ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

2 Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας) ενός γράφου Εφαρμογές: σε οποιασδήποτε μορφής δίκτυα (τηλεπικοινωνιακά, συγκοινωνιακά κ.α.)

3 Βασικές Έννοιες Σε ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα G, δύο κορυφές u και v ονομάζονται συνδεδεμένες αν το G περιέχει μια διαδρομή από το u στο v. Σε αντίθετη περίπτωση, καλούνται μη συνδεδεμένες. Ένα γράφημα ονομάζεται συνδεδεμένο αν κάθε ζεύγος διακριτών κορυφών στο γράφημα είναι συνδεδεμένο. Αλλιώς, το γράφημα ονομάζεται μη συνδεδεμένο. Αν V 1,,V l είναι ανεξάρτητα υποσύνολα κορυφών, τότε οι υπογράφοι G(V 1 ),,G(V l ) είναι οι συνδεδεμένες συνιστώσες του γράφου G. Συνδεδεμένος γράφος, αν αποτελείται από μία μόνο συνιστώσα Συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο, αν η διαγραφή μιας μόνο ακμής τον αποσυνδέει και δημιουργεί συνιστώσες Ένα γράφημα λέγεται k-vertex-connected ή k-edge-connected αν δεν υπάρχει σύνολο από k-1 κορυφές (αντίστοιχα, ακμές) που όταν αφαιρεθούν να αποσυνδέεται το γράφημα. Ένα k- vertex-connected γράφημα καλείται συχνά απλά ως k- connected.

4 Βασικές Έννοιες Κάθε μη συνδεδεμένος γράφος μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση δύο ή περισσοτέρων συνιστωσών. Αν ο G δεν είναι συνδεδεμένος, τότε ο είναι συνδεδεμένος Αν κατά τη διαγραφή μιας κορυφής από ένα συνδεδεμένο γράφο προκύψουν δύο ή περισσότερες συνιστώσες (δηλ. υπογράφοι), τότε η κορυφή αυτή λέγεται αποκόπτουσα κορυφή ή σημείο άρθρωσης. Αν με τη διαγραφή μιας ακμής προκύψουν δύο συνιστώσες, τότε η ακμή αυτή ονομάζεται αποκόπτουσα ακμή ή γέφυρα. Τα τερματικά σημεία μιας τέτοιας ακμής είναι αποκόπτουσες κορυφές. Ένας γράφος που δεν περιέχει αποκόπτουσες ακμές ονομάζεται δισυναφής. G ~

5 Βασικές Έννοιες Σύνολο αποκοπτουσών κορυφών V είναι το σύνολο των κορυφών ώστε ο γράφος G- V να μην είναι συνδεδεμένος και να μην υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του V με την ίδια ιδιότητα (vertex cut set, vertex separating set) Συνεκτικότητα κορυφών VC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k= V, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες κορυφές (vertex connectivity) Ασήμαντοι & μη συνδεδεμένοι γράφοι: VC(G)=0 Πλήρεις γράφοι, δίχως αποκόπτουσες κορυφές: VC(G)=n-1 Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος αν VC(G)>=k Θεώρημα: Μια κορυφή δένδρου v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν d(v)>1

6 Βασικές Έννοιες Πόρισμα: Κάθε μη ασήμαντος απλός συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον 2 κορυφές που δεν είναι αποκόπτουσες Θεώρημα: Μια κορυφή v είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w (u,w<>v), ώστε η v να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w

7 Βασικές Έννοιες Σύνολο αποκοπτουσών ακμών Ε είναι το σύνολο των ακμών ώστε ο γράφος G-E να μην είναι συνδεδεμένος, χωρίς να υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Ε με την ίδια ιδιότητα (edge cut set, edge separating set) Συνδεσμικότητα ακμών EC(G) ενός γράφου G είναι το ελάχιστο k= E, ώστε ο γράφος G να έχει ένα σύνολο από k αποκόπτουσες ακμές (edge connectivity) Ένας γράφος G λέγεται k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές αν EC(G)>=k Θεώρημα: Μια ακμή e είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν υπάρχουν 2 κορυφές u και w, τέτοιες ώστε η e να βρίσκεται σε κάθε μονοπάτι από την u προς την w.

8 Βασικές Έννοιες Θεώρημα: Μια ακμή είναι αποκόπτουσα αν και μόνον αν δεν περιέχεται σε κύκλο Θεώρημα Whitney: Ένας γράφος G με n>=3 είναι δισυνδεδεμένος αν και μόνον αν δύο οποιεσδήποτε κορυφές του είναι συνδεδεμένες με τουλάχιστον δύο εσωτερικά ξένα μονοπάτια. Θεώρημα Whitney: VC(G)<=EC(G)<=d(G) Πόρισμα: Αν ένας γράφος G είναι δισυνδεδεμένος, τότε δύο οποιεσδήποτε κορυφές του ανήκουν σε έναν κύκλο.

9 Τεμάχια Γράφου (1) Ένας δισυνδεδεμένος (biconnected) γράφος δεν έχει αποκόπτουσες κορυφές. Ένας τέτοιος γράφος αποτελεί ένα τεμάχιο ή μια δισυνιστώσα. Τεμάχιο ενός γράφου λέγεται ένας υπογράφος που είναι 2- συνδεδεμένος και έχει το μέγιστο αριθμό κορυφών. Κάθε γράφος ταυτίζεται με την ένωση των τεμαχίων του. Εσωτερικά ξένα μονοπάτια (internally disjoint paths) είναι δύο μονοπάτια με κοινές τερματικές κορυφές, χωρίς άλλες κοινές κορυφές.

10 Τεμάχια Γράφου (2) Πόρισμα: Αν ένας γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο με n>=3, τότε δύο οποιεσδήποτε ακμές του ανήκουν σε έναν κύκλο. Θεώρημα Menger: Ο μέγιστος αριθμός εσωτερικά ξένων μονοπατιών από μία κορυφή u σε μια κορυφή v ενός συνδεδεμένου γράφου ισούται με τον ελάχιστο αριθμό κορυφών, που χωρίζουν τις κορυφές u και v. Θεώρημα: Ένας γράφος G είναι k-συνδεδεμένος ως προς τις ακμές, αν και μόνον αν όλα τα ζεύγη κορυφών ενώνονται με τουλάχιστον k εσωτερικά ξένα μονοπάτια.

11 Ισομορφισμός (1) Δεν υπάρχει αποτελεσματικός αλγόριθμος για τη διαπίστωση της ισομορφικότητας δύο γράφων. Πρώτη λύση (η χειρότερη): Κρατάμε τον ένα γράφο σταθερό και επαναδιατάσσουμε τις επιγραφές των κορυφών του άλλου, για να ελέγξουμε αν οι αντίστοιχοι πίνακες γειτνίασης είναι ίδιοι. Εκτελούμε n 2 ελέγχους θέσεων του πίνακα γειτνίασης για n! γράφους. Άρα η πολυπλοκότητα είναι τάξης Ο(n!n 2 )=O(n n ) Δεύτερη λύση: Αν ο γράφος είναι αποθηκευμένος με πίνακα πρόσπτωσης, τότε αρκεί ο πίνακας του ενός γράφου να μετασχηματίζεται στον πίνακα του άλλου με τη βοήθεια αντιμεταθέσεων γραμμών ή/και στηλών. Επίσης μη αποτελεσματική. Υπάρχουν αποτελεσματικοί αλγόριθμοι μόνο για ειδικές περιπτώσεις γράφων.

12 Ισομορφισμός (2) Τεχνάσματα για την εύκολη διαπίστωση αν δύο γράφοι δεν είναι ισομορφικοί: 1. Ίδια τάξη? 2. Ίδιο μέγεθος? 3. Ίδια ακολουθία βαθμών? 4. Ίδιος αριθμός συνιστωσών? 5. Για κάθε συνιστώσα του (4) απαντώνται θετικά οι πρώτες τρεις ερωτήσεις; 6. Έχουν οι δύο γράφοι το ίδιο χρωματικό πολυώνυμο; Για n<8, αν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν θετικά, τότε οι γράφοι είναι ισομορφικοί (έχει αποδειχθεί).

13 Παράδειγμα-Ισομορφικά Γραφήματα Διαισθητικά, δύο γραφήματα είναι ισομορφικά αν πρόκειται για το ίδιο γράφημα «ζωγραφισμένο» με διαφορετικό τρόπο. Κάθε ιδιότητα που δεν μεταβάλλεται αν «ζωγραφίσουμε» το γράφημα διαφορετικά, λέγεται αναλλοίωτη. Πως αποδεικνύουμε ότι δυο γραφήματα είναι ισομορφικά? Πρώτος τρόπος: βρίσκουμε έναν ισομορφισμό f(μια αντιστοιχία μεταξύ των κορυφών τους) που διατηρεί τη γειτονικότητα. Σε αυτή την περίπτωση ελέγχουμε τις ακμές των δύο γραφημάτων μια προς μια για να επιβεβαιώσουμε ότι κάθε ακμή {u,v} υπάρχει στο ένα γράφημα αν και μόνο αν στο δεύτερο γράφημα υπάρχει η {f(u), f(v)}. Δεύτερος τρόπος: Αν τα γραφήματα έχουν πολλές ακμές προσπαθούμε να δείξουμε ότι τα συμπληρωματικά γραφήματα είναι ισομορφικά. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι αν τα αρχικά έχουν πολλές ακμές τα συμπληρωματικά έχουν λίγες ακμές, οπότε είναι εύκολο να δείξουμε ότι είναι ισομορφικά. Τρίτος τρόπος: να αναδιατάξουμε τις κορυφές/ακμές ενός γραφήματος έτσι ώστε ο πίνακας γειτνιάσεως να ταυτίζεται με τον πίνακα του δεύτερου γραφήματος. Για μεγάλα γραφήματα αυτή η μέθοδος χρειάζεται μεγάλη προσοχή.

14 Παράδειγμα-Ισομορφικά Γραφήματα Πως αποδεικνύουμε ότι δυο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά? Βρίσκουμε μια αναλλοίωτη ιδιότητα στην οποία δεν συμφωνούν. Οι πιο συνηθισμένες αναλλοίωτες ιδιότητες είναι ο αριθμός των κορυφών και των ακμών.

15 Ισομορφισμός (3) Δύο γράφοι είναι 1-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλλημένη διάσπαση των αποκοπτουσών κορυφών. Αν ο γράφος αποτελείται από ένα τεμάχιο, τότε η έννοια της 1-ισομορφικότητας ταυτίζεται με την έννοια της ισομορφικότητας. Θεώρημα: Αν δύο γράφοι είναι ισομορφικοί, τότε η σειρά και η μηδενικότητά τους είναι ίσες(σειρά rank: r=n-k, n η τάξη και k το πλήθος των συνιστωσών Μηδενικότητα nullity: μ=m-n-k). Δύο γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων, αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ακμών και κύκλων, έτσι ώστε ένας κύκλος του πρώτου γράφου να έχει αντίστοιχο κύκλο στο δεύτερο γράφο, που αποτελείται από τις αντίστοιχες ακμές. Θεώρημα: Δύο 1-ισομορφικοί γράφοι έχουν αντιστοιχία κύκλων

16 Ισομορφισμός (3)

17 Ισομορφισμός (4) Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν καθίστανται ισομορφικοί μετά την επανειλημμένη εφαρμογή μιας ή και των δύο από τις πράξεις διαδοχικής διάσπασης των αποκοπτουσών κορυφών Διαχωρισμό κάποιου γράφου σε δύο ξένους υπογράφους, που έχουν 2 ζεύγη κοινών κορυφών και επανασύνδεση των υπογράφων ταυτοποιώντας τις κορυφές με διαφορετικό τρόπο Δύο ισομορφικοί γράφοι είναι 1-ισομορφικοί, δύο 1- ισομορφικοί γράφοι είναι 2-ισομορφικοί. Το αντίθετο δεν ισχύει.

18 Ισομορφισμός (4) Θεώρημα: Δύο γράφοι είναι 2-ισομορφικοί αν και μόνον αν έχουν αντιστοιχία κύκλων

19 Ασκηση 1 Αν ένας γράφος έχει 2n κορυφές βαθμού n, τότε ο γράφος είναι συνεκτικός. Λύση: Εστω ένας γράφος G με 2n κορυφές βαθμού n και ας υποθέσουμε ότι είναι μη συνεκτικός. Τότε υπάρχουν τουλάχιστον 2 συνεκτικές συνιστώσες στον G και σύμφωνα με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς μια από αυτές τις συνιστώσες έχει το πολύ n κορυφές. Κάθε κορυφή αυτής της συνιστώσας θα είναι (από τον ορισμό της συνεκτικότητας) γειτονική μόνο με κορυφές της ίδιας συνιστώσας και συνεπώς θα είναι βαθμού το πολύ n-1, άτοπο. Αρα η αρχική υπόθεσή μας είναι λανθασμένη και ο γράφος G είναι συνεκτικός.