουν άθροισμα που δεν υπερβαίνει το 0; 4. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία ο 4 ος και ο 8 ος όρος της έχουν άθροισμα 8, ενώ το άθροισμα των κύβων των όρων αυτών είναι * Να αποδείξετε ότι για κάθε,, οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου., και 6. * Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τους,,. 7. ** Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) δείξτε ότι οι αριθμοί,, είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) να βρείτε τον λόγο των διαφορών των δυο προόδων αυτών. 8. ** α) Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι:. β) Αν οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι οι,, είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 7

19 9. ** Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα 33 και γινόμενο ** Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα 6 και γινόμενο άκρων όρων 7.. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν S 5 S S 0 5 και.. ** Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχονται μεταξύ του 5 και του ** Να βρείτε το πλήθος και το άθροισμα α) των διψήφιων περιττών αριθμών β) των διψήφιων αρτίων αριθμών γ) των διψήφιων φυσικών αριθμών δ) των διψήφιων πολλαπλασίων του ** α) Ποιο είναι το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της προόδου: 3, 5, 7, 9,... ; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους της προόδου αυτής πρέπει να προσθέσουμε, για να πάρουμε άθροισμα 99; 5. ** Μεταξύ των αριθμών 4 και 34 να παρεμβάλετε άλλους αριθμούς, ώστε να δημιουργηθεί μια αριθμητική πρόοδος με όρους. 6. ** Πόσους αριθμούς πρέπει να παρεμβάλουμε μεταξύ του 5 και του 50 ώστε ο τελευταίος από τους αριθμούς αυτούς να είναι 3πλάσιος από τον δεύτερο τους; 7. ** Να βρείτε τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν γνωρίζετε ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 73

20 8. ** Αν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι είναι ανάλογα των αριθμών 3, 4, ** Σε μια ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε ώστε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν ΑΓ = 6 cm και ΓΕ = 4 cm να βρείτε τα μήκη των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΕ. 30. ** Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας:, - 3, 5, - 7, 9, -, ** Στις προόδους κοινοί όροι (όπως ο ). α) Να βρείτε τον επόμενο κοινό τους όρο. :7,, 5,... και :6,, 6,... εμφανίζονται β) Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων κοινών όρων τους. 3. ** Να βρείτε τα αθροίσματα: α) και β) ** Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x x x β) 73 x 80 με x > ** Ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας είναι 3. α) Να βρείτε τον επόμενο όρο β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος γ) Να βρείτε το άθροισμα των 30 πρώτων όρων της δ) Να βρείτε την τάξη του όρου της που είναι ίσος με 6 (Μπορούν να γίνουν και ανάλογα προβλήματα για 3 3 ή 4 9 κ.λ.π.) 4 ή 74

21 35. ** Μιας ακολουθίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι S 3. α) Να βρείτε το άθροισμα των (ν-) πρώτων όρων της β) Να βρείτε τον νιοστό της όρο γ) Να βρείτε τον όρο δ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος ε) Να βρείτε την τάξη του όρου της που είναι ίσος με 00 (Μπορούν να γίνουν και ανάλογα προβλήματα για S 3 ή S 4 3 ή S κ.λ.π.) 36. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε φυσικό αριθμό ν, είναι S. 37. ** Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε φυσικό αριθμό ν, είναι S. 38. ** Α. Αν, δυο αριθμητικές πρόοδοι με διαφορές, αντίστοιχα και για κάθε σχηματίζεται αριθμητική πρόοδος. α) β) γ) 3 δ) είναι 0, εξετάστε σε ποια περίπτωση στ) ζ) η) 3 θ) ε) ι) Β. Στις περιπτώσεις που σχηματίζεται αριθμητική πρόοδος, βρείτε την αντίστοιχη νέα διαφορά. 75

22 39. ** α) Αν α ì, α k είναι οι όροι τάξεως μ, k αντιστοίχως μιας αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι ισχύει: k k. β) Δείξτε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο,,..., οι όροι και ισαπέχουν από τα άκρα και. γ) Δείξτε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο,,..., οι όροι που ισαπέχουν από τα άκρα, έχουν άθροισμα ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων. 40. ** Ένα κερί καίγεται με σταθερό ρυθμό. Στο τέλος της ης ώρας είχε ύψος 36 cm, στο τέλος της ης 33 cm, στο τέλος της 3 ης 30 cm κ.λπ. I. i) Οι τιμές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελούν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 3 ii) Οι τιμές του ύψους του κεριού στο τέλος κάθε ώρας αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 36 iii) Το ύψος του κεριού στο τέλος κάθε ώρας θα είναι πολλαπλάσιο του 3 iv) Στο τέλος της 5 ης ώρας το ύψος του κεριού θα είναι μικρότερο από 0 cm v) Μετά από 5 ώρες το κερί δεν θα έχει λειώσει τελείως Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ II. i) Ποια από τις παρακάτω τριάδες είναι ύψη του κεριού στο τέλος τριών διαδοχικών ωρών: Α., 3, 5 Β. 8, 0, Γ. 4, 5, 6 Δ. 5,, 7 Ε. 5, 8, 76

23 ii) Στο τέλος της 6 ης ώρας το ύψος του κεριού θα είναι Α. 5 cm Β. 0 cm Γ. 8 cm Δ. cm Ε. 4 cm iii) Το ύψος του κεριού θα γίνει μικρότερο από 8 cm στο τέλος της Α. 4 ης ώρας Β. 6 ης ώρας Γ. 8 ης ώρας Δ. 0 ης ώρας Ε. ης ώρας iv) Το κερί θα λειώσει τελείως μετά από Α. 5 ώρες Β. 0 ώρες Γ. 8 ώρες Δ. 5 ώρες Ε. ώρες v) Το ύψος που θα έπρεπε να έχει το κερί, για να λειώσει τελείως μετά από 4 ώρες είναι Α. 59 cm Β. 66 cm Γ. 68 cm Δ. 69 cm Ε. 7 cm III. α) Πόσο θα είναι το ύψος του στο τέλος της 8 ης ώρας; β) Στο τέλος ποιας ώρας θα έχει ύψος 9 cm; γ) Πόσο ήταν το ύψος την στιγμή που το ανάψαμε; δ) Πόσες ώρες θα μείνει αναμμένο; 4. ** Α. Οι μαθητές ενός σχολείου θέλησαν να γραφτούν στο βιβλίο Γκίνες κάνοντας ρεκόρ στο σχηματισμό της υψηλότερης ανθρώπινης πυραμίδας που θα ισορροπούσε για ένα λεπτό. Μπήκαν λοιπόν σε σειρές ως εξής: στην κορυφή ένα άτομο, στην επόμενη σειρά δύο, στην αμέσως πιο κάτω σειρά τρεις κ.λ.π. Έτσι κατάφεραν συνολικά 45 μαθητές να κάνουν το ρεκόρ. α) Πόσες σειρές είχε η πυραμίδα που σχημάτισαν; β) Πόσοι τουλάχιστον μαθητές θα χρειαστούν ώστε να σπάσει το ρεκόρ αυτό, αν σχηματίσουν με παρόμοιο τρόπο μια νέα πυραμίδα; Β. Ένα μήνα μετά οι μαθητές ενός γειτονικού σχολείου σχημάτισαν με όμοιο τρόπο μια πυραμίδα υψηλότερη κατά 3 σειρές και έσπασαν το ρεκόρ. α) Πόσοι συνολικά ήταν μαθητές αυτοί; β) Αν οι μαθητές που παίρνουν μέρος στο σχηματισμό της πυραμίδας δεν ξεπερνούν τους 0, πόσες σειρές μπορούν να σχηματίσουν; 4. ** Μια ομάδα 34 στρατιωτών παρατάσσεται σε τριγωνικό σχήμα ώστε: στην πρώτη σειρά μπαίνει ένας στην δεύτερη τρεις, στην τρίτη πέντε κ.λ.π. α) Πόσοι θα είναι στην η σειρά; 77

24 β) Πόσες σειρές σχηματίστηκαν συνολικά; 43. ** Α. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7η 8 καθίσματα. α) Πόσα καθίσματα έχει η 0η σειρά; β) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4η έως την και την 0η σειρά; Β. Αν στην η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη η υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στην 3η κ.λ.π. α) από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα; β) Πόσοι θα είναι οι θεατές; 44. ** Στις σύγχρονες βιομηχανικές εγκαταστάσεις χρησιμοποιούνται για την στήριξη των οροφών ειδικές αψίδες (όπως αυτή στο παρακάτω σχήμα ), (Σχ. ) που τοποθετούνται επάνω σε τσιμεντένιες κολώνες. Οι αψίδες αυτές σχηματίζονται από δοκάρια (όπως στο παρακάτω σχήμα ), (Σχ. ) διαφορετικού μήκους που αποτελούνται από ίσες μεταλλικές ράβδους. Τα δοκάρια ονομάζονται με τον αριθμό που δείχνει το πλήθος των ράβδων της μεγαλύτερης πλευράς τους (π.χ. στο σχήμα έχουμε δοκάρι νούμερο 6). 78

25 Α. α) Πόσες ράβδους έχει ένα δοκάρι νούμερο 4; β) Πόσες ράβδους διαφορά έχουν δυο δοκάρια διαδοχικών αριθμών; Β. α) Να βρείτε έναν τύπο που να συνδέει τον νούμερο k ενός δοκαριού, με το πλήθος ρ των ράβδων του. β) Σε πόση απόσταση πρέπει να μπουν οι τσιμεντοκολώνες που θα στηρίξουν την αψίδα του σχήματος, αν κάθε ράβδος έχει μήκος 0,5 m; 45. ** Κατά τη διάρκεια έργων συντήρησης του οδοστρώματος ενός τμήματος της εθνικής οδού, είχαν τοποθετηθεί ειδικοί φωτεινοί σηματοδότες (σχήματος βέλους) που εμπόδιζαν την κυκλοφορία σε εκείνο το τμήμα του δρόμου. Οι σηματοδότες αυτοί ήταν τοποθετημένοι ανά 0 m. Μόλις τελείωσαν τα έργα, ένας εργάτης που βρισκόταν στον πρώτο σηματοδότη, πήρε εντολή να μεταφέρει όλους τους σηματοδότες δίπλα στον τελευταίο. Όμως, λόγω του μεγάλου βάρους του σηματοδότη, ο εργάτης μπορούσε να μεταφέρει μόνο ένα κάθε φορά. Όταν τελείωσε την μεταφορά, είχε καλύψει συνολικά,44 km. α) Πόσες φορές έκανε τη διαδρομή από τον πρώτο έως τον τελευταίο σηματοδότη; β) Πόσες φορές έκανε τη διαδρομή από τον δεύτερο έως τον τελευταίο σηματοδότη; γ) Πόσοι ήταν οι σηματοδότες; 46. ** Ένας αθλητής μετά την αποθεραπεία του από ένα ατύχημα, άρχισε την Δευτέρα 9 Φεβρουαρίου 996 νέες προπονήσεις. Ανάμεσα στις άλλες ασκήσεις έπρεπε να κάνει και κάμψεις (push ups) καθημερινά (ακόμα και τα Σάββατα και τις Κυριακές), σύμφωνα με το παρακάτω πρόγραμμα: Ημέρα Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη... Αριθμός Κάμψεων μέχρι να φθάσει τον αριθμό των 0 κάμψεων. Έπειτα θα συνέχιζε με 00 κάμψεις κάθε ημέρα εκτός Κυριακής. 79

26 α) Πόσες κάμψεις θα έκανε την Τετάρτη της επόμενης εβδομάδας; β) Μετά από πόσες μέρες έφθασε τις 0 κάμψεις; γ) Ποια ήταν η ημερομηνία της πρώτης Κυριακής που σταμάτησε τις κάμψεις; 47. Ένα παιδί παίζοντας με κύβους του cm 3 έφτιαξε μια τετραγωνική πυραμίδα με 3 πατώματα. Το ο πάτωμα (η βάση) έχει επιφάνεια 5 cm, το ο (το μεσαίο) έχει επιφάνεια 9 cm και το 3ο (η κορυφή) αποτελείται από ένα μόνο κύβο. Αν το παιδί έφτιαχνε μια παρόμοια πυραμίδα με 0 πατώματα, α) πόσους κύβους θα περιείχε η βάση της; β) πόσους κύβους θα είχε χρησιμοποιήσει; γ) Αν είχε στη διάθεσή του 0 κύβους, πόσα πατώματα θα είχε η πυραμίδα του; 80

27 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τις παρακάτω ακολουθίες είναι γεωμετρική πρόοδος η Α. 0, 0, 30, Β. 5, 5, 5, Γ. 3, 6, 9, Δ. 4, 0, 00, Ε. - 5, 0, 5,. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο α = 4 και λ = 3, αυτή είναι Α. 4, 7, 0, 3, Β. 4, 43, 46, Γ. 4,, 36, Δ. 3,, 48, Ε. 4, 4 3, 4 9, 3. * Αν 7, -, 63, μια γεωμετρική πρόοδος, τότε ο λ είναι Α. 3 Β. - 4 Γ. 4 Δ. -3 Ε * Ο 4 ος 3 όρος της γεωμετρικής προόδου,,...είναι 4 9 Α. Β Δ. Ε Γ * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α = 5, λ =, τότε ο α 5 είναι Α. - 5 Β. 5 Γ. 0 Δ. 80 Ε. 30 8

28 6. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α = 3 και α 4 = 375, τότε ο λ είναι Α. 378 Β. 37 Γ. 0 Δ. 5 Ε. 3 8

29 7. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι λ = και α 6 = 448, τότε ο α είναι Α Β. 4 Γ. 600 Δ Ε * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α =, λ = 3 και α ν = 6, τότε η τάξη του όρου α ν είναι Α. Β. 4 Γ. 3 Δ. Ε * Αν σε μία αύξουσα γεωμετρική πρόοδο α 3 = και α 5 = 9, τότε ο λ είναι Α. - 4 Β. 80 Γ. 6 Δ. 4 Ε. 0. * Από τις παρακάτω γεωμετρικές προόδους είναι φθίνουσα η Α. 3,, 3, 9... Β. 4,, 36,... Γ. - 30, 3, - 0,3,... Δ. - 0, -5, Ε., - 8, 3,.... * Αν η γεωμετρική πρόοδος x, y x,... είναι απολύτως γνησίως φθίνουσα, τότε y Α. y 0 Β. y < 0 Γ. y < Δ. x < y Ε. y >. * Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α 4 = x και α 6 = y (όπου x, y ομόσημοι), τότε έχουμε x y x Α. λ = Β. λ = y y Γ. λ = x Δ. λ y = x Ε. λ = x y 83

30 3. * Ο λόγος της γεωμετρικής προόδου α β, α,... είναι β α Α. Β. Γ. Δ. α β α β Ε. α β 4. * Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο α 5 = 48 και α 7 = 9, τότε το α 3 είναι Α. - Β. Γ. 44 Δ. 36 Ε * Αν η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x - 3x + = 0 είναι το α μιας γεωμετρικής προόδου και η μεγαλύτερη είναι ο λ της ίδιας προόδου, τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι Α.,, 4, 8,... Β. -,, - 4, 8,... Γ., 3, 5,... Δ., 3, 4,... Ε. 3, 5, 7, * Αν τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου και έχουν άθροισμα 65, τότε αυτοί είναι 5 5 Α. 5,, Β. 7,, 36 Γ. - 4, -, Δ. 5, 5, 45 Ε.,, * Ο αριθμός 6 είναι γεωμετρικός μέσος των αριθμών Α. 4 και 8 Β. - και - 3 Γ. 3 και Δ. και 0 Ε. 5 και 7 8. * Αν οι αριθμοί x -, x, x + αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ο x ισούται με Α. - Β. Γ. 4 Δ. 0 Ε * Αν οι x -, x +, x + 5 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. x = Β. x = - Γ. x = Δ. x = 3 Ε. x 0 84

31 0. * Αν οι θετικοί αριθμοί β α, γ, α β είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. γ = β Β. γ = β Γ. γ = α Δ. γ = α Ε. γ = α β. * Αν οι αριθμοί x, y, z είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε z z x y x z Α. y = Β. x = Γ. = Δ. = Ε. y = x y y z y y x z. * Αν οι γ, α β 3, α β είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Α. γ = α β 4 Β. γ = α β - Γ. γ = β 5 Δ. γ = α β 5 Ε. γ = β - 3. * Αν οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε από τις παρακάτω απαντήσεις είναι λάθος η δ Α. β γ = Β. α γ = β Γ. β δ = γ β Δ. = Ε. α β γ = δ γ α α δ 4.* Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α = 3, λ =, τότε ο νιοστός όρος της είναι Α. α ν = 3 ν- Β. α ν = 3 ν- Γ. α ν = - ν - 3 Δ. α ν = 3 ν + Ε. α ν = 3 ν 5. * Αν α = 3 και α ν + = 4 α ν, τότε ο νιοστός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι Α. α ν = - ν Β. α ν = 4 α ν - Γ. α ν = 4 3 ν Δ. α ν = 3 4 ν- Ε. α ν = 7 ν 6.* Αν μία γεωμετρική πρόοδος έχει α ν = 5 ν-, τότε αυτή έχει Α. α = 0, λ = Β. α = 5, λ = Γ. α =, λ = 5 Δ. α = 3, λ = Ε. α =, λ = 5 85

32 7. * Στη γεωμετρική πρόοδο -,, - 4,... το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της είναι Α. - Β. - 6 Γ. 8 Δ. Ε * Αν α = 8 και λ = 3, τότε το S 4 είναι Α. 70 Β Γ. 30 Δ. 80 Ε * Αν α = 7 και S 4 = 80, τότε το λ είναι Α. 5 Β. - Γ. 7 Δ. 7 Ε * Σε μία γεωμετρική πρόοδο αν είναι α = 4, ω = 4, S ν =5460, τότε ο ν είναι 3 Α. Β. - 8 Γ. 4 Δ. 6 Ε. 3. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο α = 5 και λ =, τότε το S ν είναι Α. S ν =5 ( ν - ) Β. S ν =5 ν Γ. S ν =5 ν+ Δ. S ν =5 ( ν + 3) Ε. S ν =5 ν- 3. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο με λ < το άθροισμα των άπειρων όρων της είναι 9 και α - α = 4, τότε η πρόοδος είναι Α. - 8, 4, -,,... Β. 6,,,, Γ. 3, 6,,... Δ. 0, 6,, Ε.- 6, -0,,

33 33. * Για να είναι μία ακολουθία α, α,... α ν γεωμετρική πρόοδος πρέπει Α. η διαφορά δύο διαδοχικών όρων να είναι σταθερή Β. το πηλίκο δύο οποιονδήποτε όρων να είναι σταθερό λr* Γ. το πηλίκο των διαδοχικών όρων της να είναι σταθερό λr* Δ. να είναι α + α ν = λ για κάθε νν* Ε. να είναι α ν = α λ για κάθε νν* 34. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο ο λόγος λ είναι Α. θετικός Β. Γ. ακέραιος Δ. ίσος με ν Ε. σταθερός πραγματικός * Αν για τους όρους μιας ακολουθίας (α ν ) ισχύει α ν+ = cα ν όπου c 0, τότε Α. η (α ν ) είναι πάντοτε γεωμετρική πρόοδος Β. η (α ν ) είναι πάντοτε γνήσια αύξουσα Γ. η (α ν ) είναι σταθερή Δ. πρέπει c Ε. όλοι οι όροι είναι πάντοτε ομόσημοι 36. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει Α. α 4 = α + α 3 Β. α 4 = α 4λ Γ. α 4 = α 3 + λ Δ. α 4 = α 3 λ Ε. α 4 = α α * Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει Α. α ν = α λ ν Β. α ν = α λ ν- Γ. α ν = α ν λ Δ. α ν = α ν- λ Ε. α ν = (α λ) ν 87

34 38. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της είναι ν λ Α. α λ Δ. α α ν λ λ Β. α ν λ Ε. α α ν λ α Γ. α ν λ λ 39. * Ο τύπος του αθροίσματος των ν όρων S ν = α ν λ προόδου με λόγο λ χρησιμοποιείται Α. σε οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο Β. σε γεωμετρική πρόοδο με λ Γ. σε γεωμετρική πρόοδο με α > 0 και λ < μιας γεωμετρικής Δ. σε γεωμετρική πρόοδο με α > 0 και λ > Ε. σε γεωμετρική πρόοδο με α < 0 και λ < 40. * Ο τύπος του αθροίσματος των άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου εφαρμόζεται Α. μόνο αν είναι α > 0 και λ < Β. μόνο αν είναι α > 0 και λ > Γ. αν είναι λ < ανεξάρτητα των τιμών του α Δ. αν είναι α > 0 και λ >0 Ε. αν είναι α < 0 και λ <0 88

35 4. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε S 4 = α και S 5 = β. Τότε ισχύει Α. λ = α β Δ. α 5 = β α λ Β. α 5 = α β Ε. α 5 = β - α Γ. α = β α 4 λ 4. * Σε οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο ισχύει ότι Α. το άθροισμα των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων. Β. το γινόμενο των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι σταθερό και ίσο με το γινόμενο των άκρων όρων. Γ. το α α ν = λ ν Δ. το γινόμενο δύο οποιονδήποτε όρων της είναι ίσο με α α ν α Ε. το πηλίκο δύο οποιονδήποτε όρων της είναι ίσο με α ν 89

36 Ερωτήσεις συμπλήρωσης. * Να συμπληρώσετε τους όρους που λείπουν στις παρακάτω γεωμετρικές προόδους: α) β) γ) δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπουν στις παρακάτω γεωμετρικές προόδους: α)... 8 β) γ) δ) ** Να γράψετε τους όρους που λείπουν ώστε οι παρακάτω γραμμές να είναι γεωμετρικές πρόοδοι (όπου x και y θετικοί): α) x y x y β)... x y... γ)... δ) x 3 y x y x y x y x y 3 4. ** α) Στην πρόοδο α, α,..., α 47 ο όρος που απέχει με τον α 3 από τα άκρα είναι ο... ενώ αυτός που ισαπέχει με τον α 3 είναι ο... 90

37 β) Στην πρόοδο α, α,..., α 999 ο μεσαίος όρος είναι ο... Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο της στήλης Α, να αντιστοιχίσετε τους νιοστούς όρους, που υπάρχουν στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ) 3,, 48,... 5 ) - 0, -5,, ) 4, 8,,... 3 Α) α ν = 4 3 Β) α ν = 3 4 ν- Γ) α ν = 4 3 ν- ν Δ) α ν = - 0 Ε) α ν = 3 4 ν ν. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο της στήλης Α, να αντιστοιχίσετε το άθροισμα των ν πρώτων όρων, που υπάρχουν στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α) S ν = ) 5, 5, 45,... B) S ν = 8 (3 ν - ) ν ) 8, 6,, ) - 0, - 4,,... 5 Γ) S ν = 5 (3 ν - ) Δ) S ν = 5 5 Ε) S ν = 5 ν 5 ν 9

38 3. * Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο με λ < της στήλης Α, να αντιστοιχίσετε το άθροισμα S των άπειρων όρων της, που γράφεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ) 7, 9, 3,... ), 6, 8,... Α) S = 3 B) S = 4 8 Γ) S = 3 Δ) S = 7 4 3),,, Ε) S = * Σε κάθε τριάδα όρων γεωμετρικής προόδου της στήλης Α, να αντιστοιχίσετε την ακέραιη θετική τιμή του x, της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β ) x +, 3x, 5x + ) x, x - 3, x + 3 Α) x = B) x = Γ) x = Δ) x = 9

39 Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να σχηματισθούν οι γεωμετρικές πρόοδοι με: α) α = 5 και λ = 3 β) α = και λ = 3 4 γ) α = - 0 και λ =. * Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 3. * α) Αν α = και λ = 3 να βρεθεί ο α6 β) Αν α 6 = 448 και λ = να βρεθεί ο α γ) Αν α = 9 και α 5 = 44 να βρεθεί ο λ δ) Αν α = και λ = 3 και α ν = 6 να βρεθεί ο ν 4. * Να ορισθεί μία γεωμετρική πρόοδος, αν α 4 = - 6 και α 8 = * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α 3 = και α 8 = 384, να βρεθεί ο λ. 6. * Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α = 8 και λ = 4 α) να βρεθεί το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισμα των άπειρων όρων της. 93

40 7. ** Στην γεωμετρική πρόοδο α) με α =, αν = και λ = να βρείτε το πλήθος ν 64 β) με α = 8, α 5 = 4 να βρείτε τον λόγο λ 4 8. ** Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος, όταν α) με α 4 - α = 4, α + α 3 = 6 β) με α α 4 6 = 4 και α α 8 = 4 9. ** α) Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α 4 = 3 α 6 = 7 και α ν = 9477, να βρεθεί ο ν. β) Να βρεθεί το πλήθος ν των όρων μιας γεωμετρικής προόδου α ν, αν έχουμε: α = 4, α ν = 97 και S ν = ** Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 64.. ** Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5.. ** Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο 65 και το τετράγωνο του τρίτου είναι τετραπλάσιο του γινομένου των δύο άκρων όρων. 94

41 3. ** Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των δύο πρώτων είναι 0 και το άθροισμα των δύο τελευταίων είναι ** α) Να βρεθεί μία γεωμετρική πρόοδος που να είναι γνησίως αύξουσα και οι διαφορές του πρώτου από τον πέμπτο όρο της είναι 60 και του δεύτερου από τον τέταρτο όρο της είναι 48. β) Να βρεθεί μία γεωμετρική πρόοδος που να είναι γνησίως φθίνουσα και οι διαφορές του πρώτου από τον πέμπτο όρο της είναι 60 και του δεύτερου από τον τέταρτο όρο της είναι ** Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος αν ο έκτος όρος είναι τετραπλάσιος του τέταρτου όρου της και το άθροισμα του δεύτερου και του πέμπτου όρου της είναι ** Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν ξέρουμε ότι ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος από τον πρώτο κατά 3 και ο τρίτος μικρότερος από τον τέταρτο κατά. 7. ** Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος, 3, 9, 7, 8. α) Να βρείτε τα γινόμενα α α 5, α α 4, α 3 β) Να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας γ) Ισχύει = 4 6. Η ακολουθία, 4, 6, είναι γεωμετρική πρόοδος; δ) Τι συμπεραίνετε για το αντίστροφο του συμπεράσματος του (β); 8. ** α) Ποιο είναι το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της: -,, - 4, 8,...; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους πρέπει να προσθέσουμε, για να πάρουμε άθροισμα 85; 9. ** Να βρείτε το S 4 στη γεωμετρική πρόοδο με α 0 = 48, α 7 = 4. 95

42 0. ** Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο με S 4 = 30 και α 5 + α 6 + α 7 + α 8 =

43 . * Να βρείτε τα αθροίσματα άπειρων όρων των παρακάτω γεωμετρικών προόδων α),, 4, 8,... β),,, γ),,,, δ),,, * Να βρεθεί ο α μιας γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμα S των άπειρων όρων της είναι 00 και ο λ =. 3. * Να βρεθεί ο λ μιας γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμα S των άπειρων όρων της είναι 30 και το α = ** Μιας γεωμετρικής προόδου με λ < το άθροισμα S των άπειρων όρων της είναι 5 και α + α = 6. Να βρεθούν οι α και λ ** Μια γεωμετρική πρόοδος α, α, α 3,... έχει λ <. α) Να αποδείξετε ότι α, α, α 3,... είναι και αυτή απολύτως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. β) Αν το άθροισμα των άπειρων όρων της είναι 6 και το άθροισμα των άπειρων όρων των τετραγώνων τους είναι 8, να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος. 6. ** Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο, αν το άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των άκρων όρων τους είναι ** Να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο (α ν ), εάν 97

44 α) S S 0 5 = 33, α = β) S 3 = 6 και η διαφορά α 4 - α = ** Να βρείτε το άθροισμα + + ν 3 ν ν +..., αν ν φυσικός με ν. 9. ** Να βρείτε τα αθροίσματα: α) β) γ) δ) ** Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = 046 β) + x + x +... = 5 με 0 < x < γ) + συνx + συν x +... = με δ) x +x 3 + x = συν π με x < 4 π π < x < ε) + x + x + x = 5 με x < στ) x x x... = με x < ζ) συνx συνx... 8 = 64 με 0 < x < π 3. ** Να βρείτε το θ[0, π], αν οι αριθμοί διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. ημθ, συνθ και εφθ να είναι 6 98

45 3. ** Α. Αν, δυο γεωμετρικές πρόοδοι με λόγους λ, λ αντίστοιχα και για κάθε είναι 0, εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος. α) β) γ) 3 δ) στ), ζ) η) 3 θ),, (όπου α ν > 0) 3 ε) ι) Β. Στις περιπτώσεις που σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος, βρείτε τον αντίστοιχο νέο λόγο. 33. ** Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο, α ì και α k είναι οι όροι της τάξεως μ και κ αντίστοιχα. Τότε ισχύει: α ì = λ ì -k α k, ì, kν 34. ** α) Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α + α 4 = α +α 3. Να βρεθεί ο λόγος της. β) Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να απλοποιήσετε την παράσταση: Π = (α - γ) + (β - γ) + (β - δ) - (α - δ) 35. ** Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο α ν = 3 ν. α) Να βρεθεί ο όρος α ν+. β) Να δειχθεί ότι αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρεθεί ο λόγος λ και ο πρώτος της όρος α. γ) Ποιος όρος της είναι ίσος με 307; 36. ** Δίνεται η ακολουθία με S ν = (3 ν - ) α) Να βρεθεί το S ν- β) Να βρεθεί το α ν 99

46 γ) Να βρεθεί το α ν+ δ) Να δειχθεί ότι αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρεθεί ο λ και ο α. ε) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε, για να έχουμε άθροισμα 484; 37. ** Δίνεται ο μεικτός περιοδικός 0, 7 = 0, α) Να γραφτεί σαν άθροισμα κλασμάτων με παρανομαστές δυνάμεις του 0. β) Να γραφτεί στη μορφή λ κ, όπου κ, λ φυσικοί αριθμοί. 38. ** Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΚ Λ είναι ισόπλευρο πλευράς α. Κ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α A Κ Λ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Λ Κ Κ3 Λ3 Λ Κ 3 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Κ Λ 3 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Α Λ Να συμπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες: K Λ α) Τρίγωνο Πλευρά Περίμετρος ΑΚ Λ α = α Π = ΑΚ Λ α = Π = ΑΚ 3 Λ 3 α 3 = Π 3 = ΑΚ ν Λ ν α ν = Π ν = 00

47 β) Εφαρμογή Τρίγωνο Πλευρά Περίμετρος ΑΚ Λ α = 8 μέτρα Π = ΑΚ Λ α = Π = ΑΚ 3 Λ 3 α 3 = Π 3 = ΑΚ ρ Λ ρ α ρ = Π ρ < μέτρο ΑΚ 8 Λ 8 α 8 = Π 8 = 39. ** Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ Α πλευράς α. Σχηματίζουμε το τρίγωνο Α Β Γ, όπου Α, Β, Γ τα μέσα των πλευρών του Α Β Γ. Σχηματίζουμε το τρίγωνο Α 3 Β 3 Γ 3, όπου Α 3, Β 3, Γ 3 τα μέσα των πλευρών του Α Β Γ. Β Γ Β3 Α3 Α Γ3 Β Γ Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται επ άπειρον. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. Πλευρά Εμβαδόν Περίμετρος Α Β Γ α = α Ε = Π = Α Β Γ α = Ε = Π = Α 3 Β 3 Γ 3 α 3 = Ε 3 = Π 3 = A 0 B 0 Γ 0 α 0 = Ε 0 = Π 0 = Αθροίσματα S S πλ = S Ε = S Π = απείρων όρων 0

48 40. ** Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος c έχει ακτίνα R και κέντρο το σημείο Κ. Οι ομόκεντροί του κύκλοι c και c 3 έχουν ακτίνα R R και 4 C 3 C C αντιστοίχως. Αν συνεχίσουμε με την ίδια διαδικασία να κατασκευάζουμε κύκλους (κάθε επόμενος να είναι ομόκεντρος του προηγούμενου του και να έχει τη μισή ακτίνα απ αυτόν). i) Nα βρείτε, συναρτήσει του R, την ακτίνα των c 5, c 6 ii) Να βρείτε το μήκος του κύκλου c 7 iii) Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου c iv) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των 5 πρώτων κύκλων v) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των απείρων κύκλων που σχηματίζονται με τον παραπάνω τρόπο. 4. ** Ένας ασθενής παίρνει δόση των 0 mg ενός φαρμάκου κάθε 4ωρο. Στο χρονικό αυτό διάστημα διασπάται το 4 της ποσότητας του φαρμάκου που βρίσκεται στην αρχή του 4ώρου στο αίμα του ασθενούς ενώ το υπόλοιπο παραμένει στο αίμα του ασθενούς. α) Να βρείτε την ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθενής μόλις πάρει την η δόση του φαρμάκου. β) Να βρείτε την ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθενής στο τέλος του πρώτου ώρου. γ) Αν είναι γνωστό ότι, όταν η ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς υπερβεί τα 50 mg, παρουσιάζονται επικίνδυνες παρενέργειες, δείξτε ότι ο ασθενής δεν κινδυνεύει ακόμη και με ισόβια λήψη του φαρμάκου. δ) Ποια είναι η ποσότητα της επικίνδυνης δόσης. 0

49 4. ** Ένας φυσιοδίφης ανακάλυψε σε ζούγκλα του Αμαζονίου ένα περίεργο είδος φιδιού. Μελετώντας το παρατήρησε ότι, όταν συμπληρώσει τον ο χρόνο ζωής, έχει σχηματισθεί στο μέσο του σώματος του μια κόκκινη λωρίδα (Κ). Με τη συμπλήρωση του ου χρόνου του, στο μέσο του σώματός του έχει σχηματισθεί μια μαύρη λωρίδα (Μ) και δεξιά και αριστερά της από μια κόκκινη (Κ). Όταν συμπληρώσει τον 3ο χρόνο, η μαύρη λωρίδα παραμένει στο μέσο του σώματος του φιδιού, ενώ κάθε κόκκινη έχει δώσει τη θέση της σε μια τριάδα (Κ) - (Μ) - (Κ). Και συνεχίζει να αναπτύσσεται κάθε χρόνο με το ίδιο μοτίβο. Α. α) Πόσες κόκκινες (Κ) και πόσες μαύρες (Μ) λωρίδες θα έχει το φίδι μόλις κλείσει 6 χρόνια ζωής; β) Να γενικεύσετε για ν χρόνια. Β. Κάποια στιγμή μετρήθηκαν 55 λωρίδες στο σώμα του φιδιού. α) Πόσες από αυτές είναι κόκκινες; β) Πόσα χρόνια ζωής είχε κλείσει το φίδι; γ) Να γενικεύσετε για Ν = n λωρίδες. Γ. Οι παρατηρήσεις έδειξαν ακόμη ότι οι λωρίδες έχουν το ίδιο πλάτος και, όταν συμπληρώσει το 0ο χρόνο ζωής, το μήκος του φθάνει τα 0,3 m, ενώ όλο του το σώμα καλύπτεται από τις λωρίδες. Να βρείτε το πλάτος κάθε λωρίδας. 43. ** α) Να συγκρίνετε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών:, 8. β) Δείξτε ότι η σχέση που θα βρείτε ισχύει γενικά για κάθε ζεύγος θετικών x, y. 44. ** Αν α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι οι,, α - β α - γ α β αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 03

50 45. ** Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν τα εξής: i) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) αν αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8, η πρόοδος γίνεται αριθμητική iii) αν αυξηθεί και ο τρίτος κατά 64, γίνεται πάλι γεωμετρική. 46. ** Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: i) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ii) έχουν άθροισμα 5 iii) αν σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 47. ** Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: i) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) ελαττώνοντας τον τρίτο κατά 4 γίνονται διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου iii) ελαττώνοντας τον δεύτερο και τον τρίτο της αριθμητικής προόδου κατά σχηματίζεται πάλι γεωμετρική πρόοδος. 48. ** Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν τα εξής: i) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου iii) το άθροισμα των άκρων όρων είναι 4 και των μεσαίων. Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο νιοστός όρος α ν μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είναι α ν = α + (ν - ) ω. Σ Λ. * Ο νιοστός όρος α ν μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ είναι α ν = α λ ν-. Σ Λ 3. * Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής 04

51 (α α ) ν προόδου είναι S ν = ν. Σ Λ 4. * Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι S ν = α (ν ) ω ν. 5. * Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής λ ν - προόδου είναι S ν = α. Σ Λ λ - 6. * Το άθροισμα των απείρων όρων μιας απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι S = λ - 7. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ 8. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α Σ Σ Λ Λ τότε α β = β γ. Σ Λ 9. * Το άθροισμα S ν = ν = ν (ν ). Σ Λ 0. * Η ακολουθία, 5, 8,... είναι γεωμετρική πρόοδος. Σ Λ. * Η ακολουθία πρόοδος.,,,... είναι αριθμητική 4 8 Σ Λ. * Στην αριθμητική πρόοδο, 7,, 7,... η διαφορά ω είναι * Στη γεωμετρική πρόοδο 00, 50, 5,... ο λόγος λ Σ Λ είναι. Σ Λ 05

52 4. * Στη γεωμετρική πρόοδο 8, -9, 9, ο λόγος λ είναι. Σ Λ 5. * Η ακολουθία με α ν+ = α ν + 3 είναι αριθμητική πρόοδος. Σ Λ 6. * Η ακολουθία με α ν+ = 3α ν είναι γεωμετρική πρόοδος. Σ Λ 7. * Σε μία αριθμητική πρόοδο με α = 5 και ω = - 3 είναι S ν = (3-3ν)ν 8. * Η αριθμητική πρόοδος 3, 7,,... έχει S ν = 4 ν -. Σ Λ 9. * Η γεωμετρική πρόοδος 4, 8, 6, 3,... έχει S ν = 3 4 ( ν - ). 0. * Η γεωμετρική πρόοδος 00, 50, 5,... έχει άθροισμα απείρων όρων S = 00. Σ Λ. * Η γεωμετρική πρόοδος 3, 6,,... έχει άθροισμα απείρων όρων S = 6. Σ Λ. * Η γεωμετρική πρόοδος -, 4, - 8, 6,... έχει άθροισμα απείρων όρων S =. Σ Λ 3. * Σε μία γεωμετρική πρόοδο με α = 0 και λ = είναι S ν = 40. Σ Λ 4. * Η αριθμητική πρόοδος - 5, - 8, -,... έχει α ν = - 3ν- Σ Λ. 5. * Η γεωμετρική πρόοδος, 6, 8,... έχει α ν = 3 ν-. Σ Λ 6. * Σε μια αριθμητική πρόοδο με α = - 3 και ω = 5 το α ν = 3 5 ν-. Σ Λ 7. * Σε μια γεωμετρική πρόοδο με α = 4 και λ = το α ν = ν +. Σ Λ 8. * Η αριθμητική πρόοδος 4, 7, 0,... είναι γνησίως αύξουσα. Σ Λ Σ Σ Λ Λ 06

53 9. * H γεωμετρική πρόοδος 5, 0, 0,... είναι γνησίως αύξουσα. Σ Λ 30. * Οι αριθμοί 7, 4, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Σ Λ 3. * Οι αριθμοί 3, 6, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Σ Λ 3. * Το 5 είναι γεωμετρικός μέσος των αριθμών 5 και 45. Σ Λ 07

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 3ο : Πρόοδοι) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù

ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù ù, þ ù ÿ ù + ü ÿ þ ù ÿ û ü ÿ ù úï ùþ üÿùÿ üÿ ù + ü ú ù 10 03. ÿ+ü ÿù ü!&10" # *Œ # ³&1)- " 1. * þ1#!1 I [ 03[ 0. Œ0! / 0 Œ0! / Œ. * þ1#!1 I [ 1#[ 0. Œ0!. 3. * þ 1#!1 I [ 13[ $0 Œ0/!1 * 1* ^x R x 0 }. 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =. 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. i)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα