ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ. TA ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΓΡΑΠΤΟΥ Διάρκεια εξέτασης 1:45 ακριβώς.

Transcript

1 ΤΜΗΜ ΠΟΛΙΤΙΩΝ ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΕ Ι ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΟΠΟΓΡΦΙΣ Ι ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΗΣ ΤΕ ΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΩΝ ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΣΤΙΗ ΕΡΙΝΟΥ Δ. ΕΤΟΣ 0-04 Διδάσκων : Δρ. Χρ. οζίκης Τ. Ε. Ι. ΕΝΤΡΙΗΣ ΜΕΔΟΝΙΣ Σέρρες, Ιουνίου 04 ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ ΦΥΣΙΗΣ Ονοματεπώνυμο Σπουδαστή ριθμός Μητρώου TA ΘΕΜΤ ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΙ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΓΡΠΤΟΥ Διάρκεια εξέτασης :4 ακριβώς. παγορεύονται βιβλία, σημειώσεις, κινητά και κάθε ηλεκτρονική συσκευή επικοινωνίας και αποθήκευσης δεδομένων. ΘΕΜ ον ( μονάδες) Μπάλα βάρους Ν πέτει χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος =6 μέτρων. Η μπάλα αναπηδά στο έδαος και σε κάθε αναπήδηση χάνει το 0% της ταχύτητάς της. Μετά από κάθε αναπήδηση η μπάλα επιστρέει σε μέγιστο ύψος (κάθε ορά μικρότερο). Σε πόσες αναπηδήσεις το ύψος που επιστρέει η μπάλα θα γίνει μικρότερο από το μισό του αρχικού; ΘΕΜ ον (7 μονάδες) Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος μήκους l = m και μάζας Μ = 6 kg ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος, μη εκτατού, που συνδέεται στο μέσο της, όπως αίνεται στο σχήμα. Το άκρο της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυο τοίχο. Δίνεται: ημ = 0,6 και συν = 0,8 ) Να προσδιορίσετε τη δύναμη F (μέτρο και διεύθυνση) που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. ( μονάδα) Μικρή ομογενής σαίρα, μάζας m = 0,4 kg και ακτίνας /70 m κυλίεται χωρίς ολίσθηση, έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο προς το άκρο με αρχική ταχύτητα υ. ) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σαίρας κατά την κίνησή της από το μέχρι το. ( μονάδες) ) Με δεδομένο ότι η σαίρα τάνει στο άκρο, να βρείτε τη σχέση που περιγράει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του σημείου επαής της σαίρας με τη ράβδο, από το σημείο. ( μονάδες) Δίνονται: mr διέρχεται από το κέντρο μάζας της και g=0 m/ I η ροπή αδράνειας ομογενούς σαίρας μάζας m και ακτίνας r ως προς άξονα που η επιτάχυνση της βαρύτητας.

2 ΘΕΜ ον ( μονάδες) Ξύλινη σανίδα μήκους = m είναι κρεμασμένη από δύο σχοινιά που είναι δεμένα σε απόσταση / από καθένα άκρο της. Το βάρος της σανίδας είναι 00 Ν. Πάνω στην σανίδα κινείται (αριστερά δεξιά) ένας άνθρωπος 80 Kg. Να υπολογιστεί η απόσταση από τα άκρα της σανίδας στην οποία μπορεί ο άνθρωπος να σταθεί χωρίς να υπάρχει κίνδυνος ανατροπής. Δίνεται g=0 m/ / / ΘΕΜ onu ( μονάδα) αθμολογείται μόνο αν έχετε πάρει τουλάχιστον 4 μονάδες από τα υπόλοιπα θέματα! Στην ταράτσα μιας εξοχικής κατοικίας έχουμε τοποθετήσει μία πλαστική δεξαμενή διαστάσεων m m m και μάζας 0 Kg. Πόσο είναι το ορτίο που δέχεται η πλάκα της ταράτσας από την δεξαμενή όταν αυτή είναι κενή και πόσο όταν είναι γεμάτη με νερό (πυκνότητα νερού gr/cm );

3 ΤΜΗΜ ΠΟΛΙΤΙΩΝ ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΕ Ι ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΟΠΟΓΡΦΙΣ Ι ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΗΣ ΤΕ ΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΩΝ ΜΗΧΝΙΩΝ ΤΕ ΕΞΕΤΣΤΙΗ ΕΡΙΝΟΥ Δ. ΕΤΟΣ 0-04 Διδάσκων : Δρ. Χρ. οζίκης Τ. Ε. Ι. ΕΝΤΡΙΗΣ ΜΕΔΟΝΙΣ Σέρρες, Ιουνίου 04 Ονοματεπώνυμο Σπουδαστή ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ ΦΥΣΙΗΣ ριθμός Μητρώου TA ΘΕΜΤ ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΙ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΓΡΠΤΟΥ Διάρκεια εξέτασης :4 ακριβώς. παγορεύονται βιβλία, σημειώσεις, κινητά και κάθε ηλεκτρονική συσκευή επικοινωνίας και αποθήκευσης δεδομένων. ΘΕΜ ον ( μονάδες) Μπάλα βάρους 0 Ν πέτει χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος = μέτρων. Η μπάλα αναπηδά στο έδαος και σε κάθε αναπήδηση χάνει το 0% της ταχύτητάς της. Μετά από κάθε αναπήδηση η μπάλα επιστρέει σε μέγιστο ύψος (κάθε ορά μικρότερο). Σε πόσες αναπηδήσεις το ύψος που επιστρέει η μπάλα θα γίνει μικρότερο από το μισό του αρχικού; ΘΕΜ ον (7 μονάδες) Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος μήκους l = m και μάζας Μ = 4 kg ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος, μη εκτατού, που συνδέεται στο μέσο της, όπως αίνεται στο σχήμα. Το άκρο της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυο τοίχο. Δίνεται: ημ = 0,6 και συν = 0,8 ) Να προσδιορίσετε τη δύναμη F (μέτρο και διεύθυνση) που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. ( μονάδα) Μικρή ομογενής σαίρα, μάζας m = 0, kg και ακτίνας /70 m κυλίεται χωρίς ολίσθηση, έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο προς το άκρο με αρχική ταχύτητα υ. ) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σαίρας κατά την κίνησή της από το μέχρι το. ( μονάδες) ) Με δεδομένο ότι η σαίρα τάνει στο άκρο, να βρείτε τη σχέση που περιγράει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του σημείου επαής της σαίρας με τη ράβδο, από το σημείο. ( μονάδες) Δίνονται: mr διέρχεται από το κέντρο μάζας της και g=0 m/ I η ροπή αδράνειας ομογενούς σαίρας μάζας m και ακτίνας r ως προς άξονα που η επιτάχυνση της βαρύτητας.

4 ΘΕΜ ον ( μονάδες) Ξύλινη σανίδα μήκους =4 m είναι κρεμασμένη από δύο σχοινιά που είναι δεμένα σε απόσταση /4 από καθένα άκρο της. Το βάρος της σανίδας είναι 00 Ν. Πάνω στην σανίδα κινείται (αριστερά δεξιά) ένας άνθρωπος 80 Kg. Να υπολογιστεί η απόσταση από τα άκρα της σανίδας στην οποία μπορεί ο άνθρωπος να σταθεί χωρίς να υπάρχει κίνδυνος ανατροπής. Δίνεται g=0 m/ / 4 / 4 ΘΕΜ onu ( μονάδα) αθμολογείται μόνο αν έχετε πάρει τουλάχιστον 4 μονάδες από τα υπόλοιπα θέματα! Στην ταράτσα μιας εξοχικής κατοικίας έχουμε τοποθετήσει μία πλαστική δεξαμενή διαστάσεων m m m και μάζας 0 Kg. Πόσο είναι το ορτίο που δέχεται η πλάκα της ταράτσας από την δεξαμενή όταν αυτή είναι κενή και πόσο όταν είναι γεμάτη με νερό (πυκνότητα νερού gr/cm );

5 ΛΥΣΕΙΣ (Πολύ αναλυτικές, για διδακτικό σκοπό!) ΘΕΜ ον ( και ομάδα, λύση ίδια τα δεδομένα, μάζα, ύψος, δεν χρησιμοποιούνται) Η μπάλα χάνει ταχύτητα, άρα και ενέργεια, σε κάθε αναπήδηση. Μετά την αναπήδηση εκτοξεύεται προς τα πάνω με ταχύτητα υ, τάνει σε ύψος και επιστρέει στο έδαος με με ταχύτητα υ. ατά την διάρκεια αυτής της κίνησης η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Άρα η ενέργεια στο ανώτερο σημείο είναι ίση με την ενέργεια στο κατώτερο. Η μπάλα, μετά την αναπήδηση, έχει στο ανώτερο σημείο ύψος και ταχύτητα μηδέν ενώ στο κατώτερο σημείο έχει ύψος μηδέν και ταχύτητα υ. Άρα από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε. Μετά την αναπήδηση E mg m0 mg0 m Μετά την + αναπήδηση g mg m g Διαιρούμε κατά μέλη της δεύτερη σχέση με την πρώτη και έχουμε g g Εόσον σε κάθε αναπήδηση χάνει το 0% της ταχύτητας Άρα σε κάθε αναπήδηση το ύψος που ανεβαίνει, σε σχέση με το ύψος της προηγούμενης είναι 0. 8 Έτσι μετά την η αναπήδηση 0. 8 Μετά την η αναπήδηση Μετά την η αναπήδηση και γενικά μετά την n οστή αναπήδηση n n 0. 8 Θέλουμε να βρούμε σε πιο n το ύψος γίνεται μικρότερο από το μισό του αρχικού, δηλαδή 0. Μπακάλικος τρόπος , , , Μαθηματικός τρόπος n n n n log(0.8 ) log nlog(0.8) log() n 0.00 n n Άρα n=4 n log() log(0.8)

6 ΘΕΜ ον ( και ομάδα, απλώς βάλτε τα δεδομένα στις τελικές εξισώσεις!) Έστω = m g το βάρος της ράβδου, Τ η τάση του νήματος και F, F y οι συνιστώσες της δύναμης F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. ) ού η ράβδος ισορροπεί, η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. Επίσης, αού η ράβδος ισορροπεί και η ροπή ως προς οποιοδήποτε σημείο της είναι μηδέν. F y T Υπολογίζουμε την ροπή ως προς το σημείο (άρθρωση). Θετική ορά όπως το πράσινο κυκλικό βέλος. M l l n T co n 0 T T A co 4 ού η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν έχουμε F F T 0 F T F και F 0 F y y 4 Έτσι, η δύναμη F είναι F F F y F 4 Για τη γωνία θ της F από τον τοίχο έχουμε διεύθυνση της ράβδου. tan F 4 tan. Δηλαδή η F ασκείται κατά την F 4 y ) Η σαίρα ανεβαίνει προς τα επάνω. Σε κάθε χρονική στιγμή t η σαίρα βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της ράβδου (δηλαδή σε ύψος co) και έχει μια μεταορική ταχύτητα υ (ταχύτητα του κέντρου της) και μια περιστροική ταχύτητα ω. Οι δύο αυτές ταχύτητες (αού δεν έχουμε ολίσθηση) συνδέονται με την σχέση r. Παραγωγίζοντας r την προηγούμενη σχέση ως προς τον χρόνο, έχουμε r t t t r και επειδή η ακτίνα της σαίρας δεν αλλάζει 0 άρα r. t t t λλά η μεταβολή της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση, έτσι έχουμε a a r (όπου a η γωνιακή επιτάχυνση). υ ν θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια της σαίρας όταν ήταν στο σημείο είναι μηδέν, τότε η ολική ενέργεια της σαίρας την χρονική στιγμή t είναι (δυναμική + κινητική μεταοράς + κινητική περιστροής) E mg m I mgco m mr. 7 E mgco m m E mgco m 0

7 ού δεν έχουμε ολίσθηση (και άρα τριβή ολίσθησης για να χάνουμε ενέργεια) η ενέργεια διατηρείται E σταθερή. Άρα 0. Παραγωγίζοντας την εξίσωση της ενέργειας έχουμε t E mg co m 0 mg co m a 0 g co a 0 a g co t t 0 t 7 Άρα η γωνιακή επιτάχυνση είναι a g a a r a a co r 7r ) Το πρόβλημα είναι ίδιο με την περίπτωση ) με την διαορά ότι έχουμε μια επιπλέον δύναμη Q = m g να ασκείται στην ράβδο λόγω της σαίρας, σε απόσταση από το. F y T F Q Οι δυνάμεις Τ, F και F y είναι (υσικά) διαορετικές από την περίπτωση ) γιατί εκείνες τις υπολογίσαμε ΧΩΡΙΣ το βάρος Q της σαίρας. ν πάρουμε την ροπή ως προς το σημείο (που υσικά είναι μηδέν, γιατί η ράβδος είναι ακίνητη ) γλιτώνουμε από την F και F y. Για την ροπή αυτή λοιπόν έχουμε l l l M A T co n Q n 0 l l n Q n T Q tan l co l ΘΕΜ ον Έστω η απόσταση των σχοινιών από τα άκρα της σανίδας. Για την ομάδα, = /, ενώ για την, = /4. F Η δύναμη εδώ είναι μηδέν Όταν ο άνθρωπος είναι στο κέντρο της σανίδας, οι δυνάμεις από τα δύο σχοινιά είναι ίσες μεταξύ τους(εύκολο να το καταλάβουμε λόγω συμμετρίας) και ισούνται με (+)/. αθώς ο άνθρωπος κινείται από το κέντρο της σανίδας προς τα αριστερά, η δύναμη από το δεξιό σχοινί μειώνεται και αντίστοιχα αυξάνεται η δύναμη από το αριστερό. Υπάρχει ένα σημείο (σε απόσταση από το αριστερό άκρο) στο οποίο αν σταθεί ο άνθρωπος, η δύναμη από το δεξιό σχοινί μηδενίζεται (και υσικά η δύναμη από το αριστερό γίνεται ίση με +) ν ο άνθρωπος πάει κι άλλο αριστερά τότε, για να έχουμε ισορροπία, η δύναμη από το δεξιό σχοινί πρέπει να γίνει αρνητική. Δηλαδή το σχοινί πρέπει να σπρώχνει την σανίδα προς τα κάτω! Προανώς αυτό δεν μπορεί να γίνει και η σανίδα ανατρέπεται!

8 Για να βρούμε την απόσταση, υπολογίζουμε την ροπή ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο της σανίδας. Η ροπή θα πρέπει να είναι μηδέν (αού η σανίδα ισορροπεί και δεν ανατρέπεται). Ροπή ως προς το αριστερό σχοινί 0 ) ( Ροπή ως προς το αριστερό άκρο της σανίδας F 0 ) ( 0 Σε όποιο σημείο και να πάρουμε την ροπή, θα καταλήξουμε (όπως είναι υσικό) στο ίδιο αποτέλεσμα. ΘΕΜ onu Όταν η δεξαμενή είναι άδεια η μάζα της είναι 0 Kg και το ορτίο mg είναι 00 Ν = 0, Ν Όταν η δεξαμενή είναι γεμάτη τότε προστίθεται η μάζα του νερού. Ο όγκος το νερού είναι m m m=m, ή 00 cm 00 cm 00 cm = cm. Η μάζα του όγκου νερού είναι (μάζα = όγκος πυκνότητα) είναι gr = 000 Kg. Άρα η συνολική μάζα της δεξαμενής είναι 00 kg και το ορτίο της 000 Ν = 0, Ν.