ΓραφήµατακαιΠίνακες. Μεταπτυχιακό Μάθηµα «ιακριτά Μαθηµατικά» ιδάσκων Χ. Ζαγούρας. Ροδοσθένους Χρίστος A.M 257 Ζορµπά Αλεξάνδρα A.

Transcript

1 ΓραφήµατακαιΠίνακες Μεταπτυχιακό Μάθηµα «ιακριτά Μαθηµατικά» ιδάσκων Χ. Ζαγούρας Ροδοσθένους Χρίστος A.M 257 Ζορµπά Αλεξάνδρα A.M 216

2 Περιεχόµενα Πίνακες γειτνίασης Τάξη πίνακα και Περίπατοι Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Boolean Αριθµητική σε πίνακες Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενα γραφήµατα

3 ΠίνακαςΓειτνίασηςΓραφήµατος Τοστοιχείοτηςγραµµής i καιστήλης j του πίνακαείναι 1 ανοικορυφές u i και u j συνδέονταιµεακµή, ενώθαείναιµηδέναν δεν συνδέονται U U3 A( G) = U U4

4 ΠίνακαςΓειτνίασηςΓραφήµατος Με παρόµοιο τρόπο ορίζουµε και τον πίνακα γειτνίασης για ένα οποιοδήποτε γράφηµα: θεωρούµε το (i,j) στοιχείοτουπίνακαναείναι 1 αν υπάρχει η ακµή {u i, u j } και 0 στην αντίθετη περίπτωση. Αφού η {u i, u j } είναι ακµή τότε και η {u j, u i } είναι ακµή, άρα ο πίνακας Α(G) είναι συµµετρικός

5 ΠίνακαςΓειτνίασηςΓραφήµατος A( G) =

6 ΠίνακαςΓειτνίασηςΓραφήµατος Για πολυγραφήµατα, θεωρούµε το (i,j) στοιχείο του πίνακα να είναι η πολλαπλότητα της ακµής {i,j}.

7 Πίνακας Γειτνίασης Γραφήµατος -Παράδειγµα Πολυγραφήµατος A( G) =

8 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι-Εισαγωγή Ονοµάζουµε περίπατο (walk) σε ένα γράφηµα G µια διαδοχή κορυφών και ακµών µε την ιδιότητα ότι κάθε κορυφής έπεται ακµή, εκτός της τελευταίας κορυφής Μονοπάτι ονοµάζεται ο περίπατος στον οποίο δεν επαναλαµβάνεται καµία ακµή και κορυφή.

9 ΤάξηΠίνακακαιΠερίπατοι Θεώρηµα 7.1(α) Αν D είναι ένα πολυγράφηµα µε n κορυφές και Α ο πίνακας γειτνίασης, τότε το στοιχείο {i,j} του πίνακα Α K είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους kαπότηνκορυφή i, στηνκορυφή jστο D. Θεώρηµα 7.1(β) Αν D είναι ένα κατευθυνόµενο πολυγράφηµαµε nκορυφέςκαιαοπίνακαςγειτνίασης, τότετοστοιχείο {i,j} τουπίνακαα K είναιοαριθµόςτων κατευθυνόµενων περιπάτων µήκους k από την κορυφή i, στηνκορυφή jστο D.

10 ΤάξηΠίνακακαιΠερίπατοι Απόδειξη: A i,j είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους 1 απότο u i στο u j. Θεωρούµεότιτο Sείναιτοσύνολοόλων τωνακεραίων m, καιισχύειότια m i,j είναιοαριθµόςτων (κατευθυνόµενων)περιπάτωνµήκους mαπότο u i, στο u j. Γνωρίζουµε ότι το 1 ανήκει στο S.Υποθέτουµε ότι όλοι οι θετικοί ακέραιοι που είναι µικρότεροι από το k ανήκουνστο S. ΤότεΑ k = Α k-1 A n (Α k ) ij = (Α k-1 ) ih A hj h= 1

11 ΤάξηΠίνακακαιΠερίπατοι Μπορούµε να χωρίσουµε το σύνολο των (κατευθυνόµενων) περιπάτων µήκους k από την κορυφή u i στην κορυφή u j το πολύ σε n υποσύνολα, το υποσύνολο h περιλαµβάνει όλους τους περιπάτους των οποίωνηεπόµενηπριντηντελευταίακορυφήείναιηu h. Σύµφωνα µε την αρχή του πολλαπλασιασµού, ο αριθµός των περιπάτων στο υποσύνολο h, είναι ο αριθµός των περιπάτων µήκους κ-1 από την κορυφή u i στην κορυφή u j.τογινόµενοαυτό, υποθέτουµεότιείναι (Α k-1 ) ih A hj

12 ΤάξηΠίνακακαιΠερίπατοι Σύµφωνα µε την αρχή του αθροίσµατος, ο αριθµόςτωνπεριπάτωνµήκους k από u i, στο u j είναι n (Α k-1 ) ih A hj = (Α k ) h= 1 ij και έτσι το k ανήκει στο S. Όµως από την 1 η υπόθεση της µαθηµατικής επαγωγής, το S περιλαµβάνει όλους τους θετικούς ακέραιους και τοθεώρηµαέχειαποδειχτεί.

13 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι-Εφαρµογή Θεωρήµατος Να βρεθεί ο αριθµός των περιπάτων µήκους 2 και µήκους 3 µεταξύ των κορυφών 1 και 5 του παρακάτωγραφήµατος

14 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι-Εφαρµογή Θεωρήµατος Για περίπατους µήκους 2 και 3 θα υπολογίσουµε τουςπίνακεςα 2 καια 3 αντίστοιχα A= A = A =

15 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι-Εφαρµογή Θεωρήµατος Άρα, ελέγχοντας το στοιχείο (1,5) του πίνακα Α 2,υπάρχει 1 περίπατος µήκους 2 από την κορυφή 1 στηνκορυφή 5. Κάνουµε το ίδιο και στον πίνακα Α 3,το στοιχείο (1,5) του πίνακα είναι 2 άρα υπάρχουν 2 περίπατοι από την κορυφή 1 στην κορυφή 5.

16 ΤάξηΠίνακακαιΠερίπατοι Θεώρηµα 7.2 ΑνοΑείναιοπίνακαςγειτνίασηςτου γραφήµατος, τότεοβαθµόςτηςκορυφής iείναι (Α 2 ) ii Απόδειξη: (Α 2 n ) ii = A ij A ji j= 1 Αφού A ij Α ji είναι 0 εκτός αν {u i, u j } είναι ακµή, και θα είναι 1 αν {u i, u j } είναιακµή, ο (Α 2 ) ii είναιοαριθµόςτων ακµών που περιέχουν την κορυφή i.

17 Τάξη Πίνακα και Περίπατοι Εφαρµογή Θεωρήµατος V 1 V 2 V 6 V 3 V 4 V 5 A( G) =

18 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός-εισαγωγή Ένα γράφηµα λέγεται συνδετικό αν ζεύγος κορυφών του υπάρχει ένας τουλάχιστον περίπατος µεταξύ τους. Ένας κατευθυνόµενος γράφος λέγεται ισχυρά συνδετικός αν γιακάθεζεύγοςκορυφών u και v υπάρχειµονοπάτικαιαπό την u προςτην v καιαπότην v προςτην u. Ο µεταβατικός εγκλεισµός ενός κατευθυνόµενου ή µη γραφήµατος G=(V,E) ορίζεται ως ένα γράφηµα G*=(V,E*) µε Ε Ε*, στο οποίο 2 κορυφές u, w V διασυνδέονται µε µιακατευθυνόµενηήµηακµή eανκαιµόνοανυπάρχειστο G κατευθυνόµενο ή µη µονοπάτι που τις συνδέει.

19 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Θεώρηµα 7.3(α) Ένα πολυγράφηµα n κορυφών n είναι συνδετικόανκαιµόνοανκάθεστοιχείοτου (Α i ) δεν i= 1 είναι µηδενικό. Θεώρηµα 7.3(β) Ένα κατευθυνόµενο πολυγράφηµα nκορυφώνείναιισχυράσυνδετικόανκαιµόνοανκάθε n στοιχείοτου (Α i ) δενείναιµηδενικό. i= 1 Απόδειξη: Αφού κάθε ζευγάρι από συνδεδεµένες κορυφές µπορεί να συνδεθεί µε ένα περίπατο µήκους n ή λιγότερου, το θεώρηµα προκύπτει από το θεώρηµα 7.1

20 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Θεώρηµα 7.4(α) Ένα πολυγράφηµα n κορυφών είναι συνδετικό αν και µόνο αν κάθε στοιχείοτουπίνακα (I + A) n δενείναιµηδενικό. Θεώρηµα 7.4(β) Ένα κατευθυνόµενο πολυγράφηµα n κορυφών είναι ισχυρά συνδετικόανκαιµόνοανκάθεστοιχείοτου πίνακα (I + A) n δενείναιµηδενικό.

21 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Απόδειξη: Αφού (I + A) n = n n I A j = j n j k j= 0 k= 0 n A k και αφού τα στοιχεία του Α κ είναι όλα µη αρνητικοίαριθµοί, το (i,j) στοιχείοτου (Ι+Α) n θα είναι µη µηδενικό αν και µόνο αν το (i,j) στοιχείο οποιουδήποτε Α k δεν είναι µηδενικό. Το θεώρηµα 7.4 προκύπτει από το θεώρηµα 7.3.

22 Συνδεσιµότητα και µεταβατικός εγκλεισµός Θεώρηµα 7.5 Ο πίνακας γειτνίασης του µεταβατικού εγκλεισµού ενός πολυγραφήµατος n κορυφών έχει 1 στην θέση i,j, αν και µόνο αν το στοιχείο i,jτουπίνακα (Α+Ι) n -Iείναιµηµηδενικό. Απόδειξη: Υπάρχει ένας περίπατος από την κορυφή i στηνκορυφή j µήκους k ανκαιµόνοανηθέση (i,j) τουα k n είναιµηµηδενικήκαι ( )Α k είναιοπροσθετέος του (Α+Ι) n k n. Όµως η έκφραση ( ) Α 0 0 =I εκφράζει τους περιπάτους µήκους 0 που δεν χρησιµοποιούνται στον µεταβατικό εγκλεισµό.

23 Boolean Πράξεις Ηπρόσθεσηορίζεταιµετολογικόή Ο πολλαπλασιασµός ορίζεται µε το λογικό και 1 1 = = 0 1 = = = = = 0

24 Boolean Πράξεις Όλοι οι συνηθισµένοι κανόνες σαν a(b + c) = ab + ac µεταφράζονται σε κανόνες a(b c) = ab ac για πολλαπλασιασµό και πρόσθεση Boolean. Στην Boolean αριθµητική, όµως, δεν υπάρχει η έννοια της αφαίρεσης, έτσι έστω καιανισχύειότι a + b = a + c συνεπάγεται b = c, στην περίπτωση a b = a c δενσυνεπάγεται b = c

25 Boolean Πράξεις Επειδή µόνο ο πολλαπλασιασµός και η πρόσθεση χρησιµοποιούνται για να ερµηνεύσουν τον πολλαπλασιασµό πινάκων, µπορούµε να ερµηνεύσουµετον Booleanπολλαπλασιασµόπινάκων. Χρησιµοποιούµε Α n να δηλώσουµε την n-τάξη ενός πίνακα µε µηδενικά και άσσους στην Boolean αριθµητική.

26 Boolean Πράξεις Εφαρµογή Να βρεθεί µε χρήση Boolean αριθµητικής το τετράγωνο του παρακάτω πίνακα

27 Boolean Πράξεις Εφαρµογή = a 11= = 1 a 21 = = 0... a 55 = = 1

28 Boolean Πράξεις Εφαρµογή =

29 ΠίνακαςΣυνδεσιµότητας Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου ή µη γραφήµατος έχει 1 στην θέση (i,j) ανηκορυφή i και η κορυφή jείναισυνδεδεµένες.

30 ΠίνακαςΣυνδεσιµότητας Θεώρηµα 7.6 Ο πίνακας συνδεσιµότητας ενός κατευθυνόµενου πολυγραφήµατος είναι ο (Ι+Α) n και ο µεταβατικός εγκλεισµός έχει πίνακα πρόσπτωσης τον Α(Ι+Α) n-1. Απόδειξη: Κάθε Boolean δύναµη πίνακα έχει 1 σε κάθε θέση που οι συνηθισµένες δυνάµεις είναι µη µηδενικές.

31 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου Εισαγωγή έντρο ονοµάζεται το γράφηµα που είναι ακυκλικό και συνδετικό Επικαλύπτον δέντρο (spanning tree) ονοµάζεται η αναπαράσταση ενός γραφήµατος σε δέντρο έτσι ώστε να περιέχονται όλες οι κορυφές

32 ΤοΘεώρηµαπίνακα-δέντρου Το θεώρηµα πίνακα-δέντρου µας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουµε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων ενός γραφήµατος G από τον πίνακα γειτνίασης. Θεωρούµε ότι ο Β(G) είναι ο πίνακας του οποίου το (i, j) στοιχείο είναι 0 αν i j και το (i,i) στοιχείο του είναι ο βαθµός της κορυφής u i στο G. Θεωρούµε τον πίνακα Μ=Β(G)-A(G). Ο συντελεστής του (i, j) στοιχείου του τετραγωνικού πίνακα M είναι (-1) i+j φορέςτηνορίζουσατουπίνακαπουπροκύπτει απότηνδιαγραφήτηςγραµµής iκαιτηςστήλης jτου Μ.

33 ΤοΘεώρηµαπίνακα-δέντρου Θεώρηµα 7.7 Αν το G είναι ένα συνδετικό γράφηµα, τότε όλοι οι συντελεστές του M=B(G) A(G) ισούνται µε τον αριθµό των επικαλυπτόντων δέντρων του G.

34 ΤοΘεώρηµαπίνακα-δέντρου Θεώρηµα 7.8 Οσυντελεστής (i,i) τουπίνακαμ= B(D) A(D) είναι ο αριθµός των επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή i στο συνδετικό κατευθυνόµενο γράφηµα D.

35 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου- Eφαρµογή Να υπολογιστεί ο αριθµός τον επικαλυπτόντων δέντρων που κατευθύνονται στην κορυφή 3 στο πιο κάτω κατευθυνόµενο γράφηµα

36 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρουεφαρµογή Ο πίνακας γειτνίασης του κατευθυνόµενου γραφήµατος είναι ο A=

37 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρουεφαρµογή Εν συνεχεία εφαρµόζουµε το θεώρηµα 7.8 Πρέπειναυπολογίσουµεπρώτατονπίνακα B, όπουοb είναι ο πίνακας του οποίου το (i, i) στοιχείο είναι ο εξωτερικός βαθµός της κορυφής i και το (i,j) στοιχείο είναι 0 αν i j. B =

38 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρουεφαρµογή Υπολογίζουµε τον πίνακα Μ=B-A M = =

39 Το Θεώρηµα πίνακα-δέντρου- Eφαρµογή Υπολογίζουµε τον συντελεστή (3,3) του πίνακα Μ που είναι ( ) = Άρα υπάρχουν 3 επικαλύπτοντα δέντρα που κατευθύνονται στην κορυφή 3.

40 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εισαγωγή Ένα κατευθυνόµενο γράφηµα ονοµάζεται γράφηµα Euler αν υπάρχει κλειστό κατευθυνόµενο µονοπάτι που περιλαµβάνει κάθε τόξο του γραφήµατος

41 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα Με το να γνωρίζουµε το πόσα επικαλύπτοντα δέντρα έχει ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µπορούµε να βρούµε τον αριθµό των περιπάτων Euler που έχει. Αν µας δίδεται ένα επικαλύπτον δέντρο κατευθυνόµενο στην κορυφή i σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα Euler που δεν έχει κορυφές περιττού βαθµού, µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα κατευθυνόµενο περίπατο Euler ως εξής

42 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα Ξεκινώντας από την κορυφή i, ακολουθούµε οποιαδήποτε ακµή (i,j 1 ) προςταέξω. Απότηνκορυφή j 1 διαλέγουµεοποιαδήποτε ακµή, έστω την (j 1, j 2 ) που να µην ανήκει στο επικαλύπτον δέντρο. Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία αυτή κάθε φορά που καταλήγουµε σε κορυφή j κ. Ακολουθούµε την ακµή (j κ, j κ+1 ) που οδηγεί προς τα έξω της κορυφής j κ+1, αλλά όχι προς το επικαλύπτον δέντρο αν υπάρχει τέτοια ακµή. Αλλιώς ακολουθούµε την µοναδική ακµή του επικαλύπτοντος δέντρου που φεύγει από την κορυφή κ. Με αυτό τον τρόπο κάθε ακµή µε κατεύθυνση προς τα έξω από κάθε κορυφή θα χρησιµοποιηθεί, και αφού κάθε κορυφή (εκτός ίσως από την κορυφή i και την τελική κορυφή) θα βρίσκεται σε ζυγό αριθµό ακµώνστονπερίπατο, ηκορυφή iθαείναιητελευταίακορυφή πουθαεπιλεχθεί.

43 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα Θεώρηµα 7.9 Ο αριθµός κατευθυνόµενων περιπάτων Euler από µια κορυφή i στην κορυφή i σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα n κορυφών D, του οποίου κάθε κορυφή έχει τον ίδιο εσωτερικό και εξωτερικό βαθµό που είναι ίσος µε το γινόµενο του συντελεστή του στοιχείου (i,i) του Μ=B(D) A(D) µε το n ( od u j ) od( u ) ( ) 1! i j= 1

44 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα Απόδειξη: Κάθε περίπατος Euler από την κορυφή u i στην κορυφή u i παράγει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i ως ακολούθως : Για κάθε κορυφή u j που δεν είναι ίσηµετην u i,υπάρχειµιατελευταίαακµή (u j, u κ ) στον περίπατο που εµφανίζεται η j. Το σύνολο των κορυφών V µε αυτές τις τελευταίες ακµές, σχηµατίζει ένα δέντρο που κατευθύνεται στην κορυφή u i. Ονοµάζουµε το δέντρο αυτό, το δέντρο της τελευταίας διέλευσης του περιπάτου(tree of last passage of the walk).

45 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα Ο αριθµός των περιπάτων που έχουν ένα δεδοµένο δέντρο τελευταίας διέλευσης µπορεί να υπολογιστεί µε το να παρατηρήσουµε τον τρόπο που κάθε τέτοιος περίπατος µπορεί να κατασκευαστεί µε την µέθοδο που περιγράψαµε πριν την διατύπωση του θεωρήµατος. Ξεκινάµε διαλέγοντας την κορυφή u i. Υπάρχουν od(u i ) τρόποι γιανα επιλέξουµε µια ακµή που να φεύγει από την u i. Την πρώτη φορά που οποιαδήποτε κορυφή u j για j i χρησιµοποιείται, θαυπάρχουν od(u j ) ακµέςπουνα φεύγουναπότηνκορυφή u j γιαναεπιλέξουµε.

46 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εφαρµογή Να υπολογιστεί ο αριθµός των περιπάτων Euler που ξεκινούν και τελειώνουν στην κορυφή 1 στο παρακάτω γράφηµα

47 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εφαρµογή Ελέγχουµε τον εσωτερικό και εξωτερικό βαθµό των κορυφών. Κάθε κορυφή του γραφήµατος έχει τον ίδιο εσωτερικό και εξωτερικό βαθµό, άρα µπορεί να εφαρµοστεί το θεώρηµα.

48 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εφαρµογή Βρίσκουµε τον πίνακα γειτνίασης και τον πίνακα B A= B =

49 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εφαρµογή Υπολογίζουµε τον πίνακα Μ=B-A B A= Υπολογίζουµετονσυντελεστή (1,1) ( ) =

50 Περίπατοι Euler σε κατευθυνόµενο γράφηµα-εφαρµογή Υπολογίζουµε τους εξωτερικούς βαθµούς των κορυφών Od(1)=2 Od(2)=2 Od(3)=3 Od(4)=2 Od(5)=2 Od(6)=1 ( ) j Υπολογίζουµε το od( u ) od( u ) 1! 6 ( od u ) j j= 1 i n j= 1 od(1) ( ) 1!=2.(1).(1).(2).(1).(1).(1)=4 6 ( od u j ) 12. od(1) ( ) 1!=12.4=48 j= 1

51 ΤΕΛΟΣ