4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

Transcript

1 1 4.6 Η ΣΦΙΡ ΚΙ Τ ΣΤΙΧΙ ΤΗΣ ΘΩΡΙ 1. Σφαίρα : νοµάζεται το στερεό που προκύπτει από µία πλήρη περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου γύρω από µία διάµετρό του. Η γεωµετρική µορφή µιας φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το λέγεται κέντρο της και η ακτίνα ακτίνα της.. Σχετικές θέσεις επιπέδου και Ένα επίπεδο και µία σφαίρα µπορεί Να µην έχουν κοινά σηµεία Να έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο Να τέµνονται κατά έναν κυκλικό δίσκο Κ 3. Μέγιστος κύκλος : ν ένα επίπεδο τέµνει µία σφαίρα και διέρχεται από το κέντρο της, τότε ο κύκλος που ορίζεται από την τοµή λέγεται µέγιστος κύκλος της. 4. µβαδόν επιφάνειας : = 4πρ, όπου ρ = η ακτίνα της και π = 3,14 5. Όγκος : Όγκος = 4 3 πρ3

2 ΣΧΛΙ 1. Μία σφαίρα λέµε ότι είναι εγγεγραµµένη σε έναν κύβο όταν όλες οι έδρες του κύβου εφάπτονται της.. Μία σφαίρα λέµε ότι είναι εγγεγραµµένη σε έναν κύλινδρο όταν η διάµετρος της είναι ίση και µε την διάµετρο της βάσης του κυλίνδρου και µε το ύψος του κυλίνδρου. ΣΚΗΣΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες. α) Η τοµή ενός επιπέδου µε µια σφαίρα είναι κυκλικός δίσκος β) Το εµβαδόν της επιφάνειας µιας είναι ίσο µε το εµβαδόν 3 µεγίστων κύκλων της γ) Για την ακτίνα µιας ισχύει ρ = 3 όπου ο όγκος και η επιφάνεια της E δ) Για µία σφαίρα εγγεγραµµένη σε κύλινδρο ισχύει = 4 παράπλευρης κυλίνδρου ε) ν διπλασιάσουµε την ακτίνα µιας, ο όγκος της τετραπλασιάζεται στ) ν τριπλασιάσουµε την ακτίνα µιας η επιφάνεια εννεαπλασιάζεται α) Όπως προκύπτει από την θεωρία, η πρόταση είναι σωστή β) Λάθος, αφού = 4πρ γ) πρ 3 E = 3 = ρ οπότε η πρόταση είναι σωστή 4πρ δ) = 4πρ και 4 παράπλευρης κυλίνδρου = 4 (πρ)ρ = 16πρ άρα 4 παράπλευρης κυλίνδρου οπότε η πρόταση είναι λάθος ε) όγκος ακτίνας ρ είναι = 4 3 πρ3. ν διπλασιάσουµε την ακτίνα, αυτός θα γίνει = 4 3 π(ρ)3 = πρ3 = 8. Άρα η πρόταση είναι λάθος στ) Η επιφάνεια ακτίνας ρ είναι = 4πρ. ν τριπλασιάσουµε την ακτίνα αυτή θα γίνει = 4π(3ρ) = 9 (4πρ ) = 9. Άρα η πρόταση είναι σωστή.

3 3. ύο σφαίρες έχουν λόγο ακτίνων λ. Να βρείτε το λόγο των επιφανειών τους και των όγκων τους = 4πρ 4πρ ρ = = λ και οµοίως ρ = λ3 3. ίνονται ένας κύλινδρος ακτίνας ρ και ύψους ρ, ένας κώνος ακτίνας ρ και ύψους ρ και µία σφαίρα ακτίνας ρ είξτε ότι α) = 4 κώνου β) κυλίνδρου = 3 γ) ολικό κυλίνδρου = 3 α) 4 κώνου = πρ υ = 4 3 πρ ρ = 4 3 πρ3 = β) κυλίνδρου = (πρ )υ = (πρ )ρ = 4πρ 3 και 3 = πρ3 = 4πρ 3 άρα κυλίνδρου = 3 γ) ολικό κυλίνδρου = ( παράπλευρης + βάσης ) = = (πρυ + πρ ) = =(πρ ρ + πρ ) =1πρ και 3 = 3(4πρ ) = 1πρ άρα ολικό κυλίνδρου = 3 4. πό έναν σιδερένιο κύβο ακµής 0cm αφαιρούµε ένα µέρος σχήµατος ηµισφαιρίου µε διάµετρο 6 cm. ν 1cm 3 σιδήρου ζυγίζει 8gr, να βρείτε το βάρος του υπολοίπου µέρους του κύβου. όγκος του κύβου είναι = 0 3 = 8000 cm 3 όγκος του ηµισφαιρίου είναι ηµισφαιρίου = π33 = 56,5 cm 3 όγκος που αποµένει είναι ίσος µε ,5 = 7943,48 cm 3 και το βάρος του είναι 7943,48 8 = 63547,84gr = 63,54784kg

4 4 5. Μία σφαίρα είναι εγγεγραµµένη σε κύλινδρο δείξτε ότι κυλίνδρου πρ υ πρ ρ = = = 3 4 πρ 3 4 πρ 3 και 3 3 κυλίνδρου πρ ρ+πρ = = 3 4πρ άρα κυλίνδρου Σχόλιο = κυλίνδρου κυλίνδρου = κυλίνδρου 6. Να βρείτε την ακτίνα µιας της οποίας η επιφάνεια είναι ίση µε την επιφάνεια ενός κύβου ακµής 40. Η επιφάνεια του κύβου είναι κύβου = 40 3 = = 4πρ άρα = 1,56ρ οπότε ρ = 5095,5 συνεπώς ρ = 71,38 περίπου 7. Η επιφάνεια µιας είναι ίση µε τα 8 9 της ολικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου ακτίνας 6cm και ύψους 8cm. Να βρείτε την ακτίνα της. ολικό κυλίνδρου = 3, ,14 6 = 57,5 ν ρ είναι η ακτίνα της τότε 4 3,14ρ 8 = άρα 9 57,5 ρ =37,3 ρ = 6,11 8. όγκος µιας είναι ίσος µε 305,08 cm. Να βρείτε την επιφάνεια της. πό υπόθεση έχουµε 4 3 3,14ρ3 = 305,08 απ όπου ρ 3 = 73 = 9 3 άρα Η επιφάνεια της είναι = 4 3,14 9 = 1017,36 cm ρ = 9cm

5 5 9. Το επιχρύσωµα µιας χαλκού κοστίζει,608. ν το επιχρύσωµα 1dm κοστίζει 0,8, να βρείτε τον όγκο της. Η επιφάνεια της είναι,608 : 0,8 = 8,6dm ποµένως 4 3,14 ρ =8,6 απ όπου ρ =, 5 άρα ρ = 1,5 dm όγκος της είναι = 4 3 3,14 1,53 = 14, 13 dm Τέµνουµε µια σφαίρα ακτίνας = 8cm µε ένα επίπεδο κάθετο στην, στο µέσο της Γ. Να βρείτε τον όγκο του κώνου ο οποίος έχει βάση την τοµή της µε το επίπεδο και κορυφή το κέντρο της. Στο διπλανό σχήµα ο κίτρινος κυκλικός δίσκος είναι η τοµή του επιπέδου µε την σφαίρα. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Γ, για την ακτίνα Γ Γ του κυκλικού δίσκου ισχύει Γ = Γ = 8 4 = 48 άρα Γ = 48 cm ο ζητούµενος όγκος είναι = 1 3 π Γ Γ = 1 3 3, = = 00,96 cm 3