Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα"

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις σηµαντικές µεθόδους απόδειξης ϑεωρηµάτων της Γραµµικής Άλγεβρας και των Μαθηµατικών γενικότερα. 1.1 Σύνολα Η έννοια του συνόλου είναι µια πρωταρχική ϑεµελιώδης έννοια στη Μα- ϑηµατική επιστήµη. Η ϑεωρία των συνόλων εισάγεται από τον Georg Cantor ( ) περί το 1900 µ.χ. και αποτελεί τη ϐάση πάνω στην οποία ενοποιείται και ϑεµελιώνεται η Μαθηµατική επιστήµη. Ενα σύνολο είναι µια συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων. Τα αντικείµενα αυτά λέγονται στοιχεία του συνόλου. Για κάθε σύνολο υπάρχει µια σαφής περιγραφή µε ϐάση την οποία µπορούµε να απο- ϕανθούµε κατά πόσο ένα δεδοµένο στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο αυτό. Τα παραπάνω ασφαλώς δεν αποτελούν ένα µαθηµατικό ορισµό του συνόλου. Η έννοια του συνόλου, όπως αυτή του σηµείου, είναι ϑεµελιακή και δεν µπορεί να αναχθεί σε απλούστερες έννοιες. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται να δει µια αξιωµατική έκθεση της ϑεωρίας των συνόλων ϑα πρέπει να ανατρέξει σε ειδικά συγγράµµατα. Τα σύνολα και τα στοιχεία τους συνήθως συµβολίζονται µε γράµµατα. Ετσι, αν A είναι ένα σύνολο και a ένα στοιχείο του, τότε εκφράζουµε το γεγονός αυτό µε το συµβολισµό «a A», ο οποίος διαβάζεται «το a ανήκει στο A». Ο συµβολισµός «y A» διαβάζεται «το y δεν ανήκει στο 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ A» και σηµαίνει ότι το y δεν είναι στοιχείο του A. Επίσης, αναφέρουµε ότι ένα στοιχείο ενός συνόλου A πολλές ϕορές λέγεται και µέλος του A. Ενα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του. ηλαδή, Ορισµός ύο σύνολα A, B λέγονται ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Για να περιγράψουµε ένα σύνολο γράφουµε τα δύο άγκιστρα { } και στον χώρο µεταξύ αυτών περιγράφουµε τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο. Υπάρχουν τρεις κυρίως τρόποι να περιγραφεί ένα σύνολο. (i) Πλήρης αναφορά όλων των στοιχείων του. Κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει αν το σύνολο έχει λίγα στοιχεία. Για παράδειγµα, γράφουµε A = {1, 2, 3} και B = {Αθήνα, Θεσσαλονίκη}. (ii) Με αναγραφή αρκετών στοιχείων του συνόλου (όχι απαραίτητα όλων), έτσι ώστε να γίνει σαφής η ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα στοιχεία του συνόλου. Εδώ χρησιµοποιούνται και οι τρεις τελείες «...», τα λεγόµενα αποσιωπητικά. Για παράδειγµα, γράφουµε {1, 2, 3,..., n}, {1, 2, 3,..., n,...}, {2, 4, 6,..., 2n} και {2, 4, 6,..., 2n,...}, όπου n είναι ένας ϑετικός ακέραιος. (iii) Εστω S ένα σύνολο και P µια ιδιότητα. Τότε το {x S το x έχει την ιδιότητα P } παριστά το σύνολο όλων των στοιχείων του S που έχουν την ιδιότητα P. Παράδειγµα Στα ακόλουθα σύνολα, τα οποία ϑεωρούµε γνωστά, ϑα αναφερθούµε πολλές ϕορές στη συνέχεια : N = {0, 1, 2,...} = το σύνολο των ϕυσικών αριθµών Z = το σύνολο των ακεραίων αριθµών Q = το σύνολο των ϱητών αριθµών R = το σύνολο των πραγµατικών αριθµών C = το σύνολο των µιγαδικών αριθµών Ορισµός Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία λέγεται κενό και συµ- ϐολίζεται µε. Ορισµός Αν A, B είναι δυο σύνολα και κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του B, τότε το A λέγεται υποσύνολο του B και γράφουµε A B. Αν επιπλέον υπάρχει κάποιο στοιχείο του B που δεν ανήκει στο A, τότε το A λέγεται γνήσιο υποσύνολο του B και γράφουµε A B.

3 1.1. ΣΥΝΟΛΑ 3 Εύκολα ϐλέπουµε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, ενώ κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Τέλος, δυο σύνολα A και B είναι ίσα αν και µόνο αν A B και B A. Παράδειγµα Παρατηρούµε ότι N Z Q R C. Παράδειγµα Εχουµε ότι (i) {x Z το x είναι πολλαπλάσιο του 2} είναι το σύνολο των αρτίων ακεραίων αριθµών. (ii) {x R 2x 2 4x + 1 = 0} = { , }. (iii) {x Q x 2 = 3} =. Ορισµός Καλούµε ένωση δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν στο A ή το B, και το συµβολίζουµε µε A B. Ορισµός Καλούµε τοµή δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B, και το συµβολίζουµε µε A B. Από τους ορισµούς έπεται ότι αν A, B είναι δύο σύνολα τότε A A B και B A B. Επίσης, αν Γ είναι ένα σύνολο µε A Γ και B Γ, τότε A B Γ. Ανάλογα, έχουµε A B A και A B B, ενώ για κάθε σύνολο µε A και B ϑα είναι A B. Αν δεν υπάρχουν στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B, τότε A B =. Ας ϑεωρήσουµε σύνολα A 1, A 2,..., A ν. Τότε, η ένωση των A i, i {1, 2..., ν}, είναι το σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε ν i=1 A i ή µε A 1 A 2... A ν. Η τοµή των A i, i {1, 2..., ν}, είναι το σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε ν i=1 A i ή µε A 1 A 2... A ν. Ανάλογα, αν Λ είναι ένα σύνολο συνόλων, τότε το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα µέλη του Λ λέγεται ένωση των συνόλων που ανήκουν στο Λ και συµβολίζεται µε A Λ A. Αν Λ, τότε η τοµή των συνόλων που ανήκουν στο Λ είναι το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα µέλη του Λ, και συµβολίζεται µε A Λ A.

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµός Η διαφορά ενός συνόλου Y από ένα σύνολο X είναι το σύνολο που περιλαµβάνει ακριβώς εκείνα τα στοιχεία του X που δεν ανήκουν στο Y, και συµβολίζεται µε X\Y. Αν το Y είναι ένα υποσύνολο του X τότε η διαφορά του Y από το X λέγεται συµπλήρωµα του Y στο X και συµβολίζεται µε Y c. Παράδειγµα Εστω A το σύνολο των αρτίων ακεραίων. Z\A = {x Z x A} είναι το σύνολο των περιττών ακεραίων. Τότε Ορισµός Το σύνολο µε στοιχεία τα υποσύνολα ενός συνόλου S λέγεται δυναµοσύνολο του S και συµβολίζεται µε P(S). Παράδειγµα Εστω S = {1, 2}. Τότε P(S) = {, {1, 2}, {1}, {2}}. Πρόταση (Η άλγεβρα των συνόλων) Εστω S ένα σύνολο και A, B, Γ P(S). Τότε ισχύουν τα εξής : A A = A A A = A A B = B A A B = B A (A B) Γ = A (B Γ) (A B) Γ = A (B Γ) A (B Γ) = (A B) (A Γ) A (B Γ) = (A B) (A Γ) A (A B) = A A (A B) = A A = A A S = A A S = S A = A A c = S A A c = (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Οι τελευταίες δύο ισότητες λέγονται νόµοι του De Morgan. Απόδειξη. Η απόδειξη της πρότασης είναι άµεση από τους ορισµούς. Ενδεικτικά, επαληθεύουµε την τελευταία ισότητα. Για να δείξουµε ότι (A B) c = A c B c αρκεί να δείξουµε ότι (A B) c A c B c και A c B c (A B) c. Πράγµατι, αν x (A B) c τότε x S και x A B και άρα ένα ακριβώς από τα ακόλουθα ισχύει : (i) x A και x B (ii) x A και x B (iii) x A και x B

5 1.1. ΣΥΝΟΛΑ 5 Στην περίπτωση (i) έχουµε ότι x B c, στην περίπτωση (ii) έχουµε ότι x A c και στην περίπτωση (iii) έχουµε ότι x A c B c. Άρα, σε κάθε περίπτωση, έχουµε x A c B c. είξαµε ότι (A B) c A c B c. Εστω τώρα ότι x A c B c. Τότε x A c ή x B c, συνεπώς x A ή x B και άρα x A B, δηλαδή x (A B) c. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να επαληθευτούν όλες οι ισότητες της Πρότασης Αν A είναι ένα πεπερασµένο σύνολο τότε µε A συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων του. Να δειχτεί ότι αν A, B είναι πεπερασ- µένα σύνολα τότε : A B = A + B A B. 3. Εστω S ένα σύνολο και A, B P(S). Να δειχτεί ότι A B c = αν και µόνο αν A B. 4. Εστω S ένα σύνολο και A, B P(S) µε A c και B c πεπερασµένα σύνολα. Να δειχτεί ότι το σύνολο (A B) c είναι επίσης πεπερασ- µένο. 5. Εστω S ένα σύνολο και X, Y P(S). Η συµµετρική διαφορά των συνόλων X και Y ορίζεται ως (X\Y ) (Y \X) και συµβολίζεται µε X +Y. Να δειχτεί ότι αν A, B, Γ P(S), τότε (i) A +B = B +A (ii) A +(B +Γ) = (A +B) +Γ (iii) A +A =. (iv) A (B +Γ) = (A B) +(A Γ) 6. Εστω S, I µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(S). Η τοµή των συνόλων A i, i I, συµ- ϐολίζεται µε i I A i. Η ένωση των συνόλων A i, i I συµβολίζεται µε i I A i. Να δειχτεί ότι : (i) ( i I A ) c i = i I Ac i (ii) ( i I A ) c i = i I Ac i

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.2 Καρτεσιανά Γινόµενα Εστω A, B δυο σύνολα. Το σύµβολο (α, β) µε α A και β B λέγεται διατεταγµένο εύγος µε πρώτη συντεταγµένη το α και δεύτερη συντεταγµένη το β. Αν (α, β) και (α, β ) είναι δύο διατεταγµένα εύγη, τότε (α, β) = (α, β ) αν και µόνο αν α = α και β = β. Ορισµός Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A και B είναι το σύνολο µε στοιχεία τα διατεταγµένα εύγη (α, β) µε α A και β B, και συµβολίζεται µε A B. Παράδειγµα Αν A = {1, 2, 3} και B = {1, 4}, τότε A B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} B A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} A A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} B B = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)} Η έννοια του καρτεσιανού γινοµένου µπορεί να γενικευθεί για περισσότερα από δύο σύνολα. Ετσι, αν A 1, A 2,..., A ν είναι σύνολα, τότε το σύµβολο (α 1, α 2,..., α ν ) µε α i A i, 1 i ν, λέγεται διατεταγµένη ν-άδα µε i-συντεταγµένη το α i για κάθε i = 1, 2,..., ν. Αν (α 1, α 2,..., α ν ) και (α 1, α 2,..., α ν) είναι δύο διατεταγµένες ν-άδες, τότε (α 1, α 2,..., α ν ) = (α 1, α 2,..., α ν) αν και µόνο αν α i = α i για κά- ϑε i = 1, 2,..., ν, δηλαδή αν και µόνο αν κάθε συντεταγµένη της ν- άδας (α 1, α 2,..., α ν ) ισούται µε την αντίστοιχη συντεταγµένη της ν-άδας (α 1, α 2,..., α ν). Ορισµός Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A 1, A 2,..., A ν είναι το σύνολο µε στοιχεία τις διατεταγµένες ν-άδες (α 1, α 2,..., α ν ), όπου α i A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε A 1 A 2... A ν. Στην περίπτωση που A 1 = A 2 =... = A ν = A, τότε το Καρτεσιανό γινόµενο των A 1, A 2,..., A ν συµβολίζεται µε A ν, δηλαδή A 1 A 2... A ν = A ν. Ετσι, το σύνολο A ν ορίζεται για κάθε ϑετικό ακέραιο ν. Θεωρούµε ότι A 1 = A. Για παράδειγµα, το σύνολο R 2 είναι το σύνολο των διατεταγ- µένων ευγών πραγµατικών αριθµών, το σύνολο R 3 είναι το σύνολο των

7 1.2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 7 διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών και το σύνολο R ν είναι το σύνολο των διατεταγµένων ν-άδων πραγµατικών αριθµών. Παρατήρηση εν ϑεωρήσαµε σκόπιµο να δώσουµε έναν αυστηρό ορισ- µό του καρτεσιανού γινοµένου. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να συµβουλευτεί οποιοδήποτε ϐιβλίο της ϑεωρίας συνόλων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω A = {1, 2, 3} και B = {1, 4}. Να υπολογίσετε το (A B) (B A). 2. Εστω A, B, Γ, σύνολα. Να δειχτεί ότι (i) A B = αν και µόνο αν A = ή B = (ii) Αν A και B τότε (α) A B = B A αν και µόνο αν A = B (β) A Γ και B αν και µόνο αν A B Γ (iii) (A B) Γ = (A Γ) (B Γ) (iv) (A B) (Γ ) = (A Γ) (B ) (v) (A\B) Γ = (A Γ)\(B Γ) 3. Εστω A, B δύο σύνολα. Να δειχτεί ότι A B = α A B α = β B A β, όπου B α = {α} B και A β = A {β}. 4. Εστω I, J, S, T µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(S) και για κάθε j J ένα σύνολο B j µε B j P(T ). Να δειχτεί ότι : ( ( ) A i ) B j = i I j J (i,j) I J A i B j και ( ( ) A i ) B j = A i B j. i I j J (i,j) I J

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.3 Σχέσεις Ισοδυναµίας Ορισµός Εστω A, B δύο σύνολα. Μια διµελής σχέση από το A στο B είναι ένα υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου A B. Ιδιαίτερα, ένα υποσύνολο R A A λέγεται µια διµελής σχέση στο A. Αν (x, y) R, τότε συνήθως γράφουµε xry. Παράδειγµα Εστω A ένα σύνολο. (i) R = {(x, y) A A x = y} είναι µια διµελής σχέση στο A. (ii) R = {(x, Y ) A P(A) x Y } είναι µια διµελής σχέση από το A στο P(A). (iii) R = {(X, Y ) P(A) P(A) X Y } είναι µια διµελής σχέση στο P(A). Ορισµός Εστω A ένα σύνολο και R A A µια διµελής σχέση στο A. Τότε (i) Η R λέγεται αυτοπαθής αν (x, x) R για κάθε x A. (ii) Η R λέγεται συµµετρική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) R, τότε (y, x) R. (iii) Η R λέγεται µεταβατική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R. Μία διµελής σχέση στο A, η οποία είναι αυτοπαθής, συµµετρική και µεταβατική λέγεται σχέση ισοδυναµίας στο A. Για τις σχέσεις ισοδυναµίας χρησιµοποιούµε συνήθως το σύµβολο. Ετσι, αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A τότε αντί για xry γράφουµε x y. Οι τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες της εκφράζονται ως εξής : Αυτοπαθής : x x για κάθε x A Συµµετρική : Αν x y τότε y x Μεταβατική : Αν x y και y z, τότε x z Παράδειγµα Εστω A ένα σύνολο.

9 1.3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 9 (i) Η ισότητα στο σύνολο A είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A. (ii) Αν A, τότε η σχέση X Y στο σύνολο P(A) δεν είναι σχέση ισοδυναµίας, καθώς δεν είναι συµµετρική. Ορισµός Εστω A ένα σύνολο και µια σχέση ισοδυναµίας στο A. Αν α A τότε η κλάση ισοδυναµίας του α είναι το σύνολο K α = {x A α x}. Παρατηρούµε ότι, λόγω της συµµετρικής ιδιότητας, K α = {x A x α}. Το σύνολο {K α α A} των κλάσεων ισοδυναµίας συµβολίζεται µε A/. Παράδειγµα Θεωρούµε το σύνολο X των σηµείων του επιπέδου και σταθεροποιούµε ένα σηµείο O X. Ορίζουµε µια σχέση στο X, ως εξής : Αν P, Q X τότε ϑέτουµε P Q αν και µόνο αν τα σηµεία P, Q ισαπέχουν από το O. Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση ισοδυναµίας ενος στοιχείου P X είναι το σύνολο των σηµείων του κύκλου µε κέντρο O, ο οποίος διέρχεται από το P. (Αν P = O τότε ο κύκλος αυτός εκφυλίζεται σε ένα σηµείο.) Το σύνολο X/ είναι το σύνολο όλων των κύκλων του επιπέδου µε κέντρο O. Πρόταση Εστω A ένα σύνολο και µια σχέση ισοδυναµίας στο A. Τότε : (i) Αν α, β A τότε K α = K β αν και µόνο αν α β. (ii) Αν α, β A τότε K α = K β ή K α K β =. (iii) α A K α = A. Απόδειξη. (i) Αν K α = K β τότε, επειδή β K β, έπεται ότι β K α και άρα α β. Εστω τώρα α β. Θα δείξουµε ότι K α K β και K β K α. Αν x K α τότε x α. Αλλά από υπόθεση έχουµε ότι α β και άρα από τη µεταβατική ιδιότητα έπεται ότι x β. Εποµένως, x K β και άρα δείξαµε ότι K α K β. Ανάλογα δείχνουµε ότι K β K α. Οι αποδείξεις των (ii) και (iii) αφήνονται ως ασκήσεις στον αναγνώστη. Ορισµός Εστω A ένα σύνολο. Ενα υποσύνολο S P(A) λέγεται διαµέριση του A αν

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (i) S, (ii) Γ S Γ = A και (iii) αν X, Y S τότε X = Y ή X Y =. Ετσι, µια διαµέριση ενός συνόλου A είναι ένα σύνολο µη-κενών υποσυνόλων του A, τα οποία ανά δύο έχουν τοµή το κενό σύνολο ή συµπίπτουν και η ένωσή τους είναι το A. Άπό την Πρόταση έπεται ότι άν είναι µια σχέση ισοδυναµίας σε ένα σύνολο A, τότε το σύνολο A/ των κλάσεων ισοδυναµίας είναι µια διαµέριση του A. Στην επόµενη πρόταση ϑα δείξουµε ότι ισχύει και το αντίστροφο. Πρόταση Εστω A ένα σύνολο και S µια διαµέριση του A. Τότε, υπάρχει µια σχέση ισοδυναµίας στο A, έτσι ώστε οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας να είναι ακριβώς τα στοιχεία του S (δηλαδή, A/ = S). Απόδειξη. Ορίζουµε µια σχέση στο A ως εξής : Για x, y A ϑέτουµε x y αν και µόνο αν υπάρχει Γ S µε x, y Γ. Είναι εύκολο να δούµε ότι η σχέση είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A και αν x A µε x Γ, τότε K α = Γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις είναι σχέσεις ισοδυναµίας. 1. Στο σύνολο των ακεραίων Z: Αν α, β Z τότε α β αν ο ακέραιος β α είναι πολλαπλάσιο του Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R: Αν α, β R τότε α β αν ο ο πραγµατικός αριθµός β α είναι ϱητός. 3. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R: Αν α, β R τότε α β αν αβ Στο σύνολο Z Z: Αν (α 1, α 2 ), (β 1, β 2 ) Z Z τότε (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) αν α 1 β 2 = α 2 β 1.

11 1.4. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Απεικονίσεις Ορισµός Εστω X, Y δύο σύνολα. Μια απεικόνιση f από το X στο Y είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο x του X ακριβώς ένα στοιχείο f(x) του Y. Το σύνολο X λέγεται το πεδίο ορισµού της απεικόνισης f και το σύνολο Y το πεδίο τιµών της. Για συντοµία, γράφουµε f : X Y. Το στοιχείο f(x) του Y λέγεται η εικόνα του x µέσω της απεικόνισης f. Τις απεικονίσεις ονοµάζουµε επίσης και συναρτήσεις. Ορισµός Εστω f : X Y µια απεικόνιση και A X, B Y. Τότε, το σύνολο {f(x) Y x A} λέγεται η εικόνα του A µέσω της f και συµβολίζεται µε f(a). Ιδιαίτερα, το f(x) λέγεται η εικόνα της f. Το σύνολο {x X f(x) B} λέγεται η αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f και συµβολίζεται µε f 1 (B). Παράδειγµα µια απεικόνιση (i) Η πρόσθεση των πραγµατικών αριθµών είναι πρ : R R R µε (x, y) x + y. (ii) Ο πολλαπλασιασµός των πραγµατικών αριθµών είναι µια απεικόνιση πoλ : R R R µε (x, y) xy. (iii) Μια απεικόνιση δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται µέσω κάποιου τύπου. Ετσι, { µπορούµε να ϑεωρήσουµε την απεικόνιση f : R R 1 αν ο x είναι ϱητός µε f(x) = 0 αν ο x είναι άρρητος (iv) Η π 1 : R R R µε (x, y) x είναι µια απεικόνιση. { κ αν ν = 2κ (v) Η σ : N Z µε σ(0) = 0 και σ(ν) = κ αν ν = 2κ 1 για κάθε ν > 0 είναι µια απεικόνιση. (vi) Η ϱ : N Z µε ν ν είναι µια απεικόνιση. Ορισµός ύο απεικονίσεις f : X Y και g : A B λέγονται ίσες αν X = A, Y = B και f(x) = g(x) για κάθε x X.

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παράδειγµα Οι { απεικονίσεις f : Z Z µε f(ν) = συν(νπ) και 1 αν ο ν είναι περιττός g : Z Z µε g(ν) = είναι ίσες. 1 αν ο ν είναι άρτιος Ορισµός Εστω f : X Y µια απεικόνιση. (i) Η f λέγεται ένα προς ένα, και γράφουµε 1-1, αν για κάθε x, x X µε x x είναι f(x) f(x ) ή, ισοδύναµα, αν για κάθε x, x X µε f(x) = f(x ) είναι x = x. (ii) Η f λέγεται επί αν για κάθε y Y υπάρχει x X µε f(x) = y ή, ισοδύναµα, αν f(x) = Y. Παράδειγµα Για τις απεικονίσεις στο Παράδειγµα έχουµε : (i) Η πρ είναι επί, αφού αν r R τότε πρ((r, 0)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού πρ((1, 3)) = 4 = πρ((2, 2)). (ii) Η πoλ είναι επί, αφού αν r R τότε πoλ((r, 1)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού πολ((3, 4)) = 12 = πoλ((2, 6)). (iii) Η f δεν είναι επί, αφού f(r) = {1, 0} R, ούτε 1-1, αφού f(2) = 1 = f(3). (iv) Η π 1 είναι επί, αφού αν r R τότε π 1 ((r, 2)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού π 1 ((1, 2)) = 1 = π 1 ((1, 3)). (v) Εύκολα ϐλέπουµε ότι η σ είναι 1-1 και επί. (vi) Η ϱ είναι 1-1, αφού αν ϱ(x) = ϱ(y), τότε x = y και άρα x = y, αλλά δεν είναι επί, αφού ϱ(n) Z. Ορισµός Εστω M ένα σύνολο. Η απεικόνιση M M που αντιστοιχεί το x στο x για κάθε x X λέγεται η ταυτοτική απεικόνιση του M και συµβολίζεται µε 1 M ή id M. Ορισµός Εστω f : X Y και g : Y Z δύο απεικονίσεις. Τότε ορίζεται η απεικόνιση g f : X Z µε (g f)(x) = g(f(x)) για κάθε x X, η οποία λέγεται σύνθεση των f και g.

13 1.4. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 13 Παράδειγµα Εστω f : Z Z και g : Z Z οι συναρτήσεις µε f(ν) = 2ν + 1 και g(ν) = 2ν για κάθε ν Z. Τότε, για τις συνθέσεις g f και f g είναι (g f)(ν) = 4ν+2 και (f g)(ν) = 4ν+1. Παρατηρούµε ότι f g g f. Πρόταση Αν f : A B είναι µια απεικόνιση, τότε 1 B f = f = f 1 A. Απόδειξη. Είναι άµεση και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Πρόταση (προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης απεικονίσεων) Εστω f : A B, g : B Γ και h : Γ απεικονίσεις. Τότε, οι απεικονίσεις h (g f) : A και (h g) f : A είναι ίσες. Απόδειξη. Εστω φ = h (g f) : A και ψ = (h g) f : A. Τότε, για κάθε α A έχουµε φ(α) = (h (g f))(α) = h((g f)(α)) = h(g(f(α))) και ψ(α) = ((h g) f)(α) = (h g)(f(α)) = h(g(f(α))). Άρα φ(α) = ψ(α) για κάθε α A, δηλαδή φ = ψ. Πρόταση Εστω f : X Y και g : Y Z δυο απεικονίσεις. (i) Αν οι f και g είναι 1-1, τότε η g f είναι επίσης 1-1. (ii) Αν οι f και g είναι επί, τότε η g f είναι επίσης επί. (iii) Αν οι f και g είναι 1-1 και επί τότε η g f είναι επίσης 1-1 και επί. Απόδειξη. (i) Εστω x 1, x 2 X µε x 1 x 2. Επειδή η f είναι 1-1, έπεται ότι f(x 1 ) f(x 2 ). Τώρα, επειδή η g είναι 1-1, έπεται ότι g(f(x 1 )) g(f(x 2 )). Άρα, η g f είναι 1-1. (ii) Εστω z Z. Επειδή η g είναι επί, έπεται ότι z = g(y) για κάποιο y Y. Τώρα, επειδή η f είναι επί, έχουµε ότι y = f(x) για κάποιο x X. Άρα, έχουµε z = g(y) = g(f(x)) = (g f)(x). είξαµε ότι για κάθε z Z υπάρχει κάποιο x X µε z = (g f)(x). Άρα, η g f είναι επί. (iii) Αυτό έπεται άµεσα από τα (i) και (ii). Εστω f : A B και g : B A δυο απεικονίσεις. Τότε, ορίζονται οι απεικονίσεις g f : A A και f g : B B.

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην περίπτωση που g f = 1 A και f g = 1 B, η g λέγεται µια αντίστροφη της f (και η f µια αντίστροφη της g). Θα εξετάσουµε παρακάτω πότε µια απεικόνιση f έχει αντίστροφη και ϑα δούµε ότι αυτή, αν υπάρχει, είναι µοναδική. Πρόταση Μια απεικόνιση f : A B έχει αντίστροφη αν και µόνο αν είναι 1-1 και επί. Απόδειξη. Εστω ότι η f έχει µια αντίστροφη g : B A. Ετσι, έχουµε g(f(α)) = α για κάθε α A και f(g(β)) = β για κάθε β B. Θα δείξουµε ότι η f είναι 1-1 και επί. Πράγµατι, έστω α 1, α 2 A µε f(α 1 ) = f(α 2 ). Τότε, έχουµε α 1 = g(f(α 1 )) = g(f(α 2 )) = α 2 και έτσι η f είναι 1-1. Εστω τώρα β B. Τότε f(g(β)) = β, δηλαδή το β είναι η εικόνα του στοιχείου g(β) A µέσω της f. Άρα, η f είναι επί. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η f είναι 1-1 και επί. Θα δείξουµε ότι υπάρχει απεικόνιση g : B A µε f g = 1 B και g f = 1 A. Εστω β B. Καθώς η f είναι επί, υπάρχει τουλάχιστον ένα α A µε f(α) = β. Αν κάποιο στοιχείο α A είναι τέτοιο ώστε f(α ) = β, τότε f(α) = β = f(α ). Επειδή όµως η f είναι 1-1, έπεται ότι α = α. Άρα, αν β B τότε υπάρχει ένα µοναδικό α A µε f(α) = β. Συνεπώς, µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση g : B A, ώς εξής : Αν β B τότε η εικόνα g(β) του β µέσω της g είναι το µοναδικό στοιχείο α A το οποίο έχει την ιδιότητα f(α) = β. ηλαδή, g(β) = α, όπου α το µοναδικό στοιχείο του A µε την ιδιότητα f(α) = β. Εύκολα τώρα ϐλέπουµε ότι f(g(β)) = β για κάθε β B και g(f(α)) = α για κάθε α A. Άρα, έχουµε f g = 1 B και g f = 1 A. Πρόταση Αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί τότε έχει µοναδική αντίστροφη, την οποία συµβολίζουµε µε f 1. Απόδειξη. Είδαµε στην Πρόταση ότι αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί τότε έχει αντίστροφη. Εστω g 1, g 2 : B A δυο αντίστροφες της f. Τότε, έχουµε g 1 f = 1 A = g 2 f και f g 1 = 1 B = f g 2. Ετσι, µε ϐάση τις Προτάσεις και , συµπεραίνουµε ότι g 1 = 1 A g 1 = (g 2 f) g 1 = g 2 (f g 1 ) = g 2 1 B = g 2. Από τα παραπάνω έπεται ότι αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί, τότε η αντίστροφη απεικόνιση f 1 : B A είναι επίσης 1-1 και επί, ενώ η αντίστροφη της f 1 είναι η f, δηλαδή (f 1 ) 1 = f.

15 1.4. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 15 Παράδειγµα Από τις απεικονίσεις του Παραδείγµατος µόνο η απεικόνιση σ στο (v) είναι 1-1 και επί και άρα µόνο αυτή έχει αντίστροφη. Η σ 1 : Z N 0 ορίζεται ϑέτοντας σ 1 (0) = 0 και { σ 1 (κ) = 2κ 2κ 1 αν κ ϑετικός ακέραιος αν κ αρνητικός ακέραιος Πρόταση Αν οι απεικονίσεις f : A B και g : B Γ έχουν αντίστροφες, τότε η απεικόνιση g f : A Γ έχει επίσης αντίστροφη και µάλιστα ισχύει (g f) 1 = f 1 g 1. Απόδειξη. Εχουµε τις σχέσεις f 1 f = 1 A και f f 1 = 1 B, όπως επίσης και τις σχέσεις g 1 g = 1 B και g g 1 = 1 Γ. Με ϐάση τις Προτάσεις και , έχουµε ότι (g f) (f 1 g 1 ) = g (f (f 1 g 1 )) = g ((f f 1 ) g 1 ) = g (1 B g 1 ) = g g 1 = 1 Γ. Ανάλογα δείχνουµε ότι (f 1 g 1 ) (g f) = 1 A. Ετσι, δείξαµε ότι η g f έχει µια αντίστροφη, την f 1 g 1. Καθώς γνωρίζουµε ότι αν µια απεικόνιση έχει αντίστροφη, τότε αυτή είναι µοναδική, έπεται ότι (g f) 1 = f 1 g 1. Ορισµός Εστω f : X Y µια απεικόνιση και M ένα υποσύνολο του X. Η απεικόνιση M Y µε x f(x) λέγεται περιορισµός της f στο M και συµβολίζεται µε f M. Ορισµός Εστω ρ : A B µία απεικόνιση και Γ ένα σύνολο µε A Γ. Αν σ : Γ B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε ρ = σ A, τότε η σ λέγεται επέκταση της ρ. Παράδειγµα Θεωρούµε την απεικόνιση ρ : N Z µε ν ν. Τότε, { οι απεικονίσεις σ 1 : Z Z µε ν ν και σ 2 : Z Z µε ν αν ο ν είναι ϑετικός σ 2 (ν) = ν αν ο ν είναι αρνητικός είναι επεκτάσεις της ρ µε σ 1 σ 2.

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµός Εστω A, B δυο σύνολα. Η απεικόνιση π 1 : A B A µε (α, β) α λέγεται προβολή στον πρώτο παράγοντα του καρτεσιανού γινοµένου A B. Ανάλογα ορίζεται η προβολή π 2 : A B B στον δεύτερο παράγοντα του A B. Παρατήρηση Ο ορισµός της απεικόνισης που δώσαµε (Ορισµός 1.4.1) δεν είναι διατυπωµένος αυστηρά στη γλώσσα των συνόλων. Ενας αυστηρός ορισµός είναι ο ακόλουθος : Μια απεικόνιση f είναι µια διατεταγ- µένη τριάδα (X, Y, R) όπου X, Y είναι σύνολα και R ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινοµένου X Y, το οποίο έχει τις επόµενες δύο ιδιότητες : (i) για κάθε x X υπάρχει y Y ώστε (x, y) R και (ii) αν x X και y, y Y είναι στοιχεία µε (x, y) R και (x, y ) R, τότε y = y. Ετσι, µια απεικόνιση f = (X, Y, R) είναι µια διµελής σχέση ειδικής µορ- ϕής από το X στο Y. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. (i) Ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι 1-1;, ποιες είναι επί ; f 1 : N N, x x 2 f 2 : Z Z, x x 2 f 3 : Z Z, x x 3 f 4 : R R, x x 3 f 5 : N N, x x + 1 (ii) Είναι οι συναρτήσεις f 5 f 1 και f 1 f 5 ίσες ; 2. Εστω π 1 : R R R η προβολή στον πρώτο παράγοντα. Αν r 1, r 2 R να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση απο το σύνολο π1 1 (r 1 ) στο π1 1 (r 2 ). 3. Εστω f : A B µια απεικόνιση, X, Y A και Γ, B. Να δειχτεί ότι : (i) Αν X Y τότε f(x) f(y ). (ii) Αν Γ τότε f 1 (Γ) f 1 ( ).

17 1.4. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 17 (iii) X f 1 (f(x)) µε την ισότητα να ισχύει αν η f είναι 1-1. (iv) f(f 1 (Γ)) Γ µε την ισότητα να ισχύει αν η f είναι επί. 4. Εστω f : A B µια απεικόνιση, X, Y A και Γ, B. Να δειχτεί ότι : (i) f(x Y ) = f(x) f(y ) (ii) f 1 (Γ ) = f 1 (Γ) f 1 ( ) (iii) f(x Y ) f(x) f(y ) (iv) f 1 (Γ ) = f 1 (Γ) f 1 ( ) Να δειχτεί επίσης ότι στο (iii) έχουµε ισότητα για κάθε X, Y P(A) αν και µόνο αν η f είναι Εστω f : X Y µια απεικόνιση. Θεωρούµε ένα µη-κενό σύνολο I και υποθέτουµε ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(X) και ένα σύνολο B i µε B i P(Y ). Να δειχτεί ότι : (i) f ( 1 i I B ) i = i I f 1 (B i ) (ii) f ( 1 i I B ) i = i I f 1 (B i ) (iii) f ( i I A ) i = i I f(a i) (iv) Αν η f είναι 1-1 τότε f ( i I A ) i = i I f(a i) 6. Εστω f : A B και ϱ : B Γ δυο απεικονίσεις. Να δειχτεί ότι : (i) Αν η ϱ f είναι επί, τότε η ϱ είναι επί. (ii) Αν η ϱ f είναι 1-1, τότε η f είναι Εστω f : A X µια απεικόνιση και B, Γ υποσύνολα του A, τέτοια ώστε οι περιορισµοί f B και f Γ είναι 1-1. Μπορούµε να συµπεράνουµε ότι ο περιορισµός f B Γ είναι επίσης 1-1; 8. Εστω f : A B µια απεικόνιση. Να δειχτεί ότι : (i) Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν f 1 ({β}) = 1 για κάθε β f(a). (ii) Η f είναι επί αν και µόνο αν f 1 ({β}) για κάθε β B.

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 9. Εστω f : X Y µια απεικόνιση. Τότε ορίζονται οι απεικονίσεις f : P(X) P(Y ) µε A f(a) και f 1 : P(Y ) P(X) µε B f 1 (B). Να δειχτεί ότι : (i) Αν η f είναι επί τότε f f 1 = 1 P(Y ). (ii) Αν η f είναι 1-1 τότε f 1 f = 1 P(X). 10. (i) Εστω A, B δυο σύνολα και S το σύνολο των απεικονίσεων f : {1, 2} A B µε f(1) A και f(2) B. Να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το S στο A B. (ii) Εστω A ένα σύνολο και ν ένας ϕυσικός αριθµός. Αν M είναι το σύνολο όλων των απεικονίσεων f : {1, 2, 3,..., ν} A, τότε να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το A στο A ν = A } A {{ A. } ν ϕορές 11. Μια απεικόνιση f : A B λέγεται σταθερή αν f(α) = f(α ) για κάθε α, α A. Να δειχτεί ότι αν f, ϱ : A A είναι σταθερές απεικονίσεις και f ϱ, τότε ϱ f f ϱ. 12. Εστω f : X Y µια απεικόνιση. Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση g : X X έχουµε f g = f. 13. Να ϐρεθεί µια 1-1 και επί απεικόνιση f : N M, όπου M N. 14. Εστω f : X Y µια απεικόνιση. (i) Στο σύνολο X ορίζουµε µια σχέση, ϑέτοντας x x αν και µόνο αν f(x) = f(x ) Y. Να δειχτεί ότι η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας. (ii) Να δειχτεί ότι το σύνολο {f 1 ({y}) y f(x)} είναι µια διαµέριση του X. 15. (i) Εστω f : X Y µια 1-1 απεικόνιση. Να ορίσετε µια απεικόνιση ϱ : Y X µε ϱ f = 1 X. (ii) ώστε παράδειγµα απεικονίσεων σ, τ : A A µε τ σ = 1 A και σ τ 1 A. 16. Εστω f, g : X Y δυο απεικονίσεις. Να δειχτεί ότι :

19 1.5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 19 (i) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση h : Y {3, 7} ισχύει h f = h g. (ii) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση σ : {3} X ισχύει ότι f σ = g σ. 17. Εστω A = A 1 A 2 και R 1, R 2 σχέσεις ισοδυναµίας στα A 1 και A 2 αντίστοιχα. Εστω R η σχέση στο A που ορίζεται ϑέτοντας (α 1, α 2 )R(β 1, β 2 ) αν α 1 R 1 β 1 και α 2 R 2 β 2. Να δειχτεί ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο A και υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το σύνολο A/R στο καρτεσιανό γινόµενο (A 1 /R 1 ) (A 2 /R 2 ). 1.5 Μαθηµατική Επαγωγή Θα αποδείξουµε την αρχή της επαγωγής χρησιµοποιώντας την ακόλου- ϑη ιδιότητα των ϕυσικών αριθµών. Αξίωµα του ελαχίστου ή Αξίωµα καλής διάταξης: Κάθε µη-κενό υποσύνολο M του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο. ηλαδή, υπάρχει m 0 M τέτοιο ώστε m 0 m για κάθε m M. Θεώρηµα (Μαθηµατική επαγωγή ή αρχή της επαγωγής) Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν, µε τέτοιον τρόπο ώστε : (i) η p(1) αληθεύει και (ii) αν η p(µ) αληθεύει για κάποιο ϕυσικό αριθµό µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει. Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν. Απόδειξη. Εστω S το υποσύνολο του N που έχει ως στοιχεία του εκείνους τους ϑετικούς ακέραιους αριθµούς ν, για τους οποίους η πρόταση p(ν) δεν αληθεύει. Θα δείξουµε ότι S =. Εστω ότι S. Τότε, από το αξίωµα ελαχίστου, το S περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω µ. Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1. Από τον ορισµό του µ, έχουµε ότι µ 1 / S και άρα η πρόταση p(µ 1) αληθεύει. Τότε όµως, από την

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ υπόθεση (ii), έπεται ότι και η p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο καθώς µ S. Μια άλλη µορφή της µαθηµατικής επαγωγής είναι η ακόλουθη : Θεώρηµα ( εύτερη µορφή της επαγωγής) Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν, µε τέτοιον τρόπο ώστε : (i) η p(1) αληθεύει και (ii) αν µ N και η p(r) αληθεύει για κάθε r µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει. Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι αν S είναι το σύνολο που αποτελείται από όλους τους ϕυσικούς αριθµούς ν µε ν 1, για τους οποίους η p(ν) δεν αληθεύει, τότε S =. Αν το S δεν είναι κενό, τότε λόγω του αξιώµατος του ελαχίστου, ϑα περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω µ. Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1. Από τον ορισµό του µ προκύπτει ότι η πρόταση p(r) αληθεύει για κάθε r µ 1. Από την υπόθεση (ii), έχουµε ότι η p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο. Παρατήρηση Η υπόθεση (i) στα προηγούµενα δύο ϑεωρήµατα λέγεται συνήθως «αρχικό ϐήµα της επαγωγής», ενώ η υπόθεση (ii) «επαγωγικό ϐήµα». Επίσης, η υπόθεση «αν η p(ν) αληθεύει» στην (ii) του Θεω- ϱήµατος (αντίστοιχα «αν η p(r) αληθεύει για κάθε r µ» στην (ii) του Θεωρήµατος 1.5.2) λέγεται «υπόθεση επαγωγής». Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, είναι χρήσιµο να εξετάσουµε µια ιδιότητα που αφορά την πρόσθεση πραγµατικών αριθµών : Παρατήρηση Γνωρίζουµε ότι αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε (α + β) + γ = α + (β + γ). ηλαδή, αν προσθέσουµε το άθροισµα των α και β µε το γ, τότε το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό που ϐρίσκουµε αν προσθέσουµε το α µε το άθροισµα των β και γ. Συνεπώς, δεν έχει σηµασία πώς µπαίνουν οι παρενθέσεις. Ετσι, µπορούµε να παραστήσουµε χωρίς κίνδυνο σύγχυσης τον αριθµό (α + β) + γ = α + (β + γ) ως α + β + γ.

21 1.5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 21 Γενικότερα, αν α 1, α 2,..., α ν είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως προς ν ότι µε όποιον τρόπο και να προσθέσουµε τα α 1, α 2,..., α ν, δηλαδή µε όποιον τρόπο και να ϐάλουµε τις παρενθέσεις, το αποτέλεσµα είναι πάντα το ίδιο και το συµβολίζουµε µε α 1 +α 2 + +α ν ή ν i=1 α i. Ετσι, για παράδειγµα, έχουµε (α 1 + α 2 ) + (α 3 + α 4 ) = α 1 + (α 2 + (α 3 + α 4 )) = ((α 1 + α 2 ) + α 3 ) + α 4 = (α 1 + (α 2 + α 3 ) + α 4 ). Εστω B ένα πεπερασµένο υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών µε στοιχεία τους αριθµούς β 1, β 2,..., β ν. Χρησιµοποιώντας την αντιµετα- ϑετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πραγµατικών αριθµών (δηλαδή τη σχέση r 1 + r 2 = r 2 + r 1, r 1, r 2 R), µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως προς ν ότι για κάθε 1-1 και επί απεικόνιση φ : {1, 2,..., ν} {1, 2,..., ν} ισχύει β 1 + β β ν = β φ(1) + β φ(2) + + β φ(ν). Αρα, χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, µπορούµε να παραστήσουµε το άθροισµα β 1 + β β ν µε β B β. Παράδειγµα Για κάθε ν N µε ν 1 ισχύει ( ) ν i 2 = ν 2 = i=1 ν(ν + 1)(2ν + 1). 6 Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Η p(ν) είναι η ισότητα ( ). Η p(1) αληθεύει, αφού 1 i=1 = 12 = 1 1 (1 + 1) ( ). 6 Υποθέτοντας ότι ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι ισχύει η p(µ + 1). Εστω λοιπόν ότι µ i 2 = µ 2 = i=1 µ(µ + 1)(2µ + 1). 6 Τότε µ+1 i=1 i2 = µ i=1 i2 + (µ + 1) 2 µ(µ + 1)(2µ + 1) + (µ + 1)2 = 1 6 = 1 6 (µ + 1)[µ(2µ + 1) + 6(µ + 1)] = 1(µ + 6 1)(2µ2 + 7µ + 6) = 1 (µ + 1)(µ + 2)(2µ + 3) 6 και άρα ισχύει η p(µ + 1). Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η ( ) ισχύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν.

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παράδειγµα Εστω x ένας πραγµατικός αριθµός µε x 1. Τότε, για κάθε ν N µε ν 1 ισχύει ( ) ν i=0 x i = 1 + x + x x ν = 1 xν+1 1 x. Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Η p(ν) είναι η ισότητα ( ). Η p(1) αληθεύει, αφού 1 i=0 xi = 1 + x = 1 x2. Υποθέτοντας ότι 1 x ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι ισχύει η p(µ + 1). Εστω λοιπόν ότι µ i=0 x i = 1 + x + x x µ = 1 xµ+1 1 x. Τότε µ+1 i=0 xi = µ i=0 xi + x µ+1 = 1 xµ+1 1 x + x µ+1 = 1 xµ+1 +x µ+1 (1 x) 1 x 1 xµ+2 = 1 x και άρα ισχύει η p(µ + 1). Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η ( ) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν. Παρατήρηση Συχνά οι επαγωγικές αποδείξεις δεν αρχίζουν από τον αριθµό 1, αλλά από κάποιον άλλο µεγαλύτερο. Ισχύουν τα αντίστοιχα των Θεωρηµάτων και και στην περίπτωση αυτή. Για παράδειγµα, αναφέρουµε το παρακάτω : Θεώρηµα ( εύτερη µορφή της επαγωγής µε αρχικό ϐήµα στο κ) Εστω κ ένας ϕυσικός αριθµός και έστω ότι σε κάθε ϕυσικό αριθµό ν µε ν κ αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν. Εστω επιπλέον ότι (i) Η p(κ) αληθεύει και (ii) Αν µ είναι ένας ϕυσικός αριθµός µε µ κ και η p(r) αληθεύει για κάθε κ r µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει. Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϕυσικό αριθµό ν κ. Απόδειξη. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη.

23 1.5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 23 Παράδειγµα Ενας ϕυσικός αριθµός p 2 λέγεται πρώτος αν δε µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο δύο µικρότερών του ϕυσικών αριθµών. Θα δείξουµε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός ν 2 µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο (ενός ή περισσοτέρων) πρώτων αριθµών. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή. Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα Για ν = 2 ο ισχυρισµός ισχύει, αφού ο 2 είναι πρώτος. Εστω ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλους τους ϕυσικούς r µε 2 r µ. Θα δείξουµε ότι ο ισχυρισµός ισχύει για τον µ + 1. Αν ο µ + 1 είναι πρώτος, τότε έχουµε τελειώσει. Αν ο µ + 1 δεν είναι πρώτος, τότε µ + 1 = µ 1 µ 2 µε µ 1 < µ + 1 και µ 2 < µ + 1. Αλλά τότε, από την υπόθεση της επαγωγής, οι αριθµοί µ 1 και µ 2 είναι πρώτοι ή γινόµενα πρώτων. Συνεπώς, το γινόµενό τους, δηλαδή ο αριθµός µ + 1, είναι επίσης γινόµενο πρώτων. Το αποτέλεσµα τώρα έπεται από το Θεώρηµα ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να δειχτεί ότι (i) Ο αριθµός 8 ν ν 1 είναι πολλαπλάσιο του 73 για κάθε ν N, ν 1. (ii) ν i=1 ( 1)i i 2 = 1 2 ( 1)ν ν(ν + 1) για κάθε ν N, ν 1. (iii) 2ν 2 ν για κάθε ν N. (iv) ν i=1 i! < (ν + 1)! για κάθε ν N, ν Εστω A ένα πεπερασµένο σύνολο µε ν στοιχεία. Να δειχτεί ότι το πλήθος των στοιχείων του P(A) είναι 2 ν. 3. Εστω κ ένας ϕυσικός αριθµός και M {1, 2,, κ}, τέτοιο ώστε : (i) 1 M και (ii) αν λ {1, 2,..., κ 1} και λ M, τότε λ + 1 M. Να δειχτεί ότι M = {1, 2,..., κ}. 4. (i) Εστω A, B δυο πεπερασµένα υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών µε A B =. Να δειχτεί ότι x A B x = α A α+ β B β.

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (ii) Εστω A 1, A 2,..., A ν πεπερασµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών µε A i A j = για κάθε i j. Να δειχτεί ότι x ν i=1 A i x = x A 1 x+ x A 2 x+ + x A ν x. Το άθροισµα x A 1 x+ x A 2 x+ + x A ν x το συµβολίζουµε µε ν i=1 ( x A i x ). 5. Εστω A, B δυο πεπερασµένα σύνολα και f : A B R µια απεικόνιση. Αν A = {α 1, α 2,..., α ν } και B = {β 1, β 2,..., β µ }, να δειχτεί ότι (i) x A B f(x) = β B f(α 1, β) + + β B f(α ν, β) (ii) x A B f(x) = α A f(α, β 1) + + α A f(α, β µ) Το δεύτερο µέλος της (i) το γράφουµε και ως ( ) f(α, β), α A β B ενώ το δεύτερο µέλος της (ii) το γράφουµε και ως ( ) f(α, β). β B α A Ετσι, από τις (i) και (ii), έπεται ότι f(x) = ( ) f(α, β) = ( ) f(α, β). x A B α A β B α A β B

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ :

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η έννοια του συνόλου στα µαθηµατικά είναι έννοια πρωταρχική και έτσι δεν ορίζεται αυστηρά µαθηµατικά. Μπορούµε όµως επεξηγηµατικά αντί ορισµού να πούµε: Σύνολο, είναι µια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε 1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και» Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα