ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ

Transcript

1 ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ

2 Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest Common Divisor GCD)

3 Έστω a=27 και b=9 Οι διαιρέτες του 27 είναι: 1,3,9,27 Οι διαιρέτες του 9 είναι: 1,3,9 Ο μεγαλύτερος διαιρέτης κοινός και στις 2 λίστες είναι ο 9 Επομένως, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD) των αριθμών 27 και 9 είναι ο 9

4 Ένας συστηματικός τρόπος για να υπολογίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών είναι να αναλύσουμε τους δύο αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να πολλαπλασιάσουμε τους κοινούς τους παράγοντες ώστε να πάρουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη τους Έστω a=1035 και b= =3 2 *5*23 759=3*11*23 Μέγιστος κοινός διαιρέτης των 1035 και 759 είναι ο 3*23=69

5 Ένας συστηματικός τρόπος για να υπολογίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών είναι να αναλύσουμε τους δύο αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να πολλαπλασιάσουμε τους κοινούς τους παράγοντες ώστε να πάρουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη τους Έστω a=1035 και b= =3 2 *5*23 759=3*11*23 Μέγιστος κοινός διαιρέτης των 1035 και 759 είναι ο 3*23=69 ΔΕΝ γνωρίζουμε τρόπο για να το κάνουμε αποδοτικά!!!!!!

6 Αποδοτικότερος τρόπος;;;;;;;; ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Ανακαλύφθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό περισσότερο από 2000 χρόνια πριν

7 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ a mod b σημαίνει: το υπόλοιπο που αφήνει η διαίρεση του a με το b Π.χ., 5 mod 3=2, 6 mod 3=0 κ.ο.κ.

8 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Παραδείγματα εκτέλεσης του αλγορίθμου: GCD(18,9)=GCD(9,0) GCD(18,9)=9 GCD(37,11)=GCD(11,4) GCD(4,3)=GCD(3,1)=GCD(1,0) GCD(37,11)=1

9 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Αριθμοί όπως οι 37 και 11, που έχουν ΜΚΔ το 1 λέγονται σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Παραδείγματα εκτέλεσης του αλγορίθμου: GCD(18,9)=GCD(9,0) GCD(18,9)=9 GCD(37,11)=GCD(11,4) GCD(4,3)=GCD(3,1)=GCD(1,0) GCD(37,11)=1

10 Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ GCD(18,9)=GCD(9,0) GCD(18,9)=9 GCD(37,11)=GCD(11,4) GCD(4,3)=GCD(3,1)=GCD(1,0) GCD(37,11)=1 *

11 Αλγόριθμος Ευκλείδη: ορθότητα Ο αλγόριθμος υλοποιεί ακριβώς τον παρακάτω κανόνα: Αν x και y θετικοί ακέραιοι με x y, τότε gcd(x,y) = gcd(x mod y,y) Γιατί ισχύει αυτό; Αρκεί να δείξουμε ότι gcd(x, y)=gcd(x-y, y) από όπου προκύπτει και ο παραπάνω κανόνας αφαιρώντας συνεχώς τον y από τον x Αν ένας αριθμός διαιρεί τους x και y τότε διαιρεί και τον x-y Κάθε ακέραιος a που διαιρεί και τον x(=ka) και τον y(=ma) διαιρεί επίσης και τον x-y(=ka-ma=(k-m)a), επομένως gcd(x,y)=gcd(x-y,y). Αντίστροφα, αν ένας αριθμός διαιρεί τους x-y και y τότε διαιρεί και τον x Όμοια, κάθε ακέραιος a που διαιρεί και τον x-y(=ka) και τον y(=ma) διαιρεί επίσης και τον x(=(m+k)a) και τον y(=ma). Επομένως gcd(x,y)=gcd(x-y,y)

12 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Για να υπολογίσουμε το χρόνο εκτέλεσης του αλγορίθμου, πρέπει να δούμε πόσο γρήγορα μειώνονται οι αριθμοί (a,b) σε κάθε αναδρομική κλήση Σε κάθε γύρο, οι αριθμοί (a,b) γίνονται (b,a mod b): η σειρά τους αλλάζει, και ο μεγαλύτερος από αυτούς, δηλ. ο a, μειώνεται σε a mod b Αυτή είναι μια σημαντική μείωση

13 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Πόσο μικρότεροι γίνονται οι αριθμοί σε κάθε γύρο; Αν a b τότε a mod b<a/2 Απόδειξη Ισχύει είτε b a/2 είτε b>a/2 b a a b

14 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Πόσο μικρότεροι γίνονται οι αριθμοί σε κάθε γύρο; Αν a b τότε a mod b<a/2 Απόδειξη Ισχύει είτε b a/2 είτε b>a/2 b a Αν b a/2 τότε a mod b < b a/2

15 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Πόσο μικρότεροι γίνονται οι αριθμοί σε κάθε γύρο; Αν a b τότε a mod b<a/2 Απόδειξη Ισχύει είτε b a/2 είτε b>a/2 b a Αν b>a/2 τότε a mod b=α-b<a/2

16 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Αυτό σημαίνει ότι μετά από δύο διαδοχικούς γύρους, και οι δύο αριθμοί, a και b, είναι τουλάχιστον μισοί σε τιμή δηλ., το μήκος του καθενός μειώνεται τουλάχιστον κατά 1 bit Αν αρχικά είναι n-bit ακέραιοι, τότε η βασική περίπτωση επιτυγχάνεται μετά από 2n αναδρομικές κλήσεις Και επειδή κάθε κλήση απαιτεί μία διαίρεση που απαιτεί τετραγωνικό χρόνο, ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης είναι O(n 3 )

17 Αλγόριθμος Ευκλείδη: χρόνος εκτέλεσης Αρχικά: gcd(a,b) Βήμα 1: gcd(b,a mod b) Βήμα 2: gcd(a mod b, b mod (a mod b)) Έστω ότι οι αριθμοί a και b έχουν αρχικά n bits ο καθένας Σε 2 βήματα, ο πρώτος αριθμός (το ίδιο ισχύει και για το δεύτερο) έχει μειωθεί στο μισό Μείωση στο μισό = έχει 1 bit λιγότερο Για να τερματίσει ο αλγόριθμος πρέπει ο δεύτερος αριθμός να γίνει 0 να χάσει n bits «κόβω» 1 bit σε 2 βήματα «κόβω» n bits σε πόσα βήματα; Σε 2*n βήματα, δηλ. σε πλήθος βημάτων της τάξης του n (ή O(n) βήματα) Μετά από 2 διαδοχικά βήματα μειώνω τον a σε a mod b, κάνοντας μία διαίρεση που κοστίζει της τάξης του n 2 βήματα (ή Ο(n 2 ) βήματα) Οπότε, συνολικά απαιτούνται: O(n) * Ο(n 2 ) = Ο(n 3 ) βήματα