2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΔΟΝΤΙΚΗ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΔΟΝΤΙΚΗ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ"

Transcript

1 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΔΟΝΤΙΚΗ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται όλες οι βασικές αρχές της οδοντικής αισθητικής. Μετά τον ορισμό της οδοντικής αισθητικής, αναλύονται όροι, όπως οδοντική σύνθεση, οδοντική αναλογία, οδοντική συμμετρία, μέγεθος και σχήμα δοντιών κ.ά. η γνώση των οποίων είναι απαραίτητη ώστε να εφαρμοστεί σωστά η αισθητική οδοντιατρική. 2.1 Γενικά Στη σημερινή εποχή η αισθητική, ως γενική έννοια, έχει εισχωρήσει βαθιά, ως προτεραιότητα, σε όλες τις εκφάνσεις κάθε κοινωνικής δραστηριότητας του ατόμου. Έτσι, είναι φυσικό επακόλουθο, η γενική έννοια της αισθητικής να συσχετισθεί και με την αισθητική του προσώπου και του χαμόγελου, που ως γνωστό είναι η πρώτη ουσιαστική εικόνα που η θετικής της αντίληψη αποτελεί το καλύτερο διαβατήριο για κάθε επιτυχία. 1 Το πρόσωπο είναι στοιχείο της ταυτότητας και της φυσιογνωμίας κάποιου, ενώ συγχρόνως αποτελεί τον «καθρέφτη» της ψυχολογικής κατάστασης και των συναισθημάτων που βιώνει. Βέβαια η αισθητική του προσώπου επηρεάζεται, εξίσου σημαντικά, από την αισθητική των δοντιών, κάτι το οποίο φαίνεται σε διαφορετικούς πολιτισμούς και λαούς και έχει να κάνει και με το οικονομικό ή βιοτικό επίπεδο. Συγκεκριμένα, στον ασιατικό και κινεζικό πολιτισμό το σύνολο των δοντιών που λείπουν και των αποκαταστάσεων που έχουν κατασκευαστεί όσον αφορά το μέγεθος, το σχήμα ή το χρώμα αποκαλύπτει την οικονομική κατάσταση, στο δυτικό πολιτισμό η έλλειψη των προσθίων δοντιών καταδεικνύει τη φτώχεια και στις υποανάπτυκτες χώρες οι αποκαταστάσεις από κράματα χρυσού απλά σηματοδοτούν την ευημερία. 2,3 Μοιραία λοιπόν, η Οδοντιατρική αλλά και ειδικότερα οι αποκαταστατικές ειδικότητές της, (Προσθετική, Οδοντική χειρουργική), βρέθηκαν στην πρώτη γραμμή των παρεμβατικών επιστημών και τεχνών που επιστρατεύονται σήμερα, υποστηριζόμενες από την τεχνολογία στην εξυπηρέτηση της αισθητικής αποκατάστασης του στοματοπροσωπικού συμπλέγματος. Στην καθημερινή άσκηση της αποκαταστατικής οδοντιατρικής και κυρίως της Προσθετικής, η ανάγκη επίτευξης ενός αποδεκτού αισθητικά συνόλου καθίσταται ολοένα και πιο επιτακτική, ιδιαίτερα από την πλευρά των ασθενών, οι οποίοι συχνά απαιτούν από τους ειδικούς την παρέμβασή τους για αποκλειστικά αισθητικούς λόγους. Ίσως κανένας άλλος τομέας της κλινικής οδοντιατρικής δεν θεωρείται από τους ασθενείς τόσο σημαντικός, όσο το αντικείμενο της αισθητικής. Ως αισθητική των δοντιών ή οδοντική αισθητική ορίζεται ο κλάδος εκείνος ο οποίος ασχολείται με το σχήμα, το μέγεθος, τη θέση και το χρώμα των δοντιών, αλλά και με τη σχέση τους με τους μαλακούς στοματικούς και περιστοματικούς ιστούς. 1 Το 1936, ο Pilkington όρισε την αισθητική οδοντιατρική ως την επιστήμη της αντιγραφής και της εναρμόνισης με τη φύση, μέσω της οποίας η οδοντιατρική παρέμβαση καθίσταται δυσδιάκριτη. 1 Η αισθητική οδοντιατρική αποτελεί σήμερα έναν νέο και συνεχώς βελτιούμενο τομέα της κλινικής πράξης. Σ αυτό συνέβαλαν και συμβάλλουν καθημερινά αφενός τα επιτεύγματα της σύγχρονης οδοντιατρικής και οδοντοτεχνικής τεχνολογίας και αφετέρου η συνεχής και επιτακτική επιθυμία των ασθενών για εφαρμογή αισθητικότερων οδοντιατρικών θεραπειών. 2.2 Βασικές αρχές οδοντικής αισθητικής Η αλματώδης εξέλιξη των υλικών των αισθητικών αποκαταστάσεων των δοντιών καθιέρωσε, πλέον, την αισθητική ως μία βασικότατη παράμετρο της οδοντιατρικής αποκατάστασης. Η πλειοψηφία των ασθενών δίνει μεγάλη σημασία στην αισθητική αποκατάσταση των δοντιών τους και δεν ενδιαφέρονται μόνο για την αντιμετώπιση του πόνου. Κατά συνέπεια, ο σύγχρονος οδοντίατρος έχει επωμιστεί όχι μόνο το ρόλο του γιατρού, υπεύθυνου για την ίαση, αλλά και το ρόλο του ειδικού για την αισθητική αποκατάσταση του ατόμου. Έτσι λοιπόν, πρέπει να είναι γνώστης των βασικών όρων και αρχών της οδοντικής αισθητικής, έτσι ώστε να προχωρήσει στην προσέγγιση, στη διάγνωση, και στην επιτυχή αντιμετώπιση των αισθητικών προβλημάτων της στοματικής και περιστοματικής περιοχής των ασθενών του. Με την αξιοποίηση αυτών των γνώσεων, όπως επίσης και άλλων εξατομικευμένων χαρακτηριστικών, θα

2 επιδιώξει τη σύνθεση ενός αισθητικού αποτελέσματος που θα σέβεται το ιδιαίτερο στοματικό περιβάλλον κάθε ασθενούς. Στις αποκαταστατικές διαδικασίες των δοντιών, θεωρούνται σημαντικές και συχνά ακολουθούνται στο σχέδιο θεραπείας, οι παρακάτω αρχές της αισθητικής: αναλογία, αρμονία, κυριαρχία, ποικιλία, ισορροπία. Η ανάλυση των αρχών αυτών ακολουθεί στις επόμενες σελίδες. 2.3 Αναλογία Σε μια οδοντοφυΐα, για να είναι αισθητικά αποδεκτή, πρέπει να υπάρχει μια αναλογία, μια ορισμένη σχέση ως προς το εύρος, μεταξύ των δοντιών της πρόσθιας περιοχής που να επαναλαμβάνεται από τον κεντρικό τομέα και προς τα πίσω. Η ανάγκη ύπαρξης μιας σειράς στην οδοντική σύνθεση που να ορίζεται από μια επαναλαμβανόμενη αναλογία μεταξύ όλων των δοντιών, από τον κεντρικό τομέα μέχρι τον πρώτο προγόμφιο, όπως αυτή εμφανίζεται όταν ο ασθενής εξετάζεται από μπροστά, αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας και μελέτης από πολλούς ασχολούμενους με την οδοντική αισθητική. Συγκεκριμένα, όταν αυτή η σχέση αποδίδεται με τον κανόνα της χρυσής αναλογίας, τότε όλοι σχεδόν οι ερευνητές συμφωνούν ότι επιτυγχάνεται η καλύτερη αισθητική εικόνα. Η χρυσή αναλογία ή χρυσή τομή ή χρυσός κανόνας ή χρυσός λόγος δεν είναι κάτι καινούργιο. Πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες αναφέρθηκαν και μελέτησαν την αναλογία αυτή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. 2,3 Ο Ευκλείδης στο έργο του με τίτλο «Στοιχεία» παρέχει τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: «μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο». Ο Ευκλείδης παραθέτει επίσης και μια απόδειξη για το χώρισμα της γραμμής σε «άκρο και μέσο λόγο». Γενικά, σε όλο το έργο του, (Στοιχεία), αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο. Η χρυσή αναλογία ήταν γνωστή και στους Πυθαγόρειους (Εικ.2.1). Εικόνα 2.1: Το σήμα των Πυθαγορείων μαζί με την επισήμανση του χρυσού λόγου. 4 Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο κανόνας αυτός εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού, καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα, προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού. Ο Φειδίας, ( π.χ.), έφτιαξε τα αγάλματα του Παρθενώνα τα οποία φαίνεται να ενσωματώνουν τη χρυσή αναλογία. Ο Πλάτων, ( π.χ.), στον Τίμαιο, περιγράφει τα πέντε Πλατωνικά στερεά: το τετράεδρο, τον κύβο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο, και το εικοσάεδρο, κάποια από τα οποία σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Οι εικονογραφήσεις του μεγάλου ζωγράφου Λεονάρντο ντα Βίντσι στα πολύεδρα στην De divina proportione, (στη θεϊκή αναλογία), και οι απόψεις του ότι ορισμένες σωματικές αναλογίες εμφανίζουν τη χρυσή αναλογία, έχουν οδηγήσει ορισμένους επιστήμονες να εικάζουν ότι ενσωμάτωσε τη χρυσή αναλογία στα έργα του. 2 Επίσης, ο Σαλβαδόρ Νταλί χρησιμοποίησε ρητά τη χρυσή αναλογία στο αριστούργημά του, The Sacrament of the Last Supper, (το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου). 2,3 Οι διαστάσεις του καμβά είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Ένα τεράστιο δωδεκάεδρο, με την προοπτική τα άκρα να εμφανίζονται σε χρυσή αναλογία μεταξύ τους, αναστέλλεται πάνω και πίσω από τον Ιησού (Εικ. 2.2)

3 Εικόνα 2.2: Ο πίνακας: το μυστήριο του Μυστικού Δείπνου. 4 Η χρυσή αναλογία στην πιο απλή της μορφή αναφέρεται ως η πλέον αρμονική διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε δύο άνισα μέρη, ώστε το ένα να μην είναι αισθητικά μεγαλύτερο του άλλου, δηλαδή να έχουν τόση αντίθεση μεταξύ τους ώστε να μην χάνεται η ενότητα του όλου. Το ωραιότερο «ζύγισμα» του ευθύγραμμου τμήματος πραγματοποιείται μόνο σε ένα σημείο, το οποίο ακολουθεί την ακόλουθη σχέση: το μεγαλύτερο τμήμα του ευθύγραμμου τμήματος πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του να είναι ίσο με το μικρότερο πολλαπλασιασμένο με όλο το ευθύγραμμο τμήμα. Δηλαδή όταν ένα τμήμα ΑΓ τέμνεται σε δύο μέρη, τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους, στο σημείο Β, δημιουργούνται δύο ευθύγραμμα τμήματα. Έστω ότι ΒΓ>ΑΒ τότε ΑΒ/ ΒΓ=ΒΓ/ΑΓ. Το σημείο τομής Β δίνει τη χρυσή αναλογία γιατί ο λόγος των ΑΒ/ΒΓ και ΒΓ/ΑΓ δίνει αποτέλεσμα που είναι και η χρυσή τομή (Εικ.2.3). Εικόνα 2.3: Η χρυσή τομή ή χρυσή αναλογία. Ο λόγος της χρυσής τομής υπολογίζεται ίσος με (1+ 5)/2 και συμβολίζεται με το γράμμα Φ, από το όνομα του μεγάλου γλύπτη και αρχιτέκτονα Φειδία, που θεωρείται ο κυριότερος εκπρόσωπος της αρμονίας στην τέχνη. Πρόκειται για έναν άρρητο, (όπως και ο "π"), αριθμό, έναν αριθμό δηλαδή του οποίου τα δεκαδικά ψηφία δεν σταματούν πουθενά. Με ακρίβεια 150 δεκαδικών ψηφίων, ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο νούμερο: 1, Ο χρυσός αριθμός Φ, αντιπροσωπεύει τις πιο σημαντικές αναλογίες στη ζωή. Έγινε έμβλημα πολλών απόκρυφων δοξασιών, ακόμα και κοσμολογικό σύμβολο. Η σχέση του με την τέχνη απασχόλησε ένα πλήθος αισθητικών, μαθηματικών, φιλοσόφων, αρχιτεκτόνων, γλυπτών και ζωγράφων. Η χρυσή αναλογία μεταφερόμενη στον οδοντικό φραγμό, ορίζει την κατά μέτωπο προβολή του εύρους του κεντρικού τομέα ως προς το εύρος του πλάγιου τομέα σε αναλογία 1:0,618 και του εύρους του πλάγιου τομέα προς το εύρος του κυνόδοντα σε αναλογία 1:0,618. Το πλάτος του κεντρικού τομέα, τέλος, είναι 0,618 φορές το συνολικό πλάτος κεντρικού, πλάγιου και κυνόδοντα. 1-7 Αυτή η τελευταία αναλογία μεταξύ των προσθίων δοντιών, καλείται και αναλογία του μικρότερου προς το σύνολο και ισούται με την αναλογία του μικρότερου προς το μεγαλύτερο. (Εικ.2.4)

4 Εικόνα 2.4: Ιδανικές σχέσεις των προσθίων δοντιών με βάση τη χρυσή αναλογία. Ο πρώτος που εφάρμοσε την εξίσωση της χρυσής αναλογίας, (golden proportion), στα πρόσθια δόντια, ήταν ο Lombardi το1973, τονίζοντας όμως παράλληλα ότι η αυστηρή εφαρμογή της στην οδοντιατρική είναι περιοριστική εξαιτίας των διαφορών ως προς το σχήμα του οδοντικού τόξου. 8 Ο Levin, (1978), ήταν επίσης ένας από τους σημαντικότατους υποστηρικτές της εφαρμογής της χρυσής αναλογίας στην οδοντική σύνθεση και θεωρεί ότι τα πλάτη των τομέων ακολουθούν τη χρυσή αναλογία μεταξύ τους, όπως παρατηρούνται από μπροστά. 7 Η αναλογία αυτή αντιστοιχεί περίπου σε 1,61803 προς 1. Πιο αναλυτικά, το πλάτος του άνω πλάγιου τομέα πρέπει να είναι το 62% του πλάτους του άνω κεντρικού τομέα και το πλάτος του άνω κυνόδοντα πρέπει να είναι το 62% του πλάτους του άνω πλάγιου τομέα, όταν αυτός παρατηρείται από μπροστά. Η ύπαρξη της χρυσής αναλογίας μεταξύ των έξι προσθίων δοντιών της άνω γνάθου διασφαλίζει την πλέον αισθητική οδοντική σύνθεση και έχει νόημα να χρησιμοποιείται μόνο όταν και οι υπόλοιποι παράγοντες που ορίζουν την αισθητική έχουν ληφθεί υπόψιν. 2.4 Αρμονία Η λέξη αρμονία, εκ του ρήματος «αρμόζω» ή «άρω», σημαίνει αρμογή, μουσική συμφωνία, συνομολογία, συναρμογή, σύνδεσμος και, κατ επέκτασιν, η εναρμόνιση των πραγμάτων. Κατά τον Αριστοτέλη, η ομορφιά είναι συνδυασμός μεγέθους και αρμονίας. 2,3 Για να υπάρξει επομένως κάτι όμορφο, πρέπει να χαρακτηρίζεται από την αρμονική συνύπαρξη των διαφόρων τμημάτων του. Συγκεκριμένα, σε μια οδοντική σύνθεση η επανάληψη των γραμμών, των χρωμάτων και της υφής, είναι εκείνα τα στοιχεία που δημιουργούν αρμονία (Εικ.2.5). Η αρμονία είναι μια βασική αρχή της αισθητικής οδοντιατρικής, σύμφωνα με την οποία τα δόντια ταξινομούνται με έναν επαναληπτικό τρόπο σε ότι αφορά το σχήμα, την κλίση, τη θέση και το χρώμα τους, από εμπρός προς τα πίσω, από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο και από το φωτεινότερο στο πιο σκοτεινό. 8,9 Το βαθύτερο νόημα τη αρμονίας είναι η ισορροπία μιας σύνθεσης που προκύπτει από τα χείλη, δόντια, ούλα και την προσωπική ακτινοβολία του ατόμου. Εικόνα 2.5: Η ύπαρξη αρμονίας στα πρόσθια δόντια είναι βασική αρχή της αισθητικής οδοντιατρικής

5 Αν σε μια οδοντική σύνθεση δεν υπάρχει αυτή η αρμονία, τότε το τελικό αποτέλεσμα είναι αρκετά αντιαισθητικό (Εικ.2.6). Εικόνα 2.6: Η μη διατήρηση της αρμονίας σε μια προσθετική κατασκευή οδηγεί σε κακή αισθητική. Είναι γεγονός πως το πρότυπο κατανομής του ιδανικού προσώπου έχει αλλάξει ριζικά με την πάροδο των χρόνων. Έτσι, σε μια αρμονική οδοντική σύνθεση, το πλάτος του προσώπου είναι πενταπλάσιο του πλάτους των ματιών και μια κατακόρυφη γραμμή, η μέση γραμμή του προσώπου, το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. Επίσης, η σύμπτωση της μέσης γραμμής μεταξύ των δοντιών της άνω και κάτω γνάθου είναι στοιχείο που δημιουργεί αρμονία (Εικ.2.7). Εικόνα 2.7: Η σύμπτωση της μέσης γραμμής μεταξύ των δοντιών άνω και κάτω γνάθου δημιουργεί αρμονία. Άλλος βασικός παράγοντας αρμονίας είναι ότι οι γραμμές που τείνουν προς την ίδια διεύθυνση πρέπει να είναι παράλληλες ή ασυμπτωματικές. Οι παράλληλες γραμμές αμβλύνουν τις αντιθέσεις και προσδίδουν αρμονία. Έτσι, οι κάθετες γραμμές πρέπει να ακολουθούν τους επιμήκεις άξονες των δοντιών, ενώ η γραμμή που σχηματίζουν τα κοπτικά χείλη των άνω προσθίων δοντιών σε ελαφρύ χαμόγελο, πρέπει να είναι παράλληλη με την παρυφή του κάτω χείλους και να ισαπέχει από αυτό (Εικ.2.8). Εξαιρέσεις που αποκλίνουν από την παραλληλότητα των επιμήκων αξόνων αποτελούν ο πλάγιος τομέας, (άπω επιφάνεια) και η προστομιακή επιφάνεια του πρώτου προγόμφιου στην άνω γνάθο

6 Εικόνα 2.8: Η γραμμή που σχηματίζουν τα κοπτικά χείλη των άνω προσθίων δοντιών σε ελαφρύ χαμόγελο, πρέπει να είναι παράλληλη με την παρυφή του κάτω χείλους. Επίσης, για την επίτευξη ενός σωστού αισθητικού αποτελέσματος είναι αναγκαία η απόδοση σε κάθε δόντι χωριστά της χρωματικής αρμονίας μεταξύ ενός πιο έντονου χρωματικά αυχένα και ενός συγκριτικά περισσότερου ημιδιαφανούς κοπτικού τριτημορίου. 2.5 Κυριαρχία Σε μια σύνθεση ή εικόνα, τα στοιχεία που τραβούν πρώτα την προσοχή του παρατηρητή είναι εκείνα που κυριαρχούν. Η ευχάριστη εντύπωση που δημιουργούν τα κυρίαρχα αυτά στοιχεία θα προδιαθέσει θετικά το μάτι να διατρέξει και τα υπόλοιπα στοιχεία της σύνθεσης. Σε μια οδοντική σύνθεση, τα πρόσθια δόντια λόγω της θέσης τους, του μεγέθους τους, αλλά και λόγω μορφολογίας και χρώματος κυριαρχούν στο πρόσωπο και στο χαμόγελο. Πρόκειται για ένα πολύ βασικό χαρακτηριστικό της οδοντικής αισθητικής, δεδομένου ότι σε μια σειρά ερευνητικών μελετών αποδείχθηκε ότι δυνατά κυρίαρχα στοιχεία και συγκεκριμένα κυρίαρχα πρόσθια δόντια, δείχνουν επιβολή, δυναμισμό, ρώμη και αυτάρκεια. 1,7-10 Αντίθετα, μη κυρίαρχα πρόσθια δόντια ή λιγότερο κυρίαρχα, φανερώνουν ατονία, έλλειψη δυναμισμού, μονοτονία και άτονο χαμόγελο. Μεταξύ των προσθίων δοντιών, το βασικότερο κυρίαρχο ρόλο έχουν τα πρόσθια δόντια της άνω γνάθου και λιγότερο τα αντίστοιχα της κάτω γνάθου. Μεταξύ των προσθίων της άνω, το βασικότερο ρόλο στην κυριαρχία παίζει ο κεντρικός τομέας, λόγω της μορφολογίας και του ογκώδους σχήματός του. Όσο μεγαλύτερη αρμονία παρουσιάζουν τα κυρίαρχα αυτά στοιχεία, τόσο καλύτερη διάθεση προκαλούν στον παρατηρητή να συνεχίσει την παρατήρησή του (Εικ.2.9). Εικόνα 2.9: Κυριαρχία των κεντρικών τομέων της άνω γνάθου. Κατά την παρατήρηση του χαμόγελου το μάτι ακολουθεί κυκλοτερώς την παρακάτω διαδρομή: χείλη > κυρίαρχοι κεντρικοί τομείς > υπόλοιπα δόντια > σχέση δοντιών με χείλη > κεντρικοί τομείς. Αυτή η διαδρομή ακολουθείται πάντοτε, εφόσον στην οδοντική σύνθεση δεν υπάρχουν στοιχεία που να διασπούν την αρμονία και να αποσπούν την προσοχή του παρατηρητή. Αντίθετα, η παρουσία στοιχείων που διασπούν την αρμονία

7 και την κυριαρχία της οδοντικής σύνθεσης αποσπούν την προσοχή του παρατηρητή, γεγονός που λειτουργεί σε βάρος της αισθητικής (Εικ.2.10). Στις προσθετικές κατασκευές, η οπτική κυριαρχία των κεντρικών τομέων της άνω γνάθου εξασφαλίζεται με τη διεύρυνση των μεσοδόντιων κοπτικών τριγώνων και τη μείωση του αξονικού μήκους των πλάγιων τομέων. Εικόνα 2.10: Η ύπαρξη στοιχείων, (εδώ δυσχρωμία πλάγιων τομέων), που διαταράσσουν την αρμονία της οδοντικής σύνθεσης αποσπούν την προσοχή του παρατηρητή. 2.6 Ποικιλία Η ποικιλία είναι το αντίθετο της μονοτονίας και αποτελεί σημαντική παράμετρο στην αισθητική του χαμόγελου και των δοντιών. Η ποικιλία στην απόδοση της οδοντικής σύνθεσης σημαίνει την ομαλή επανάληψη αντιθέσεων στον οδοντικό φραγμό, (π.χ. χρώμα, σχήμα, θέση δοντιών). Σύμφωνα με τον Read: «δεν υπάρχει απόλυτη ομορφιά που να μην χαρακτηρίζεται από κάποιας μορφής ποικιλία και δυσαναλογία στις διαστάσεις». 10 Σε μια οδοντική σύνθεση, η έλλειψη αντιθέσεων και η μονοτονία δημιουργεί μια αντιαισθητική εικόνα. 1,10,11 Για παράδειγμα ομοιόμορφα λευκά δόντια χωρίς διαβάθμιση από το πιο φωτεινό στο πιο σκούρο, αλλά και χωρίς χρωματική διαβάθμιση στα διάφορα μέρη του ίδιου του δοντιού, (αυχενικό, μέσο και κοπτικό τριτημόριο), απλά δεν προδιαθέτουν τον παρατηρητή και δημιουργούν μια μη ελκυστική εικόνα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ομαλής επανάληψης αντιθέσεων είναι η γραμμή των κοπτικών χειλέων των δοντιών της άνω γνάθου και του κάτω χείλους κατά το χαμόγελο. Η επαναληπτικότητα αυτών των γραμμών προσθέτει αισθητικότητα στο χαμόγελο, αντίθετα, η έλλειψη της δημιουργεί ένα αντιαισθητικό χαμόγελο. Άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα ποικιλίας αποτελούν οι χρωματικές μικροδιαφορές στα τριτημόρια των δοντιών, γεγονός που λειτουργεί προς όφελος της αισθητικής (Εικ.2.11). Εικόνα 2.11: Χρωματικές μικροδιαφορές στα τριτημόρια των δοντιών λειτουργούν προς όφελος της αισθητικής

8 Πέρα από την ποικιλία στο χρώμα, ποικιλομορφία πρέπει να υπάρχει και στις γραμμές ή τη φορά που έχουν τα δόντια. Μικρές διαφοροποιήσεις στη φορά και στη θέση των δοντιών στο οδοντικό τόξο, (συστροφές ή αποκλίσεις από τον επιμήκη άξονα), δημιουργούν ένα ζωντανό αισθητικό χαμόγελο. Βέβαια, οι διαφοροποιήσεις αυτού του τύπου δεν πρέπει να είναι υπερβολικού βαθμού, γιατί αντί για φυσικότητα και μεγαλύτερη πιστότητα, θα δημιουργήσουν το αντίθετο αποτέλεσμα. 2.7 Ισορροπία ή συμμετρία Η ετυμολογία της ελληνικής λέξης συμμετρία συνδέεται με την ομορφιά, την κανονικότητα μιας μορφής ή ενός αντικειμένου, την ευχάριστη αναλογία μερών ενός συνόλου, την αρμονική διάταξη ή την περιοδική επανάληψη συγκεκριμένων χαρακτηριστικών. Υπό αυτή τη σημασία η λέξη συμμετρία δεν περιορίζεται μόνο σε αντικείμενα στο χώρο, αλλά περιγράφει κάτι πιο αφηρημένο που έχει να κάνει με την τάξη, την ομορφιά, την αρμονία και την τελειότητα. Η έννοια της συμμετρίας παλαιά όσο και ο άνθρωπος υπάρχει παντού στο φυσικό και ανθρωπογενές περιβάλλον. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα υπάρχουν πλήθος από παραδείγματα εφαρμογών της συμμετρίας στη φύση, την τέχνη, την τεχνική, τον πολιτισμό και τις φυσικές επιστήμες. Οι αρχαίοι Έλληνες αρχιτέκτονες κατασκεύαζαν τα διάφορα κτήρια έτσι ώστε το μάτι του παρατηρητή να διατρέχει την επιφάνεια ή τον όγκο τους και ανακαλύπτοντας εύκολα τις κατάλληλες πορείες από τη μια άκρη στην άλλη να επιστρέφει στο κέντρο της ισορροπίας τους. Ο Παρθενώνας, το αρχιτεκτονικό και καλλιτεχνικό αριστούργημα της ελληνικής κλασσικής περιόδου πέρα από τη λαμπρότητα που εκπέμπει, ακόμη και στην κατάσταση όπου βρίσκεται σήμερα, μαγνητίζει τους μελετητές όλου του κόσμου με τις πρωτοποριακές για την εποχή εκείνη, αρχιτεκτονικές του ιδιαιτερότητες. 2,3 Το βασικό χαρακτηριστικό του ναού είναι η ορθογώνια κάτοψη με επιμήκεις αναλογίες και η απόλυτη συμμετρία εκατέρωθεν του κεντρικού άξονα του κτιρίου. Στην οδοντική αισθητική η συμμετρία ή ισορροπία αποτελεί μια από τις βασικές της αρχές και διακρίνεται σε στατική και δυναμική συμμετρία. 5,11 Στατική συμμετρία είναι η κατάσταση κατά την οποία δύο ίδια και πανομοιότυπα δόντια παρουσιάζονται το ένα ως είδωλο του άλλου κατά μήκος ενός κεντρικού άξονα, στην περίπτωση του προσώπου κατά μήκος της μέσης γραμμής (Εικ.2.12). Αυτή, αν και είναι αποδεκτή μορφή ισορροπίας, δεν είναι αναγκαίο να ακολουθείται στις οδοντικές συνθέσεις, δεδομένου ότι το τελικό αποτέλεσμα θα φαντάζει μάλλον τεχνητό και άψυχο. Εικόνα 2.12: Σε μια οδοντική σύνθεση η συμμετρία των δοντιών, εκατέρωθεν της μέσης γραμμής μεταξύ των δοντιών της άνω και κάτω γνάθου είναι στοιχείο που δημιουργεί αρμονία. Για καλύτερο λοιπόν αισθητικό αποτέλεσμα προτιμότερη κρίνεται η δυναμική συμμετρία, δηλαδή η συμμετρία παρόμοιων και όχι ταυτόσημων στοιχείων, αφού μόνο έτσι αποδίδεται ζωντάνια και φυσικότητα στον οδοντικό φραγμό. Αυτό συμβαίνει κυρίως γιατί οι μικρές συμμετρίες που είναι ο κανόνας και όχι η εξαίρεση, απαντώνται συχνότερα στη φύση σε σχέση με την τέλεια συμμετρία και θεωρούνται πιο ευχάριστες αισθητικά. Άλλωστε η απόλυτη συμμετρία μεταξύ δεξιού και αριστερού ημιμορίου της άνω γνάθου, ακόμη και μεταξύ των δύο κεντρικών τομέων, σπάνια απαντάται, αφού σχεδόν πάντα παρατηρούνται παραλλαγές και ασυμμετρίες στο περίγραμμα, στα μορφολογικά χαρακτηριστικά και την επιφανειακή δομή της αδαμαντίνης των δοντιών αυτών σε ποσοστό που φθάνει μέχρι και 86-90%. Επίσης, σύμφωνα με πολλές επιδημιολογικές μελέτες, υπάρχει σημαντική διαφορά στις εγγύς άπω δι

9 αστάσεις των τομέων δοντιών και στους άνδρες και στις γυναίκες. Εξάλλου, θα πρέπει να αναφερθεί ότι μία σύνθεση που έχει συμμετρία έχει απαραίτητα και αρμονία και ισορροπία, ενώ η αρμονία και ισορροπία δεν εξαρτώνται απαραίτητα από τη συμμετρία. Μια επιθυμητή και επιδιωκόμενη συμμετρία στις οδοντικές αποκαταστάσεις είναι αυτή των αυχένων των δοντιών σε σχέση με τα τελικά άκρα των ελευθέρων ούλων, (παρυφή των ούλων), μεταξύ των άνω προσθίων δοντιών με τελικό σκοπό αυτά να αναδεικνύονται ανάλογα και συμμετρικά στο χαμόγελο. 1,5,10 Όταν τα δόντια είναι ομαλά διευθετημένα στο οδοντικό τόξο, χωρίς στροφές ή συνωστισμό, τότε τα ούλα προστομιακά και υπερώια εκτείνονται στην αυχενική περιοχή, ακολουθώντας τη γραμμή του αυχένα του δοντιού, δημιουργώντας έτσι μία ομαλή ουλική γραμμή και ένα ευχάριστο αισθητικά πλαίσιο. Η ουλική γραμμή ορίζεται ως η ευθεία που είναι παράλληλη με το μασητικό επίπεδο και ενώνει τα τελικά άκρα των ελευθέρων ούλων των κεντρικών τομέων και κυνοδόντων. Όσον αφορά στη θέση του τελικού άκρου των ελευθέρων ούλων των πλάγιων τομέων, μπορεί να εντοπίζεται είτε πάνω στην ουλική γραμμή, είτε 1 mm κάτω απ αυτή, χωρίς να επηρεάζει το αισθητικό αποτέλεσμα. Τοποθετώντας το τελικό άκρο των ελευθέρων ούλων του πλαγίου τομέα μεταξύ 0,5 mm και 1mm κοπτικά σε σχέση προς τον κεντρικό τομέα, η αισθητική εικόνα δεν αλλοιώνεται, με την προϋπόθεση βέβαια ότι διατηρείται η οριζόντια συμμετρία της ουλικής γραμμής (Εικ.2.13). Εικ.2.13: Ουλική γραμμή και αναλογία μήκους μεσοδόντιας θηλής προς το μήκος των προσθίων δοντιών. Μεγάλη σημασία για την αισθητική εμφάνιση έχει και η τοπογραφική θέση της μεσοδόντιας θηλής στα πρόσθια δόντια. Ιδανικά, το άκρο της μεσοδόντιας θηλής πρέπει να εκτείνεται στο 40-50% του μήκους των άνω προσθίων δοντιών και να γεμίζει πλήρως το μεσοδόντιο ουλικό διάστημα. Σύμφωνα με αντίστοιχη έρευνα των Kurth και Kokich η μεσοδόντια θηλή μεταξύ των δύο άνω κεντρικών τομέων πρέπει να έχει ύψος ίσο με το μισό του αυχενοκοπτικού ύψους των δοντιών αυτών, υπό φυσιολογικές συνθήκες 6 (Εικ.2.13). Γενικά, στα πρόσθια δόντια της άνω γνάθου, οι αυχένες των δοντιών και κατ επέκταση οι παρυφές των ελευθέρων ούλων μπορεί να κείτονται σε διαφορετικά επίπεδα, συμμετρικά όμως ως προς τη μέση γραμμή του προσώπου, δημιουργώντας έτσι αρμονία και συμμετρία. Μια άλλη επίσης επιθυμητή και επιδιωκόμενη συμμετρία είναι και αυτή των σημείων επαφής των δοντιών στα δύο ημιμόρια του προσώπου. Τα σημεία επαφής των προσθίων δοντιών εντοπίζονται στη μέγιστη περίμετρο της μύλης και αντιστοιχούν στο 1/3 του αυχενοκοπτικού μήκους της (Εικ.2.14). Εικόνα 2.14: Σχηματική απεικόνιση της συμμετρίας των σημείων επαφής

10 Από αισθητικής άποψης το σημείο επαφής των κεντρικών τομέων πρέπει να βρίσκεται στο κοπτικό τριτημόριο της μύλης των δοντιών αυτών, τα σημεία επαφής των πλαγίων με τους κεντρικούς τομείς πρέπει να βρίσκονται στο μέσο τριτημόριο, ενώ τα σημεία επαφής των κυνοδόντων με τους πλαγίους σε αυχενικότερο επίπεδο (Εικ.2.15). Εικόνα 2.15: Κλινική εικόνα που δείχνει τα φυσιολογικά σημεία επαφής των άνω προσθίων δοντιών

11 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Δουβίτσας ΓΠ. Κλινική αισθητική οδοντιατρική. Οδοντική αισθητική-αποκαταστάσεις. Αθήνα: Εκδόσεις Ζήτα; 2004: Χριστοδουλίδης Π. Εισαγωγή στην αισθητική και στη θεωρία της τέχνης. Αθήνα: Εκδόσεις Ζήτα; 1983: Παπανούτσος Ε. Αισθητική. 4η έκδοση. Αθήνα: Εκδόσεις Ίκαρος; 1969: CE%BC%CE%AE#/media/File:Pentalfa_and_golden_ratio.png. 5. Singer B. Fundamentals esthetics. In Esthetic dentistry: a clinical approach to techniques and materials. Philadelphia: Dale B, Ascheim KW, Lea &Febiger; 1993: Kurth JR, Kokich VG. Open gingival embrasures after orthodontic treatment in adults: prevalence and etiology. Am J Orthod Dentofacial Orthop 2001; 120: Levin EI. Dental esthetics and the golden proportion. J Prosthet Dent 1978; 40: Lombardi R. The principles of visual perception and their clinical application to denture esthetics. J Prosthet Dent 1973; 29: Pilkington EL. Esthetics and optical illusions in dentistry. JADA 1936; 23: Read H. The anatomy of art: an introduction to the problems of art and esthetics. New York: Dodd Mead & Co; 1932: Rufenacht CR. Principles of esthetic integration. Chicago: Quintessence publ Co Inc; 2000:

7. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ

7. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ 7. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας του πρώτου και δεύτερου προγομφίου της κάτω γνάθου,

Διαβάστε περισσότερα

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

6. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ

6. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ 6. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας του πρώτου και δεύτερου προγομφίου της άνω γνάθου,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

10. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΔΟΝΤΙΩΝ

10. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΔΟΝΤΙΩΝ 10. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΔΟΝΤΙΩΝ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούν οι μορφολογικές διαφορές μεταξύ των νεογιλών και των μονίμων δοντιών, όπως επίσης και μεταξύ των μονίμων δοντιών, στοιχεία απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΙΜΩΝ ΚΥΝΟΔΟΝΤΩΝ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ

5. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΙΜΩΝ ΚΥΝΟΔΟΝΤΩΝ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ 5. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΙΜΩΝ ΚΥΝΟΔΟΝΤΩΝ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας των κυνοδόντων της άνω και της κάτω γνάθου, δίνοντας έμφαση

Διαβάστε περισσότερα

9. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ

9. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ 9. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΚΑΤΩ ΓΝΑΘΟΥ Συνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας του πρώτου, δεύτερου και τρίτου γομφίου της

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές Νεογιλών Μόνιμων Δοντιών

Διαφορές Νεογιλών Μόνιμων Δοντιών Κεφάλαιο 1 Διαφορές Νεογιλών Μόνιμων Δοντιών Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται τα εξής: Η μορφολογία των νεογιλών δοντιών. Οι βασικές διαφορές ως προς τη μύλη, τη ρίζα και τον πολφό στα νεογιλά και τα μόνιμα

Διαβάστε περισσότερα

8. ΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ

8. ΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ 8. ΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ ΓΟΜΦΙΟΥ ΤΗΣ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας του πρώτου, δεύτερου και τρίτου γομφίου της άνω

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΙΔΙΚΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ ΔΟΝΤΙΩΝ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ

3. ΕΙΔΙΚΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ ΔΟΝΤΙΩΝ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ 3. ΕΙΔΙΚΗ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΟΝΙΜΩΝ ΔΟΝΤΙΩΝ ΑΝΩ ΓΝΑΘΟΥ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αναλυτική περιγραφή της μορφολογίας της μύλης και της ρίζας του κεντρικού και του πλάγιου τομέα της άνω γνάθου, δίνοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα

ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ηρεμία, στατικότατα, σταθερότητα ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΗΣ Β και Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (μάθημα κατεύθυνσης) Τι είναι η δομή και η σύνθεση ενός εικαστικού έργου. Είναι η οργάνωση όλων των στοιχείων ενός έργου σε ένα ενιαίο σύνολο με στόχο να εκφράσουν κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση ορθοδοντικών προβλημάτων από τον Γενικό Οδοντίατρο

Εκτίμηση ορθοδοντικών προβλημάτων από τον Γενικό Οδοντίατρο ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ 3 η ΥΠΕ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΟΜΑΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ Κ.Υ.Α.Τ. ΕΥΟΣΜΟΥ Νοέμβριος, 2015 Εκτίμηση ορθοδοντικών προβλημάτων από τον Γενικό Οδοντίατρο Ιουλία Ιωαννίδου-Μαραθιώτου Αναπληρώτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΝΤΙΚΟΥ ΦΡΑΓΜΟΥ ΚΑΙ ΔΟΝΤΙΩΝ

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΔΟΝΤΙΚΟΥ ΦΡΑΓΜΟΥ ΚΑΙ ΔΟΝΤΙΩΝ ΓΕΝΙ ΤΟΙΧΕΙ ΟΔΟΝΤΙΟΥ ΦΡΓΜΟΥ Ι ΔΟΝΤΙΩΝ -9- ΓΕΝΙ ΤΟΙΧΕΙ OΔΟΝΤΙΟΥ ΦΡΓΜΟΥ Ι ΔΟΝΤΙΩΝ τόχοι Με το πέρας της άσκησης ο φοιτητής θα πρέπει να είναι ικανός να:. ναφέρει τα δόντια που υπάρχουν στη νεογιλή και τη

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου.

Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ Στη μορφολογία πρέπει αρχικά να εξετάσουμε το γενικό σχήμα του προσώπου. Διακρίνουμε τα εξής σχήματα - Οβάλ - Οβάλ μακρύ - Ορθογωνικό - Στρογγυλό - Τετραγωνικό - Τριγωνικό - Εξαγωνικό - Τραπεζοειδές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

1.Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ

1.Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ 1.Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια εισαγωγή στην έννοια της αισθητικής και στη συνέχεια επιχειρείται μια ιστορική ανασκόπηση της εξέλιξης του όρου αυτού από την αρχαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο. Διάγνωση Οδοντικών Βλαβών - Προσδιορισμός Τερηδονικού Κινδύνου - Σχέδιο Θεραπείας

Κεφάλαιο. Διάγνωση Οδοντικών Βλαβών - Προσδιορισμός Τερηδονικού Κινδύνου - Σχέδιο Θεραπείας Κεφάλαιο 1 Διάγνωση Οδοντικών Βλαβών - Προσδιορισμός Τερηδονικού Κινδύνου - Σχέδιο Θεραπείας 10 Η στρατηγική διατήρησης της υγείας των οδοντικών ιστών, αυτό που αποκαλείται ως σχέδιο θεραπείας έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Γράμματα και αριθμοί

Γράμματα και αριθμοί 5 Γράμματα και αριθμοί 5.1 Γενικά Στα τεχνικά σχέδια χρησιμοποιούμε γράμματα και αριθμούς, όταν θέλουμε να δώσουμε περισσότερες πληροφορίες, όπως να χαρακτηρίσουμε χώρους ή υλικά, να δείξουμε την πορεία

Διαβάστε περισσότερα

7. Κρημνός για την αφαίρεση οστού.

7. Κρημνός για την αφαίρεση οστού. 1 2 1. Ασθενής ετών 30, προσήλθε με την επιθυμία να αλλάξει και να βελτιώσει το χαμόγελό της. Μετά από κλινική και ακτινογραφική εξέταση βρέθηκε ότι οι 2 μεταλλοκεραμικές στεφάνες στα #11, 21 ήταν μη αποδεκτές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας το τέλειο χαμόγελο

Σχεδιάζοντας το τέλειο χαμόγελο Νίκος Τσέλιος Eιδικός Προσθετολόγος Απόφοιτος University of Michigan και Baylor College of Dentistry, USA Επιστημονικός Συνεργάτης Προσθετικής Οδοντιατρικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών Σχεδιάζοντας το

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

«Γυναικεία» υπόθεση. υγεία

«Γυναικεία» υπόθεση. υγεία υγεία Ορθοδοντική «Γυναικεία» υπόθεση Κορίτσια και γυναίκες παίρνουν ευκολότερα σε σχέση με τα αγόρια και τους άνδρες την απόφαση να «βάλουν σιδεράκια». Γιατί συμβαίνει αυτό; Είναι απλώς πιο ευαίσθητες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών

Γραμμές. 4.1 Γενικά. 4.2 Είδη και πάχη γραμμών 4 Γραμμές 4.1 Γενικά Στα σχέδια, προκειμένου να απεικονίσουμε με σαφή και κατανοητό τρόπο το σχεδιαστικό μας αντικείμενο, χρησιμοποιούμε ποικίλες γραμμές, που καθεμιά έχει διαφορετική σημασία και διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Οδοντιατρικός Σύλλογος Πειραιά

Οδοντιατρικός Σύλλογος Πειραιά Οδοντιατρικός Σύλλογος Πειραιά Οδηγίες προς τους εθελοντές οδοντιάτρους, για τη συμπλήρωση του δελτίου οδοντιατρικής εξέτασης των παιδιών των νηπιαγωγείων, δημοτικών και γυμνασίων. Σκοπός αυτής της παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Τα µαθηµατικά και η τέχνη, αν και φαινοµενικά τουλάχιστον, αποτελούν δύο ξεχωριστά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δηµιουργίες

Διαβάστε περισσότερα

IPS e.max Smile Award

IPS e.max Smile Award IPS e.max Smile Award Δείγμα περίπτωσης μελέτης Dr Urs Brodbeck (οδοντίατρος) / Jürgen Seger (οδοντοτεχνίτης) Υλικά που χρησιμοποιήθηκαν Τα ακόλουθα προϊόντα χρησιμοποιήθηκαν*: IPS e.max Press IPS e.max

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΟΙΞΗ ΓΙΑ ΕΝΔΟΔΟΝΤΙΚΗ ΘΕΡΑΠΕΙΑ. ΣΤΟΧΟΙ, ΜΕΣΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΜΑΤΑ.

ΔΙΑΝΟΙΞΗ ΓΙΑ ΕΝΔΟΔΟΝΤΙΚΗ ΘΕΡΑΠΕΙΑ. ΣΤΟΧΟΙ, ΜΕΣΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΜΑΤΑ. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΝΔΟΔΟΝΤΙΑΣ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ 3 Ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΕΝΔΟΔΟΝΤΙΑΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΔΙΑΝΟΙΞΗ ΓΙΑ ΕΝΔΟΔΟΝΤΙΚΗ ΘΕΡΑΠΕΙΑ. ΣΤΟΧΟΙ, ΜΕΣΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΜΑΤΑ. ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Στελεχιαία αναισθησία

Στελεχιαία αναισθησία ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗ ΑΝΑΙΣΘΗΣΙΑ Στελεχιαία αναισθησία Ενδείξεις και εφαρμογές Ν. Θεολόγη-Λυγιδάκη, Επικ. Καθηγήτρια ΣΓΠΧ Στελεχιαία αναισθησία Είναι η τοπική αναισθησία ενός μεγάλου νευρικού στελέχους Συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3 Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία Μάθημα 3 Τα αρχιτεκτονικά σύμβολα αποτελούν μια διεθνή, συγκεκριμένη και απλή γλώσσα. Είναι προορισμένα να γίνονται κατανοητά από τον καθένα, ακόμα και από μη ειδικούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Β. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

Β. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Β. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Η κλίμακα και οι αναλογίες έχουν άμεση σχέση με το μέγεθος των αντικειμένων που περιγράφουν. Φυσικά το μεγάλο και το μικρό μέγεθος είναι σχετικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

* Αισθητικές άμεσες και έμμεσες εμφράξεις (λευκά σφραγίσματα): Η χρήση υλικών, όπως

* Αισθητικές άμεσες και έμμεσες εμφράξεις (λευκά σφραγίσματα): Η χρήση υλικών, όπως ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗ: Η Διαφορά της ΓΕΝΙΚΗΣ απο την ΑΙΣΘΗΤΙΚΗ οδοντιατρικής,είναι: Γενικη οδοντιατρκή: Αφορά την υγεία του στόματος,καθώς και την πρόληψη, διάγνωση και θεραπεία των παθήσεων

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΟΙ ΚΑΤΩ ΤΟΜΕΙΣ (31, 41 32, 42)

ΚΕΝΤΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΟΙ ΚΑΤΩ ΤΟΜΕΙΣ (31, 41 32, 42) ΕΝΤΡΙΟΙ Ι ΠΛΓΙΟΙ ΤΩ ΤΟΜΕΙ (31, 1 32, 2) -2- KENTΡΙΟΙ Ι ΠΛΓΙΟΙ ΤΩ ΤΟΜΕΙ (31, 1-32, 2) τόχοι Με το πέρας της άσκησης ο φοιτητής θα πρέπει να είναι ικανός να: 1. Περιγράφει τις βασικές μορφολογικές διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

ξεχάστε αυτά που ξέρατε παλιά για τα δόντια. οδοντιατρείο αισθητικής αποκατάστασης dental art institute

ξεχάστε αυτά που ξέρατε παλιά για τα δόντια. οδοντιατρείο αισθητικής αποκατάστασης dental art institute Project1 25/1/11 13:55 Page 1 ξεχάστε αυτά που ξέρατε παλιά για τα δόντια. οδοντιατρείο αισθητικής αποκατάστασης dental art institute Project1 25/1/11 13:55 Page 2 Project1 25/1/11 13:55 Page 3 τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΟΓΗ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΑΚΙΝΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΣ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΣΗΣ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΤΟ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΙΛΟΓΗ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΑΚΙΝΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΣ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΣΗΣ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΤΟ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΑΚΙΝΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΣ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΣΗΣ ΧΡΩΜΑΤΟΣ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΤΟ ΧΡΩΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΛΗΨΗΣ ΧΡΩΜΑΤΟΣ (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ- ΣΥΝΘΗΚΕΣ) ΑΠΛΟΣ ΤΡΟΠΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Ποια είναι η διαδικασία τοποθέτησης των εμφυτευμάτων και της προσθετικής αποκατάστασης ;

Ποια είναι η διαδικασία τοποθέτησης των εμφυτευμάτων και της προσθετικής αποκατάστασης ; Τι είναι τα εμφυτεύματα; Ποιες είναι οι προϋποθέσεις τοποθέτησης των εμφυτευμάτων; Υπάρχει κάποιος κίνδυνος για την υγεία; Ποια είναι η διαδικασία τοποθέτησης των εμφυτευμάτων και της προσθετικής αποκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΟΙ ΑΝΩ ΤΟΜΕΙΣ (11, 21 12, 22)

ΚΕΝΤΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΟΙ ΑΝΩ ΤΟΜΕΙΣ (11, 21 12, 22) ΕΝΤΡΙΟΙ Ι ΠΛΓΙΟΙ ΝΩ ΤΟΜΕΙ (11, 21 12, 22) -29- ΕΝΤΡΙΟΙ Ι ΠΛΓΙΟΙ ΝΩ ΤΟΜΕΙ (11, 21-12, 22) τόχοι Με το πέρας της άσκησης ο φοιτητής θα πρέπει να είναι ικανός να: 1. Περιγράφει τις βασικές μορφολογικές διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 03 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α1. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1 και Π αρχίζουν τη χρονική στιγμή t=0 να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Α 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μηχανικό ονομάζεται το κύμα στο οποίο: α. Μεταφέρεται ύλη στον χώρο κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. β. Μεταφέρεται ορμή και ενέργεια στον χώρο κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017

Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Α. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΧΕΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΜΑ: ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΑΞΟΝΑ 1. Ανοίξτε το πρόγραμμα Revelation Natural Art-νεανικό. Εμφανίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΜΑΣ ΤΗΣ ΣΤΟΜΑΤΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ

ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΜΑΣ ΤΗΣ ΣΤΟΜΑΤΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΜΑΣ ΣΤΟ 53 ο ΕΤΗΣΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΤΗΣ ΣΤΟΜΑΤΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ 49: ΕΑ ΠΕΡΙΕΜΦΥΤΕΥΜΑΤΙΤΙΔΑ - Η ΝΟΣΟΣ ΤΗΣ ΤΡΙΤΗΣ ΓΕΝΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ

ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΣΠ. ΠΑΠΑΛΟΥΚΑ α) Ειρήνη Χρυσοβαλάντη Ρουμπάνη β) Μαρία Πανακάκη «Το τοπίο είναι αντικείμενα σε διάφορες αποστάσεις, που χαρακτηρίζονται με χρώματα, σε διάφορες πλάκες, οριζόντιες,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. Αν η κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο είναι ελαστική, τότε ισχύει:. = και =.. < και =. γ. < και <. δ. = και <.

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. Αν η κρούση της σφαίρας με τον κατακόρυφο τοίχο είναι ελαστική, τότε ισχύει:. = και =.. < και =. γ. < και <. δ. = και <. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22 / 04 / 2018 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΜΑ Α Α1. Μία ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή, ενώ απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Project Α Λυκείου. Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ

Project Α Λυκείου. Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ Project Α Λυκείου Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ Πιτόσκας Γιάννης Στεργίου Γιάννης Παπακωνσταντίνου Χρήστος Πελωριάδης Βασίλης ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα