1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)"

Transcript

1 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i dejstvuju u njenim čvorovima. Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=n-3. Ukoliko je s>n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke a ako je s<n-3 radi se o mehanizmu Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom nepokretnim zglobom užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije sastavni deo ravanske rešetke već njena spoljašnja veza. Proračun rešetke se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u štapovima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s pravcima lakih štapova te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak. 1.1 lgoritam rešavanja zadataka Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka: 1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore oslonaca).. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza. Naime kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostvarena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku jednaki nuli: Fg Mg = 0. (1.1) Prvi vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na dve skalarne jednačine a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sledeći sistem jednačina ravnoteže 1 : n i=11 i 1 n (1.) 1 U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu indeksa i=1... n sume projekcija svih sila ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će i u momentnim jednačinama pri rešavanju primera biti izostavljan. Na taj način oznaka M će podrazumevati k n F M j + M i (sumu spegova i momenata sila za izabranu tačku) za naznačen pozitivan smer momenta. j= 1 i= 1

2 8 RVNSKE REŠETKE koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula. Osim jednačina ravnoteže (1.) mogu se pisati i alternativni oblici jednačina ravnoteže ([1] str. ). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednačine za tačke i C: (1.3) pri čemu su i C nekolinearne tačke. 3. Nakon određivanja otpora oslonaca vrši se izračunavanje sila u štapovima što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka Riterov metod). Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova polazi se od čvora u kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima kao unutrašnje sile pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga sile reakcije veze istog lakog štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni: n 1. F. F = 0. (1.) i= 1 i= 1 n određuju se sile u štapovima. Sukcesivno prelazi se sa čvora na čvor imajući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj štap pritisnut dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut. Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile tako da broj presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj način podeljena na dva dela a svaki od njih mora biti u ravnoteži bira se deo rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe preporučuje se pisanje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3) iako je moguće pisati i druge oblike jednačina ravnoteže na pr. (1.).

3 Ravanske rešetke 9 Primer 1.1 Za rešetku prikazanu na Slici 1.1 opterećenu silama intenziteta kn odrediti reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda. Slika 1.1 Rešenje: Pre oslobađanja od spoljašnjih veza numerisaće se štapovi i čvorovi. Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13 a čvorova osam. Štapovi su numerisani arapskim a čvorovi rimskim brojevima (Slika 1.). Na osnovu jednakosti broja štapova i vrednosti koju daje relacija s= 8-3=13 zaključuje se da ova rešetka poseduje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački oslonjena na nepokretni a u tački na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama X i Y u tački i silom Y u tački. Jednačine ravnoteže rešetke su: 1. F = 0 : X F. F = 0 : Y F F F + Y M = 0 : F F 6F + F + 8Y = 0 pa su vrednosti reakcija oslonaca: 1 3 X = kn Y = kn Y = kn. Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova metoda kao što je već rečeno podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno. Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slučaju krenuće se U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu smatra se da je dužina izražena u metrima.

4 10 RVNSKE REŠETKE y F 1 F III R 6 V VII VI F 3 F 13 1 VIII Y X I Y 1 II R IV x Slika 1. od čvora (numerisanog rimskim I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba X Y i i sile u štapovima 1 i nepoznatih intenziteta i smerova u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi opterećeni na zatezanje a priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posmatranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na čvorove a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3 : X I Y S S 1 Čvor I:. F = 0 : X + S + S 1. F = 0 : Y + S = 0. Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S1 = kn S = kn odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu negativan sledi da je štap opterećen na pritisak. Sada se prelazi na čvor II u kome su vezani štapovi 1 3 i. Nepoznate u jednačinama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i dok je zbog principa akcije i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta. 3 Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama. Pri rešаvаnju primerа vektori svih sila će se postavljаti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim (na pr. S i S 1 1) pri čemu će se u jednačinama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima (S S ). 1 = 1

5 Ravanske rešetke 11 Čvor II: S 1 S 3 II S 6. F = 0 : S + S 1 7. F = 0 : S = 0. 3 Odavde sledi da je štap 3 neopterećen a sila u štapu je S ovaj štap zategnut. = kn što znači da je F 1 S III 6 S S 3 S Čvor III: 8. F = 0 : S + S + S 6 9. F = 0 : S S S F = Na osnovu napisanih jednačina je S6 = 6kN S = kn. nalogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova. S S 7 S 8 S IV Čvor IV: 10. F = 0 : S S + S F = 0 : S + S + S = Dakle intenzitet sile u štapu 8 je S = kn dok je S = 6kN. 8 7 S 6 F V S 10 S 7 S 9 Čvor V: 1. F = 0 : S + S S F = 0 : F S + S = Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S = kn S = kn VII S 10 S 11 F S 13 Čvor VII: 1. F = 0 : S + S F F = 0 : S S S =

6 1 RVNSKE REŠETKE Rešenja ove dve jednačine su S13 = kn S11 = 6kN. Određivanje sile u štapu 1 moguće je izvršiti samo pisanjem jednačine ravnoteže po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti urađeno analizom ravnoteže čvora VIII. S 1 S 13 VIII Y Čvor VIII: 16. F = 0 : S13 S1 te je S1 = kn. rojne vrednosti sila u štapovima kao i odgovarajući karakter opterećenja dati su u sledećim tablicama: roj štapa i roj štapa i Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke gde su sa crvenom bojom obojeni štapovi opterećeni na pritisak crnom oni koji su zategnuti (obično se zategnuti štapovi boje plavo što ovde zbog tehničkih F VII razloga nije moguće) Neopterećen štap je nacrtan isprekidanom F 11 1 F VIII linijom. Ovakvo predstavljanje rešetke daje 6 9 III VI 1 V kompletnu sliku opterećenja njenih štapo- F va usled dejstva aktivnih sila. Slika I 1 II IV 1.3

7 Ravanske rešetke 13 Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima i 6 Riterovom metodom vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (Slika 1.). Zatim se posmatra ravnoteža jednog od delova rešetke. Pogodno je analizirati onaj deo rešetke koji je opterećen F 1 manjim brojem sila. U ovom primeru S III 6 posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj desnog dela rešetke ulazi preko presečenih štapova tj. preko sila u presečenim S štapovima za koje je pogodno pretpostaviti da su zategnuti. Na taj način levi S I II IV X deo rešetke se tretira kao ploča na koju Y dejstvuju komponente reakcije oslonca sila F Slika 1. 1 i sile S S i S6. Dalja analiza podrazumeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem proizvoljnih sila za koji se kao što je poznato mogu napisati tri jednačine ravnoteže. Nepoznate vrednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine kao alternativnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase: 17. M = 0 : F Y S 18. M = 0 : X Y + S 19. IV 1 6 III M = 0 : F S S I 1 6 a njihovim rešavanjem sledi S6 = 6kN S = kn S = kn čime se potvrđuju rešenja dobijena analitički. Primer 1. Rešetkasti krovni nosač opterećen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.. Odrediti otpore oslonaca i sile u svim štapovima. Rešetka je u tački oslonjena na nepokretni oslonac a u tački je horizontalnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su F = F = kn F = F= kn F 1 F F 3 F Slika 1.

8 1 RVNSKE REŠETKE Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovima kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege S je u pravcu zatege i usmerena je ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvršiće se pisanjem uslova ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose a momentna jednačina pisaće se za tačku. Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase: 1. F = 0 : X S. F = 0 : Y F F F F M = 0 : 6S F 8F 1F 3 odakle se dobija da su otpori oslonaca X= Y= S=60 kn. Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem tekstu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog čvora napisane su jednačine ravnoteže. y Najpre je analiziran F 1 čvor I budući da se S II F u njemu sučeljavaju dva štapa pa će broj 3 IV 8 F mogućih jednačina 3 za sučeljan ravanski 7 VI 11 sistem sila biti dovoljan da se odrede dve 9 F I 1 III 6 V 10 VII nepoznate sile u štapovima 1 i. Y X x Slika 1.6 X S I S 1 Y Čvor I:. F = 0: X + S. F = 0: Y + S = 0. 1 Iz ovih jednačina sledi da je S1= 60kNi S= 60kN odakle se zaključuje da su oba štapa pritisnuta.

9 Ravanske rešetke 1 Prelazi se na čvor II sada sa poznatom silom u štapu. Njen smer se pri analizi čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu kao da je štap zategnut ali se u jednačine ravnoteže unosi sa negativnim predznakom. Čvor II: 6. F = 0: S+ S sin β+ S cos α= F = 0: F S S cosβ S sinα= Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin α = cosα = sin β = 13 i cos β = Intenziteti sila u štapovima 3 i iznose 13 S3 = 10 13kN i S = 0 kn. Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III. Čvor III: 8. F = 0: S S sinβ + S = F = 0: S cos β + S 3 odakle se dobija da je S = 30kN i S6 = 0kN. Znači ova dva štapa su pritisnuta. Sada će se preći na čvor VII. Čvor VII: 10. F = 0 : S S cos α F = 0 : S sin α F 11 Rešavanje ovog sistema daje: S10 = 0kN i S11 = 10. Sledeći će se analizirati čvor VI. Čvor VI: 1. F = 0 : S cos α+ S cos α= F = 0 : S + S sinα S sinα F3 = Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su: S = 10 kn i S = 0kN. 8 9

10 16 RVNSKE REŠETKE Konačno piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V. Čvor V: o 1. F = 0 : S S cos + S odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S7 = 0 kn. Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u sledećoj tabeli. roj štapa i F 6 F F Slika 1.7 Slika 1.8 Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7. Primer 1.3 Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima presečenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F = F = F = F = 1kN F = F = 10kN

11 Ravanske rešetke 17 Rešenje: Kod ove rešetke potrebno je uočiti štap koji je vezan za oslonac. U uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima tretirati kao njena spoljašnja veza a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza kao i sa numerisanim čvorovima i štapovima. Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jednačine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednačine pisaće se za tačke oslanjanja rešetke za podlogu tj. za tačke i i one glase: 1. M = 0 : Y F F 6F 8F F 1 F M = 0 : hr = 0 F F F F F F gde je h krak sile R za tačku. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = odnosno h = sin α = 17. Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su 17 Y = 1kN i R = kn. Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca u horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi: odakle je X = 1 3. F = 0 : Rcos α + F1+ F+ F3+ F6 X kn. pri čemu je (Slika 1.9) F β α α Slika 1.9 Slika 1.10

12 18 RVNSKE REŠETKE Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8 9 i 10. Zamišljenim presekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatraće se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u presečenim štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje. Momentne jednačine pisaće se za čvorove V VI i VII i one glase:. M = 0 : 0 F + 1 F F F + h S V. M = 0 : F 1F h VI M = 0 : 1F F + H S + h S VII S ( ) krak sile S 9 za čvor pri čemu su: h 8-8 krak sile S 8 za čvor V h8 = sinα = m h VII ( h9 = 1sin β = m) H 8 - krak sile S 8 za čvor VII h 10 - krak sile S 10 za čvor VI ( h10= H8= 1 sin α = m ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže sledi da sile u štapovima iznose: S8= kn S9= kni S10= 3 17kN. Zaključuje se da su sva tri štapa opterećena na pritisak. Primer 1. Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslonaca a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima. Usvojiti da je F1= F= F3=10 kn. Slika 1.11 Rešenje: Nakon uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca pri čemu je laki horizontalan štap koji spaja zglob sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza a njegova reakcija obeležena sa X (Slika 1.1) jednačine ravnoteže su: 1. M = 0 : X F F 6F. F = 0 : X + X F = 0 : Y F F F =. I 1 3 0

13 Ravanske rešetke 19 Rešavanjem ovog sistema se dobija X= X=60 kn Y=30 kn. S obzirom da sve sile u štapovima numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.1 treba da se odrede primenom Riterovog metoda postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke na dva dela te uvođenja reakcija u presečenim štapovima na posmatrani deo R 1 R rešetke ne dejstvuje više od tri nepoznate R 3 sile. Prvi presek R -R će se postaviti tako da seče štapove 3 i (Slika 1.1). R R Jednačine ravnoteže R 1 R R 3 za levi deo presečene rešetke glase: Slika 1.1. M = 0 : Y + X + S. M = 0 : Y + X S III II 6. M = 0 : X + S + S F I 3 1 odakle sledi da je S = 30kN S=30 kn i S3 = 0kN. Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove i 6. Na taj način se nakon pisanja dve momentne jednačine za desni deo rešetke mogu odrediti intenziteti sila u štapovima i 6. Pogodno napisane jednačine su: 7. M IV = 0 : F + S M V = 0 : F S S 3 te je S6=10 kn a S=0 kn.

14 0 RVNSKE REŠETKE Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8 9 i 10 glase: 9. M IV = 0 : S F M = 0 : S VII M VI = 0 : 1S8 1F 3 a njihovo rešavanje daje S10 =10 kn S9 = 0 i S8 = 10kN. Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka -R (čija slika neće posebno biti prikazana) te pisanjem jednačina ravnoteže: R 1. M = 0 : F + S S + F S S + X V 13. M 0 : S IV = F + F S S M = 0 : S F F + S + S + S II sledi vrednosti za intenzitete sila u štapovima 1 7 i 11. Tablični prikaz karaktera opterećenja štapova i intenziteta sila u njima je dat niže a grafički prikaz opterećenja je predstavljen na Slici Slika 1.13 roj štapa i Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima kod nekih tipova mostova kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa rešetke je da su gornji elementi opterećeni na zatezanje a donji na pritisak.

15 Ravanske rešetke 1 Primer 1. Za rešetku sa zglobom u tački C prikazanu na Slici 1.1 odrediti otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F = kn F = F = 10kN. 1 3 Slika 1.1 Rešenje: Slika 1.1 Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke sa spoljašnjim zglobnim vezama u tačkama i. Jednačine ravnoteže za sistem kao celinu (Slika 1.1) se mogu napisati u formi: 1. M = 0 : 0F + 3F + 16F 8Y 1 3. M = 0 : 0F1 16F 3F3+ 8Y = 0.

16 RVNSKE REŠETKE Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza izvršiće se dekompozicija sistema. Ravnoteža leve rešetke (Slika 1.16) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednačine ravnoteže: 3. F = 0 : Y F + Y. M = 0 : 0F 16F + Y + 1X. C 1 C C M = 0 : 8F + 8F Y + 1X = 0. C 1 6 Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se Y = 6 kn Y = 6 kn YC = 6 kn XC = 1kN X = 13kN. Posmatrajući rešetku kao celinu a na osnovu ravnoteže svih sila u horizontalnom pravcu sledi da je X = 1 kn. Da bi se odredile sile u štapovima potrebno je posmatrati svaku rešetku ponaosob i jednom od metoda odrediti tražene veličine što se prepušta čitaocu kao vežba. Intenziteti i karakter opterećenja štapova za obe rešetke su prikazani u sledećim tabelama. roj štapa i Slika 1.16 roj štapa i roj štapa i

17 Ravanske rešetke 3 Primer 1.6 Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter opterećenja štapova. Usvojiti da je F1=... = F7 = kn P1= P= P3= 0kN Q1= Q= kn G =... = G = 1kN Slika 1.17 Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt 18. godine u SD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija. 1

18 RVNSKE REŠETKE Konstrukcija ima pored vertikalnih i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi osim onih na krajevima su opterećeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova dijagonalni štapovi su rasterećeniji samim tim su mogli biti tanji čime je ostvaren ekonomičniji dizajn rešetke. Na taj način izvršen je uspešan prelaz sa drvenih na metalne konstrukcije. Za prikazano opterećenje intenziteti i karakteri sila u štapovima su izračunati i predstavljeni u sledećoj tabeli. Preporučuje se čitaocu da jednom od prethodno opisanih metoda potvrdi navedene razultate. Slika 1.18 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 180. godine američki pronalazač William Howe. Ona je slična Pratt-ovoj ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su opterećeni na zatezanje dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomična za čelične mostove i u praksi se danas ređe sreće mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obično su vertikale izrađivane od čelika a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera opterećenja i ma-

19 Ravanske rešetke terijala koji je korišćen za dijagonalne elemente ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smatrane uzročnikom velikog broja rušenja mostova te železničkih nesreća. Sledi tabelarni prikaz opterećenja štapova ove rešetke. Slika 1.19 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c) patentirali su 188. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj ritaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova rešetki prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraničnog trougla. Ovaj oblik se koristi za premošćenje manjih raspona 0-100m. U praksi se sreću i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja većih raspona. Opadajuće dijagonale (Slika 1.0) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove rešetke) a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe). Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim tabelama.

20 6 RVNSKE REŠETKE roj štapa i Slika 1.0 roj štapa i Na Slici 1.17d prikazana rešetka sa tzv. K-ispunom. Ona se primenjuje kod visokih rešetkastih konstrukcija jer podupiruće dijagonale smanjuju moguće deformacije vertikalnih štapova. Nekadašnji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je rešetkastu konstrukciju ovakvog tipa. Slika 1.1 Za zadato opterećenje ove rešetke šematski prikaz opterećenja štapova je prikazan na Slici 1.1 a tabelarni prikaz je dat niže. roj štapa i

21 Ravanske rešetke 7 roj štapa i roj štapa i roj štapa i Slika 1. altimorova rešetka (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifikacija se ogleda u postojanju štapova ispune. Na ovaj način postignuto je skraćenje štapova donjeg pojasa i dijagonala što je od značaja kod mostovskih konstrukcija. Karakter opterećenja štapova je prikazan na Slici 1. odnosno u sledećoj tabeli. Svi horizontalni štapovi donjeg pojasa su zategnuti pri čemu intenziteti u štapovima od tačke do C i D do iznose kn. Intenziteti sila u štapovima od tačke C do D su 8kN. roj štapa i C G 1 G G 3 G G G 6 G 7 G 8 G 9 G 10 G 11 D roj štapa i

22 8 RVNSKE REŠETKE roj štapa i roj štapa i

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

ROŽNJAČE. Rožnjače

ROŽNJAČE. Rožnjače 1 ROŽNJAČE 2 Rožnjače Opšte 3 Rožnjače primaju i prenose opterećenje sa krovne površine na glavne nosače. Leže u krovnoj ravni i pružaju se paralelno sa podužnom osom hale. Raspon l: od 4,0 do 18,0 m (uobičajeno

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE RAMOVSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Ramovske konstrukcije 1.1. Podela 1.2. Statički sistemi i statički proračun 1.3. Proračun

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM

LINEARNA ELEKTRONIKA VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU LINEARNA ELEKTRONIKA LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 4 ANALIZA AKTIVNIH FILTARA SA JEDNIM OPERACIONIM POJAČAVAČEM.. IME I PREZIME BR. INDEKSA

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα