ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ"

Transcript

1 Κεφάλιο 9 ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΗΜΟΣΙΕΣ ΑΠΑΝΕΣ Εισγωγή Στην νζήτηση γι τους προσδιοριστικούς πράγοντες της οικονοµικής µεγέθυνσης, στ υποδείγµτ µε εξωτερικές οικονοµίες δόθηκε ιδιίτερο βάρος στις τέλειες της ντγωνιστικής οικονοµίς. Στ υποδείγµτ υτά η κυβέρνηση µπορεί ν πίξει κθοριστικό ρόλο στην προώθηση της οικονοµικής µεγέθυνσης, κθώς νγνωρίζει την ευνοϊκή επίδρση γθών, όπως το νθρώπινο κεφάλιο, η τεχνολογί κλπ., γι το σύνολο της οικονοµίς, ενώ ο ιδιωτικός τοµές επικεντρώνετι στην τοµική πόδοσή τους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το κράτος µπορεί ν πράγει γθά µε πρόµοι χρκτηριστικά, ώστε ν εξσφλίσει την επρκή προχή τους κι την άριστη κτνοµή των πόρων της οικονοµίς. Σε γενικές γρµµές, ως µιγή (pure) δηµόσι γθά χρκτηρίζοντι υτά που πληρούν τις εξής δύο ιδιότητες: Μη-συνγωνιστικότητ στη χρήση (non-rival in ue), δηλδή η χρήση του γθού πό έν άτοµο δεν επηρεάζει τη χρήση του πό άλλ άτοµ. Κτά συνέπει, η χρήση των γθών υτών δεν επηρεάζετι πό τον ριθµό των τόµων που τ χρησιµοποιούν. Γι πράδειγµ, η προστσί που προσφέρει η εθνική άµυν σε έν άτοµο δεν εµποδίζει τη χρήση της πό άλλ άτοµ. Έλλειψη δυντότητς ποκλεισµού (non-excludabiliy), δηλδή η δυνµί ν επιβληθεί εξτοµίκευση του γθού. Άρ, η χρήση υτών των γθών φορά το σύνολο των τόµων. Γι πράδειγµ, στην πλειοψηφί τους τ προγράµµτ τηλεόρσης δεν µπορούν ν πευθυνθούν σε ορισµένους µόνο χρήστες. Αντίθετ, τ ιδιωτικά γθά µε τη γνωστή τους µορφή είνι συνγωνιστικά στη χρήση (rival) κι υπάρχει η δυντότητ ποκλεισµού (excludabiliy). Η διάκριση µετξύ δηµοσίων κι ιδιωτικών γθών περιλµβάνει κι ενδιάµεσες περιπτώσεις. Γι πράδειγµ, υπάρχουν γθά

2 172 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης τ οποί είνι µη-συνγωνιστικά στη χρήση µε δυντότητ ποκλεισµού, όπως τ κλωδικά προγράµµτ τηλεόρσης µε συνδροµή. Σε υτήν την περίπτωση η χρήση του γθού πό έν άτοµο δεν επηρεάζει τη χρήση του πό άλλ άτοµ, λλά τυτόχρον µπορεί ν ποκλειστεί η χρήση του πό ορισµέν άτοµ. Επίσης, υπάρχουν γθά τ οποί είνι συνγωνιστικά στη χρήση χωρίς δυντότητ ποκλεισµού, όπως το στικό οδικό δίκτυο ή τ πάρκ νψυχής. Σε υτά τ γθά, η χρήση πό έν άτοµο επηρεάζει τη χρήση πό τ υπόλοιπ, λλά δεν είνι εφικτός (ή επιθυµητός) ο ποκλεισµός ορισµένων τόµων πό τη χρήση τους. Κι οι δύο υτές περιπτώσεις φορούν µη-µιγή (impure) δηµόσι γθά. Σε υτό το σηµείο πρέπει ν γίνει διάκριση µετξύ δηµόσιων γθών κι δηµόσις δπάνης γι γθά. Οι συνολικές πργωγικές δπάνες του δηµόσιου τοµέ φορούν τόσο τ µιγή δηµόσι γθά, γι τ οποί δεν υπάρχει ενδιφέρον πό τον ιδιωτικό τοµέ, όσο κι τµήµ των υπόλοιπων γθών, που περιλµβάνουν τ µη-µιγή κι τ ιδιωτικά γθά, τ οποί ο δηµόσιος τοµές κρίνει σκόπιµο ότι πρέπει ν πράγει. Σε υτή την κτηγορί νήκουν τ φυσικά µονοπώλι ή τ γθά που προυσιάζουν σηµσί πό κοινωνικής άποψης, όπως η πργωγή ηλεκτρικού ρεύµτος κι η υδροδότηση. Το σύνολο των δηµοσίων δπνών έχει µεγάλη βρύτητ στην οικονοµική δρστηριότητ γι τρεις κυρίως λόγους. Πρώτον, γιτί επηρεάζει το ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης κι το επίπεδο πργωγής του ιδιωτικού τοµέ. εύτερον, γιτί στις σύγχρονες οικονοµίες το κράτος κτλµβάνει έν σηµντικό ποσοστό της συνολικής οικονοµικής δρστηριότητς. Τρίτον, γιτί µε δεδοµένες τις σηµντικές διφορές µετξύ των οικονοµιών στην οικονοµική µεγέθυνση, έν κύριο ερώτηµ είνι η πιθνή (θετική ή ρνητική) επίδρση του κράτους σε υτές τις διφορές. Άµεση συνέπει των πρπάνω είνι ότι έν σηµντικό τµήµ της βιβλιογρφίς της οικονοµικής µεγέθυνσης έχει επικεντρωθεί στο ρόλο του κράτους µέσω των δηµοσίων δπνών κι της φορολογίς. Με υτό το σκεπτικό, η δηµόσι δπάνη κι οι επιδράσεις της στην οικονοµική µεγέθυνση θ ποτελέσουν το ντικείµενο της µελέτης σε υτό το κεφάλιο. Αρχικά θ εξετστεί η επίδρση της εισγωγής του κρτικού τοµέ στο υπόδειγµ Ramey, κθώς κι οι ενλλκτικοί τρόποι χρηµτοδότησης των δηµοσίων δπνών. Στη συνέχει θ προυσιστεί έν υπόδειγµ ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης, που βσίζετι στον Barro (199) κι στο οποίο οι δηµόσιες δπάνες επιδρούν στην οικονοµική δρστηριότητ µέσω της συνάρτησης πργωγής. Ιδιίτερο βάρος θ δοθεί στην επίδρση της οικονοµικής πολιτικής στην οικονοµική µεγέθυνση µέσω των δηµοσίων δπνών, κθώς κι στον προσδιορισµό του επιπέδου τους που οδηγεί στη µεγιστοποίηση του ρυθµού οικονοµικής µεγέθυνσης.

3 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 173 Ο δηµόσιος τοµές στο υπόδειγµ Ramey Το πλό υπόδειγµ Ramey, όπως προυσιάστηκε στο Κεφάλιο 6, περιέγρφε µι κλειστή οικονοµί µε νοικοκυριά κι επιχειρήσεις, όπου η ριστοποιητική συµπεριφορά των νοικοκυριών κθόριζε την προσφορά των συντελεστών πργωγής κι τη συνολική ζήτηση της πργωγής, ενώ η συµπεριφορά των επιχειρήσεων κθόριζε τη ζήτηση των συντελεστών πργωγής κι τη συνολική προσφορά του προϊόντος µε στόχο τη µεγιστοποίηση των κερδών. Πρµένοντς στο ίδιο πλίσιο, η εισγωγή του κρτικού τοµέ µπορεί ν γίνει µε την υπόθεση ότι έν ποσοστό του εισοδήµτος τ πρκρτείτι πό τον κρτικό τοµέ της οικονοµίς, γι ν διτεθεί στη συνέχει στην οικονοµί µε τη µορφή δπνών, οι οποίες σν ποσοστό του εισοδήµτος ισούντι µε g. Γι ν πλοποιηθεί η προυσίση, µπορεί επίσης ν υποτεθεί ρχικά ότι σε κάθε περίοδο οι δηµόσιες δπάνες ισούντι µε τους φόρους (g = τ ), δηλδή η κυβέρνηση δεν µπορεί ν προυσιάζει πλεόνσµ ή έλλειµµ στον κρτικό προϋπολογισµό. Σε µι τέτοι περίπτωση, ο εισοδηµτικός περιορισµός των νοικοκυριών τροποποιείτι κι πίρνει την κόλουθη µορφή: b = w + ( r n) b c τ (9.1) Ολοκληρώνοντς την (9.1) κι χρησιµοποιώντς τη συνθήκη (6.4), ο διχρονικός εισοδηµτικός περιορισµός των νοικοκυριών γίνετι: 28 c e d = b( ) + w e d τ e d (9.2) Σύµφων µε τη σχέση (9.2), η προύσ ξί της συνολικής κτνάλωσης των νοικοκυριών ισούτι µε τον ρχικό πλούτο κι την προύσ ξί των συνολικών εισοδηµάτων πό εργσί, µείον την προύσ ξί της συνολικής φορολογίς. Η τελευτί ισούτι επίσης, σύµφων µε την υπόθεση του ισοσκελισµένου προϋπολογισµού, µε την προύσ ξί των συνολικών δηµοσίων δπνών. Από τη διτύπωση του τροποποιηµένου εισοδηµτικού περιορισµού των νοικοκυριών προκύπτει ότι η ριστοποιητική συµπεριφορά τους δεν λλάζει µε την εισγωγή του κρτικού τοµέ σε υτό το πλίσιο. Στην 28 Βλ. Chiang (1984) κι Blanchard κι Ficher (1989).

4 174 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης ισορροπί του υποδείγµτος όµως, κι εφόσον τ κτά κεφλήν περιουσικά στοιχεί των νοικοκυριών θ είνι ίσ µε το λόγο κεφλίουεργσίς (b = k ), η εξίσωση συσσώρευσης του κεφλίου τροποποιείτι ως εξής: 29 k = f ( k) ( n + δ) k c τ (9.3) Η τροποποιηµένη µορφή της εξίσωσης συσσώρευσης του κεφλίου προυσιάζετι (σε σχέση µε την ντίστοιχη χωρίς κρτικό τοµέ) στο ιάγρµµ 9.1. ιάγρµµ 9.1. ιάγρµµ φάσης γι την ισορροπί του νεοκλσικού υποδείγµτος µεγέθυνσης c c = c c g = τ k = k = k min k k Η ευθεί k = µετκινείτι πράλληλ κι προς τ κάτω στην k =, ενώ η µεττόπιση ισούτι µε το ποσό των δηµοσίων δπνών g = τ. Η οικονοµί οδηγείτι σε έν νέο σηµείο ισορροπίς µε χµηλότερη κτνάλωση c < c µε c c = g = τ, κθώς η ύξηση των δηµοσίων δπνών ισοδυνµεί µε ύξηση της φορολογίς του εισοδήµτός τους. 3 Η 29 Γι πλούστευση της προυσίσης πρλείπετι ο δείκτης. 3 Ν σηµειωθεί ότι η ύπρξη του κράτους πιτεί έν ελάχιστο κεφάλιο k min, ώστε ν πρχθούν τ γθά µε τ οποί θ τροφοδοτηθεί η δρστηριότητ του κρτικού τοµέ.

5 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 175 ύπρξη του κράτους οδηγεί εποµένως σε πλήρη εκτόπιση (full crowding-ou) του ιδιωτικού τοµέ µε ισόποση µείωση της ιδιωτικής κτνάλωσης, φήνοντς νεπηρέστο το κεφάλιο, κθώς κι το εισόδηµ ισορροπίς. Το ποτέλεσµ υτό βσίστηκε στην υπόθεση ότι ο προϋπολογισµός της κυβέρνησης είνι πάντ ισοσκελισµένος, κι άρ ότι κάθε µετβολή στις δηµόσιες δπάνες ισοδυνµεί µε υτόµτη ύξηση της φορολογίς των νοικοκυριών επηρεάζοντς την κτνάλωσή τους. Εάν εγκτλειφθεί η υπόθεση του ισοσκελισµένου προϋπολογισµού, µπορεί ν εξετστεί η περίπτωση όπου η κυβέρνηση είνι σε θέση ν διµορφώνει πλεονσµτικό ή ελλειµµτικό προϋπολογισµό σε κάθε περίοδο, δνειζόµενη πό τον ιδιωτικό τοµέ µε επιτόκιο r σε περίπτωση ελλείµµτος κι ποπληρώνοντς το χρέος της σε περίπτωση πλεονάσµτος. Η µετβολή του κτά κεφλήν χρέους της κυβέρνησης g d δίνετι σε υτή την περίπτωση πό την πρκάτω σχέση: d g d = ( r n) g + ( g τ) (9.4) Ολοκληρώνοντς την (9.4) κι χρησιµοποιώντς τη συνθήκη ότι το χρέος της κυβέρνησης δεν µπορεί ν υξάνει µε ρυθµό τχύτερο πό το επιτόκιο, ο διχρονικός εισοδηµτικός περιορισµός της κυβέρνησης γίνετι: τ e d = g d ( ) + g e d (9.5) Σύµφων µε την εξίσωση (9.5), η προύσ ξί της συνολικής φορολογίς ισούτι µε το ρχικό χρέος της κυβέρνησης κι την προύσ ξί των συνολικών δηµοσίων δπνών. Η δυντότητ ύπρξης δηµόσιου χρέους τροποποιεί τον εισοδηµτικό περιορισµό των νοικοκυριών ως εξής: d d [ b g ] = ( r n)[ b g ] + w c g (9.6) Στην ισορροπί, εφόσον τ νοικοκυριά µεττρέπουν τον πλούτο τους σε κεφάλιο ή δνείζουν τον κρτικό τοµέ, ο κτά κεφλήν πλούτος των νοικοκυριών ισούτι µε το λόγο κεφλίου-εργσίς κι το κτά κεφλήν χρέος της κυβέρνησης, δηλδή ισχύει b = (g d + k). Ολοκληρώνοντς το εισοδηµτικό περιορισµό των νοικοκυριών µε δηµόσιο χρέος, ο διχρονικός εισοδηµτικός περιορισµός τους γίνετι:

6 176 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης c e d ( r d = b( ) g () + w e d g e d (9.7) Σύµφων µε την εξίσωση (9.7), η προύσ ξί της συνολικής κτνάλωσης των νοικοκυριών ισούτι µε τον ρχικό διθέσιµο πλούτο των νοικοκυριών κι την προύσ ξί των συνολικών εισοδηµάτων πό εργσί, µείον την προύσ ξί των συνολικών δηµοσίων δπνών. Αντικθιστώντς πό την (9.5) γι g d () συνεπάγετι ότι: b( ) = τ e d + c e d w e d (9.8) Η σχέση (9.8) είνι τυτόσηµη µε την (9.2), η οποί είχε προκύψει πό την ύπρξη κρτικού τοµέ µε την υπόθεση του ισοσκελισµένου προϋπολογισµού, που σηµίνει ότι η χρηµτοδότηση της κρτικής δρστηριότητς µε δηµόσιο χρέος δεν λλάζει τ ντίστοιχο ποτέλεσµ στο υπόδειγµ Ramey. Εποµένως, η χρηµτοδότηση των δηµοσίων δπνών µε φορολογί των νοικοκυριών ή έκδοση δηµόσιου χρέους δεν µετβάλλει µκροχρόνι τη διάρθρωση της οικονοµίς κι την κτνοµή των διθέσιµων πόρων. Το ποτέλεσµ υτό είνι γνωστό σν Ρικρδινή Ισοδυνµί (Ricardian Equivalence), σύµφων µε µι σχετική πρότση που είχε διτυπώσει πρώτος ο David Ricardo, κι ποτελεί έν πό τ ισχυρότερ συµπεράσµτ του νεοκλσικού υποδείγµτος. Η Ρικρδινή Ισοδυνµί δηλώνει ότι τ νοικοκυριά ντιλµβάνοντι ότι µι τρέχουσ ύξηση των δηµοσίων δπνών θ σηµίνει ύξηση της φορολογίς γι τη χρηµτοδότησή της τώρ ή στο µέλλον. Έτσι, η µκροχρόνι κτνλωτική συµπεριφορά τους προσρµόζετι νάλογ φήνοντς νεπηρέστο το πργµτικό εισόδηµ. Κτά συνέπει, ο ρόλος του κράτους σε υτό το πλίσιο περιορίζετι στον κθορισµό της σύνθεσης του προϊόντος της οικονοµίς, ενώ η µορφή χρηµτοδότησης της κρτικής δρστηριότητς δεν πίζει κνέν ρόλο. ηµόσιες δπάνες στη συνάρτηση πργωγής Σε υτό το τµήµ θ νλυθεί η εισγωγή του κράτους µέσω των δηµοσίων δπνών στην πργωγική δρστηριότητ, κθώς κι η επίδρση της χρηµτοδότησης τους µε φορολόγηση της πργωγής των επιχειρήσεων. Με υτό τον τρόπο µπορεί ν εξετστεί πώς η κυβέρνηση θ

7 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 177 µπορούσε ν σκήσει τη δηµοσιονοµική πολιτική, ώστε ν συµβάλει στη βελτίωση του ρυθµού οικονοµικής µεγέθυνσης. 31 Έστω ότι η κυβέρνηση επιδίδετι στην πργωγή µιγών δηµόσιων γθών, δηλδή γθών που χρκτηρίζοντι πό µη-συνγωνιστική χρήση κι έλλειψη δυντότητς ποκλεισµού. Επίσης, έστω ότι η δπάνη υτή επηρεάζει τη συνάρτηση πργωγής των ιδιωτικών επιχειρήσεων. Έτσι, η ντιπροσωπευτική επιχείρηση i πράγει το προϊόν της Υ i µε βάση µι συνάρτηση πργωγής: Yi = F( K i, Li, G) (9.9) όπου K i κι L i δηλώνουν ντίστοιχ το ιδιωτικό κεφάλιο κι την εργσί της επιχείρησης i, κι G είνι οι κρτικές δπάνες που φορούν τ δηµόσι γθά, κι άρ επηρεάζουν το ίδιο όλες τις επιχειρήσεις. Γι ν πλοποιηθεί η νάλυση γίνετι η υπόθεση ότι δεν υπάρχει µετβολή του εργτικού δυνµικού κι η συνάρτηση πργωγής είνι του τύπου Cobb- Dougla: 1 i Li 1 Yi = AK G (9.1) όπου A είνι µι στθερή τεχνολογική πράµετρος µε A>, ενώ κι (1-) είνι τ ντίστοιχ σχετικά µερίδι του ιδιωτικού κεφλίου κι της εργσίς. Σύµφων µε την (9.1) το ιδιωτικό κεφάλιο µζί µε την εργσί προυσιάζουν στθερές ποδόσεις κλίµκς γι την ιδιωτική επιχείρηση. 32 Το ιδιωτικό κεφάλιο έχει φθίνουσες ποδόσεις (εφόσον <1), λλά σε συνδυσµό µε τη δηµόσι δπάνη G έχει στθερές ποδόσεις. Όπως φάνηκε πό το υπόδειγµ της εκµάθησης που προυσιάστηκε στο Κεφάλιο 7, εάν η κυβέρνηση φροντίζει σε έν τέτοιο πλίσιο ν διτηρεί τις δηµόσιες δπάνες σε µι στθερή νλογί µε το ιδιωτικό κεφάλιο, τότε η οικονοµί θ εµφνίζει ενδογενή οικονοµική µεγέθυνση. Γι τη χρηµτοδότηση της κρτικής δρστηριότητς η κυβέρνηση φορολογεί τις επιχειρήσεις επιβάλλοντς έν στθερό φορολογικό συντελεστή τ στ κέρδη των επιχειρήσεων. Γι τον προϋπολογισµό της κυβέρνησης γίνετι η υπόθεση ότι είνι ισοσκελισµένος κι άρ δεν µπορεί 31 Το υπόδειγµ βσίζετι στο άρθρο του Barro (199). Βλ. επίσης Barro κι Sala-I-Marin (1992, 23). 32 Γι πλοποίηση της προυσίσης θεωρείτι ότι δεν υπάρχει πόσβεση στο ιδιωτικό κεφάλιο κι η µετβολή στο πόθεµ του κεφλίου σε κάθε περίοδο ισούτι µε τις ιδιωτικές επενδύσεις. Στο επόµενο Κεφάλιο θ εξετστεί έν υπόδειγµ, όπου σε κάθε περίοδο ποσβένετι έν τµήµ του κεφλίου.

8 178 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης ν διτηρούντι ελλείµµτ ή ν χρηµτοδοτούντι οι δπάνες µε εξωτερικό ή εσωτερικό δνεισµό. Ισχύει δηλδή: G = τy (9.11) Στην ντγωνιστική ισορροπί οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τ κέρδη επιλέγοντς το επίπεδο ιδιωτικού κεφλίου (ή το λόγο κεφλίουεργσίς) θεωρώντς τις δηµόσιες δπάνες G δεδοµένες. Τ κθρά κέρδη της επιχείρησης i µετά τη φορολόγηση είνι: Π i i i = L [(1 τ) Ak G 1 w rk ] i (9.12) όπου k i δηλώνει το ιδιωτικό κεφάλιο νά εργζόµενο κι w κι r είνι ο µισθός κι το επιτόκιο ντίστοιχ. Αφού στην ισορροπί k i = k, η συνθήκη πρώτης τάξης γι τη µεγιστοποίηση των κερδών ως προς το κεφάλιο µπορεί ν γρφεί ως: Π k i i = (1 τ) Ak (1 ) 1 G = r (9.13) Από τη συνολική συνάρτηση πργωγής (9.1) κι πό την (9.11) εξάγετι η κόλουθη σχέση γι τις δηµόσιες δπάνες G: ( τal) 1 k G = (9.14) που ότν ντικτστθεί στην εξίσωση (9.13) δίνει: 1 1 ( 1 τ) A ( τl) = r (9.15) Στο ριστερό µέρος της (9.15) δίνετι το ορικό προϊόν του ιδιωτικού κεφλίου µετά τη φορολόγηση, το οποίο στην ισορροπί πρέπει ν ισούτι µε την πόδοση του κεφλίου. Αφού ο συντελεστής φορολογίς τ κι το εργτικό δυνµικό L είνι στθερά στην ισορροπί, πό την (9.15) φίνετι ότι το επιτόκιο είνι επίσης στθερό. Το επόµενο βήµ είνι ν εξετστούν οι συνέπειες των δηµοσίων δπνών στην κτνάλωση. Σύµφων µε όσ νλύθηκν σε προηγούµεν Κεφάλι, η συνάρτηση χρησιµότητς του κτνλωτή έχει τη µορφή της στθερής διχρονικής ελστικότητς υποκτάστσης:

9 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική θ c u( c) = 1 θ (9.16) Το ντιπροσωπευτικό νοικοκυριό µεγιστοποιεί διχρονικά τη συνάρτηση χρησιµότητς (9.16): max u( c) e ρ d (9.17) υπό τον περιορισµό ότι η συσσώρευση πλούτου ισούτι µε το εισόδηµ πό το µισθό κι την πόδοση του πλούτου µείον την κτνάλωση. Ετσι, σε κτά κεφλήν όρους ισχύει: k = rk + w c (9.18) όπου γι την κλειστή οικονοµί που εξετάζετι ο τοµικός πλούτος ισούτι µε το κεφάλιο νά εργζόµενο. Η συνάρτηση του Hamilon γι υτό το πρόβληµ είνι: J = u( c) + λ( rk + w c) (9.19) ρ όπου λ = λe είνι η προύσ ξί της σκιώδους τιµή του πλούτου. Οι συνθήκες πρώτης τάξης δίνοντι πό τις σχέσεις: J = c θ λ c = (9.2) J k = λ λ λρ = λr (9.21) Οι σχέσεις (9.2) κι (9.21) δίνουν, όπως είνι γνωστό, έν στθερό ρυθµό µετβολής της κτά κεφλήν κτνάλωσης: c 1 = ( r ρ) c θ (9.22) Στην ισορροπί, οι ρυθµοί µετβολής του κτά κεφλήν εισοδήµτος

10 18 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης y k κι του λόγου κεφλίου-εργσίς είνι στθεροί κι ίσοι µε το y k ρυθµό µετβολής της κτνάλωσης. Επίσης, µε βάση την εξίσωση (9.22) οι ρυθµοί υτοί θ είνι θετικοί, εφόσον ισχύει η συνθήκη: ( τ) A ( τl) > ρ r = 1 (9.23) Στο επόµενο τµήµ υτού του κεφλίου θ εξετστεί πώς η κυβέρνηση µπορεί ν κθορίσει µε άριστο τρόπο την πολιτική της γι τις δηµόσιες δπάνες G. Άριστη πολιτική γι τις δηµόσιες δπάνες Το βσικό ερώτηµ γι την οικονοµική πολιτική πό την πρπάνω νάλυση είνι εάν η κυβέρνηση µπορεί ν κθορίσει τις δηµόσιες δπάνες G (ή ισοδύνµ το φορολογικό συντελεστή τ), ώστε ν επιτύχει το µεγλύτερο δυντό ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης. Από τις (9.15) κι (9.22) ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης g y δίνετι σν συνάρτηση του φορολογικού συντελεστή τ: g y y 1 1 = (1 τ) A y θ ( τl) 1 ρ (9.24) Η εξίσωση (9.24) δείχνει ότι η κυβερνητική πρέµβση επηρεάζει το ρυθµό µεγέθυνσης µε δύο τρόπους. Πρώτον, µέσω του όρου (1-τ), ο οποίος εκφράζει την ρνητική επίπτωση της φορολογίς στο ορικό προϊόν του κεφλίου µειώνοντς τ κέρδη των επιχειρήσεων. εύτερον, µέσω του όρου τ (1-)/, ο οποίος εκφράζει τη θετική επίδρση των κυβερνητικών δπνών G µέσω της συνάρτησης πργωγής στο ορικό προϊόν του κεφλίου. Υπάρχουν εποµένως δύο είδη επιδράσεων των δηµοσίων δπνών στο ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης. Γι χµηλές τιµές του συντελεστή τ η θετική επίδρση είνι µεγλύτερη κι υπερισχύει της ρνητικής. Αντίστροφ, γι υψηλές τιµές του συντελεστή τ, το ρνητικό ποτέλεσµ υπερισχύει. Κι στις δύο περιπτώσεις ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης είνι χµηλότερος πό το µέγιστο δυντό. 33 Επιπρόσθετ, σύµφων µε την τελική συνθήκη γι την κτνάλωση πρέπει ν ισχύει ότι [(γ 1)/γ]r+ρ/θ>. Βλ. Barro and Sala-I-Marin (23, Κεφ. 2 κι 5).

11 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 181 Μι γρφική πεικόνιση της σχέσης (9.24) δίνετι στο ιάγρµµ 9.2. Γι φορολογικό συντελεστή τ<τ*, ο ρυθµός νάπτυξης είνι χµηλότερος πό το µέγιστο, γιτί η οικονοµί δεν διθέτει επρκείς πόρους σε δηµόσιες δπάνες σε σχέση µε το ιδιωτικό κεφάλιο. Αντίστοιχ, γι φορολογικό συντελεστή τ>τ*, το ιδιωτικό κεφάλιο υπερφορολογείτι γι ν χρηµτοδοτηθούν οι δηµόσιες δπάνες, µε συνέπει ν µειώνετι το ορικό προϊόν του κι ν µη γίνοντι επρκείς ιδιωτικές επενδύσεις. ιάγρµµ 9.2. Οικονοµική µεγέθυνση κι φορολογί g y g y * τ * τ Ο άριστος φορολογικός συντελεστής τ * είνι υτός ο οποίος µεγιστοποιεί το ρυθµό µεγέθυνσης κι βρίσκετι θέτοντς την πράγωγο της εξίσωσης (9.24) ως προς τ ίση µε το µηδέν. g y τ = τ * = 1 (9.25) Η σχέση (9.25) δηλώνει ότι ο µέγιστος µκροχρόνιος ρυθµός * οικονοµικής µεγέθυνσης g y στο υπόδειγµ µε δηµόσιες δπάνες στη συνάρτηση πργωγής επιτυγχάνετι ότν τ * = (1 ), δηλδή ότν το ποσοστό της δηµόσις δπάνης στο εισόδηµ ισούτι µε την ελστικότητ της δηµόσις δπάνης ως προς το εισόδηµ. Η ερµηνεί της εξίσωσης (9.25) είνι ότι ο άριστος φορολογικός συντελεστής πρέπει ν είνι τέτοιος, ώστε ν εξισώνει το ορικό κόστος κι το ορικό όφελος των δηµοσίων δπνών. Αν οι δηµόσιες δπάνες υξηθούν κτά µι µονάδ, τότε το ορικό κόστος των δπνών είνι ίσο µε µονάδ. Το ορικό όφελος πό την ύξηση των δπνών είνι η ύξηση του προϊόντος που προκλείτι πό υτή την ύξηση των δπνών, το οποίο πό τη συνάρτηση πργωγής είνι:

12 182 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης Y Y = ( 1 ) = 1 (9.26) G G τ Άρ, ότν τ = (1 ) το ορικό όφελος των δηµοσίων δπνών είνι ίσο µε τη µονάδ, όσο δηλδή κι το ορικό κόστος, κι τότε το ύψος των δηµοσίων δπνών είνι σε άριστο επίπεδο. Γι δηµόσιες δπάνες χµηλότερες πό τ * η οικονοµί δεν έχει ρκετά µεγάλο δηµόσιο τοµέ γι ν υποστηρίξει τις δρστηριότητες του ιδιωτικού τοµέ κι ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης µπορεί ν υξηθεί ν το κράτος υξήσει τη φορολογί κι τις δηµόσιες δπάνες. Από την άλλη πλευρά, γι δηµόσιες δπάνες υψηλότερες πό τ * η οικονοµί έχει υπέρµετρ µεγάλο δηµόσιο τοµέ γι το συγκεκριµένο ύψος του ιδιωτικού τοµέ, κι η οικονοµί θ ωφεληθεί πό τη µείωση της φορολογίς κι των δηµοσίων δπνών. Ολοκληρώνοντς την προυσίση θ πρέπει ν τονιστεί ότι πό θεωρητικής άποψης δεν υπάρχει κάποιος λόγος γι τον οποίο η κυβέρνηση οφείλει ν έχει ως συγκεκριµένο στόχο της οικονοµικής πολιτικής τη µεγιστοποίηση του ρυθµού οικονοµικής µεγέθυνσης. Ενλλκτικά, ο στόχος της κυβέρνησης µπορεί ν είνι η µεγιστοποίηση της διχρονικής ευηµερίς των νοικοκυριών µέσω της συνάρτησης χρησιµότητς. Όµως γι τη συνάρτηση πργωγής Cobb-Dougla µπορεί ν δειχθεί ότι η ίδι άριστη πολιτική τ * = (1 ) προκύπτει εάν, ντί γι τη µεγιστοποίηση του ρυθµού µεγέθυνσης, η κυβέρνηση έχει σν στόχο τη µεγιστοποίηση της ευηµερίς του κτνλωτή. 34 Η λύση του κοινωνικού σχεδιστή µε πργωγικές δηµόσιες δπάνες Γι ν εξετστεί κτά πόσο η συµπεριφορά της ντγωνιστικής ισορροπίς είνι άριστη κτά Pareo µπορεί ν επιλυθεί το πρόβληµ του κοινωνικού σχεδιστή σύµφων µε τ δεδοµέν της οικονοµίς. Συγκεκριµέν, η συνάρτηση χρησιµότητς του κτνλωτή δίνετι πάλι πό τη σχέση (9.8) κι ο κοινωνικός σχεδιστής επιλέγει την κτνάλωση κι την συσσώρευση κεφλίου, ώστε ν µεγιστοποιείτι η ευηµερί των νοικοκυριών σύµφων µε την (9.9). Η µεγιστοποίηση γίνετι υπό τον περιορισµό ότι το συνολικό εισόδηµ κτνέµετι σε κτνάλωση, ιδιωτικές επενδύσεις κι δηµόσιες δπάνες. Έτσι, σε κτά κεφλήν όρους ισχύει: 34 Το ποτέλεσµ υτό δεν ισχύει όµως γι άλλες, πιο γενικές µορφές συνρτήσεων χρησιµότητς. Σε υτές τις περιπτώσεις εξρτάτι πό την ελστικότητ υποκτάστσης µετξύ δηµοσίων δπνών κι ιδιωτικού κεφλίου (βλ. Barro, 199).

13 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 183 y = c + k+ τy (9.27) όπου πό την (9.1) η συνολική συνάρτηση πργωγής είνι y = Ak G. Η διφορά µε την ντγωνιστική ισορροπί είνι ότι ο κοινωνικός σχεδιστής συµπεριφέρετι χωρίς ν θεωρεί δεδοµένες τις δηµόσιες δπάνες G, κι εποµένως τις λµβάνει υπόψη του κτά την ριστοποίηση. Η συνάρτηση του Hamilon γι υτό το πρόβληµ είνι: 1 J = u( c) + µ [(1- τ)αk G 1 c] (9.28) υπό τον περιορισµό που δίνετι πό την (9.14) κι όπου µ είνι η σκιώδης τιµή του κεφλίου. Οι συνθήκες πρώτης τάξης δίνοντι, σε νλογί µε τις σχέσεις (9.2) κι (9.21) της ντγωνιστικής ισορροπίς, πό τις σχέσεις: c θ = µ 1 µ µρ = µ [(1 τ) A ( τl) 1 ] (9.29) (9.3) Οι εξισώσεις (9.29) κι (9.3) δίνουν έν στθερό ρυθµό µετβολής της κτά κεφλήν κτνάλωσης, κι του εισοδήµτος : c 1 1 = (1 τ) A c θ ( τl) 1 ρ (9.31) Σύµφων µε τη σχέση (9.31), ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµ µε δηµόσιες δπάνες στη συνάρτηση πργωγής δεν είνι άριστος κτά Pareo στην ντγωνιστική ισορροπί. Πράγµτι, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης πό την (9.31) είνι υψηλότερος πό το ρυθµό µεγέθυνσης της ντγωνιστικής ισορροπίς, που δίνετι στην (9.24), διότι οι επιχειρήσεις λµβάνουν υπόψη τους το ορικό προϊόν του κεφλίου µετά τη φορολόγηση, ενώ ο κοινωνικός σχεδιστής υπολογίζει το ορικό προϊόν του κεφλίου χωρίς τη φορολόγηση. Έν ενδιφέρον σηµείο που πρέπει ν τονιστεί εδώ είνι ότι, όπως φάνηκε κι σε προηγούµεν Κεφάλι, τ πρπάνω δεν συνεπάγοντι ότι η ντγωνιστική ισορροπί οδηγεί οπωσδήποτε σε χµηλότερο ρυθµό µεγέθυνσης. Ο ρόλος του κράτους σε έν τέτοιο πλίσιο είνι κθοριστικός,

14 184 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης κθώς κι στην περίπτωση του κοινωνικού σχεδιστή ο µέγιστος ρυθµός µεγέθυνσης επιτυγχάνετι ότν τ * = (1 ). Εποµένως, η κυβέρνηση µπορεί ν επιλέξει το άριστο ύψος δηµοσίων δπνών σύµφων µε την Πρότση 9.2 κι µετά οι επιχειρήσεις ν µεγιστοποιήσουν τ κέρδη τους, θεωρώντς δεδοµένες τις δηµόσιες δπάνες στην εξίσωση (9.12) µέσω της σχέσης (9.14). Τότε, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης είνι ίδιος µε υτόν που επιτυγχάνει ο κοινωνικός σχεδιστής εξσφλίζοντς έτσι την ριστοποίηση κτά Pareo. Ενλλκτικά υποδείγµτ δηµοσίων δπνών Στη βιβλιογρφί των υποδειγµάτων ενδογενούς µεγέθυνσης µε δηµόσιες δπάνες έχουν προυσιστεί ρκετές τροποποιήσεις ή επεκτάσεις, οι οποίες επιχειρούν ν ποδώσουν κριβέστερ τη φύση ορισµένων κτηγοριών δηµοσίων δπνών. Έτσι, µι ουσιστική επέκτση που µπορεί ν γίνει στο υπόδειγµ φορά την επίδρση των δηµοσίων δπνών µέσω της συνάρτησης χρησιµότητς. Γι πράδειγµ, διάφορες κτηγορίες δηµοσίων δπνών, όπως η κτσκευή πάρκων νψυχής κι η δενδροφύτευση, δεν φορούν τη δηµόσι κτνάλωση, λλά ούτε µπορούν ν εντχθούν στις δηµόσιες επενδύσεις που επηρεάζουν την πργωγική δρστηριότητ του ιδιωτικού τοµέ. Όµως, οι δπάνες υτές βελτιώνουν την ευηµερί των τόµων κι µπορούν ν νλυθούν µέσω της εισγωγής τους στη συνάρτηση χρησιµότητς. Έτσι, γι πράδειγµ η συνάρτηση χρησιµότητς (1.16) µπορεί ν τροποποιηθεί, ώστε ν πάρει τη µορφή: 1 β β 1 θ ( c d ) u( c) = 1 θ (9.32) όπου η µετβλητή d δηλώνει τις δηµόσιες δπάνες που επηρεάζουν τη συνάρτηση χρησιµότητς. Αντίστοιχ, η σχέση (9.11) θ τροποποιηθεί ως εξής, ώστε ν συµπεριλµβάνει τη χρηµτοδότηση κι υτής της κτηγορίς δπνών: G = ( τ + τ Y (9.33) g d ) Με τις υπόλοιπες σχέσεις του υποδείγµτος ν πρµένουν ως έχουν, είνι εύκολο ν δειχθεί ότι ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης δίνετι πό τη σχέση (Barro, 199):

15 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 185 g d y 1 = (1 τ θ g τ d 1 ) A ([ τ g + τ d ] L) 1 ρ (9.34) Ο ρυθµός µεγέθυνσης που δίνετι πό την (9.34) είνι χµηλότερος πό την περίπτωση όπου οι δηµόσιες δπάνες δεν εισέρχοντι στη συνάρτηση χρησιµότητς. Επίσης, µπορεί ντίστοιχ ν δειχθεί ότι το άριστο ύψος πργωγικών δηµοσίων δπνών ως ποσοστό του εισοδήµτος ισούτι µε τ g = (1 ) τ d, κι είνι µικρότερο πό (1 ), το οποίο είνι το ποσοστό στην περίπτωση όπου δεν υπάρχουν οι δηµόσιες δπάνες στην χρησιµότητ. Έν άλλο υπόδειγµ µε δηµόσιες δπάνες φορά την επίδρση των δηµοσίων δπνών στην πργωγή, ότν υπάρχει το φινόµενο του συνωστισµού (congeion). Σε υτή την περίπτωση, το µέγεθος της δπάνης είνι νεπρκές σε σχέση µε τη χρήση που γίνετι πό το ιδιωτικό κεφάλιο. Όπως νφέρθηκε στην εισγωγή του κεφλίου υτού, πολλές κτηγορίες δηµοσίων δπνών φορούν γθά που είνι συνγωνιστικά στη χρήση (rival) κι χωρίς δυντότητ ποκλεισµού (non-excludable). Στ γθά υτά σηµσί έχει το σχετικό ύψος της δπάνης γι το δηµόσιο γθό ως προς το ιδιωτικό κεφάλιο που το χρησιµοποιεί. Έν εύλογο πράδειγµ ποτελεί η επίδρση του οδικού δικτύου στον τοµέ των µετφορών, η οποί είνι σε άµεση συνάρτηση µε τον ριθµό των οχηµάτων που το χρησιµοποιούν: το µέγεθος του οδικού δικτύου πρέπει ν κλύπτει τις νάγκες σε συνάρτηση µε τη χρήση του. Ότν το µέγεθος του δικτύου είνι µεγλύτερο πό τις νάγκες πρµένει νξιοποίητο, ενώ ότν είνι µικρότερο η επιπλέον χρήση του οδηγεί σε ρνητική επίδρση (βλ. Πλίσιο 9.1). Σε µι τέτοι περίπτωση, η συνάρτηση πργωγής της τοµικής επιχείρησης i µπορεί ν τροποποιηθεί κι ν έχει την εξής µορφή: Y i G = AK i (9.35) K Σύµφων µε την (9.35) η πργωγή της επιχείρησης προυσιάζει στθερές ποδόσεις κλίµκς ως προς το ιδιωτικό κεφάλιο Κ ι, εφόσον η κυβέρνηση διτηρεί στθερό το λόγο της δηµόσις δπάνης προς το συνολικό ιδιωτικό κεφάλιο. Αντίθετ, µε στθερές τις δηµόσιες δπάνες η συνολική πργωγή προυσιάζει φθίνουσες ποδόσεις ως προς το συνολικό ιδιωτικό κεφάλιο, γιτί µι ύξηση του προκλεί φινόµεν συνωστισµού στην οικονοµί, φού δεν υξάνετι πράλληλ η δηµόσι δπάνη.

16 186 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης Πλίσιο 9.1. Οδικό δίκτυο, µετφορές κι σηµείο συµφόρησης Το οδικό δίκτυο είνι πό τους βσικότερους άξονες κρτικής πρέµβσης σε µι χώρ, γιτί προσελκύει ιδιωτικές επενδύσεις σε όλ τ σηµεί µις χώρς. Ας σηµειωθεί ότι το όφελος πό την ύπρξη οδικού δικτύου δεν είνι πάντ άµεσ ορτό: τέσσερ επιπλέον λεπτά επιπλέον δικίνησης ηµερησίως νά εργζόµενο δεν ποτελούν σηµντικό χρονικό διάστηµ, λλά προσθέτουν δύο εργάσιµες ηµέρες νά έτος. Η ύξηση του ριθµού των οχηµάτων συντελεί στην νάπτυξη του τοµέ των µετφορών κι, σε συνδυσµό µε έν βελτιωµένο οδικό δίκτυο, επιτρέπει µεγλύτερη, τχύτερη κι σφλέστερη δικίνηση. Από την άλλη πλευρά όµως, υπάρχει έν όριο εξυπηρέτησης οχηµάτων νά χιλιόµετρο οδικού δικτύου, πέρν του οποίου δηµιουργούντι φινόµεν συµφόρησης. Όπως φίνετι στο πρκάτω ιάγρµµ, η ύξηση του ριθµού των οχηµάτων σε σχέση µε το οδικό δίκτυο οδηγεί σε ύξηση των µετφορών µέχρι το σηµείο συµφόρησης. Πέρ πό υτό το σηµείο, η υπέρµετρη ύξηση των οχηµάτων έχει ρνητικές επιπτώσεις στον τοµέ των µετφορών κι ευρύτερ στην οικονοµί. Μετφορές Πηγή: Achauer (199). σηµείο συµφόρησης Οχήµτ νά χλµ. οδικού δικτύου Πέρ πό το σηµείο συµφόρησης πιτείτι περιτέρω ύξηση του οδικού δικτύου, γι ν υξηθεί το προϊόν του τοµέ κι της οικονοµίς. Οι επιπτώσεις υτές κθιστούν νγκί την κρτική πρέµβση, κθώς η κτσκευή οδικού δικτύου συχνά δεν θεωρείτι ρκετά επικερδής γι τον ιδιωτικό τοµέ λόγω του µεγάλου µεγέθους των πιτούµενων επενδύσεων, του µκροχρόνιου ορίζοντ της πόδοσης κι της νάγκης γι γενικότερο συντονισµό. Εποµένως, οι κυβερνήσεις οφείλουν ν µεριµνούν γι την εξσφάλιση του οδικού δικτύου, δισφλίζοντς την νάπτυξη των τοµέων (βιοµηχνικού, γεωργικού κ..) που στηρίζοντι στις µετφορές.

17 Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρί κι Πολιτική 187 Το σηµντικό στοιχείο που προκύπτει πό την (1.35) είνι ότι η ύξηση στην πργωγή µις επιχείρησης εµποδίζει την πργωγή των G υπολοίπων επιχειρήσεων µέσω της µείωσης του λόγου. Εάν λοιπόν K δεν επιβληθεί κάποιος φόρος χρήσης (γι πράδειγµ, διόδι στο οδικό δίκτυο), τότε θ υπάρχει υπερβάλλουσ χρήση του δηµόσιου γθού µε ρνητικές συνέπειες γι την οικονοµί. Έτσι, γι όλες τις περιπτώσεις όπου εµφνίζοντι φινόµεν συνωστισµού στ δηµόσι γθά (όπως στις µετφορές, στ συστήµτ ύδρευσης κλπ.) θεωρείτι πρίτητη η κτβολή ενός τιµήµτος γι τη χρήση τους, ώστε ν εξσφλίζετι η ποδοτικότερη ξιοποίησή τους γι το σύνολο της οικονοµίς. Συµπεράσµτ Στο Κεφάλιο υτό νλύθηκε ο ρόλος του κράτους στην οικονοµική µεγέθυνση µέσω των δηµοσίων δπνών κι της φορολογίς. Η εισγωγή του κρτικού τοµέ στο νεοκλσικό υπόδειγµ Ramey δεν λλάζει τ κύρι συµπεράσµτ του υποδείγµτος, λλά όπως νµενότν οδηγεί πλώς σε ισόποση εκτόπιση του ιδιωτικού τοµέ. Επιπλέον, ο τρόπος χρηµτοδότησης των δηµοσίων δπνών (φορολογί ή δηµόσιο χρέος) δεν πίζει ρόλο στ ποτελέσµτ, γιτί ισχύει η Ρικρδινή Ισοδυνµί. Ο ρόλος του κράτους έχει όµως ποκτήσει ιδιίτερη βρύτητ στη θεωρί της ενδογενούς οικονοµικής µεγέθυνσης, κθώς η ντγωνιστική ισορροπί δεν εκµετλλεύετι πλήρως τις πργωγικές δυντότητες της οικονοµίς στην περίπτωση των εξωτερικών επιδράσεων. Έτσι, στο Κεφάλιο υτό εξετάστηκε επίσης η επίδρση των δηµοσίων δπνών στην οικονοµική µεγέθυνση µέσω της συνάρτησης πργωγής. Τ κυριότερ συµπεράσµτ µπορούν ν συνοψιστούν ως εξής: Το άριστο ύψος δηµόσις δπάνης ισούτι µε την ελστικότητ της στη συνολική συνάρτηση πργωγής. Γι χµηλότερ (υψηλότερ) επίπεδ υπάρχει έλλειψη (πλεόνσµ) δηµόσιου τοµέ στην οικονοµί κι µι ύξηση (µείωση) του θ οδηγήσει σε ύξηση του ρυθµού οικονοµικής µεγέθυνσης. Η ντγωνιστική ισορροπί δεν εξσφλίζει τη µεγιστοποίηση του ρυθµού οικονοµικής µεγέθυνσης, γιτί η τοµική συµπεριφορά δεν ντιλµβάνετι τη θετική εξωτερική επίδρση που έχει ή ύπρξη της δηµόσις δπάνης γι το σύνολο της οικονοµίς. Απιτείτι λοιπόν κρτική πρέµβση, που θ κθορίσει το µέγεθος του δηµόσιου τοµέ

18 188 Π. Κλϊτζιδάκης Σ. Κλυβίτης στο άριστο επίπεδο κι µετά θ φήσει την οικονοµί ν λειτουργήσει µε κθεστώς ντγωνιστικής ισορροπίς. Πολλές σχετικές εµπειρικές µελέτες έχουν επιχειρήσει ν ερευνήσουν τ πρπάνω θεωρητικά ποτελέσµτ, χωρίς όµως ν έχουν κτλήξει σε οριστικά συµπεράσµτ (βλ. Κεφάλιο 13). Οι δυσχέρειες φορούν το µεγάλο εύρος των δηµοσίων δπνών που πιθνόν ν πρέπει ν συµπεριληφθούν στη συνάρτηση πργωγής κι την νοµοιογένει των στοιχείων. Ακόµ, το άριστο επίπεδο είνι πιθνό ν διφέρει µετξύ χωρών, ενώ κάθε χώρ µπορεί ν βρίσκετι σε διφορετικό επίπεδο σε σχέση µε το άριστο. Τ πρπάνω µπορεί ν εξηγούν γιτί οι δηµόσιες δπάνες εµφνίζοντι ν είνι πργωγικές σε ορισµένες οικονοµίες κι ντιπργωγικές σε άλλες οικονοµίες.

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισγωγή Στ επόµεν Κεφάλι η νάλυση θ επικεντρωθεί στην κτηγορί υποδειγµάτων που ποκλούντι υποδείγµτ ενδογενούς οικονοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΕΣ ΔΑΠΑΝΕΣ

ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΕΣ ΔΑΠΑΝΕΣ Κεφάλαιο 1 ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΕΣ ΔΑΠΑΝΕΣ Εισαγωγή Στην αναζήτηση για τους παράγοντες της οικονομικής μεγέθυνσης στα υποδείγματα με εξωτερικές οικονομίες δόθηκε ιδιαίτερο βάρος στις ατέλειες της

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 2 Βασικά ερωτήµατα 12/10/2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος

ιάλεξη 2 Βασικά ερωτήµατα 12/10/2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµ Οικονοµικών Επιστηµών Ακδηµϊκό έτος 2016-17 ιάλεξη 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διβάζουμε κεφ. 4 πό Μ. Χλέτσο κι σημειώσεις στο eclass) Αντωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικές οικονοµίες

Εξωτερικές οικονοµίες Εξωτερικές οικονοµίες Συνθήκες Οι ενέργειες ενός οικονοµικού υποκειµένου Α προκλούν µετβολή της ευηµερίς ενός οικονοµικού υποκειµένου Β (θετικές ή ρνητικές). Ο Β δεν πληρώνει (ν επηρεάζετι θετικά) ή δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Εαρινό Εξάµηνο , 1 Ιουνίου 2000 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΡΟΟ ΟΣ ΣΤΟ ΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ Ερινό Εξάµηνο 1999-2000, 1 Ιουνίου 2000 Α Οδηγίες: Απντήστε όλες τις ερωτήσεις. Ν επιστρέψετε τ θέµτ. 1. (65 µόρι) ίνετι ο κόλουθος πίνκς πιτούµενων

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε ηµόσια Υποδοµή (Barro-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε ηµόσια Υποδοµή (Barro-type externalities) Απουχίες γοράς (marke failures κι οικονοµική πολιική Το υπόδειγµ Άρισης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε ηµόσι Υποδοµή (Barro-ype exernaliies Α. Αποκενρωµένη Οικονοµί Υποθέσε µί κλεισή οικονοµί η οποί πρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Ένα Νεο Κεϋνσιανό Υπόδειγµα µε Περιοδικό Προκαθορισµό των Ονοµαστικών Μισθών

Κεφάλαιο 15 Ένα Νεο Κεϋνσιανό Υπόδειγµα µε Περιοδικό Προκαθορισµό των Ονοµαστικών Μισθών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυνµική Μκροοικονοµική, Αθήν 2016 Κεφάλιο 15 Έν Νεο Κεϋνσινό Υπόδειγµ µε Περιοδικό Προκθορισµό των Ονοµστικών Μισθών Στο κεφάλιο υτό νλύουµε έν ενλλκτικό νέο κεϋνσινό υπόδειγµ µκροοικονοµικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

E2. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι E. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Συνθήκες Μεγιστοποίησης.Έσοδο.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής 3.Κερδοφορί.Προσφορά προιόντος 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Συνθήκες Μεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

f(x)dx = f(c)(b a) f(t)dt = f(c)(x a). c(x) a 1 = x a 2

f(x)dx = f(c)(b a) f(t)dt = f(c)(x a). c(x) a 1 = x a 2 Σελίδ 1 πό 10 Περίληψη Μερικά συµϖεράσµτ ϖάνω στ θεωρήµτ µέσης τιµής του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισµού Μϖάµϖης Στεργίου Σεϖτέµβριος 009 Το ϖρκάτω άρθρο γράφηκε µε φορµή τ όσ νφέροντι στις δύο σηµντικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης.

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυμ Κρήτης Σχολή Διοίκησης κι Οικονομίς Τμήμ Χρημτοοικονομικής κι Ασφλιστικής ΘΕΜΑ: Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπϊκής Ένωσης. Πτυχική Εργσί: Μυρομμάτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 6: Επέκταση των Μαρκοβιανών μοντέλων

Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 6: Επέκταση των Μαρκοβιανών μοντέλων Θεωρί Τηλεπικοινωνικής Κίνησης Ενότητ 6: Επέκτση των Μρκοβινών μοντέλων Μιχήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμ Ηλεκτρολόγων Μηχνικών κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Ππσωτηρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

1 Δύο εισροές-μία εκροή

1 Δύο εισροές-μία εκροή Ε8 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ II 1.Δύο εισροές-μί εκροή.πργωγή τύπου Cobb-Douglas 3.Δύο εκροές-μί εισροή 4.Συμφέρουσες τιμές 5.Διφοροποίηση τιμών 6.Ελστικότητες στην διφοροποίηση τιμών 7.Εξωτερικότητες 8.Εισροές-Εκροές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Αίτημα συνάντησης για το Πράσινο Ταμείο και την ολοκλήρωση του πολεοδομικού σχεδιασμού για τους Δήμους»

ΘΕΜΑ: «Αίτημα συνάντησης για το Πράσινο Ταμείο και την ολοκλήρωση του πολεοδομικού σχεδιασμού για τους Δήμους» ΑΘΗΝΑ 30/01/2017 Αριθμ. Πρωτ.: 341 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΔΗΜΩΝ ΕΛΛΑΔΑΣ κ. Γεώργιο Στθάκη Υπουργό Περιβάλλοντος κι Ενέργεις ΘΕΜΑ: «Αίτημ συνάντησης γι το Πράσινο Τμείο κι την ολοκλήρωση του πολεοδομικού σχεδισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6

Διαβάστε περισσότερα

γ. ποιο πρέπει ν είνι το περιεχόµενο της πρεχόµενης γνώσης (<< >>) γι ν ποκτήσουν ρετή γι ν ζουν κλύτερ. δ. Ποιοι πρέπει ν είνι οι στόχοι της πιδείς :

γ. ποιο πρέπει ν είνι το περιεχόµενο της πρεχόµενης γνώσης (<< >>) γι ν ποκτήσουν ρετή γι ν ζουν κλύτερ. δ. Ποιοι πρέπει ν είνι οι στόχοι της πιδείς : Α) Μετάφρση Έγινε, λοιπόν, φνερό ότι πρέπει ν ορίσουµε νόµους γι την πιδεί κι ότι πρέπει ν την κάνουµε ίδι γι όλους. Ποιος όµως θ είνι ο χρκτήρς υτής της πιδείς κι µε ποιον τρόπο θ πρέπει ν διφύγουν την

Διαβάστε περισσότερα

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1 Αντλίες θερµότητς έρος-νερού υψηλών θερµοκρσιών δυο κυκλωµάτων συµπίεσης (σύστηµ cascade). (Από τον Νικόλο Γ. Τσίτσο. Νυπηγό Μηχνολόγο Ε.Μ.Π. Κθηγητ στην Ακδηµί Εµπορικού Νυτικού Ασπροπύργου) εν νκλύψµε

Διαβάστε περισσότερα