ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Τα υπόγεια τεχνικά έργα έχουν γενικά μεγάλη διάρκεια ζωής. Τέτοια είναι οι ήραγγες, οι άλαμοι, οι αποήκες καυίμων, τα καταφύγια, οι τρατιωτικές εγκατατάεις κλπ. Αντίετα, η διάρκεια ζωής των υπόγειων μεταλλευτικών έργων διαφέρει ανάλογα με τη λειτουργία τους. Οι εκκαφές τα μεταλλεία διακρίνονται βαικά ε διανοίξεις εξυπηρέτηης και ε διανοίξεις παραγωγής. Οι πρώτες περιλαμβάνουν τις προπελάεις του μεταλλείου, τις ήραγγες αποκομιδής του προϊόντος, αεραγωγούς, χώρους ραύης του υλικού και υπόγεια υνεργεία. Κοινό τους χαρακτηριτικό είναι ότι η διάρκεια ζωής τους είναι παρόμοια με αυτή του μεταλλείου. Είναι λοιπόν αναγκαίο ο χεδιαμός τους να τοχεύει, όπως και τα τεχνικά έργα, τη διατήρηή τους με μικρό κότος για μακρύ χρονικό διάτημα. Για τα έργα αυτά, που απαιτείται μεγάλη διάρκεια ζωής, απαιτείται χεδιαμός που α την εξαφαλίζει. Ο Πίνακας έχει το διάγραμμα λογικής ροής που υντάχηκε για το χεδιαμό μονίμων ανοιγμάτων. Εν τούτοις μπορεί να χρηιμοποιηεί και για ανοίγματα προωρινής χρήης. Η μελέτη της εκκαφής ε υμπαγές και ελατικό πέτρωμα είναι από τα απλά προβλήματα που τίενται κατά την εφαρμογή της μηχανικής των πετρωμάτων τα υπόγεια έργα. Το απλούτερο πρόβλημα που τίεται είναι η μεμονωμένη εκκαφή η οποία διανοίγεται εκτός της επιρροής άλλου υπάρχοντος ανοίγματος. Το πέτρωμα εωρείται υμπαγές εφόον ο εκκαπτόμενος όγκος διαπερνιέται από μία ή το πολύ δύο αυνέχειες μεγάλου μήκους. Η αντοχή της μάζας του πετρώματος λαμβάνεται καοριζόμενη από ένα κριτήριο ατοχίας ε λίψη της μορφής "τ < f( n " το οποίο καορίζει και την αντοχή ε μονοαξονική λίψη "q u ". Η αντοχή της μάζας του πετρώματος ε εφελκυμό "T " λαμβάνεται υνήως ίη με μηδέν. Κατά το χεδιαμό της διάνοιξης ενός υπόγειου έργου δύο πράγματα α πρέπει να λαμβάνονται υπόψη. Πρώτον, ότι η ύπαρξη μίας εκτεταμένης ζώνης ατοχίας του πετρώματος την περιφέρεια της εκκαφής είναι υνήης κατά την κατακευή των υπόγειων έργων. Δεύτερον ότι το βαικό πρόβλημα κατά τη διάνοιξη ενός υπόγειου έργου δεν είναι κατ' ανάγκη η αποφυγή της ατοχίας του πετρώματος, αλλά η εξαφάλιη ότι δε α υμβούν μεγάλες και ανεξέλεγκτες μετακινήεις της παρειάς της εκκαφής. Το δεύτερο μπορούμε να το εξαφαλίουμε δίνοντας προοχή το χήμα και τη μέοδο της εκκαφής, και πιανόν με την εφαρμογή μεόδων αντιτήριξης. Το γενικό πρόβλημα της εκκαφής του υπόγειου έργου τίεται με ερωτήματα για τη έη και το χήμα της εκκαφής, και για την ανάπτυξη των φάεων της εκκαφής και της υποτήριξης. Ο χεδιαμός της εκκαφής ενός υπόγειου τεχνικού έργου ακολουεί την πορεία από μία αρχική γενική χωροέτηη που ικανοποιεί τις γενικές απαιτήεις λειτουργίας του έργου, ε μία οριτική διαταιολόγηη που α εξαφαλίζει τη λειτουργικότητα, οικονομικότητα, ευτάεια και περιβαλλοντική αποδοχή του έργου. Αντίτοιχα ο χεδιαμός ενός μεταλλείου ακολουεί την πορεία από μία αρχική μορφή που ικανοποιεί

2 τις απαιτήεις της παραγωγής, όπως είναι οι ελάχιτες διατάεις που απαιτούνται για τον εξοπλιμό της λειτουργίας του μεταλλείου ή για τη μείωη της αντίταης του αέρα, ώτε να επιτυγχάνεται ο επιυμητός αεριμός. Η έη και η διεύυνη του ανοίγματος καορίζονται επίης από τις απαιτήεις της παραγωγής και την ανάγκη ενωμάτωής του τα υπόλοιπα τμήματα του μεταλλείου. Η εκτίμηη της καταλληλότητας εφαρμογής του επιλεγέντος χεδιαμού γίνεται με βάη το διάγραμμα ροής που δίνεται την επόμενη ελίδα. Παρατηρούμε ότι ένα βαικό βήμα την πορεία του χεδιαμού αποτελεί η εκτίμηη της κατανομής των τάεων γύρω από την εκκαφή. Το διάγραμμα ροής περιέχει τη ύγκριη της τάης την παρειά της εκκαφής με την αντοχή του πετρώματος ε μονοαξονική λίψη ή ε εφελκυμό. Εφόον δεν προβλέπεται ατοχία την παρειά της εκκαφής, απομένει η εξέταη του ενδεχομένου ατοχίας ε μία κύρια αυνέχεια. Από τους πιο πάνω ελέγχους μπορεί να προκύψει ανάγκη για τροποποίηη της μελέτης ώτε να ικανοποιούνται τόο οι τοπικές όο και οι γενικές υνήκες ευτάειας την περίμετρο της εκκαφής. Η μελέτη της εκκαφής την περίπτωη που η αντοχή της μάζας του πετρώματος είναι χαμηλή ή οι τάεις του πεδίου είναι υψηλές, προχωρά με βάη το δεξιό κλάδο του διαγράμματος ροής που προβλέπει ότι α γίνει ραύη του πετρώματος την παρειά της εκκαφής. Με διαδοχικές αλλαγές τις μεταβλητές του χεδιαμού επιδιώκουμε τον περιοριμό : α. της έκταης της ατοχίας την παρειά της εκκαφής. β. της ζώνης ατοχίας μέα το πέτρωμα πέριξ της εκκαφής. γ. των προβλημάτων που α δημιουργηούν από την ύπαρξη κύριων αυνεχειών. δ. της αλληλεπίδραης των αυνεχειών με ραύη του πετρώματος. Η τελική φάη της μελέτης είναι ο καοριμός των μέτρων ενίχυης και αντιτήριξης, ώτε να επιτευχεί ο έλεγχος της υμπεριφοράς του ραυμένου πετρώματος. Μερικές φορές οι μέοδοι της ελατικότητας χρηιμοποιούνται για να προβλέψουν την έκταη μη γραμμικών φαινομένων όπως η ολίηη ή ο διαχωριμός τις αυνέχειες ή η ατοχία του πετρώματος. Στην περίπτωη αυτή οι αναλύεις δίνουν εκτιμήεις πρώτης τάξεως μόνο, που όμως είναι υνήως επαρκείς για τα υνήη προβλήματα που προκύπτουν κατά τη μελέτη διάνοιξης των μεταλλείων. Τα πιο κάτω παραδείγματα εξετάζουν απλά χήματα εκκαφής για τα οποία το πεδίο των τάεων μπορεί να περιγραφεί με απλές αλγεβρικές χέεις. Στην πράξη για γενικά χήματα εκκαφής δυνάμεα να χρηιμοποιήουμε αριμητικές μεόδους, τα αποτελέματα των οποίων μπορούμε να χρηιμοποιήουμε με τρόπο παρόμοιο μ' αυτόν που αναπτύουμε παρακάτω.

3 Πίνακας. Διάγραμμα ροής του χεδιαμού Σχεδιαμός μίας εκκαφής που ικανοποιεί τις απαιτήεις του υπόγειου έργου Καοριμός των τάεων τις παρειές του ανοίγματος Συχετιμός της με την q u και την T q u > >-T > q u ή <-T Εξέταη της υμπεριφοράς των πιο Τροποποίηη της μελέτης με ημαντικών αυνεχειών κοπό τον περιοριμό της ατοχίας την παρειά του ανοίγματος Ούτε Ολίηη ή Καοριμός των τάεων ε ολίηη ούτε αποχωριμός εωτερικά ημεία αποχωριμός Αποδοχή της Είτε αποδοχή της μελέτης μελέτης με καοριμό Καοριμός της έκταης του αντιτήριξης είτε χώρου πιανής ατοχίας και τροποποίηη της εκτίμηη της ημαίας της τη μελέτης και λειτουργία του υπόγειου έργου επανάληψη της ανάλυης Ανεκτή ζώνη Μη ατοχίας ανεκτή ζώνη ατοχίας Σχεδιαμός Τροποποίη υτήματος η της αντιτήριξης μελέτης με κοπό τη μείωη της ζώνης ατοχίας 3

4 . ΤΑΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΟΙΓΜΑΤΑ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΠΕΤΡΩΜΑ. Κυκλικό άνοιγμα Η περίπτωη κυκλικού ανοίγματος εντός ελατικού πετρώματος που υφίταται υδροτατικό εντατικό πεδίο και ομοιόμορφη πίεη υποτήριξης την επιφάνεια του ανοίγματος αποτελεί το απλούτερο πρόβλημα ανάλυης υπόγειας εκκαφής. Για την περίπτωη αυτή η αναλυτική λύη λαμβάνεται με τη εώρηη του περιβάλλοντος τη ήραγγα πετρώματος ως κυλίνδρου απείρου πάχους (Σχήμα. Για ένα παχύ κύλινδρο οι τάεις εντός αυτού δίνονται από τις χέεις: ( ( b b b b b b b b i i i i Εξίωη α Η εξωτερική ακτίνα b τείνει το άπειρο, και ως εκ τούτου, κάνοντας χρήη του εωρήματος του L Hsital, η χέη απλοποιείται ε: ] / ( [ / ( ] / ( [ / ( i i Εξίωη β

5 Σχήμα. Κυκλικό άνοιγμα με υδροτατική πίεη εντατικού πεδίου και ομοιόμορφη πίεη αντιτήριξης Στο παραπάνω άνοιγμα ενδιαφέρον έχουν οι ακτινικές μετατοπίεις μετά την εκκαφή λόγω μείωης της υποτήριξης του ανοίγματος από ε i. Οι μετατοπίεις u και δ i, ε βάος και την επιφάνεια του ανοίγματος αντίτοιχα, δίνονται από τις χέεις: G G u i i i, δ Εξίωη γ Η παραπάνω χέεις ιχύουν για Κ. Για οιαδήποτε τιμή του Κ (Σχήμα και για i 0, οι τάεις και μετατοπίεις το πέτρωμα δίνονται από τις εξιώεις του isch (898: ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] sin 3 cs 3 / cs 3 / Εξίωη ν ν sin ( ( cs ( ( ( G u G u Στις παραπάνω χέεις δυνάμεα να επαλληλίουμε τις τάεις ή μετατοπίεις λόγω εωτερικής υποτήριξης i, που δίνονται από τις χέεις β ή γ. Στην περιφέρεια της εκκαφής, και επομένως: ( ( [ ] 0 cs, [ ] [ ] ν ν sin (3 ( cs (3 ( ( G u G u Εξίωη 3 Οι υνιτώες της τάης και μετατόπιης ε ταερή απόταη "" αποκτούν ακραίες (μέγιτες ή ελάχιτες τιμές για γωνίες 0, π/, π, και 3π/. Στα ημεία Α και Β (Σχήμα οι εφαπτομενικές υνιτώες της μετατόπιης μηδενίζονται και οι εφαπτομενικές υνιτώες της τάης και οι ακτινικές της μετατόπιης λαμβάνουν ακραίες τιμές πάνω την παρειά του ανοίγματος, που δίνονται από τις χέεις : 5

6 ( ( ( ( 3, π 3 0, B B A A, ( ( G u G u B A ν ν ν ν Εξίωη Για Κ, Α Β ο, u A /u B /- ο /G. Σχήμα. Κυκλικό άνοιγμα ε μη υδροτατικό εντατικό πεδίο. Ελλειπτικό άνοιγμα Για ελλειπτικό άνοιγμα, οι εφαπτομενικές τάεις τα ημεία Α (πλευρά και Β (οροφή του ανοίγματος δίνονται από τις χέεις: ( B B A A H q W q ρ ρ Εξίωη 5 B A B A H q W q H W W H H W q ρ ρ ρ ρ,,, W: πλάτος ανοίγματος H: ύψος ανοίγματος ρ Α : Ακτίνα καμπυλότητας το ημείο Α ρ Β : Ακτίνα καμπυλότητας το ημείο Β Παρατηρούμε ότι οι εφαπτομενικές τάεις αυξάνουν με τη μείωη της ακτίνας καμπυλότητας τα ημεία "A" και "B". Επίης, για q>k > Α > Β, q<> Α < Β 6

7 Σχήμα 3. Ελλειπτικό άνοιγμα Εξάκηη. Το Σχήμα της άκηης (Bady and Bwn, 985 δείχνει μία οριζόντια τομή το μέον ενός κατακόρυφου φακοειδούς μεταλλεύματος. Το μετάλλευμα ορύεται με μακριές κατακόρυφες διατρήεις που γομώνονται με εκρηκτικά και εκτονώνονται με τέτοιο τρόπο ώτε η εκκαφή να έχει χήμα ελλειπτικό. Οι κύριες τάεις του πεδίου το οριζόντιο επίπεδο είναι 5MPa και 0MPa. για λόγο "L/B.8" καορίτε το μέγεος και τη έη της μέγιτης και ελάχιτης τάης το όριο της εκκαφής. Αν η εφελκυτική αντοχή του πετρώματος είναι "0" και η αντοχή ε λίψη καορίζεται από ένα κριτήριο Mh-Culmb με c30 MPa και φ30 ο, εκτιμείτε τον κίνδυνο ατοχίας της παρειάς του ανοίγματος. Εκτιμείτε τις υνέπειες του αποτελέματος την εξόρυξη. (Η άκηη απαιτεί γνώη των χέεων που δίνουν τις τάεις γύρω από ελλειπτικό άνοιγμα για κύριες τάεις φυικού πεδίου που δεν υμπίπτουν με τους άξονες της έλλειψης. (Οι μέγιτες και ελάχιτες τάεις το όριο είναι.9 MPa, και.mpa. Και οι δύο βρίκονται κοντά τα άκρα της έλλειψης. 7

8 Σχήμα. Φακοειδές μετάλλευμα. 3. ΖΩΝΗ ΕΠΙΡΡΟΗΣ ΜΙΑΣ ΕΚΣΚΑΦΗΣ 3. Ζώνη επιρροής κυκλικού ανοίγματος Την έννοια της ζώνης επιρροής αντιλαμβανόματε το Σχήμα 5. Παρατηρούμε τη υγκεκριμένη περίπτωη του κυκλικού ανοίγματος μέα ε πέτρωμα με υδροτατικό απώτερο πεδίο τάεων, ότι ε απόταη "5" από το κέντρο του κυκλικού ανοίγματος η εφαπτομενική τάη " " και η ακτινική τάη " " διαφέρουν από τις τάεις του απώτερου πεδίου κατά % μόνο. Μία νέα διάνοιξη ΙΙ (Σχήμα 5, Bady and Bwn, 985 επομένως ε απόταη μεγαλύτερη από "5" μπορεί να εωρηεί ότι διανοίγεται αν μεμονωμένη εκκαφή. Η τιμή 5% μπορεί να ληφεί α υμβατικό όριο πέραν του οποίου α πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η μεταβολή της τάης του πεδίου. Με βάη αυτό το όριο μπορεί να υπολογιεί ο γεωμετρικός τόπος της ζώνης επιρροής μιας εκκαφής. Έτι π.χ. δύο ίδιες κυκλικές εκκαφές που διανοίγονται μέα ε υδροτατικό πεδίο τάεων και τα κέντρα τους βρίκονται ε απόταη μεγαλύτερη από "6" μπορούν να εωρηούν μεμονωμένες εκκαφές. 8

9 Σχήμα 5. Ζώνη επιρροής κυκλικού ανοίγματος Στο Σχήμα 6 (Bady and Bwn, 985 παρατηρούμε ότι η μεγάλης διαμέτρου κυκλική εκκαφή Ι επηρεάζει τη μικρής διαμέτρου εκκαφή ΙΙ, όμως το αντίετο δεν ιχύει. Τούτο ημαίνει ότι εφόον γίνει πρώτα η διάνοιξη του ανοίγματος Ι τότε για τον υπολογιμό της υμπεριφοράς της διάνοιξης ΙΙ α πρέπει να ληφεί υπόψη η ύπαρξη της διάνοιξης Ι. Αντίετα, εφόον έχει προηγηεί η διάνοιξη του ανοίγματος ΙΙ αυτό δε α πρέπει να ληφεί υπόψη κατά τον χεδιαμό της διάνοιξης Ι. Και τις δύο περιπτώεις η διάνοιξη ΙΙ α επηρεαεί πριν ή μετά την εκκαφή από τη διάνοιξη Ι. Σχήμα 6. Ζώνη επιρροής μικρής και μεγάλης ήραγγας 9

10 Εξάκηη. Για την κατακευή ενός επιπέδου μεταφοράς ε ένα μεταλλείο εξορύεται ένα οριζόντιο άνοιγμα πεταλοειδούς διατομής πλάτους m και ύψους m, το οποίο πορεύεται παράλληλα ' ένα υπάρχον παρόμοιο άνοιγμα το ίδιο επίπεδο. Οι κύριες τάεις του πεδίου είναι "(κατακόρυφα και "0.5" (οριζόντια. Αν μπορούμε να αγνοήουμε οποιαδήποτε χαλάρωη λόγω των εκρήξεων, τότε προτείνετε μία ελάχιτη απόταη μεταξύ των κεντροβαρικών αξόνων των δύο ανοιγμάτων, έτι ώτε κατά τη διάρκεια εκκαφής του δευτέρου ανοίγματος να μη δημιουργηεί κανένα πρόβλημα υποτήριξης ή τοπικής ατάειας το πρώτο άνοιγμα. (D 0m 3. Αλληλεπιδρώντα κυκλικά ανοίγματα Στο Σχήμα 7 (ing et al., 97 φαίνεται η αλληλεπίδραη μεταξύ δύο όμοιων κυκλικών ηράγγων που διανοίγονται μέα ε υμπαγές ελατικό πέτρωμα. Δεξιά το χήμα φαίνονται τα διαγράμματα κατακόρυφης τάης τις παρειές τα ημεία Α και Γ. Στο χήμα (α η τιμή του Κ ο ιούται με 0. Παρατηρούμε ότι η τάη Α για μεγάλη απόταη μεταξύ των δύο ηράγγων τείνει την τιμή της τάης της παρειάς μεμονωμένης ήραγγας που ιούται με 3 ο. Στο χήμα (β η τιμή του Κ ο ιούται με. Παρατηρούμε ότι η τάη Α για μεγάλη απόταη μεταξύ των δύο ηράγγων τείνει την τιμή της παρειάς μεμονωμένης ήραγγας που ιούται με ο. 0

11 Σχήμα 7. Αλληλεπίδραη μεταξύ δύο όμοιων κυκλικών ηράγγων που διανοίγονται μέα ε υμπαγές ελατικό πέτρωμα. Διαγράμματα κατακόρυφης τάης, για Κ ο 0 και. Εξάκηη 3. Το Σχήμα 8 της άκηης (Bady and Bwn, 985 δείχνει τις έεις δύο κατακόρυφων και παράλληλων φρεάτων με διάμετρο m έκατο. Το πεδίο των τάεων πριν από την εκκαφή είναι υδροτατικό και ίο με 0 MPa. Εκτιμήτε προεγγιτικές τιμές της τάης γύρω από κάε άνοιγμα, και υπολογίτε τις κύριες τάεις το ημείο "Α" και τις διευύνεις τους. (Οι τάεις το όριο είναι περίπου αυτές για μεμονωμένο άνοιγμα. Στο Α,.3MPa, 0MPa, και α - 5. ο το επίπεδο του προβλήματος.

12 Σχήμα 8. Κατακόρυφα παράλληλα φρέατα 3.3 Ζώνη επιρροής ελλειπτικού ανοίγματος Στο Σχήμα 9α (Bady and Bwn, 985 παρατηρούμε ένα μεταλλείο ιδηρομεταλλεύματος με ανοίγματα προπέλαης κάτω από το τοίχωμά του. Η ζώνη επιρροής μπορεί να υπολογιεί ε κάε φάη εκκαφής με εώρηη του χήματος της περιοχής εκμετάλλευης αν ελλειπτικού. Ας υποέουμε ότι η περιοχή εκμετάλλευης είναι έξω από την ζώνη επιρροής των τοών προπέλαης. Τότε οι τάεις τις παρειές των τοών αυτών υπολογίζονται με τάεις πεδίου αυτές που υφίτανται λόγω της εκκαφής της εκμετάλλευης της οποίας το χήμα προομοιώνεται με έλλειψη. Σχήμα 9. Μικρά και μεγάλα ανοίγματα ε μεταλλείο

13 Στο Σχήμα 9β δίνεται η εγκάρια τομή μίας υπόγειας διάνοιξης ελλειπτικού χήματος με κύριες τάεις πεδίου "" και "". Τη ζώνη επιρροής του ελλειπτικού ανοίγματος ορίζουμε όπως και προηγουμένως αν το γεωμετρικό τόπο των ημείων τα οποία οι κύριες τάεις διαφέρουν από τις κύριες τάεις του απώτερου πεδίου περιότερο από 5%. Ο γεωμετρικός τόπος της ζώνης επιρροής του ελλειπτικού ανοίγματος είναι μία έλλειψη με άξονες "W I " και "H I ". Ο υπολογιμός του μήκους αυτών των αξόνων δίνεται από τον Bay (977: W I max{h [0α q(q-(3q ], H [α[(0(q²q²]} Εξίωη 6 H I max {H [0α (q-q(3q ], H [α(0(q²]} Εξίωη 7 0. < < 5 και 0. < q < 5 α min {, /Κ}. ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΩΝ ΖΩΝΩΝ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Διάκριη α πρέπει να γίνεται μεταξύ ατοχίας της κατακευής και ατοχίας της βραχομάζας. Η πρώτη που είναι υνυφαμένη με εκτεταμένη ατοχία της βραχομάζας, υνεπάγεται τη μη περαιτέρω λειτουργία του έργου. Αντίετα, τοπικές ατοχίες της βραχομάζας είναι δυνατόν να μην προξενούν προβλήματα την εξόρυξη. Μία απλή μέοδος εκτίμηης της έκταης της ατοχίας δίνει τη δυνατότητα : α. πρόγνωης της υμπεριφοράς του πετρώματος, β. τροποποίηης του χεδιαμού, γ. εκτίμηης των απαιτουμένων μέτρων υποτήριξης. 3

14 Σχήμα 0. Ζώνες ατοχίας την περιφέρεια κυκλικού ανοίγματος Για την οριοέτηη των ζωνών ατοχίας μπορούμε να χρηιμοποιήουμε αν παράδειγμα το άνοιγμα που φαίνεται το Σχήμα 0. Στη γενική αλλά και απλούτερη περίπτωη της εώρηης των μηχανικών ιδιοτήτων της βραχομάζας μπορούμε να εωρήουμε ότι η εφελκυτική της αντοχή "T " είναι "0" και ότι η μονοαξονική λιπτική της αντοχή "q u " είναι "C ". Η εφαπτομενική τάη την παρειά του ανοίγματος δίνεται από τη χέη: [(-cs ] Εξάκηη. Εφόον ληφεί "C 6MPa", τότε η ζώνη ατοχίας της βραχομάζας ε λίψη ορίζεται από την ανίωη : 7.5[.3.cs ] > 6-6 ο < < 6 ο ή 5 ο < < 06 ο Η ζώνη ατοχίας της βραχομάζας ε εφελκυμό ορίζεται από την ανίωη : 7.5[.3.cs ] < 0 79 ο < < 0 ο ή 59 ο < < 8 ο

15 Οι ζώνες ατοχίας της βραχομάζας ε εφελκυμό ή λίψη φαίνονται το Σχήμα 0 (Bady and Bwn, 985. Η έκταη της ζώνης ατοχίας ε χέη με την περίμετρο δείχνει ότι το άνοιγμα δεν ανταποκρίνεται τον κοπό λειτουργίας του. Μία αύξηη του ύψους του ανοίγματος α ελάττωνε τη λιπτική τάη και α αναιρούε τον εφελκυμό. Γενικά, για τυχόντα χήματα ανοιγμάτων α πρέπει να υχετίζονται οι υπολογιζόμενες τάεις την παρειά του ανοίγματος με τη μονοαξονική αντοχή της βραχομάζας ε λίψη. Την έκταη της ατοχίας το εωτερικό της βραχομάζας μπορούμε να ελέγξουμε και με τη βοήεια έτοιμων διαγραμμάτων των ιοβαρών των κυρίων τάεων για διάφορα χήματα (Eissa, 980; Hek and Bwn, 980. Σ' αυτά, δίνονται το αριτερό τμήμα οι τροχιές των κυρίων τάεων και το δεξί οι ιοβαρείς καμπύλες αυτών. Τη ζώνη ατοχίας οριοετούμε ως εξής : Για διάφορες τιμές του " 3 " υπολογίζουμε την οριακή τάη " f " από το κριτήριο ατοχίας. Με βάη τις ιοβαρείς καμπύλες χεδιάζουμε ημείο προς ημείο την οριογραμμή της ζώνης ατοχίας της βραχομάζας. Εφόον υπάρχει την διάεή μας πρόγραμμα κατάλληλο για τον υπολογιμό των τάεων, τότε ο έλεγχος της ατοχίας γίνεται απευείας ε κάναβο με μεγάλο αριμό ημείων. Βέβαια η ελατική αυτή μέοδος δεν είναι ακριβής καόον με τη δημιουργία των ζωνών ατοχίας γίνεται μεταβίβαη των τάεων ε άλλες περιοχές. Το πρόβλημα τότε δεν είναι πια γραμμικό και ελατικό και η ακριβής εώρηη του προβλήματος απαιτεί τη χρήη μεόδων ανώτερης τάξης. Για τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται τα υπόγεια έργα, η γραμμική - ελατική επίλυη που αναπτύχηκε είναι υνήως επαρκώς ακριβής. Εξάκηη 5. Το Σχήμα της άκηης (Bady and Bwn, 985 δίνει την εγκάρια τομή ενός διαμήκους ανοίγματος. Το μέγεος των υνιτωών της τάης του πεδίου το επίπεδο της διατομής είναι xx 3.75 MPa, yy 9.5 MPa, xy.76 MPa. α. Υπολογίτε τη μέγιτη και την ελάχιτη εφαπτομενική τάη την περίμετρο της εκκαφής, καώς και τα χετικά ημεία δράης αυτής. β. Αν η μονοαξονική αντοχή του πετρώματος ε λίψη είναι ίη με 0 MPa, τότε εκτιμήτε την έκταη της ατοχίας την περιφέρεια με μέτρο την πολική γωνία. γ. Σχολιάτε τη ημαία του αποτελέματος τη λειτουργία του ανοίγματος. Σχήμα. Εγκάρια τομή διαμήκους ανοίγματος (α. Μέγιτη τάη το όριο 55MPa, 30 ο κάτω από τον άξονα των x το δεξιό τοίχωμα και 30 ο πάνω από την οριζόντια το αριτερό τοίχωμα. Ελάχιτη τάη το όριο MPa, τη διάμετρο την κάετη ε αυτή που ορίζει τη μέγιτη τάη. β. Εύρος γωνίας που ορίζει την ατοχία του ορίου είναι ±35.5 ο περί τη έη της μέγιτης τάης. 5

16 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 6. Αξιυμμετρικό άνοιγμα Οι περιότερες ήραγγες που διανοίγονται ε μαλακά πετρώματα έχουν κυκλικό χήμα λόγω χρήης της απίδας που είναι κυκλικού χήματος. Στο Σχήμα (Whittake and Fith, 990 φαίνονται οι κύριες τάεις ε ήραγγα κυκλικής διατομής για Κ ο. Στο φαίνεται το φυικό ομοίωμα της ίδιας ήραγγας μετά από ύγκλιη 0%. Παρατηρούμε ότι το χήμα αυτό υμπεριφέρεται ιδανικά κάτω από το υγκεκριμένο πεδίο των τάεων. Σχήμα Κύριες τάεις γύρω από κυκλικό άνοιγμα μέα ε υδροτατικό εντατικό πεδίο Παρόμοια υμπεριφορά έχει ήραγγα τετραγωνικής ή πεταλοειδούς διατομής για Κ ο. Διαφοροποίηη παρατηρείται τις γωνίες μόνο, όπου έχουμε δυμενέτερη υμπεριφορά από αυτή του αντίτοιχου κυκλικού ανοίγματος. 6

17 Σχήμα 3. Φυικό ομοίωμα κυκλικού ανοίγματος μέα ε υδροτατικό εντατικό πεδίο μετά από 0% κατακόρυφη ύγκλιη 6. Μη αξιυμμετρικό άνοιγμα ή/και φόρτιη Στο Σχήμα (Whittake and Fith, 990 φαίνονται οι κύριες τάεις ήραγγας ορογωνικής διατομής για qw/h0.5 και Κ ο. Παρατηρούμε τη δυμενή κατανομή των τάεων. Στο Σχήμα 5 φαίνεται το φυικό ομοίωμα της ίδιας ήραγγας, μετά από 0% κατακόρυφη ύγκλιη. Παρατηρούμε το φυικό ομοίωμα την εκτεταμένη ραύη και αποδιοργάνωη του περιβάλλοντος πετρώματος. 7

18 Σχήμα. Κύριες τάεις ήραγγας ορογωνικής διατομής. qw/h/, Σχήμα 5. Φυικό ομοίωμα ήραγγας ορογωνικής διατομής. qw/h/, 8

19 6.3 Συμπεραίνουμε α. Η γνώη του ταικού πεδίου του χώρου της διάνοιξης αποτελεί βαικό παράγοντα για το χεδιαμό της υποτήριξης. β. Ο χαρακτήρας του ταικού πεδίου επηρεάζει τον τύπο των μετακινήεων των διαφόρων διατομών. γ. Μη υδροτατικά πεδία τάεων έχουν αν αποτέλεμα εντονότερες ραύεις απ' ότι τα υδροτατικά. δ. Να δίνεται προοχή όταν οι κατανομές των τάεων καταλήγουν ε δημιουργία ζωνών χαλάρωης. Τούτο διότι η χαλάρωη οδηγεί ε αποκολλήεις φηνών ή πλακών. ε. Η επιλογή του κατάλληλου χήματος της εκκαφής μπορεί να βελτιώει ημαντικά την ευτάεια της ήραγγας. ς. Η κατακευή μίας τοάς ανακούφιης των τάεων δίνει τη δυνατότητα κατακευής μία κατοπινής ήραγγας με αυξημένη ευτάεια. 6. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η αντιτήριξη προφέρει ένα φορτίο την επιφάνεια της εκκαφής. Ας υποέουμε ότι η βραχομάζα υμπεριφέρεται ελατικά και ότι το φορτίο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα την παρειά της εκκαφής. Το ελλειπτικό άνοιγμα το Σχήμα 6α (Bady and Bwn, 985 έχει λόγο πλάτους προς ύψος "" και βρίκεται μέα ' ένα απώτερο ταικό πεδίο 0MPa και 8MPa. 9

20 Σχήμα 6. Επίδραη της υποτήριξης ελλειπτικού ανοίγματος την ελατική κατανομή των τάεων Με βάη τις εξιώεις των τάεων της έλλειψης υπολογίζουμε τις τάεις τα ημεία "A" και "B". A 7MPa, B -8.0MPa B Εξίωη 8 Εφόον τοποετηεί υποτήριξη ικανή να προφέρει κατακόρυφο ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο MPa την παρειά της εκκαφής, τότε οι τάεις την παρειά της εκκαφής μπορούν να υπολογιούν με επαλληλία των φορτίεων, όπως φαίνεται το Σχήμα 6β. Α Α Α3 9( - 8/9 8 6MPa Β Β Β3 09[8/9-8/(9] -7.0MPa Εξίωη 9 Παρατηρούμε την πολύ μικρή επίδραη της αντιτήριξης την μείωη των ελατικών τάεων του πετρώματος. 0

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Εργατήριο Τεχνολογίας ιάνοιξης Σηράγγων, ΕΜΠ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Α.Ι. Σοφιανός Τάεις γύρω από υπόγεια ανοίγματα ε ελατικό πέτρωμα - Κυκλικό άνοιγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: «ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΗΡΑΓΓΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ» ΑΝ ΡΕΑΣ Β. ΦΡΑΓΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 2009 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 12 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαιο 1 ΦΥΣΙΚΟ ΕΝΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ο προδιοριμός του φυικού εντατικού πεδίου έχει α κοπό να δώει αφενός μεν τη βαική γνώη για το πεδίο των τάεων, αφετέρου δε τη υγκεκριμένη γνώη των υνοριακών υνθηκών που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια.

Μια ακόμη πιο δύσκολη συνέχεια. Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ Χρήτος Α. Παπαδόπουλος ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙI ΜΕΤΩΠΙΚΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΟΙ ΤΡΟΧΟΙ Πάτρα 005 Μετωπικοί οδοντωτοί τροχοί Σελίδα - -. Ακήεις μετωπικών οδοντωτών τροχών... ΑΣΚΗΣΗ (Αντοχή ε κάμψη και

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13

Πίνακας Περιεχομένων. Πίνακας Περιεχομένων 1. Πίνακας Σχημάτων 5. Πίνακας Πινάκων 11. Πίνακας Συμβολισμών Συντομογραφιών 13 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Σχημάτων 5 Πίνακας Πινάκων Πίνακας Συμβολιμών Συντομογραφιών Ειαγωγή Γενικότητες 5. Έννοιες από την μηχανική του υνεχούς μέου... 7.. Η χέη τάεων παραμορφώεων

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων) Γ. Ε. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές ε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και ηράγγων) Χανιά 006 Eιαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές υπόγειας εκμετάλλευσης

Αρχές υπόγειας εκμετάλλευσης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών Αρχές υπόγειας εκμετάλλευσης Ανδρέας Μπενάρδος Δρ. Μηχανικός Μεταλλείων Μεταλλουργός Ε.Μ.Π. Θεμελιώδεις αρχές σχεδιασμού Ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΩΝ ΣΕ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΜΑΝΔΥΕΣ Η ΕΛΑΣΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ.

ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΩΝ ΣΕ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΜΑΝΔΥΕΣ Η ΕΛΑΣΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΚΩΝ ΣΕ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΜΑΝΔΥΕΣ Η ΕΛΑΣΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. Σύμφωνα με τον Κανονιμό Επεμβάεων, ο νέος οπλιμός υπολοίζεται έτι ώτε ε υνεραία με τον υφιτάμενο παλαιό οπλιμό να αναλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t

σ (t) = (sin t + t cos t) 2 + (cos t t sin t) = t )) 5 = log 1 + r (t) = 2 + e 2t + e 2t = e t + e t ΛΥΣΕΙΣ. Οι ακήεις από το βιβλίο των Mrsden - Tromb.. 3.)e) Είναι t) sin t + t os t, os t t sin t, 3) οπότε t) sin t + t os t) + os t t sin t) + 3 t + 4 και το μήκος είναι ίο με t t) dt t + 4 dt t + 4 +

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα α υπολογισμοί κύριων τάσεων

Παράρτημα α υπολογισμοί κύριων τάσεων Παράρημα α υπολογιμοί κύριων άεων Οι κύριες άεις μπορούν να υπολογιούν εύκολα αφού υπολογιούν πρώα, οι αναλλοίωες ου αποκλίνονος ανυή άεων:, καώς και η πρώη αναλλοίωη ου ανυή άεων Ι. Υπολογίζεαι αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΑΡΤΙΟΣ-ΑΠΡΙΛΙΟΣ 004 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΟΜΑΖΑΣ, ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΗΣ ΩΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έµφαη τα υπόγεια έργα Σ. ΚΟΖΑΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα