OSNOVNE NUMERIČKE METODE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OSNOVNE NUMERIČKE METODE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU"

Transcript

1 Prof.dr Ratomir Paunović Prof.dr Radovan Omorjan OSNOVNE NUMERIČKE METODE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU Tehnološki fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Novi Sad : Recenzenti:

2 Predgovor Kori² enje numeri kih metoda za analizu, simulaciju i projektovanje tehnolo²kih procesa i sistema je u naglom porastu, zahvaljuju i raspoloºivosti ra unarima sa velikom ra unarskom snagom. Pred inºenjerskom profesijom se postavljaju sve ve i zahtevi u tom smislu, tako da studenti pored teorijskog znanja iz numeri kih metoda moraju da ovladaju i primenom ovih znanja radi re²avanja sloºenih prakti nih problema upotrebom ra unara. Moderni visoko²kolski udºbenici, ija je tematika vezana za najrazli itije prora une oslanjaju se na kori² enje matemati ko-numeri kog softvera. Kako je takav softver pristupa an i lako dostupan, nastavnici i autori udºbenika nisu vi²e ograni eni na najjednostavnije primere i probleme ve imaju mnogo ve u slobodu, a i obavezu, da obražuju realnije i samim tim mnogo sloºenije probleme. Tako studenti treba da se upoznaju sa primenom raznovrsnog softvera koji je sve vi²e imperativ uspe²nog re²avanja inºenjerskih problema. Naravno, nemogu e je nau iti sve numeri ke metode i kori² enje svih dostupnih softverskih paketa. Cilj svakog kursa ili materijala iz numeri kih metoda, pa tako i ovog, je da razvije sposobnost studenta za ²to ekasnijim izborom numeri kih metoda i odgovaraju eg softvera u re²avanju problema u prakti nom radu. Ovaj materijal sadrºi standardne numeri ke postupke neophodne za re²avanje tipi nih ra unskih problema u hemijskom inºenjerstvu: interpolacija i aproksimacija, pribliºno diferenciranje i integracija, re²avanje algebarskih i diferencijalnih jedna ina itd. Pored izloºenih osnovnih teorijskih postavki numeri kih metoda, prikazani su i brojni primeri re²avanja osnovnih matemati kih modela procesa u hemijskom inºenjerstvu, koji uklju uju fenomene prenosa i hemijske reakcije. Izabran je Mathcad v. kao matemati ki softver pomo u kojeg su re²avani dati primeri i problemi. Pored toga je uklju ena i Mathcad elektronska knjiga sa re²enjima odabranih problemima (moºe se skinuti sa Internet strane Fakulteta ili dobiti od autora). Iako je samo Mathcad izabran kao softver, studentima je pruºena dobra osnova za re²avanje numeri kih problema u drugim softverima. Trenutno, pored Mathcad-a, najaktuelniji komercijalni softveri su Matlab, Mathematica, Maple, Polymath odnosno besplatni (slobodno dostupni) Octave, Scilab, Maxima, EuMathT, i mnogi drugi. Materijal je rezultat dugogodi²njeg angaºovanja autora na mnogim predmetima i kursevima koji su zahtevali upotrebu numeri kih metoda pri re²avanju razli itih problema. Formiran je u skladu sa aktuelnim potrebama i programima na razli itim predmetima kao ²to su: Programiranje i primena ra unara, Primena ra unara I, Primena ra unara II, Numeri ka matematika u hemijskom inºenjerstvu, Matemati ke metode u hemijskom inºenjerstvu, Hemijsko inºenjerski prora uni, Matemati ko modelovanje tehnolo²kih procesa, Modelovanje u prehrambenoj industriji itd. koje su slu²ali (nisu vi²e aktuelni) ili trenutno slu²aju studenti Tehnolo²kog fakulteta u Novom Sadu. Materijal nije ograni en na konkretne predmete i preporu uje se svima onima koji imaju potrebu za numeri kim re²avanjem problema.

3 Sadržaj Računanje sa približnim brojevima 7. IZVORI GREŠAKA OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Prikazivanje brojeva Značajne cifre broja Sigurne cifre broja Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 4.3. Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE Specijalni slučajevi funkcija Pravila za računanje i procenjivanje tačnosti rezultata OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA Memorisanje brojeva u računaru-mašinski brojevi Greška redukovanog preslikavanja Greške računskih operacija Prostiranje grešaka u računskom procesu ODUZIMANJE BLISKIH BROJEVA STABILNOST RAČUNSKOG PROCESA ZADACI Interpolacija 49. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM PROCENA GREŠKE INTERPOLACIJE KONAČNE RAZLIKE PRVI I DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM... 58

4 SADRŽAJ.4. Prvi Njutnov interpolacioni polinom Drugi Njutnov interpolacioni polinom PRAKTIČNI ASPEKTI INTERPOLACIJE Izbor stepena polinoma Izbor čvorova interpolacije Uticaj povećanja stepena IP na grešku interpolacije PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA Kubni splajn INVERZNA INTERPOLACIJA ZADACI Numeričko diferenciranje GREŠKA NUMERIČKE PROCENE PRVOG IZVODA PRVI IZVOD U EKVIDISTANTNIM ČVOROVIMA NUMERIČKO DIFERENCIRANJE U MATHCAD-u ZADACI Numerička integracija OSNOVNE INTEGRACIONE FORMULE TRAPEZNO PRAVILO SIMPSONOVO PRVO I DRUGO PRAVILO Greške Simpsonovih pravila TRAPEZNA I SIMPSONOVA INTEGRACIONA FORMULA Trapezna formula Simpsonova formula GREŠKA I RED INTEGRACIONE FORMULE PROCENA GREŠKE METODE ZADACI Sistemi linearnih jednačina 9 5. NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE Elementarne transformacije matrice. Ekvivalentne matrice 5. GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE Vektori Linearna zavisnost vektora Vektorski prostori i potprostori Broj nezavisnih vrsta (kolona) matrice NEZAVISNE HEM. REAKCIJE EGZISTENCIJA REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Kroneker-Kapelijeva teorema

5 SADRŽAJ Broj stepeni slobode i rešavanje saglasnog neodre denog SLJ Homogen SLJ GAUSOV ELIMINACIONI METOD REŠAVANJA SLJ GAUS - ŽORDANOV ELIMINACIONI METOD REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-U Rešavanje SLJ pomoću Solve Block-a ZADACI Svojstvene vrednosti matrice LINEARNA TRANSFORMACIJA VEKTORA SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTI Karakteristična jednačina i karakteristični polinom matrice IZRAČUNAVANJE SVOJSTVENIH VREDNOSTI ODREDJIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORA NEKE TEOREME MATHCAD FUNKCIJE ZADACI Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina 7 7. Zadatak numeričkog rešavanja nelinearnih jednačina Egzistencija realnog rešenja ITERACIONI PROCES Kriterijumi za završetak iteracionog procesa RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOG PROCESA METOD PROSTIH ITERACIJA Uslov konvergencije METODA TANGENTE Dovoljan uslov konvergencije METODA SEKANTE VEGŠTAJNOV METOD ODREDJIVANJE NULA POLINOMA KORENI JEDNAČINA I POLINOMA U MATHCAD-u ZADACI Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 9 8. METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODA.. 8. GAUSS - ZEIDELOVA MODIFIKACIJA VEGŠTAJNOVA METODA NJUTN - RAFSONOVA METODA REŠAVANJE NELINEARNIH SISTEMA U MATHCAD-u... 8

6 4 SADRŽAJ ZADACI Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina 5 9. UVOD Numeričko rešenje ODJ Sistem običnih diferencijalnih jednačina PREVOÐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ. REDA NUMERIČKO REŠAVANJE ODJ. REDA Lokalna greška i red numeričke metode Globalna greška i stabilnost numeričke metode TAČNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE Propagacija greške u računskom procesu Stabilnost računskog procesa MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE Metoda srednje tačke Metoda srednjeg nagiba RUNGE KUTA METODA 4. REDA KLASIFIKACIJA NUMERIČKIH METODA IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA VIŠEKORAČNE EKSPLICITNE METODE VIŠEKORAČNE IMPLICITNE METODE NUMERIČKA INTEGRACIJA SISTEMA NUMERIČKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Početni problem za sistem ODJ. reda Granični problem za ODJ. reda Metod probe i greške LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE LINEARNA ODJ METODA KONAČNIH RAZLIKA Numeričko rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina 67. UVOD NUMERIČKO REŠAVANJE PARABOLIČNE PDJ EKSPLICITNA METODA IMPLICITNA METODA METODA LINIJA NUMERIČKO REŠAVANJE ELIPTIČNE PDJ Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka 85. IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE LINEARIZOVANE DVOPARAM. EMPIRIJSKE FORMULE METOD NAJMANJIH KVADRATA

7 SADRŽAJ 5.4 EMPIRIJSKA FORMULA LINEARNA PO PARAMETRIMA EMPIRIJSKA FORMULA SA VIŠE NEZAVISNO PROMENLJ METOD NAJMANJIH KVADRATA U MATHCAD-u Formule sa jednom nezavisno promenljivom, linearne po parametrima Formule sa jednom nezavisno promenljivom, nelinearne po parametrima Formule sa više nezavisno promenljivih ZADACI Literatura 35 Indeks 36

8 6 SADRŽAJ

9 Glava Računanje sa približnim brojevima. IZVORI GREŠAKA Hemijsko-inženjerski proračun u opštem slučaju obuhvata dve faze: - Formulisanje neophodnih jednačina matematičkog modela - Rešavanje matematičkog modela Neka je cilj proračuna odre divanje neke veličine x, koja je funkcija niza parametara i promenljivih koje figurišu u matematičkom modelu. Izvori grešaka u procesu rešavanja problema mogu se prikazati sledećom šemom (Tabela.), u kojoj svaka zvezdica u eksponentu tražene veličine x označava prisustvo greške u njenoj vrednosti, koja potiče iz jednog od izvora: stvarni proces matematički model matematički model sa približnim parametrima numeričko rešenje matematičkog modela na idealnom računaru numeričko rešenje matematičkog modela na realnom računaru x(a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) Tabela.: Izvori grešaka Tako se mogu uočiti sledeće greške prikazane u Tabeli.:

10 8 Računanje sa približnim brojevima greška matematičkog modela, koji uvek manje ili više odstupa od tačnog opisa realnog procesa greška usled približnih vrednosti parametara, čije tačne vrednosti nisu poznate greška numeričkih metoda za približno rešavanje matematičkog modela greška računanja zbog neizbežnih zaokruživanja me durezultata E = x x E = x - x E 3 = x - x E 4 = x - x Tabela.: Vrste grešaka Za ukupnu grešku imamo: E = x x = 4 i= E i (.) Primer.. U protivstrujnom izmenjivaču toplote hladi se ekstrakciono ulje od temperature T do temperature T, hladnim uljem koje se pri tom zagreje od temperature θ do temperature θ. Potrebno je odrediti neophodnu površinu izmenjivača toplote, A(m ) za hla denje ulja protoka F(kg/h), specifične tople c p : T A = Fc p T dt K T (T )(T θ (T )) gde je temperatura rashladnog ulja, θ u podintegralnoj funkciji, na osnovu energetskog bilansa, jednaka θ = θ θ T T (T T ) + θ θ F T T θ Slika.: Slika uz primer.

11 . IZVORI GREŠAKA 9 Greška modela: postoji, jer model uključuje niz uprošćujućih pretpostavki, izme du ostalog : - nema radijalnih promena temperature - nema razmene toplote sa okolinom - specifična toplota ulja se ne menja sa temperaturom - kriterijalne jednačine za odre divanje koeficijenata prelaza toplote za radni i rashladni fluid su tačne Greška koja potiče od grešaka parametara: vrednosti fizičkih parametara koji se koriste za izračunavanje koeficijenta prolaza toplote K T : - gustina, - specifična toplota, - viskozitet ulja, - koeficijenti provodljivosti toplote za zid cevi i ulje, itd. odstupaju od tačnih (stvarnih) vrednosti. Greška numeričke metode: greška trapezne formule (Slika.) za približno (numeričko) izračunavanje vrednosti integrala : I = T T dt K T (T )(T θ (T )) = T T f (T ) dt f(t) I = I + I + I 3 + I 4 Greška trapezne formule za približno odreñivanje I I I I 3 I 4 T T T Slika.: Greška trapezne formule Greška računanja: Kao što ćemo se uveriti u poglavlju 4, ova greška, pri izvo denju proračuna na računaru je zanemarljiva u odnosu na prethodne.

12 Računanje sa približnim brojevima. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Za neki broj x kaže se da je približan ako se neznatno razlikuje od njegove tačne vrednosti, x koju najčešće ne znamo. Greška približnog broja je razlika: x = x x Granica apsolutne greške,a x je broj koji nije manji od apsolutne vrednosti njegove greške: A x x x (.) Tako je interval na brojnoj pravoj u kome leži nepoznata, tačna vrednost x: * A x A * x x * Slika.3: Interval u kome se nalazi tačna vrednost Primer.. Broj π ima beskonačno mnogo decimala: x = π = Pa se može posmatrati kao približan, recimo: x = π = 3.4 x x = <.6 <. A π =. je količnik odstupanja i približne vred- Relativna greška približnog broja nosti: Kako je δ x = x x (.3) δ x = x x A x x Kao granica relativne greške uzima se količnik :

13 . OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Primer.3. R x = A x x R π = A π π =. 3.4 = < 3 R π =.% (.4).. Prikazivanje brojeva Oblik sa fiksiranom decimalnom tačkom u brojnom sistemu sa osnovom B izgleda: x = ± α n α n...α.α α...α m, α i {,,...,B } (.5) a u razvijenom obliku predstavlja zbir: x = ±(α n B n + α n B n α B + α B + α B α m B m ) = ± n i= m Primer.4. α i B i 44.7 = ( ) Specijalni slučajevi: α = 4, α =,...,α 3 = α i = za i Ako α m α k =, za k > m > α i = za i : ceo broj sa n + cifara : decimalni broj sa m decimala : pravi razlomak U obliku sa pokretnom decimalnom tačkom (eksponencijalni oblik), broj se prikazuje kao proizvod jednog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom i odgovarajućeg celobrojnog stepena osnove sistema. Prikaz nije jednoznačan. Primer = 44.7 }{{} }{{} = predeksponenci jalni celobro jni f aktor stepen osnove

14 Računanje sa približnim brojevima = 4.47 = =... Normalizovani eksponencijalni oblik je jednoznačno definisan kao: x = ± x M x E x M mantisa, koja je pravi razlomak,. x M < x E eksponent, ceo broj (.6) Primer =.447 3, x M =.447, x E = 3.. Značajne cifre broja Značajne cifre nekog broja su sve cifre tog broja u obliku sa nepokretnom tačkom, počev od prve cifre sleva, koja je različita od nule. Primer.7. Po 5 značajnih cifara imaju brojevi: 3.84,.4876,. g mase izmeren na analitičkoj vagi sa tačnošću A x = 4 pravilno se prikazuje kao: x =. }{{} ±. g znača jne ci f re Dakle, desne nule u decimalnom delu broja se smatraju značajnim i zato se prikazuju samo ako nose značajnu informaciju (na primer, ako su rezultat merenja)! U normalizovanom eksponencijalnom obliku broja, sve cifre u decimalnom delu mantise su značajne! Primer = }{{} znača jne ci f re Pri prikazivanju celih brojeva u obliku sa fiksnom decimalnom tačkom, neophodno je zadržati desne nule iako one ne nose nikakvu informaciju nisu značajne, već služe samo za naznačavanje reda veličine broja. Da bi se prikazale samo značajne cifre, neophodno je da se takav ceo broj prikaže u normalizovanom eksponencijalnom obliku Primer.9. Ako je u broju x = 8 samo nula značajna, to se može naznačiti prikazivanjem broja u obliku: x =.8 6

15 . OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE 3..3 Sigurne cifre broja Cifra a k dekadnog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom je sigurna: u užem smislu, ako je A x.5 k u širem smislu, ako je A x k (.7a) (.7b) dakle, ako granica apsolutne greške indexgranica apsolutne greškene prevazilazi polovinu mesne vrednosti ( k ) te cifre (uži smisao) odnosno mesnu vrednost te cifre - širi smisao. Sledi, ako je a k sigurna cifra, sigurne su i sve cifre levo od nje. Zadatak.. Odrediti broj sigurnih cifara u broju x =.6943, sa granicom apsolutne greške, A x = 4. Rešenje: x =.6943, A x = 4, s =? A x = 4 4 k = 4, s = 3 u širem smislu A x = k = 3, s = u užem smislu Primer.. x A x U širem smislu U užem smislu s = s = s = s = 3.4. =.. s = 3..5 s = 3 Dekadni broj x prikazan u normalizovanom eksponencijalnom obliku ima s sigurnih cifara ako, A x ω x E s (.8) s - najveci ceo { broj za koji važi formula.5 u užem smislu i to, za ω = u širem smislu Primer.. x =.6943 =.6943 x E = A x = =.5 s - 3 = - - s s = u užem smislu A x = 4 4 = s s = 3 u širem smislu

16 4 Računanje sa približnim brojevima Zadatak.. Koliko sigurnih cifara ima vrednost pritiska p =.3bar, dobijena merenjem sa relativnom greškom R p = % =.. Rešenje: x =.3 =.3 x E = A p = R p p =..3 =.3 bar A p =.3.5 =.5 s - = - s s = u užem smislu Pravilnije prikazana vrednost pritiska, koja sadrži samo sigurne cifre: p =. bar..4 Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala Ako je poznato da neki približan broj x ima d sigurnih decimala, znači da za poslednju cifru, čija je mesna vrednost d, važi (.7) A x ω d, ω =.5, (.9) i dobili smo formulu za granicu apsolutne greške iz broja sigurnih decimala u užem (ω =.5) ili širem (ω = ) smislu. Primer.. Neka su u tabeli termodinamičkih podataka za neku supstancu, njene gustine ρ date sa decimale, koje su sigurne u širem smislu. Granica apsolutne greške datih gustina je: A ρ =.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA.3. Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara Neka broj x ima s sigurnih cifara. Kako, koristeći samo tu informaciju, a ne i vrednost broja, proceniti granicu njegove relativne greške? Ako u formulu (.4) umesto granice apsolutne greške zamenimo, u skladu sa jednačinom (.8), A x = ω x E s i broj prikažemo u normalizovanom eksponencijanom obliku, za granicu relativne greške dobijamo: R x = ω x E s x M x E Kako je najmanja moguća vrednost mantise jednaka., smenom te vrednosti umesto x M dobijamo traženu procenu relativne greške, R x = ω s (.)

17 .3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 5 gde se za ω uzima.5 ili u zavisnosti da li su cifre sigurne u užem ili širem smislu. Jasno je da će formula (.) u opštem slučaju dati veće procene relativnih grešaka od onih bi se dobile iz granice apsolutne greške i vrednosti broja (.4). Pokazali smo da je: - relativna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih cifara, dok je - apsolutna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih decimala Zadatak.3. Instrument daje vrednosti pritisaka sa tačnošću od dve sigurne cifre u užem smislu. Proceniti granicu relativne greške izmerenih pritisaka. Rešenje: R x =.5 =.5 = 5% Uporedite ovaj zadatak sa prethodnim!.3. Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške Neka je R x granica relativne greške približnog broja x i treba proceniti broj njegovih sigurnih cifara s u užem smislu.u pitanju je problem obrnut prethodnom i pokazaćemo da za njegovo rešavanje nije korektno koristiti jedn. (.). U skladu sa definicijom (.8), to je najveći ceo broj s za koga važi: odnosno, A x = x M x E R x.5 x E s R x.5 x M s Da ne bi precenili broj sigurnih cifara, neophodno je uzeti donju granicu kao vrednost nepoznatog broja.5/x M, kojim se množi stepen s : R x.5 s (.) Dakle, kao procenu broja sigurnih cifara u užem smislu uzimamo najveći ceo broj s, koji zadovoljava relaciju (.). Očigledno je da jedn. (.) može da preceni broj sigurnih cifara ( za veći od stvarnog ). Primer.3. Neka je vrednost x = 5 odre dena sa granicom apsolutne greške A x =.. Koristeći jednačinu (.7a) ili (.8), dobijamo da je s =, u užem smislu. Granica relativne greške približnog broja je : R x =. 5 = 3 < 5 3 =.5 =.5 3 i ako bi koristili jednačinu (.) za procenu broja sigurnih cifara, dobili bi nekorektnu procenu s = 3. Iz relacije (.) sledi korektna procena s =.

18 6 Računanje sa približnim brojevima U daljem tekstu će se pod sigurnim ciframa smatrati sigurne cifre u užem smislu, ako nije naglašeno da su u pitanju sigurne cifre u širem smislu. Primer.4. Ako približan broj ima granicu relativne greške.%, imamo pa procenjujemo da ima sigurne cifre. R x = 3 =..5.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE Data je funkcija n promenljivih y = y(x), gde je x = (x,x,...,x n ). Potrebno je proceniti grešku vrednosti funkcije, koja je nastala zamenom tačnih vrednosti argumenata x,x,...,x n približnim vrednostima x,x,...,x n. Ukratko, dato je A x i (i =,,...,n), traži se granica apsolutne greške funkcije A y, za koju važi: A y y(x ) = y(x) y(x ) Primer.5. Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije jedne promenljive, y(x) (n = ). y Interval u kome leži tačna vrednost funkcije y Interval u kome leži tačna vrednost nezav. promenljive: x*- A x* x x*+ A x* y * y * x * A x* x x * A x* Slika.4: Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije x Prvi izvod funkcije je, kao što znamo, mera osetljivosti vrednosti funkcije na promene vrednosti nezavisno promenljive. Zato, granica apsolutne greške

19 .4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 7 funkcije je utoliko veća ukoliko su vrednosti njenog prvog izvoda u intervalu x A x x x + A x veće po apsolutnoj vrednosti. Linearna procena greške funkcije, se bazira na zameni priraštaja funkcije y, koji potiče od malih poremećaja vrednosti argumenata, totalnim diferencijalom, dy: Pošto je: usvajamo: Primer.6. y(x ) = y(x) y(x ) dy = n i= n y (x )(x i xi ) i= x i y (x )(x i xi n ) x i y (x ) i= x i A xi A y = n i= y (x ) x i A x j U slučaju funkcije jedne promenljive, A y = dy dx (x ) A x (.) A y* * nagib: y ( x ) y * A x* x * Slika.5: Linearna procena greške Pri procenjivanju granice apsolutne greške funkcije primenom formule (.), kod usvajanja konačne procene koristi se princip majorizacije (uvećavanje)

20 8 Računanje sa približnim brojevima Pri tom, najčešće, konačna procena se usvaja sa preciznošću od jedne značajne cifre i to, u skladu sa definicijom sigurnih cifara (.7), u obliku k ili.5 k. Zadatak.4. Proceniti, za date približne vrednosti i granice apsolutnih grešaka argumenata, granicu apsolutne greške datog izraza. Rešenje: y x y x 3 x x y = x + x x 3 x = 3.5, x =.34, x 3 =. A x =.3, A x =.8, A x 3 =. =. <.474, = <.4 y x x =.34. <.8 A y = <.473 <.5 A y =.5 majorizacija!.4. Specijalni slučajevi funkcija Algebarski zbir (sabiranje i oduzimanje) ili opštije: y(x) = x ± x ± x 3 ±... ± x n y = ±; y x i x i = A y = y(x) = y x i = a i ; A y = n i= n i= n i= A x i (.3) a i x i y x i = a i a i A x i (.4)

21 .4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 9 gde su a i,(i =,...,n) tačni brojevi. Proizvod stepena y(x) = C x a x a x a x a n n, Neka su C i a i,(i =,...,n) tačni brojevi : A ai = A C = Množenje i deljenje Iz (.5): y = a i y ; x i x i A y = Stepenovanje tačnim brojem n i= R y = y (x ) = a i y x i xi a i y A x i x i n a i R x i (.5) i= y = x x (a = a = ), y = x x (a =, a = ) R y = R x + R x (.6) y = x a Iz (.5) R y = a R x (.7) { >, Ry > R Za a = x (npr. stepenovanje celim brojem) <, R y < R x (npr. korenovanje) Logaritmovanje y = log a x A y = y x A x = log a e x A x = log a e R x (.8) { e, Ay = R a = x, A y =.4343R x (.9) Zadatak.5. iz formule Sa koliko sigurnih cifara je moguće izračunati gustinu etilena ρ = p M z R T

22 Računanje sa približnim brojevima sa podacima: p = 56atm, R p =.% =. T = 95K, A T =.5K z =.735, s z = 4 M = 8.5g/mol, R =.86l atm/mol K Podatke o molarnoj masi i univerzalnoj gasnoj konstanti smatrati tačnim. Rešenje: R ρ = R p + R T + R z + R M + R R R T = A T T =.5 < R z = A z.5 4 z = < R ρ = =.77 3 < 3 3 p M ρ = z = g/l R T A ρ = =.66 <.5 g/l s = Tako, rezultat prikazujemo kao: ρ = 89 g/l ili eventualno kao ρ = 88.6 g/l (poslednja cifra nije sigurna) U narednim zadacima izostavićemo označavanje približnih vrednosti zvezdicama. Zadatak.6. Koeficijent prolaza toplote, k izme du vode koja se zagreva i zasićene pare kao grejnog fluida u cevnom izmenjivaču toplote, odre duje se iz merenja pomoću formule : k = M C p T v S T sr M protok vode koja se zagreva, kg/s C p srednja specifična toplota vode, J/kg K T v razlika izlazne i ulazne temperature vode T v = T T, C S grejna površina izmenjivača toplote, m T sr srednja pogonska sila razmene toplote u izmenjivaču, C, T sr = T p T +T = T p T s, C T p temperatura grejne pare, C T s srednja temperatura vode u izmenjivaču, T s = T +T, C

23 .4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE Izvesti sledeće formule za procenjivanje granice relativnih grešaka razlike temperatura T v i pogonske sile T sr, koje potiču od relativne greške R T instrumenta za merenje temperature vode (temperaturu pare smatrati tačnom veličinom): T s b) Za sledeće izmerene vrednosti: R Tv = R T R Tsr = T s R T T T T p T s M = kg/min, C p = 487 J/kg C, S =.6m, T p = C, T = 5. C, T = 65.5 C izračunati koeficijent prolaza toplote, a na osnovu sledećih informacija o greškama merenja: A M =. kg/min, A S =. m, R T =.% odrediti granice u kojima se očekuje njegova tačna vrednost. Pri tom vrednosti specifične toplote i temperature pare smatrati tačnim. Rešenje: a) T v = T T, A Tv = A T + A T = (T + T ) R T = T s R T b) R Tv = A T v = T s R T T v T T A Tsr = (A T + A T ) R Tsr = T s T p T s R T M = kg min =.667kg s T sr = T p T + T = 64.7 C T v = T T = 4.4 C k = MC p T v S T sr = W m K = 33 W m K Granice u kojima leži tačna vrednost k su k A k i k + A k, pa je neophodno proceniti granicu apsolutne greške izračunate, približne vrednosti k. Pogodno je

24 Računanje sa približnim brojevima traženu apsolutnu grešku, obzirom na strukturu izraza za k, izračunati iz prethodno procenjene relativne greške: R k = R M + R Tv + R S + R Tsr, R M = A M M = 3 R Tv = T s T T R T < 4.5 3, R T sr = T s T p T s R T <.4 3 R S = A S S <.3, R k =.9, A k = k R k = 6.74W / m K Da ne bismo puno precenili granicu apsolutne greške, usvojićemo ovde, suprotno principu majorizacije, nešto manju, ali blisku vrednost izračunatoj: A k = 6W / m K. Konačno traženi interval u kome leži tačna vrednost koeficijenta prolaza toplote je: [37,39] Zadatak.7. Potrebno je iz izmerenih koncentracija reaktanata, zapremine reakcione smeše u idealno mešanom protočnom reaktoru i protoka reakcione smeše odrediti konstantu brzine nepovratne reakcije : polazeći od bilansa reaktanta A: A + B produkti, kc A C B = C A C A V /F V zapremina reakcione smeše F zapreminski protok reakcione smeše Pretpostavljajući da je početna ulazna koncentracija reaktanta A, C A tačna, izvesti sledeći izraz za granicu relativne greške odre divanja konstante k, u funkciji stepena konverzije reaktanta A, x A : R k = + x A x A R C + R V + R F, x A = C A C A C A gde su R V,R F i R C granice relativnih grešaka merenja zapremine, protoka i izlaznih koncentracija reaktanata (R CA = R CB = R C ). Proceniti grešku za stepen konverzije.7, ako su granice relativnih grešaka merenja koncentracija, zapremine i protoka: R C = %, R V =.5%, R F =.5% Može li se i do koje granice smanjiti granica relativne greške konstante k, pogodnim izborom stepena konverzije, pri datim greškama merenja koncentracija, zapremine reakcione smeše i protoka?

25 .4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 3 Rešenje: Iz bilansne jednačine: gde je uvedena smena: k = C A C A F C A CB V = C A C A F C A CB V = y F CB V y = C A C A C A Za relativnu grešku, primenjujući jednačinu (.5) dobijamo: R k = R y + R C + R V + R F R y = A y y = CA A C ( A ) = C A C A C A C A CA C R CA = R C A x A R k = + x A R c + R V + R F x A Za zadate greške i stepen konverzije iz izvedene formule dobijamo: R k =.88 < 9% b) Uočavamo da je u oblasti definisanosti ( x A ), R k opadajuća funkcija stepena konverzije, pa se najmanja greška dobija ako sav reaktant A izreaguje, x A =, i pri datim greškama zapremine i protoka ona iznosi 8%..4. Pravila za računanje i procenjivanje tačnosti rezultata Mogu se formulisati sledeća iskustvena pravila za izvo denje nekog složenog proračuna uz pomoć kalkulatora:. Rezultat ima najviše onoliko sigurnih cifara koliko ima podatak sa najmanje sigurnih cifara.. Me durezultate računati sa jednom značajnom cifrom više od procenjene tačnosti rezultata. Pri tom, ako je tražena tačnost rezultata k sigurnih cifara, podatke treba uzeti sa k + sigurnom cifrom. Ako najmanje tačni podaci imaju s sigurnih cifara, ostale podatke treba uzeti sa s + (najviše s + ) sigurnih cifara i primenjivati pravila zaokruživanja. 3. Iz prethodna dva pravila sledi pravilo za približno procenjivanje broja sigurnih cifara rezultata nekog složenog proračuna: Rezultat ima onoliko sigurnih cifara koliko i najmanje tačni podaci, ili jednu sigurnu cifru manje. Treba naglasiti da navedena pravila važe samo za stabilne računske procese, koji nisu praćeni akumulacijom efekata grešaka zaokruživanja, tj. gubitkom sigurnih cifara u toku računskog procesa (.8).

26 4 Računanje sa približnim brojevima Zadatak.8. Vrednost specifične toplote pentana na t = 5 C i normalnom pritisku, u kojoj su sve date cifre sigurne, je C p =.536 kcal/kg K. Preračunati datu vrednost u SI sistem jedinica. Konverzioni faktor je f = kj/kcal. Rešenje: Broj sigurnih cifara u vrednosti C p, s = 3. Konverzioni faktor uzimamo sa jednom značajnom cifrom više: f = 4.87 C p = =.44 kj kcal Uzećemo da je broj sigurnih cifara dobijenog rezultata, u skladu sa 3. pravilom, jednak broju sigurnih sifra manje tačnog podatka: s = 3. Tako, pravilno prikazan rezultat konverzije: C p =.4 kj kgk ima isti broj značajnih cifara kao i polazna vrednost. Zadatak.9. Protok etilena, Q (kg/h) u pogonu proizvodnje polietilena se izračunava iz izmerene srednje brzine etilena, w (m/h) prigušnom pločom i njegove gustine, ρ (kg/m 3 ): Q = waρ; w = C p; A = D π 4 koja se računa iz izmerenih vrednosti pritiska i temperature i odgovarajuće tabelarne vrednosti koeficijenta stišljivosti, z (Zadatak.5). Za podatake date u Zadatku.5 i, m C = h mmv S /, D =.m ±.5mm, p = 66mmV S ±.mmv S (mm vodenog stuba) proceniti protok i broj njegovih sigurnih cifara, koristeći linearnu procenu greške funkcije. Vrednost konstante prigušne ploče, C smatrati tačnom. Uporediti procenjeni broj sigurnih cifara sa onim koji bi se dobio primenom pravila 3 za procenjivanje tačnosti nekog rezultata. U Zadatku.5 smo za date uslove i tabelarnu vrednost z odredili gustinu i granicu njene relativnu greške: i za protok etilena računamo : ρ = 88.6 kg/m 3, R ρ = 3 3 Q = C p πd 4 ρ = kg h

27 .5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 5 R Q = R w + R A + R ρ Rw = R p =. 66 = < 8 4 R A = R D = 5 5 = 3. R Q = = < 5 3 A Q = R Q Q = 8. =.8 kg/h.8.5 =.5 4 s s = U polaznim podacima za računanje protoka, broj sigurnih cifara je: podaci s D 4 p ρ i prema empirijskom pravilu 3, za broj sigurnih cifara u izračunatom protoku bi tako de dobili..5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE Potrebno je proceniti dozvoljene granice apsolutnih grešaka argumenata x i, i =,,...,n da bi se vrednost funkcije y(x,x...x n ) dobila sa zadatom granicom greške, A y ε. Treba odrediti vrednosti A x i iz uslova: A y = n i= y (x ) x i A xi ε (.) Problem je matematički odre den (broj nepoznatih jednak broju uslova) samo za n = : A y = dy ε A x ε A x dx y (x ) x

28 6 Računanje sa približnim brojevima A y* y * A x* x * Slika.6: U slučaju n >, primenjuje se jedan od tri principa (pretpostavki): Princip jednakih uticaja Pretpostavka: y x A x = y x A x =... = y x n A xn = λ Polazeći od jednačine (.) izvodimo: A y = nλ ε λ ε n, y x i A xi ε n A x i ε n y, i =,,...,n (.) x i Princip jednakih apsolutnih grešaka Pretpostavka: A x i = A x i =,...,n Izvodimo: A y = A x A x n i= n i= y x i ε ε (.) y x i

29 .5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 7 Princip jednakih relativnih grešaka Pretpostavka: R x = R x =... = R x n = R x Izvodimo: A x i = R x xi n, A y = R x y i= x i x i ε R x A x i n i= n i= ε y, i =,,...,n (.3) x x i i ε xi y, i =,,...,n (.4) x x i i Pri procenjivanju dozvoljenih grešaka argumenata, primenom nekog od tri opisana metoda, primenjuje se princip minorizacije (umanjivanje). Zadatak.. Faktor stišljivosti etilena se iz izmerenih vrednosti pritiska, gustine i temperature, odre duje po formuli: z = Mp ρrt, M = 8.5, R = 8.35 kj kmol K Podatke M i R smatrati tačnim. Granice u kojima se kreću vrednosti pritiska, gustine, i temperatura su: p = 5-6 bar, T = 8-3 K, ρ = 8-9 kg/m 3 Uz pretpostavku da instrumenti za merenje gustine, pritiska i temperature imaju istu tačnost (jednake relativne greške), odrediti koliko je neophodno da budu tačni (R p = R T = R ρ =?), da bi se faktor stišljivosti dobio, a) sa granicom relativne greške R z = 5% b) sa granicom apsolutne greške A z =.5 kg/m 3 Rešenje: Primenićemo jednačinu (.3): jer je: R p,t,ρ z p p + z T ε T + z p p = z T T = z ρ z ρ = ε ρ 3z ρ = Mp ρrt = z

30 8 Računanje sa približnim brojevima a) R p,t,ρ ε 3z = 3 R z.67 >.5 R p,t,ρ =.5% ( minorizacija!) b) R p,t,ρ ε 3z max (minorizacija!) z max = M p max ρ min RT min =.94 R p,t,ρ = =.8 >.5 R p,t,ρ =.5% Zadatak.. Treba izračunati vrednost funkcije z(x,y) = 3x (lnx siny) za x = 4.8,y = sa 4 sigurne cifre. Odrediti potrebnu tačnost argumenata, tj. granice relativnih grešaka R x, R y i to sa preciznošću od jedne značajne cifre. Rešenje: z = [ ln4.8 sin ( 36 π)] = 53. s z = 4 A z.5, ε =.5 z x = 6x(lnx siny) + 3x x = 6x(lnx siny + ) z x = [ ln4.8 sin( ) +.5 ] =.4 z y = 3x cosy, z y = cos( ) = 4.75 a) Princip jednakih uticaja R x = A x x R y = A y y z x z y R x =.8 4, ε = x ε = y R y = = > =. 4 >. 4

31 .5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 9 b) Princip jednakih apsolutnih grešaka ε R x [ z x + x ε R y [ z y + x z y z y R x =.7 4, ] = ] =.5 4.8( ) = > ( ) = >. 4 R y = 5 c) Princip jednakih relativnih grešaka R x = R y z x ε x + z y = y = > 5 R x = R y = = Zadatak.. Iz kubne jednačine f (z,a,b) = z 3 + z (B ) + z(a 3B B) + B 3 + B AB = (*) koja sledi iz Peng - Robinson jednačine stanja, se za date vrednosti temperature i pritiska, iz kojih se po odgovarajućim formulama prethodno izračunaju vrednosti parametara A i B mogu izračunati koeficijenti stišljivosti ključale tečnosti, z L i zasićene pare, z V neke supstance kao najmanji i najveći od tri realna korena. Za amonijak, na tački ključanja: T = K i p = 63.5 bar vrednosti parametara su: A =.394, B = 4.74, a odgovarajuće vrednosti koeficijenata tečnosti (L) i pare (V ), z V =.6447 z L = 9.84 su dobijene kao najveći i najmanji od tri korena jednačine (*) - vidi skicu.

32 3 Računanje sa približnim brojevima f z L z V z Slika.7: Pod pretpostavkom da jednačina tačno opisuje promene koeficijenta stišljivosti tečnog i parnog amonijaka duž linije ključanja, treba odrediti sa kojom granicom relativne greške je neophodno poznavati vrednosti parametara A i B, da bi se, z L i, z V mogli dobiti sa greškom manjom od.%. Rešenje: Imamo slučaj da funkcija z(a,b) nije definisana eksplicitno, već implicitno. z Potrebni su nam izvodi A, z B implicitno zadate funkcije: f (z,a,b) =, čije se vrednosti dobijaju rešavanjem kubne jednačine (*). Podsetimo se nalaženja parcijalnih izvoda implicitne funkcije f (y, x) =. Diferenciranjem obe strane jednačine po x i : i odatle: Dakle: f + f x i y y = x i y x i = f z A = A, f z f x i f y f z B = B f z = 3z + z(b ) 3B B + A f A = z B, f z f B = z (6B + )z + 3B + B A

33 .5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 3 R A,B z A ε = R z z Za parnu fazu (z =.6447): f z =.365, ε A + z B = B f A f A =.5975, f z ε A + f B R A,B > 5 4 (.5%) B f B =.74 Za tečnu fazu (z = 9.84 ) : R A,B.89 4 >.5 4 (.5%) Zadatak.3. Bensonova formula za procenjivanje molske zapremine, v b (cm 3 /mol) supstance na normalnoj temperaturi ključanja iz vrednosti njene kritične zapremine, v c pritiska, p c (bar) glasi: v b = v c.833ln p c (sve cifre u vrednostima konstanti su sigurne) Uz pretpostavku da Bensonov model korektno opisuje vezu izme du v b,v c i p c, a) Proceniti molsku zapreminu na normalnoj temperaturi ključanja izopropilalkohola, čiji su kritični parametri, v c = cm 3 /mol, p c = 47.6 bar (sve cifre u vrednostima su sigurne) i broj sigurnih cifara u rezultatu. Analizirati relativne uticaje grešaka pojedinih parametara u Bensonovom izrazu na grešku rezultata. b) Odrediti sa kojom granicom relativne greške treba poznavati vrednosti kritičnih parametara neke supstance da bi v b procenili sa apsolutnom greškom manjom od.5 cm 3 /mol, ako Bensonova formula važi u oblasti: a) Rešenje: 3 p c 5, v c 5 v b = v c aln p c + b =.833ln(47.6) = 8.87 Prema empirijskom pravilu, datom na kraju prethodnog poglavlja, broj sigurnih cifara u rezultatu je ili najviše 3 (koliki je broj sigurnih cifara u vrednostima p c i v c ), pa bi korektno prikazan rezultat bio: v b = 8 cm 3 /mol ili v b = 8.9 cm 3 /mol

34 3 Računanje sa približnim brojevima Procenićemo broj sigurnih cifra rezultata i na bazi linearne procene greške: gde su: A vb = f a A a + f b A b + f vc A vc + f pc A pc f a = v c ln p c (aln p c + b), f b = Za date podatke: v c (aln p c + b), f v c = aln p c + b, f p c = f a = 7.7, f b = 3.47, f vc =.37, f pc =.73 v c a p c (aln p c + b) i za granicu apsolutne greške rezultata dobijamo: A vb =.3 <.5. Tako je poslednja sigurna cifra u rezultatu v b = 8.87cm 3/ mol cifra na mestu jedinica, pa je broj sigurnih cifara s =. Zanimljivo je uporediti doprinose grešaka pojedinih parametara u izrazu za v b ukupnoj apsolutnoj greški rezultata: f a A a = 5.9 3, f b A b =.5, f vc A vc =.9, f pc A pc = Očigledan je dominantan uticaj greške kritične zapremine v c, koji je za jedan ili dva reda veličine veći od doprinosa grešaka ostalih parametara, pa se njihovi uticaji mogu zanemariti. Zaista, zanemarujući uticaj ostalih parametara za granicu greške bi dobili: A vb =.9 <.5, tj. procenjeni broj sigurnih cifara bi opet bio. b) Ako parametre a i b, smatramo tačnim, odnosno, u skladu sa prethodnom analizom, zanemarimo njihov doprinos greški v b, traženu granicu relativne greške v c i p c ćemo dobiti iz formule (.3): R =.5 f vc v c + f pc p c Pošto su apsolutne vrednosti parcijalnih izvoda f vc, f pc funkcije v c i p c, postavlja se pitanje za koje vrednosti kritičnih parametara izračunati R. To je, u skladu sa principom minorizacije, onaj par vrednosti za koji R ima minimum, odnosno imenioc u formuli za R f vc v c + f pc p c = v c aln p c + b + v c a (aln p c + b)

35 .6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 33 ima maksimum, u datoj oblasti u kojoj se Bensonova formula primenjuje. Pošto vrednost imenioca raste sa v c, a opada sa p c, R ćemo računati u tački v c = 5, p c = 3: f vc v c = v c aln p c + b = 5.833ln(3) = 9. f pc p c = v c a (aln p c + b) = (.833ln(3) +.979) = 3.53 R = Usvajamo, u skladu sa principom minorizacije, R =. =.% Radi provere, izračunaćemo A vb u tački v c = 5, p c = 3 sa usvojenom granicom relativne greške kritičnih parametara. Dobijamo procenu A vb =.46, što potvr duje da su korišćena uprošćenja u postupku opravdana..6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA Vrednost nekog složenog izraza (funkcije) u računaru se dobija korak po korak, tj. kao rezultat niza osnovnih računskih operacija (koraka). Rezultat svakog pojedinog koraka, sem poslednjeg u nizu je me durezultat, koji ulazi kao operand u naredni korak. Pre no što u de u operaciju u narednom koraku, on se privremeno memoriše i pri tom, u opštem slučaju, trpi zaokruživanje (ili jednostavno, odsecanje) zbog ograničenog broja značajnih cifara koji se može registrovati u memorijskoj lokaciji. Konačno, i rezultat poslednjeg koraka trpi zaokruživanje (odsecanje). Tako izračunata vrednost neke funkcije f (x,x,...x n ) neće biti tačna, ni kada su polazni podaci (x,x,...x n )sasvim tačni, zbog grešaka zaokruživanja (ili odsecanja) u toku računskog procesa..6. Memorisanje brojeva u računaru-mašinski brojevi Iz tehničkih razloga, brojevi se u računaru realizuju u binarnom ili eventualno u binarno kodiranom oktalnom ili heksadekadnom brojnom sistemu. U okviru programa namenjenih raznim inženjerskim proračunima, registrovanje realnih brojeva je organizovano u normalizovanom eksponencijalnom obliku: x = ±x M B x E = ± ( m i= a i B i ) B ± e b j B e j j= (.5)

36 34 Računanje sa približnim brojevima Vidimo da je realizacija realnih brojeva definisana sa tri parametra: brojna osnova B, broj cifara decimalnog dela mantise, tj. broj značajnih cifara m i broj cifara eksponenta, e. Primer.7. Kao što znamo, realni brojevi se u okviru programskih jezika BASIC, FORTRAN i PASCAL predstavljaju u binarnom brojnom sistemu, B =, a kapacitet memorijske lokacije za brojeve obične tačnosti je 4 bajta, od kojih je jedan namenjen registrovanju eksponenta i njegovog znaka, a preostala tri bajta registrovanju decimalnog dela mantise (značajne cifre broja) i znaka broja: x E Bitovi znaka Slika.8: x M Pri tom, negativni eksponenti se prikazuju kao B - komplementi odgovarajućih pozitivnih brojeva. Tako su vrednosti ostala dva parametra: e = 8 = 7, m = 3 8 = 3 Brojevi oblika (.5) za dato B,m i e se zovu mašinskih brojevi. Skup svih mašinskih brojeva označićemo sa M(B,m,e). U daljoj diskusiji ćemo se ograničiti na slučaj B =, tj. binarne mašinske brojeve. Primer.8. Za opisano registrovanje brojeva kod programskih jezika, mašinski brojevi pripadaju skupu M(,3,7) Realizacija brojnih vrednosti u računaru (polazni podaci ili me durezultati) može se posmatrati kao preslikavanje skupa realnih brojeva, R u skup mašinskih brojeva M. Pošto je skup mašinskih brojeva konačan i prebrojiv, a skup realnih brojeva beskonačan i neprebrojiv, jasno je da to preslikavanje ima ograničenja (vidi skicu) i nazivamo ga redukovano preslikavanje (γ): γ :R M (.5)

37 .6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 35 Z M MM R Q R skup realnih brojeva Q skup racionalnih brojeva Z skup celih brojeva M skup mašinskih brojeva Slika.9: Internu ili mašinsku vrednost nekog broja x, koju dobijamo primenom redukovanog preslikavanja opisujemo kao γx. Mogu se odrediti najmanji, x min i najveći, x max po apsolutnoj vrednosti realni brojevi, koji se mogu (tačno) registrovati u računaru : x max = (x M ) max B (x E) max, x min = (x M ) min B (x E) min Za M(B,m,e), najveća mantisa i najveći eksponent se dobijaju kao, (x M ) max = B m (x E ) max = B e Najmanja mantisa, u skladu sa definicijom mantise je (x M ) min =. = B a najmanji eksponent (negativan ceo broj, veliki po apsolutnoj vrednosti), imajući u vidu da se negativni brojevi registruju kao B-komplementi: (x E ) min = B e Primer.9. Primer: Približne dekadne vrednosti x max i x min u M(,3,7) su: (x M ) max = (.... }{{} ) = (.... }{{}) = 3 3 bajta 3 bajta (x E ) max = () = ( ) = 7 x max = ( 3) x min = 7 =

38 36 Računanje sa približnim brojevima Tako se u računaru: - brojevi manji od -x max registruju kao -x max i svi brojevi veći od x max kao x max (arithmetic overflow) - brojevi, po apsolutnoj vrednosti manji od x min, registruju kao nule (eventualno ±x min ) Dakle, ako skup realnih brojeva, R podelimo na podskupove na sledeći način: ( R = R - R - R R R = = (-,-x max ) [-x max, -x min ] (-x min, x min ) [x min, x max ] (x max, ) R R - R - R -x max -x min x min x max Slika.: R možemo da pišemo: γx = x max, x R γx = x max, x R γx =, x R Ni brojevi iz podskupova R i R se u opštem slučaju nemogu tačno predstaviti u računaru jer je kapacitet memorijske lokacije ograničen na m binarnih značajnih cifara (jednačina.5). Tako se iracionalni brojevi i beskonačni periodični razlomci ne mogu tačno registrovati. Primer.. U skupu M(,3,7), mogu se registrovati prvih 3 značajnih cifara broja x R R u njegovom binarnom obliku. To je približno prvih 7 dekadnih značajnih cifara istog broja jer je: Ukoliko tačna vrednost broja x R R u binarnom obliku ima više od m značajnih cifara, x = ±(.a a...a m a m+ a m+...) x E prilikom njegovog memorisanja se vrši odsecanje ili zaokruživanje na m značajnih cifara.

39 .6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 37 Primer.. Za M(,3,7) imamo: γ (.5) =.5, γ ( / 3 ) = , γ ( / 3 ) = γ (.) = jer je (.) = (...) }{{} beskonačan periodičan decimalanbro j { uz odsecanje uz zaokruživanje U programskim jezicima BASIC, FORTRAN i PASCAL moguće je brojeve registrovati u tzv. duploj preciznosti, kada se za broj angažuje umesto 4, duplo više, tj. 8 bajtova i od toga se 5 bita koristi za registrovanje mantise, m = 5, tj. imamo M(,5,), što obezbe duje da se brojevi x R R registruju sa preciznošću od 5 dekadnih sigurnih cifara ( 5. 6 <.5 5 ). Poznati softverski paketi Mathcad i Excel tako de rade u M(,5,). Primer.. Uz zaokruživanje, interna vrednost iracionalnog broja biće: ( ) γ = {.444 u M (,3,7) u M (, 5, ).6. Greška redukovanog preslikavanja Ako se pri memorisanu realnog broja x R R on, odnosno njegova mantisa zaokružuje na mdekadnih značajnih cifara, tj. približna vrednost mantisexm dobija po pravilu zaokruživanja: { xm.a a =...a m ako je a m+ < 5.a a...a m + m ako je a m+ 5 odbačeni deo mantise će biti: gde decimalan broj:...a m+ a m+... = (.a m+ a m+...) m = g m g =.a m+ a m+... ( g < ) ima osobine mantise. Greška redukovanog preslikavanja mantise je tako { (x M xm) g m ako je a = m+ < 5, tj. g <.5 ( g) m ako je a m+ 5, tj. g.5 i u svakom slučaju, po apsolutnoj vrednosti je manja od.5 m. Dakle, za grešku redukovanog preslikavanja broja x važi :

40 38 Računanje sa približnim brojevima x = x M x M x E.5 x E m pa za granicu apsolutne greške zaokruživanja možemo da usvojimo: A x =.5 x E m (.6) Znači da, uz pretpostavku da je broj x tačan, svih m značajnih cifara njegove interne vrednosti su sigurne cifre. Konačno, iz jednačine (.9) dobijamo granicu relativne greške zaokruživanja: R x =.5 m (.7) Analognim postupkom, lako je izvesti sledeće procene apsolutne i relativne greške odsecanja: A x = x E m (.8).6.3 Greške računskih operacija R x = m (.9) Rezultat neke osnovne računske operacije ( +,,, :), zbog ograničenog kapaciteta memorijske lokacije u koju se unosi, u opštem slučaju nije tačan. Tako ako je z tačan rezultat operacije x + y, razultat u računaru će biti : z = x + y γz = z + z = z + rz = z( + r) = (x + y)( + r) gde je r relativna greška, definisana ovde kao količnik odstupanja i tačne vrednosti. Njena apsolutna vrednost je najviše jednaka izvedenoj granici relativne greške redukovanog preslikavanja (jednačine (.7), (.9). Dakle u kompjuterskoj aritmetici se operacije +,,, : izvode sa ograničenim brojem značajnih cifara, m i zbog toga se nazivaju pseudoperacije. Pri izračunavanju vrednosti složenijih izraza, uzastopno se izvode umesto pravih, pseudoaritmetičke operacije, pa u kompjuterskoj aritmetici ne važi zakon asocijativnosti za operacije sabiranja i množenja kao ni zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje. Primer.3. Rezultat sabiranja tri broja, S = x +x +x 3 u računaru će zavisiti od redosleda sabiranja. Tako će se u opštem slučaju, za sumu S = x + x + x 3 dobiti različit rezultat od onoga za sumu S = x + x 3 + x. Sume se računaju u dva koraka - pseudosabiranja, sa memorisanjem rezultata i to:

41 .6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 39 prva suma S : (x + x ) + x 3 druga suma S : (x + x 3 ) + x Pošto će greške u prvoj pseudooperaciji biti u opštem slučaju različite za jednu i drugu sumu (zavise od veličine brojeva koji se sabiraju), ni dobijene sume neće biti jednake. Primer.4. U kompjuterskoj aritmetici ne važi U = U gde su: U = (x y)z, U = xz yz. Vrednost U je rezultat jednog oduzimanja i jednog množenja, sa me dumemorisanjem, dok se U računa u tri koraka, dva množenja i jedno oduzimanje sa dva me dumemorisanja i u opštem slučaju greške ta dva računska procesa će se razlikovati..6.4 Prostiranje grešaka u računskom procesu Rezultat nekog složenog računskog procesa u koji, kao podaci, ulaze vrednosti promenljivih x,x,...,x n možemo smatrati nekom funkcijom f (x,x,...,x n ). Dobijena vrednost posmatrane funkcije, ni u slučaju kada su vrednosti argumenata x,x,...,x n potpuno tačni, neće biti tačna zbog grešaka računskih operacija u procesu računanja. Pri tom, pogrešan rezultat neke operacije u nizu ulazi kao operand ili podatak u sledeću operaciju i tako imamo pojavu prostiranja ili propagacije grešaka u rečunskom procesu. Efekat je zamena tačnog računskog procesa, f (x,x,...,x n ) nekim približnim (pseudo), koga ćemo označiti kao ˆf (x,x,...,x n ). Razlika, f (x,x,...,x n ) ˆf (x,x,...,x n ) predstavlja grešku, koja je rezultat propagacije grešaka u računskom procesu i naziva se i mašinska greška. U opštem slučaju ni polazni podaci za posmatrani računski proces, f (x,x,...,x n ) nisu tačni. Recimo, neki od njih sadrže greške merenja, a neki su netačni zbog redukovanog preslikavanja tačnih vrednosti. Rezultat će biti pogrešna vrednost približnog računskog procesa, tj. pseudofunkcije, ˆf (x,x,...,x n ), zbog približnih vrednosti argumenata : x,x,...,x n. Ukupnu grešku, možemo da razložimo na komponente: f (x,x,...,x n ) ˆf (x,x,...,x n) f (x,...,x n ) ˆf (x,...,x n) = f (x,...,x n ) f (x,...,x n)+ f (x,...,x n) ˆf (x,...,x n) pa kao granicu ukupne apsolutne greške možemo da uzmemo: A f = f (x,...,x n ) f (x,...,x n) + f (x }{{},...,xn) ˆf (x,...,x n) }{{} greška ko ja potiče od grešaka u podacima mašinska greška (.3)

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Obrada rezultata merenja

Obrada rezultata merenja Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Realni brojevi u pokretnom zarezu

Realni brojevi u pokretnom zarezu Realni brojevi u pokretnom zarezu Predstavljaju se pomoću osnove β (koja je uvek parna) i preciznosti p. Primer: β=10, p=4: broj 0.4 se predstavlja kao 4.000 10 1 β=10, p=4: broj broj 564000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Binarno kodirani dekadni brojevi

Binarno kodirani dekadni brojevi Binarno kodirani dekadni brojevi Koriste se radi tačnog zapisa mešovitih brojeva u računarskom sistemu. Princip zapisa je da se svaka dekadna cifra kodira odredjenim binarnim zapisom. Za uspešno kodiranje

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama

Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama Glava 1 Interpolacija Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama x k ima zadate vrednosti f k. Tačke (x k, f k ) nazivamo čvorovima interpolacije, a funkciju f interpolacionom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović Milan A. Kovačević Miodrag M. Spalević. NUMERIČKA MATEMATIKA Zbirka rešenih problema

Gradimir V. Milovanović Milan A. Kovačević Miodrag M. Spalević. NUMERIČKA MATEMATIKA Zbirka rešenih problema Gradimir V. Milovanović Milan A. Kovačević Miodrag M. Spalević NUMERIČKA MATEMATIKA Zbirka rešenih problema Predgovor Ova zbirka sadrži 7 kompletno rešenih zadataka iz oblasti numeričke matematike i namenjena

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (1.1) U SISTEMU U SISTEMU

ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (1.1) U SISTEMU U SISTEMU .UVOD. Matematički model Matematički model se može definisati kao skup matematičkih relacija koje opisuju ili definišu veze između pojedinih fizičkih veličina u posmatranom procesu (dimenzije uređaja,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM

2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM 2. POJAM KOMPLEMENTA, BINARNI BROJNI SISTEM I BINARNI BROJEVI SA ZNAKOM TEORIJA: KOMPLEMENT je dopuna datog broja do neke unapred definisane vrednosti. Koristi se za prikazivanje negativnih brojeva. Primenjuju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα