ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα: f( ) f( ) 0 lim = λ 0 0 f( 0 + ) f( 0) lim 0 = λ, 0 + A Το µοναδικό αυτό όριο (αν υπάρχει), καλείται παράγωγος της f στο σηµείο 0 και συµβολίζεται µε f ( 0 ) Eφόσον η παράγωγος συνάρτησης είναι ένα όριο µπορούµε να ορίσουµε τα πλευρικά όρια και έχουµε: Ορισµός 31 Εστω f : A f( A), A, f( A) και 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη από δεξιά (αντ από αριστερά) του σηµείου 0 εάν υπάρχει λ : f( 0 + ) f( 0) f( 0 + ) f( 0) lim + = λ, αντ lim λ 0 = 0 Τa παραπάνω όριa (αν υπάρχoυν), καλούνται παράγωγος της f εκ δεξιών (αντ εξ αριστερών) f ( ) αντ f ( ) Προφανώς: του σηµείου 0 και συµβολίζονται µε ( ) f παραγωγισιµη στο f ( ) = f ( ) = f ( ) Σηµείωση 1 Αν οι παράγωγοι εκ δεξιών και εξ αριστερών της f στο 0 υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικές µεταξύ τους, ή αν κάποια από αυτές (ή και οι δύο) δεν υπάρχει (δεν υπάρχουν) τότε θα λέµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0 Είναι δυνατόν µία συνάρτηση να µην είναι παραγωγίσιµη σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της Πρόταση 311 Αν η f : A f( A), A, f( A) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Α τότε η f είναι συνεχής στο 0 f( ) f( ) f( ) f( ) = f ( ) 0= 0, 0 Απόδ ( ) 0 άρα f ( ) f( )

2 Σηµείωση Το αντίστροφο της Πρότασης 311 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 = 0 Πράγµατι: ενώ f(0 + ) f(0) lim + = lim + = 1, 0 0 f(0 + ) f(0) lim = lim + = Εφόσον τα πλευρικά όρια στο σηµείο 0 = 0 είναι διαφορετικά µεταξύ τους η f() δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 = 0 Ορισµός 313 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο του Α Τότε ορίζεται η συνάρτηση g = f : A : g( ) = f ( ), η οποία καλείται παράγωγος συνάρτηση της f Eάν υπάρχει η g, τότε λέµε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο Α και γράφουµε g ( ) = f ( ) Γενικά χρησιµοποιούµε το συµβολισµό k ( k ) d f( ) f ( ) = k d για να δηλώσουµε την k-παράγωγο µιας συνάρτησης f Aν η f έχει άπειρες παραγώγους, τότε λέµε ότι είναι απειροδιαφορίσιµη (ή λεία) συνάρτηση 3 Γεωµετρική και φυσική ερµηνεία της παραγώγου Εστω f : A f( A), A, f( A) και η f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο Eστω + Α και P(,f()), Q(+,f(+)) είναι σηµεία της γραφικής παράστασης της f (βλέπε σχήµα 31) Σχήµα 31 Το ευθύγραµµο τµήµα PQ έχει κλίση ίση µε: f ( + ) f( ) εφ( θ ( )) =, 4

3 όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το ευθύγραµµο τµήµα PQ µε τον άξονα H εξίσωση της ευθείας γραµµής που ορίζουν τα σηµεία P,Q είναι η ακόλουθη: y f( ) = εφ( θ( )) ( ) 0 0 H oριακή θέση του ευθυγράµµου τµήµατος PQ όταν Q P κατά µήκος της καµπύλης που ορίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() καλείται εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο Όταν όµως Q P κατά µήκος αυτής της καµπύλης τότε 0, συνεπώς αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο µε τον άξονα, έχουµε: f( + ) f( ) lim 0 = lim 0εφ( θ( )) = εφ( lim 0θ( ) ) = εφω, δηλαδή: f ( ) = εφω 0 Κατ επέκταση, η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο 0 γίνεται: y f( ) = f ( ) ( ) (31) ιαφορικό συνάρτησης Από τον ορισµό της παραγώγου έχουµε: f( + ) f( ) = f ( ) + ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0 Aν θέσουµε y = f(), ==(+)- και y=f(+) f(), τότε η παραπάνω γίνεται: y = f ( ) + ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0 O όρος f ( ) καλείται διαφορικό της y ως προς και συµβολίζεται µε dy ηλαδή: dy = df ( ) = f ( ) Aν µάλιστα θεωρήσουµε τη συνάρτηση f() =, τότε f () = 1, άρα dy = d =, oπότε: dy = df ( ) = f ( ) d, απ όπου δικαιολογείται και ο συµβολισµός της παραγώγου έχουµε: f ( ) = dy Τελικά λοιπόν d y = dy+ ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0, 43

4 δηλαδή το διαφορικό dy είναι µία προσέγγιση της µεταβολής y µε την έννοια ότι η διαφορά τους γίνεται όσο µικρή θέλουµε για αρκετά µικρό Μία συνάρτηση f() για την οποία ορίζεται το διαφορικό της σ ένα σηµείο λέµε ότι είναι διαφορίσιµη στο και αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι η f παραγωγίσιµη στο µε πεπερασµένη παράγωγο Αν υπάρχει η f ( ) (και θεωρήσουµε ότι η ποσότητα d είναι σταθερή συνεπώς ανεξάρτητη του ), τότε ( ) ( ) ( ) ( ) d f( ) d df( ) d f ( ) d d f ( ) d f ( ) d d f ( ) d = = = = = Η ποσότητα d f( ) καλείται διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης f Εάν ορίσουµε d ( d) =, τότε από η παραπάνω ισότητα γίνεται Γενικεύοντας παίρνουµε 33 Iδιότητες της παραγώγου d f( ) ( ) = ( ) ( ) = d d f f d f k ( k ) d f( ) f ( ) = k d Πρόταση 331 Εστω f, g: A f( A), A, f( A) είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο 0 Α, και α, τότε oι συναρτήσεις αf, f+g, fg, f/g (g( 0 ) 0) είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο 0 Α και ( af ) ( 0) = af ( 0) ( f ± g) ( 0) = f ( 0) ± g ( 0) ( fg) ( 0) = f ( 0) g( 0) + f( 0) g ( 0) f f ( ) g( ) f( ) g ( ) ( ) = g ( g ( 0) ) Απόδ Εφαρµογή του ορισµού Ενδεικτικά θα αποδείξουµε την ισότητα για την παράγωγο γινοµένου ( fg) ( ) ( ) fg ( 0 + ) fg ( 0) f ( 0 + ) g( 0 + ) f( 0) g( 0) ( 0) = lim 0 = lim 0 44

5 ( ( + ) ( )) ( + ) + ( )( ( + ) ( )) f f g f g g = lim ( f( + ) f( )) ( g( + ) g( )) = lim 0 g( 0 + ) + lim 0 f ( 0) = f ( )lim g( + ) + g ( ) f ( ) = f ( ) g( ) + g ( ) f ( ), λόγω συνεχείας της συνάρτησης g() Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες ιδιότητες Σηµείωση 3 H Πρόταση 331 ισχύει και για το διαφορικό συναρτήσεων Πόρισµα 331 (Leibnitz) Eστω f, g: A f( A), A, f( A) είναι n-φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο 0 Α, τότε: Aπόδ Επαγωγικά n n n n! fg ( 0) = f ( 0) g ( 0), οπου = k = 0 k k k!( n k)! ( ) ( n ) ( n k) ( k) Πρόταση 33 (Κανόνας αλυσίδας) Εστω f : I J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Ι και g: J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο f( 0 ) J, όπου I, J Τότε και η σύνθετη συνάρτηση ( g f )( ) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Ι και ισχύει: g f ( ) g f( ) f ( ) ( ) = ( ) Πρόταση 333 (Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης) Εστω f : I είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση σε διάστηµα Ι, 0 I, υπάρχει η f ( 0 ) και ισχύει f ( 0 ) 0 1 Τότε η αντίστροφη συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο y0 = f( 0) και ισχύει: 1 ( f ) 1 ( y0) = f ( ) Παράδειγµα 1 Να δειχθεί ότι για το πρωτεύων τόξο ηµιτόνου ισχύει 1 τοξηµ =, ( 1,1) 1 ( ) Εχουµε: y = τοξηµ = ηµ y, y (-π/,π/), άρα: 0 ( τοξηµ ) = = = = συν y 1 ηµ y 1 ( ηµ y), 45

6 εφόσον συνy > 0 όταν y (-π/,π/) Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων f() f () f() = c, c=σταθερά f () = 0 f() = a, a f () = a a-1, a f() = e f () = e f() = ln, > 0 f () = 1/ f() = a, a>0 f () = a lna f() = ηµ f () = συν f() = συν f () = -ηµ f() = εφ f () = 1/συν f() = σφ f () = -1/ηµ f() = sin f () = cos f() = cos f () = sin f() = τοξηµ, (-1,1) f () = 1/ 1 f() =τοξσυν, (-1,1) f () = -1/ 1 f() =τοξεφ f () = 1/ ( 1+ ) Πρόταση 334 (Κανόνας L Hospital) Εστω ότι οι συναρτήσεις f, g: I είναι συνεχείς στο ανοικτό διάστηµα Ι, ο πραγµατικός αριθµός α είναι ένα άκρο του Ι και έστω ή lim f( ) = lim g( ) = 0, a a lim f( ) = lim g( ) =± a a Αν οι f ( ), g ( ) υπάρχουν σε όλα τα σηµεία του Ι, g ( ) 0, g ( ) 0 σε κάθε σηµείο του Ι f ( ) και αν το όριο lim a είναι πραγµατικός αριθµός ή το ±, τότε: g ( ) lim f ( ) ( ) lim f = g ( ) g ( ) a a Σηµείωση 4 Αν ή lim f ( ) = lim g ( ) = 0, a a lim f ( ) = lim g ( ) =±, a a και όλες οι υπόλοιπες προϋποθέσεις του κανόνα L Hospital ικανοποιούνται, τότε αν f ( ) υπάρχουν οι f ( ), g ( ) και επιπλέον αν το lim a είναι πραγµατικός αριθµός ή το g ( ) ±, τότε: 46

7 f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim = a ( ) = g a g( ) a g ( ) Σηµείωση 5 Μπορεί να µην υπάρχει το όριο f ( ) lim a g ( ) lim a f ( ) g ( ) αλλά να υπάρχει το όριο 34 Εφαρµογές της παραγώγου Ορισµός 341 Εστω A και f : A f( A) Θα λέµε ότι η f έχει τοπικό µέγιστο (αντ τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ Α, εάν υπάρχει ε>0 έτσι ώστε να ισχύει f ( ) f( ξ ) (αντ f ( ) f( ξ ) ) για κάθε π ( ξ ) A O αριθµός ξ καλείται τοπικό ακρότατο της f ε Θεώρηµα 341 (Fermat) Αν η f :( a, b) έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ( ab, ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ τότε f ( ξ ) = 0 ξ και Απόδ Ισχύει f ( ξ ) = f + ( ξ) = f ( ξ) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι το σηµείο ξ Α είναι τοπικό µέγιστο της f Τότε σε µία περιοχή του σηµείου ξ, ενώ f( ξ + ) f( ξ ) f + ( ξ ) = lim f( ξ + ) f( ξ ) f ( ξ ) = lim 0 0 σε µία περιοχή του σηµείου ξ, δηλαδή f ( ξ ) = f ( ξ) = f ( ξ) = 0 + Το Θεώρηµα Fermat υπονοεί ότι όταν αναζητούµε τοπικά ακρότατα µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα στα οποία µηδενίζεται η 1 η παράγωγος Τα σηµεία όπου δεν υπάρχει η παράγωγος Σηµείωση 6 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 341 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση 3 f :( 1,1), f( ) = ικανοποιεί την f (0) = 0, αλλά δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ξ = 0 Θεώρηµα 34 (Rolle) Eστω α,b, α<b και f :[ a, b] Αν (i) η f είναι συνεχής στο [α,b], 47

8 (ii) η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,b) και (iii) f (α) = f (b), τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε f ( ξ ) = 0 Απόδ Αν η f είναι σταθερά τότε κάθε ξ (α,b) ικανοποιεί την f ( ξ ) = 0 Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ( 0 ) > f( a) για κάποιο 0 [ ab, ] Λόγω συνεχείας της f υπάρχει ξ [α,b] τέτοιο ώστε f ( ) f( ξ ) για κάθε [ ab, ] Τότε f ( ξ ) f( 0 ) > f( a) = f( b), όπου ξ (α,b) Αφού η f έχει τοπικό ακρότατο στο (α,b) από το Θεώρηµα του Fermat προκύπτει ότι f ( ξ ) = 0 Θεώρηµα 343 (Γενικευµένο Θεώρηµα µέσης Τιµής του Caucy) Eστω f, g:[ a, b] είναι συνεχείς στο [α,b] και παραγωγίσιµες στο (α,b) Τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε ( ) ξ ( ) Aπόδ Η συνάρτηση F:[ a, b] µε τύπο ικανοποιεί το Θεώρηµα του Rolle f( b) f( a) g ( ) = g( b) g( a) f ( ξ ) ( ) ( ) F( ) = f( b) f( a) g( ) g( b) g( a) f( ) Πόρισµα 34 (Θεώρηµα µέσης Τιµής) Eστω f :[ a, b] συνεχής στο [α,b] και παραγωγίσιµη στο (α,b) Τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε f ( b) f( a) = f ( ξ ) ( b a) Aπόδ Παίρνουµε g() = και εφαρµόζουµε το γενικευµένο Θεώρηµα µέσης τιµής του Caucy Πόρισµα 343 (i) Αν f ( ) = 0 ( a, b) τότε f ( ) = c [ a, b] (ii) Αν f ( ) 0 ( a, b) τότε η f είναι αύξουσα στο [ ab, ] (iii) Αν f ( ) 0 ( a, b) τότε η f είναι φθίνουσα στο [ ab, ] (iv) Αν f ( ) > 0 ( a, b) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ab, ] (iii) Αν f ( ) < 0 ( a, b) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ab, ] Aπόδ Εστω a 1 < b, τότε εφαρµόζουµε το Θεώρηµα µέσης τιµής στον περιορισµό της f στο διάστηµα [ 1, ] Θεώρηµα 344 (Ενδιαµέσων τιµών) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [α,b], α<b µε f (α) f (b), τότε η f ( ) παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών f ( a), f ( b) Πόρισµα 344 Eστω f :[ a, b] παραγωγίσιµη στο [α,b] µε f ( ) 0 για κάθε [ ab, ], τότε η f είναι γνησίως µονότονη 48

9 Πρόταση 341 Eστω f :[ a, b] συνεχής στο [α,b] και παραγωγίσιµη στο (α,b) Αν f ( ξ ) = 0 και αν υπάρχει η f ( ξ ) στο (α,b), τότε (i) αν f ( ξ ) > 0 τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ, (ii) αν f ( ξ ) < 0 τότε η f εχει τοπικο µεγιστο στο σηµειο ξ Aπόδ Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ( ξ ) > 0, τότε: f ( ξ + ) f ( ξ) f ( ξ + ) f ( ξ ) > 0 lim 0 > 0 lim 0 > 0, άρα υπάρχει δ>0 έτσι ώστε f ( ξ + ) > 0, ( ξ δξ, + δ) Εστω < δ, τότε ( ξ, ξ + δ) θα ισχύει f ( ξ + ) > 0 για > 0, ενώ για ( ξ δξ, ) θα ισχύει f ( ξ + ) < 0 για < 0, άρα το ξ είναι τοπικό ελάχιστο Οµοίως αποδεικνύεται και η (ii) Σηµείωση 7 Για το αντίστροφο της Πρότασης 341 ισχύει: (i) (ii) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό ελάχιστο στο ξ τότε f ( ξ ) 0 Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό µέγιστο στο ξ τότε f ( ξ ) 0 Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 34 Eστω f :[ a, b] είναι n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ (α,b) Αν ( n 1) ( n) f( ξ) = f ( ξ) = = f ( ξ) = 0, f ( ξ) 0, τότε ( n) (i) αν n = άρτιος τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ αν f ( ξ ) > 0, ενώ η f έχει ( n τοπικό µέγιστο στο σηµείο ξ αν f ) ( ξ ) < 0 (ii) αν n = περιττός τότε η f δεν εχει τοπικο ακροτατο στο σηµειο ξ Ορισµός 343 Εστω Ι είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας Μία συνάρτηση f : Ι καλείται κυρτή στο Ι αν 1, I και για κάθε t [0,1] ισχύει Aν ισχύει (( ) ) ( ) f 1 t + t 1 t f( ) + tf( ) 1 1 (( ) ) ( ) f 1 t + t 1 t f( ) + tf( ),

10 τότε η f καλείται κοίλη Ο παραπάνω ορισµός υπονοεί ότι αν η συνάρτηση f είναι κυρτή (αντ κοίλη), τότε η χορδή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σηµεία P( 1,f( 1 )), Q(,f( )) της γραφικής παράστασης της f βρίσκεται πάνω (αντ κάτω) από το γράφηµα της f Πρόταση 343 Μία συνάρτηση f : Ι είναι κυρτή στο διάστηµα Ι αν και µόνον αν 1,, 3 I µε 1 < < 3 ισχύει f( ) f( 1) f ( 3) f( ) Απόδ Εφαρµογή του ορισµού κυρτότητας για = Πρόταση 344 Εστω f : Ι είναι κυρτή στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε: (i) υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι f ( ), f + ( ) για κάθε I, (ii) η f είναι συνεχής στο Ι Πρόταση 345 Εστω f : Ι παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε: (i) f κυρτη στο Ι f ( ) ειναι αυξουσα στο Ι, (ii) f κοιλη στο Ι f ( ) ειναι φθινουσα στο Ι Θα λέµε ότι το ξ είναι σηµείο καµπής της f εάν υπάρχει δ > 0 έτσι ώστε η f να είναι κυρτή (ή κοίλη) στο ανοικτό διάστηµα ( ξ δξ, ) και κοίλη (ή κυρτή) στο ανοικτό διάστηµα ( ξ, ξ + δ) Ορισµός 344 Εστω f :( a, b) και ξ ( ab, ) Πρόταση 346 Aν η f είναι ορισµένη σε διάστηµα ( ab, ), το σηµείο ξ ( ab, ) είναι σηµείο καµπής της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ τότε f ( ξ ) = 0 Απόδ Όπως στο θεώρηµα του Fermat H Πρόταση 346 µας λέει ότι όταν αναζητούµε σηµεία καµπής µιας φορές παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα, τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα στα οποία µηδενίζεται η η παράγωγος Σηµείωση 8 Το αντίστροφο της Πρότασης 346 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση 4 f ( ) = ικανοποιεί την f (0) = 0, αλλά το σηµείο ξ = 0 δεν είναι σηµείο καµπής της f Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 347 Eστω f :[ a, b] R n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ (α,b) Αν ( n 1) ( n) f ( ξ) = = f ( ξ) = 0, f ( ξ) 0, τότε 50

11 ( n) (i) αν n = άρτιος, η f ειναι κυρτη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( ξ ) > 0, ενώ ( n) η f ειναι κοιλη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( ξ ) < 0, (ii) αν n = περιττός, τότε το ξ είναι σηµείο καµπής 35 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Ορισµός 351 Εστω f : Α, Α Μία ευθεία L µε εξίσωση y = a + b καλείται ασύµπτωτη στη γραφική παράσταση της καµπύλης µε εξίσωση z = f() στο σηµείο 0, αν η απόσταση µεταξύ των σηµείων της ευθείας και των αντιστοίχων σηµείων της καµπύλης τείνει στο µηδέν όταν το 0, δηλαδή: f ( ) ( a+ b) 0, 0 Eστω 0 = + Tότε f( ) b f( ) ( a + b) 0, + a 0, + +, δηλαδή: συνεπώς Εχουµε λοιπόν: f( ) lim + = a, ( ) lim + f ( ) a = b Πρόταση 351 Η ευθεία µε εξίσωση y = a + b είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της καµπύλης µε εξίσωση z = f() στο + αν και µόνον αν f( ) lim + = a και lim + ( f ( ) a) = b Εάν α 0, τότε η ασύµπτωτη καλείται πλάγια ασύµπτωτη Εάν α=0, τότε η ασύµπτωτη καλείται οριζόντια ασύµπτωτη Η ευθεία = 0 καλείται κατακόρυφη ασύµπτωτη της καµπύλης Γ, αν υπάρχει µία τουλάχιστον από τις οριακές τιµές f+ ( 0), f ( 0) και είναι + ή - Οι κατακόρυφες ασύµπτωτες πρέπει να αναζητηθούν σε σηµεία όπου η f δεν είναι συνεχής και σε σηµεία συσσώρευσης που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού Οµοίως εργαζόµαστε για τις ασύµπτωτες όταν Για τη µελέτη και τη γραφική παράσταση συνάρτησης τα βήµατα που συνήθως ακολουθούµε είναι: 51

12 (i) εύρεση πεδίου ορισµού της συνάρτησης f, (ii) (iii) (iv) (v) εύρεση συµµετριών της συνάρτησής µας (αν υπάρχουν), δηλαδή αν είναι άρτια, ή περιττή, ή περιοδική, καθορίζουµε τα σηµεία ασυνέχειας της συνάρτησής µας και τα σηµεία όπου η συνάρτησή µας δεν είναι παραγωγίσιµη, διαχωρίζοντας εκείνα τα σηµεία όπου η παράγωγος απειρίζεται, από εκείνα τα σηµεία στα οποία υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι και είναι πεπερασµένες και διαφορετικές Μελετούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισµού Καθορίζουµε τις ασύµπτωτες, αν υπάρχουν (vi) Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της 1 ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης και τα πιθανά ακρότατα (vii) Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα διαστήµατα όπου η συνάρτησή µας είναι κυρτή ή κοίλη καθώς επίσης και τα πιθανά σηµεία καµπής (viii) Σχεδιάζουµε 5

13 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ e 1 Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) = e e e e e e e e e e e e f ( ) = e = e e = e e e = e e e Λύση ( ) ( ) ( ) e ηµ 1, 0 είξτε ότι η συνάρτηση f( ) = 0 = 0 f ( ) δεν είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιµη στο, αλλά η Λύση Για 0 έχουµε: Eπίσης: 1 1 f ( ) = ηµ συν 1 ηµ 1 f (0) = lim 0 = lim 0 ηµ 0 = Aρα: 1 1 ηµ συν, 0 f( ) = 0 = 0 Tώρα: 1 lim 0 ηµ 0 = (κριτήριο παρεµβολής) αλλά lim 1 0 συν δεν υπάρχει (βλέπε Κεφ όρια συναρτήσεων) Eποµένως το lim 0 f ( ) δεν υπάρχει, άρα η f ( ) δεν είναι συνεχής στο = 0 Προφανώς για κάθε 0 η f ( ) είναι συνεχής 53

14 54

15 55

16 56

17 57

18 58

19 19 Υπολογίστε το όριο a 1 a lim + +, a> 0 Λύση a a a 1 a 1+ lim + + = lim

20 a a a + + = lim = lim = lim 1 + a a είξτε ότι αν p > 1 τότε ( ) p + a > =, a = 0 0< a < p + 1 > + 1, 0 Λύση Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) p p f( ) = + 1 1, 0 Τότε: p 1 p 1 (( ) ) f ( ) = p + 1 > 0 για κάθε 0 (διότι p > 1) Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) και συνεχής στο [0,+ ) Εποµένως για κάθε 0 έχουµε: p p ( ) ( ) p 0 = f(0) < f( ) = > + 1 p 1 Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) =, > 0 Λύση: Eχουµε f() > 0 για κάθε > 0 Συµµετρίες: εν υπάρχουν Ασύµπτωτες: lim + f( ) = 1, lim ( ), 0 + f = + άρα δεν υπάρχουν ασύµπτωτες < 0 0< < 1/ e f ( ) = 1+ ln = = 0, = 1/ e > 0 > 1/ e 1 η παράγωγος: ( ) f ( ) 1 = + 1+ ln > 0 η παράγωγος: ( ) 60

21 Πίνακας (0,1/e) (1/e,+ ) f() + + f () - + f γνησίως φθίνουσα f γνησίως αύξουσα f () + + f κυρτή f κυρτή Γραφική παράσταση y'y fhl= ' Υπολογίστε τη η παράγωγο της συνάρτησης y = f() που δίνεται σε παραµετρική µορφή 3 = a() t = t + t, y = b() t = t, t t [0,1] Σχεδιάστε την καµπύλη Λύση Παρατηρούµε ότι a () t = t+ 3t 0για κάθε t [0,1], άρα η = a(t) είναι γνησίως αύξουσα, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση t=a -1 () και συνεπώς η καµπύλη σε παραµετρική µορφή ορίζει µία συνάρτηση y=f() Eφόσον η y=f() µπορεί να γραφεί ως b(t) =f(a(t)) παραγωγίζοντας ως προς t παίρνουµε b () t = f ( a() t ) a () t b () t = f ( ) a () t b t f ( ) = a t Επίσης: ( ) ( ) ( )( ) ( ) b () t = f a() t a () t a () t + f a() t a () t b () t = f a () t + f a () t () () b t b () t a () t b () t a () t b () t = f ( )( a () t ) + a () t f ( ) = 3 a t οπότε µε αντικατάσταση παίρνουµε: (t+ 3 t ) (t )( + 6 t) 4 + 1t 6t f ( ) = = t ( + 3 t) ( t+ 3t ) ( a() t ) () () 61

22 Προφανώς όταν t [0,1] [0,], άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το [0,] Εφόσον t t f ( ) = 0για κάθε t (0,1] και lim + =, άρα η f είναι γν φθίνουσα t 0 t+ 3t t+ 3t στο [0,) και η ευθεία y = 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (0) = 0 4 1t 6t Επίσης f ( ) = και lim f ( ( t)) = + και εφόσον f ( ) = 0 t 0 t ( + 3 t) t = η t = 9099, η f είναι κυρτή στο διάστηµα [0,1], άρα αφού y(0)=0, y(1) = -1, έχουµε: -0 y'y ' Yπολογίστε την παράγωγο των πεπλεγµένων συναρτήσεων: 3 3 y y + 3 = 0 + =, > 0 y a a Λύση (α) ιαφορίζουµε και τα δύο µέλη και έχουµε: d y y d d d y d y ( + 3 ) = (0) ( ) + ( ) + ( 3 ) = = 3 d 3y dy 3( yd dy) 0 dy dy + + = d d 3 3y 3 y 0 dy 3y 3 y = = d 3y 3 (β) dy d( + y ) = d( a ) d( ) + d( y ) = 0 d + ydy = 0 y = = d y 6

23 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 63

24 64

25 65

26 66

27 67

28 είξτε ότι: 68

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις.

Επανάληψη. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 62 Ασκήσεις 27 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες. Συναρτήσεις Παράγωγοι. Kglykos.gr. εκδόσεις. Επανάληψη Κώστας Γλυκός Συναρτήσεις Παράγωγοι Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 6 Ασκήσεις 7 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες Kglys.gr / 7 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78

Διαβάστε περισσότερα

α β. M x f x. f x x x = = =.

α β. M x f x. f x x x = = =. Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε. Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις παράγουσες

Ασκήσεις στις παράγουσες Παράγουσες βασικών συναρτήσεων Ασκήσεις στις παράγουσες Να βρείτε τις παράγουσες της συνάρτησης f()= και μετά να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΣΕΑΡΣΗ 18 ΜΑΪΟΤ 2016

ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΣΕΑΡΣΗ 18 ΜΑΪΟΤ 2016 ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΣΕΑΡΣΗ 8 ΜΑΪΟΤ 6 ΘΕΜΑ Α A. Eπειδή () για κάθε ( α, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε ( ) ( ), για κάθε α, ]. () ( Επειδή ( ) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός

Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Σελίδα από 0 ΘΕΜΑ ο Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος - 009 Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής και πότε παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα