Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου"

Transcript

1 Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου

2 Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πρόοδοι Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήμτ «Σκέφτομι άρ υπάρχω» Κρτέσιος

3

4 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί Κεφάλιο Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς οξείς γωνίς σε έν ορθογώνιο τρίγωνο;. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς γωνίς ω, με 0 ω 60, σε ορθοκνονικό σύστημ ξόνων.. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς γωνίς μεγλύτερης των 60 ; Ποι γωνί ορίζετι ως θετική κι ποι ως ρνητική;. Τι είνι ο τριγωνομετρικός κύκλος; Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς ημίτονο κι συνημίτονο με την βοήθει του;. Ποιος άξονς ονομάζετι άξονς των εφπτομένων κι ποιος ξονς των συνεφπτομένων στον τριγωνομετρικό κύκλο; Τι μπορούμε ν προσδιορίσουμε με την βοήθει υτών των ξόνων; 6. Τι γνωρίζετε γι το πρόσημο των τριγωνομετρικών ριθμών; 7. Πρτήρηση: Γι κάθε γωνί ω ισχύει: ημω κι συνω 8. Ν ορίσετε το κτίνιο (rad); Ν δείξετε τη σχέση που συνδέει μι γωνί σε κτίνι κι μοίρες; 9. Ποιοι είνι οι τριγωνομετρικοί ριθμοί των γωνιών π π π π 0,,,, ; 6

5 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Τυτότητες Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ποδείξετε ότι ημ ω συν ω ημω. Ν ποδείξετε ότι εφω κι συνω. Ν ποδείξετε ότι εφω σφω συνω σφω ημω. Ν εκφράσετε το ημω κι το συνω σε συνάρτηση με την εφω. Πρτήρηση: Γι ν ποδείξουμε μι τριγωνομετρική τυτότητ είτε ξεκινάμε πό το ο μέλος κι κτλήγουμε στο ο μέλος, είτε θεωρούμε ότι η ισότητ ισχύει κι μετά πό πράξεις κτλήγουμε σε κάτι προφνές. ΕΝΟΤΗΤΑ : Ανγωγή στο ο Τετρτημόριο Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Με τη βοήθει του τριγωνομετρικού κύκλου ν εξηγήσετε τις διπλνές σχέσεις.. Πρτήρηση: Εάν δυο τόξ συνδέοντι μετξύ τους με 80 ή 60 δηλδή είνι της μορφής & 80 ή & 60 τότε έχουν ίσους τους ομώνυμους τριγωνομετρικούς ριθμούς, το δε πρόσημο της ισότητς κθορίζετι πό το τετρτημόριο στο οποίο τελειώνει το μεγλύτερο τόξο. Εάν δυο τόξ συνδέοντι μετξύ τους με 90 ή 70 δηλδή είνι της μορφής & 90 ή & 70 τότε οι τριγωνομετρικοί ριθμοί υτών ενλλάσσοντι, το δε πρόσημο της ισότητς κθορίζετι πό το τετρτημόριο στο οποίο τελειώνει το μεγλύτερο τόξο. ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Συνρτήσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πότε μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγετι περιοδική;. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = ημ στο διάστημ [0, π]. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = συν στο διάστημ [0, π]. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = εφ στο διάστημ [ π, π ]

6 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης ημ = ημθ;. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης συν = συνθ;. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης εφ = εφθ κι ποιες της σφ = σφθ;. Πρτήρηση: Ειδικές περιπτώσεις τριγωνομετρικών εξισώσεων ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσμτος Γωνιών Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πώς νπτύσσετι το συνημίτονο της διφοράς δυο γωνιών συν( β);. Ν ποδείξετε ότι συν( β) συνσυνβ - ημημβ. Ν ποδείξετε ότι ημ( β) ημσυνβ συνημβ. Ν ποδείξετε ότι. Ν ποδείξετε ότι εφ εφβ εφ( β) - εφεφβ εφ εφβ εφ( β) εφεφβ 6. Επίσης ισχύει: σφσφβ σφ( β) σφ σφβ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίς Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ποδείξετε ότι ημ ημσυν συν ημ. Ν ποδείξετε ότι συν συν ημ εφ. Ν ποδείξετε ότι εφ - εφ συν. Ν ποδείξετε ότι ημ. Ν ποδείξετε ότι 6. Ν ποδείξετε ότι συν εφ συν συν συν

7 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί Ασκήσεις & Προβλήμτ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Α ΟΜΑΔΑΣ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν δειχθεί: i) γημβ βημγ 0 ii) το εμβδόν του είνι Ε γημβ βημγ. Ν υπολογιστούν οι ριθμοί: i) ημ 860 ii) εφ 76. Ν ποδείξετε ότι: i) 00 ημ0 ii) συν 0 συν0 ημ. Στο κρτεσινό επίπεδο δίνετι το σημείο Α(, ). Αν ω είνι η γωνί OA, ν βρείτε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς ω.. ) Ν εκφράσετε τις γωνίες σε κτίνι (rad): i) ii) 0 iii) 70 β) Ν εκφράσετε τις γωνίες σε μοίρες: i) π rad ii) π rad iii) π + π rad 8 π 6. Ν βρείτε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς των γωνίς 7. Ν υπολογιστεί η πράστση: A συν0 ημ0 8. Αν ισχύει ν δείξετε ότι εφ ημ συν σφ 0 π 9. Ν ποδείξετε ότι ν, εφ ημ συν π ισχύει: 0 ημ εφ B ΟΜΑΔΑΣ 0. Ν βρεθεί η μέγιστη κι ελάχιστη τιμή των πρστάσεων: i) A ημ συνω ii) Β ημ. Ν υπολογιστεί η πράστση ημ A εφ 9π 7π ημ 6 7π π ημ. Ν προσδιορίσετε το ώστε ν ληθεύει η ισότητ: ημθ ημθημθ Τριγωνομετρικές Τυτότητες. Αν. Αν. Αν Α ΟΜΑΔΑΣ π ημ κι π, ν βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς. εφ π κι π, ν βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς π συν εφ ημ κι π, ν βρείτε τη τιμή της πράστσης A ημ σφ 6. Ν ποδειχθεί ότι ημθ συνθ, ότν συνθ( + ημθ) 0. συνθ ημθ

8 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί εφ εφβ 7. Ν ποδειχθεί ότι εφ εφβ σφ σφβ 8. Ν ποδειχθεί ότι ημ θ εφθ συν θ σφθ εφθ σφθ 9. Ν ποδειχθεί ότι συν ημ ημ B ΟΜΑΔΑΣ κ κ 0. Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του κ ώστε ν ισχύει: εφ κι σφ. κ κ. Ν ποδειχθεί ότι ημθ συνθ εφθ, ότν ημθ + συνθ 0 κι εφθ + 0 ημθ συνθ εφθ. Ν λυθεί η εξίσωση ημθ συνθ ημθ συνθ 0. i) Ν ποδειχθεί ότι: ημ θ συν θ ημ θ συν θ ii) Ν εξετάσετε ν η συνάρτηση f θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ y. Δίνετι η πράστση K 6 i) Αν ημθ κι y συνθ ν ποδειχθεί ότι Κ = ii) Αν ρημθ κι y ρσυνθ ν ποδειχθεί ότι Κ = ρ iii) Γι ποιες τιμές του ρ ισχύει ημθ ρ < 0, με θ π π, κι ρζ. είνι στθερή. Ανγωγή στο ο Τετρτημόριο Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρεθούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί των γωνιών: i) 9π ii) 7π iii) 99π 6. Ν ποδείξετε ότι: συν7 συν συν συν 0 7. Ν πλοποιηθεί η πράστση: 8. Ν ποδείξετε ότι: ημ ημ ημ σφ π π π θ συν θ εφ θ π π θ ημ θ ημπ θ 70 ημ80 συν60 εφ90 90 ημ60 συν80 εφ7 9. Δίνοντι οι πρστάσεις: A εφ εφ9 εφ εφ9 κι Β συν π ημ π π ημ ημ συν π. Ν ποδειχθεί ότι Β = Α. Τριγωνομετρικές Συνρτήσεις Α ΟΜΑΔΑΣ 0. Ν βρεθεί η περίοδος των συνρτήσεων: i) π f() ημ ii) g() συν iii) h() εφ

9 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 6 π. Ν βρείτε την μέγιστη κι ελάχιστη τιμή των συνρτήσεων: i) f() ημ - ii) g() συν -. Δίνετε η συνάρτηση f() συν. Ν βρείτε: i) την μέγιστη κι ελάχιστη τιμή της ii) την περίοδο της π. Ν σχεδιάσετε την γρφική πράστση της συνάρτησης f() συν β. Αν η συνάρτηση f() συν με, β > 0, έχει περίοδο π κι μέγιστη τιμή ν βρείτε τ, β.. Ν βρείτε την μέγ ιστη κι ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: π π f() ημ - συν - 6. Δίνετι η συνάρτηση f: RR γι την οποί ισχύει f f συν ποδείξετε ότι η f είνι άρτι. γι κάθε R. Ν Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ π 7. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ στο π π, π π 8. Ν λυθεί η εξίσωση: συν ημ 0 π 9. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημημ 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ ημ 0 ii) συν ημ iii) ημ. Ν 6. λυθεί η εξίσωση: συν συν συν 0 Ν λυθεί η εξίσωση: ημ θ συνθ π 7. Ν λυθεί στο [0, π) η εξίσωση: συν. ημ 8. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν ημ ημ συν

10 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 9. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ συν συν 7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσμτος Γωνιών 0. Αν Α ΟΜΑΔΑΣ ημ π π, π κι συνβ, β π, ν υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί του β. Ν ποδείξετε ότι:. Ν ποδείξετε ότι: ημ β εφ εφβ συν συνβ β ημ β ημ εφ εφ β συν συν β. Ν ποδείξετε ότι: ημ 0 συν συν0 ημ ημ780 π π εφ εφ 8 9. Ν γρφεί σε πλούστερη μορφή η πράστση: A π π εφ εφ 8 9 συνω ημω. Ν ποδείξετε ότι: εφ ω 6. Αν συν β συν συνβ συνω ημω δείξτε ότι: ημ β ημ ημ β εφ εφ β 7. ποδείξετε ότι: εφ β εφ εφ β Ν εφ β ημ 8. Ν ποδείξετε ότι: ημ ημβ β ημβ γ ημγ ημβ ημγ 0 ημγ ημ 9. Ν ποδείξετε ότι: ημ y συν y ημ συνσυνy ημy 60. Ν λυθεί η εξίσωση: 6. Αν β π π ημ συν 6 κι εφ ν βρεθεί η εφβ. B ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν ποδείξετε ότι: συν β συν β συν συν β. 6. Αν β γ ν δείξετε ότι: εφγ εφ εφβ εφγ εφ εφβ. 6. Ν λυθεί στο διάστημ [0, π] η εξίσωση: ημ συν. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίς 6. Αν συνθ Α ΟΜΑΔΑΣ π κι θ π ν υπολογίσετε το ημθ κι την εφθ. π π 66. Ν ποδείξετε ότι: εφ εφ εφ

11 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 8 ημ συν 67. Ν ποδείξετε ότι: ημ συν 68. Ν υπολογίσετε την β εφ ν εφ κι εφβ π 69. Ν υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς του ν ημ κι, π 70. Ν λυθεί η εξίσωση: συν συν 7. Ν ημ συν ποδείξετε ότι: εφ συν συν 7. Ν ποδείξετε ότι: συν ημ συν8 B 7. Ν ποδείξετε ότι: συν ημ ημ εφ ημ 7. Ν ποδείξετε ότι: εφ συν 7. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ συν 76. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ 77. Ν λυθεί η εξίσωση: συν 6ημ ΟΜΑΔΑΣ

12 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 9 Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Πολυώνυμ Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι μονώνυμο του ; Τι ονομάζετι πολυώνυμο του ;. Τι ονομάζοντι όροι κι τι συντελεστές ενός πολυωνύμου; Ποιος είνι ο στθερός όρος ενός πολυωνύμου;. Ποιο πολυώνυμο ονομάζετι στθερό; Ποιο πολυώνυμο ονομάζετι μηδενικό;. Τι ονομάζετι ριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου;. Τι ονομάζετι ρίζ ενός πολυωνύμου; 6. Τι ονομάζετι βθμός ενός πολυωνύμου; 7. Πότε δύο πολυώνυμ είνι ίσ; ΕΝΟΤΗΤΑ : Διίρεση Πολυωνύμων Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν γράφει η τυτότητ της διίρεσης δυο πολυωνύμων; Ν σχολιάσετε τον βθμό του υπολοίπου υ().. Πότε μι διίρεση δυο πολυώνυμων ονομάζετι τέλει; Πότε λέμε ότι έν πολυώνυμο Q() είνι διιρέτης ή διιρεί έν πολυώνυμο P();. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι ίσο με Ρ(ρ).. Ν ποδείξετε ότι έν πολυώνυμο Ρ() έχει πράγοντ το ρ ν κι μόνο ν το ρ είνι ρίζ του Ρ().. Τι είνι το σχήμ Hornr; Ποι η χρησιμότητ του; Εφρμόζετι γι οποιδήποτε διίρεση πολυωνύμων;

13 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 0 6. Πρτήρηση: Έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ρ π() το πηλίκο της διίρεσης του P() με το ρ, δηλδή μόνο ότν Pρ 0 κι ρ 0 Έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το β, μόνο ότν το ρ είνι πράγοντς του P() κι του π(), όπου π., μόνο ότν το είνι πράγοντς του P() κι το β πράγοντς του π(), όπου π() το πηλίκο της διίρεσης του P() με το. ΕΝΟΤΗΤΑ : Πολυωνυμικές Εξισώσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν γράφει η γενική μορφή της πολυωνυμικής εξίσωσης βθμού ν;. Τι ονομάζουμε ρίζ πολυωνυμικής εξίσωσης;. Πρτήρηση: Μέθοδος επίλυσης πολυωνυμικής εξίσωσης με βθμό μεγλύτερου του Γι ν λύσουμε μι πολυωνυμική εξίσωση P() = 0, πργοντοποιούμε το P() κι νγόμστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βθμού, δηλδή: P 0 P P... P ν ν. Ν ποδείξετε ότι ν η πολυωνυμική εξίσωση κ 0 P P... Pκ 0 ή 0 0 ν ν ή ή με κερίους συντελεστές έχει ρίζ τον μη μηδενικό ριθμό ρ, τότε ο ρ είνι διιρέτης του στθερού όρου 0. (θεώρημ κερίων ριζών). Ισχύει το ντίστροφο του θεωρήμτος; Ποι η χρησιμότητ του; ΕΝΟΤΗΤΑ : Εξισώσεις που νάγοντι σε Πολυωνυμικές Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ποιες εξισώσεις ονομάζοντι κλσμτικές;. Πρτήρηση : Κλσμτικές εξισώσεις Γι ν λύσουμε μι κλσμτική εξίσωση θέτουμε τους πρίτητους περιορισμούς γι τους προνομστές, πργοντοποιούμε τους προνομστές πολλπλσιάζουμε με το ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο των προνομστών κι έτσι προκύπτει εξίσωση γνωστής μορφής.. Πρτήρηση : Άρρητες Εξισώσεις (εξισώσεις με ρίζες που περιέχουν τον άγνωστο ) Γι ν λύσουμε μι άρρητη εξίσωση θέτουμε τους πρίτητους περιορισμούς γι τις ρίζες (υπόρριζο 0) πομονώνουμε τη τετργωνική ρίζ στο έν μέλος υψώνουμε στο τετράγωνο Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης στο τετράγωνο (κι γενικά σε οποιδήποτε άρτι δύνμη), τότε η εξίσωση που προκύπτει έχει ως ρίζες της όλες τις ρίζες της ρχικής εξίσωσης, μπορεί όμως ν έχει κι άλλες ρίζες εκτός πό υτές. Έτσι, είνι πρίτητο ν διπιστώνουμε, με επλήθευση στη ρχική εξίσωση, ποιες πό τις ρίζες που βρήκμε είνι ρίζες ή όχι. Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης που έχει κι τ δυο μέλη της θετικά στο τετράγωνο (κι γενικά σε οποιδήποτε άρτι δύνμη), προκύπτει εξίσωση ισοδύνμη με την ρχική (δηλδή με τις ίδιες κριβώς λύσεις). Σε υτή τη περίπτωση δεν χρειάζετι επλήθευση. Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης στον κύβο (κι γενικά σε οποιδήποτε περιττή δύνμη), προκύπτει εξίσωση ισοδύνμη με την ρχική.

14 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ Πολυώνυμ Α ΟΜΑΔΑΣ. Γι ποιες τιμές των, β το πολυώνυμο P β ριθμητική του τιμή είνι. έχει ρίζ το κι γι = η. Ν βρεθεί γι ποιες τιμές των κ, λ, μ τ πολυώνυμ P λ λ κ μ λ μ λ κ λ Q είνι ίσ. κι. Ν βρεθεί η τιμή του λr γι την οποί το πολυώνυμο: P λ λ λ λ το μηδενικό πολυώνυμο.. Δίνετι το πολυώνυμο P. Ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός ν ισχύει: είνι P. Ν δειχθεί ότι γι κάθε κr το πολυώνυμο P κ κ κ δεν έχει ρίζ το 6. Αν το πολυώνυμο P έχει ρίζ το ποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει κι γι το Q. Το ντίστροφο ισχύει; 7. Ν δειχθεί ότι το πολυώνυμο P κ λ 6 κ λ 8. Δίνετι πολυώνυμο P που ικνοποιεί τη συνθήκη: P P Ν βρείτε τ P, P κι P 6. Τι πρτηρείτε; B ΟΜΑΔΑΣ είνι διάφορο του μηδενικού.. Αν P0 0 κι P 9. Ν βρεθεί ο βθμός του πολυωνύμου P διάφορες τιμές της πρμέτρου R. 0. Ν βρεθεί πολυώνυμο. i) Ν βρεθεί πολυώνυμο ii) Ν λυθεί η εξίσωση 0. Ν βρεθεί πολυώνυμο γι τις P πρώτου βθμού τέτοιο ώστε: i) PP ii) P PP P τέτοιο ώστε P. P τέτοιο ώστε P P Διίρεση Πολυωνύμων Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε πολυώνυμο Pτο οποίο ότν διιρεθεί με το +, δίνει πηλίκο κι υπόλοιπο +.. Αν το πολυώνυμο P β διιρείτι κριβώς με το κι εάν επιπλέον P() = 8, ν προσδιοριστούν τ, β.

15 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις. Γι ποιες τιμές των, βr το πολυώνυμο P β κι + ; 6. Δίνετι το πολυώνυμο P β. Αν το προσδιορίσετε τ, β R. 7. Δίνετι το πολυώνυμο P λ λ λ λ P : είνι νεξάρτητο του λ. 8. Ν ποδείξετε ότι ν το πολυώνυμο πράγοντ το. έχει πράγοντες τους P διιρείτι με το 6, ν. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης P έχει πράγοντ το, τότε το πολυώνυμο P έχει 9. Με τη βοήθει του σχήμτος Hornr ν βρείτε τ πηλίκ κι τ υπόλοιπ των διιρέσεων: i) ( ) : ( + ) ii) [6 ( + 6 ) + ] : ( ), R 0. Δίνετι το πολυώνυμο P λ 0 6. P ν έχει πράγοντ το +. i) Ν βρεθεί το λ ώστε το ii) Γι ποι τιμή του λ το υπόλοιπο της διίρεσης. Δίνοντι τ πολυώνυμ P λ λ : P είνι το ; κι Q λ λ 9 τ πολυώνυμ ν φήνουν το ίδιο υπόλοιπο ότν διιρεθούν με το +.. Έστω. Ν βρεθεί το λ ώστε P έν πολυώνυμο. Ν ποδείξετε ότι οι διιρέσεις P : κι P6 0: έχουν το ίδιο υπόλοιπο. B ΟΜΑΔΑΣ. Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε το πολυώνυμο P β 0 ν έχει γι πράγοντ το ( ).. Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P κ λ έχει γι πράγοντ το ( )( + ). ν. Έν πολυώνυμο P διιρούμενο με δίνει υπόλοιπο κι διιρούμενο με + δίνει υπόλοιπο 0. Ν βρείτε το υπόλοιπο της διίρεσης του P με το. Πολυωνυμικές Εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν λυθεί η εξίσωση: 0 7. Ν λυθεί η εξίσωση: i) 6 0 ii) Ν λυθεί η εξίσωση: 0 9. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: 0 0. Ν βρείτε τ σημεί τομής της συνάρτησης f Ν λυθεί η εξίσωση: κι με τον άξον.

16 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 6. Ν λυθεί η εξίσωση: Ν λυθεί η εξίσωση: 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: 8 6. Ν λυθεί η νίσωση: 0 6. Ν λυθεί η νίσωση: 7. Ν βρεθεί γι τις διάφορες τιμές του το πρόσημο του πολυωνύμου P. 8. Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης βρίσκετι πάνω πό τον άξον. f 6 9. Δίνετι η συνάρτηση f κ B ΟΜΑΔΑΣ της f, ν βρεθούν τ κοινά σημεί της με τον άξον.. Αν το σημείο Μ(, ) νήκει στη γρφική πράστση 0. Ν βρείτε γι ποιες τιμές των, βr το πολυώνυμο P 7 β τους + κι. Στη συνέχει ν λύσετε την εξίσωση 0. Δίνετι η εξίσωση 0 έχει πράγοντες P.. i) Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζ το. ii) Ν λύσετε τις εξισώσεις που προκύπτουν γι τις τιμές του που θ βρείτε.. Ν λυθεί η εξίσωση: 9. Ν βρείτε τις κέριες τιμές του κ γι τις οποίες η εξίσωση κ 0 έχει i) μι τουλάχιστον κέρι ρίζ ii) μι κριβώς κέρι ρίζ Εξισώσεις που νάγοντι σε Πολυωνυμικές Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η νίσωση: 6. Ν λυθεί η νίσωση: 7. Ν λυθεί η νίσωση: 8. Ν λυθεί η νίσωση:

17 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 9. Ν λυθεί η εξίσωση: 0. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η νίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση: συν ημ συν 0

18 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι Κεφάλιο Πρόοδοι ΕΝΟΤΗΤΑ : Αριθμητική Πρόοδος Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι κολουθί;. Πότε μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος; Ν δώσετε τον μθημτικό ορισμό.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο ν μις ριθμητικής προόδου ( ν ), που έχει πρώτο όρο κι διφορά ω.. Ν ποδείξετε τη σχέση που ισχύει μετξύ των πργμτικών ριθμών, β, γ που είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Ν γράψετε τους δυο τύπους που δίνουν το άθροισμ (S ν ) των πρώτων ν όρων ριθμητικής προόδου ( ν ) με πρώτο όρο κι διφορά ω. ΕΝΟΤΗΤΑ : Γεωμετρική Πρόοδος Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πότε μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος; Ν δώσετε τον μθημτικό ορισμό.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο ν μις γεωμετρικής προόδου ( ν ), που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ.. Ν ποδείξετε τη σχέση που ισχύει μετξύ των μη μηδενικών πργμτικών ριθμών, β, γ που είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το άθροισμ (S ν ) των ν πρώτων όρων μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ.

19 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 6 Ασκήσεις & Προβλήμτ Αριθμητική Πρόοδος Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε τους πρώτους όρους των κολουθιών: i) ν ν π ii) ν συν κπ iii) ν ν ν. Ν βρείτε τον ο όρο της κολουθίς ν+ = ν + με =.. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι = 6 κι = 9. Ν βρείτε i) τη διφορά ω ii) τον 0 ο όρο της προόδου.. Δείξτε ότι σε κάθε ριθμητική πρόοδο ισχύει + = 0.. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο στην οποί το άθροισμ του ου κι του ου όρου είνι, ενώ το άθροισμ του ου κι του 6 ου είνι. 6. Ν βρεθεί ο πρώτος όρος κι η διφορά ω ριθμητικής προόδου ν + = 6 κι = Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο της οποίς το άθροισμ των πρώτων της όρων είνι ίσο με κι άθροισμ των πρώτων όρων ίσο με Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι = κι ω = 7. i) Ν βρείτε το πλήθος ν των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμ ίσο με 679. ii) Ποιος θ είνι ο τελευτίος όρος ν σ' υτή την περίπτωση; 9. Ν βρεθεί η ριθμητική πρόοδος ν ισχύει S 0 = 00 κι η διφορά του 0 ου πό τον ο όρο είνι. 0. Ν βρείτε το άθροισμ των πρώτων όρων της ριθμητικής προόδου με 6 = 8 κι =.. Σε μι ριθμητική πρόοδο ισχύει S 0 = 60 κι S =. Ν βρείτε τη διφορά ω κι τον ο όρο της.. Δίνετι ότι: = 780 i) Ν βρεθεί το πλήθος των προσθετέων του θροίσμτος. ii) Ν βρεθεί ο ριθμός.. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι 9 = κι S = 6. i) Ν βρείτε τον ο όρο της προόδου ii) το άθροισμ των 0 πρώτων όρων της.. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β, γ R οι ριθμοί ( + β), + β κι ( β) είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε οι ριθμοί ριθμητικής προόδου., 6, ν είνι διδοχικοί 6. Αν οι ριθμοί β γ, γ, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ν δείξετε ότι το ίδιο β ισχύει κι γι τους, β, γ. 7. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο ν S S0 S κι =. 8. Αν σε ριθμητική πρόοδο ισχύει = 7 ν υπολογιστεί το άθροισμ S = + 6 +

20 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 7 9. Μι ομάδ στρτιωτών πρτάσσετι σε τριγωνικό σχήμ ώστε: στην πρώτη σειρά μπίνει ένς στην δεύτερη τρεις, στην τρίτη πέντε κ.λ.π. i) Πόσοι θ είνι στην η σειρά; ii) Πόσες σειρές σχημτίστηκν συνολικά; 0. Αν ( ν ) είνι ριθμητική πρόοδος κι ισχύει S 0 = S 0 δείξτε ότι S 80 = 0. B ΟΜΑΔΑΣ. Ο νιοστός όρος μις κολουθίς είνι ν = ν +. i) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είνι ριθμητική πρόοδος ii) Ν βρείτε το άθροισμ των 0 πρώτων όρων της iii) Ν βρείτε την τάξη του όρου της που είνι ίσος με 6.. Ν βρείτε το πλήθος κι το άθροισμ: i) των διψήφιων περιττών ριθμών ii) των διψήφιων ρτίων ριθμών iii) των διψήφιων φυσικών ριθμών iv)των διψήφιων πολλπλσίων του.. Ν λυθεί η εξίσωση: Ν λυθεί η εξίσωση: , με > 0.. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί, +, ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. 6. Μετξύ των ριθμών κι ν πρεμβάλετε άλλους ριθμούς, ώστε ν δημιουργηθεί μι ριθμητική πρόοδος με όρους. 7. Σε ριθμητική πρόοδο ισχύουν: = 0 κι = 0. Ν βρείτε το άθροισμ των όρων που βρίσκοντι μετξύ του 8 ου κι του ου όρου της. 8. Σε ριθμητική πρόοδο ισχύει 7 = 0 κι =. Πόσους όρους πρέπει ν πάρουμε ώστε το άθροισμ τους ν είνι 0; 9. Ν βρείτε τρεις διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου με άθροισμ κι γινόμενο Μις κολουθίς το άθροισμ των ν πρώτων όρων της είνι S ν = ν + ν. i) Ν βρείτε το άθροισμ των (ν ) πρώτων όρων της ii) Ν βρείτε τον νιοστό της όρο iii) Ν βρείτε τον όρο ν+ iv) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είνι ριθμητική πρόοδος v) Ν βρείτε την τάξη του όρου της που είνι ίσος με 00. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο της οποίς το άθροισμ των ν πρώτων είνι S ν ν ν Γεωμετρική Πρόοδος Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Αν = κι λ = ν βρείτε τον 6 ii) Αν 6 = 8 κι λ = ν βρείτε τον iii) Αν = 9 κι = ν βρείτε το λ iv) Αν = κι λ = κι ν = 6 ν βρείτε το ν. Ν βρείτε μί γεωμετρική πρόοδο, ν = 6 κι 8 = 7. Στη γεωμετρική πρόοδο με = 8, = ν βρείτε τον λόγο λ. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, ν = κι + = 6

21 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 8 6. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο ν κι Αν σε μί γεωμετρική πρόοδο είνι =, 6 = 7 κι ν = 977, ν βρείτε το ν. 8. Ν βρεθεί το πλήθος ν των όρων μις γεωμετρικής προόδου, ν έχουμε: =, ν = 97 κι S ν = 6 9. Αν οι, +, + είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ν βρεθεί ο. 0. Αν οι ριθμοί,, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου τότε οι ριθμοί β,, γ είνι β γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Αν, β, γ, είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ν δειχθεί ότι το ίδιο συμβίνει κι γι τους ριθμούς ( β + γ), + β + γ, ( + β + γ).. Ν βρείτε την γεωμετρική πρόοδο, ν S = 6 κι η διφορά =.. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο, ν μ κι κ είνι οι όροι της τάξεως μ κι κ ντίστοιχ, ν δείξετε ότι ισχύει: μ = λ μ κ κ, με μ, κn.. Σε μι γεωμετρική πρόοδο έχουμε + = +. Ν βρεθεί ο λόγος της. B ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι ν έχουν άθροισμ κι γινόμενο 6 6. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδος ν ο έκτος όρος είνι τετρπλάσιος του τέτρτου όρου της κι το άθροισμ του δεύτερου κι του πέμπτου όρου της είνι Σε γεωμετρική πρόοδο είνι S 6 = 8S κι S = 80. Ν βρεθεί η πρόοδος. 8. Ν βρεθεί γεωμετρική πρόοδος της οποίς οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμ κι = Έστω =, β =, γ = 0. Αν οι, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ν βρεθεί ο. 0. Αν, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δείξτε ότι: β γ β γ β γ γ γ β γ. Αν οι ριθμοί,, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου δείξτε ότι οι, β, γ, γ γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Αν, β, γ, δ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν πλοποιήσετε την πράστση: Π = ( γ) + (β γ) + (β δ) ( δ). Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) = 06 ii) Ν λυθεί η εξίσωση: Ν λυθεί η εξίσωση: Δίνετι η κολουθί με γενικό όρο ν = ν. i) Ν βρείτε τον όρο ν+ ii) Ν ποδείξετε ότι υτή είνι γεωμετρική πρόοδος κι ν βρείτε το λόγο λ κι τον πρώτο της όρο. iii) Ποιος όρος της είνι ίσος με 07; 7

22 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση 9 Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Εκθετική Συνάρτηση Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ιδιότητες Δυνάμεων. Γι, β θετικούς κι,, R ισχύουν: Ιδιότητες β β β β Επίσης ισχύουν: 0, R * ν ν β ν β ν μ ν ν μ. Εκθετική Συνάρτηση f με >. Πεδίο ορισμού το R Σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των θετικών πργμτικών ριθμών Είνι γνησίως ύξουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον ρνητικό ημιάξον των.. Εκθετική Συνάρτηση f με 0 < <. Πεδίο ορισμού το R Σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των θετικών πργμτικών ριθμών Είνι γνησίως φθίνουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον θετικό ημιάξον των.. Πρτήρηση : Στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων είνι χρήσιμη η ισοδυνμί:

23 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση 0. Πρτήρηση : Γι τις συνρτήσεις f κι g πρτηρούμε ότι g f. Δηλδή οι γρφικές τους πρστάσεις είνι συμμετρικές ως προς τον άξον y y όπως φίνετι στο σχήμ με >. 6. Ν μελετήσετε την εκθετική συνάρτηση f() =. Τι είνι ο ριθμός ; 7. Ν εξηγήσετε τον νόμο της εκθετικής μετβολής. Τι ονομάζετι χρόνος υποδιπλσισμού ή ημιζωή; ΕΝΟΤΗΤΑ : Λογάριθμοι Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ορισμός: Αν > 0 με κι θ > 0, τότε: θ log θ Άμεση συνέπει του ορισμού: log 0 log log θ θ. Ν ποδείξετε ότι log θ θ log θ log θ κι ότι log log θ log θ θ κ. Ν ποδείξετε ότι log θ κ log θ. Ν ορίσετε τον δεκδικό λογάριθμο κι ν γράψετε τις ιδιότητες που ισχύουν γι υτούς.. Ν ορίσετε τους φυσικό λογάριθμο κι ν γράψετε τις ιδιότητες που ισχύουν γι υτούς. 6. Ν γράψετε τον τύπο λλγής βάσης λογρίθμων. log θ ΕΝΟΤΗΤΑ : Λογριθμική Συνάρτηση Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Λογριθμική Συνάρτηση f log με >. Πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Σύνολο τιμών το R Είνι γνησίως ύξουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε log log Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον των Oy. Λογριθμική Συνάρτηση f log με 0 < <. Πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Σύνολο τιμών το R Είνι γνησίως φθίνουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε log log Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον των Oy. Πρτήρηση : Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων y log κι προς την ευθεί y =, δηλδή τη διχοτόμο του ου κι ου τετρτημορίου. y είνι συμμετρικές ως. Πρτήρηση : Στην επίλυση λογριθμικών εξισώσεων είνι χρήσιμη η ισοδυνμί: log log

24 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Ασκήσεις & Προβλήμτ Εκθετική Συνάρτηση Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 ii) 7 iii) iv) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 6 9 iii) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 0 iii) 0 9. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 8. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 6 6. Ν λύσετε τις νισώσεις: i) 6 ii) 7 iii) Ν λύσετε τις νισώσεις: i) 0 ii) iii) 6 8. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) y y y 6 9. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) y y ii) y y : 0. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 0 ii) 6 8. Ν λυθεί η εξίσωση 0 9 συν ημ B ΟΜΑΔΑΣ. Δίνετι η συνάρτηση f. Ν βρείτε τις τιμές του R γι τις οποίες η συνάρτηση: ) έχει πεδίο ορισμού το R β) είνι γνησίως ύξουσ γ) είνι γνησίως φθίνουσ δ) είνι στθερή. N μελετήσετε ως προς την μονοτονί τις συνρτήσεις: i) f ii) g. Ν λυθεί η εξίσωση 6. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) y y 9 y y

25 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση y y 7. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) y 8 y Ν λυθούν οι πρκάτω νισώσεις: i) ii) 9. Αν f κι g δύο συνρτήσεις με f κι g f y f f y g gy 0. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί,, ν ποδείξετε ότι: ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Γι ποιες τιμές του R η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι πάνω πό τον άξον ;. Δίνετι η συνάρτηση f κ i) Γι ποίες τιμές του κ ορίζετι η f; ii) Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του κ γι τις οποίες η f είνι γνησίως ύξουσ. iii) Ν βρείτε το κ ώστε η γρφική πράστση της f() ν περνάει πό το σημείο Ρ, iv) Ν βρείτε τις τιμές του κ ώστε η γρφική πράστση της f() ν περνάει πό το σημείο Σ (, ). Δίνετι η συνάρτηση f λ λ i) Γι ποίες τιμές του λ είνι -; ii) Υπολογίστε τις τιμές του λ γι τις οποίες ισχύει f () f () f () f (0) iii) Αν γι κάθε < 0 ισχύει f () ν βρείτε τις τιμές του λ.. Σε έν σθενή με υψηλό πυρετό χορηγείτι έν ντιπυρετικό φάρμκο. Η θερμοκρσί (πυρετός) Θ(t) του σθενούς t ώρες μετά την λήψη του φρμάκου δίνετι πό τον τύπο: t Θ t 6 σε βθμούς Κελσίου. i) Ν βρείτε πόσο πυρετό είχε ο σθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμκο. ii) Ν βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρσί του σθενούς θ πάρει την φυσιολογική τιμή των 6, C. iii) Αν η επίδρση του ντιπυρετικού διρκεί ώρες πόση θ είνι η θερμοκρσί του σθενούς μόλις στμτήσει η επίδρση του φρμάκου.. Ένς βιολόγος μελετώντς την νάπτυξη ενός είδους βκτηριδίων πρτηρεί ότι: ) ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτν 00. β) ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτν.00. Αν ο τύπος που δίνει τον ριθμό των βκτηριδίων είνι P(t) = Ρ ο kt λt, Pt P 0 όπου Ρ(t) ο ριθμός των βκτηριδίων σε χρόνο t, Ρ 0 o ρχικός ριθμός κι λ στθερά που εξρτάτι πό το είδος των βκτηριδίων τότε: i) Ν βρείτε τη στθερά λ. ii) Ν βρείτε τον ρχικό ριθμό των βκτηριδίων. iii) Σε πόσ λεπτά ο ρχικός ριθμός των βκτηριδίων είχε διπλσιστεί; Λογάριθμοι Α ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν ποδείξετε τις ισότητες: i) log log log ii) log log8 log log

26 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση log 9 7. Ν ποδείξετε τις ισότητες: i) log 6 log log8 ii) log log 8. Ν ποδείξετε ότι: log log 8 log log log 9. Ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης log log 6 log 0. Ν πλοποιηθούν: i) A ln ln A ii) ln B iii) Γ ln ln iv) Δ ln ln. Ν υπολογιστεί ο 6 log ν γνωρίζουμε ότι log 0, 6. Ν ποδείξετε ότι: ln log 6 ln log 0 ii) 8. Ν γρφούν σν λογάριθμοι ενός ριθμού οι πρστάσεις: i) log log 6. Ν ποδείξετε ότι: log β logβ γ γ, με,β, γ R β,β log ln yln z ln zln ln ln y. Ν ποδείξετε ότι: y z B ΟΜΑΔΑΣ β ii) log log 0 6. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) log 7 log8 log 9 log ii) log log 7. Αν log, logβ κι log γ ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) β log ii) 0γ log β 0 γ 8. Ν ποδείξετε ότι: log log log... log Έστω, β, γ θετικοί ριθμοί κι διφορετικοί μετξύ τους. Αν ισχύει ποδείξετε ότι β γ. β γ log logβ log γ β γ γ β ν 0. Αν, y > 0, κι y 7y, ν δείξετε ότι: log log y log y. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των v πρώτων όρων σε ριθμητική πρόοδο με logβ είνι: S ν log β ν ν ν ν log κι. Έστω οι, β, γ, θ θετικοί κι διάφοροι του. Αν οι, β, γ είνι διδοχικοί όροι σε γεωμετρική πρόοδο ν δείξετε ότι οι ντίστροφοι των ριθμών log θ, logβ θ,log γ θ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Μι ποσότητ ρδιενεργού υλικού θάβετι κι με τη πάροδο του χρόνου μειώνετι κολουθώντς το νόμο της εκθετικής μετβολής. i) Αν γνωρίζουμε ότι μετά πό δυο χρόνι έχει πομείνει το της ρχικής ποσότητς ν γρφεί ο τύπος της εκθετικής μετβολής. ii) Αν μετά πό τέσσερ χρόνι η ποσότητ που έχει πομείνει είνι κιλό ν βρεθεί η ρχική ποσότητ που θάφτηκε. iii) Μετά πό πόσ χρόνι η ποσότητ που θ έχει πομείνει θ είνι 8 κιλά;

27 Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση. Ο πληθυσμός μις πόλης είνι σήμερ 0 χιλιάδες κάτοικοι κι μετά πό 0 χρόνι υπολογίζετι ότι θ είνι 0 χιλιάδες κάτοικοι. Βρέθηκε επίσης ότι σε t 0 χρόνι πό σήμερ ο πληθυσμός της πόλης θ λt είνι N t A. i) Ν βρείτε τις στθερές Α κι λ. ii) Ν βρείτε σε πόσ χρόνι πό σήμερ ο πληθυσμός της πόλης θ τετρπλσιστεί. iii) Ν λύσετε ως προς t την νισότητ N t N t N t N t 6 0 Λογριθμική Συνάρτηση Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: i) f 6. Ν λυθεί η εξίσωση: log log 0 7. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 8. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ln ln ln ii) f ln ii) ln ln ln log log y y 0. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) log log y 9 ln ln y ln y ln ln ln ln y. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) y ln ln y 0 ln ln y 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθεί η εξίσωση: ln ln ln 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 6 log. Ν λυθεί η εξίσωση: 00. Ν λυθεί η νίσωση: ln ln ln 6. i) Ν ποδείξετε ότι: logy = y log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: log = log 7. Ν λυθεί το σύστημ: y log log y log 6 8. Ν βρεθεί ο θετικός ώστε ν ισχύει: log 9. i) Ν ποδείξετε ότι logy = y log με, y > 0 ii) Ν λύσετε το σύστημ: log y log y log y log 0 log... log ν iii) Αν οι λύσεις του (ii) είνι ρίζες της εξίσωσης loglog log θ 0 0 ν ν βρείτε το θ * R

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α

1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α 1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ηµ + συν = 1. Α. Ν σημειώσετε το σωστό Σ ή το λάθος Λ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)] Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις ο Διγώνισμ 08-9 Ύλη: Συνρτήσεις Θέμ Α Α Θεωρήστε τον πρκάτω ισχυρισμό: «Oι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί που διχοτομεί τις γωνίες κι ) Ν χρκτηρίσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 3ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση kanellopoulos@hotmail.com 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο

Θέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται: Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών

ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών ικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ 5-6 M.Ι.Ππγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Θετικών Σπουδών Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών Μέρος Α: Συνρτήσεις - Όρι Συνέχει Έκδοση 5.7 Η συλλογή υτή δινέμετι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα