ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. 7.1 Νόµος ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής του Faraday

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7. Νόµος ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής του Faraday Ο νόµος της επαγωγής του Faraday καθορίζει ότι οποιαδήποτε µεταβολή στη µαγνητική ροή που εµπλέκει ένα κλειστό ηλεκτρικό κύκλωµα, συνοδεύεται από την ανάπτυξη µιας ηλεκτρεγερτικής δύναµης (ΗΕ ) στο κύκλωµα. Η επαγώµενη ΗΕ E είναι ίση µε την αρνητική χρονική µεταβολή της ροής Φ που εµπλέκει το κύκλωµα dφ E = (7.) dt Στην περίπτωση που η µαγνητική ροή εµπλέκει περισσότερες σπείρες η ροή Φ, αντικαθίσταται, στην (7.), από την αντίστοιχη πεπλεγµένη ροή Ψ. Το αρνητικό σηµείο στη µαθηµατική διατύπωση (7.) του νόµου του Faraday προκύπτει από το νόµο του Lentz σύµφωνα µε τον οποίο η φορά του επαγώµενου στο κύκλωµα ρεύµατος είναι τέτοια, ώστε να αντιτίθεται στην αιτία που το προκάλεσε, δηλαδή στη µεταβολή της µαγνητικής επαγωγής B. 379

2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ l l dl υdt Σχήµα 7- Για µια επιφάνεια S που έχει για περίγραµµα (σχήµα 7-) τον κλειστό δρόµο l, η (7.) µπορεί, επίσης, να γραφεί και µε τη µορφή d E = E dl= d l dt B S (7.) S Η µεταβολή της ροής Φ µπορεί να οφείλεται είτε στη χρονική µεταβολή της µαγνητικής επαγωγής B, είτε στην κίνηση του κυκλώµατος l, είτε και στους δύο αυτούς λόγους. Ας θεωρήσουµε στη συνέχεια ότι το κύκλωµα κινείται σ ένα χρονικά µεταβαλλόµενο πεδίο. Στην περίπτωση αυτή, η µεταβολή dφ της ροής δια του κυκλώµατος, λόγω της χρονικής µεταβολής db της µαγνητικής επαγωγής στο απειροστό χρονικό διάστηµα dt, είναι dφ = d B d S (7.3) S Ας υποθέσουµε, επίσης, ότι το κύκλωµα l µετακινείται στη θέση l στο διάστηµα dt, και ότι η ταχύτητα του στοιχείου dl είναι υ. Η ταχύτητα υ δεν είναι ανάγκη να είναι σταθερή, αλλά µπορεί να µεταβάλλεται κατά µήκος της l. Η ροή που σαρώνεται από την κίνηση του στοιχείου dl στο χρονικό διάστηµα dt (διαγραµµισµένο τµήµα στο σχήµα 7-) είναι d Φ = ( υ dt dl) B (7.4) ενώ η ροή dφ, που αντιστοιχεί στη µετατόπιση του κυκλώµατος από τη θέση l στη θέση l, προκύπτει από την ολοκλήρωση της (7.4) dφ = ( υdt dl) B = dt ( B υ) dl (7.5) l l 38

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Β P l υ P Σχήµα 7- Έτσι, η συνολική µεταβολή dφ της ροής δια του κυκλώµατος l στο απειροστό διάστηµα dt είναι Φ= d Φ d dφ = db ds dt ( B υ ) dl (7.6) Από τις (7.) και (7.6) προκύπτει S l ή l d = B E l ds ( ) d S t B υ l l, (7.8) d = B E B l ds, (7.9) l S t ( υ ) όπου E είναι η ένταση του πεδίου που αντιλαµβάνεται ένας κινούµενος µε το κύκλωµα παρατηρητής, η οποία είναι ίση µε την ένταση E που αντιλαµβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής αυξηµένη κατά E = υ B, λόγω του νόµου του Lorentz, δηλαδή E = E+ υ B (7.) Η εξίσωση (7.9), µε εφαρµογή του θεωρήµατος του Stokes οδηγεί στην B E ( υ B) = (7.) t Από τις (7.) και (7.) προκύπτει η διαφορική έκφραση (δεύτερη εξίσωση του Maxwell) του νόµου του Faraday B E =, (7.) t 38

4 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ που είναι ανεξάρτητη από την κίνηση µέσα στο πεδίο. Στην περίπτωση ενός αγωγού PP, που κινείται µε ταχύτητα υ σ ένα µαγνητικό πεδίο B, η εξ επαγωγής τάση V που αναπτύσσεται στα άκρα του αγωγού είναι P P V = E dl= ( υ B) dl (7.3) P P Αν υποθέσουµε ότι ένα οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο B είναι κάθετο στην ταχύτητα υ και ότι η κίνηση του αγωγού PP γίνεται κάθετα προς τη διεύθυνση του, η επαγώµενη τάση, σύµφωνα µε την (7.3), δίνεται από την V = υbl (7.4) 7. Αυτεπαγωγή. Αλληλεπαγωγή. Εσωτερική αυτεπαγωγή Έστω ένας επαγωγέας που διαρρέεται από ρεύµα. Η αυτεπαγωγή L του επαγωγέα ορίζεται ως ο λόγος της ολικής πεπλεγµένης ροής Ψ προς το ρεύµα, δηλαδή Ψ L = (7.5) Η αυτεπαγωγή (ονοµάζεται, επίσης, συντελεστής αυτεπαγωγής) είναι ανεξάρτητη των πεδιακών µεγεθών, εξαρτάται δε µόνο από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του συστήµατος και τη µαγνητική διαπερατότητα του µέσου στο οποίο εκτείνεται το πεδίο. Στην περίπτωση απλού βρόχου, έχουµε Ψ Φ L = =, (7.6) ενώ στην περίπτωση ενός πηνίου µε n ελίγµατα Ψ nφ L = = (7.7) Ας υποθέσουµε, στη συνέχεια, ότι έχουµε δύο κυκλώµατα l και l, που διαρρέονται από ρεύµατα και, αντίστοιχα. Αν Ψ είναι η πεπλεγµένη µε το κύκλωµα ροή που οφείλεται στο ρεύµα του κυκλώµατος, ονοµάζουµε συντελεστή αλληλεπαγωγής (ή αµοιβαίας επαγωγής) των κυκλωµάτων και το λόγο M Ψ = (7.8) 38

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Κατά τον ίδιο τρόπο έχουµε M Ψ = (7.9) Με τη βοήθεια των σχέσεων (6.37) και (6.38) αποδεικνύεται ότι οι συντελεστές M και M έχουν την ίδια τιµή που δίνεται από τον ακόλουθο τύπο του Neumann M = M = M = µ dl dl 4π, (7.) l l r όπου r είναι η απόσταση του στοιχείου dl του κυκλώµατος από το στοιχείο dl του κυκλώµατος. O συντελεστής αλληλεπαγωγής (που συχνά συµβολίζεται και ως L = L ), όπως και ο συντελεστής αυτεπαγωγής L, εξαρτάται µόνον από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και τη µαγνητική διαπερατότητα του συστήµατος. l l dl r dl Σχήµα 7-3 Στο σύστηµα των δύο κυκλωµάτων και του σχήµατος 7-3, οι αλληλένδετες µε τα κυκλώµατα και ροές Ψ και Ψ αντίστοιχα, είναι Ψ = Ψ + Ψ = L + M = L + M, (7.) και Ψ = Ψ + Ψ = L + M = L + M (7.) Στη γενική περίπτωση n κυκλωµάτων l, l,..., l n, που διαρρέονται από τα αντίστοιχα ρεύµατα,,..., n, η ροή Ψ i η αλληλένδετη µε το i -στο κύκλωµα δίνεται από τη σχέση 383

6 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Ψ = L + M, ( j i) (7.3) i i i ji j j = όπου στην άθροιση παραλείπεται ο i -στός όρος. n Στην περίπτωση του µαγνητικού πεδίου ενός αγωγού που διαρρέεται από ρεύµα, αν Ψ int και Ψ ext είναι η εντός και εκτός αγωγού πεπλεγµένη ροή ( Ψ = Ψ int + Ψ ext ), αντίστοιχα, ονοµάζουµε εσωτερικό συντελεστή αυτεπαγωγής L int το λόγο Ψ int L int = (7.4) Αντίστοιχα αν και ελάχιστα χρησιµοποιούµενος εισάγεται ο εξωτερικός συντελεστής αυτεπαγωγής Ψ ext L ext = (7.5) Από τις σχέσεις (7.5), (7.4) και (7.5) είναι προφανές ότι ισχύει η L = L + L (7.6) int Τέλος, και όπως θα δούµε στη συνέχεια, αν W int και W ext είναι τα τµήµατα της ολικής ενέργειας W του µαγνητικού πεδίου που ενταµιεύονται εντός και εκτός του αγωγού, αντίστοιχα, από τις σχέσεις ext και W = L (7.7) W int = Lint, (7.8) προκύπτουν οι εναλλακτικές εκφράσεις για τους συντελεστές L και L int και L W L = (7.9) int W = int (7.3) 384

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενέργεια µαγνητικού πεδίου 7.3. Ενέργεια επαγωγέα Έστω το µαγνητικό πεδίο του κυκλώµατος του σχήµατος 7-4. Η απειροστή µεταβολή di του ρεύµατος i στο απειροστό χρονικό διάστηµα dt, έχει ως αποτέλεσµα την κατά dψ απειροστή µεταβολή της πεπλεγµένης ροής Ψ. Η αντίστοιχη ενέργεια, επειδή σύµφωνα µε το νόµο του Faraday, έχουµε την επαγωγή της τάσης δίνεται από τη σχέση δηλαδή την dψ e =, (7.3) dt dw dw = eidt, (7.3) = idψ (7.33) i Σχήµα 7-4 Από την (7.33) και τη σχέση ορισµού (7.5), επειδή η αυτεπαγωγή L είναι σταθερή ανεξάρτητη του ρεύµατος προκύπτει ότι dw = Lidi (7.34) Αν και Ψ είναι η τελική τιµή του ρεύµατος και της πεπλεγµένης ροής, αντίστοιχα, από την ολοκλήρωση της (7.34) έχουµε την 385

8 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ = = = Ψ, (7.35) W Lidi L που δίνει την ενέργεια που αποθηκεύεται στο µαγνητικό πεδίο του επαγωγέα Ενέργεια συστήµατος κυκλωµάτων Με ανάλογες σκέψεις, µπορούµε να υπολογίσουµε και την ενέργεια ενός συστήµατος δύο κυκλωµάτων. Πράγµατι, αν λάβουµε υπόψη την (7.35) και τις (7.), (7.), έχουµε W = iψ i = ( Ψ + Ψ ) = i= = ( L + M) + ( L + M), ή W = L + M+ L, (7.36) όπου ο όρος W = M, (7.37) που µπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή και µηδέν, αναφέρεται στο εκ της αλληλεπαγωγής των δύο κυκλωµάτων τµήµα της ενέργειας. i i Σχήµα 7-5 Στη γενική περίπτωση n κυκλωµάτων, αν στη θέση των συντελεστών αυτεπαγωγής και αλληλεπαγωγής L i και M ij χρησιµοποιηθούν οι συµβολισµοί η ενέργεια του συστήµατος δίνεται από τη σχέση L ii και L ij αντίστοιχα, 386

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 W n n = Lijij (7.38) i= j= Η ενέργεια στο χώρο του πεδίου i) Αµοιβαία ενέργεια δύο ρευµατικών διανοµών J και J Ας θεωρήσουµε δύο ρευµατικές διανοµές J ( r) και J ( r). Αν H, B και A είναι αντίστοιχα, η ένταση του µαγνητικού πεδίου, η µαγνητική επαγωγή και το διανυσµατικό µαγνητικό δυναµικό, που οφείλονται στη διανοµή J και H, B και A τα αντίστοιχα µεγέθη τα οφειλόµενα στη διανοµή J, η αµοιβαία ενέργεια W του συστήµατος δίνεται από τη σχέση µ J ( r) J ( r ) W = W = dv dv 4π V V r r (7.39) Αν λάβουµε υπόψη την (6.36), η (7.35) γράφεται W = J ( r) A ( r) dv = J ( r ) A ( r ) dv (7.4) V V (V ) (V ) J (r ) dv J (r ) r = r - r dv r r O Σχήµα

10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Η (7.4), µε τη βοήθεια της διαφορικής διατύπωσης του νόµου του Ampère, και µε παράλειψη των δεικτών και στους όγκους V και V, παίρνει τη µορφή W = ( H ) A dv = ( H ) A dv, (7.4) V V από την οποία προκύπτουν οι ακόλουθες εναλλακτικές εκφράσεις W = H BdV = H BdV = V V = µ dv = H H B BdV V V µ (7.4) ii) Ενέργεια ρευµατικής διανοµής Με βάση την προηγούµενη ανάλυση, προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις της ενέργειας W του µαγνητικού πεδίου που οφείλεται σε µια ρευµατική διανοµή J. Έτσι, αντίστοιχα προς τις (7.39), (7.4) και (7.4) έχουµε και W µ Jr ( ) Jr ( ) = dvdv, (7.43) π r r 8 V V V W = J A dv (7.44) W = ( ) dv = µ dv = B dv H B V H (7.45) V µ iii) Ενέργεια συστήµατος γραµµικών (συρµατόµορφων) αγωγών Αν στις σχέσεις των προηγούµενων παραγράφων η απειροστή ποσότητα V J dv αντικατασταθεί από την ποσότητα dl, όπου είναι το ρεύµα του συρµατόµορφου αγωγού, προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις για την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου συστήµατος γραµµικών αγωγών. Έτσι, στην περίπτωση δύο κυκλωµάτων l και l που διαρρέονται από τα ρεύµατα και, αντίστοιχα, σύµφωνα µε την (7.39) έχουµε W µ d d = l l (7.46) 4π l l r Η σχέση (7.37) εύκολα προκύπτει από την (7.46) όταν λάβουµε υπόψη την (7.), ι- σχύει δηλαδή η 388

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 W = L (7.47) Επίσης, από τη σχέση (7.4) προκύπτει ότι (7.48) W = A dl = A dl l l Από την (7.48), µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes και έχοντας υπόψη τις σχέσεις ορισµού (6.8), (7.8) και (7.9), έχουµε W = B ds = B ds = Ψ = Ψ (7.49) S S Έτσι, η αλληλεπαγωγή L, µε βάση τις (7.47), (7.48), (7.49), (7.4) και (7.4), πέραν από τις εκφράσεις (7.8), (7.9) και (7.), µπορεί, επίσης, να υπολογιστεί και από τις α- κόλουθες σχέσεις και L = A dl = A dl, (7.5) l l L = B ds = B ds, (7.5) S S L = ( ) dv ( ) dv H A = V H A V L = H B dv = H B dv, (7.5) V V = µ dv = dv H H B B, (7.53) V V µ όπου οι δείκτες και αναφέρονται στα µεγέθη των πεδίων των ρευµάτων και, α- ντίστοιχα. Ως προς την ολική ενέργεια του συστήµατος, αυτή δίνεται από τη σχέση (7.36) και στη γενική περίπτωση n κυκλωµάτων από την (7.38). 389

12 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7.4 υνάµεις µεταξύ κυκλωµάτων Η εξίσωση (6.44) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της δύναµης µεταξύ δύο ή περισσοτέρων ηλεκτρικών κυκλωµάτων. Έτσι, η δύναµη F που ασκείται στο δεύτερο κύκλωµα του σχήµατος 7-3 και που οφείλεται στο πρώτο, δίνεται από την ή µ d d = d = l l F l B r, (7.55) l 3 4π l l r µ d d = l l F (7.56) 4π l l r Η (7.56), αν λάβουµε υπόψη την (7.), γράφεται F = L (7.57) Η συνιστώσα F x της δύναµης F κατά την τυχούσα διεύθυνση x, σύµφωνα µε την (7.57), δίνεται από την που, λόγω της (7.47), γράφεται F x = L x, (7.58) F W x x = (7.59) Στη γενική περίπτωση n κυκλωµάτων που διαρρέονται από σταθερά ρεύµατα, η δύναµη F j που ασκείται στο j -στό κύκλωµα έχει συνιστώσα F jx, κατά τη διεύθυνση x, που δίνεται από την L n ij jx = ij, (7.6) i=, i j x ή W F x όπου W είναι η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του συστήµατος. m F m jx = (σταθερά ρεύµατα) (7.6) 39

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Στην περίπτωση συστήµατος ρευµάτων στο οποίο οι µαγνητικές ροές διατηρούνται σταθερές, η συνιστώσα F jx της δύναµης F j δίνεται από την F W x m jx = (σταθερές ροές) (7.6) Αν αντί για µετατόπιση έχουµε περιστροφή, οι αντίστοιχες προς τις (7.58), (7.6) και (7.6) εκφράσεις που αναφέρονται στη ροπή T και τη γωνία περιστροφής θ, είναι οι: T = L θ, (7.63) W T = m (σταθερά ρεύµατα) (7.64) θ W T = m (σταθερές ροές) (7.65) θ 39

14 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7.5 Παραδείγµατα 7. Η µαγνητική επαγωγή B ενός µαγνητικού πεδίου µε αξονική συµµετρία, σ ένα σύστη- µα κυλινδρικών συντεταγµένων ρϕ,,z δίνεται από τη σχέση B = B ρρ + B zz, όπου ρ, z τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα και B σταθερά. Ένας πολύ λεπτός αγώγιµος κυκλικός βρόχος που έχει ακτίνα a και αντίσταση R, τοποθετείται στο επίπεδο z = h, µε το κέντρο του στο σηµείο (,,h ) του άξονα z. Ζητούνται: (α) Να υπολογιστεί το ρεύµα i που αναπτύσσεται εξ επαγωγής στο βρόχο όταν µεταβάλλεται το h. (β) Η δύναµη του πεδίου F που ασκείται στο βρόχο όταν µεταβάλλεται το h. (γ) Αν ο βρόχος έχει αµελητέα µάζα και η εξωτερική δύναµη που προκαλεί την κίνηση του βρόχου είναι ίση και αντίθετη µε την πιο πάνω δύναµη του πεδίου, έτσι ώστε ο βρόχος να κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ προς τα αρνητικά z, να δειχτεί ότι η ισχύς της εξωτερικής δύναµης είναι ίση µε την ισχύ των απωλειών Joule στο βρόχο. (Η επίδραση του ρεύµατος του βρόχου στο εξωτερικό µαγνητικό πεδίο να θεωρηθεί αµελητέα). dl z φ O a dφ y x dl h O y x Σχήµα

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 (α) Η στοιχειώδης ροή dφ δια της επιφανείας ds = dsz του επιπέδου του βρόχου ( z = h ) είναι έκφραση dφ = B d S = Bρρ + Bz ds = BhdS z z () Η ολική ροή Φ δια του βρόχου, προκύπτει από την ολοκλήρωση της () και έχει την π () Φ = Bh ds= Bh a Η επαγώµενη στο βρόχο ΗΕ et (), σύµφωνα µε το νόµο του Faraday, είναι ίση µε την αρνητική χρονική µεταβολή της ροής Φ. Έτσι, από την () παίρνουµε dφ dh et () = = πab = πabυ() t, (3) dt dt όπου υ () t είναι η ταχύτητα µε την οποία κινείται ο βρόχος. Το ρεύµα it () του βρόχου, λόγω της (3) είναι et () πab dh πab it () = = = υ() t (4) R R dt R (β) Για τον υπολογισµό της δύναµης F του πεδίου, θεωρούµε το ρευµατικό στοιχείο idl = iadϕϕ (5) του βρόχου. Η στοιχειώδης δύναµη df, που ασκείται στο απειροστό αυτό τµήµα του αγωγού είναι df= idl B = iadϕϕ Baρ+ Bhz i abd = ϕz+ iabhd ϕρ Από την (6), επειδή οι συνιστώσες οι κάθετες στον άξονα αναιρούνται ανά δύο (συµ- µετρικά στοιχεία dl και dl ) προκύπτει, µε ολοκλήρωση, η ζητούµενη δύναµη F ή, µε αντικατάσταση της (4) π i F = abd ϕz = i π ab z, (7) (6) 393

16 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ (γ) Αν 4 4 π ab dh π ab F = z = υ() t z (8) R dt R dh υ = z = υz ( υ > ) (9) dt είναι η σταθερή ταχύτητα του βρόχου και F = F () η εξωτερική δύναµη, τότε, λόγω των (8) και () η µηχανική ισχύς P m της F δίνεται από την είναι P m 4 π ab = F υ = υ () R Η ισχύς P J των απωλειών Joule στο βρόχο, όπως φαίνεται από την (4) για υ() t = υ, 4 π ab PJ = i R = υ, () R δηλαδή ίση προς τη µηχανική ισχύ P m. 7. Ένα βαττόµετρο χρησιµοποιεί για την απόσβεση της κίνησής του ως φρένο ένα κυκλικό δίσκο αλουµινίου πάχους t και ακτίνας a που περιστρέφεται στο πεδίο σταθερού µαγνήτη. Αν σ είναι η ειδική αγωγιµότητα του υλικού του δίσκου, να υπολογιστεί η ροπή που αντιδρά στην κίνησή του, όταν ο δίσκος περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω. ίνεται ότι το εξωτερικό µαγνητικό πεδίο B είναι οµοιόµορφο και παράλληλο στον άξονα του δίσκου. Ας θεωρήσουµε το διαγραµµισµένο στοιχείο dv = ρd ρdϕt του σχήµατος, που λόγω της περιστροφικής κίνησης του δίσκου µε γωνιακή ταχύτητα ω = ωz, κινείται µε ταχύτητα κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση ϕ. ω = ωρϕ () 394

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 z B ω α d ρ ρ J ϕ dϕ y x Σχήµα 7-8 πάχος t Πάνω στο στοιχείο dv, αναπτύσσεται εξ επαγωγής η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E = υ B = ωρϕ B z = ωρb ρ, () όπου ρ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση. Η πυκνότητα του ρεύµατος J στο στοιχείο dv, λόγω της (), είναι: J = σe = σωρb ρ (3) Το ρεύµα d, δια του στοιχείου, αν ds είναι η διατοµή του στη διεύθυνση του ρεύ- µατος J, δίνεται από την γράφεται d Η (4), αν λάβουµε υπόψη την (3) και ότι = J ds (4) ds = ρϕ d tρ, (5) d Bt d = σω ρ ϕ (6) Αν, λοιπόν, θεωρήσουµε το στοιχείο dv ως ένα στοιχειώδη αγωγό µήκους dρ που διαρρέεται από ρεύµα d, η δύναµη d F πάνω σ αυτό δίνεται από την d F = ddρ B = ddρb ρ z = ddρb ( ϕ ) (7) 395

18 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ είναι Η ροπή d T της δύναµης d F ως προς τον άξονα του δίσκου, λόγω των (7) και (6) 3 d T = d Fρ( z ) = σb ωtρ dρdϕ( z ) (8) Με διπλή ολοκλήρωση της (8) υπολογίζεται η ζητούµενη ροπή T που αντιδρά στην κίνηση του δίσκου a π 4 3 πσbωta T = ( z) σbωt ρ dρdθ = ( z ) (9) 7.3 ύο παράλληλοι ευθύγραµµοι αγωγοί πολύ µεγάλου µήκους και αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, είναι τοποθετηµένοι παράλληλα προς τον άξονα x σε µια απόσταση l ο ένας από τον άλλο. Πάνω στους αγωγούς µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές ευθύγραµµη ράβδος ΑΒ. Η ράβδος ΑΒ που έχει µάζα m και αντίσταση R παραµένει συνεχώς κάθετη στους δύο παράλληλους αγωγούς. Στο αριστερό άκρο των δύο αγωγών βρίσκεται πυκνωτής µε χωρητικότητα C που µπορεί να κλείσει κύκλωµα µε τους αγωγούς µέσω διακόπτη δ. Ο πυκνωτής είναι φορτισµένος στην τάση V = V. Το όλο σύστηµα βρίσκεται µέσα σ ένα οµογενές µαγνητικό πεδίο που η µαγνητική επαγωγή του B έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των αγωγών. Αρχικά ο διακόπτης δ είναι ανοιχτός και η ράβδος ΑΒ βρίσκεται ακίνητη σε τυχούσα θέση που µπορεί να ληφθεί ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων ( x = ). Τη στιγµή t =, κλείνει ο διακόπτης δ. Ζητούνται: (α) Η πολικότητα του πυκνωτή, σε σχέση προς τη B, ώστε η ράβδος AB να αρχίσει να κινείται προς τα δεξιά αποµακρυνόµενη από τον πυκνωτή. (β) Η κατά την τυχούσα χρονική στιγµή t ταχύτητα υ () t της ράβδου, τάση Vt () του πυκνωτή και ένταση t () του ρεύµατος του κυκλώµατος. (γ) Πώς κινείται η ράβδος µετά παρέλευση αρκετού χρόνου από το κλείσιµο του διακόπτη; 396

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 y + Α δ F Β l + C,V Β x() = Σχήµα 7-9 x (α) Η δύναµη F που κινεί τη ράβδο προς τα δεξιά δίνεται από την F = ( l B) = l( B) = Blx () Από την () γίνεται φανερό ότι, αν B = Bz είναι η µαγνητική επαγωγή του πεδίου, για να κινηθεί η ράβδος προς τα δεξιά ( F = Fx, F > ), πρέπει το ρεύµα να έχει τη διεύθυνση του άξονα y ( = y, > ), δηλαδή ο θετικός και ο αρνητικός οπλισµός του πυκνωτή πρέπει να συνδεθούν µε τα άκρα Β και Α της ράβδου, αντίστοιχα. (β) Αν υ () t είναι η ταχύτητα και t () το ρεύµα της ράβδου κατά τη χρονική στιγµή t, η εξ επαγωγής αναπτυσσόµενη στα άκρα Α, Β αντί-ηλεκτρεγερτική δύναµη V ΑΒ (σχέση 7.4), για την πολικότητα του σχήµατος, είναι dφ d VΑΒ = = ( Blx) = Blυ() t () dt dt Με εφαρµογή του δεύτερου νόµου του Kirchhoff στο βρόχο ΑΒΓ, έχουµε ή, λόγω της (), όπου Vt () η τάση του πυκνωτή κατά τη χρονική στιγµή t. V + VΑΒ = R, (3) Vt () = Blυ() t + tr (), (4) Ας σηµειωθεί ότι η (4) µπορεί να προκύψει και ενεργειακά. Πράγµατι, αν We = CV (5) 397

20 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ είναι η ενέργεια η ενταµιευµένη στο πεδίο του πυκνωτή, η κινητική ενέργεια της ράβδου, και W κ = mυ (6) P dw dt θ θ = = R (7) η ισχύς των απωλειών Joule στη ράβδο, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, έχουµε ή, λόγω των (5), (6) και (7) dw + dw + dw =, (8) e κ θ δηλαδή + + =, (9) d CV d mυ R dt dv dυ CV + mυ + R = () dt dt Από την () και το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής dυ F = m, () dt επειδή τα διανύσµατα F και υ είναι συγγραµµικά, προκύπτει η dυ F Bl = = () dt m m Αν Q είναι το φορτίο του θετικού οπλισµού του πυκνωτή, ισχύουν για τις φορές του σχήµατος, προφανώς, οι σχέσεις και V Q = (3) C dq dv = C dt = dt (4) Από την αντικατάσταση των () και (4) στη () προκύπτει η V + Blυ + R = (5) που, µε διαίρεση των µελών της δια του ρεύµατος, δίνει και πάλι την (4). 398

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ας εκφράσουµε, στη συνέχεια, και την ταχύτητα υ συναρτήσει του φορτίου Q. Προς το σκοπό αυτό, από την αντικατάσταση της (4) στη () παίρνουµε την dυ Bl dq = (6) dt m dt Από την ολοκλήρωση της (6) έχουµε Bl υ () t = Q() t + K, (7) m όπου K σταθερά, που υπολογίζεται από το µηδενισµό της ταχύτητας υ τη χρονική στιγµή t =. Η (7), επειδή για t =, ισχύει η δίνει Q() = Q = CV (8) Bl K = Q (9) m Από την αντικατάσταση της (9) στη (7) έχουµε Bl υ () t = ( Q Q() t ) () m Η (4), λόγω των (3), (4) και () γράφεται dq B l B l R + + Q Q = dt C m m () Η γενική λύση Q h της οµογενούς dq B l R + + Q = dt C m, () της διαφορικής εξίσωσης () είναι η όπου A σταθερά και Q () t h t/ T = Ae, (3) Bl T R C m = + (4) 399

22 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Επίσης, µια µερική (ειδική) λύση Q s της πλήρους () προκύπτει εύκολα από την περίπτωση µηδενισµού της παραγώγου. Τότε ή Bl Bl Q s + Q = C m m Bl T Qs() t = Q = Q Bl RC m + C m (5) Έτσι, η γενική λύση Qt () της πλήρους, λόγω των (3) και (5) είναι t/ T T Qt () = Qh() t + Qs() t = Ae + Q RC Η σταθερά A υπολογίζεται από την (6), αν λάβουµε υπόψη τη συνθήκη Q() = Q για t =, (6) ή T Q() = Q = A+ Q RC, T T A = Q V RC = R (7) Αντικατάσταση της (7) στην (6) δίνει υ T Qt () = Q e RC T = CV RC t/ T ( ) t/ T ( e ) Από τις (3), (4), () και (8) προκύπτουν οι ζητούµενες εκφράσεις των V, και (8) Qt () T t/ T Vt () = = V ( e ) C RC, (9) t () dq dt V R t/ T και υ() t ( e ) t/ T = = e (3) BlV T = (3) mr 4

23 V ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 (γ) Μετά παρέλευση αρκετά µεγάλου χρονικού διαστήµατος (t ), από τις (8), (9), (3) και (3) έχουµε T T Q = Q CV = RC RC, (3) και V T = V RC (33) = (34) BlV T mr υ = (35) Από την (35) παρατηρούµε ότι µετά παρέλευση αρκετού χρόνου η ράβδος κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ = υ. Στην περίπτωση αυτή, το ρεύµα (σχέση (33)) µηδενίζεται, συνεπώς και η δύναµη F (σχέση ()) που ασκείται πάνω στη ράβδο έχει επίσης µηδενική τιµή. Οι γραφικές παραστάσεις των Qt (), Vt (), t () και υ () t φαίνονται στα διαγράµµατα του σχήµατος 7-. Q Q Q(t) Q Ι = V/R (t) Ο V t Ο υ t V(t) V υ υ(t) Ο t Σχήµα 7- Ο t 4

24 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7.4 Οµοιόµορφο µαγνητικό πεδίο H = H z είναι παράλληλο προς τον άξονα κυλίνδρου ακτίνας a. Ο κύλινδρος έχει πολύ µεγάλο µήκος, το δε υλικό του έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r, σχετική ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα σ r και µαγνητική διαπερατότητα µ. Αν ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του µε γωνιακή ταχύτητα ω, ποια είναι η διαφορά δυναµικού που δηµιουργείται ανάµεσα στον άξονα και την εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου; Να υπολογιστεί επίσης η πυκνότητα ρ s των φορτίων που εµφανίζονται στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου. (Να θεωρηθεί ότι το µέσο στο οποίο βρίσκεται ο κύλινδρος έχει ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα σ που λαµβάνεται σαν βάση για την έκφραση της σχετικής ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας του κυλίνδρου σ r και διηλεκτρική σταθερά ε. Να θεωρηθεί, επίσης, ότι τα άκρα (βάσεις) του κυλίνδρου είναι έξω από το µαγνητικό πεδίο). z ω a H d ρ ρ dz φ dφ dv Σχήµα 7-4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Από τη συνθήκη της συνέχειας των εφαπτοµενικών συνιστωσών της έντασης του µαγνητικού πεδίου και την οµοιογένεια του υλικού του κυλίνδρου, προκύπτει η ισότητα των εντάσεων H i και H του µαγνητικού πεδίο µέσα και έξω από τον κύλινδρο, αντίστοιχα. dv H H () i = Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση = ρd ρdϕdz, λόγω της κίνησής του στο πεδίο H, είναι E που αναπτύσσεται στο στοιχειώδη όγκο E = υ B = υ H, () i i µ όπου υ είναι η ταχύτητα του στοιχείου dv. Αν ϕ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση, η ταχύτητα υ δίνεται από τη σχέση Αντικατάσταση της (3) στη () δίνει υ = ωρϕ (3) Ei = µωρ Hϕ z = µωhρρ, (4) όπου ρ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την ακτινική διεύθυνση. Η ζητούµενη διαφορά δυναµικού U µεταξύ του άξονα και της εξωτερικής επιφάνειας του κυλίνδρου υπολογίζεται εύκολα από την (4) U = d = H d = H a Η ύπαρξη ηλεκτρικής πεδιακής έντασης a a Ei ρ µω ρ ρ µω (5) E i µέσα στο αγώγιµο υλικό του κυλίνδρου, έχει ως αποτέλεσµα την εµφάνιση ηλεκτρικού ρεύµατος που η πυκνότητά του από τη σχέση i = σi i = σrσ µωh ρ J i δίνεται J E ρ (6) Όπως φαίνεται από τις (4) και (6), µέσα στον κύλινδρο ( ρ < a ) δηµιουργείται ένα ακτινικό ηλεκτρικό πεδίο που η έντασή του αντίστοιχα, από τις (4) και (6). E i και η πυκνότητα του ρεύµατος J i δίνονται, Έστω, τώρα, ότι E is,, J is, και D is, είναι αντίστοιχα η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, η πυκνότητα του ρεύµατος και η διηλεκτρική µετατόπιση, στην εσωτερική όψη ( ρ = a ) 43

26 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου. Αν E os,, J os, και D os, είναι τα αντίστοιχα µεγέθη στην εξωτερική όψη ( ρ = a ) της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου, + έχουµε, για ρ = a, τις εξής οριακές συνθήκες: (α) Ισότητα των κάθετων συνιστωσών Jni, = Jis, και Jno, = Jos, της πυκνότητας της έντασης του ρεύµατος ή δηλαδή J σσe = J, (7) is, os, = σe, (8) r i, s o, s E = σ E (9) os, r is, (β) Αν ρ s είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίων στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου ( ρ = a ), οι κάθετες συνιστώσες (που είναι και οι µόνες) της διηλεκτρικής µετατόπισης ικανοποιούν την ρ = D D () s o, s i, s Η (), επειδή ισχύουν οι: Dos, = ε Eos, και Dis, = εieis, = εrε Eis,, γράφεται και αν λάβουµε υπόψη την (9) ( E E ) ρ = ε ε, () s o, s r i, s ρ = ε ( σ ε ) E () s r r i, s Η ηλεκτρική, όµως, πεδιακή ένταση E is, στην εσωτερική όψη της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου είναι σύµφωνα µε την (4), () is, i µω E = E a = ah (3) Τελικά µε αντικατάσταση της E is, από τη (3) στη (), προκύπτει η ζητούµενη πυκνότητα ρ s των επιφανειακών φορτίων που αναπτύσσονται στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου ρ = µωε a( σ ε ) H (4) s r r 44

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο χώρος στον οποίο εκτείνεται ένα µαγνητικό πεδίο αποτελείται από δύο µέσα µε µαγνητικές διαπερατότητες µ και µ αντίστοιχα, που διαχωρίζονται από το επίπεδο Ο xy ε- νός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων oxyz. Ευθύγραµµος αγωγός, παράλληλος προς τη διαχωριστική επιφάνεια (επίπεδο xy ) και σε απόσταση h από αυτή, διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα t () = cosωt, όπου σταθερά. Πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια είναι τοποθετηµένο αγώγιµο πλαίσιο ΑΑ Β ΒΑ, που αποτελείται από N ελίγµατα και που η αντίσταση του αγωγού του (ανά τρέχον µέτρο) είναι r. Αν οι συντεταγµένες των σηµείων Α, Α, Β και Β είναι αντίστοιχα: Α( l/, a,), Α ( l/, a, ), Β ( l /, β,) και Β( l /, β,), ζητούνται: (α) Να βρεθεί η δύναµη που ασκείται στον ευθύγραµµο αγωγό που διαρρέεται από το ρεύµα. Να αγνοηθεί η επίδραση του εξ επαγωγής ρεύµατος του πλαισίου. (β) Να υπολογιστεί το ρεύµα που διαρρέει το πλαίσιο ΑΑ Β Β. (α) Το πεδίο στο χώρο z >, σύµφωνα µε την άσκηση (6.), είναι ισοδύναµο µε το πεδίο δύο ρευµάτων και, όταν το µέσο διαπερατότητας µ επεκταθεί και στο χώρο z <. Αντίστοιχα, το πεδίο στο χώρο z < είναι ισοδύναµο µε το πεδίο του ρεύµατος, όταν το µέσο του χώρου z > αντικατασταθεί µε το υλικό του χώρου z <. Τα ρεύµατα και που τοποθετούνται στις θέσεις του σχήµατος δίνονται, ως γνωστόν, από τις σχέσεις και µ µ µ µ = = cos ω t µ + µ µ + µ µ = = µ cos t µ + µ µ + µ ω () () Η δύναµη F που ασκείται ανά µονάδα µήκους είναι, προφανώς, ίση µε τη δύναµη µεταξύ των αγωγών και τοποθετηµένων σ ένα οµοιογενές µέσο διαπερατότητας µ. Έτσι, από τη σχέση (6.47) έχουµε 45

28 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ P z Ι, Ι µ h Ο x h r A A y α θ β Β n θ dy B Β Β y P Ι µ A Β z l/ l/ y A Β x dy Σχήµα 7- F = µ z (3) 4 π h και µε αντικατάσταση των () και () µ ( µ µ ) F = cos ωtz (4) 4π ( µ + µ ) h (β) Πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια z =, από την ισότητα των κάθετων συνιστωσών της µαγνητικής επαγωγής B, έχουµε µ y µ y Bn = Bn = Bn = ( + ) = (5) πr πr ή, λόγω των () και () 46

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 B n µµ y = π ( µ + µ ) y + h (6) Η ροή Φ δια του πλαισίου ΑΑ Β Β, είναι l / β µµ y Φ = B d S = dxdy ( ) / a π µ µ y h l + + (7) β µµ l ydy µµ l h + β = = ln cos ωt π ( µ + µ ) ( y + h ) π ( µ + µ ) h + a a Η πεπλεγµένη µε τα N ελίγµατα ροή Ψ είναι µµ Nl h + β Ψ = NΦ = ln π ( µ + µ ) h + a cos ωt (8) Από το νόµο του Faraday και την (8) υπολογίζεται η ΗΕ E που επάγεται στο τύλιγ- µα AA B B d Ψ µµ Nl ω E ln h + β = = dt π ( µ + µ ) h + a cos ωt (9) Τέλος, αφού η ολική αντίσταση R του αγωγού του τυλίγµατος είναι η ζητούµενη ένταση του ρεύµατος δίνεται από τη σχέση R = N( l + β a) r, () E µµ l ω ln h + β = = R 4π( l + β a)( µ + µ ) r h + a sin ωt () 47

30 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7.6 Ένας απέραντος ευθύγραµµος αγωγός, µε αντίσταση r ανά µονάδα µήκους, κάµπτεται σ ένα σηµείο Α ώστε να σχηµατίσει γωνία a. Πάνω στον αγωγό αυτό εφάπτεται, στα ση- µεία Β και Γ, άλλος αγωγός, επίσης απέραντος και ευθύγραµµος, µε την ίδια αντίσταση r ανά µονάδα µήκους, τοποθετηµένος κάθετα στη διχοτόµο της γωνίας Α. Ένας τρίτος ευθύγραµµος απέραντος αγωγός ΟΟ, που διαρρέεται από συνεχές ρεύµα, βρίσκεται πάνω στο επίπεδο της γωνίας, παράλληλα προς τον αγωγό ΒΓ, σε απόσταση δ από την κορυφή Α, η οποία έτσι βρίσκεται ανάµεσα στους αγωγούς ΒΓ και ΟΟ. Αν x είναι το ύψος Α του τριγώνου ΑΒΓ, ζητούνται: (α) Ο συντελεστής αλληλεπαγωγής του αγωγού ΟΟ και του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Η ισχύς που αποδίδει µια εξωτερική δύναµη F όταν µετακινεί τον αγωγό ΒΓ κατά τον άξονα x µε σταθερή ταχύτητα υ και κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να παραµένει κάθετος στη διχοτόµο της γωνίας Α. O Ι O δ Α Β Β a a Γ Γ l dl x F x Σχήµα 7-3 (α) Αν Φ είναι η ροή που εµπλέκει τον αγωγό ΑΒΓ και οφείλεται στο ρεύµα του αγωγού Ο Ο, ο συντελεστής αλληλεπαγωγής M του αγωγού ΟΟ και του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση 48

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Φ M = () Η στοιχειώδης ροή d Φ, που διέρχεται από τη λωρίδα Β Γ που έχει απειροστό πάχος dl και µήκος (Β Γ ) = tan l a, είναι ( ) tan dφ = ΒΒΓ dl = Bl adl () Η (), επειδή η µαγνητική επαγωγή B στα σηµεία της λωρίδας είναι µ B = πδ ( + l), (3) γράφεται µ tana ldl dφ = (4) π δ + l Από την ολοκλήρωση της (4) προκύπτει η ροή Φ που διέρχεται από το τρίγωνο ΑΒΓ x µ tana ldl µ tana x Φ = = x δ ln + π δ + l π δ (5) Ο συντελεστής αλληλεπαγωγής M του αγωγού ΟΟ και του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται, όπως φαίνεται από τις () και (5), από τη σχέση µ tana x M = x δ ln + π δ (6) (β) Έστω ότι είναι το ρεύµα που διαρρέει τον αγωγό ΑΒΓ. Η εξωτερική δύναµη F, για να µετακινεί τον αγωγό ΒΓ µε σταθερή ταχύτητα υ πρέπει να είναι ίση και αντίθετη µε τη δύναµη (σχέση (6.44)) του µαγνητικού πεδίου F = ( ΒΓ ) B (7) Η (7), µε αντικατάσταση των (ΒΓ) και B από τις σχέσεις ( ΒΓ ) = x tana (8) και µ B = πδ ( + x), (9) γράφεται 49

32 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ µ tana x F = π ( δ + x) Αν d Φ είναι η µεταβολή της ροής που διέρχεται από το τρίγωνο ΑΒΓ, όταν ο αγωγός (ΒΓ) µετακινηθεί κατά dx στο απειροστό χρονικό διάστηµα dt, τότε, από την (5), έ- χουµε () ή dφ dφ dx µ tana δ dx = =, dt dx dt π δ + x dt dφ µ tana x dx = dt π δ + x dt dx Η (), επειδή η (ΒΓ) κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ ( υ = ), γράφεται dt dφ µ tana x = υ dt π δ + x Η επαγώµενη ΗΕ E στον αγωγό ΑΒΓ, που δηµιουργεί το ρεύµα, είναι () () dφ µ tana x E = = R = υ, (3) dt π δ + x όπου R είναι η ολική αντίσταση του αγωγού ΑΒΓ, που δίνεται από το γινόµενο της περι- µέτρου του τριγώνου ΑΒΓ επί την αντίσταση r ανά µονάδα µήκους, δηλαδή x R = ( ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ ) r = x tana + r cosa Από την αντικατάσταση της (4) στην (3) προκύπτει µ υ sina = πr + sina δ + x Η δύναµη F, λόγω των () και (5), γράφεται (4) (5) F µ υ sin a x = π r cosa( + sina)( δ + x) (6) Η ζητούµενη ισχύς P της εξωτερικής δύναµης F είναι µ υ sin a x P = Fυ = π r cosa( + sina)( δ + x) (7) Η ισχύς αυτή είναι ίση µε την ισχύ 4

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 =, (8) PJ R των απωλειών Joule στον αγωγό του τριγώνου ΑΒΓ, όπως εύκολα επαληθεύεται από τις (4), (5) και (7). 7.7 Κοίλος κυλινδρικός αγωγός πολύ µεγάλου µήκους, µε εξωτερική διάµετρο ρ και εσωτερική ρ, διαβιβάζει παράλληλα προς τον άξονά του συνολικό ρεύµα, του οποίου η πυ- κνότητα ροής J δίνεται από τη σχέση J = Cρ, όπου C σταθερά. Θεωρώντας ότι η διαπερατότητα του υλικού του αγωγού είναι σχεδόν ίση µε τη διαπερατότητα µ του κενού ζητείται: (α) Να υπολογιστεί η ανά µονάδα µήκους ενέργεια του µαγνητικού πεδίου µέσα στον αγωγό, και (β) Ο ανά µονάδα µήκους εσωτερικός συντελεστής αυτεπαγωγής του αγωγού. dρ H ρdφdz ρ dφ φ ρ / ρ Σχήµα 7-4 Η πυκνότητα w m της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου µέσα στον αγωγό είναι wm = µ H () 4

34 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Η ένταση H του µαγνητικού πεδίου, λόγω της κυλινδρικής συµµετρίας του προβλή- µατος, έχει εφαπτοµενική διεύθυνση και εξαρτάται, µόνο, από την ακτινική απόσταση ρ H = H( ρ) ϕ () Με εφαρµογή του νόµου του Ampère σε µια κυκλική διαδροµή ακτίνας ρ, έχουµε ή, επειδή ρ π ρ πρh ( ρ ) = J ds = J ( ρ ) ρdρdϕ = π J ( ρ ) ρdρ (3) S ρ ρ J( ρ) 3/ = Cρ, (4) C H( ρ) = ρ ρ = ρ ρ 7ρ 7 ρ 5 C 7 d ρ ρ 7 (5) Η ανά µονάδα µήκους ενέργεια W του αγωγού, λόγω των () και (5), είναι m ρ 7 ρ π 7 4π C µ ρ ( ) ρ 7 ρ ρ Wm = µ H d d d ρ ρ ϕ = ρ ρ 49 (6) =, 59µ C ρ =, 36 C ρ (β) Το ρεύµα ( ρ ) που διαρρέει το τµήµα [ ρ /, ρ ] της διατοµής του αγωγού είναι, λόγω της (4), ή ρ π ρ 3 ρ ρ ( ρ ) = J( ρ ) ρ d ρ d ϕ = π C ρ ρ d ρ 4πC 7 ρ ( ρ) = ρ 7 Από την (7), για ρ = ρ, προκύπτει το ολικό ρεύµα του αγωγού ( ) π = ρ = Cρ =,636Cρ (7) (8) Για τον υπολογισµό του εσωτερικού συντελεστή εξής τρεις τρόπους: L int της αυτεπαγωγής δίνουµε τους 4

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Πρώτος τρόπος: Από τη σχέση και τις (6) και (8) έχουµε W m = Lint (9) L =, 94µ = 4, 3 nh/m () int εύτερος τρόπος: dρ είναι Η ανά µονάδα µήκους ροή dφ που διέρχεται από ένα δακτύλιο ακτίνας ρ και πάχους dφ = µ Hdρ () και η αντίστοιχη πεπλεγµένη ροή ( ρ ) µ dψ = dφ = ( ρ) H( ρ) dρ () Από την ολοκλήρωση της (), µετά την αντικατάσταση των ( ρ ) και H( ρ ) από τις (7) και (5), αντίστοιχα, προκύπτει µ ρ µ Ψ = ρ ρ = C ρ ρ 7 7 8πC, 58 7 d 49ρ ρ 7 (3) Ο εσωτερικός συντελεστής αυτεπαγωγής L int που ορίζεται από την λόγω των (8) και (3) είναι Τρίτος τρόπος: Lint, 58µ L int Ψ =, (4) 7 = C ρ =, 94µ = 4, 3 nh/m (5) Η ροή Φ ( ρ) που περιορίζεται στο τµήµα του αγωγού από ρ / έως ρ είναι και µε αντικατάσταση της (5) ρ Φ ( ρ ) = µ H( ρ) dρ (6) ρ 43

36 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ρ 7 µ 7 C ρ Φ ( ρ) = ρ 7 dρ 7 ρ ρ 7 µ 7 C ρ ρ = ρ 7 ln ρ Η πεπλεγµένη ροή Ψ, αφού η ροή Φ ( ρ) αντιπροσωπεύει ένα τµήµα πρdρj( ρ) dψ = Φ ( ρ) (8) της ολικής ροής, υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα ρ / (7) ρ πρdρj( ρ) πc ρ 5/ Ψ = Φ ( ρ) = ρ Φ( ρ) dρ (9) ρ / Μετά την αντικατάσταση της Φ ( ρ) από τη (7) στην (9) προκύπτει ρ C 7 ln 7 7 ρ ρ 4πµ ρ ρ Ψ = ρ ρ + dρ () Με βάση το αόριστο ολοκλήρωµα m m x + x ln xdx = ln x m + m + () υπολογίζεται εύκολα το ορισµένο ολοκλήρωµα (), που, µετά από µερικές πράξεις, δίνει και πάλι και, 58µ 7 Ψ = C ρ () L = 4, 3 nh/m (3) int 44

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αγωγός κυκλικής διατοµής ακτίνας ρ, διαρρέεται από ρεύµα παράλληλο προς τον ά- ξονά του. Η µαγνητική πεδιακή ένταση H µέσα στον αγωγό δίνεται από τη σχέση ( ) ( / ) ( / ) H ρ = H ρ ρ ρ ρ ϕ = H ϕ ϕ 3 όπου H δοσµένη σταθερά, ρ η ακτινική απόσταση από τον άξονα του αγωγού και ϕ το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση. Υπό την προϋπόθεση ότι το υλικό του αγωγού είναι µη µαγνητικό και ότι ο κύλινδρος βρίσκεται µόνος µέσα στον άπειρο κενό χώρο, ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η πυκνότητα J της έντασης του ρεύµατος. (β) Η µαγνητική πεδιακή ένταση H έξω από τον κύλινδρο ( ρ > ρ ). (γ) Ο ανά µονάδα µήκους του κυλίνδρου εσωτερικός συντελεστής αυτεπαγωγής. (α) Αν η στροφή της µαγνητικής πεδιακής έντασης H εκφραστεί σε κυλινδρικές συντεταγµένες, τότε, από την πρώτη εξίσωση του Maxwell (6.) έχουµε H H H z ϕ H J = H = + ρ ϕ z ρ z ρ H ρ + ( ρh ϕ ) ρ ρ ϕ z ρ z ϕ () ή, επειδή H ρ H H H H z ϕ ρ H z ρ = Hz = = = = = =, () ϕ z z ρ ϕ J = ( ρh ϕ ) z (3) ρ ρ Η (3), µετά την αντικατάσταση της H ϕ, από την έκφραση της εκφώνησης, γράφεται 45

38 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ z J = Jz ρ c Σ c c i ρ φ ρ Η = Ηφ y Η = Ηφ x Σχήµα 7-5 J H ρ = J( ρ) z = z (4) ρ ρ Από την (4), παρατηρούµε ότι η πυκνότητα J του ρεύµατος είναι µέγιστη πάνω στον άξονα του κυλίνδρου ( Jmax = J() = H / ρ ) και ελάχιστη πάνω στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου ( Jmin = J( ρ) = ). 46

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 (β) Το συνολικό ρεύµα υπολογίζεται εύκολα µε ολοκλήρωση της (4) στη διατοµή του κυλινδρικού αγωγού ρ ρ π H ρ = d = J( ρρ ) dρdϕ π ρ J S = dρ S ρ, ρ ή π = Hρ (5) 3 Ας σηµειωθεί ότι η (5) µπορεί επίσης να προκύψει και από το νόµο του Ampère, όταν η κλειστή διαδροµή συµπέσει µε την περιφέρεια ρ = ρ της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου. Τότε, έχουµε π = d = H d = H = H 3 π H l ( ρ) ρ ϕ πρ ( ρ) ρ C (6) Για τον υπολογισµό της µαγνητικής πεδιακής έντασης H όταν ρ > ρ, µε εφαρµογή και πάλι του νόµου του Ampère για µια περιφέρεια ακτίνας ρ, έχουµε ή, λόγω της (5), π = H ( ρρ ) dϕ= πρh ( ρ) H ρ H ( ρ) = ϕ = ϕ (7) πρ 6 ρ (γ) Η ανά µονάδα µήκους του αγωγού ενέργεια W m του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του κυλίνδρου είναι ρ π ρ V ρ Wm = µ H dv = µ H ( ρρ ) dρdϕ= πµ H ( ρρ ) dρ 3 = πµ ρh ( ρ/ ρ ) ( ρ/ ρ ) dρ = πµ H ρ 3 6 Με αντικατάσταση των (6) και (8) στην (8) Wm = Lint, (9) υπολογίζεται ο ζητούµενος εσωτερικός συντελεστής αυτεπαγωγής 3 L int = µ () π 47

40 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Ας σηµειωθεί ότι η () µπορεί, επίσης, να προκύψει και µε τις άλλες δύο µεθόδους που αναφέρθηκαν στην προηγούµενη άσκηση. Η επαλήθευση αυτή προτείνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. 7.9 ύο παράλληλοι οµοαξονικοί κυκλικοί βρόχοι µε ακτίνες a και a αντίστοιχα a > a ) απέχουν απόσταση z = c, όπως φαίνεται στο σχήµα 7-6. ( (α) Να αποδειχτεί ότι ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των δύο βρόχων δίνεται από τη σχέση L = µ aa π cosϕϕ d / π cos ( a + a aa ϕ + c ) Επίσης, να αποδειχτεί ότι στην περίπτωση όπου οι δύο βρόχοι είναι πάνω στο ίδιο επίπεδο ( z = ), ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής δίνεται από την L µ aa = ( κ ) Κ( κ) Ε( κ), a + a κ κ aa όπου κ = a + a, Κ ( κ ) και Ε ( κ) τα ελλειπτικά ολοκληρώµατα Κ ( κ) = π / du κ cos u / / π, Ε κ = ( κ ) ( ) cos u du (β) Αν οι δύο βρόχοι διαρρέονται από τα σταθερά ρεύµατα και αντίστοιχα και ο µικρός βρόχος µπορεί να κινείται ελεύθερα µε το κέντρο του πάνω στον άξονα z, ενώ ο µεγάλος µένει ακίνητος, ποια είναι η συνθήκη, ώστε για z = να υπάρχει ευσταθής ισορροπία; Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή αν ικανοποιείται η συνθήκη, να δειχτεί ότι για a a, µικρές ταλαντώσεις περί το z = έχουν συχνότητα όπου m η µάζα του µικρού βρόχου. µ a = 8πma f 48

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 z (c ) Ι Ο θ α dl y P x r z = c (c ) α Ι O θ θ P s P dl y x Σχήµα 7-6 (α) Έστω ότι ο κοινός άξονας των δύο βρόχων συµπίπτει µε τον άξονα Ο z ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων Ο xyz, και ότι το επίπεδο του βρόχου () ταυτίζεται µε το επίπεδο Ο xy. Ας θεωρήσουµε δύο στοιχεία ρεύµατος dl και dl στα σηµεία Ρ και Ρ των δύο βρόχων () και (), αντίστοιχα. Αν Ο x και Ο y είναι δύο άξονες, στο επίπεδο του πάνω βρόχου, παράλληλοι προς τους άξονες Ο x και Ο y και Ρ η προβολή του σηµείου Ρ στο επίπεδο του βρόχου (), η απόσταση r = ( ΡΡ ), όπως φαίνεται από το ορθογώνιο τρίγωνο ΡΡΡ, είναι r = c + s, () = ΡΡ. Από το τρίγωνο, όµως, ΡΟΡ έχουµε όπου s ( ) s = a + a aa cos( θ θ ) () Η αµοιβαία επαγωγή L των δύο βρόχων, σύµφωνα µε τη σχέση (7.), είναι Η (3), λόγω των (), () και της L µ = dl dl (3) 4π C C r 49

42 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ γράφεται dl dl = aa cos( θ θ ) dθdθ, (4) L π π µ aa cos( θ θ) dθdθ =, (5) 4π c + a + a aa cos( θ θ ) π π π π θ aa cos d dθ π π θ c a a aa π + + µ θ θ = 4 cosθ, (6) όπου θ = θ θ (7) Τα όρια ολοκλήρωσης π θ και π θ στο τελευταίο ολοκλήρωµα της (6), επειδή η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιοδική µε περίοδο π, µπορούν να µεταβληθούν σε π και π, αντίστοιχα, οπότε η (6) που γράφεται L π π µ aa cos θdθ = dθ 4 cosθ π π c a a aa π + +, καταλήγει στη ζητούµενη σχέση L π aa cos θdθ = µ a + a aa cosθ + c π (8) Στην περίπτωση όπου οι δύο βρόχοι βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο, από την (8) για z =, έχουµε L = aa π µ cos θdθ cos / π ( a + a aa θ) (9) Η (9), µε την αντικατάσταση θ = u γράφεται διαδοχικά 4

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 π µ cos ( θ /) = / π ( a + a aa (cos ( θ /) ) ) π / µ aa cos ( u) = du / a + a u L aa dθ ( κ cos ) = u u du + π / µ / / aa κ ( κ cos ) ( κ cos ) a a κ κ µ aa κ ( κ) ( κ) a + a κ κ = Κ Ε όπου Κ ( κ) και E( κ ) τα πλήρη ελλειπτικά ολοκληρώµατα πρώτου και δευτέρου είδους αντίστοιχα. (β) Αν και είναι τα ρεύµατα των δύο βρόχων () και (), αντίστοιχα, η κατά τη διεύθυνση του άξονα z µεταξύ των δύο βρόχων ασκούµενη δύναµη, σύµφωνα µε την (7.58), δίνεται από την F dl dz () = () Η (), µε αντικατάσταση της L από την (8), για c = z οδηγεί στην µ aa z cos θdθ Fz () = cos π π ( a + a aa θ + z ) 3/ () από την οποία προκύπτει όπου df dz µ aa ( S 3z S) =, (3) S () z = π cos θdθ ( a + a aa cosθ + z ) 3/ π (4) και S () z = π cos θdθ ( a + a aa cosθ + z ) 5/ π (5) Για να υπάρχει ευσταθής ισορροπία για z =, από την (3), επειδή πρέπει να ισχύει η συνθήκη 4

44 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ προκύπτει ή df < dz z= µ () < aas (6) S () > (7) Για τη διαπίστωση του προσήµου του ολοκληρώµατος S (), αν και πάλι λάβουµε υπόψη την περιοδικότητα της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης, η (4) γράφεται π cos θdθ S () = = 3 π/ cos θdθ ( a + a aa cosθ) π/ ( a + a aa cosθ) 3/ 3/ π π/ 3 π/ cos θdθ = + cos θdθ ( a+ a aa cosθ) π ( a+ a aa cosθ) 3/ 3/ π/ / Από τη (8) µε την αντικατάσταση στο τελευταίο ολοκλήρωµα προκύπτει η π/ π/ cos θdθ S () = (8) ϕ = θ π (9) cosϕdϕ ( a + a aa cos θ) π ( a + a aa cosϕ) 3/ 3/ π/ / π / = cos θ π / ( a + a aa cosθ) ( a + a + aa cosθ) 3/ 3/ Όπως παρατηρούµε από την (), επειδή στο διάστηµα ολοκλήρωσης [ π/, π/] είναι cos θ >, ο παρανοµαστής του δεύτερου όρου είναι µεγαλύτερος από τον παρανο- µαστή του πρώτου όρου, δηλαδή η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση στο δεξιό µέλος της () είναι θετική, οπότε και dθ () S () > () Η συνθήκη, συνεπώς, ευσταθούς ισορροπίας (7), λόγω της (), γράφεται δηλαδή τα ρεύµατα και πρέπει να είναι οµόρροπα. >, () 4

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Η εξίσωση της κίνησης γύρω από τη θέση z =, λόγω των () και (4) είναι η µ aa = (3) dz zs () m dt Για a a, όµως, µπορούµε να κάνουµε χρήση της προσεγγιστικής έκφρασης οπότε η (4) γράφεται ( a a aa θ) a a a 3 3 cos θ a + a 3/ + cos = cos 3 θ a + a a π a 3πa S () = + 3 cos θ cos θdθ = 4 a a π Αντικατάσταση της (5) στην (3) δίνει 3/ (4) (5) dz 3πµ a = z = ωz, (6) dt 3 ma όπου 3πµ a ω = (7) 3 ma Από την (7), υπολογίζεται η ζητούµενη συχνότητα f = ω = 3µ a (8) 3 π 8πma f 7. Κυλινδρικός αγωγός απείρου µήκους ακτίνας a και µαγνητικής διαπερατότητας µ διαρρέεται από ρεύµα, που επιστρέφει µέσω ενός οµοαξονικού αγώγιµου κυλινδρικού κελύφους διαπερατότητας µ, εσωτερικής ακτίνας b και εξωτερικής c. Να βρεθεί η ανά µονάδα µήκους του συστήµατος ενέργεια του µαγνητικού πεδίου. 43

46 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ (4) (3) () () ρ a H(ρ) b µ µ c µ µ Σχήµα 7-7 Αν H = H( ρ) ϕ είναι η ένταση του µαγνητικού πεδίου του συστήµατος σε µια απόσταση ρ από τον άξονα, όπου ϕ είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα, τότε, µε εφαρµογή του νόµου του Ampère για τις περιοχές ( ρ < a ), (a < ρ < b), 3 (b < ρ < c ) και 4 ( ρ > c ) έχουµε, αντίστοιχα Περιοχή : ή H πa πρ = ( ρ) = πρ, H = πa ρ () Περιοχή : Hπρ =, ή H Περιοχή 3: = () πρ c ρ ( ) ( c b ) H πρ = ( ρ) = π ρ b = π c b 3, ή 44

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 H = π ( c b ) 3 c ρ ρ (3) Περιοχή 4: ή H 4πρ =, H 4 = (4) Οι ανά µονάδα µήκους του συστήµατος ενέργειες WWWW,, 3, 4 του µαγνητικού πεδίου στις περιοχές,, 3 και 4, αντίστοιχα, λόγω των (), (), (3), (4) είναι ή a = = V π a W µ H dv µ πρ ρ dρ, W = µ, (5) 6π W = µ H dv = µ πρ dρ πρ, V a b ή ή W = b W = µ ln 4 π a, (6) µ H dv 3 3 V3 c c ρ = µ πρdρ, π ( c b ) ρ b 4 4 µ 4 3 ln c c W c b = c ( c b ) 4π + b 4 ( c b ) (7) και W 4 = (8) 45

48 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Από τις (5), (6), (7) και (8) υπολογίζεται η ζητούµενη ενέργεια W ανά µονάδα µήκους του καλωδίου W = W + W + W + W 3 4 µ b c c µ b 3c = µ ln µ ln 4π a c b b 4 c b (9) 7. Ένας απέραντος λεπτός ευθύγραµµος αγωγός διαρρέεται από ρεύµα παράλληλο προς τη µικρή πλευρά ενός ορθογωνικού αγώγιµου πλαισίου διαστάσεων a b (a > b ), που διαρρέεται από ρεύµα. Αν c είναι η απόσταση του αγωγού από το κέντρο του πλαισίου, ζητούνται: (α) Να υπολογιστεί ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής µεταξύ των δύο κυκλωµάτων. (β) Να βρεθεί η δύναµη που ασκείται επί των δύο κυκλωµάτων. ίνεται ότι ο αγωγός και το πλαίσιο βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. (α) Ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα αξόνων Ο xyz, όπου ο άξονας z συµπίπτει µε τον αγωγό, ο άξονας y διχοτοµεί τη µικρή πλευρά του πλαισίου, ενώ ο άξονας x είναι κάθετος προς το επίπεδο του πλαισίου. Μπορούµε να διακρίνουµε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις (α) και (β) του σχήµατος (7-8) κατά τις οποίες ο αγωγός βρίσκεται εκτός του πλαισίου (c > a ) και εντός του πλαισίου (c < a ), αντίστοιχα. Η αµοιβαία δυναµική ενέργεια, σύµφωνα µε την (7.49), είναι W = B ds = B x dydz, () S S όπου B η µαγνητική επαγωγή που οφείλεται στο ρεύµα του αγωγού και S η επιφάνεια του πλαισίου. Επειδή, όµως, η µαγνητική επαγωγή B δίνεται από τη σχέση για την περίπτωση όπου c B = µ µ ϕ ( ) πr = πy x, () > a, µε αντικατάσταση της () στην (), έχουµε 46

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 z dz O z y ds dy b b y a a x c (α) z dz O z ds b y dy b y a a x c (β) Σχήµα 7-8 b c+ a b c+ a dy µ µ W = dz = dz π y π b c a b c a dy, (3) y ή Στην περίπτωση όπου c τµήµατα είναι µηδέν, οπότε W µ b c + a π c a = ln < a, η συνολική ροή στα δύο συµµετρικά διαγραµµισµένα (4) 47

50 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ είναι µ dy µ c + a W b b y a c a+ c = = ln π a c π Από τις (4) και (5) παρατηρούµε, ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουµε W µ b c + a π c a = ln Ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής L, όπως προκύπτει από την (7.47) και την (6), µ b c + a L = ln (7) π c a (β) Η µεταξύ των δύο αγωγών δύναµη τείνει να αυξήσει την απόσταση c και σύµφωνα µε την (7.6), δίνεται από την F W L = = c c (8) Με αντικατάσταση της (7) (ή (6)) στην (8), υπολογίζεται η ζητούµενη δύναµη (5) (6) µ b µ ab F = = π c + a c a π a c (9) 48

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ασκήσεις 7/ Στη διάταξη του σχήµατος 7-9 η αγώγιµη ράβδος ΟΡ ακτίνας R = m, περιστρέφεται περί το Ο µε σταθερή συχνότητα = /4 s, κάθετα σ ένα µαγνητικό πεδίο µαγνητικής επαγωγής f B = 5 mt. Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί (γραφική παράσταση) η τάση V συναρτήσει του χρόνου για χρονικό διάστηµα µιας περιόδου. Ο R B 9 o ω V Σχήµα 7-9 7/ Αγωγός απείρου µήκους διαρρέεται από ρεύµα. Κυκλικό πλαίσιο ακτίνας a (σχή- µα 7-) βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε τον αγωγό και κινείται κάθετα προς τη διεύθυνσή του µε ταχύτητα c. Αν η απόσταση του κέντρου του πλαισίου τη χρονική στιγµή t = είναι l, ζητούνται για την τυχούσα χρονική στιγµή t : (α) Η µαγνητική ροή Φ και η πεπλεγµένη ροή Ψ. (β) Το ρεύµα που διαρρέει το πλαίσιο. ίνεται ότι το πλαίσιο έχει N σπείρες και ότι ο αγωγός του έχει αντίσταση ανά µονάδα µήκους r. 49

52 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ α c l(t) Σχήµα 7-7/3 Θεωρούµε έναν αγωγό απείρου µήκους που διαρρέεται από ρεύµα. Ένα αγώγιµο ορθογώνιο πλαίσιο ΑΒΓ περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Α και παίρνει τη θέση ΑΒ Γ σε χρόνο t =, sec (σχήµα 7-). Να βρεθούν: (α) Η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται στο πλαίσιο κατά την περιστροφή αυτή. (β) Αν το πλαίσιο ΑΒΓ διαρρέεται από ρεύµα να βρεθούν οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω σε κάθε πλευρά του πλαισίου. Εφαρµογή: a = 5 cm, b = 8 cm, d = 3 cm, l = 5 cm. = A, = A, Β Γ Ι Α Β l ω y a d Γ x b Σχήµα 7-43

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7/4 Μαγνητικό πεδίο µε µαγνητική επαγωγή B = Bx εκτείνεται στο χώρο y, ενώ στο χώρο y < είναι B =. Η τιµή B της µαγνητικής επαγωγής είναι σταθερή και ανεξάρτητη του χρόνου. Στο χώρο y υπάρχει κυκλικό πηνίο όπως στο σχήµα µε ακτίνα r, µε κέντρο Ρ και W ελίγµατα παράλληλα προς το επίπεδο Oxz. Το πηνίο εκτελεί κατά σειρά τις εξής κινήσεις: α) Στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω περί τον παράλληλο προς τον z άξονα Ρ z µέχρις ότου συµπληρώσει /4 πλήρους περιστροφής, οπότε τοποθετείται παράλληλα στο επίπεδο Oyz. β) Στη συνέχεια εκτελεί οµαλώς επιταχυνόµενη κίνηση παράλληλα προς το επίπεδο Oyz προς τα αρνητικά y µε επιτάχυνση a (σχήµα 7-). y ω P r z α B O x z Σχήµα 7- Ζητούνται: (α) Η ηλεκτρεγερτική δύναµη συναρτήσει του χρόνου που αναπτύσσεται στο πηνίο. (β) Τα ηλεκτρικά φορτία που µεταφέρονται κατά τη διάρκεια κάθε φάσης της κίνησης. Η συνολική αντίσταση του τυλίγµατος είναι R και η αυτεπαγωγή αµελητέα. 43

54 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 7/5 Συρµάτινο πλαίσιο µε κυκλικό σχήµα ακτίνας r και µάζας m, περιστρέφεται χωρίς τριβές µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω µεταξύ δύο απέραντων οριζόντιων παράλληλων µεταλλικών επίπεδων πλακών, όπως στο σχήµα 7-3. Οι πλάκες έχουν σε µια θέση τους κυκλικό άνοιγµα µε ακτίνα r (όση και του πλαισίου) έτσι ώστε το πλαίσιο σε κάποια θέση της περιστροφής του να εφαρµόζει ακριβώς στο κυκλικό άνοιγµα. Στο κυκλικό αυτό ά- νοιγµα υπάρχει µαγνητικό πεδίο, µε επαγωγή B, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής. Τη στιγµή ακριβώς που εφαρµόζουν πλαίσιο και άνοιγµα διαβιβάζεται µέσα από το πλαίσιο ρεύµα µε ένταση (θέση ). Ζητείται η φορά και το µέγεθος της έντασης ώστε το πλαίσιο, περνώντας µέσα από το άνοιγµα µετά τη διαβίβαση του ρεύµατος - να ακινητοποιηθεί τελείως (θέση ). ω R r B B () () Σχήµα 7-3 Αριθµητική εφαρµογή για m =, kg, ω = 6, 8 s, 5 cm R =, B =, T. Σηµείωση: Να θεωρηθεί ότι η µάζα του στρεφόµενου συστήµατος είναι συγκεντρωµένη αποκλειστικά στο πλαίσιο, δηλαδή είναι η m. 43

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7/6 ίνεται αγωγός άπειρου µήκους που διαρρέεται από ρεύµα και αγώγιµο ελλειπτικό πλαίσιο από πολύ λεπτό αγωγό, όπως στο σχήµα 7-4. Ο αγωγός βρίσκεται στο επίπεδο Ο xy της έλλειψης και θεωρητικά εφάπτεται σ αυτήν στο σηµείο Ο. Να βρεθεί η µέση η- λεκτρεγερτική δύναµη (ΗΕ ) που αναπτύσσεται στο πλαίσιο όταν η διάρκεια περιστροφής από τη θέση στη θέση είναι T. Αριθµητική εφαρµογή για: = A, a = 5 cm, b = cm, T = sec, µ = µ = π. 7 4 H/m y y () () O b x a Σχήµα 7-4 7/7 Επίπεδο ορθογωνικό πλαίσιο µε πλευρές a και b αφήνεται να πέσει κατακόρυφα σε µαγνητικό πεδίο µαγνητικής επαγωγής B = x y ( T m - ), όπως στο σχήµα 7-5, µε την πλευρά b παράλληλη προς τον άξονα z και την πλευρά a παράλληλη προς τον άξονα x. Το πλαίσιο έχει ελίγµατα µε ολική αντίσταση R = 4 Ω και µάζα m =, kg. Το πλαίσιο επιταχύνεται µέχρις ότου φθάσει µια οριακή ταχύτητα υ και κατόπιν κινείται ισοταχώς (η πτώση γίνεται στο κενό). Ζητείται η οριακή αυτή ταχύτητα για b =, 4 m. a =, m και 433

56 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ O B y a z b x Σχήµα 7-5 7/8 ίνεται εναλλασσόµενο µαγνητικό πεδίο B = B sin ωt, κάθετο στο επίπεδο Ο xy. Το B είναι µέγιστο και ίσο προς B = 9,8 mt στην αρχή των συντεταγµένων Ο και mr ελαττώνεται όσο αποµακρυνόµαστε από την αρχή Ο κατά τη σχέση όπου m m r Bm = B ( ) r m ρ, ρ = x + y. Επάνω στο επίπεδο xy (σχήµα 7-6) διατοµής Ο τοποθετείται κλειστός χάλκινος δακτύλιος S = mm και ειδικής αγωγιµότητας σ 7 = 5, 9 S/m µε το κέντρο του στην αρχή Ο των συντεταγµένων. Ο δακτύλιος έχει διάµετρο ρ = cm και δεν παρουσιάζει χωρητικότητα C, ούτε αυτεπαγωγή L, παρά µόνον οµική αντίσταση R. ίνεται ότι ο δακτύλιος λιώνει (τήκεται) όταν περάσει ρεύµα µε ενδεικνύµενη (ενεργό) τιµή A. Ζητείται να υπολογιστεί η συχνότητα του µαγνητικού πεδίου για την οποία θα αρχίσει το λιώσιµο του δακτυλίου. 434

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 z O ρ y x Σχήµα 7-6 7/9 Σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής πλάτους 3 m, κυκλοφορεί νερό µε ταχύτητα υ = 3m/s σε ύψος 5 mm. Η αγωγιµότητα του νερού είναι σ = S/m, ενώ ο πυθµένας και τα τοιχώµατα του καναλιού θεωρούνται µη αγώγιµα. Αν τοποθετηθούν δύο αγώγι- µες πλάκες, πλάτους 5 mm και ύψους 5 mm, ακριβώς απέναντι στα τοιχώµατα του καναλιού και επιβληθεί µαγνητικό πεδίο B = T, όπως φαίνεται στο σχήµα, ζητούνται: Ι 3 m R l B υ 5 mm 5 mm 5 mm Σχήµα 7-7 (α) Να βρεθεί το ρεύµα που θα κυκλοφορήσει από την ωµική αντίσταση R l = Ω. Να αγνοηθεί η αντίσταση των πλακών και των συνδετικών αγωγών. 435

58 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ (β) Να βρεθεί η ισχύς που καταναλίσκεται στο φορτίο. (γ) Είναι η πιο πάνω ισχύς η µέγιστη που µπορεί να αποδοθεί στο φορτίο R l, όταν η α- ντίσταση R l είναι µεταβλητή; Αν όχι, ποια είναι η τιµή της µέγιστης ισχύος; (δ) Εξετάστε τη δυνατότητα πρακτικής εφαρµογής του πιο πάνω συστήµατος για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας από το ρεύµα ενός ποταµού χρησιµοποιώντας το γήινο µα- 4 γνητικό πεδίο (θεωρείστε B T και υ = 3m/s). (ε) Μπορεί το σύστηµα να χρησιµεύσει για τη µέτρηση της ταχύτητας του νερού ενός ποταµού; (στ) Μπορεί η πιο πάνω διάταξη να τροποποιηθεί, έτσι, ώστε να χρησιµοποιηθεί για την άντληση ενός αγώγιµου υγρού; 7/ ύο παράλληλοι ευθύγραµµοι αγωγοί πολύ µεγάλου µήκους που απέχουν µεταξύ τους απόσταση d, διαρρέονται από τις ηµιτονοειδείς εντάσεις i = i = sin ωt. Στο επίπεδο των αγωγών και σε απόσταση γ από τον δεξιό τοποθετείται ορθογωνικό πλαίσιο διαστάσεων α β, µε τις πλευρές µήκους β παράλληλες προς τους αγωγούς. Για τις α- ριθµητικές τιµές = A, f = MHz, d = cm, γ = 3cm, α = 3cm, β = cm, ζητείται η στιγµιαία και η µέγιστη τιµή της τάσης που αναπτύσσεται εξ επαγωγής στο πλαίσιο. 7/ Σφαίρα, ακτίνας a είναι οµοιόµορφα φορτισµένη µε επιφανειακή πυκνότητα ρ s και περιστρέφεται περί τον άξονά της µε γωνιακή ταχύτητα ω. Ζητείται ο προσδιορισµός της µαγνητικής επαγωγής του δηµιουργούµενου πεδίου στο εσωτερικό της σφαίρας. 7/ Οι υπεραγώγιµες γραµµές αα και ββ του σχήµατος 7-8 πάνω στις οποίες ε- φάπτονται τα άκρα της ράβδου ΑΒ, απέχουν απόσταση l. Η ράβδος ΑΒ µπορεί να κινείται κάθετα σ ένα οµοιόµορφο εξωτερικό µαγνητικό πεδίο B, όπως στο σχήµα. Τη χρονική στιγµή t =, ο διακόπτης δ µετατίθεται από τη θέση () στη θέση (). Αν m είναι η µάζα της ράβδου ΑΒ, ζητούνται οι εκφράσεις του ρεύµατος, της τάσης U c στα άκρα του 436