12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων"

Transcript

1 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα ικοτίης που περιέχεται τα έου τύπου τιγάρα, μπορεί α υπολογίει έα διάτημα εμπιτούης και α πάρει έτι μια εκτίμηη για τη άγωτη μέη ποότητα ικοτίης Στη περίπτωη όμως, που εδιαφέρεται α γωρίζει μόο α τα έου τύπου τιγάρα η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει έα μέγιτο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο υποθέεω ώτε α μπορεί α αποφαίει μεταξύ τω υποθέεω: Η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο Η μέη ποότητα ικοτίης υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο Ο τατιτικός έλεγχος υποθέεω (hypothe tetng) είαι μια υμπεραματική διαδικαία/μέθοδος που προφέρει η Στατιτική Συμπεραματολογία και βρίκει εφαρμογή ε τοχατικά προβλήματα απόφαης μεταξύ δύο εαλλακτικώ υποθέεω Η μία υπόθεη έχει επικρατήει α υμβολίζεται με H και οομάζεται μηδεική υπόθεη (null hypothe) και η άλλη με H και οομάζεται εαλλακτική υπόθεη (alternatve hypothe) Ααγκαία προϋπόθεη για τη ωτή εφαρμογή τω τατιτικώ ελέγχω και κυρίως για τη ωτή ερμηεία τω αποτελεμάτω τους, είαι η καταόηη της λογικής και του οήματός τους Στη υέχεια αυτό θα προπαθήουμε Να ααδείξουμε τη λογική, το όημα και τα όρια εφαρμογής τους Βαικές έοιες Η γεική ιδέα της διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω είαι η εξής: θέτουμε ως μηδεική υπόθεη ( H ) αυτή για τη οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφιβητείται, και εξετάζουμε α έα τυχαίο δείγμα που παίρουμε από το πληθυμό υηγορεί-δίει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της έατι της εαλλακτικής ( H ) Δηλαδή, η H απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται με βάη το τι παρατηρείται το τυχαίο δείγμα που πήραμε από το πληθυμό Πιο υγκεκριμέα, υποθέτοτας ότι η H είαι αληθής, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι ακραίο, δηλαδή, α έχει πολύ μικρή πιθαότητα α υμβεί, τότε απορρίπτουμε τη H Σε ατίθετη περίπτωη, δηλαδή, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα δε είαι ακραίο-πάιο (ότα είαι αληθής η H ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίει αρκετές εδείξεις για τη απόρριψη της H και «αποτυγχάουμε α τη απορρίψουμε» Βέβαια, με αυτή τη τρατηγική παίρουμε «ρίκο», γιατί και τα ακραία, έτω και με πολύ μικρή πιθαότητα, μπορεί α υμβού Πιο υγκεκριμέα, με τη υπόθεη ότι η H είαι αληθής, α κρίουμε ότι αυτό που παρατηρείται το τυχαίο δείγμα είαι ακραίο και τη απορρίψουμε, τότε ακριβώς έα από τα παρακάτω μπορεί α υέβη: (α) είτε η H πράγματι δε είαι αληθής όποτε αποφαίαμε ωτά, (β) είτε η H είαι αληθής και το ακραίο οφείλεται τη τύχη, δηλαδή υέβη κάτι πάιο (εμφαίθηκε έα δείγμα που πάια εμφαίζεται) Στη περίπτωη αυτή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 349

2 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω απορρίψαμε λαθαμέα τη H Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου Ι (type I error) Εφόο υπό τη H, το ακραίο υπάρχει πιθαότητα, έτω πολύ μικρή πχ, α υμβεί, τότε απορρίπτουμε λαθαμέα τη H με πιθαότητα Αάλογα, είαι δυατό, λαθαμέα α μη απορρίψουμε τη H Δηλαδή, α αποτύχουμε α απορρίψουμε τη H, εώ είαι αληθής η H Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ (type II error) Το «ρίκο», επομέως, είαι διπλό, με πιθαότητα λαθαμέης απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου Ι) P(απόρριψη της H αληθής η H ) και λαθαμέης μη απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ) Είαι φαερό, ότι για α προχωρήουμε πρέπει α αποαφηιτεί: α) τι εοούμε επακριβώς ότα λέμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί α μετρηθεί-ποοτικοποιηθεί; β) Πώς κρίουμε ότι «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είαι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιο αφή καόα θεωρείται το παρατηρούμεο το δείγμα «ακραίο»; Επίης, πρέπει α απατήουμε τα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζοται οι πιθαότητες φάλματος τύπου Ι και φάλματος τύπου ΙΙ; Μπορού α ελαχιτοποιηθού; Σχετίζοται με κάποιο τρόπο; Μπορούμε α τις θέουμε υπό το έλεγχό μας; Για α απατήουμε τα ερωτήματα αυτά, ας χρηιμοποιήουμε έα υγκεκριμέο παράδειγμα Θα μας βοηθήει τη καταόηη Παράδειγμα : Το όριο ατοχής εός τύπου καλωδίω είαι τυχαία μεταβλητή Χ με μέη τιμή μ 5 Kg και τυπική απόκλιη 75 Kg Το εργοτάιο που κατακευάζει αυτό το τύπο καλωδίω ιχυρίζεται ότι βελτίωε τα υλικά που χρηιμοποιεί και πλέο το όριο ατοχής τω καλωδίω έχει αυξηθεί Για α ελεγχθεί ο ιχυριμός του εργοταίου, ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη H : μ 5 Kg, δηλαδή, αυτή η οποία αμφιβητείται από το ιχυριμό που ελέγχουμε Γεικά, η H δηλώει ότι το πληθυμό η κατάταη παραμέει αμετάβλητη, δε υπάρχει αλλαγή/διαφορά (το παράδειγμά μας, ότι η βελτίωη τω υλικώ δε έχει επίδραη το όριο ατοχής τω καλωδίω) Έας δεύτερος καόας για το καθοριμό της H που έχει επίης καθιερωθεί τη διεθή επιτημοική πρακτική είαι ο εξής: ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη υπόθεη της οποίας η λαθαμέη απόρριψη εγκυμοεί τους περιότερους κιδύους Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προταία από φάλμα τύπου Ι Ως εαλλακτική θέτουμε τη H : μ > 5 Kg, δηλαδή, η H δηλώει ότι η βελτίωη τω υλικώ επηρεάζει, και ειδικότερα αυξάει, το όριο ατοχής τω καλωδίω Για αυτό έχει επικρατήει α λέγεται μηδεική υπόθεη (υποθέτουμε μηδεική αλλαγή/διαφορά τη τιμή της ελεγχόμεης παραμέτρου) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

3 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Γεικά, η H δηλώει ότι το πληθυμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά Ο έλεγχος που μόλις διατυπώαμε, είαι έας μοόπλευρος και ειδικότερα δεξιόπλευρος έλεγχος Γεικότερα, οι έλεγχοι H : μ μ H : μ μ και H : μ > μ H : μ < μ οομάζοται μοόπλευροι (one-taled) έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριτερόπλευρος ατίτοιχα) και ο έλεγχος H : μ μ H : μ μ οομάζεται αμφίπλευρος (two-taled) Σημειώουμε επίης, ότι τα δύο ύολα τιμώ της παραμέτρου που ελέγχουμε (το παράδειγμά μας της μ ) που ορίζου οι δύο υποθέεις, πρέπει προφαώς α είαι ξέα μεταξύ τους (ή το έα άρηη του άλλου) Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέεις ααφέροται το πληθυμό γι αυτό δηλώοται με όρους παραμέτρω του πληθυμού Όπως ήδη έχουμε ααφέρει, τη τατιτική προέγγιη προβλημάτω ελέγχεται η υμφωία θεωρίας και εμπειρίας Έτι, το παράδειγμά μας, αφού διατυπώαμε τη υπόθεη ότι η άγωτη μέη τιμή του πληθυμού τω ορίω ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι 5Kg ( H : μ 5 Kg), παίρουμε έα τυχαίο δείγμα καλωδίω από το ύολο της παραγωγής του εργοταίου και μετράμε το όριο ατοχής κάθε καλωδίου του δείγματος Για τις αάγκες του παραδείγματος, έτω ότι έα τυχαίο δείγμα X, X, X μεγέθους 5 μας έδωε τις μετρήεις x, x,, x5 με x 55 Kg Η «εμπειρία», δηλαδή αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμφωεί άραγε με τη υπόθεη H : μ 5 Kg, δηλαδή, με ό,τι αυτή υεπάγεται για το δείγμα (με βάη τη θεωρία πιθαοτήτω) ή μήπως δίει αποδείξεις εατίο της H και υπέρ της H Για α απατήουμε ε αυτό το ερώτημα, πρέπει πρώτα απ όλα α κατακευάουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη τατιτική υάρτηη T T ( X, X,, X ), δηλαδή, μια υάρτηη του δείγματος-δειγματουάρτηη, ώτε α ποοτικοποιήουμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» και η οποία, υπό τη H, δηλαδή ότα ιχύει η H, α ακολουθεί γωτή καταομή (χωρίς άγωτες παραμέτρους) ώτε α μπορούμε α υπολογίουμε τις απαιτούμεες για το έλεγχο πιθαότητες Στο παράδειγμά μας που αφορά το έλεγχο της μέης τιμής μ του πληθυμού, είαι λογικό α επιλέξουμε ως τατιτική υάρτηη Τ, το δειγματικό μέο X του οποίου η καταομή, υπό τη H : μ 5 Kg, είαι γωτή αφού το μέγεθος του δείγματος που πήραμε είαι αρκετά μεγάλο και επομέως από το ΚΟΘ, κατά προέγγιη, έχουμε 75 X ~ N(5, ) ή X ~ N(5, 475 ) 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

4 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Εαλλακτικά, ως τατιτική υάρτηη Τ μπορούμε α επιλέξουμε τη X 5 ( X 5) 5 Z ~ N(,) Έτι, «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», το παράδειγμά μας εκφράζεται από τη τατιτική υάρτηη X με τιμή, το υγκεκριμέο δείγμα που πήραμε, x 55 Kg ή ιοδύαμα, από τη ( 5) 5 Z X 75 με τιμή (55 5) 5 z 75 Ας δούμε τώρα πώς με ποιο καόα ορίζουμε το «ακραίο» ος τρόπος: Επιλέγουμε-(προ)καθορίζουμε το αεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι Α η H : μ 5 Kg είαι αληθής, είαι λογικό α ααμέουμε ότι η τιμή της τατιτικής υάρτηης X το δείγμα που πήραμε (δηλαδή, ο δειγματικός μέος) θα είαι κοτά τη τιμή 5Kg Ατιθέτως, α η H : μ 5 Kg δε είαι αληθής ααμέουμε ο δειγματικός μέος α είαι μακριά (προς τη κατεύθυη της H, δηλαδή δεξιότερα) του 5 Έας λογικός επομέως έλεγχος, είαι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάη τη οποία θα κρίεται α ο δειγματικός μέος βρίκεται μακριά από τη μ 5 Kg, δηλαδή θα θεωρείται ακραίος Έτι, α το παράδειγμά μας επιλέξουμε c 53 Kg τότε επειδή x 55 > 53, αυτό που παρατηρείται το δείγμα κρίεται ακραίο και η H απορρίπτεται Το κριτήριο αυτό είαι φυικά λογικό, όμως πόο λογική-εύλογη είαι η αυθαίρετη τιμή c 53 Kg με τη οποία οριοθετήαμε τις ακραίες από της μη ακραίες τιμές του δειγματικού μέου Α για παράδειγμα, επιλέξουμε c 57 Kg τότε x 55 < 57 δηλαδή τώρα το παρατηρούμεο το δείγμα δε κρίεται ακραίο και το δείγμα δε υποτηρίζει απόρριψη της H Τίθεται επομέως το ερώτημα: πώς επιλέγουμε τη τιμή της ταθεράς c; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

5 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Πρι απατήουμε ε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίουμε τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα τύπου Ι τη περίπτωη που επιλέξουμε c 53 Kg και ατίτοιχα τη περίπτωη που επιλέξουμε c 57 Kg Για c 53 Kg έχουμε P(φάλμα τύπου Ι)P(απόρριψη της H αληθής η H ) P ( X 53 μ 5) X P ( ) P( Z ) Φ() Ομοίως, για c 57 Kg έχουμε X P( X 57 μ 5) P( ) P( Z 83) Φ(83) Και για οποιοδήποτε c, έχουμε X 5 c 5 P( X c μ 5) P( ) ( c 5) P( Z 75 5 ( c 5) ) Φ 75 5 Από τα παραπάω είαι φαερό ότι η τιμή της ταθεράς c επηρεάζει (ακριβέτερα, καθορίζει) τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι που κάουμε Έτι, με κριτήριο το έλεγχο του μεγέθους του φάλματος τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε τη H ), μπορούμε α επιλέξουμε τη τιμή της c ως εξής Ορίζουμε έα μέγιτο αεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι και με βάη αυτό υπολογίζουμε τη τιμή της c Με αυτό το τρόπο, καθορίζουμε έα απολύτως αφή καόα για α κρίουμε α αυτό που παρατηρείται το δείγμα, δηλαδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης Τ (το παράδειγμά μας της X ή της Z ( X 5) 5 75 ), είαι «ακραία» ή όχι, και πλέο, αποφαίζουμε για τη απόρριψη ή τη μη απόρριψη της H, με κριτήριο έα προκαθοριμέο μέγεθος φάλματος τύπου Ι Το αεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, υμβολίζεται με α και οομάζεται επίπεδο ηματικότητας (level of gnfcance) του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 353

6 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματικό-ηματική απόδειξη για α υποτηρίξει τη απόρριψη της H ) Συήθως το επίπεδο ηματικότητας α, ορίζεται ίο με ή 5 Ας ολοκληρώουμε το έλεγχο, το παράδειγμά μας, θέτοτας επίπεδο ηματικότητας α 5 Πρέπει α επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώτε: 5 5 ( 5) 5 X c P X c μ P ( c 5) P Z 75 5 ( c 5) 5 Φ ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ z c Έτι, επιλέγοτας c 54 8 έχουμε x 55 > 54 8 και επομέως απορρίπτουμε τη H με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ 5 Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c) 5 c z δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το α 5 άω ποοτιαίο ημείο της τυποποιημέης καοικής καταομής, z 5, και επειδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης το δείγμα, z, είαι μεγαλύτερη από τη c z 645, δηλαδή z > z 5 645, απορρίπτουμε τη H με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ 5 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 354

7 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Α η φύη του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προταία» από φάλμα τύπου Ι, δηλαδή από εφαλμέη απόρριψη της H, τότε πρέπει α είματε πιο «υτηρητικοί» τη απόρριψη της H και αυτό το επιτυγχάουμε καθορίζοτας μικρότερο αεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο ηματικότητας Έτι, το παράδειγμά μας, α επιβάλλεται πιο αυτηρός έλεγχος του ιχυριμού του εργοταίου, κάουμε το έλεγχο ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, δηλαδή, κάουμε το έλεγχο με μικρότερη αοχή ε εφαλμέη απόρριψη της H, πχ με α Στη περίπτωη αυτή έχουμε: 5 5 ( 5) X c P X c μ P ( c 5) P Z 75 5 ( c 5) Φ 75 5 ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ z c 75 Έτι, για α είαι c και επειδή η x 55 δε είαι μεγαλύτερη από αυτή, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτουμε τη H Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c) c z 33 και επειδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης το δείγμα, z, δε είαι μεγαλύτερη από τη c z 33, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτουμε τη H Η ταθερά c οομάζεται κρίιμη τιμή ή όριο απόρριψης (crtcal value, rejecton lmt) γιατί με βάη αυτή κρίεται α μια τιμή της τατιτικής υάρτηης, Τ, είαι ακραία ή όχι Αάλογα, η τατιτική υάρτηη Τ τη οποία επιλέγουμε για α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 355

8 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω εκφράει «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», οομάζεται τατιτική υάρτηη ελέγχου (tet tattc) και οι τιμές της για τις οποίες απορρίπτεται η H ορίζου τη κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης (crtcal regon, rejecton regon) Ότα απορρίπτεται η H, το δείγμα χαρακτηρίζεται τατιτικά ηματικό (tattcally gnfcant) και έχει τη έοια ότι διαφέρει ηματικά από αυτό που ααμεότα από τη H Στο παράδειγμά μας, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η κρίιμη τιμή είαι c 548 ή ιοδύαμα, c z Η κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης 75 είαι C { x : x 5 + z 5 548} [548, + ) ή ιοδύαμα, 5 ( x 5) 5 C { z : z z 5 645} [645, + ) 75 και τα ευρήματα το δείγμα ( x 55kg ή ιοδύαμα, z ), ε επίπεδο ηματικότητας α 5, είαι τατιτικά ηματικά Σχόλιο : Επιημαίουμε ότι θέτοτας μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, απαιτούμε πιο «ηματικές αποδείξεις» για τη απόρριψη της H και το χαρακτηριμό τω ευρημάτω μας το δείγμα ως τατιτικά ηματικώ Έτι, μπορεί ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, πχ α 5, α απορρίπτουμε τη H και ε κάποιο μικρότερο, πχ α, α μη τη απορρίπτουμε γιατί απαιτούμε ηματικότερες αποδείξεις Όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο μπορούμε α απορρίψουμε τη H, τόο πιο ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγμα, με τη έοια ότι δίει πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της H Άρα, όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο μπορούμε α απορρίψουμε τη H, τόο πιο ηματικό, τατιτικά, είαι το αποτέλεμα του ελέγχου Τέλος, είαι προφαές, ότι α η H απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο, εώ α δε απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης δε απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μικρότερο Σημείωη : Ας δούμε τι ημαίει «κάω φάλμα τύπου Ι» και με μια άλλη διατύπωη Έτω ότι κάω το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α και ότι η μηδεική υπόθεη είαι αληθής Τότε, από όλα τα δείγματα μεγέθους που μπορώ α πάρω από το πληθυμό, ποοτό το πολύ α από αυτά θα δώου τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που απορρίπτει τη μηδεική υπόθεη (ε προκειμέω εφαλμέα) Συοψίζοτας, ο έλεγχος του παραδείγματός μας, με τη διαδικαία που περιγράψαμε, έγιε ε έξι βήματα: ο Βήμα: Ορίαμε τις δύο υποθέεις (ύμφωα με όα ααφέρθηκα): H : μ 5 Kg, H : μ > 5 Kg ο Βήμα: Ορίαμε το επίπεδο ηματικότητας α του ελέγχου: α 5 3 ο Βήμα: Ορίαμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου: τη X ή ιοδύαμα, τη ( 5) 5 Z X 75 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 356

9 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 4 ο Βήμα: Επιλέξαμε από το πληθυμό έα τυχαίο δείγμα και υπολογίαμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου: x 55 Kg ή ιοδύαμα, z (μέγεθος δείγματος, 5) 5 ο Βήμα: Ορίαμε τη κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου: C { x : x 5 + z 5} { x : x } [548, + ), 5 5 ή ιοδύαμα, x 5 C { z : z z 5 645} [645, + ) ο Βήμα: Εξετάαμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται ή όχι τη κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου και αποφαίαμε με πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, α 5, για τη απόρριψη ή όχι της μηδεικής υπόθεης: επειδή x 55 [548, + ) ή ιοδύαμα, επειδή z [645, + ), ε επίπεδο ηματικότητας α 5, απορρίψαμε τη H : μ 5 Kg Προοχή: Στη διατύπωη του αποτελέματος πρέπει οπωδήποτε α ααφέρεται το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου γιατί με βάη αυτό κρίεται α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι τατιτικά ηματικό ή όχι και κατά υέπεια α η μηδεική υπόθεη απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται Επίης, διευκριίζουμε ότι ότα λέμε «περιοχή απόρριψης», πάτοτε εοούμε «περιοχή απόρριψης της H» Στη διατύπωη του αποτελέματος θα ααφερθούμε και τη υέχεια Όπως, ήδη, έχουμε ααφέρει, με αυτό το τρόπο που εργαθήκαμε, πετύχαμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας το φάλμα τύπου Ι, δηλαδή, α αποφαίουμε με γωτή-προκαθοριμέη πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης της H Έας παρεμφερής τρόπος χειριμού του φάλματος τύπου Ι είαι ο ακόλουθος ος τρόπος: Υπολογίζουμε τη P-Τιμή του δείγματος Με δεδομέο ότι η H : μ 5 Kg είαι αληθής, υπολογίζουμε τη πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή x 55 Kg που εμφαίθηκε το δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, προς τη κατεύθυη της H ) Ζητάμε τη πιθαότητα P( X 55 / H ) ή P ( X 55 / μ 5) και επειδή γωρίζουμε τη καταομή της X έχουμε X P( X 55 μ 5) P( ) P ( Z ) Φ() 7 Αυτή η πιθαότητα οομάζεται P-Τιμή (P-Value) του δείγματος ή κρίιμο επίπεδο (crtcal level) και είαι η πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που εμφαίθηκε (το παράδειγμά μας, x 55 Kg ή z ) ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία), προς τη κατεύθυη της H, δεδομέου ότι η Η ο είαι αληθής Έτι, υπολογίζοτας τη P-τιμή του δείγματος, γωρίζουμε πόο πιθαή ήτα η εμφάιη του δείγματος που πήραμε με τη υπόθεη ότι η H είαι αληθής Επομέως, όο πιο μικρή είαι η P-Τιμή τόο ιχυρότερες εδείξεις εατίο της H προκύπτου από το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόο πιο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 357

10 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που δίει το δείγμα Στο παράδειγμά μας, υπολογίαμε ότι η P-Τιμή του δείγματος που πήραμε, είαι ίη με 7 ή 7% Eπομέως, α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α %, δηλαδή, α θέλουμε πιο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της H από αυτές που παρατηρούται το δείγμα, τότε δε τη απορρίπτουμε, εώ α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α 5 5% τότε τη απορρίπτουμε (γιατί τη περίπτωη αυτή, απαιτούμε λιγότερο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της H ) Στο επόμεο χήμα έχουμε μεγεθύει τη δεξιά ουρά της καταομής της Z και φαίοται ευκριώς οι περιοχές που ατιτοιχού το α 5, τη P τιμ ή 7 και το α Έτι, υπολογίζοτας τη P-Τιμή, μπορούμε άμεα α τη υγκρίουμε με οποιοδήποτε α και α επιλέξουμε και α αποφαίουμε για τη απόρριψη ή όχι της H Βέβαια, ο καόας απόφαης διαμορφώεται πλέο ως εξής: α α P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότητας α, η H απορρίπτεται α α < P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότηταςα, η H δε απορρίπτεται Συοψίζοτας, από τα παραπάω είαι προφαές, ότι H P-τιμή μπορεί α οριθεί και ως εξής: P-Τιμή είαι η ελάχιτη τιμή του επιπέδου ηματικότητας για τη οποία απορρίπτεται η Η ο H P-τιμή είαι έα μέτρο το οποίο εκφράζει πόο ιχυρές είαι οι αποδείξεις που προκύπτου από το δείγμα εατίο της Η ο Σημείωη : Στη βιβλιογραφία, για τη P-Τιμή, χρηιμοποιείται και ο όρος παρατηρούμεο επίπεδο ηματικότητας (oberved gnfcance level) Το ααφέρουμε, όμως δε το υιτούμε Θυμηθείτε ότι μικρότερο α ημαίει ότι απαιτούται πιο ηματικές αποδείξεις εατίο της H Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 358

11 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στα προηγούμεα προπαθήαμε, με έα παράδειγμα, α περιγράψουμε, α εφαρμόουμε και κυρίως α ααδείξουμε το όημα και τη λογική της γεικής διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω Βέβαια, το παράδειγμα που χρηιμοποιήαμε, ο έλεγχος είαι έας μοόπλευρος, δεξιόπλευρος έλεγχος για τη μέη τιμή μ, εός πληθυμού του οποίου γωρίζουμε τη διακύμαη, και το τυχαίο δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι αρκετά μεγάλο ώτε η προέγγιη που παίρουμε από το ΚΟΘ για τη καταομή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου α είαι ικαοποιητική Δηλαδή, είαι μια ειδική-υγκεκριμέη περίπτωη ελέγχου για τη μέη τιμή εός πληθυμού Όμως, η μέθοδος που ααλύαμε είαι γεική Δε αλλάζει α ατί μοόπλευρος ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος ή ατί τη μέη τιμή μ, αφορά τη διακύμαη εός πληθυμού, ή α το δείγμα είαι αρκετά μεγάλο ή όχι, ή ατί τη μέη τιμή εός πληθυμού αφορά τη διαφορά μ μ τω μέω τιμώ μ, μ δύο πληθυμώ, κοκ Οι διάφορες περιπτώεις τατιτικώ ελέγχω διαφοροποιούται, ή τη επιλογή τατιτικής υάρτηης ελέγχου ή/και τη μορφή της περιοχής απόρριψης ([ c, + ) ή (-, c] ή, c ] [ c, + ) ) ( Στη υέχεια δίουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου και τη περιοχή απόρριψης για διάφορες περιπτώεις που μπορεί α εμφαιθού το τατιτικό έλεγχο της μέης τιμής μ, εός πληθυμού Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού Θα ααφερθούμε το έλεγχο της υπόθεης, H : μ μ, δηλαδή, της υπόθεης ότι η άγωτη μέη τιμή μ, εός πληθυμού έχει τιμή μ Ειδικότερα, θα δώουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου τις ακόλουθες περιπτώεις που όπως είδαμε το Α Μέρος (και το ο Κεφάλαιο), γωρίζουμε επακριβώς ή μπορούμε α προεγγίουμε τη καταομή του δειγματικού μέου X Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι γωτή Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι άγωτη Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Επειδή, X ~ N( μ, ),,,,, η καταομή του δειγματικού μέου X + X + + X X είαι, όπως είδαμε τ ο Α Μέρος, καοική (αεξαρτήτως μεγέθους του δείγματος) ( X μ X ~ N( μ, ) και επομέως ) Z ~ N(, ) Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, τη υάρτηη ( μ ) Z X Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 359

12 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω δε υπάρχου άγωτοι παράμετροι και επομέως η τιμή της μπορεί α υπολογιθεί από το δείγμα Έτι, εργαζόμεοι όπως το παράδειγμά μας, α x η τιμή της X για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ έατι της H : μ > μ, ότα x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z z α έατι της H : μ < μ, ότα x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z z α έατι της H : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z zα Η υπόθεη που κάαμε ότι η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, δε είαι μια ιδιαίτερα ρεαλιτική υπόθεη Στη πράξη, η διακύμαη του πληθυμού υήθως είαι άγωτη Ας δούμε πώς εργαζόματε τη περίπτωη αυτή Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι άγωτη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα πληθυμό που ακολουθεί καοική καταομή με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη), δηλαδή, X ~ N( μ, ),,,, Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη, δε μπορούμε ως τατιτική υάρτηη ελέγχου α χρηιμοποιήουμε τη ( μ ) Z X γιατί δε μπορούμε α υπολογίουμε τη τιμή της Γι αυτό, εκτιμάμε τη άγωτη διακύμαη από τη (αμερόληπτη) δειγματική διακύμαη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

13 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ( X X ) και ως τατιτική υάρτηη ελέγχου χρηιμοποιούμε τη ( X μ ) T η οποία είαι γωτό ( ο Κεφάλαιο) ότι ότα ~ N( μ, ),,,,, και X αεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, ακολουθεί τη καταομή t (τη t- καταομή με βαθμούς ελευθερίας) Δηλαδή ( X μ ) T ~ t Είαι επομέως λογικό, τη περίπτωη που εξετάζουμε, οι περιοχές απόρριψης α ορίζοται με βάη το άω α ή το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής t ( t ; α και t ; α ατίτοιχα) Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ, έατι της H : μ > μ, ότα x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα μ t t ( x ) ; α έατι της H : μ < μ, ότα x μ t ; α ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) t t ; α έατι της H : μ μ, ότα x μ t ; α ή x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα t ( x μ ) t ; α Σημείωη : Όπως ημειώαμε τη εότητα «Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές», η καταομή t είαι γωτή και ως καταομή tudent (tudent dtrbuton) Επίης, οι χετικοί έλεγχοι τατιτικώ υποθέεω οομάζοται Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

14 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω t-tet Σημειώουμε επίης, ότι παρότι το t-tet προϋποθέτει α είαι καοικός ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή και από το οποίο παίρουμε το δείγμα, ετούτοις, τη πράξη αποδεικύεται «αθεκτικό» ε αυτή τη υπόθεη Δηλαδή, το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου είαι κοτά το α ακόμη και α η υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού δε ικαοποιείται Φυικά, αυτό δε υμβαίει α η καταομή του πληθυμού απέχει δραματικά από τη καοική καταομή (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη κτλ) και το μέγεθος του δείγματος είαι πολύ μικρό 3 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Από τη θεωρία πιθαοτήτω (ΚΟΘ) γωρίζουμε ότι για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 3 ), κατά προέγγιη έχουμε ( X μ ) X ~ N( μ, ) και Z ~ N(,) Επομέως, τη περίπτωη αυτή, ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει τη Παράγραφο Βέβαια, οι ατίτοιχοι έλεγχοι πλέο είαι κατά προέγγιη επιπέδου ηματικότητας α, αφού η καταομή της υάρτηης ελέγχου X ή Z ( X μ ) δε είαι τη περίπτωη αυτή καοική αλλά προεγγίζεται από τη καοική Αφαλώς, όο μεγαλύτερο είαι το μέγεθος του δείγματος, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη 4 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Α το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (ε γέει, 3 ), όπως είδαμε το ο Κεφάλαιο, η τατιτική υάρτηη ( X μ ) T προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη Z ~ N(, ) Δηλαδή, ( X μ ) T Z ~ N(,) Επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ, έατι της H : μ > μ, ότα ( x μ ) x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα z zα έατι της H : μ < μ, ότα ( x μ x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα z ) zα έατι της H : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

15 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ( x μ ) ή ιοδύαμα, ότα z zα Σημείωη : Επειδή τη περίπτωη αυτή, η καταομή της ( X μ ) δε είαι η N (, ), αλλά προεγγίζεται από τη N (, ), οι έλεγχοι είαι επιπέδου ηματικότητας α κατά προέγγιη Φυικά, όο μεγαλύτερο είαι το δείγμα, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη Ερώτηη: Α ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, τότε προφαώς εφαρμόζεται ο έλεγχος της Παραγράφου αλλά και της Παραγράφου 4 Τι λέτε, τίθεται δίλημμα επιλογής ελέγχου 3 ; Για διευκόλυή μας, ας υοψίουμε τις προηγούμεες περιπτώεις ε έα πίακα Περιοχή απόρριψης της H : μ μ Στατιτικοί Έλεγχοι Υποθέεω για τη μέη τιμή, μ, εός πληθυμού με έα τυχαίο δείγμα μεγέθους (ε επίπεδο ηματικότητας α) H : μ μ H : μ > μ H : μ < μ Προϋποθέεις Z Z X μ zα α Z zα X μ Z X μ z X μ z Z z α α Z zα X μ X μ T t T t, α, α X μ X μ X μ T t n??? Πίακας, α Η διακύμαη είαι γωτή και ο πληθυμός είαι καοικός ή Η διακύμαη είαι γωτή και το μεγάλο Η διακύμαη είαι άγωτη και το n μεγάλο (οτιδήποτε πληθυμός) Η διακύμαη, άγωτη και ο πληθυμός είαι καοικός (οτιδήποτε ) Το είαι μικρό, ο πληθυμός όχι καοικός και η διακύμαη γωτή ή άγωτη Ας δούμε τώρα μερικές ακήεις και προβλήματα Θα μας βοηθήου α εξοικειωθούμε τη διάκριη τω παραπάω περιπτώεω, που ίως φατάζου λαβύριθος Όμως, δε είαι! Παράδειγμα : Στη βιβλιογραφία ααφέρεται ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος μιας υγκεκριμέης φυλής αγελάδω είαι 4Kg (αά αγελάδα) Έας ερευητής θέλει α ελέγξει α τις κτηοτροφικές μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης οι αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής έχου τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Για το κοπό αυτό και με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επέλεξε 4 αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής από μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης και κατέγραφε κάθε μέρα, επί έα έτος, τη παραγωγή γάλακτος κάθε μιας αγελάδας Η μέη ετήια παραγωγή τω 4 αγελάδω, βρέθηκε 39Kg με τυπική απόκλιη 5Kg Απάτηη: Θα κάουμε κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, α αυτό που παρατηρήθηκε το δείγμα υποτηρίζει ότι η 3 Θυμηθείτε ότι για μεγάλα n ιχύει: t ; α zα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 363

16 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Ο πληθυμός του οποίου θα ελέγξουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω ετήιω αποδόεω γάλακτος όλω τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής που εκτρέφοται τη Μακεδοία και τη Θράκη Ας υμβολίουμε με Χ τη ετήια παραγωγή γάλακτος ε Kg μιας οποιαδήποτε αγελάδας της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη και με X, X, X 4 τις ετήιες αποδόεις 4 αγελάδω τυχαία επιλεγμέω Στο υγκεκριμέο δείγμα που πήρε ο ερευητής, οι τιμές του δείγματος, x, x, x4, έδωα x 39kg με 5kg Ως μηδεική υπόθεη θέτουμε αυτή που αμφιβητείται από το ερευητή (γι αυτό τη ελέγχει) δηλαδή τη H : μ 4 Kg Ως εαλλακτική θέτουμε τη H : μ 4 Kg γιατί ο ερευητής θέλει α ελέγξει πιθαή διαφοροποίηη της μέης απόδοης και όχι διαφοροποίηή της προς κάποια κατεύθυη (αύξηη ή μείωη) Ως τατιτική υάρτηη ελέγχου θα χρηιμοποιήουμε τη X μ ) ( γιατί η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη και το μέγεθος του δείγματος είαι 4 > 3 (περίπτωη της Παραγράφου 4) Επειδή ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι z z 5 ή z z 5 ή z 96 z 96 ή z 96 Υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου το δείγμα Έχουμε ( x μ ) (39 4) 4 z 8 5 Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης Πράγματι, επειδή z 8 96, η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία, ή αλλιώς, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Η πιθαότητα το υμπέραμα αυτό α είαι λάθος είαι το πολύ 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 364

17 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Παρατήρηη : Α ο ερευητής έχει υπόοιες ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη, είαι μικρότερη από τη ααφερόμεη τη βιβλιογραφία, τότε πρόκειται για άλλο πρόβλημα, για άλλο ερευητικό ερώτημα Στη περίπτωη αυτή πρέπει α γίει ο έλεγχος της H : μ 4 Kg έατι της H : μ < 4 Kg Τι λέτε, είαι απαραίτητο α κάουμε αυτό το έλεγχο ή μήπως μπορούμε α υμπεράουμε το αποτέλεμά του από το αποτέλεμα του αμφίπλευρου ελέγχου που ήδη κάαμε; Παρατήρηη : Α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, η περιοχή απόρριψης είαι z z ή z z 5 ή z 58, δηλαδή, z 58 ή z 58 Η τιμή z 8 της υάρτηης ελέγχου, φυικά δε αλλάζει και επειδή τώρα δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης, η μηδεική υπόθεη ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτεται Δηλαδή, η διαφορά τω 9Kg (μεταξύ δειγματικού μέου x 39kg και μηδεικής υπόθεης μ 4 Kg) τώρα δε κρίεται ως τατιτικά ηματική Αυτό, φυικά δε είαι παράδοξο αφού θέτοτας α απαιτούμε πλέο πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της μηδεικής υπόθεης Άραγε, ε επίπεδο ηματικότητας α ή α 3 είαι τατιτικά ηματική αυτή η παρατηρούμεη διαφορά; Για α απατήουμε, μπορούμε φυικά α υγκρίουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου με τη ατίτοιχη, για κάθε περίπτωη, κρίιμη τιμή Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι καλύτερο και α δώουμε μια πληρέτερη απάτηη Να υπολογίουμε τη P-τιμή του δείγματος, δηλαδή, το ελάχιτο επίπεδο ηματικότητας για το οποίο απορρίπτεται η μηδεική υπόθεη ή αλλιώς, α υπολογίουμε πόο ηματική ( επιτέλους) είαι αυτή η τιμή που εμφαίθηκε το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα Έχουμε P τιμ ή P( Z 8) P( Z 8) + P( Z 8) 6 Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α και α δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη εώ ε επίπεδο ηματικότητας α 3 τη απορρίπτουμε Παράδειγμα : Από έα καοικό πληθυμό πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 9, με x 6 μοάδες και μοάδες Ας κάουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, το έλεγχο της μηδεικής υπόθεης H : μ 65 έατι της εαλλακτικής H : μ 65 Απάτηη: Προφαώς, κατάλληλο είαι το t-tet (περίπτωη της Παραγράφου ) Ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι t t8;5 t 36 t 36 ή t 36 Επειδή (6 65) 9 t 5 η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 365

18 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Παρατήρηη 3: Μη απορρίπτοτας τη H : μ 65, αποδείξαμε άραγε ότι είαι αληθής; Δηλαδή, αποδεχόματε ότι η μέη τιμή μ του πληθυμού είαι ίη με 65 και είματε βέβαιοι γι αυτό; Η απάτηη είαι όχι! Δε αποδείξαμε ότι μ 65 Απλώς αποτύχαμε α απορρίψουμε τη H : μ 65 Γι αυτό, το υμπέραμα δε γράψαμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη αλλά ότι δε τη απορρίπτουμε Για α γίει αυτό καταοητό, ας κάουμε ε επίπεδο ηματικότητας α 5, το έλεγχο της H : μ 55 έατι της H : μ 55 Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι (6 55) 9 t 5 Η περιοχή απόρριψης είαι όπως και προηγουμέως, t 36 ή t 36 και επομέως η μηδεική υπόθεη H : μ 55, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, επίης δε απορρίπτεται Δηλαδή, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, τόο η H : μ 65 όο και η H : μ 55 δε απορρίπτοται Επομέως, α γράψουμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική, τι αποδεχόματε; Ότι η μέη τιμή είαι 65 ή ότι είαι 55; Η απάτηη είαι η εξής: όπως έχουμε ααφέρει, ότα ε έα τατιτικό έλεγχο απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη όπως και ότα δε τη απορρίπτουμε, δε είματε βέβαιοι για το υμπέραμά μας Είαι πιθαό α κάουμε φάλμα τύπου Ι ή φάλμα τύπου ΙΙ, ατίτοιχα Τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα ότα απορρίπτουμε τη μηδεική τη γωρίζουμε Είαι το πολύ α και τη δηλώουμε Ότα δε απορρίπτουμε τη μηδεική δε είαι ωτό το υμπέραμά μας α γράψουμε ότι «αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη» χωρίς α έχουμε υπολογίει και α δηλώουμε τη πιθαότητα αυτό το υμπέραμα α είαι λάθος, δηλαδή, χωρίς α έχουμε υπολογίει τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ Και αυτό γιατί αποδοχή ημαίει απόδειξη-βεβαιότητα κάτι το οποίο δε υμβαίει αφού υπάρχει πιθαότητα το υμπέραμά μας αυτό α είαι λάθος Επειδή, όπως θα δούμε τη υέχεια, ο υπολογιμός της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ επακριβώς, υήθως, δε είαι εφικτός (γιατί είαι υάρτηη της πραγματικής τιμής της παραμέτρου που ελέγχουμε), ότα η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α, δε απορρίπτεται, το υμπέραμα πρέπει α γράφουμε «η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α, δε απορρίπτεται» ή ακριβέτερα, «ε επίπεδο ηματικότητας α, αποτύχαμε α απορρίψουμε τη μηδεική υπόθεη» και α αποφεύγουμε α γράφουμε «ε επίπεδο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 366

19 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματικότητας α αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη» Συμπληρωματικά με το αποτέλεμα του ελέγχου, και προκειμέου α έχουμε μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής που ελέγχουμε, μπορούμε α υπολογίουμε έα ( α)% διάτημα εμπιτούης Στη περίπτωη που εξετάζουμε, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ του πληθυμού είαι x ± t ; α ή 6 ± t8; 5 ή 6 ± 9 4 ή [5776, 694] 9 Δηλαδή, με βάη αυτό που παρατηρείται το δείγμα, η μηδεική υπόθεη H : μ 65 (ή η μηδεική υπόθεη H : μ 55) ε επίπεδο ηματικότητας 5% δε απορρίπτεται και το διάτημα [5776, 694], με πιθαότητα 95% περιέχει τη άγωτη μέη τιμή μ, του πληθυμού Παρατηρείτε ότι τόο η τιμή 55 όο και η τιμή 65 βρίκοται ετός του 95% διατήματος εμπιτούης Ερώτηη: Τι λέτε, χετίζεται το διάτημα εμπιτούης με τη περιοχή μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης; Σχόλιο (για το όημα της μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης): Κάτι αάλογο με τη διαδικαία ελέγχου τατιτικώ υποθέεω που περιγράψαμε, υμβαίει και τη διαδικαία λήψης δικατικώ αποφάεω Ότα έας πολίτης οδηγείται ε δίκη, αυτό υμβαίει γιατί αμφιβητείται η αθωότητά του Οι δικατές θέτου ως μηδεική υπόθεη ότι ο κατηγορούμεος πολίτης είαι αθώος 4 (δηλαδή, αυτή που αμφιβητείται) και ως εαλλακτική ότι είαι έοχος Η δικατική διαδικαία κοπό έχει α διαπιτώει α υπάρχου ηματικά αποδεικτικά τοιχεία εατίο της αθωότητας του κατηγορουμέου, δηλαδή, εατίο της μηδεικής υπόθεης Α δε προκύψου τέτοια τοιχεία η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται και ο κατηγορούμεος απαλλάεται τω κατηγοριώ Αυτό δε ημαίει ότι, κατ αάγκη, αποδείχθηκε η αθωότητά του Σημαίει ότι δε βρέθηκα ηματικά τοιχεία εατίο της αθωότητάς του Παράδειγμα 3: Από έα πληθυμό με άγωτη διακύμαη, πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 36 Από παλαιότερες έρευες είαι γωτό ότι η μέη τιμή του πληθυμού είαι μ 83, όμως υπάρχου υπόοιες ότι έχει αλλάξει Το δείγμα που πήραμε έδωε x 86 και α) Να γίει ε επίπεδο ηματικότητας α 5 κατάλληλος τατιτικός έλεγχος για τη μέη τιμή του πληθυμού β) Α αλλαγή της μέης τιμής ημαίει μόο αύξηη, αλλάζει κάτι το έλεγχο που πρέπει α κάουμε; Στο υμπέραμα; Απάτηη: α) Με βάη όα έχουμε ααφέρει για το καθοριμό τω δύο υποθέεω, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της H : μ 83 έατι της H : μ 83 Παρότι δε γωρίζουμε α ο πληθυμός είαι καοικός ούτε και τη διακύμαη του, επειδή το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης του ελέγχου είαι αυτή της Παραγράφου 4, ( x μ ) z z5 δηλαδή, z 96 ή z 96 4 Έτι προβλέπεται από το δικαιακό μας ύτημα ( ακόμη): «ο κατηγορούμεος είαι αθώος μέχρι αποδείξεως του εατίου» Ας ελπίουμε ότι δε θα επιτρέψουμε ε μεθόδους ιεράς εξέταης όπου ο κατηγορούμεος έπρεπε α αποδείξει τη αθωότητά του Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 367

20 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι (86 83) 36 z 9 και επειδή προφαώς δε αήκει τη περιοχή απόρριψης, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δε δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι έχει αλλάξει η μέη τιμή β) Είαι προφαές, ότι τη περίπτωη αυτή, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της ίδιας μηδεικής υπόθεης H : μ 83 έατι όμως της εαλλακτικής H : μ > 83 Επειδή τώρα πρόκειται για μοόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο, η περιοχή απόρριψης είαι z z5 ή z 645 και επειδή για τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου έχουμε z 9 645, η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, απορρίπτεται Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη τιμή έχει αυξηθεί! Ερώτηη: Μπορείτε α εξηγήετε, με βάη τη λογική της διαδικαίας ελέγχου, γιατί τα αποτελέματα τω δύο ελέγχω που κάαμε τα (α) και (β) δε είαι ατιφατικά 5 Παράδειγμα 4: Τα βιομηχαικά απόβλητα που ρίχοται τα ποτάμια, απορροφού το διαλυμέο το ερό οξυγόο, με υέπεια αυτό α μειώεται και ότα η μέη τιμή του δε υπερβαίει τα 5ppm, α δημιουργείται οβαρό πρόβλημα επιβίωης τω υδρόβιω οργαιμώ Tο πρόβλημα αυτό είχε διαπιτωθεί, πρι από αρκετά χρόια, και το ποταμό Καλαμά Για τη ατιμετώπιή του εφαρμόθηκε ειδικό πρόγραμμα αποκατάταης και προταίας του ποταμού Έας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας που είχε κοπό α διερευήει α απέδωα τα μέτρα προταίας, έπρεπε μεταξύ άλλω δεικτώ, α μελετήει τη ποότητα διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού Για το κοπό αυτό, πήρε με βάη κατάλληλο χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, μετρήεις από ημεία της κοίτης του ποταμού Οι μετρήεις έδωα τις εξής τιμές διαλυμέου οξυγόου (ε ppm): 5, 5, 5, 5, 49, 53, 5, 5, 5, 5 Με βάη αυτά τα δεδομέα, μπορεί ο φοιτητής α υμπεράει ότι το ποταμό Καλαμά η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm; Απάτηη: Ο φοιτητής μελετάει τη ποότητα Χ διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού Καλαμά με βάη έα τυχαίο δείγμα X, X, X, μετρήεω Α μ είαι η άγωτη μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξει α οι τιμές x, x, x που έδωε το υγκεκριμέο δείγμα που πήρε, υποτηρίζου τη απόρριψη της μηδεικής υπόθεης H : μ 5ppm ή, πιο ωτά, της H : μ 5ppm, υπέρ της εαλλακτικής H : μ 5 ppm > 6 5 Σκεφθείτε ότι παρότι τόο ο αμφίπλευρος όο και ο δεξιόπλευρος έλεγχος έγια το ίδιο επίπεδο ηματικότητας, ετούτοις το δεξιόπλευρο είματε πιο αεκτικοί ε φάλμα λαθαμέης απόρριψης της μηδεικής 6 Σημειώτε ότι η περιοχή απόρριψης της μηδεικής δε αλλάζει α ατί της H : 5 ppm μ θεωρήουμε τη H : μ 5ppm Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 368

21 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η καταομή του πληθυμού 7 δε μας είαι γωτή Επίης, η διακύμαη του δε μας είαι γωτή και το μέγεθος του δείγματος είαι μικρό ( < 3 ) Αυτή η περίπτωη δε ετάεται ε καμία από τις περιπτώεις που μελετήαμε προηγουμέως Α το μέγεθος του δείγματος ήτα μεγάλο, ως περιοχή απόρριψης θα μπορούαμε α πάρουμε τη ατίτοιχη, για το έλεγχο που κάουμε, της Παραγράφου 4 Όμως δε είαι Επίης, α γωρίζαμε ότι ο πληθυμός είαι καοικός, θα εφαρμόζαμε το t-tet (Παράγραφος ) Τι κάουμε επομέως; Με βάη όα μέχρι τώρα γωρίζουμε, έα δρόμο έχουμε 8 Να αατρέξουμε τη βιβλιογραφία και α ααζητήουμε, από αάλογες έρευες, πληροφορίες για τη καταομή της ποότητας διαλυμέου οξυγόου τα ερά ποταμώ με υθήκες αάλογες του Καλαμά Τέτοιες έρευες πράγματι βρέθηκα και από αυτές προκύπτει ότι η καταομή διαλυμέου οξυγόου προομοιάζει με τη καοική και ε κάθε περίπτωη δε παρουιάζει οβαρές αυμμετρίες Με βάη αυτή τη πληροφορία και δεδομέου ότι το μέγεθος του δείγματος δε είαι πολύ μικρό, μπορούμε α εφαρμόουμε το t-tet (Παράγραφος ) αφού όπως έχουμε ααφέρει η εμπειρία έχει δείξει ότι αυτό είαι «αθεκτικό» τη υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού Η υέχεια είαι πλέο γωτή Ορίζουμε το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου, έτω α 5, και υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου ( X μ ) T αφού προηγουμέως υπολογίουμε τη τιμή x της X και τη τιμή της για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος Έτι έχουμε, x 5 ppm και 5ppm και επομέως (5 5) t 75 5 Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης Ο έλεγχος είαι δεξιόπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι t t 9; 5 ή t 833 και επειδή t , η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου το ποταμό Καλαμά είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm 9 7 Ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω τιμώ διαλυμέου οξυγόου τη κοίτη του ποταμού 8 Η Στατιτική προφέρει και άλλο δρόμο Με κατάλληλους τατιτικούς ελέγχους αλλά και με κατάλληλες γραφικές μεθόδους και εργαλεία μπορούμε α ελέγξουμε α το δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό και α αυτό δε υμβαίει μπορούμε α εφαρμόουμε μη παραμετρικούς ελέγχους 9 Το δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι δυτυχώς υποθετικό Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 369

22 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 3 Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και η ιχύς εός τατιτικού ελέγχου Στη διαδικαία τατιτικού ελέγχου υποθέεω που περιγράψαμε τα προηγούμεα, δε ααφερθήκαμε καθόλου το τι υμβαίει με τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της H, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ Η πιθαότητα αυτή υμβολίζεται με β Έτι, εώ α απορρίψουμε τη H, γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος (είαι το πολύ α ), ατίθετα, α δε απορρίψουμε τη H, με όα μέχρι τώρα ααφέραμε, δε γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος, αφού δε υπολογίαμε τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ) Φροτίαμε, δηλαδή, για τη «προταία» από φάλμα τύπου Ι και δε αχοληθήκαμε με το φάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή, με το φάλμα που κάουμε ότα, εώ είαι αληθής η H, αποτυγχάουμε α απορρίψουμε τη H Κατά υέπεια, δε γωρίζουμε και τη πιθαότητα β P(απόρριψη της H αληθής η H ) δηλαδή, τη ικαότητα του ελέγχου α «διακρίει-ααγωρίζει» υπαρκτές ηματικές διαφορές του δείγματος από τη H και έτι α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει Η πιθαότητα β οομάζεται ιχύς (power) του ελέγχου ή ακριβέτερα (θα δούμε τη υέχεια γιατί), υάρτηη ιχύος (power functon) του ελέγχου Μεγαλύτερη ιχύς ημαίει μεγαλύτερη πιθαότητα α μη αποτύχουμε α απορρίψουμε τη H ότα είαι αληθής η H (και επομέως πιο καλός έλεγχος) Σε αυτή τη εότητα θα δούμε πώς μπορούμε α υπολογίουμε τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της H, β, και κατά υέπεια τη ιχύ β, του ελέγχου Στο ειαγωγικό παράδειγμά μας (Παράδειγμα ), το έλεγχο της H : μ 5 Kg έατι της H : μ > 5 Kg, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίψαμε τη H Ας υπολογίουμε τη πιθαότητα η απόφαή μας αυτή α είαι λαθαμέη, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β Α μεταξύ τω δύο υποθέεω αληθής είαι η H : μ > 5 Kg, δηλαδή, α η πραγματική-αληθής μέη τιμή μ της ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι έας αριθμός μ μεγαλύτερος τω 5Kg, τότε ζητάμε τη πιθαότητα β, α μη απορρίψουμε τη H : μ 5 Kg (εώ θα έπρεπε, αφού αληθής είαι η H ) Έχουμε β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H : μ μ > 5 ) X μ 5577 P ( X < 5577 μ μ) ( μ < 5577 μ P ) P( Z < ) μ Φ( ) 475 Δηλαδή, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

23 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 5577 μ β Φ( ), μ > Παρατηρούμε ότι η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, εξαρτάται από τη πραγματική τιμή μ της άγωτης παραμέτρου μ Έτι, κάοτας το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, α η πραγματική τιμή είαι μ 58 η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ είαι β Φ( ) Φ( 9) Φ(9) εώ α μ 6 είαι β Φ( ) Φ( 7) Φ(7) Δηλαδή, το παράδειγμά μας, όο πιο μακριά από τη H : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ ελαττώεται Ατίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου 5577 μ β Φ( ), μ > 5, 475 εξαρτάται και αυτή από τη πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ και μάλιτα, το παράδειγμά μας είαι μια αύξουα υάρτηη γιατί η τιμή της αυξάεται ότα η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ αυξάεται Έτι, όο πιο μακριά από τη H : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές) βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο αυξάεται η ικαότητα του ελέγχου α «ααγωρίζει» ηματικές διαφορές του δείγματος από τη H και α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει ωτά Είαι λογικό; Είαι λογικό; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

24 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η γραφική παράταη της υάρτηης ιχύος οομάζεται καμπύλη ιχύος (power curve) του ελέγχου Στο χήμα που ακολουθεί φαίεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου του παραδείγματός μας για α Από τη καμπύλη ιχύος φαίεται ότι όο αυξάεται η πραγματική τιμή της μ, η ιχύς του ελέγχου τείει προς το Επίης, ότα η πραγματική τιμή της παραμέτρου μ τείει προς τη τιμή 5, η ιχύς του ελέγχου μειώεται και τείει προς το α Σχόλιο 3 (για τη χρηιμότητα της καμπύλης ιχύος): Με χρήη κατάλληλου λογιμικού είαι πολύ εύκολο α πάρουμε τη καμπύλη ιχύος εός τατιτικού ελέγχου Έτι, έχουμε τη διάθεή μας μια γραφική ααπαράταη της «αποδοτικότητας» του ελέγχου, δηλαδή, της ικαότητάς του α απορρίπτει ωτά τη μηδεική υπόθεη Α για παράδειγμα, το εργοτάιο ιχυριθεί ότι η μέη ατοχή τω καλωδίω με τα έα υλικά αυξήθηκε και μάλιτα τώρα πλέο είαι ίη με 59Kg, και πράγματι είαι έτι, τότε από τη καμπύλη ιχύος του ελέγχου και χωρίς άλλους υπολογιμούς εύκολα διαπιτώουμε ότι η πιθαότητα α διακρίει ωτά ο έλεγχος τις δύο υποθέεις και α απορριφθεί ωτά η H : μ 5 Kg υπέρ της H : μ μ 59 Kg είαι περίπου 9% Επίης, από τη καμπύλη ιχύος, μπορούμε α δούμε πόο γρήγορα αυξάει η ιχύς του ελέγχου και α υγκρίουμε γραφικά τη ιχύ του με τη ιχύ κάποιου άλλου ελέγχου για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H Ααφέρουμε, τέλος, χωρίς απόδειξη, ότι ο έλεγχος που εφαρμόαμε το παράδειγμά μας, είαι ο πλέο ιχυρός από οποιοδήποτε άλλο, δηλαδή, οδηγεί τη μικρότερη δυατή πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H Από το οριμό της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ, β, είαι προφαές ότι αυτή επηρεάζεται από το επίπεδο ηματικότητας α, του ελέγχου (αφού η κρίιμη τιμή του ελέγχου προκύπτει από το α ) Όμως, πώς επηρεάζεται; Ας κάουμε το έλεγχο του παραδείγματός μας ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, α Στη περίπτωη αυτή η H : μ 5Kg αφαλώς δε απορρίπτεται Η κρίιμη τιμή τώρα είαι 75 c 5 + z 5765 ή ιοδύαμα, c z και επομέως Αφού, όπως είδαμε, δε απορρίπτεται ε α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

25 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 5765 μ β Φ( ), μ > Έτι, α για παράδειγμα, μ 58 τότε β Φ( ) Φ( 4) Συγκρίοτας αυτή τη τιμή του β με τη ατίτοιχη που υπολογίαμε ότα κάαμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, παρατηρούμε ότι, ελαττώοτας τη πιθαότητα α, δηλαδή, κάοτας πιο αυτηρό το καόα απόρριψης της μηδεικής υπόθεης, η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, αυξάεται, δηλαδή, αυξάεται η πιθαότητα α αποτύχουμε α τη απορρίψουμε εώ έπρεπε Από τη τελευταία παρατήρηη, είαι φαερό ότι δε μπορούμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας υγχρόως και τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι και τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, γι αυτό και τη διαδικαία ελέγχου που εφαρμόαμε αποφαίαμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας τη μία από τις δύο πιθαότητες φάλματος (τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι) Τι κάουμε όμως με τη πιθαότητα β ; Τη αφήουμε «αεξέλεγκτη»; Δηλαδή, πώς μπορούμε για δεδομέη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, α, α μειώουμε τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β ; Στο πλαίιο του μαθήματος, δε μπορούμε α απατήουμε με πληρότητα ε αυτό το ερώτημα Ας δούμε, το παράδειγμά μας, πώς μπορούμε για δεδομέο α, α ελαττώουμε το β και κατά υέπεια α αυξήουμε τη ιχύ, β, του ελέγχου Έας τρόπος, πρακτικά εφικτός 3, είαι η αύξηη του μεγέθους του δείγματος Με αυτό το τρόπο, επιτυγχάουμε α μειώουμε τη διακύμαη της X τατιτικής υάρτηης ελέγχου X Αυτό, θεωρητικά επιτυγχάεται και με μείωη 3 Όμως όχι πάτα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 373

26 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω της διακύμαης,, της Χ, διατηρώτας το μέγεθος του δείγματος ταθερό Όμως, είαι φαερό, ότι αυτός ο τρόπος έχει μικρή πρακτική αξία Ας υποθέουμε, το παράδειγμά μας, ότι παίρουμε δείγμα μεγέθους με x 55 Kg Σε επίπεδο ηματικότητας α η κρίιμη τιμή είαι 75 c 5 + z 554 και επειδή η τιμή x 55 της X δε είαι μεγαλύτερη της κρίιμης τιμής, η H : μ 5 Kg δε απορρίπτεται ε επίπεδο ηματικότητας α Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, είαι 554 μ β Φ( ), μ > 5 75 και η τιμή της για μ 58, είαι β Φ( ) Φ( 48) Στο ατίτοιχο έλεγχο με δείγμα μεγέθους 5, και για μ 58, βρήκαμε μέγεθος φάλματος τύπου ΙΙ, β 4443 Αυξάοτας, επομέως, το μέγεθος του δείγματος, παρατηρούμε ότι η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, μειώεται Ατίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου αυξάεται Στο χήμα που ακολουθεί φαίεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου για 5, και Από τις καμπύλες ιχύος του ελέγχου, είαι φαερό, ότι για οποιοδήποτε μ > 5 η ιχύς του ελέγχου αυξάεται ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται Παρατηρείτε ότι για πραγματική μέη τιμή μ 58 Kg η ιχύς του ελέγχου για 5 είαι 5557%, για αυξάεται ε 93% και για ε % Αυτό φαίεται α είαι έα καλό χαρακτηριτικό της διαδικαίας ελέγχου που εφαρμόαμε αφού ορίζοτας το επιθυμητό α και αυξάοτας το μέγεθος του Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 374

27 Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω δείγματος αυξάουμε τη πιθαότητα α απορριφθεί ωτά μια μη αληθής μηδεική υπόθεη Όμως, δυτυχώς, υπάρχει και η «κοτειή πλευρά» Σκεφθείτε ότι με αυτό το τρόπο μπορεί α απορριφθεί με βεβαιότητα (με πιθαότητα %) οποιαδήποτε μη αληθής μηδεική υπόθεη, όο κοτά και α είαι τη πραγματική τιμή μ Και αυτό είαι «κακό» γιατί μπορεί α λειτουργήει παραπλαητικά τη ερμηεία του αποτελέματος, αφού ακόμη και μια πολύ μικρή διαφορά της πραγματικής τιμής από τη τιμή που ορίζει η μηδεική υπόθεη, με επιλογή κατάλληλου μεγέθους δείγματος, μπορεί α ααδειχθεί ως τατιτικά ηματική εώ πρακτικά η διαφορά αυτή μπορεί α μη έχει καέα ηματικό ατίκρυμα Δηλαδή, κάτι πρακτικά αήματο α ααδειχθεί ηματικό τατιτικά! Δείτε, για παράδειγμα, το χήμα, τη ιχύ του ελέγχου για πραγματική τιμή μ 5 Kg, δηλαδή, για πραγματική τιμή πιο κοτά τη H : μ 5 Kg Για μέγεθος δείγματος 5 η ιχύς του ελέγχου είαι πολύ κοτά το μηδέ Για μέγεθος δείγματος, είαι κοτά το μηδέ επίης Όμως, για μέγεθος δείγματος αυξάει το 9% περίπου και για ακόμη μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος θα φθάει το % Αάλογα, μπορούμε α επιτύχουμε απόρριψη της H : μ 5 Kg όο κοτά και α αυτή βρίκεται τη πραγματική τιμή (πχ α μ 5 Kg) Απαιτείται επομέως προοχή τη ερμηεία τατιτικά ηματικώ ευρημάτω ιδιαίτερα ότα χρηιμοποιούται πολύ μεγάλα δείγματα Στατιτική υμπεραματολογία δε ημαίει απλή εφαρμογή αλγοριθμικώ διαδικαιώ Για τη ωτή αξιοποίηη τω μεθόδω που προφέρει η τατιτική υμπεραματολογία, απαιτείται καταόηη του οήματος, της λογικής και κυρίως τω ορίω τους Με τη παρουίαη της έοιας της ιχύος εός ελέγχου, ολοκληρώαμε τη παρουίαη τω βαικώ εοιώ τω τατιτικώ ελέγχω υποθέεω Στη υέχεια, παρουιάζουμε το έλεγχο της μέης τιμής, p, της καταομής ernoull, που είαι γωτός ως έλεγχος διωυμικού ποοτού 4 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για το διωυμικό ποοτό Α X, X, K, X τυχαίο δείγμα από μια καταομή ernoull με παράμετρο p, ο έλεγχος της μηδεικής υπόθεης, H : p p είαι μια ειδική περίπτωη ελέγχου της μέης τιμής μ εός πληθυμού αφού όπως γωρίζουμε, α μια τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη καταομή ernoull με παράμετρο p, η μέη τιμή της είαι ίη με p O έλεγχος αυτός είαι επίης γωτός ως έλεγχος για τη διωμυμική παράμετρο p ή για το διωυμικό ποοτό p (nomal parameter ή nomal proporton) Ας θυμηθούμε το πρόβλημα που χρηιμοποιήαμε ως ειαγωγικό παράδειγμα, ότα μιλήαμε για τη διωυμική καταομή Παράδειγμα 6 (υέχεια): Ο γεωπόος εός φυτώριου ιχυρίζεται ότι ποοτό 9% εός είδους φυτώ που παράγει δίει περιότερους από 5 καρπούς/φυτό Έας αγρότης που είχε προμηθευθεί από το υγκεκριμέο φυτώριο μεγάλο αριθμό φυτώ αυτού του είδους, θέληε α ελέγξει το ιχυριμό του γεωπόου Για το κοπό αυτό, κατά τη υγκομιδή επέλεξε τυχαία 5 φυτά και μέτρηε τους καρπούς κάθε φυτού Από τα 5 φυτά που εξέταε, περιότερους από 5 καρπούς είχα μόο τα 38, γεγοός που δημιούργηε αμφιβολίες το αγρότη για το ιχυριμό του γεωπόου Είαι, άραγε δικαιολογημέες οι αμφιβολίες του αγρότη; Η απάτηη που είχαμε δώει το πρόβλημα ήτα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 375

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιητική Στατιτική Συπεραατολογία εκτιήεις τω αγώτω παραέτρω ιας γωτής από άποψη είδους καταοής έλεγχο τω υποθέεω που γίοται ε χέη ε τις παραέτρους ιας καταοής και ε χέη ε το είδος της καταοή. ΒΙΟ309-Εκτιητική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 05-06 ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Δρ Χαράλαμπος Π Στρουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές συεχείς καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Καοική καταομή 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής καταομής 7.. Καοική προσέγγιση της καταομής Posson 7..3 Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών Μ4 Εύεη της πυκότητας τεεώ και υγώ 1. Σκοπός Στη άκηη αυτή θα ποδιοίουµε πειαµατικά τη πυκότητα τεεού ώµατος τις πειπτώεις που είαι βυθιµέο το εό και ότα επιπλέει και τη υέχεια θα ποδιοίουµε τη πυκότητα

Διαβάστε περισσότερα