Логаритамска функција шта ће то мени?

Transcript

1 Логаритамска функција шта ће то мени? Александра Равас Јован Кнежевић Нела Спасојевић Републички семинар 06. о настави математике и рачунарства у основним и средњим школама Београд, 4. фебруар 06.

2 Кратка историја логаритама Нисте ни свесни колико поезије се налази у рачунању таблице логаритама. Карл Фририх Гаус, својим ученицима Зашто логаритми? Многе области у којима су нумеричка израчунавања важна, попут астрономије, навигације, трговине, технологијее и ратовања, одувек су постављале захтеве да се те рачунице обављају што брже и тачније. Ту растућу тражњу задовољила су четири значајна открића: индо-арапскаа нотација, децималнии бројеви, логаритми, и савремене машине за рачунање. Најраније систематично разматрање децималних бројева може се наћи у утицајном тексту о аритметиции Симона Стевина насловљеном са Десета (La Disme, 585). Треће наведено откриће, које је у многоме штедело труд, био је изум Џона Непера који се појавио у његовој књижиции из 65 насловљеној са Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( Опис дивне таблице логаритама). Хенри Бригс је помогао усавршавању Неперовог проналаскаа и уложио је много труда и времена на конструисање прве таблице декадних логаритама. Неперово откриће логаритама Људи који су изучавалии и стварали математику током 6. и 7. века долазили су из разних струка и са разних друштвених положаја. Џон Непер, осми барон од Мерчистона, рођен. фебруара 550. у време када је његов отац био шеснаестогодишњак, већи део свог живота провео је на велелепном породичном имању, у замку Мерчистон, близу Единбурга, у Шкотској, трошећи много енергије на политичке и религиозне расправе свог времена. Био је жесток противник католичанства и јавно се борио за начела Џона Нокса и Џејмса I. Као заговорник протестантизма, 594. објавио је коментар на Откровење Јованово (под насловом Plaine Discovery on the Whole Revelation of Saint John) у коме је оштро напао Католичку цркву тврдећи да је римски папа уствари Антихрист. У коментару се налазило и откриће да је Створитељ предложио да се крај света деси у периоду између 688. и 700. Његова верска расправа била је врло популарна, па је објављено чак издање на више језика, од чега је најмање 0 издања објављено док је аутор био жив. Непер је сматрао да је то дело његов великии У коме је и преминуо, 4. априла 67.

3 допринос човечанству, а чињеница је да је, управо захваљујући доприносима, постао врло познат у своје време. њему, а не својим математичкимм Поред тога,, Непер је важио и за проналазача. Једна од његових практичних замисли је био уређај са хидрауличним навртњем и осовином која се окретала, а служио је за испумпавање воде из рудника угља. Попут Архимеда,, и Непер је цртао различите направе које су могле да служе за одбрану његовее отаџбине и вере у рату. Између осталог, међу нацртимаа тог деструктивног оружја могла су се наћи типа огледала која би могла да униште непријатељски брод на било којој задатој удаљености, једна артиљеријска направа која би могла да очисти простор од свих живих бића већих од једне стопе, а у пречнику од 4 миље око себе, једна оклопна кочија са ватреним устима која би сејала смрт на све стране и направе за пловидбу под водом. Иако нису одмакле даље од идеје на папиру, лако је препознати да су вековима касније реализоване као машинка, тенк и подморница. У сврху опуштања и одмора од политичких и религиозних полемика, Непер се занимао изучавањем математикее и науке.. Његови математички текстови су за главну тему имали практичностт израчунавања. У књижици под насловом Rabdologiae (што долази од грчких речи rabdos и logia, у значењу штапић и колекција) из 67. која је писана на латинском језику, и објављена у годинии Неперове смрти, уводе се штапићи помоћу којих је било могуће множити два броја механичкимм путем. Тај проналазак се често назива Неперовим костима захваљујући енглеском преводу из 667. у коме је реч logia погрешно протумачена и преведена као logos (говор): Вештина пребројавањаа помоћу штапића који говоре: просто названих Неперовим костима. Неперови штапићи су се састојали од 0 правоугаоних дрвених или коштаних штапића који су билии осмишљении тако да чине неку врсту таблице множења. Предња страна сваког штапића била је подељена на 9 квадрата. У први квадрат на врху била је угравирана конкретна цифра, а остали квадрати су садржавали њене производе редом са бројевима од до 9. У ситуацијама када би тај 3

4 производ био двоцифрен, цифре би биле раздвојене дијагоналом, при чему је цифра десетица била смештена у горњем, левом троуглу. Последњи штапић који се користио као означивач редова, био је исписан римским бројевима од до 9. Претпоставимо да је потребно помножитии 458 са 36. Штапићи којима је на врху уписано 4, 5 и 8 би билии поређани један до другог, заједно са означивачем редова. Посматрајући линију коју означава римскии број 3, добија се резултат множења са тројком; десетице из сваког квадрата се преносе дијагоналноо доле и сабирају са јединицама из следећег квадрата са леве стране. У посматраном примеру, добијају се редом 4, +5, + и, односно цифре 4, 7, 3 и производа 458 и 3 које су наведене у обрнутом редоследу; тачан производ је 374. На потпуно истии начин се добија да је производ бројева 458 и 6 једнак 748. Парцијални производи се на крају сабирају, при чему се води рачуна о њиховој месној вредности. Захваљујући томе што је било могуће брзо доћи до парцијалних производа, Неперови штапићи су у суштини сводили процес множења на сабирање. Ова направа, коју су Неперови савременици јако ценили, данас је само историјски куриозитет. Нови покрет за олакшавање нумеричких калулација достигао је свој врхунац Неперовим открићем логаритама. Барон Молтон је на уводном предавању поводом обележавања тристогодишњице објављивања Описа рекао: Џон Флечер Молтон, Барон Молтон, (8 новембар март 9), енглески математичар, адвокат и судија. 4

5 Логаритми су се појавили као гром из ведра неба. Ниједно претходно достигнуће није довело до њиховог открића, указало на њега или најавило њихов долазак. Они стоје усамљени, нагло прекидајући ток људске мисли, и не позајмљујући ништа од дела других интелектуалаца нити следећи познате линије развоја математичке мисли. Непер је потрошио пуних 0 година константно покушавајући да направи своје таблице, или каноне како их је сам називао. Још 594. астроном Тихо Брахе чуо је од Шкотланђани ина који му је био гост, прве вести о сјајном поједностављивању вештине израчунавања. То монументално достигнуће напокон је откривено 64. године у краткој књижици под насловом Mirificii logarithmorum canonis descriptio која је ималаа 47 страна, од којих су 90 заузимале таблице. Није пуно времена изгубљено да се књига са латинског преведе на енглески, учинио је то Едвард Рајт, енглески математичар и картограф који је успут смањио број децимала у таблицама за једну цифру. Превод је објављен постхумно, и то под називом Опис дивне таблице логаритама (66). Интересантно је да се реч логаритам појављује на насловници, али се у тексту користи израз вештачки број. Три године након објављивања овог чувеног дела, изашла је и књига под насловом Mirificii Logarithmorum Canonis Constructio која је написана пре Описа, а објавио ју је постхумно Неперов син Роберт. У њој је описан начин на који су конструисане таблице. Непер је радио на развоју логаритама у жељи да олакша напоре потребне за рачунице са веома великим бројевима које су биле споре и досадне. Био је упознат са делом Arithmetica Integra (544) 5

6 Михаела Штифела, у коме је немачки алгебриста упоредо навео сукцесивне степене двојке и одговарајуће експоненте, указавши на чињеницу да је збир два члана из (горњег) аритметичког низа био повезан са одговарајућим производом чланова (доњег) геометријског низа. Могуће да је то било довољно да Непер добије идеју о процесу који би заменио операције множења и дељења једноставнијим операцијама сабирања и одузимања. Са друге стране, постоје мишљења да је до свог открића дошао захваљујући релацији: sin sin = cos cos + Полазна идеја да се поједностави множење синуса је касније еволуирала и укључила и остале операције, и примену логаритама и на шири скуп бројева. Уосталом, као што је то приметио и барон Молтон, потпуно је неоснована тврдња да би се човек коме је на памет пала тако храбра идеја као што је израчунавање резултата множења употребом сабирања, непотребно ограничио само на синусе у својим разматрањима, уместо да покуша да уопшти своју теорију. Неперове дивне таблице биле су осмишљене за тригонометријске примене, пошто су давале вредности логаритама синуса углова између 30 0 и 90 0 у корацима од по једног минута. У његово доба обичај је био 3 да се синус угла α не посматра као однос, како ми то данас чинимо, већ као дужина половине тетиве над централним углом α у кругу довољно великог полупречника R; симболички записано, sin α =. Непер је сматрао да би, узевши да је R =0 добио тачност од седам значајних цифара пре увођења разломљених бројева. Конкретно, узео је да је sin 90 =0, назвавши га целим синусом, пошто је то била највећа могућа вредност коју је синусна функција могла да има. Непер је, без било какве сумње под утицајем Штифела, почео да упарује чланове геометријског низа са одговарајућим члановима аритметичког низа. Како би узастопни чланови геометријског низа били међусобно блиски, њихов количник мора бити близак јединици. Изабрао је да искористи 0, , што би у савременој нотацији могло да се запише као 0, као заједнички однос. Затим је то помножио са 0 да би избегао рачунање са децималним бројевима. Следећи корак је био да одреди низ вредности: 0 0,n=0,,,,00. Након што је прво користио израз вештачки број, Непер је касније почео да експонент n назива логаритмом броја 0 0. Изгледа да је његов ток размишљања при избору терминологије био следећи: 0 0 се изводи из 0 његовим узастопним множењем n пута изразом 0. Због тога се број n, дакле логаритам, може назвати или бројем израза или бројем који пребројава, у зависности од тога како се преводи грчка реч logos, која у енглеском језику има неколико повезаних значења. 3 А задржао се и неко време после Непера. 6

7 Ако ставимо да је N = 0 0, онда би Неперов логаритам броја N могли да означимо са Nep. log N = n. Онда је Nep. log 0 =0; другим речима, Nep. log sin 90 =0, или, како то Непер каже, ништа је логаритам пречника. Такође је: Nep. log 0 =Nap.log =, Nep. log 0 = Nap. log =, итд. Овде треба истаћи неколико занимљивих особина. Као прво, вредности Nep. log N расту како се бројеви N (вредности синуса) смањују, што је потпуно супротно у односу на понашање логаритамаа какве данас користимо. Због тога што је уместо логаритма јединицее изабрано да логаритам броја 0 буде једнак нули, позната правила која се користе при логаритамским рачуницама не могу се применити на Неперов систем. Конкретно, Nep. log MN није једнак Nep. log M + Nep. log N. Штавише, следеће: једнакости M=0 0, N=0 0 и =0 0 повлаче MN = =0 0 0 =0 0 Одатле се добија да важи: Nap.logMN= m+n k= Nap. log M +Nap.log N Nap.log. Али, стоји чињеница да је Непер свео проблем множења великих бројева логаритама, при чему се мора водити рачуна да је Nap. log = на сабирање њиховихх Пошто није користио експоненте као олакшицу (та нотација је у његово времее била новина) Непер је одредио свој геометријски низ помоћу интересантног ланца резоновања. Можемо то илустроватии модерном симболикомм уколико ставимо да је N =0 0. Лако се показује да је: = 0 = 0. Пошто производ 0 подразумева само померањее децималног зареза, вредност се добија уз врло мало труда помоћу вредности. Непер је једноставноо од сваког новодобијеног чланаа одузимао његов део који би одговарао 0 како би добио следећи члан низа, на пример: Оваква сукцесивна одузимања је понављао све док није стигао до стотог члана свог геометријског низа, за кога важи једнакост = , ; због тога је логаритам овог последњег исписаног броја једнак 00. 7

8 Након што је дошао до логаритама основних бројева, још увек је преостало израдити логаритме свих преосталих бројева који су се налазили између, што није био једноставан посао. На овом месту нема довољно простора за детаљно објашњење, али треба нагласитии да је, да би то урадио, Непер користио софистицирану и генијалну шему интерполације. Требало би приметитии још нешто. Наиме, нумеричка вредност израза 0 је приближно једнака =lim. Због тога су Неперови логаритмии у суштинии систем логаритама за основу, иако их он никад није посматрао на тај начин. Бригсов допринос Неперов Опис је био дочекан са великим одушевљењем,, а посебно је у томе предњачио Хенри Бригс 4, који је у то време био професор геометрије на новооснованом лондонском колеџу Грешам. Касније, око 60. постаће први професор астрономије на Оксфорду. Бригс је прочитаоо Неперову књижицу на латинском, и у писму свом пријатељу Џејмсу Ашеру, датираном на 0. март 65. написао је да је... у потпуности заузет племенитим изумом логаритама који су откривении у скорије време. наставивши:- Напер, лорд од Маркинстона је упослио моју главу и моје руке својим новим и дивним логаритмима. Надам се да ћу га видети овог лета, уколико Бог то дозволи, јер никада нисам видео књигу која ме је више обрадовала илии навела да се више чудим. Чим се упознао са логаритмима, Бригс је почео да размишља о начину како се би се они могу побољшати и врло брзо је почео да држи предавања о логаритмимаа својим студентима. Лично сам изнео примедбу, током предавања која сам држао у Лондону студентима на колеџу Грешам, да би било много згодније да се 0 употреби као логаритам целог синуса... У вези са тим одмах сам писао аутору. Бригс се у лето 65. упутио на напоран пут од Лондона до Единбурга. Логаритми су му се чинили толико новим и оригналним достигнућем да је пожурио у једномесечну посету Неперу у замку Мерчистон. Пут који би се данас могао прећи возом за 4 сата је за Бригса трајао најмање 4 дана вожње кочијом. То није био пут на који би се људи његовог времена лако одлучили, али је Бригс жарко желео да се сретне са Непером. Прича се да је тачно у тренутку када се Непер пожалио заједничком пријатељу како господин Бригс неће ни доћи, Бригс закуцао на капију. Два човека су зурила један у другог опхрвана емоцијама и без иједне речи пуних 5 минута! Тај сусрет је записао Вилијам Лили према казивању Џона Мара: Г. Бригс је навео тачан дан када ће се срести у Единбургу; али како се није појавио у назначено време, Мерчистон се уплашио да неће ни доћи. Десило се једног дана, баш у време када су Џон Мар и лорд Непер разговарали о г.. Бригсу да је Мерчистон уздахнуо Ох, 4 Рођен фебруара 56. у Ворливуду, у Јоркширу, близу места Халифакс у Енглеској. Умро 6. Јануараа 630. у Оксфорду. 8

9 Џоне, г. Бригс неће ни доћи, када се до сада није појавио ; у истом том тренутку неко је покуцао на капију, Џон Мар је потрчао да одговори и испоставило се да је, на његово велико задовољство,, то управо био главом и брадом г. Бригс. Одвео је г. Бригса у одаје лорда Непера, где су провели скоро четврт сата, посматрајући са дивљењем један другог,, пре него што је изговорена прва реч. На крају је г. Бригс проговорио, - Господине, упутио сам се на ово дуго путовање са намером да вас лично упознам, и да сазнам захваљујући ком покретачу довитљивости или генијалности сте први дошли на идеју о овој врлој помоћи астрономији, тј. логаритмима; али, господине, након што сте их ви открили, питам се како их нико није откриоо пре вас, јер је то тако лако, сада кадаа су нам познати. Бригс је напоменуо Неперу, у писму које му је послао пре њиховог сусрета, да би логаритми (у нашој терминологији) требало да имају основу 0, и почео је да саставља одговарајуће таблице. Непер је одговорио да је и сам дошао на ту идеју, али:... није био у стању, због свог лошег здравља и неких других отежавајућих околности, да преузме обавезу састављања нових таблица. При сусретуу са Бригсом, Непер је предложио да би нове таблице требало да буду састављене уз претпоставке да је основа број 0 и да је логаритам јединице једнак нули, а логаритам броја 0 једнак јединици. Тиме би се добило да су логаритми свих бројева већих од јединице позитивни. Бригс је касније писао да је Непер предложио:... да би 0 требало да буде логаритам јединице,, а 0,000,000,000 логаритам целог синуса, за шта могу само да признам да је најзгодније. И Бригс је заиста саставио такве таблице. Провео је месец дана са Непером при својој првој посети замку Мерчистон у лето 65. Већ следеће године по други пут превалио далек пут од Лондона до Единбурга како би још једном посетиоо Непера, и допутовао би и трећи пут 67, али је Непер преминуо почетком априла,, пре планиране летњее посете. Бригсова прва књига о логаритмима, под називом Logarithmorum Chilias Prima објављена је у Лондону 67. У њој Бригс у предговору наводи да је Неперова скорашња смрт разлог за њено објављивање, тачније:... за добро његових пријатеља и студената колеџа Грешам. Бригсова Логаритамска аритметика (Arithmeticaa Logarithmica), штампана 64. садржи логаритме првих бројева, као и бројева између и , и то на 4 децимала. У њој се налазе и таблице вредности синуса на 5 децимала, као и вредности за тангенс и секанс на 0 децимала. У овој књизи Бригс је напоменуо да би вредности за недостајуће бројеве могла да израчуна група људи и чак је понудио да обезбеди ишпартан папир посебно намењенн у ту сврху.. 9

10 Преостале недостајућее логаритме бројева између и израчунао је холандски геометар Језекил де Декер, а објавио 68. холандски књижар и издавач Адријан Влак ( ), заједно са Бригсовим резултатима, у делу које је скромно описао као друго издање књиге Логаритамскаа аритметика. Влакове таблице штампао је Џорџ Милер 63. у Лондону, а њихово следећее комплетноо издање се појавило 73. у Пекингу. На крају би требало споменути да је швајцарац Јобст Бурги 5 (55-63), дошаоо на идеју о логаритмима крајем осамдесетих година 6. века. Бургијеви рукописи чувају се у Пулковској опсерваторији Руске академијее наука у близини Санкт Петерсбурга и сви су писани пре 60, па је јасно да је своју теорију развио независно од Непера. Поред тога, Бурги је проблем решавао алгебарски, за геометријски. разлику од Непера који му је пришао Међутим, Бургијеве таблице су, под насловом Arithmetischee und Geometrische Progress-Tabulen објављене у Прагу тек 60, пуних шест година након Неперовог Описа, и то под врло незгодним историјским околностима, при почетку Тридесетогодишњег рата 6, у време битке на Белој гори 7. Тек неколико примерака Бургијеве књиге је сачувано, те је остала скоро непримећена. Саме таблице представљају списак антилогаритамаа са основом,000. Логаритми су штампани црвеном бојом у првом реду и крајњој левој колони, а антилогаритми су штампани црном бојом,, па Бурги логаритме назива црвеним бројевима ( Die rote Zahl). Терминологија Реч логаритам је кованица настала употребом грчких речи logos, у значењу пребројавање, однос и arithmos, у значењу број. Индо-европски корен грчке речи logos је leg, у значењу сакупити, док је за реч arithmos то ar, у значењу спојити, па реч логаритам два пута садржи у себи појам груписања. Према Оксфордском енглеском речнику, Непер не објашњава своје схватање значења речи логаритам. Обично се сматра да она треба да се преведе као број који означава однос, а то тумачење није неподесно, али није ни очигледно без додатног објашњења. Међутим, могуће је да је Непер употребио реч logos само у значењу пребројавања. У књизи Constructio, која је написана пре Описа, уместо термина логаритам, Непер је употребљавао фразу вештачки број. Реч логаритам је усвојио пре него што је објавио своје откриће. Хенри Бригс је 64. године увео реч мантиса. То је латински термин етруршчанског порекла, у оригиналном значењу додавање, допуна, нешто што има мању вредност и писао се mantisa. У 5 Jost Bürgi (понекад и Joost, Jobst; латинизирано презиме Burgius или Byrgius). 6 Рат који је трајао од 68. до 648. године, и водио се највећим делом на територији данашње Немачке и Чешке. У њега су биле увучене највеће европске континенталне силе. Иако је од самог почетка имао карактерр верског сукоба протестаната и католика, ривалство Хабзбурга и других сила имало је у њему централну улогу. 7 Битка на Белој гори одиграла се 8. новембра 60. То је прва велика, и одлучујућа битка Тридестогодишњег рата. Комбиноване царске и католичке снаге нанеле су тежак пораз војсци чешких протестаната и плаћеника. 0

11 6. веку писало се mantissa са значењем додатак, а Бригс га је вероватно и користио у том смислу. Валис у својој Алгебри (685), користи исти термин у вези са децималним бројевима, али он није био општеприхваћен све док га није усвојио Ојлер у свом делу Introductio in analysin infinitorum (Увод у анализу бесконачних величина, 748). Гаус је предложио да се користи као назив за разломљени део свих бројева. У 8. веку термин мантиса је постао општеприхваћен и појављује се у радовима многих аутора. Термин карактеристика је 64. године предложио Бригс, а може се наћи и у Влаковим таблицама из 68. године. У првобитним таблицама штампане су и карактеристике, а тек у 8. веку прихваћен је обичај навођења само мантиса. Литература. Дирк Ј. Стројк, Кратак преглед историје математике, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 99.. Steven Schwartzman, The Words of Mathematics, An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, МАА, Washington, David M. Burton, The History of Mathematics, AN INTRODUCTION, Seventh Edition, McGraw-Hill, New York, Julian Havil, John Napier, LIFE, LOGARITHMS, AND LEGACY, Princeton University Press, New Jersey, J. J. O'Connor и E. F. Robertson, Henry Briggs (

12 Примене логаритама Основни разлог за употребу логаритама при изражавању јачине земљотреса и јачине звука лежи у намери да се бројеви који се појављују ограниче на употребљив опсег. На пример, уколико нека величина може да има произвољну вредност из интервала од 0 (што се је безначајно мало) до 0 (што је астрономски велико) ), онда је вредност log у згоднијем интервалу 00,00. Јачина земљотреса Постоји више приступа којима се сеизмолошка очитавања конвертују у јединствену скалу која осликава јачину земљотреса. Најчешће је у употреби тзв. Рихтерова скала коју је дефинисао америчкии сеизмолог и физичар Чарлс Франсис Рихтер ( ) у чему му је помогао америчкии сеизмолог немачког порекла Бено Гутенберг ( ). Рихтерова скала испод Опис земљотреса микро мањи лагани умерени јаки велики разарајући епски Последице деловања земљотреса Микропотреси, не осећају се. У општем случају се не осете, али их сеизмографи бележе. Често се осете, али ретко узрокују штету. Приметно трескање покућства, присутнии звуци трескања. Значајна оштећења су ретка. Узрокују штету на слабијим грађевинамаа у руралним регијама, могућа мања штета код савремених зграда. Могу изазвати штете у насељаним подручјима 60 km од епицентра. Узрокују озбиљну штету на великом подручју. Могу проузроковати велику штету и на.000 километара од епицентра. Катастрофални земљотреси који уништавају већину објеката у кругу од неколико хиљада километара. Никада нису забележени. Учесталост појаве око дневно око.000 дневно годишње (процена) годишње (процена) 800 годишње 0 годишње 8 годишње годишње у 0 година екстремно ретки (непознати)

13 Стандардни сеизмограф може да региструје земљотрес јачине веће од степена Рихтерове скале, а, са друге стране, никада није забележен земљотрес који је био јачине веће од 9 степени по Рихтеровој скали. Само 6 земљотреса је имало јачину од 8,5 или више степени Рихтерове скале. Како би се описало мерење употребом Рихтерове скале, најпре се уводи референтни земљотрес, односно земљотрес нултог нивоа на скали, а то је, по дефиницији, било који земљотрес чији би најјачи сеизмички талас на стандардном сеизмографу, који се налази на растојању од 00 километара од епицентра земљотреса, могао да се очита као 0,00 милиметар ( микрон). Јачина земљотреса дата је формулом =log =log log, где је са означена амплитуда највећег сеизмичког таласа посматраног земљотреса очитана на стандардном сеизмографу, док је амплитуда највећег сеизмичког таласа земљотреса нултог нивоа са истим епицентром, очитаног на истом сеизмографу. Вредности за за различита растојања од епицентра су унапред израчунате, па је потребно само измерити како би се одредила јачина посматраног земљотреса. Што је земљотрес јачи, то је већи количник амплитуда сеизмичких таласа. Тај количник назива се јачином земљотреса. Земљотрес који је погодио Аљаску на Велики петак, био је јачине 8,5 степени по Рихтеровој скали. Скоро две деценије касније, јак земљотрес од 6,5 степени Рихтерове скале погодио је место Коалинга у Калифорнији. Колико пута је земљотрес на Аљасци био јачи од оног у Калифорнији? log =log =log log = =0 = 00 = 00 Понекад се наводи да је јачина земљотреса који је погодио Аљаску 964. године била 8,4 степена Рихтерове скале. Одредити количник максималне амплитуде земљотреса јачине 8,4 степена у односу на земљотрес јачине 8,5 степени. log =8,4 8,5= 0, =0, 0,79. Од 7 великих земљотреса који су погодили Иран током седамдесетих година двадесетог века, два (из априла 97. и марта 977.) су била јачине од приближно 6,9 степени Рихтерове скале. Одредити количник амплитуда највећих таласа тих земљотреса, ако се они упореде са земљотресом који је 906. Погодио Сан Франциско, а био је јачине 8,3 степена Рихтерове скале. log =6,9 8,3=,4 =0, 0,04. Најјачи земљотреси свих времена су забележени на обали Еквадора и Колумбије 906. и у Јапану 933. Сва три су била јачине 8,9 степени Рихтерове скале. Одредити количник амплитуде највећег таласа земљотреса наведене јачине у односу на одговарајући талас земљотреса нултог нивоа. log =8,9 =0, ,7. 3

14 Земљотрес који је погодио Аљаску на Велики петак 964. био је јачине 8,5 степени по Рихтеровој скали. Одредити количник амплитуда a a. log =8,5 =0, ,0. Уколико је земљотрес јачине степена Рихтерове скале, одредити амплитуду његовог најјачег таласа на растојању од 00 km од епицентра. log = = 00 = 00 0,00 = 0,. Ако се амплитуда максималног сеизмичког таласа удвостручи, за колико ће се повећати јачина земљотреса? = =log =log+log = 0, Претпоставимо да се сеизмограф налази на растојању од тачно 00 km од епицентра земљотреса. Одредити јачину земљотреса, уколико је највећа амплитуда сеизмичког таласа регистрованог апаратом микрон, милиметар, центиметар. ) = =0,00 =0; ) =, =0,00 =log =3;, 3) = 0, =0,00 =log =4., 4

15 Æ a R a > 0 a º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ ÙÒ Ù y = a x º ÈÖ Ú y = b Õ Ö ÙÒ y = a x Ù Ø ÕÒÓ ÒÓ Ø Õ Ó a > 0 Ò Ñ Þ Ò Õ Ø Õ Ö ÓÑ Ó b 0º ÖÙ Ñ Ö Õ Ñ Þ ( b > 0)( x R) a x = bº Ò Æ a R a > 0 a º ÄÓ Ö Ø Ñ ÖÓ b Þ Ó ÒÓÚÙ a Ö Ð Ò ÖÓ Ó Ñ ÔÓØÖ ÒÓ Ø Ô ÒÓÚ Ø ÖÓ a Ó Ó ÔÓÞ Ø Ú Ò ÖÓ bº ÇÞÒ Õ Ú log a b. Ã Ó ÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ Ø ÚÒ Þ a x = a x x = x. ËØÓ ÐÓ Ö Ø Ñ ÔÓÞ Ø ÚÒÓ ÖÓ b Ó Ö Æ Ò ÑÓ ÑÓ ÙÚ Ø Ó Ö Æ ÒÙ ÓÞÒ Ù a x = b log a b = x. ÖÓ a Ò Þ Ú Ó ÒÓÚ ÖÓ b ÒÙÑ ÖÙ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ò º a > 0 a b > 0 Ú a log a b = b. Ç ÒÓÚÒ ÚÓ ØÚ ÐÓ Ö Ø Ñ Ó Ú a > 0 a x > 0 y > 0 Ú log a xy = log a x+log a y log a x n = nlog a x n Rº Ì ÚÓ ØÚ ÞÚÓ Ò Ð Ò Õ Òº Ó α = log a x β = log a y Ñ ÑÓ a log a xy = xy = a α a β = a α+β = a log a x+log b y. a log a xn = x n = (a log a x ) n = a nlog a x º ÈÓ Ð log a y x = log ax log a y; log a n x = n log a x. ÈÖ Ñ Ö ½º log3x = log3+logx ¾º log(3+x) =? º log a5 b 4 c 3 x+ = 5loga+logb+ 3 4 logc log(x+) º Ç Ö Ø log 6 3 Ó log 6 4 = xº ½

16 Ê Ü log 6 3 = log 6 6 = log 6 6 log 6 = log 6 4 = log 6 4 = xº º Ç Ö Ø ÚÖ ÒÓ Ø ÞÖ Þ log 4 +log 6 5 log30º Ê Ü log 4 +log 6 5 log30 = log log30 = log 5 0 log30 = log3 log0 log3 log0 =. º Ç Ö Ø ÚÖ ÒÓ Ø ÞÖ Þ log x x xº Ê Ü log x x x = log x x x = log x 4 x 3 = log 4 x4 x 3 = log 8 x 7 = 7 8 logx. º 5 4 log 38+3log 6 log 3 +log 3 7 º 5 3 log log log 5 = º ÁÞÖ ÕÙÒ Ø µ log 4a 7 5b 3 4 3a µ log 5b 3 c º 7 ½¼º ÁÞÖ ÕÙÒ Ø logx Ó x = 3a b c 4 dc 3 º ½½º ÁÞÖ ÕÙÒ Ø logp Ó P = s(s a)(s b)(s c) º ½¾º log(a +b )+logc ½ º loga 3log(a +b ) ½ º log 8 log 4 log 6 ½ º log 8 log 6 3 log ( log 5 ) = 56 5 º ¾

17 ÈÖ Ñ Ò Ó ÒÓÚÒ ÚÓ Ø Ú ÐÓ Ö Ø Ñ ß Ú ËÚÓ ØÚ ÐÓ Ö Ø Ñ log a = 0 log a a = log b a = log b n a n n N ÍÔÙØ ØÚÓ log b n a n = α (b n ) α = a n b α = a α = log b aº log b a log a b = ÍÔÙØ ØÚÓ a log a b = b log b a log a b = log b b log a b log b a = º log a b = log cb log c a ÍÔÙØ ØÚÓ a,b > 0 a,b c > 0 c µ a,b > 0 a,b x > 0 c º log a s b = s log ab s 0 s Rº ÍÔÙØ ØÚÓ log a s x = a log a c = b log b c log a a log a c = log a b log b c log a c = log b c log a b log a c log b c = log a b log cb log c a = log a b log x a s = slog x a = s log axº ÄÓ Ö Ø Ñ ÙÒ Ò Ö Æ x R a > 0 a º ÙÒ y = a x Ó ÔÖ Ð Ú R Ò R + º Ì Ú log a y = log a a x Ø º x = log a yº Ã Ó f(x) = a x f : R R + ØÓ ÔÓ ØÓ ÒÚ ÖÞÒ ÙÒ ÙÒ f(x) = a x ØÓ ÙÒ Æ a > 0 a x > 0º f (x) = log a x, f : R + R. ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ ÙÒ Ù y = a x a (0,) ß ÓÑ Ò ÙÒ D x = (,+ ) Ó ÓÑ Ò D y = (0,+ ) ß ÙÒ ÔÖ y¹ó Ù Ù Ø Õ (0,) ß ÙÒ ÓÔ ß Ã x + ÔÖ Ú y = 0 ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ ÑÔØÓØ º Ó ÒÚ ÖÞÒ ÙÒ Ò ØÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÙ f (x) = log a xº Ó Ó Ò Ù Ò

18 ß ÓÑ Ò ÙÒ D x = (0,+ ) Ó ÓÑ Ò D y = (,+ ) ß ÆÙÐ ÙÒ Ø Õ (,0) ß ÙÒ ÓÔ ß ÈÖ Ú x = 0 Ú ÖØ ÐÒ ÑÔØÓØ Ò ØÖ Ò Ø º x 0+0 y + º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ ÙÒ Ù y = a x a (,+ ) ß ÓÑ Ò ÙÒ D x = (,+ ) Ó ÓÑ Ò D y = (0,+ ) ß ÙÒ ÔÖ y¹ó Ù Ù Ø Õ (0,) ß ÙÒ Ö Ø ß Ã x ÔÖ Ú y = 0 ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ ÑÔØÓØ º Ó ÒÚ ÖÞÒ ÙÒ Ò ØÓÑ ÒØ ÖÚ ÐÙ f (x) = log a xº Ó Ó Ò Ù ß ÓÑ Ò ÙÒ D x = (0,+ ) Ó ÓÑ Ò D y = (,+ ) ß ÆÙÐ ÙÒ Ø Õ (,0) ß ÙÒ Ö Ø ß ÈÖ Ú x = 0 Ú ÖØ ÐÒ ÑÔØÓØ Ò ØÖ Ò Ø º x 0+0 y º ÈÖ Ñ Ö ½º Í ØÓÑ ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = log x y = log (x 3) y = log (x+)º ¾º Í ØÓÑ ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = log x y = log x+ y = log x 3º º Í ØÓÑ ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = log x y = log x y = log x º º Í ØÓÑ ÓÓÖ Ò ØÒÓÑ Ø ÑÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ µ y = log x y = log (x ) y = log (x ) µ y = log (x ) y = log x y = log x º º ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = a log a x º º ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = log x 3 º º ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÒ y = log x log x º Ò

19 ÄÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò ÄÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò Ù Ò Õ Ò Ù Ó Ñ Ò ÔÓÞÒ Ø Ú ÔÓ ÞÒ ÓÑ ÐÓ Ö ØÑ º Æ ÔÖ Ñ Ö log (x ) + log (x + ) = x logx = 0, log x = Ø º ÑÓ ÑÓ Ð ÔÖ Ú ÐÒÓ Ö Ü Ú ÑÓ ÔÓØÖ ÒÓ ÔÓ Ø ÑÓ Ö Ø Ö Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÙÒ º ÁÞÖ Þ log ϕ(x) f(x) Ò Ò Ó ÑÓ Ó f(x) > 0 ϕ(x) > 0 ϕ(x) º Ã Ó Ö Ü Ú Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ù Ò Õ ÒÙ ß ÈÓØÖ ÒÓ ÙØÚÖ Ø Ó Ð Ø Ò ÒÓ Ø ÒÙÑ ÖÙ Ó ÒÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò Õ ÒÙ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ó Ó Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÙÒ Ò ÜØÓ ÒÓ Ø ÚÒ Ó Ð º Æ ÒÓ Ø ÚÒ ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò Ó Ð log b f(x) = cº ÇÒ Ö Ü Ú ÓÖ Ü Ñ Ò ÐÓ Ö ØÑ º Ó b > 0 b f(x) > 0 Ð log b f(x) = c f(x) = b c. Æ ÔÖ Ñ Ö log (x+) = º Ã Ó > 0 x+ > 0º ÇÕ Ð ÒÓ 0 ÑÓÖ ÑÓ ÙØÚÖ Ø ( ) = x+ x = 3. ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ò Õ ÒÙ Ó Ð log b f(x) + log b ϕ(x) = cº b > 0 b f(x) > 0 ϕ(x) > 0 Ñ ÑÓ Ó log b f(x)+log b ϕ(x) = c f(x) ϕ(x) = b c. Æ ÔÖ Ñ Ö log (x )+log (x+) = º ÅÓÖ Ø x > 0 x+ > 0 Ø x > º ÁÑ ÑÓ log (x )(x+) = x +x = 4 x +x 6 = 0 x =. ÃÓ Ò Õ Ò Ó Ð log b f(x) = log b ϕ(x) ÔÖ Ñ Ò ÑÓ Ó Ó ÒÙ ÐÓ Ö Ø Ñ ÙÒ ½¹½ Ô Ø Ò Õ Ò Ó Ù ÐÓ Ö ØÑ ¹ Ò Ò Ú Ú Ð ÒØÒ Ò Õ Ò f(x) = ϕ(x)º b > 0 b log b f(x) = log b ϕ(x) f(x) = ϕ(x) f(x) > 0 ϕ(x) > 0. Æ ÔÖ Ñ Ö log 5 +x 0 = log 5 x+ +x = x > x > 0 x+ x +x 8 = 0 x > x = 3 x > x = 3. ËÐÓ Ò ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ó Ó Ò ÐÓ Ö Ø Ñ ÚÓ¹ Ò Ó ÒÓÚÒ Ø ÔÓÚ º Æ Ó Ñ ØÓ Ù

20 ÓÚÓÆ Ò Þ Ò Õ Ù Ó ÒÓÚÙ Ñ ØÓ Þ Ñ Ò 3 ÐÓ Ö ØÑÓÚ Ò Õ Ò º ÈÖ Ñ Ö ½º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ log x+log 4 x+log 6 x = 7º Ê Ü log x+log 4 x+log 6 x = 7 log x+ log x+ 4 log x = log x = 7 log x = 4 x = 6. ¾º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ log ( x +) log ( x+ +) = º Ê Ü Æ log ( x +) = tº ÁÑ ÑÓ log ( x+ +) = log (( x +) ) = +log ( x +) = +t. Ð Ò Õ Ò ÚÓ Ò t(t+) = Ø Ù Ö Ü t = t = º ÎÖ Ñ Ñ Ò ÙØÚÖÆÙ ÑÓ x + = 4 Ò Ö Ü Ø x + = Ø º x = 0º º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ ( x) log 3 x = 3º Ê Ü ÅÓÖ Ø x > 0 x º ÁÑ ÑÓ log 3 ( x) log 3 x = log 3 3. Ð (log 3 x ) log 3 x = log 3 3, Ô ÙÚÓÆ Ñ Ñ Ò log 3 x = t Ñ ÑÓ t t = 0. Ê Ü Ù t = t = º ÎÖ Ñ Ñ Ò Ò Ð Þ ÑÓ Ù Ö Ü x = 9 x = 3 º ÄÓ Ö Ø Ñ Ò Ò Õ Ò ÈÖ Ö Ü Ú Ù ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Ò Õ Ò ÓÖ Ø Ó Ó Ò ÐÓ Ö Ø Ñ¹ ÙÒ ÓÒ ØÖÓ Ó ÓÔ Ù Þ 0 < a < ØÖÓ Ó Ö ØÙ Þ a > º ÖÙ Ñ Ö Õ Ñ Ø º log a f(x) < log a g(x) 0 < a < f(x) > g(x) f(x),g(x) > 0, log a f(x) < log a g(x) a > f(x) < g(x) f(x),g(x) > 0. ÈÖ Ñ Ö ½º log x > 0 x > ¾º log x < x ( 0, )

21 º log 64 x > x (0,8) º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log x 3 > 5º Ê Ü x (0,) Ñ ÑÓ log x 3 > log x x 5 3 < x 5 x < ÒÓ ØÓ Ö Ü Ò Ù Ð ÒÓ Ø Ù ÐÓÚÓÑ x (0,)º x (,+ ) Ñ ÑÓ log x 3 > log x x 5 3 > x 5 x < Ø Ö Ü x (,)º º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log x 5 < 3º Ê Ü x (0,) Ñ ÑÓ log x 5 < log x x 3 5 > x 3 x < 5 Ø Ö Ü x (0,)º x (,+ ) Ñ ÑÓ log x 5 < log x x 3 5 < x 3 x > 5 Ø Ö Ü x > 5º ÃÓÒ ÕÒÓ Ö Ü Ò Ò Õ Ò Ð x (0,) (5,+ ) º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log ( ) x+ log 3 0º x Ê Ü Ç Ð Ø Ò ÒÓ Ø D x = (,+ )º Ê Ü Ò Ò Õ Ò ÒØ ÖÚ Ð x [,+ )º º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log 5 x+log 4x > º Ê Ü ( Ç Ð Ø Ò ÒÓ Ø ) D x = (0,+ )º Ê Ü Ò Ò Õ Ò ÒØ ÖÚ Ð x 4 log 0,8 0,,+ º ( º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log x 4x+3 ) 3º ( º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log log4 (x 5) ) > 0º 3 ½¼º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log 3 ( x) < log 3 (x+)º ½½º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log x+3 x < º

22 Þ ÔÖ Þ ÒØ Ù ½º Ç Ö Ø log 4 Ó log 68 3 = a log 68 7 = bº Ê Ü ÍÓÕ ÑÓ Ò ÔÖ 68 = 4 7º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ü ÑÓ ÐÓ Ö ØÑ Ó ÒÓÚÓÑ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ó ÒÓÚÓÑ ¾ º ÁÑ ÑÓ log 4 3 log 4 68 = a, log 4 7 log 4 68 = b. Ë Ó Þ ÖÓÑ log 4 68 = log 4 (4 7) = +log 4 7 Ò Ó Ø ÔÓ Ø Ù log 4 3 +log 4 7 = a, log 4 7 +log 4 7 = b. ÇÚ Ò Ó Ø Ö Ü Ú ÑÓ ÔÓ log 4 7 log 4 3 Ô Ò Ð Þ ÑÓ log 4 7 = b b+, Æ Ô Ü ÑÓ ÖÙ Ù Ò Ó Ø Ù Ó Ð Ù log 4 3 = a b. log 4 3 = log 3 log 4 = log 3 3+log 3 = a b, Ó Ð 3a log 3 = b a. ÃÓÒ ÕÒÓ log 4 ÔÖ ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ¾ Ø º Ø Ó ÔÖ Ñ ÒÓÑ ¾µ Ò Ð Þ ÑÓ log 4 = log log 4 = 3+log 3, log 4 = 3+ 3a b a = b a 3( b). ½µ ¾µ ¾º ÍÔÓÖ Ø ÖÓ Ú log log 45 75º Ê Ü ÌÖ Ò ÓÖÑ Ü ÑÓ Ó ÖÓ Ó ÑÓ ÙÔÓÖ Ð º log ρ log log 35 (5 35) ρ log 45 (5 3) log ρ log 45 (5 3) log 5 (5 7) + ρ log 45 5+log log ρ log 5 5+log log 3 3 +log log ρ +log log log log 5 3 ρ +log 5 3 +log a +3a ρ +a +a +4a+3a+6a ρ +a+6a+3a +7a+6a ρ +7a+3a 3a > 0  ÒÓ ÖÓ log Ú Ó ÖÓ log 45 75º

23 º Ó Þ Ø Ò Ò Ó Ø log 0 9+log 0 > log 098. Ê Ü ÈÖ Ñ ÒÓÑ Ò Ò Ó Ø ( +x) > +x x R Ñ ÑÓ log 0 9+log 0 = (+log 0 0,9) +( +log 0,) > +log 0 0,9++log 0, = +log 0 0,8 ++log 0, = log 0 8,+log 0, = log 0 (8,,) = log 0 98, > log º Ó Þ Ø Þ n N n 3 Ú Ò Ò Ó Ø Ê Ü ÁÑ ÑÓ Ã Ó log n (n+) = log n n log n (n+) < log n n. ( + ) ( = +log n n + ). n ( +log n + ) ( < +log n n + ) ( < +log n n + ), n ÔÖ ØÓÑ ( +log n + ) n = +log n n n = +log n n = log n n, Þ ÙÕÙ ÑÓ log n (n+) < log n n. º Ó Þ Ø log 7 7 > 7 7º Ê Ü ÈÓØÖ ÒÓ ÔÓ Þ Ø 7 7 < 3 < log 7 7º º Ó Þ Ø log 4 5+log 5 6+log 6 7+log 7 8 > 4,4º Ê Ü ÃÓÖ Ø Ó ÒÓ ÞÑ ÆÙ Ö ØÑ Ø Õ ÓÑ ØÖ Ö Ò Õ Ø Ö Ò Ò Ø ÚÒ ÖÓ Ñ ÑÓ log 4 5+log 5 6+log 6 7+log 7 8 = 4 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 = 4 4 log = 4 4 > 4, = 4,4. º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ log x+(x )log x+x 6 = 0.

24 Ê Ü Ø Ò Õ Ò Ú Ú Ð ÒØÒ Ð Ñ Ò Õ Ò Ñ Î ÑÓ log x log x 6+x(log x+) = 0, (log x 3)(log x+)+x(log x+) = 0, (log x+)(log x 3+x) = 0. log x+ = 0 Ð log x 3+x = 0. Ê Ü ÔÖÚ Ò Õ Ò ÓÕ Ð ÒÓ x = 4 º Â ÒÓ Ö Ü ÖÙ Ò Õ Ò x = º Ó ÑÓ ØÓ ÒÓ Ö Ü º ÈÓÜØÓ Ø Ò Õ Ò Ñ Ñ Ð ÑÓ Ó x > 0 ÔÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ú ÒØ ÖÚ Ð 0 < x < log x < log x+x < 3 log x+x 3 < 0; < x < log x 3 < log x+x 0 < log x+x 3. Ð x log x+x 3 0º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ø Ò Õ Ò Ñ Ú Ö Ü x = 4 x = º º Ó x > Ö Ü Ø Ò Õ ÒÙ Ê Ü Ã Ó Ò Õ Ò ÚÓ Ò Ó Ð log 3 x +3 log x = 4. log x = log 3 log 3 x, 4 = log 3 x log 3 +3 log 3 x 4 = log 3 x + (3 log 3 ) log 3 x, 4 = log 3 x + log 3 x. Ó ÙÚ ÑÓ Ñ ÒÙ t = log 3 x x > t > 0µ Ó ÑÓ 4 = t + t. ÈÖ Ñ ÒÓÑ Ò Ò Ó Ø ÞÑ ÆÙ Ö ØÑ Ø Õ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ñ ÑÓ 4 = t + t t t = t+ t = 4, ÔÖ Õ ÑÙ ÑÓ ÙÔÓØÖ Ð Ò Ò Ó Ø t+ º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ú ÞÒ Ò Ó¹ t Ø Ù Ó ÒÓ Ù Ö ØÑ Ø Õ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ø º t = t t = t. ÈÓÜØÓ t > 0 ÒÓ Ö Ü ÓÚ Ò Õ Ò t = º ÃÓÒ ÕÒÓ Þ Ò Õ Ò log 3 x = t = Ò Ð Þ ÑÓ x = 3 ØÓ ÒÓ Ö Ü Þ Ø Ò Õ Ò º º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ (5 x x ) +log 0 (5 x + x ) = x. Ê Ü ÈÖ Ñ Ò ÑÓ Ò Ò Ó Ø ÞÑ ÆÙ Ö ØÑ Ø Õ ÓÑ ØÖ Ö Ò Ó Ð 5 x + x 5 x x = 0 x, log 0 ( 5 x + x ) x, ÞÒ Ò Ó Ø Ú Ó ÑÓ Ó 5 x = x º ÈÓÜØÓ ( 5 x x ) 0 Þ Ú Ó x R Ø Ò Ó ÒÓÚÙ Þ Ø Ò Õ Ò Ò Ò Õ Ò µ Ñ ÑÓ x = ( 5 x x ) +log0 ( 5 x + x ) x, µ ½¼

25 Ô Ó ØÐ Ð Ù ( 5 x x ) = 0 ( log0 5 x + x ) = x, ØÓ ÔÙ ÒÓ 5 x = x xlog 5 = x x = log 5. ½¼º Ó ÚÖ ÒÓ Ø a Ò Õ Ò log x (x+a) = Ò Ñ Ö Ü Ê Ü Ô Ö ÖÓ Ú (x,a) Þ ÓÚÓ Ú Ó ØÙ Ò Õ ÒÙ ÔÓØÖ ÒÓ Ó¹ ÚÓ ÒÓ Ù Ù ÔÙ Ò Ù ÐÓÚ x+a = x, x+a > 0, x. Ì Õ Õ ÓÓÖ Ò Ø Þ ÓÚÓ Ú Ù Ù ÐÓÚ Ù Ø Õ Ô Ö ÓÐ ( a = x ) 5, Ó Ò Ð Þ ÞÒ ÔÖ Ú x + a = 0 Ó Ñ Ø Õ Ô Ñ ± Ø º Ó Ñ Ø Õ (, ) (, + ) к ½ µº ÈÖÓ Ú Ø Ø Õ Ò Ó Oa ÔÓÔÙ Ú Ù ÞÖ a >, Ó Ñ Ò Ø Õ a =. Ëк ½ ½½º Ê Ü Ø Ò Ò Õ ÒÙ log x (x+) log x+3 (3 x) 0. Ê Ü ÅÓÖ Ø x > 0 x x+ > 0 x+3 > 0 x+3 3 x > 0 Ø º D x = (,) (,). ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ ÔÓÒ Ü ÐÓ Ö Ø Ñ x (, ) x (,) x (,) log x (x+) +++ log x+3 (3 x) Á Ô Ø ÑÓ ÞÒ ÔÖÚÓ Õ Ò Ó º Ó x (,) Ø x > x+ (0,3) Ô Ú Ó x (, ) ÓÒ x+ (0,) Ø º log x (x+) < 0; ½½

26 Ó x (,) Ó Ò x+ (,3) Ø º log x (x+) > 0. Ó x (,) Ø x (0,) x+ (3,4) Ø º log x (x+) < 0. Ò ÐÓ ÒÓ ØÓÑ Ô Ø ÑÓ ÞÒ ÖÙ Ó Õ Ò Ð º Æ Ð Þ ÑÓ Þ x (,) Ú x+3 (,4) 3 x (,5) Ô log 3+x (3 x) > 0, Ó ÒÓ ÒÓ Þ x (,) Ú x+3 (4,5) 3 x (,) Ô Ð Ö Ü x (, ] (,)º log 3+x (3 x) > 0. ( ½¾º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ log xy + ) = (x+y ) º xy Ê Ü Â ÒÓ Ó Ð Ø Ò ÒÓ Ø xy > 0º Ã Ó Ñ ÑÓ Ã Ó xy + xy, ( log xy + ). xy (x+y ) Þ Ú Ó x y ÓÕ Ð ÒÓ Ò Ó Ø ÑÓ Ú ÑÓ Ù ÐÙÕ Ù Ù Ð Ú Ò ØÖ Ò Ò Ó Ø Ò ØÓ Ø ÐÙÕ Þ xy = x+y = Ô x = y = º ½ º Æ M ÙÔ Ú ÚÖ ÒÓ Ø Ö ÐÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ p Ø Ú Ò ¹ Õ Ò log(x +px) log(8x 6p 3) = 0 Ñ Ò ØÚ ÒÓ Ö Ü º Ì µ M = [, 3 ] {} µ M = ε M = {,3} µ M = {} µ M = [, 3 ] º Å ØÙÖ Ô Ø Å Ø Ñ Ø Õ ÑÒ Þ ½ º µ Ê Ü Ç Ð Ø Ò ÒÓ Ø Ò Õ Ò Â Ò Õ ÒÙ ÑÓ ÑÓ Ò Ô Ø Ù Ó Ð Ù D x = { x x +px > 0 8x 6p 3 > 0 }. log(x +px) = log(8x 6p 3), Ô ÒÓ ÓÒ ÚÓ Ò Ú Ö ØÒÙ Ò Õ ÒÙ x +(p 4)x+3(p+) = 0. ÈÓ ØÓ Ú ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ò Õ Ò Ð Ñ Ò ØÚ ÒÓ Ö Ü Ð Ñ Ú Ö ¹ Ü ÒÓ Ó Ø Ú Ö Ü Ò Þ ÓÚÓ Ú Ù ÐÓÚ Þ Ø º Í ÔÖÚÓÑ ÐÙÕ Ù Ò Ð Þ Ö Ù Ö Ñ Ò ÒØÙ Ú Ö ØÒ Ò Õ Ò Ñ ÑÓ 4(p 4) (p+) = 0, Ø º p = Ð p = 3º Ê Ü p = Ò Ñ Þ Ñ ÒÓÑ Ù Ú Ö ØÒÙ Ò Õ ÒÙ Ö Ü x = 3º Ê Ü p = 3 Ò Ñ x = 9 ÜØÓ ÓØÔ Ù ÑÓº Í ÖÙ ÓÑ ÐÙÕ Ù Ò Õ Ò Ñ Ú Ö Ü Ó p (,) (3,+ )º Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ ØÖ ÐÙÕ ½¾

27 Ó p (3,+ ) Ñ ÑÓ x +px > 0 x (, p) (0,+ ) ( 3 8x 6p 3 > 0 x 4 p+ 3 ) 8,+. ÇÚ Ú ÙÔ Ò Ñ Ù ÔÖ Ö Þ p > 3 Ú x (, 6) (0,+ ) x ( 8 8,+ ) Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ ( 8 8,+ ) Ô Ö ÓÐ ÔÖ Ú Ò Ñ Ø Þ Ò Õ Ø Õ Ó p [0,) ÔÖ Ú 8x 6p 3 Ô Ö ÓÐ x +px Ù Ù Ú Ñ Ø Õ Ñ Ø º Ò Õ Ò Ñ Ú Ö Ü 3 Ó p (,0) Ñ ÑÓ x +px > 0 x (,0) ( p,+ ) ( 3 8x 6p 3 > 0 x 4 p+ 3 ) 8,+. Ò Õ Ò Ñ Ð ÒÓ Ö Ü Ó Þ ÓÚÓ Ú Ù ÐÓÚ Ø Õ ÔÖ ÔÖ Ú y = 6p+3 ÑÓÖ Ø ÞÑ ÆÙ 0 pº Ó Ð Ð ÚÓ Ó ÒÙÐ 8 ÔÓ ØÓ Ð Ú Ø Õ Ó ÔÙ Ú Ù Ù ÐÓÚº Ó 6p+3 > p Ø 8 p > 3 6p+3 Ø ÔÓ ØÓ Ú ÔÖ ÕÒ Ø Õ º ÅÓÖ Ù 0 p 8 Ô p [ ], 3 º Ð Ø Õ Ò Ó ÓÚÓÖ µº ½ º Æ S ÙÔ Ú Ö ÐÒ ÖÓ Ú x Þ Ó Ú log x 6x 35x x 3. Ì Þ Ò ÖÓ Ú a b c d e f g a < b < c < d < e < f < gµ ÙÔ S Ó Ð µ (a,b] [c,d) (d,e] [f,g] µ [a,b] (c,d] [e,f) ε (a,b] [c,d] [e,f) µ [a,b] [c,d] [e,+ ) µ (a,b] [c,d)º Ê Ü Ø Ò Õ Ò Ñ Ñ Ð Ó x > 0 x 6x 35x+6 > 0º Ã Ó 35 6x 6x 35x+6 > 0 Þ Ú Ó x ÔÓ Ð Ò Ò Õ Ò ÔÙ Ò Ó 35 6x > 0 Ø º x < 35 º ÈÓ Ñ ØÖ ÑÓ Ú ÐÙÕ 6 Ó 0 < x < ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò ÚÓ Ò Ó Ð 6x 35x x x 3, 6x 4 35x 3 +6x 35x+6. ÈÖ ØÓÑ ÑÓ ÚÓ Ð Ö ÕÙÒ 35 6x > 0º Â Ò Õ Ò 6x 4 35x 3 +6x 35x+6 = 0 Ø ÓÞÚ Ò Ö ÔÖÓÕÒ Ò Õ Ò Ñ ØÖ ÕÒ Ñ Ó ÒØ Ñ º Ó ØÙ Ò Õ ÒÙ ÔÓ Ð ÑÓ x Ñ ÑÓ 6 (x + x ) ( 35 x+ ) +6 = 0. x ËÑ ÒÓÑ x+ = t Ò Ð Þ ÑÓ x 6(t ) 35t+6 = 0, ½µ Ø º 6t 35t+50 = 0. ½

28 Ê Ü Ø Ò Õ Ò Ù t = 0 3 t = 5 Ô ÚÖ Ñ Ñ Ò Ñ ÑÓ Ò Õ Ò x+ x = 0 3 x+ x = 5. Ê Ü ÔÖÚ Ò Õ Ò Ù x = 3 x = Ö Ü ÖÙ Ò Õ Ò Ù 3 x 3 = x 4 = º Ð Ò Õ Ò ½µ Þ ÓÚÓ Ò Þ 3 x Ð x 3º ÇÚ ÚÖ ÒÓ Ø x Þ ÓÚÓ Ú Ù Ù ÐÓÚ x > 0 x x < 35 º Å ÆÙØ Ñ ÔÓÜØÓ 6 Ù ÓÚÓÑ ÐÙÕ Ù 0 < x < Ö Ü ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Ò Õ Ò Ó Ø 3 x. Ó x > ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Ò Õ Ò ÔÓ Ø Ø º 6x 35x x x, 6x 4 35x 3 +6x 35x+6 0. ËÐ ÕÒ Ñ ÔÓ ØÙÔ ÓÑ Ò Ð Þ ÑÓ Ù Ö Ü Ò Ò Õ Ò ¾µ x, x, x 3, Ó Þ ÖÓÑ Ò Ù ÐÓÚ x > x < 35 6 Ñ ÑÓ < x 3 x < 35 6 º Ð Ö Ü ÐÓ Ö Ø Ñ Ò Õ Ò Ô Ó ÓÚÓÖ Îµº 3 x 35, < x, 3 x < 6, ½ º Ç Ö Ø ÖÓ Ö Ü Ò Õ Ò ( ) x log x =. 6 6 Ê Ü ÍÚ ÑÓ ÙÒ f (x) = log 6 x f (x) = ( ) x. 6 Ë ( k k ÓÞÒ Õ ÑÓ Ö Ú Ó Ö Æ Ò Ò Õ Ò Ñ y = f (x) y = f (x)º Ì Õ, ) ( 4 4, ) ÔÖ Ô Ù ÔÖ Ñ k k Ô Ù x = x = Ö Ü Þ Ø 4 Ò Õ Ò º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ù ÙÒ f f ÙÞ ÑÒÓ ÒÚ ÖÞÒ º ÌÓ ÞÒ Õ Ö Ú k Ñ ØÖ ÕÒ Ö ÚÓ k Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÔÖ ÚÙ y = x Ó ÖÒÙØÓ Ô ÔÖ Ú y = x Ó Ñ ØÖ º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ò Ø Õ ÔÖ Ø Ö Ú ÔÖ Ô Ù ÔÖ ÚÓ y = xº Ô Ø Õ ÔÖ Ù Ö Ü Ò Õ Ò ( x 6) = xº ÇÚ Ò Õ Ò Ñ ÒÓ Ö Ü Ó Ò Ð Þ ÑÓ ÒÙÑ Ö Õ Ñ ÔÙØ Ñº ÇÒÓ ÞÒÓ x = 0, º ÈÖ Ñ ØÓÑ Ø Ò Õ Ò Ñ ØÖ Ö Ü º ¾µ ½ º Ê Ü Ø Ò Õ ÒÙ ( ) log x log x x log 5 x =. Ê Ü ÅÓÖ Ø Ð x log x = Ð log x log x = 0º 5 Í ÐÙÕ Ù x log x = Ñ ÑÓ log x = x. ½

29 Ö Õ ÑÓ ÑÓ ÔÓ Þ Ø Ø Ò Õ Ò Ò Ñ Ö Ü º Í ÐÙÕ Ù log x log x = 0 Ñ ÑÓ 5 log x logx = 0, Ø º logx(logx ) = 0. ÇÕ Ð ÒÓ Ð x = Ð x = 0 ØÓ Ø x = Ð x = 5º ½ º Í Ö ÚÒ Oxy ÜÖ Ö Ø Ó Ð Ø Ê Ü ÁÑ ÑÓ Ú ÑÓ Ù ÒÓ Ø º I ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ó x > Ø Ê ÞÑÓØÖ ÑÓ Ú ÐÙÕ A = { (x,y) log x (log y x) > 0 }. log x (log y x) > 0 log y x > log y x > log y y. y > x > y 0 < y < x < yº ÌÓ Ò ÑÓ Ù Ö x > º Ð Ñ ÑÓ x > y > x > yº II ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ó 0 < x < Ø log x (log y x) > 0 0 < log y x < log y < log y x < log y y. ÁÑ ÑÓ Ú ÐÙÕ y > < x < yº ÌÓ Ò ÑÓ Ù Ö 0 < x < 0 < y < > x > yº ÈÖ Ñ ØÓÑ Ñ ÑÓ 0 < x < 0 < y < x > yº ÁÑ Ù Ó ÑÓ Ù ÒÓ Ø Ù Ú Ù Ò Ð Þ ÑÓ A = {(x,y) x >,y >,x > y} {(x,y) 0 < x <,0 < y <,x > y}. ½ º Ç Ú Ô ÖÓÚ Ö ÐÒ ÖÓ Ú (x,y) Ó Þ ÓÚÓ Ú Ù Ù ÐÓÚ log x +y(x+y) Ò ÓÒ Ô Ö Õ y Ò Ú º Ê Ü º ËÚ Ø Õ Ö ÚÒ Ó Þ ÓÚÓ Ú Ù ØÙ Ò Ò Õ ÒÙ Ò Ò Ù ÔÓÑÓ Ù Ú Ø Ñ Ò Ò Õ Ò x +y } >, x+y x +y ½µ ; x +y } <, 0 < x+y x +y ¾µ. Ó Ù ÖÙ Ó Ó Ò Ò Õ Ò Ø Ñ ½µ Ñ ØÖ ÑÓ y Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ÑÓ Ò ¹ Ò Õ ÒÙ ÔÓ x x x+y y 0. (3) ÇÚ Ò Ò Õ Ò Ñ Ö Ü ÑÓ ÙÞ Ù ÐÓÚ D = 4(y y) 0, Ø º Ó 4y 4y 0, Õ Ö Ü + y. Æ Ú ÚÖ ÒÓ Ø Þ y ÔÖ Ñ ØÓÑ +. y = + Ò Ò Õ Ò µ Ó Ó Ð x x + 0 Õ Ò ØÚ ÒÓ ( 4 Ö Ü x = ). ÈÖ ØÓÑ Þ Ø Õ Ù, + ÔÖÚ Ó Ò Ò Õ Ò Ø Ñ ½µ ½

30 Þ ÓÚÓ Ò º Ø Ñ ¾µ Ñ ÑÓ y < Ô Þ ØÓ ÖÙ Ø Ñ Ò ÒÓÚ Ö Ü Þ Ò Ú y. ÈÖ Ñ º Â Ò Õ Ò x+y = x +y ¹ Ò Ü ÖÙ ( x ) ( + y ) ( ) = y ÔÓÐÙÔÖ ÕÒ ÓÑ ÒØÖÓÑ Ù Ø Õ ( ),. ÃÓÖ Ø ØÓ Ð Ó Ó Ö Ø Ú Ö Ü Ò Ò Õ Ò Ø Ù Þ Ø Ù Ðº µ Ø Õ M Ñ ÓÓÖ Ò Ø (, + ). x+y = 0 ¼ к ½

31 . Na xto vixe naqina izraqunati log log log 8 + log 3. Napisati broj 3 kao stepen sa osnovama 9, 5, 7 i. 3 + log Odrediti znak brojeva log 3 4, log 3( 3 ), log ( 3 ) i log 3 (log 3 8). 4. Izraqunati log log 8 + log log. 5. Odrediti log p i log a p ako je p = a Odrediti log V i log r V ako je V = r3 π Ako je p = ab, odrediti log a p, log b p i log p. 8. Ako se zna da je log 0 = 0,3003, odrediti logaritam sa osnovom 0 od brojeva 4, 5, 8, 0, 3, 40, 50, 0,, 0,04, 0,5, 0,8, 0,5. 9. Uz pomo logaritamskih tablica ili digitrona, odrediti vrednost izraza 5,3 3 3, 7 5 3,7 35, Nacrtati grafike sledeih funkcija i ispitati ihove osobine: y = log 3 x, y = log 3 x +, y = log 3 x, y = log 3 (x + ), y = log 3 (x ), y = log x, y = log x +, y = log x, y = log (x + ), y = log (x ) Odrediti oblast definisanosti i nule funkcije y = log(x 3x).. Pomou grafika funkcije y = log 3 x odrediti du qiji merni broj duine predstav a: a) log 3 5; b) log 3 4,5; v) log 3 3, Pomou grafika funkcije y = log x, pokazati da je: a) log 6 = log + log 3; b) log 3 = log log 4; v) log 9 = log 3; g) log 5 = log Pomou grafika funkcije y = log 3 x i y = x+4, odrediti pribline vrednosti promen ive x takve da je log 3 x = x Odrediti skup vrednosti promen ive x takve da je: a) log (x + 3) > 0; b) log (x 4) > 0; v) log 5 (x + 3) < 0; g) log x < log (8 x). 6. Odrediti skup vrednosti promen ive x za koje je odreena funkcija:

32 3 x a) y = log 3 (x 5); b) y = log 5 ; v) y = log 3 x + ; g) y = log 3(x 5); d) y = 3 log x ; ) y = log( x); x e) y = log x + ; ) y = log x ; z) log (3x + ). 7. Rexiti jednaqinu log 3 x + log 9 x + log 7 x =. 8. Rexiti jednaqinu log( 3x 3x 3 ) = log( 3x 4 + 4). 9. Rexiti jednaqine: a) log x log(4x 5) = ; b) xlog x = 00; v) 5 log x + + log x = ; g) log 7x log(x + 7) = + log 4,5; ( ) d) log + x = log log x; ) x log x = Rexiti jednaqine: a) log x 9 log 8 x = 4; b) log x+ a + log ax a = 0; v) log x 0 + log 0x log 00x 0 = 0; g) log x log x = log 4x ; d) log 3x x log 3 x = log 3x 3 ; ) log x log x = 6 log x 6 ; e) log(x + 3) = log x; ) log x+ (x 3 9x + 8) log x (x + ) = 3.. Ako je 0 < a <, rexiti po x jednaqinu log a x > 6 log x a.. Nai sve realne brojeve za koje je definisan logaritam log x x 6(x + x 6). 3. Rexiti sistem jednaqina 3 x y = 576, log (y x) =. 4. Rexiti sistem jednaqina log y x 3 log x y =, log x = 4 log y. 5. Dokazati da su najvee vrednosti izraza (log 5 6) sin x i (log 6 5) cos x me- usobno jednake. 6. U elektrotehnici i akustici nivo snage L je funkcija snage P, merene prema referentnoj snazi P 0 = 0 W, meri se u decibelima i izraen je formulom L = 0 log P P 0.

33 a) Ako je P = Ru, gde je u elektriqni napon, a R otpor, dokazati da dva puta veem naponu odgovara za 8 db vei nivo snage; b) Ako jedan zvuqnik ima nivo akustiqne snage 78 db, pokazati da se uk uqiva em jox jednog takvog izvora nivo snage poveava na 8 db; v) Ako je gor a granica nivoa snage 9 db, koliko ovakvih zvuqnih izvora moe raditi istovremeno? 7. Dokazati identitet log x log x 4 + log x 4 log x log x n log x n = n n (log x ). 8. Odrediti koje od sledeih funkcija su jednake: f (x) = log x, f (x) = log x, f 3 (x) = log x, f 4 (x) = log x. 9. Odrediti sve racionalne brojeve r za koje je log r i sam racionalan. 30. Odrediti sva realna rexe a jednaqine 9 x 89 x = Rexiti jednaqinu log x a + log ax a + 3 log a x a = 0, a > 0, a. 3. Odrediti koji od navedenih iskaza su taqni: a) log( )( 3) = log( ) + log( 3); b) log( 3) = log( 3); v) log( ) 4 = log( ) ; g) log = log log Dokazati da je: a) log 3 = log 3 7 log 7 5 log ; b) log 3 log 4 3 log 5 4 log 6 5 log 7 6 log 8 7 = Odrediti vrednost realnog broja x tako da za kompleksne brojeve z = log(x + x + ) + i 4 x i z = log(x + ) + i( x+ 3) vai z = z. log log a 35. Izraqunati a log a, ako je a > 0 i a. 36. Rexiti jednaqine: a) + log (x ) = log x 4; b) 5 +log 4 x + 5 log 4 x = 6 5 ; v) 9 +log 3 x + 3 +log 3 x = 0; g) (log 0 x) log 0 x 3 + = 0; ( ) 3 d) log 3x log 3 x =. x 37. Ako su a, b i c realni parametri, rexiti jednaqine: a) log a x + log x a = ; b) log x log x a + = 0; v) log x a log a a 4 a x = ; g) log a x + log b x + log c x = log abc x; 3

34 d) log (x + x 7) = log 9 6x+x 4 ; ) log 3x+7 (9 + x + 4x ) + log x+3 (6x + 3x + ) = Rexiti nejednaqinu: a) (log 0,5 x) + x log 0,5 x >,5; b) 3 log x+ < 3 log x +5 ; ( ) v) 5 log 3 fx x < ; g) log 5 0,5 (x 5x + 8),5; d) log x (x 3 x x) < 3; ) log x 5 (x 8x + 6) 0; e) log x 3x x + > 0; ) log x(x 5x + 6) <. 39. Odrediti n 3 ako je log 4n 40 3 = log 3n Odrediti p q ako je log 9 p = log q = log 6 (p + q). 4