Μεθοδολογία για τη Μεγιστοποίηση Κερδών των Επιχειρήσεων Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας σε Ανταγωνιστικό Περιβάλλον Αγοράς

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 7 Μεθοδολογία για τη Μεγιστοποίηση Κερδών των Επιχειρήσεων Παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας σε Ανταγωνιστικό Περιβάλλον Αγοράς ΠΑΥΛΟΣ Σ. ΓΕΩΡΓΙΛΑΚΗΣ Επίκουρος Καθηγητής Πολυτεχνείου Κρήτης Περίληψη Στην απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας η ένταξη μονάδων παραγωγής που εφαρμόζεται από κάθε επιχείρηση παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, ονομάζεται ένταξη μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος και αφορά στη βελτιστοποίηση των μέσων παραγωγής με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους της επιχείρησης. Η αύξηση του ανταγωνισμού, η μείωση των υποχρεώσεων για εξυπηρέτηση και η ποικιλομορφία στον σχεδιασμό των διαφορετικών αγορών ηλεκτρικής ενέργειας κάνουν την απόφαση για το ποιές μονάδες παραγωγής θα λειτουργούν περισσότερο πολύπλοκη από ποτέ. Το άρθρο αυτό προτείνει μία μεθοδολογία δυναμικού προγραμματισμού για την επίλυση του προβλήματος της ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος. Όλοι οι συνήθεις περιορισμοί των μονάδων παραγωγής λαμβάνονται υπόψη. Στον αλγόριθμο του δυναμικού προγραμματισμού ενσωματώνονται προηγμένα μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί για τον ρυθμό μεταβολής της παραγωγής κατά την εκκίνηση και κατά την κράτηση, καθώς και ο ελάχιστος χρόνος ένταξης και κράτησης. Παρουσιάζονται εφαρμογές της μεθόδου σε ηλεκτρική επιχείρηση με μία και με είκοσι μονάδες παραγωγής, περιγράφεται ο τρόπος επίλυσης και γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις μη απελευθερωμένες αγορές ηλεκτρικής ενέργειας ο προγραμματισμός παραγωγής ή ένταξη μονάδων παραγωγής απαιτεί την κατάρτιση ενός προγράμματος λειτουργίας των μονάδων παραγωγής για τις επόμενες 4 έως 68 ώρες, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος λειτουργίας του συστήματος κατά τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού και συγχρόνως να ικανοποιούνται οι λειτουργικοί περιορισμοί του συστήματος []. Επειδή στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του λειτουργικού κόστους, η ένταξη μονάδων παραγωγής συχνά ονομάζεται ένταξη μονάδων παραγωγής με βάση το κόστος. Ο προγραμματισμός παραγωγής απαιτεί την επίλυση ενός σύνθετου προβλήματος βελτιστοποίησης με διακριτές (καταστάσεις μονάδων παραγωγής) και συνεχείς (έξοδοι μονάδων παραγωγής) μεταβλητές απόφασης. Η ακριβής επίλυση του προβλήματος ένταξης των μονάδων Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: παραγωγής προκύπτει από την πλήρη απαρίθμηση όλων των δυνατών συνδυασμών των καταστάσεων ένταξης, η οποία είναι αδύνατον να εφαρμοστεί σε πρακτικού μεγέθους συστήματα εξαιτίας του μεγάλου υπολογιστικού χρόνου που απαιτεί []. Για την επίλυση του προβλήματος της ένταξης μονάδων παραγωγής έχουν προταθεί οι μέθοδοι της σειράς ένταξης [-3], του δυναμικού προγραμματισμού [4], της διάσπασης Lagrange [5], της διακλάδωσης και φραγής [6] και της διάσπασης Bender [7]. Πρόσφατα έχουν παρουσιαστεί προσεγγίσεις με εφαρμογή προσομοιωμένης ανόπτησης [8], ευφυών συστημάτων [9], τεχνητών νευρωνικών δικτύων [] και γενετικών αλγορίθμων []. Με βάση τις μεθόδους της σειράς ένταξης οι μονάδες παραγωγής εντάσσονται βάσει της αύξουσας σειράς του ειδικού κόστους λειτουργίας στη μέγιστη έξοδο, έτσι, ώστε οι οικονομικότερες μονάδες βάσης να εντάσσονται πρώτες και οι μονάδες αιχμής τελευταίες. Οι μέθοδοι της σειράς ένταξης είναι πολύ γρήγορες υπολογιστικά, όμως, είναι ευρετικές και παράγουν πρόγραμμα λειτουργίας με σχετικά υψηλό κόστος παραγωγής. Το βασικότερο πρόβλημα των μεθόδων δυναμικού προγραμματισμού είναι ότι η αποθήκευση όλων των δυνατών συνδυασμών ( N- συνδυασμοί για Ν μονάδες παραγωγής) για κάθε χρονικό διάστημα είναι αδύνατη ακόμα και για συστήματα μεσαίου μεγέθους. Οι μέθοδοι της διάσπασης Lagrange αντιμετωπίζουν μεγάλες δυσκολίες στην εύρεση των πολλαπλασιαστών Lagrange που βελτιστοποιούν τη δυϊκή αντικειμενική συνάρτηση, όμως ακόμα και αν υπάρχει λύση του δυϊκού προβλήματος, η εφικτότητα της λύσης του αρχικού (βασικού) προβλήματος δεν είναι εγγυημένη εξαιτίας της μη κυρτότητας του προβλήματος βελτιστοποίησης. Οι γενετικοί αλγόριθμοι έχουν εφαρμοστεί στο πρόβλημα της ένταξης μονάδων παραγωγής και έχουν δώσει καλύτερη βέλτιστη λύση σε σχέση με τις μεθόδους της σειράς ένταξης, του δυναμικού προγραμματισμού και της διάσπασης Lagrange. Από την άλλη μεριά, στις απελευθερωμένες αγορές ηλεκτρικής ενέργειας η ένταξη μονάδων παραγωγής που χρησιμοποιείται από κάθε επιχείρηση παραγωγής αφορά

2 8 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No στη βελτιστοποίηση των μέσων παραγωγής προκειμένου να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της επιχείρησης παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας []. Στο νέο και ανταγωνιστικό αυτό περιβάλλον το σήμα που επιβάλλει την ένταξη/κράτηση μίας μονάδας παραγωγής είναι η τιμή, που περιλαμβάνει την τιμή αγοράς του καυσίμου και την τιμή πώλησης της ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτή η ένταξη μονάδων παραγωγής έχει διαφορετικό στόχο από την παραδοσιακή ένταξη μονάδων παραγωγής με βάση το κόστος και ονομάζεται ένταξη μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος (ΕΜΒΚ). Η ΕΜΒΚ είναι ένα μεγάλης κλίμακας, μη κυρτό, μη γραμμικό, μεικτό ακέραιο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Επειδή οι αγορές ηλεκτρικής ενέργειας αλλάζουν ραγδαία, υπάρχει έντονο ενδιαφέρον για το πώς επιλύονται τα νέα μοντέλα ένταξης μονάδων παραγωγής και τι σκοπούς εξυπηρετούν [3]. Για δοσμένες τιμές ηλεκτρικής ενέργειας, η διάσπαση Lagrange έχει εφαρμοστεί στην επίλυση του προβλήματος ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος []. Σε μία αγορά διμερών συναλλαγών η ΕΜΒΚ έχει μελετηθεί στο [4] θεωρώντας την αβεβαιότητα της τιμής της ηλεκτρικής ενέργειας. Σε μία αγορά κοινοπραξίας η ΕΜΒΚ έχει επιλυθεί χρησιμοποιώντας διάσπαση Lagrange, στοχαστικό δυναμικό προγραμματισμό και διάσπαση Bender [5]. Η ΕΜΒΚ για μία θερμική μονάδα παραγωγής έχει μοντελοποιηθεί με μεικτό ακέραιο προγραμματισμό στα [6-7]. Η ΕΜΒΚ για μία επιχείρηση παραγωγής με θερμικές, συνδυασμένου κύκλου και υδροηλεκτρικές μονάδες παραγωγής έχει μοντελοποιηθεί σαν πρόβλημα μεικτού ακέραιου προγραμματισμού στο [8]. Ο δυναμικός προγραμματισμός είναι μία μέθοδος βελτιστοποίησης, που εφαρμόζεται σε προβλήματα, όπου πρέπει να ληφθεί μία ακολουθία διαδοχικών αποφάσεων [9]. Κάθε απόφαση μετασχηματίζει την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος σε μία νέα κατάσταση. Η αρχική κατάσταση του συστήματος είναι συνήθως γνωστή. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί μία ακολουθία καταστάσεων που, αν εφαρμοστεί στην αρχική κατάσταση, δίνει μία ακολουθία καταστάσεων που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί) κάποιο κριτήριο καλής λειτουργίας του συστήματος. Το άρθρο αυτό προτείνει μία μεθοδολογία δυναμικού προγραμματισμού για την επίλυση του προβλήματος της ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος σε μία αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας. Όλοι οι συνήθεις περιορισμοί των μονάδων παραγωγής λαμβάνονται υπόψη. Στον αλγόριθμο του δυναμικού προγραμματισμού ενσωματώνονται προηγμένα μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί για τον ρυθμό μεταβολής της παραγωγής κατά την εκκίνηση και κατά την κράτηση, καθώς και ο ελάχιστος χρόνος ένταξης και κράτησης. Η προτεινόμενη μέθοδος δυναμικού προγραμματισμού είναι πολύ γρήγορη υπολογιστικά, επειδή μεγιστοποιεί το κέρδος κάθε μονάδας παραγωγής ξεχωριστά. Παρουσιάζονται εφαρμογές της μεθόδου σε ηλεκτρική επιχείρηση με μία και με είκοσι μονάδες παραγωγής, περιγράφεται ο τρόπος επίλυσης και γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Το άρθρο είναι οργανωμένο ως ακολούθως. Στο τμήμα παρουσιάζεται το πρόβλημα της ένταξης μονάδων παραγωγής σε κοινοπραξία, καθώς και σε αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας. Το πρόβλημα της ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος διατυπώνεται στο τρίτο τμήμα και επιλύεται στο τέταρτο τμήμα χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη μεθοδολογία δυναμικού προγραμματισμού. Στο πέμπτο τμήμα παρουσιάζονται εφαρμογές της μεθόδου σε ηλεκτρική επιχείρηση με μία και με είκοσι μονάδες παραγωγής. Στο έκτο τμήμα παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της εργασίας. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ A( B( C( Cos( CT( D( E( e ( e ( F( FC( i I( inc k ( N nl k ( P( Συντελεστής κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε /MW h). Συντελεστής κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε /MWh). Συντελεστής κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε /h). Συνολικό κόστος παραγωγής της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε /h). Χρονική σταθερά ψύξης της μονάδας παραγωγής i (σε ώρες). Κόστος προσωπικού για την εκκίνηση και κόστος συντήρησης εξοπλισμού της μονάδας παραγωγής i (σε /h). Κόστος ψυχρής εκκίνησης της μονάδας παραγωγής i (σε /h). Πρώτο σημείο καμπής της τμηματικά γραμμικής καμπύλης κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε MW). Δεύτερο σημείο καμπής της τμηματικά γραμμικής καμπύλης κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε MW). Κέρδος της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε /h). Κόστος καυσίμου της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε /h). Δείκτης για τη μονάδα παραγωγής. Κατάσταση της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή ( = εκκίνηση, = κράτηση). Κλίση του γραμμικού τμήματος k της καμπύλης κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε /MWh), k =,, και 3. Αριθμός θερμικών μονάδων παραγωγής. Κόστος κενού φορτίου του γραμμικού τμήματος k της καμπύλης κόστους καυσίμου της μονάδας παραγωγής i (σε /h), k =,, και 3. Παραγωγή της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε MW).

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 9 p gm ( P ( P min ( R ( R lim i R ( Y( ) R limi Rvn( SD( SU( T T T ( off on TP( T ( V( X ( X( X off ( X ( ) Προβλεπόμενη τιμή ηλεκτρικής ενέργειας τη χρονική στιγμή (σε /MWh). Μέγιστη παραγωγή της μονάδας παραγωγής i (σε MW). Ελάχιστη παραγωγή της μονάδας παραγωγής i (σε MW). Ρυθμός μείωσης της παραγωγής κατά την κράτηση της μονάδας παραγωγής i (σε MW/h). Όριο μείωσης της εξόδου της μονάδας παραγωγής i κατά την κράτηση, σαν συνάρτηση της i, κατάστασης Υ(. (. Ρυθμός αύξησης της παραγωγής κατά την εκκίνηση της μονάδας παραγωγής i (σε MW/h). Όριο αύξησης της εξόδου της μονάδας παραγωγής i κατά την ένταξη, σαν συνάρτηση της κατάστασης X(. Εισόδημα της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε /h). Κόστος κράτησης της μονάδας παραγωγής i (σε ). Κόστος εκκίνησης της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε /h). Δείκτης για το χρονικό διάστημα του ορίζοντα προγραμματισμού. Συνολικός αριθμός χρονικών διαστημάτων του ορίζοντα προγραμματισμού. Ελάχιστος χρόνος κράτησης της μονάδας παραγωγής i (σε ώρες). Χρονικό διάστημα πριν από εκείνο στο οποίο μία μονάδα παραγωγής κρατείται (σε ώρες). Χρονικό διάστημα στο οποίο μία μονάδα παραγωγής εκκινεί (σε ώρες). Συνολικό κέρδος της μονάδας παραγωγής i σε όλη τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού (σε ). Ελάχιστος χρόνος ένταξης (λειτουργίας) της μονάδας παραγωγής i (σε ώρες). Απόφαση για κράτηση της μονάδας παραγωγής i σε Y (- ώρες, αν V(=. Αν X (>, τότε η μονάδα παραγωγής i λειτουργεί για X ( ώρες, πριν από την έναρξη της περιόδου προγραμματισμού. Αν X (<, τότε η μονάδα παραγωγής i είναι κρατημένη για -X ( ώρες, πριν από την έναρξη της περιόδου προγραμματισμού. Αν X(>, τότε ο αθροιστικός χρόνος λειτουργίας της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή είναι X( ώρες. Αν X(<, τότε ο αθροιστικός χρόνος κράτησης της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή είναι -X( ώρες. Χρονική διάρκεια συνεχούς κράτησης της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή (σε ώρες). Υ( Y ( Αριθμός ωρών μέχρι η μονάδα παραγωγής τη χρονική στιγμή, να κρατηθεί (σε ώρες). Μέγιστος απαιτούμενος αριθμός ωρών για τη μονάδα παραγωγής i να μειώσει την έξοδό της από P ( σε MW (σε ώρες).. ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΚΟΙΝΟΠΡΑΞΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗ ΑΓΟΡΑ. Ένταξη μονάδων παραγωγής σε κοινοπραξία Στην αγορά της κοινοπραξίας ο προγραμματισμός των μονάδων παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται κεντρικά από τον διαχειριστή του συστήματος που προσδιορίζει ποιες μονάδες παραγωγής εκκινούν, πότε αυτές συνδέονται στο σύστημα, πόσο πρέπει να παράγουν όταν είναι σε λειτουργία, με ποια σειρά πρέπει να κρατηθούν και για πόσο χρόνο, χρησιμοποιώντας σαν βάση την προβλεπόμενη τιμή του φορτίου. Η ένταξη μονάδων παραγωγής στην αγορά της κοινοπραξίας προσδιορίζει τον βέλτιστο συνδυασμό των διαθέσιμων μονάδων παραγωγής για την εξυπηρέτηση της προβλεπόμενης ζήτησης φορτίου στο ελάχιστο κόστος παραγωγής με ικανοποίηση όλων των περιορισμών του συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας και των μονάδων παραγωγής. Ο προγραμματισμός παραγωγής γίνεται συνήθως για ένα χρονικό ορίζοντα 4 έως 68 ωρών. i P Pi P P N N Σχήμα : Εφαρμογή της μεθόδου της διάσπασης Lagrange στην επίλυση του προβλήματος της ένταξης μονάδων σε κοινοπραξία. Figure : Applicaion of he Lagrangian relaxaion mehod in solving he uni commimen problem in a pool-based marke. Στο Σχήμα φαίνεται ο τρόπος επίλυσης του προβλήματος της ένταξης μονάδων παραγωγής σε μία αγορά κοινοπραξίας. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, ο διαχειριστής στέλνει σε κάθε μονάδα παραγωγής ένα σύνολο πολλαπλασιαστών Lagrange, λ, για κάθε χρονικό διάστημα του ορίζοντα προγραμματισμού. Στη συνέχεια, κάθε μονάδα παραγωγής προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος

4 3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No παραγωγής της με βάση τις σταθερές τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange, λ. Έστω ότι κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος η προβλεπόμενη ζήτηση φορτίου είναι L. Τότε: αν N i Αντίθετα, αν N i P i L, τότε ο διαχειριστής μειώνει το λ. P i L, τότε ο διαχειριστής αυξάνει το λ. Οι τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange, λ ρυθμίζονται με αυτό τον τρόπο μέχρι να επιτευχθεί ισορροπία ανάμεσα στην προσφορά και στη ζήτηση κατά τη διάρκεια κάθε χρονικού διαστήματος για να προκύψει το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής για το θεωρούμενο χρονικό ορίζοντα προγραμματισμού [].. Ένταξη μονάδων παραγωγής σε αποκεντρωμένη αγορά Σε μία αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας στόχος δεν είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής μίας συγκεκριμένης επιχείρησης παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, αλλά η μεγιστοποίηση του συνολικού της κέρδους στον θεωρούμενο χρονικό ορίζοντα προγραμματισμού. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί θεωρώντας κάθε μονάδα παραγωγής ξεχωριστά (όπως για παράδειγμα τη μονάδα παραγωγής i του Σχήματος που είναι εντός ενός διακεκομμένου πλαισίου) και μεγιστοποιώντας το κέρδος της ανεξάρτητα από τις άλλες μονάδες παραγωγής της θεωρούμενης επιχείρησης παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Αντί να χρησιμοποιούνται οι πολλαπλασιαστές Lagrange ως σκιώδεις τιμές (όπως συμβαίνει στην αγορά κοινοπραξίας), στην αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιούνται οι προβλεπόμενες τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας για κάθε χρονική στιγμή του ορίζοντα προγραμματισμού ως είσοδος στη βελτιστοποίηση του προγράμματος κάθε μίας μονάδας παραγωγής ξεχωριστά. 3. ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΡΔΟΣ Το πρόβλημα της ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος σε μία αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας διατυπώνεται ως εξής: για μία επιχείρηση παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας με N μονάδες παραγωγής και για δοσμένη χρονοσειρά τιμών ηλεκτρικής ενέργειας, απαιτείται να προσδιοριστούν οι χρόνοι εκκίνησης και σταματήματος και η ισχύς εξόδου όλων των μονάδων παραγωγής κάθε χρονική στιγμή στη διάρκεια μίας χρονικής περιόδου προγραμματισμού T, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος της ηλεκτρικής επιχείρησης, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς των μονάδων παραγωγής. 3. Αντικειμενική συνάρτηση Για μία μονάδα παραγωγής i τη χρονική στιγμή το κέρδος υπολογίζεται αφαιρώντας το συνολικό κόστος παραγωγής κατά τη διάρκεια του χρονικού αυτού διαστήματος από το συνολικό εισόδημα: F ( Rvn ( Cos (. (3.) Πρέπει να σημειωθεί ότι ένα αρνητικό κέρδος F(, δείχνει ζημία για τη μονάδα παραγωγής i τη χρονική στιγμή. Το εισόδημα για τη μονάδα παραγωγής i τη χρονική στιγμή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την παραγωγή της με την τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας: Rvn ( p gm ( P( I (. (3.) Το συνολικό κόστος παραγωγής Cos( για κάθε μονάδα παραγωγής στη διάρκεια κάθε χρονικού διαστήματος είναι το άθροισμα του κόστους καυσίμου, του κόστους εκκίνησης και του κόστους κράτησης κατά το διάστημα αυτό: FC ( SU ( SD I ( ). Cos ( (3.3) Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να γίνει η ακόλουθη παρατήρηση για τον υπολογισμό του συνολικού κόστους παραγωγής με βάση τη σχέση (3.3): το κόστος εκκίνησης SU( προστίθεται στο κόστος καυσίμου FC( μόνο, όταν η μονάδα παραγωγής εκκινεί. Παρόμοια, το κόστος κράτησης SD( προστίθεται στο κόστος καυσίμου FC( μόνο, όταν η μονάδα παραγωγής κρατείται. Το κόστος καυσίμου, FC(, της μονάδας παραγωγής i σε κάθε δοσμένο χρονικό διάστημα είναι συνάρτηση της ισχύος εξόδου, P(, της μονάδας αυτής στο θεωρουμενο χρονικό διάστημα. Η συνάρτηση κόστους καυσίμου μοντελοποιείται με ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης: P( B( P( C. FC ( A( (3.4) Το κόστος εκκίνησης σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από τον αριθμό των ωρών που η μονάδα παραγωγής είναι σταματημένη πριν να ξεκινήσει. Το κόστος αυτό μοντελοποιείται από μία εκθετική συνάρτηση της μορφής: SU ( D( E exp X off (. ( ) CT i (3.5) Το κόστος κράτησης, SD( έχει μία σταθερή τιμή για κάθε μονάδα παραγωγής ανά κράτημα.

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Ο στόχος του προβλήματος ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος για μία επιχείρηση παραγωγής που λειτουργεί σε ανταγωνιστικό περιβάλλον είναι να μεγιστοποιήσει κατά τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού το συνολικό κέρδος για όλες τις μονάδες παραγωγής της: T N F ( (3.6) I ( ), P ( ) i κάτω από τους περιορισμούς (3.7) έως (3.3), όπως περιγράφονται στη συνέχεια. 3. Περιορισμοί Οι θερμικές μονάδες παραγωγής υπόκεινται σε ένα σύνολο περιορισμών που παρουσιάζονται στην ενότητα αυτή. αυξήσει την παραγωγή της σε χρονικό διάστημα ίσο με μία ώρα: P( P( ) R,, (3.) όπου R ( είναι ο ρυθμός αύξησης της παραγωγής κατά την εκκίνηση της μονάδας παραγωγής i. Ο περιορισμός (3.) εφαρμόζεται από τη στιγμή της εκκίνησης μέχρι τη στιγμή που η μονάδα παραγωγής θα παράγει την ονομαστική της ισχύ. Το όριο τη στιγμή της εκκίνησης υπολογίζεται από τη σχέση: min R, P,. P( (3.) 3..5 Περιορισμός μείωσης εξόδου κατά την κράτηση 3.. Λειτουργικά όρια μονάδων παραγωγής Οι μονάδες παραγωγής μπορούν να παράγουν μέσα σε προκαθορισμένα όρια: P min I ( P( P I (,, (3.7) όπου P min ( και P ( είναι η ελάχιστη και η μέγιστη παραγωγή, αντίστοιχα, της μονάδας παραγωγής i (σε MW). 3.. Ελάχιστος χρόνος ένταξης μονάδας παραγωγής Πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισμοί: X ( ) T I ( ) I (,, (3.8) όπου T ( είναι ο ελάχιστος χρόνος ένταξης της μονάδας παραγωγής i (σε ώρες). Ο περιορισμός μείωσης εξόδου κατά την κράτηση εκφράζει την ποσότητα που μπορεί μία μονάδα παραγωγής να μειώσει την παραγωγή της σε χρονικό διάστημα ίσο με μία ώρα: P( ) P( R,, (3.) όπου R ( είναι ο περιορισμός μείωσης της παραγωγής κατά την κράτηση της μονάδας παραγωγής i. Ο περιορισμός (3.) εφαρμόζεται από τη στιγμή που η μονάδα παραγωγής παράγει την ονομαστική της ισχύ μέχρι τη στιγμή που η μονάδα παραγωγής θα κρατηθεί (σταματήσει). Το όριο τη στιγμή της κράτησης υπολογίζεται από τη σχέση: min R, P,. P( (3.3) 3..6 Περιορισμοί κατάστασης μονάδων παραγωγής 3..3 Ελάχιστος χρόνος κράτησης μονάδας παραγωγής Πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισμοί: X ( ) T I ( I ( ),, (3.9) όπου T ( είναι ο ελάχιστος χρόνος κράτησης της μονάδας παραγωγής i (σε ώρες). Κάποιες μονάδες παραγωγής ίσως θα πρέπει να λειτουργούν σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα (μονάδες παραγωγής υποχρεωτικά ενταγμένες), ενώ κάποιες άλλες μονάδες παραγωγής ενδεχομένως να μην είναι διαθέσιμες λόγω προγραμματισμένης συντήρησης ή βλάβης Αρχικές συνθήκες 3..4 Περιορισμός αναρρίχησης κατά την εκκίνηση Ο περιορισμός αναρρίχησης κατά την εκκίνηση εκφράζει την ποσότητα που μπορεί μία μονάδα παραγωγής να Θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι αρχικές συνθήκες των μονάδων παραγωγής (πχ συνολικές ώρες ένταξης ή συνολικές ώρες κράτησης) στην αρχή της περιόδου προγραμματισμού.

6 3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 4. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΡΔΟΣ FC( [ /h] Στην αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας το πρόβλημα της ένταξης N μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος επιλύεται με τη βοήθεια του δυναμικού προγραμματισμού. Πιό συγκεκριμένα, το πρόβλημα της ένταξης N μονάδων παραγωγής αναλύεται σε N υποπροβλήματα ένταξης, ένα για κάθε μονάδα παραγωγής ξεχωριστά. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται η επίλυση του υποπροβλήματος της ένταξης μίας μονάδας παραγωγής με βάση το κέρδος χρησιμοποιώντας δυναμικό προγραμματισμό, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς της μονάδας παραγωγής. nl nl nl ( i 3 ) P min e ( ) e ( ) P ( i ) i i P( [MW] Σχήμα : Τμηματικά γραμμική συνάρτηση κόστους καυσίμου. Figure : Piece-wise linear fuel cos funcion. 4. Τμηματικά γραμμική συνάρτηση κόστους καυσίμου Η συνάρτηση κόστους καυσίμου σχέση (3.4), εναλλακτικά μπορεί να παρασταθεί από την τμηματικά γραμμική συνάρτηση του Σχήματος. Όταν είναι γνωστοί οι συντελεστές κόστους καυσίμου, A(, B(, και C(, της εξίσωσης (3.4), τότε οι παράμετροι της τμηματικά γραμμικής καμπύλης κόστους καυσίμου του Σχήματος υπολογίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις: min P P, k, min k e k P (4.) 3 min min e ( P B( e ( P i A( inc, (4.) min e P inc A( e e B( e e, i (4.3) e e P e B( P e( i A( inc, (4.4) 3 P e min min min P B( P C( inc P i nl A(, (4.5) inc inc, k,3. nlk nlk ( ek ( k k (4.6) Με τη βοήθεια της τμηματικά γραμμικής καμπύλης του Σχήματος το κόστος καυσίμου υπολογίζεται ως εξής: min nl( inc( P(, P P( e FC( nl inc P(, e P( e, nl3 inc3 P(, e P( P (4.7) 4. Ένταξη μίας μονάδας παραγωγής με δυναμικό προγραμματισμό Το συνολικό κέρδος TP( της μονάδας παραγωγής i σε όλη τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού δίνεται από τη σχέση: T TP F(. (4.8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.), (3.), (3.3), και (4.7), προκύπτει ότι: TP( T p ( P( I( off off nl k inc k on on SU ( ) SD( ) gm on off P( I (. (4.9) I ( Στόχος της επίλυσης του προβλήματος ένταξης μίας μονάδας παραγωγής είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους, TP(: I ( ), P( ) TP(. (4.) Όταν I( =, η τιμή της υπό μεγιστοποίηση συνάρτησης κέρδους TP(, είναι ίση με μηδέν. Όταν I( =, η υπό μεγιστοποίηση συνάρτηση κέρδους λαμβάνει τη μορφή: p gm ( P( T TP off off. (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) (4.) P i P i nl k i inc k i P i on on Στη σχέση (4.) έχει παραληφθεί το κόστος εκκίνησης SU( on ), καθώς αυτό προστίθεται μόνο όταν η μονάδα παραγωγής εκκινεί. Επίσης, στη σχέση (4.), έχει παραληφθεί το κόστος κράτησης, SD( off ), καθώς αυτό προστίθεται μόνο, όταν η μονάδα παραγωγής κρατείται. Όμως τα κόστη εκκίνη-

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 33 σης και κράτησης θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά τους υπολογισμούς του κέρδους της μονάδας παραγωγής i. Το μέγιστο της συνάρτησης της σχέσης (4.) βρίσκεται μηδενίζοντας την πρώτη της παράγωγο: dtp(. (4.) dp( Αντικαθιστώντας την (4.) στην (4.), λαμβάνουμε: p gm ( inc k. (4.3) Όμως, τα οριακά κόστη μίας μονάδας παραγωγής μπορούν να πάρουν διακριτές τιμές μόνο, αν η χαρακτηριστική κόστους της μονάδας παραγωγής αναπαριστάται από μία τμηματικά γραμμική καμπύλη κόστους. Έτσι, η έξοδος P( της μονάδας παραγωγής i σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζεται ως εξής: min P, e, P( e, P, p ( inc inc p p gm inc p gm gm gm ( inc 3 ( inc. (4.4) ( inc Η σχέση (4.4) εφαρμόζεται μόνο, όταν δεν υπάρχουν περιορισμοί για τον ρυθμό μεταβολής της εξόδου της μονάδας παραγωγής i. Διαφορετικά, εφόσον υπάρχουν περιορισμοί αναρρίχησης κατά την εκκίνηση και περιορισμοί μείωσης εξόδου κατά την κράτηση, θα πρέπει να τηρούνται αυστηρά, ανεξάρτητα από το επίπεδο κέρδους ή ζημίας, για να αποφευχθεί η μείωση της διάρκειας ζωής του στροβίλου της γεννήτριας εξαιτίας των υπερβολικών ρυθμών μεταβολής της εξόδου. Στην ενότητα 4.. θα μελετηθεί ο τρόπος με τον οποίο λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί για τον ρυθμό μεταβολής της εξόδου της μονάδας παραγωγής i. Η επίλυση του προβλήματος ένταξης μίας μονάδας παραγωγής με βάση το κέρδος γίνεται με τη βοήθεια του προς τα εμπρός δυναμικού προγραμματισμού σύμφωνα με τον οποίο εφαρμόζεται ένας αλγόριθμος προς τα εμπρός αναζήτησης για την εύρεση των καταστάσεων, Ι(, και των εξόδων P( για κάθε μία από τις χρονικές στιγμές = έως = T, που μεγιστοποιούν το συνολικό κέρδος TP( της μονάδας παραγωγής i σε όλη τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού. Ο αλγόριθμος του προς τα εμπρός δυναμικού προγραμματισμού ξεκινάει από την αρχική κατάσταση ένταξης της μονάδας παραγωγής i (τη χρονική στιγμή, πριν από την έναρξη της περιόδου προγραμματισμού της μονάδας παραγωγής), η οποία αρχική κατάσταση είναι γνωστή. Στη συνέχεια, για κάθε ένα από τα χρονικά διαστήματα του ορίζοντα προγραμματισμού = έως = T, υπολογίζεται το κέρδος της μονάδας παραγωγής, για εναλλακτικές ακολουθίες καταστάσεων, Ι(. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί ότι οι αποφάσεις {Ι( και P(} που θα λαμβάνονται σε κάθε μία από τα T χρονικά διαστήματα προγραμματισμού θα πρέπει να ικανοποιούν τους περιορισμούς της μονάδας παραγωγής i. Βέλτιστη είναι εκείνη η ακολουθία καταστάσεων (διαδρομή) 3 της μονάδας παραγωγής i που αντιστοιχεί στο μέγιστο κέρδος TP(, της μονάδας παραγωγής i σε όλη τη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι αν οδηγηθούμε σε κάποια ενδιάμεση ή τελική κατάσταση με περισσότερες από μία διαδρομές, τότε με βάση την αρχή του βέλτιστου των Bellman και Dreyfus [9], μόνο η διαδρομή με το μέγιστο συνολικό όφελος πρέπει να κρατηθεί, ενώ οι άλλες μπορούν να αφαιρεθούν. 4.. Μοντελοποίηση των περιορισμών T ( και T ( Εφόσον ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί T ( και T (, ο αθροιστικός χρόνος λειτουργίας (ή κρατήματος), X( συνδέεται με την κατάσταση, I( της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή με την ακόλουθη σχέση: X ( ) X ( ) X ( X ( ) X ( ) X ( ) T X ( ) I ( X ( ) T X ( ) T X ( ) T I ( I (. I ( X ( ) I ( I ( 4.. Μοντελοποίηση των περιορισμών R ( και R ( (4.5) Ο μέγιστος απαιτούμενος αριθμός ωρών Y ( για τη μονάδα παραγωγής i να μειώσει την έξοδό της από P ( σε MW υπολογίζεται μέσα από τα ακόλουθα τέσσερα βήματα:. Ξεκίνημα με Y (= και. R lim i P.. Rlim i Rlim i R και Y ( =Y (+. min 3. Αν 3. R lim i P πηγαίνουμε στο βήμα, αλλιώς πηγαίνουμε στο βήμα Αν 4. R lim i τότε Y (=Y (+, αλλιώς σταματάμε. Ο αριθμός ωρών Y( μέχρι η μονάδα παραγωγής i τη χρονική στιγμή να κρατηθεί υπολογίζεται ως εξής: Y (, ) Y i Y ( Y ( ) Y ( ) Y ( ) I ( Y ( ) Y Y ( ) Y Y ( ) Y I ( V ( V (. (4.6) όπου V(= είναι η απόφαση για κράτηση σε Y (- ώρες. Οι καταστάσεις Y πρέπει να ληφθούν υπόψη μόνο αν μία κατάσταση X είναι μεταξύ Y (- ωρών για να ικανοποιήσει τον περιορισμό του ελάχιστου χρόνου ένταξης, δηλαδή αν: X ( T Y. (4.7) Το όριο αύξησης της εξόδου της μονάδας παραγωγής i κατά την ένταξη R i, limi X ( σαν συνάρτηση της κατάστασης X( υπολογίζεται ως εξής [-]:

8 34 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No R limi R X ( min P, P min, R limi X ( R X ( X ( (4.8) Το όριο μείωσης της εξόδου της μονάδας παραγωγής i κατά την κράτηση R i, lim iy ( σαν συνάρτηση της κατάστασης Υ( υπολογίζεται ως εξής [-]: R limi P min Y ( P, Rlimi Y ( R Y( Y Y( Y Y( (4.9) Η έξοδος, P(, πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: R X ( R X ( R Y ( ) (4.) P( lim,lim, lim R i i i i i Y P( R X ( R X ( R Y ( ) (4.) lim i ( lim i lim i limi T ( X ( SU( SD( h - h 5 /h /h i =,, N, =,, T, = 4. Ένταξη N μονάδων παραγωγής με δυναμικό προγραμματισμό i = Στην αποκεντρωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας το πρόβλημα της ένταξης N μονάδων παραγωγής αναλύεται σε N υποπροβλήματα ένταξης ένα για κάθε μονάδα παραγωγής ξεχωριστά. Κάθε ένα από τα N υποπροβλήματα επιλύεται με βάση τη μεθοδολογία δυναμικού προγραμματισμού που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη υποενότητα. Το διάγραμμα ροής για την επίλυση του προβλήματος της ένταξης N μονάδων παραγωγής φαίνεται στο Σχήμα ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5. Ένταξη μίας μονάδας παραγωγής i = i + i T i T Στον Πίνακα φαίνονται τα δεδομένα μίας μονάδας παραγωγής και στον Πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας για χρονική περίοδο έξι ωρών. Ζητείται να επιλυθεί το πρόβλημα της ένταξης της μονάδας αυτής με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους σε χρονικό ορίζοντα έξι ωρών. Πίνακας : Δεδομένα μονάδας παραγωγής. Table : Uni Daa. Παράμετρος Τιμή i P min ( MW P ( 6 MW A(. /MW h B( /MWh C( 5 /h T ( h = + i i = N Σχήμα 3: Διάγραμμα ροής για την επίλυση του προβλήματος της ένταξης Ν μονάδων παραγωγής με δυναμικό προγραμματισμό. Figure 3: Flowchar for he soluion of he uni commimen problem for a generaing company wih N producion unis using dynamic programming.

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 35 Πίνακας : Προβλεπόμενες τιμές ηλεκτρικής ενέργειας. Table : Forecased elecriciy marke prices. Ώρα, Τιμή ηλεκτρικής ενέργειας, p gm ( [ /MWh] Με τη βοήθεια των σχέσεων (4.) έως (4.6) υπολογίζονται οι παράμετροι της τμηματικά γραμμικής συνάρτησης κόστους καυσίμου και τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στον Πίνακα 3. Πίνακας 3: Παράμετροι τμηματικά γραμμικής καμπύλης κόστους καυσίμου. Table 3: Parameers of he piecewise linear fuel cos curve. Το εισόδημα υπολογίζεται από τη σχέση (3.), οπότε, για παράδειγμα, για την ώρα =, είναι: Rvn() = p gm (). P(). I() =.7.. Rvn() = 7 /h. Το κέρδος υπολογίζεται από τη σχέση (3.), οπότε, για παράδειγμα, για την ώρα =, είναι: F()=Rvn() - Cos() = F() = /h. Με τον τρόπο αυτό συμπληρώνεται ο Πίνακας 4. Πίνακας 4: Παραγωγή και κέρδος για I(=. Table 4: Producion and profi for I(=. Ώρα, P( [MW] F( [ /MWh] Παράμετρος e ( e ( inc ( inc ( inc 3 ( nl ( nl ( nl 3 ( Τιμή 67 MW 433 MW.733 /MWh.4 /MWh.67 /MWh /h /h -.33 /h Στο Σχήμα 4 φαίνεται πώς υλοποιείται ο αλγόριθμος του δυναμικού προγραμματισμού για την ένταξη της μονάδας παραγωγής. Το κόστος εκκίνησης αφαιρείται από το κέρδος στα χρονικά διαστήματα, όπου η μονάδα παραγωγής εκκινεί. Στο Σχήμα 4, διακρίνουμε τις καταστάσεις και τις διαδρομές. Κάθε κατάσταση συμβολίζεται με ένα κύκλο και μέσα στον κάθε κύκλο υπάρχουν δύο αριθμητικές πληροφορίες: α) η κατάσταση I( της μονάδας παραγωγής i τη χρονική στιγμή ( = εκκίνηση, = κράτηση) και Για κάθε ώρα, αν I(=, τότε P(= και F(=, δηλαδή αν η μονάδα παραγωγής είναι κρατημένη, τότε η έξοδός της είναι μηδέν, όπως και το κέρδος της για αυτή την ώρα. Για κάθε ώρα, αν I(=, τότε επειδή είναι γνωστή η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας με τη βοήθεια της σχέσης (4.4) υπολογίζεται η έξοδος, P( της μονάδας παραγωγής i για κάθε χρονική στιγμή και έτσι συμπληρώνεται η δεύτερη στήλη του Πίνακα 4. Για παράδειγμα, για την ώρα =, είναι p gm ()=.7 /ΜWh και επειδή p gm ()<inc (, δηλαδή επειδή.7<.733, από τη σχέση (4.4) προκύπτει ότι P()=P min (, δηλαδή P()= ΜW. Στη συνέχεια, από τη σχέση (4.7) υπολογίζεται το κόστος καυσίμου. Για παράδειγμα για την ώρα = είναι P()=P min (, οπότε το κόστος καυσίμου υπολογίζεται με τη βοήθεια του πρώτου κλάδου της σχέσης (4.7): FC() = nl ( + inc (. P() = FC() = 5.7 /h. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην ενότητα 4., για τον υπολογισμό του κέρδους τα κόστη έναρξης και κράτησης υπολογίζονται τελευταία (όταν σχεδιάζεται το διάγραμμα καταστάσεων), δηλαδή στη φάση αυτή γίνεται η θεώρηση ότι το συνολικό κόστος είναι ίσο με το κόστος καυσίμου, οπότε, για παράδειγμα, για την ώρα =, είναι: Cos() = 5.7 /h. β) το συνολικό κέρδος, F( της μονάδας παραγωγής i από τη χρονική στιγμή μέχρι τη χρονική στιγμή. Κάθε διαδρομή συνδέει μία κατάσταση της προηγούμενης ώρας με μία κατάσταση της επόμενης ώρας. Κάθε διαδρομή συμβολίζεται με ένα βέλος και πάνω σε κάθε βέλος υπάρχει ένας αριθμός, ο οποίος αναπαριστά το συνολικό κέρδος από τη χρονική στιγμή μέχρι τη χρονική στιγμή για τη μετάβαση από την προηγούμενη στην επόμενη κατάσταση. Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το συνολικό κέρδος για τη μετάβαση από την κατάσταση I()= της ώρας =, στην κατάσταση I()= της ώρας =. Το κέρδος την ώρα είναι F()=, επειδή η μονάδα παραγωγής είναι κρατημένη. Το κέρδος την ώρα είναι F()=- 45.7, όπως φαίνεται από τον Πίνακα 4. Επειδή την ώρα η μονάδα παραγωγής εκκινεί, θα πρέπει στον υπολογισμό του κέρδους να ληφθεί υπόψη το κόστος εκκίνησης. Έτσι, το συνολικό κέρδος για τη μετάβαση από την κατάσταση της ώρας, στην κατάσταση της ώρας είναι: F( F( ) F( ) SU F ( 95.7.

10 36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Στο Σχήμα 4, κάποιες διαδρομές έχουν διαγραφεί και αυτό φαίνεται με ένα σύμβολο X πάνω στη διαδρομή. Αυτό οφείλεται στην εφαρμογή της αρχής του βέλτιστου των Bellman και Dreyfus. Για παράδειγμα, η διαδρομή από την κατάσταση της ώρας στην κατάσταση της ώρας έχει διαγραφεί για τον λόγο ότι στην κατάσταση της ώρας μπορούμε να φτάσουμε μέσα από δύο διαδρομές: α) από την κατάσταση της ώρας με συνολικό κέρδος , και β) από την κατάσταση της ώρας με συνολικό κέρδος Επειδή η δεύτερη διαδρομή έχει μικρότερο κέρδος από την πρώτη (-959.5<-58.98), συνεπάγεται ότι η δεύτερη διαδρομή διαγράφεται. Από το Σχήμα 4 φαίνεται ότι την ώρα 6 το μέγιστο κέρδος είναι: α) 3774., εφόσον η μονάδα παραγωγής είναι στην κατάσταση, ή β) , εφόσον η μονάδα παραγωγής είναι στην κατάσταση (κρατημένη). Επειδή η δεύτερη περίπτωση έχει μεγαλύτερο κέρδος από την πρώτη, προκύπτει ότι την ώρα 6 η μονάδα παραγωγής θα πρέπει να είναι κρατημένη. Στη συνέχεια, ξεκινώντας από την κατάσταση της τελευταίας ώρας (ώρας 6) και γυρνώντας προς την αρχή, μία ώρα κάθε φορά, μπορεί να βρεθεί η βέλτιστη διαδρομή, η οποία συμβολίζεται με την έντονη διαδρομή στο Σχήμα 4. Η βέλτιστη διαδρομή καθορίζει τη βέλτιστη λύση του προβλήματος της ένταξης της μονάδας παραγωγής στη διάρκεια των 6 ωρών. Τα χαρακτηριστικά της βέλτιστης λύσης φαίνονται στον Πίνακα 5. Πίνακας 5: Βέλτιστη λύση για το πρόβλημα της μίας μονάδας παραγωγής. Table 5: Opimal soluion for he one uni problem. Ώρα, Ι( P( [MW] F( [ /MWh] Συνολικό κέρδος ( ) = = X = = X X = X X X X +-= X X X X I( F( Σχήμα 4: Δυναμικός προγραμματισμός για την ένταξη μίας μονάδας παραγωγής. Figure 4: Dynamic programming for he uni commimen of a singe uni.

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Ένταξη είκοσι μονάδων παραγωγής Στον Πίνακα 6 φαίνονται τα δεδομένα των μονάδων παραγωγής μίας επιχείρησης παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Στον Πίνακα 6 η στήλη X δίνει τον αρχικό χρόνο λειτουργίας (σε ώρες) της κάθε μονάδας παραγωγής: Αν X (>, τότε η μονάδα παραγωγής i λειτουργεί για X ( ώρες, πριν από την έναρξη της περιόδου προγραμματισμού. Αν X (<, τότε η μονάδα παραγωγής i είναι κρατημένη για διάστημα -X ( ωρών, πριν από την έναρξη της περιόδου προγραμματισμού. Στο Σχήμα 5 φαίνονται οι τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας για χρονική περίοδο 4 ωρών. Ζητούμενο είναι η βέλτιστη ένταξη των μονάδων παραγωγής με στόχο τη μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους στην περίοδο των 4 ωρών. Επειδή οι μονάδες παραγωγής έχουν περιορισμούς αναρρίχησης κατά την εκκίνηση και μείωσης εξόδου κατά την κράτηση, θα εφαρμοστεί η μοντελοποίηση της ενότητας 3... Με εφαρμογή των σχέσεων της ενότητας 3.. προκύπτουν τα αποτελέσματα του Πίνακα 7, όπου δίνονται οι τιμές των ακόλουθων παραμέτρων: Ο μέγιστος απαιτούμενος αριθμός ωρών, Y (, για τη μονάδα παραγωγής i προκειμένου να μειώσει την έξοδό της από P ( σε MW. Το όριο αύξησης της εξόδου της μονάδας παραγωγής i κατά την ένταξη R i, limi X (, σαν συνάρτηση της κατάστασης X(. Το όριο μείωσης της εξόδου της μονάδας παραγωγής Y ( ) i κατά την κράτηση R i, lim i, σαν συνάρτηση της κατάστασης Υ(. Για παράδειγμα, από τον Πίνακα 7 φαίνεται ότι για να εκκινήσει η μονάδα παραγωγής 7 την πρώτη ώρα η παραγωγή της είναι το πολύ MW, τη δεύτερη ώρα 4 MW και την τρίτη ώρα μπορεί να φθάσει τη μέγιστη ισχύ της, δηλαδή τα 3 MW. Επίσης, από τον Πίνακα 7 φαίνεται ότι όταν η μονάδα παραγωγής 7 βρίσκεται στη μέγιστη ισχύ της και πρόκειται να σταματήσει, αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: την επόμενη ώρα μπορεί να μειώσει την παραγωγή της έως τα 5 MW και τη μεθεπόμενη ώρα μπορεί να μηδενίσει την παραγωγή της. Πίνακας 6: Δεδομένα μονάδων παραγωγής μίας επιχείρησης παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Table 6: Daa for a generaion company wih producion unis. P min ( P ( A( B( C( T ( T ( X ( D( E( CT( R ( R ( Shu-, i [MW] [MW] (/MW h) (/MWh) (/h) (h) (h) (h) (/h) (/h) (h) (MW/h) (MW/h) cos () U8a U8b U8c U8d U3a U3b U3c U4a U4b U4c U5a U5b U5c U3a U3b U95a U95b U35a U4a U4b

12 38 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Y ( ) Πίνακας 7: Όρια αναρρίχησης κατά την εκκίνηση, R i, limi X (, και μείωσης εξόδου κατά την κράτηση, Table 7: Ramp- limi, R X ( ), and ramp- limi,, i i, limi R i, lim i. Y ( ) R i, lim i. limi X ( R lim iy ( R Y ( X(=5 X(=4 X(=3 X(= X(= X(= Y(=5 Y(=4 Y(=3 Y(= Y(= Y(= U8a U8b U8c U8d U3a U3b U3c U4a U4b U4c U5a U5b U5c U3a U3b U95a U95b U35a U4a U4b Πίνακας 8: Πλάνο εκκίνησης/κράτησης των μονάδων παραγωγής. Table 8: unis ON/OFF schedule. / (/MWh) Σχήμα 5: Ωριαίες τιμές ηλεκτρικής ενέργειας. Figure 5: Hourly marke prices for energy. () Σχήμα 6: Συνολικό κέρδος ανά ώρα για τις μονάδες παραγωγής. Figure 6: Toal profi per hour for he unis.

13 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 39 Πίνακας 9: Πλάνο παραγωγής (MW) των μονάδων παραγωγής. Table 9: Producion schedule (MW) for he unis. Uni (MW) 4 U8a U8b U8c U8d U3a U3b U3c U4a U4b U4c U5a U5b U5c U3a U3b U95a U95b U35a U4a U4b () U8a U8b U8c U8d U3a U3b U3c U4a U4b U4c U5a U5b U5c U3a U3b U95a U95b U35a U4a U4b Σχήμα 7: Συνολικό κέρδος για κάθε μία από τις μονάδες παραγωγής. Figure 7: Toal profi for each one of he unis. Ο Πίνακας 8 παρουσιάζει το πλάνο εκκίνησης/κράτησης των μονάδων παραγωγής με τη βοήθεια της προτεινόμενης μεθοδολογίας του δυναμικού προγραμματισμού και ο Πίνακας 9 δείχνει το αντίστοιχο πλάνο παραγωγής. Από τον Πίνακα 8 προκύπτει ότι και οι μονάδες παραγωγής είναι σε λειτουργία από την ώρα 6 έως την ώρα 8, όπου η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας είναι πάνω από 3 /MWh, όπως φαίνεται από το Σχήμα 5. Από το Σχήμα 6 προκύπτει ότι το μέγιστο κέρδος, δηλαδή 776, επιτυγχάνεται την ώρα, όπου η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας έχει τη μέγιστη τιμή της (5. /MWh), ενώ το κέρδος είναι μηδενικό κατά τη διάρκεια των ωρών,, 3, και 4, καθώς όλες οι μονάδες παραγωγής είναι σε κράτηση τις ώρες αυτές. Από το Σχήμα 7 φαίνεται ότι ανάμεσα στις μονάδες παραγωγής, η μονάδα παραγωγής U4a δίνει το μέγιστο κέρδος, δηλαδή 5834, το οποίο αντιστοιχεί στο 6.3% του συνολικού κέρδους ( 974) και των μονάδων παραγωγής στη διάρκεια των 4 ωρών προγραμματισμού. Από το Σχήμα 7 και από τον Πίνακα 6 προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: Για δοσμένες μονάδες παραγωγής και συνθήκες της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας οι μονάδες παραγωγής με τα χαμηλότερα οριακά κόστη (σε σχέση με τις τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας), με χαμηλά κόστη εκκίνησης και με υψηλή ικανότητα παραγωγής δίνουν τα μεγαλύτερα συνολικά κέρδη. Για παράδειγμα, οι μονάδες παραγωγής U3a και U3b έχουν ίδια ονομαστική ισχύ και ίδιους περιορισμούς, όμως η μονάδα παραγωγής U3a έχει χαμηλότερο κόστος καυσίμου από τη μονάδα παραγωγής U3b, οπότε η μονάδα παραγωγής U3a παράγει κέρδος 459, ενώ η μονάδα παραγωγής U3b παράγει κέρδος 47 στις 4 ώρες προγραμματισμού. Επίσης, η μονάδα παραγωγής U95a έχει ονομαστική ισχύ 95 MW και δίνει κέρδος 994, ενώ η μονάδα παραγωγής U35a έχει ονομαστική ισχύ 35 MW και δίνει κέρδος στις 4 ώρες προγραμματισμού. Όσο αυξάνει το πλήθος των περιορισμών λειτουργίας των μονάδων παραγωγής, τόσο μειώνονται τα κέρδη τους. Για παράδειγμα, η μονάδα παραγωγής U8a δεν έχει περιορισμούς μεταβολής της εξόδου κατά την έναρξη και κατά το κράτημα, ούτε περιορισμούς για τον ελάχιστο χρόνο ένταξης και κράτησης. Χωρίς τους περιορισμούς αυτούς το συνολικό κέρδος της μονάδας παραγωγής U8a στις 4 ώρες προγραμματισμού είναι 5465, ενώ, αν υπήρχαν οι περιορισμοί αυτοί, το κέρδος της θα ήταν μικρότερο. Η ένταξη μίας μονάδας παραγωγής μπορεί να έχει ζημία κατά την ώρα ένταξης, που, όμως, μπορεί να αντισταθμιστεί γρήγορα τις επόμενες ώρες. Για παράδειγμα, η μονάδα παραγωγής U3a εντάσσεται την τέταρτη ώρα, όπου έχει ζημία 65, ενώ η ζημία αυτή αντισταθμίζεται την τέταρτη ώρα, όπου παράγει κέρδος 7.

14 4 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στο άρθρο αυτό διατυπώθηκε το πρόβλημα της ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος για εταιρείες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας που λειτουργούν σε ανταγωνιστικό περιβάλλον. Προτάθηκε μία μεθοδολογία δυναμικού προγραμματισμού για την επίλυση του προβλήματος ένταξης μονάδων παραγωγής με βάση το κέρδος. Η προτεινόμενη μέθοδος δυναμικού προγραμματισμού είναι πολύ γρήγορη υπολογιστικά, επειδή μεγιστοποιεί το κέρδος κάθε μονάδας παραγωγής ξεχωριστά στη διάρκεια του χρονικού ορίζοντα προγραμματισμού. Παρουσιάστηκαν εφαρμογές της μεθόδου σε ηλεκτρική επιχείρηση με μία, καθώς και με είκοσι μονάδες παραγωγής. Τα κυριότερα συμπεράσματα από τις εφαρμογές αυτές είναι: α) οι μονάδες παράγουν το μέγιστο κέρδος τις ώρες όπου η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας είναι υψηλή και οι μονάδες παράγουν τη μέγιστη ισχύ τους, β) οι μονάδες παραγωγής είναι κρατημένες κατά τις ώρες όπου η τιμή της ηλεκτρικής ενέργειας είναι χαμηλή, γ) όσο αυξάνει το πλήθος των περιορισμών λειτουργίας των μονάδων παραγωγής, τόσο μειώνονται τα κέρδη τους, δ) η ένταξη μίας μονάδας παραγωγής μπορεί να έχει ζημία κατά την ώρα ένταξης, που, όμως, μπορεί να αντισταθμιστεί γρήγορα τις επόμενες ώρες και ε) για δοσμένες μονάδες παραγωγής και συνθήκες της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας οι μονάδες παραγωγής με τα χαμηλότερα οριακά κόστη (σε σχέση με τις τιμές της ηλεκτρικής ενέργειας), με χαμηλά κόστη εκκίνησης και με υψηλή ικανότητα παραγωγής δίνουν τα μεγαλύτερα συνολικά κέρδη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Π. Σ. Γεωργιλάκης, Εφαρμογή γενετικών αλγορίθμων στην παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας, Τεχνικά Χρονικά, ΙΙΙ, τόμος 4, τεύχος -, σελ. 4-5, 4.. A. J. Wood and B. F. Wollenberg, Power Generaion, Operaion and Conrol, nd ed., Wiley, New York, G. B. Sheblι and G. N. Fahd, Uni commimen lieraure synopsis, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 9, no., pp. 8-35, Feb W. L. Snyder, H. D. Powell Jr., and J. C. Rayburn, Dynamic programming approach o uni commimen, IEEE Transacions on Power Sysems, vol., pp , May F. Zhuang and F. D. Galiana, Toward a more rigorous and pracical uni commimen by Lagrangian relaxaion, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 3, pp , May A. I. Cohen and M. Yoshimura, A branch-and-bound algorihm for uni commimen, IEEE Transacions on Power Apparaus and Sysems, vol., no., pp , Feb L. F. B. Bapisella and J. C. Geromel, A decomposiion approach o problem of uni commimen schedule for hydrohermal sysems, Procedings of IEE, Par C, vol. 7, no. 6, p. 5, Nov F. Zhuang and F. D. Galiana, Uni commimen by simulaed annealing, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 5, no., pp. 3-38, Feb C. Wang and S. M. Shahidehpour, A decomposiion approach o non-linear muli-area generaion scheduling wih ie-line consrains using exper sysems, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 7, pp , Nov H. Sasak M. Waanabe, and R. Yokoyama, A soluion mehod of uni commimen by arificial neural neworks, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 7, pp , Aug S. A. Kazarlis, A. G. Bakirzis, and V. Peridis, A geneic algorihm soluion o he uni commimen problem, IEEE Transacions on Power Sysems, vol., no., pp. 83-9, Feb M. Shahidehpour, H. Yamin, and Z. L Marke Operaions in Elecric Power Sysems, Wiley, New York,. 3. B. F. Hobbs, M. H. Rohkopf, R. P. O Neill, and Hung-po Chao, The nex generaion of elecric power uni commimen models, Kluwer, Norwell, MA,. 4. E. Allen and M. Ilic, Price-Based Commimen Decisions in he Elecriciy Marke, Springer, New York, S. Takri B. Krasenbrink, and L. Wu, Incorporaing fuel consrains and elecriciy spo prices ino he sochasic uni commimen problem, Operaional Research, vol. 48, pp. 68-8, Mar.-Apr.. 6. J. M. Arroyo and A. J. Conejo, Opimal response of a hermal uni o an elecriciy spo marke, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 5, no. 3, pp. 98-4, Aug.. 7. J. M. Arroyo and A. J. Conejo, Opimal response of a power generaor o energy, AGC, and reserve pool-based markes, IEEE Transacions on Power Sysems, vol. 7, no., pp. 44-4, May. 8. T. Li and M. Shahidehpour, Price-based uni commimen: a case of Lagrangian relaxaion versus mixed ineger programming, IEEE Transacions on Power Sysems, vol., no. 4, pp. 5-5, Nov R. E. Bellman and S. E. Dreyfus, Applied Dynamic Programming, Princeon Universiy Press, Princeon, NJ, 96.. A. I. Cohen and V. R. Sherka, Opimizaion-based mehods for operaions scheduling, IEEE Transacions on Power Sysems, vol., no., pp , Dec A. I. Cohen, Modeling uni ramp limiaions in uni commimen, Proceedings of he h Power Sysems Compuaions Conference, Graz, Ausria, Aug. 9-4, 99, pp Παύλος Σ. Γεωργιλάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης, Πολυτεχνείο Κρήτης, ΤΚ 73, Χανιά.

15 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 4 Exended summary Mehodology for Profi Maximizaion of Elecrical Energy Producion in Compeiive Marke PAVLOS S. GEORGILAKIS Assisan Professor, Technical Universiy of Cree Absrac This paper proposes a dynamic programming soluion o he pricebased uni commimen problem. All he usual uni consrains are considered. Limis on a generaing uni s ramping capabiliy as well as he minimum ime and minimum ime consrains are included in he problem formulaion. Tes resuls for one uni and weny unis are presened and conclusions are drawn.. INTRODUCTION In he regulaed or sae monopoly elecriciy markes, uni commimen (UC) refers o opimizing generaion resources over a daily o weekly ime horizon o saisfy load demand wih he lowes operaional cos while saisfying prevailing consrains. Since he relaed objecive would be o minimize he operaional cos, UC is commonly referred o as cos-based uni commimen (CBUC). The opimal soluion o he CBUC problem can be obained by complee enumeraion, which is prohibiive in pracice owing o is excessive compuaional resource requiremens. The need for pracical, cos-effecive UC soluions led o he developmen of various UC algorihms ha produce subopimal, bu efficien scheduling for real sized power sysems comprising hundreds of generaors. CBUC mehods include prioriy lis mehods, dynamic programming, Lagrangian relaxaion (LR), branch-and-bound, and Bender s decomposiion. Recenly, simulaed annealing, exper sysems, arificial neural neworks, and geneic algorihms have also been used for he soluion of he CBUC problem. On he oher hand, in he deregulaed elecriciy markes, he UC used by each generaing company (GENCO) refers o opimizing generaion resources in order o imize he GENCO s profi. In his new paradigm, he signal ha would enforce a uni s on/off saus would be he price, including he fuel purchase price and he energy sale price. This UC has a differen objecive han ha of CBUC and is referred o as price-based uni commimen (PBUC). The PBUC is a largescale, nonconvex, nonlinear, mixed-ineger opimizaion Submied: July 8, 6 Acceped: Mar. 8, 7 problem. Because elecriciy markes are changing rapidly, here is grea ineres in how new UC models are solved and wha purposes hey serve. Given marke prices, LR was employed o solve he PBUC problem. In a bilaeral marke, he PBUC was sudied by considering he uncerainy of marke price. In a pool marke, he PBUC problem was solved using LR, sochasic dynamic programming, and Bender s decomposiion. The PBUC for a price-aker hermal uni was modeled as a mixed ineger programming (MIP) problem. The PBUC for a GENCO wih hermal, combined-cycle, cascaded-hydro, and pumped-sorage unis was modeled as an MIP problem. In his paper, a dynamic programming (DP) mehodology is proposed for he soluion of he PBUC problem in a decenralized elecriciy marke. All he usual uni consrains are considered. Limis on a generaing uni s ramping capabiliy as well as he minimum ime and minimum ime consrains are included in he problem formulaion. The proposed DP mehodology is compuaionally efficien, since i is reduced o a one-uni dynamic programming algorihm, i.e. each uni is considered separaely. Tes resuls for one uni and for weny unis are presened and conclusions are drawn.. UNIT COMMITMENT IN A POOL-BASED AND DECENTRALIZED MARKET Figure shows how he Lagrangian relaxaion mehod is used o solve he UC problem in a pool-based marke. In his mehod, he sysem operaor sends a se of Lagrange mulipliers o each generaing uni. Each uni hen ries o minimize is oal producion cos based on he fixed values of he Lagrange mulipliers. In a decenralized elecriciy marke, he aim is no o minimize he oal producion cos of a paricular generaing uiliy company, bu o imize is oal profi. This can be achieved by considering each generaing uni separaely and

16 4 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No imizing is profi independenly of he oher unis. Raher han using he Lagrange mulipliers as shadow prices, he bes esimae of he prices over he scheduling period is used as an inpu o he opimizaion of he schedule of his single uni. 3. PROBLEM FORMULATION uni is deermined by equaion (4.4), if he uni ramp raes are non-binding, i.e. in cases where he ramp- and ramp raes are very large. Oherwise, he generaion mus comply sricly wih he ramping consrains, regardless of he profi or loss level, o avoid shorening he life of he urbine due o excessive ramp raes. The price-based uni commimen problem in a decenralized elecriciy marke can be saed as follows: for a GENCO wih N generaing unis, and given a cerain marke price profile of energy, i is required o deermine he sar-/shu- imes and he power ou of all he generaing unis a each ime inerval over a specified scheduling period T, so ha he generaor s oal profi is imized, subjec o he uni consrains. The objecive of he PBUC problem for he GENCO operaing in he compeiive environmen is o imize, during he scheduling horizon, he oal profi for all is generaing unis, equaion (3.6), subjec o he consrains (3.7) o (3.3). These consrains are he uni generaion limis, minimum ime, minimum ime, ramp- and ramp- consrains. 4. PROPOSED METHODOLOGY The PBUC problem is solved in a boom- manner. In paricular, i is proposed ha dynamic programming can solve he single uni PBUC problem. This means ha he opimal schedule of each uni for a given elecriciy price profile is calculaed firs using DP. Nex, he individual imum oal profis are summed over all he unis in he GENCO o give is imum oal profi for a given price profile. 4. Piecewise linear cos funcion The second-order polynomial producion cos funcion of equaion (3.4) can be alernaively represened by he piecewise linear cos funcion of equaion (4.7). 4. Single uni PBUC wih dynamic programming For he single uni PBUC problem, he objecive is o imize he oal profis for a uni i over he scheduling period. The aim is o find he imum of he funcion defined by equaion (4.9). This is formulaed as a single uni dynamic programming problem. The opimal ou of each 4.. Modeling he effecs of T ( and T ( The effecs of T ( and T ( are modeled using he equaion (4.5). 4.. Modeling he effecs of R ( and R ( The effecs of R ( and R ( are modeled using he equaions (4.6) o (4.). 5. CASE STUDIES 5. PBUC for one uni This secion shows how a single uni DP is used o imize he profi for a one-uni GENCO over a rading period of 6 hours. Table gives he daa of he uni and Table presens he forecased elecriciy prices for he 6 hours. Figure 4 illusraes how o apply dynamic programming for he soluion of he PBUC problem. Table 5 presens he opimal soluion for he one-uni problem. 5. PBUC for weny unis This secion shows how DP is used o imize he profi for a weny-uni GENCO over a rading period of 4 hours. Table 6 presens he daa for he -uni problem se and Figure 5 shows he 4-hour price profile for energy. Table 8 presens he -unis ON/OFF schedule obained by he dynamic programming and Table 9 shows he corresponding generaion schedule. I is concluded from Table 8 ha all unis are ON from hour 6 o hour 8, where he marke price for energy is over 3 /MWh, as Figure 5 shows. I is concluded from Figure 6 ha he imum profi, i.e. 776, is obained during hour, where he energy price has is imum value (5. /MWh), while he profi is zero during hours,, 3, and 4, since all unis are OFF during hese hours. From Figure 7 i can be seen ha, among he unis, he uni U4a produces he highes profi, i.e. 5834,

17 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, τεύχ. Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 43 which corresponds o 6.3% of he oal profi ( 974) of all he unis during he 4-h scheduling period. From Figure 7 and Table 6, he following conclusions can be drawn: In general, he higher he number of uni consrains imposed, he smaller he oal profis. Saring a uni can someimes give rise o negaive profis due o is ime-dependen sar- cos. In many cases, however, he gains in subsequen ime inervals are ofen large enough o offse his loss so ha he uni can sill make a ne oal profi. Given a porfolio of unis subjec o he same marke condiions, hose wih low incremenal coss (relaive o he prices), low no-load coss, and/or high generaing capaciies will always yield higher oal profis. 6. CONCLUSIONS This paper proposes a dynamic programming soluion o he price-based uni commimen problem. The proposed DP is compuaionally efficien, since i imizes he profi of each uni separaely during he scheduling horizon. Case sudies for one uni and for unis are presened. The main conclusions are ha he unis produce heir imum profi during hours where he elecriciy prices are high. On he oher hand, unis are OFF during hours of low prices. Pavlos S. Georgilakis, Assisan Professor, Deparmen of Producion Engineering and Managemen, Technical Universiy of Cree, 73 Chania

18