Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια Συστήματα

Transcript

1 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Hellenic Open University Μέρος ΙΙ: Πολυβάθμια Συστήματα ιδάσκων: Ε.Ι. Σαπουντζάκης υναμική των Κατασκευών

2 Περιεχόμενα 1. Εξισώσεις κίνησης και μέθοδοι επίλυσης 2. Ελεύθερες ταλαντώσεις πολυβαθμίων συστημάτων 3. Απόσβεση στις κατασκευές 4. υναμική ανάλυση και απόκριση γραμμικών συστημάτων 5. Σεισμική ανάλυση γραμμικών συστημάτων 6. Μείωση βαθμών ελευθερίας 7. Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης 8. Συστήματα με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα 9. Σεισμική απόκριση γραμμικώς ελαστικών κτιρίων

3 Απόσβεση στις Κατασκευές

4 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης - Ο υπολογισμός του μητρώου απόσβεσης είναι απαραίτητος στις περιπτώσεις όπου η ιδιομορφική ανάλυση δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Αυτό συμβαίνει σε συστήματα με μη κλασική απόσβεση ή σε μη γραμμικά συστήματα. - Τα χαρακτηριστικά απόσβεσης μιας κατασκευής είναι δύσκολο να προσδιοριστούν. Συνεπώς, το μητρώο απόσβεσης θα πρέπει να υπολογίζεται από τους ιδιομορφικούς λόγους απόσβεσης, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν όλους τους μηχανισμούς ανάλωσης ενέργειας. - Οι ιδιομορφικοί λόγοι απόσβεσης εκτιμώνται από διαθέσιμα δεδομένα για παρόμοιες κατασκευές που δονήθηκαν κατά τη διάρκεια σεισμών, αλλά δεν παραμορφώθηκαν στην ανελαστική περιοχή. Ελλείψει τέτοιων δεδομένων υπάρχουν διαθέσιμες συστάσεις.

5 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh - Θεωρούμε αρχικά απόσβεση ανάλογη της μάζας και ανάλογη της δυσκαμψίας: c a m& c a k Τα εν λόγω μητρώα απόσβεσης αντιπροσωπεύουν κλασική απόσβεση, καθώς πληρούν τη συνθήκη ορθογωνικότητας. Η γενικευμένη απόσβεση για την n ιδιομορφή δίδεται ως: T T n n n 0 n n 0 n n n n C φ cφ a φ mφ a M 2ζ ω M - και επομένως ο ιδιομορφικός λόγος απόσβεσης δίδεται ως: ζ n a0 1 2 ω n

6 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh - Με δεδομένη την τιμή του λόγου απόσβεσης σε οποιαδήποτε ιδιομορφή, πχ την i μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του α 0 ως: a 2ζω 0 i i - Με γνωστή την τιμή του α 0 μπορούμε να υπολογίσουμε το μητρώο c και κάθε άλλο λόγο απόσβεσης ζ n. Με παρόμοιο τρόπο για απόσβεση ανάλογη του μητρώου δυσκαψίας, έχουμε: T T 2 n n n 1 n n 1 n 1 n n n n n C φ cφ a φ kφ a K a ω M 2ζ ω M a 1 2ζ ω i i ζ n a 1 2 ω n

7 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh - Η μεταβολή των ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης με την ιδιοσυχνότητα για τις δύο θεωρήσεις απόσβεσης που αναλύθηκαν προηγουμένως, φαίνεται στο σχήμα. - Οι δύο θεωρήσεις δεν είναι αρκετά ρεαλιστικές για τις πρακτικές εφαρμογές καθώς, τα πειραματικά δεδομένα, δείχνουν περίπου τους ίδιους λόγους απόσβεσης για αρκετές ιδιομορφές.

8 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh - Πιο ακριβής προσέγγιση είναι η απόσβεση Rayleigh: c a m a k Επομένως ο λόγος ζ n προκύπτει ως: ζ n a0 1 a 1 2 ω 2 n ω n - Οι συντελεστές α 0 και α 1 μπορούν να προσδιοριστούν εάν ξέρουμε δύο λόγους απόσβεσης i, j:

9 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh ωi ωia0 ζi 1 ω ω a ζ j j 1 j - Με επίλυση του συστήματος προκύπτουν τα α 0 και α 1 ως εξής: 2ωω 2 a ζ, a ζ i j 0 1 ωi ωj ωi ωj - Συνεπώς το μητρώο απόσβεσης και οι υπόλοιποι λόγοι απόσβεσης μπορούν να προσδιοριστούν.

10 Απόσβεση στις Κατασκευές 1. Μόρφωση του μητρώου απόσβεσης Απόσβεση Rayleigh - Η μεταβολή των ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης με την ιδιοσυχνότητα για την απόσβεση Rayleigh φαίνεται στο σχήμα.

11 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων

12 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Α. Συστήματα υο Βαθμών 1. Ανάλυση συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας χωρίς απόσβεση 2. Αποσβεστήρας ταλαντώσεων ή αποσβεστήρας ρυθμιζόμενης μάζας Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 1. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα χωρίς απόσβεση 2. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα με απόσβεση 3. Απόκριση μετατόπισης 4. Εντατικά μεγέθη στοιχείων 5. Ιδιομορφική ανάλυση Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάπτυξη του διανύσματος διέγερσης p(t)=s p(t) 2. Ιδιομορφική ανάλυση για p(t)=s p(t) 3. Συντελεστής ιδιομορφικής συμμετοχής 4. Ιδιομορφικές αποκρίσεις και απαιτούμενος αριθμός ιδιομορφών. Ειδικές Μέθοδοι Ανάλυσης

13 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Α. Συστήματα υο Βαθμών 1. Ανάλυση συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας χωρίς απόσβεση Σύστημα δύο βαθμών ελευθερίας διεγείρεται από αρμονική δύναμη p 1 (t)=p 0 sinωt η οποία εφαρμόζεται στη μάζα m 1 Εξίσωση κίνησης m1 0 u1 k1k2 k2u1 p0 sint 0 m u k k u Η λύση της μόνιμης κατάστασης μπορεί να θεωρηθεί ως: t u1 u1 0 sint u2 t u20

14 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Α. Συστήματα υο Βαθμών 1. Ανάλυση συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας χωρίς απόσβεση Αντικαθιστώντας παίρνουμε k1k2 m u 1 k2 0 p0 k k m u Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη μεk 2 m 0 u1 0 p0 m u mm 1 2( 1 )( 2) 0 1 k έχουμε u p0 1 2 p0 k m adj k m u det k m 0 Η εξίσωση συχνοτήτων 2 det k m 0

15 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Α. Συστήματα υο Βαθμών 1. Ανάλυση συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας χωρίς απόσβεση Οπότε η εξίσωση γράφεται ή u u 2 k m k p u2 0 0 det k m k2 k1k2 m mm p ( k m ) ( )( ) 2 2 u pk 0 2 mm ( )( )

16 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Α. Συστήματα υο Βαθμών 1. Ανάλυση συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας χωρίς απόσβεση Οπότε η εξίσωση γράφεται ή u u 2 k m k p u2 0 0 det k m k2 k1k2 m mm p ( k m ) ( )( ) Η καμπύλη απόκρισης-συχνότητας για: 2 2 u pk 0 2 mm ( )( ) m k 1 2m m2 1 2k k2 m k

17 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 1. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα χωρίς απόσβεση Οι εξισώσεις κίνησης για γραμμικό σύστημα πολλών β.ε. (MDF) χωρίς απόσβεση mu + ku = p Το διάνυσμα μετατόπισης μπορεί να αναπτυχθεί συναρτήσει ιδιομορφικών συνιστωσών u t φ q t Φq t t N r1 r r Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, οι συζευγμένες εξισώσεις ως προς u j μπορούν να μετασχηματιστούν σε ένα σύστημα ασύζευκτων εξισώσεων με τις ιδιομορφικές συντεταγμένες q n (t) ως αγνώστους N N r r r1 r1 mφ q t kφ q t p t r r

18 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 1. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα χωρίς απόσβεση φ T n N N T T T n rr n r r n r1 r1 Προπολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με λαμβάνουμε φ mφ q t φ kφ q t φ p t Λόγω των σχέσεων ορθογωνικότητας, όλοι οι όροι μηδενίζονται εκτός από τον όρο r=n T T T φ mφ q t φ kφ q t φ p t ή n n n n n n n M q t K q t P t n n n n n M n K n Γενικευμένη μάζα για τη ν-ιοστή ιδιομορφή Γενικευμένη δυσκαμψία για τη ν-ιοστή ιδιομορφή

19 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 1. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα χωρίς απόσβεση 2 P ιαιρώντας με M n έχουμε: qn t qn n M n Η παραπάνω εξίσωση καθορίζει τις ν-ιοστές ιδιομορφικές συντεταγμένες q n (t) Το σύστημα των Ν συζευγμένων εξισώσεων έχει μετατραπεί σε σύστημα Ν μη συζευγμένων εξισώσεων των ιδιομορφικών συντεταγμένων q n (t) mu + ku = p t t Mq + Kq = P t Μ K Πίνακας Γενικευμένων Ιδιομορφικών Μαζών Πίνακας Γενικευμένων Ιδιομορφικών υσκαμψιών P ιάνυσμα Γενικευμένων Ιδιομορφικών υνάμεων

20 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 2. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα με απόσβεση Οι εξισώσεις κίνησης για γραμμικό σύστημα πολλών β.ε. με απόσβεση mu + cu + ku = p Το διάνυσμα μετατόπισης μπορεί να αναπτυχθεί συναρτήσει ιδιομορφικών συνιστωσών u t φ q t Φq t N r1 r r Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, οι συζευγμένες εξισώσεις ως προς u j μπορούν να μετασχηματιστούν σε ένα σύστημα ασύζευκτων εξισώσεων με τις ιδιομορφικές συντεταγμένες q n (t) ως αγνώστους N N N mφ q t cφ q t kφ q t p t r r r r r r r1 r1 r1 t

21 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 2. Ιδιομορφικές εξισώσεις για συστήματα με απόσβεση Προπολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με : N N N T T T T φ mφ q t φ cφ q t φ kφ q t φ p t n r r n r r n r r n r1 r1 r1 Λόγω των σχέσεων ορθογωνικότητας, όλοι οι όροι μηδενίζονται εκτός από τον όρο r=n οπότε M q t C q t K q t P t N n n nr r n n n r1 t Mq + Cq + Kq = P όπου C Μη ιαγώνιος Πίνακας με Για κλασική απόσβεση C 0 n r nr για φ T n συντελεστές C nr P 2 n 2nn n n n n q t q q M t n

22 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 3. Απόκριση μετατόπισης Για δεδομένη εξωτερική φόρτιση η απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος 2 μπορεί να προσδιοριστεί λύνοντας την εξίσωση qn t 2 nnq n nqn Pn / Mn για τις ιδιομορφικές συντεταγμένες. Από τη στιγμή που οι q n προσδιοριστούν η συμπεριφορά της ν-ιοστής ιδιομορφής στις κομβικές μετατοπίσεις u(t) είναι u n t φ q t n n και συνδυάζοντας αυτές τις ιδιομορφικές συνεισφορές παίρνουμε τις ολικές μετατοπίσεις N t t q t N u u φ n n1 n1 Η διαδικασία είναι γνωστή ως κλασική μέθοδος επαλληλίας ιδιομορφικών μετατοπίσεων (classical mode displacement superposition method) n n

23 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 4. Εντατικά μεγέθη στοιχείων 1 η ιαδικασία) Ην-ιοστή ιδιομορφική συμμετοχή r n (t) σε μια δύναμη του στοιχείου r(t) προσδιορίζεται από τις ιδιομορφικές μετατοπίσεις u n (t) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του στοιχείου, ενώ το εντατικό μέγεθος του στοιχείου προκύπτει από τη συνεισφορά όλων των ιδιομορφών. N n1 n 2 fn t nmnqn t r t r t 2 η ιαδικασία) Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις που σχετίζονται με τη ν-ιοστή ιδιομορφική απόκριση ορίζονται χρησιμοποιώντας τη σχέση fnt kunt. Αντικαθιστώντας στη σχέση απόκρισης μετατόπισης παίρνουμε:

24 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Β. Ιδιομορφική Ανάλυση 5. Ιδιομορφική ανάλυση Βήματα ιαδικασίας: 1) Καθορισμός των ιδιοτήτων της κατασκευής (m, k, ζ η ) 2) Προσδιορισμός των ιδιοσυχνοτήτων ω η και ιδιομορφών φ η 3) Υπολογισμός της απόκρισης σε κάθε ιδιομορφή ακολουθώντας τα παρακάτω α) Σχηματισμός των ιδιομορφικών εξισώσεων και επίλυση για την εύρεση των q η β) Υπολογισμός των επικόμβιων μετατοπίσεων u n γ) Υπολογισμός των εντατικών μεγεθών των στοιχείων που σχετίζονται με τις επικόμβιες μετατοπίσεις εφαρμόζοντας μια από τις δύο μεθόδους που περιγράφηκαν, για τις επιθυμητές τιμές του χρόνου t 4) Συνδυασμός της συνεισφοράς όλων των ιδιομορφών για τον προσδιορισμό τηςολικήςαπόκρισης.

25 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάπτυξη του διανύσματος διέγερσης p(t)=s p(t) Θεωρούμε ότι οι επιβαλλόμενες δυνάμεις p j (t) έχουν την ίδια χρονική κατανομή p(t) και η χωρική κατανομή τους ορίζεται από το s ανεξάρτητο από το χρόνο t p sp t όπου N N s s m r r r r1 r1 Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με της ορθογωνικότητας λαμβάνουμε n T n φ s M n φ T n και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Ησυνεισφοράτηςν-ιοστής ιδιομορφής στο s είναι sn nmn

26 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάπτυξη του διανύσματος διέγερσης p(t)=s p(t) Θεωρούμε ότι η κατασκευή ταλαντώνεται στη ν-ιοστή ιδιομορφή με επιταχύνσεις un t qn tφn και αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις f mu t mφ q t I n n n n

27 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάπτυξη του διανύσματος διέγερσης p(t)=s p(t) Θεωρούμε ότι η κατασκευή ταλαντώνεται στη ν-ιοστή ιδιομορφή με επιταχύνσεις un t qn tφn και αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις f mu t mφ q t I n n n n

28 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 2. Ιδιομορφική ανάλυση για p(t)=s p(t) Η γενικευμένη δύναμη P n (t)=γ n M n p(t) για τη η-οστή ιδιομορφή αντικαθίσταται για να προκύψει η ιδιομορφική εξίσωση 2 n 2nn n n n n q t q q p t ΟσυντελεστήςΓ καλείται συντελεστής ιδιομορφική συμμετοχής. Μειονέκτημα 1) Το Γ δεν είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο με τον οποίο κανονικοποιείται η ιδιομορφή. Μειονέκτημα 2) Το Γ δεν είναι μέτρο της συνεισφοράς της ιδιομορφής στο μέγεθος απόκρισης. Για να ξεπεράσουμε τα παραπάνω μειονεκτήματα ιδιομορφικής συνεισφοράς r n ως ακολούθως. ορίζεται ο συντελεστής

29 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 2. Ιδιομορφική ανάλυση για p(t)=s p(t) Θα γράψουμε τη λύση q n (t) για την απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος. Θεωρούμε σύστημα με μοναδιαία μάζα και χαρακτηριστικά ταλάντωσης ιδιοσυχνότητας ω n και λόγο απόσβεσης ζ η της η-οστής ιδιομορφής ενός πολυβάθμιου συστήματος που διεγείρεται από δύναμη p(t). Η εξίσωση της απόκρισης αυτής της η-οστής ιδιομορφής μονοβάθμιου συστήματος επαναλαμβάνεται εδώ με την ποσότητα u να έχει αντικατασταθεί από το σύμβολο D η για να δοθεί έμφαση στη σχέση με την η-οστή ιδιομορφή. 2 n 2nn n n n D t D D p t Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι q t D t n n n Έτσι τα q n προκύπτουν άμεσα από τα D n, χρησιμοποιώντας τα διαθέσιμα αποτελέσματα για μονοβάθμια συστήματα υποβαλλόμενα σε τυχαία φόρτιση.

30 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 2. Ιδιομορφική ανάλυση για p(t)=s p(t) Ησυμβολήτηςη-οστής ιδιομορφής στις επικόμβιες μετατοπίσεις είναι un t nφndn t απ όπου προκύπτουν οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις 2 fn t s n ndn t Ησυμβολήτηςη-οστής ιδιομορφής r n (t) σε οποιοδήποτε μέγεθος απόκρισης r(t) προσδιορίζεται από τη στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενη σε δυνάμεις f n (t). st 2 rn t r n ndn t Συνδυάζοντας τις συμβολές των αποκρίσεων όλων των ιδιομορφών λαμβάνουμε την ολική απόκριση N N 2 r t r st n t r n ndn t n1 n1

31 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 3. Συντελεστής ιδιομορφικής συμμετοχής Ησυνεισφοράτης η-οστής ιδιομορφής στην ποσότητα απόκρισης r μπορεί να εκφραστεί ως st 2 rn t r r n ndn t όπου r st η στατική τιμή της r εξαιτίας των εξωτερικών δυνάμεων s και ο η-οστός παράγων ιδιομορφικής συνεισφοράς είναι Ιδιότητα 1) Είναι αδιαστατοποιημένοι. r n st n st r r Ιδιότητα 2) Είναι ανεξάρτητοι από τον τρόπο με τον οποίο κανονικοποιούνται οι ιδιομορφές. Ιδιότητα 3) Το άθροισμα των συντελεστών ιδιομορφικής συνεισφοράς όλων των ιδιομορφών είναι ίσο με τη μονάδα.

32 Εννοιολογική ερμηνεία της ιδιομορφικής ανάλυσης

33 υναμική Ανάλυση και Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων Γ. Συμβολές Ιδιομορφικής Απόκρισης 4. Ιδιομορφικές αποκρίσεις και απαιτούμενος αριθμός ιδιομορφών Ο παράγων ιδιομορφικής συνεισφοράς και ο παράγων δυναμικής απόκρισης επηρεάζουν τις σχετικές συνεισφορές απόκρισης των διαφόρων ιδιομορφών ταλάντωσης, και ως εκ τούτου και τον ελάχιστο αριθμό ιδιομορφών που πρέπει να συμπεριληφθούν στη δυναμική ανάλυση. r n0 p0rn st rnrdn Συνήθως, στην ανάλυση ενός συστήματος με Ν β.ε. συμπεριλαμβάνονται οι πρώτες J ιδιομορφές, όπου J μπορεί να είναι αρκετά μικρότερος αριθμός από το Ν, και η ιδιομορφική άθροιση περικόπτεται αντιστοίχως οδηγώντας σε σημαντική μείωση του υπολογιστικού κόστους. Για να κρίνουμε τη συνεισφορά μιας ιδιομορφής στη δυναμική απόκριση μιας κατασκευής, είναι απαραίτητο να θεωρήσουμε τη συνδυασμένη επίδραση των παραγόντων ιδιομορφικής συνεισφοράς και δυναμικής απόκρισης.

34 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων

35 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάλυση Εξισώσεις κίνησης: t, t u t mu cu ku p p mi eff eff g Ιδιομορφικά αναπτύγματα μετατοπίσεων και δυνάμεων: u N φ n q n t φq n1 Η χωρική κατανομή των ενεργών σεισμικών δυνάμεων ορίζεται από την ποσότητα s=mi. Αυτή η κατανομή μπορεί να εκφραστεί ως: N Ln T T mi Γ nmφn, Γ n, Ln φnmi, Mn φnmφn n1 Mn Ησυμβολήτηςn ιδιομορφής στο διάνυσμα διέγερσης δίνεται ως: s Γ mφ n n n

36 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάλυση Ιδιομορφικές εξισώσεις: 2 n n n n n n n g Ιδιομορφικές αποκρίσεις: Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις εξαρτώνται από τη συμβολή s n της κάθε ιδιομορφής στη χωρική κατανομή mi των p eff και από την απόκριση της ψευδο-επιτάχυνσης του n μονοβαθμίου: q 2ζ ωq ω q Γ u t 2 D 2ζ ωd ω D u t, q t Γ D t n n n n n n g n n n f u φ φ n n n n n n q t Γ D t t s A t, A t ω 2 D t n n n n n n

37 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάλυση Ησυμβολήr n της n ιδιομορφής σε οποιαδήποτε ποσότητα r(t) ορίζεται από στατική ανάλυση της κατασκευής με τις δυνάμεις f n (t). H ποσότητα r n st συμβολίζει τη στατική τιμή του r λόγω των εξωτερικών δυνάμεων s n : Για τις μετατοπίσεις ισχύει: n n st n r t r A t Γ u k mφ φ u 1 n st Γn n 2 n ωn Γn t φ A t 2 ω n n n n

38 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάλυση Συνολική απόκριση: N t t Γ D t n n n n n1 n1 N N st n n n n1 n1 Η απόκριση ανώτερων ιδιομορφών, υπό συγκεκριμένες συνθήκες (οι ιδιοσυχνότητες να είναι τόσο μικρές ώστε η ψευδο-επιτάχυνση σχεδόν να ταυτίζεται με την επιτάχυνση του εδάφους) να προσδιοριστούν από στατική και όχι δυναμική ανάλυση, έτσι ισχύει: N u u φ r t r t r A t rt r A tu tr r, r r Nd Nd N st st st st st n n g n n i1 i1 i1

39 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 1. Ιδιομορφική ανάλυση Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και για περιπτώσεις στροφικής κίνησης της βάσης: p eff t miθ t g Όπου i είναι το διάνυσμα των στατικών μετατοπίσεων όλων των β.ε. για μοναδιαία στροφή στη βάση

40 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Θεωρείται πολυώροφο κτίριο συμμετρικής κάτοψης με άκαμπτα διαφράγματα που υποβάλλεται σε οριζόντια μετακίνηση της βάσης του. Ισχύει: mu cu ku m1u g t Η χωρική κατανομή των ενεργών σεισμικών δυνάμεων ορίζεται από την ποσότητα s=m1. Αυτή η κατανομή εκφράζεται ως: m1 N Γ mφ n n n1 h L N N n h 2 n n m j jn, n mj jn Mn j1 j1 Γ, L φ M φ Η συμβολή της n ιδιομορφής στο διάνυσμα διέγερσης δίνεται ως: s Γ mφ, s Γ m φ n n n jn n j jn

41 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Η πλευρική μετατόπιση του j ορόφου του κτιρίου δίνεται ως: jn n jn n u t Γφ D t Η σχετική μετατόπιση ή η παραμόρφωση του ορόφου j δίνεται από τη διαφορά της μετατόπισης σε σχέση με τον κάτω όροφο: Δ t u t u t jn jn j1,n Γ φ φ D t n jn j 1,n n Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις για τη n ιδιομορφή δίνονται ως: f ts A t, f t s A t n n n jn jn n

42 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης n n st n r t r A t Ησυνολικήαπόκρισηδίνεταιως: N N st n n n n1 n1 r t r t r A t Οι επιταχύνσεις των πατωμάτων μπορούν να υπολογιστούν ως: t N j g n jn n n1 u t u t Γφ D t

43 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Σύνοψη: 1. Καθορισμός εδαφικής επιτάχυνσης ü g (t) αριθμητικά σε κάθε χρονικό βήμα t. 2. Προσδιορισμός ιδιοτήτων κατασκευής: Καθορισμός μητρώων μάζας και δυσκαμψίας m, k και εκτίμηση ιδιομορφικών λόγων απόσβεσης ζ n. 3. Υπολογισμός ιδιοσυχνοτήτων ω n (Τ n =2π/ω n ) και ιδιομορφών ταλάντωσης φ n. 4. Υπολογισμός ιδιομορφικών συνιστωσών s n της κατανομής ενεργών σεισμικών δυνάμεων.

44 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Σύνοψη: 5. Προσδιορισμός της συνεισφοράς της n (n=1 N) ιδιομορφής στην συνολική απόκριση ως εξής: Στατική ανάλυση του κτιρίου υπό τις πλευρικές δυνάμεις s n για να προσδιοριστεί η ιδιομορφική στατική απόκριση r n st για κάθε επιθυμητή ποσότητα απόκρισης r. Προσδιορισμός απόκρισης ψευδο-επιτάχυνσης Α n (t) του μονοβαθμίου συστήματος της n ιδιομορφής για την επιτάχυνση εδάφους ü g (t), χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους χρονικών βημάτων. Προσδιορισμός της r n (t). 6. Επαλληλίζουμε τις συνεισφορές των ιδιομορφών r n (t) και λαμβάνουμε την ολική απόκριση:

45 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Ενεργός ιδιομορφική μαζα και ιδιομορφικό ύψος: h L 2 n θ N h Ln θ n n n n h n j j jn Mn Ln j1 M Γ L, h, L h m φ Οι παραπάνω ποσότητες έχουν φυσικό νόημα που θα προσδιοριστεί στη συνέχεια. Θεωρούμε τη τέμνουσα βάσης της n ιδιομορφής: st bn bn n V t V A t Η V bn st αντικαθίσταται από (βλ. Πίνακα ): bn n n V t M A t

46 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Η παραπάνω σχέση είναι αντίστοιχη με αυτή που δίνει την τέμνουσα βάσης σε ένα μονώροφο κτίριο. Γίνεται λοιπόν φανερό ότι εάν η μάζα ενός μονοβαθμίου με ιδιοσυχνότητα ω n και ζ n είναι ίση με Μ n* τότε παράγει την ίδια τέμνουσα βάσης με την n ιδιομορφή ενός πολυωρόφου κτιρίου όπου οι μάζες είναι κατανεμημένες στους ορόφους. Έτσι η ποσότητα Μn* ονομάζεται ενεργός ιδιομορφική μάζα τέμνουσας βάσης ή ενεργός ιδιομορφική μάζα. Επίσης Ισχύει: N N Mn n1 j1 m j

47 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Στη συνέχεια θα συγκριθούν οι σχέσεις για τη ροπή ανατροπής βάσης σε πολυώροφα και μονώροφα κτίρια. Η ροπή ανατροπής βάσης για το πολυώροφο κτίριο δίνεται ως (βλ. Πίνακα ): st M t M A t M t h V t bn bn n bn n bn Η σχέση αυτή δείχνει ότι αν το μονοβάθμιο σύστημα έχει μάζα Μ n * και είναι συγκεντρωμένη σε ύψος h n * τότε η ροπή ανατροπής που δημιουργείται είναι ίση με αυτή της n ιδιομορφής του πολυωρόφου

48 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Α: Ανάλυση χρονοϊστορίας απόκρισης 2. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Η ποσότητα hn* ονομάζεται ενεργό ιδιομορφικο ύψος, είναι μικρότερο από το ολικό ύψος και εξαρτάται από την κατανομή της μάζας καθ ύψος και από το σχήμα της ιδιομορφής. Ακόμη ισχύει η παρακάτω σχέση (βλ. Απόδειξη 13.2): N N hm n n hm j j n1 j1 Για κάποιες από τις ανώτερες ιδιομορφές, το ενεργό ιδιομορφικό ύψος μπορεί να προκύψει αρνητικό. Αυτό υποδεικνύει ότι η ιδιομορφική στατική τέμνουσα βάσης και η ιδιομορφική στατική ροπή ανατροπής της n ιδιομορφής έχουν αντίθετα πρόσημα.

49 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Η μέθοδος ανάλυσης χρονο-ιστορίας απόκρισης παρέχει την απόκριση r(t) ως συνάρτηση του χρόνου, αλλά ο σχεδιασμός βασίζεται συνήθως στις μέγιστες τιμές των δυνάμεων και των παραμορφώσεων για όλη τη διάρκεια της σεισμικά επιβαλλόμενης απόκρισης. Σε αναλογία με το μονοβάθμιο σύστημα η μέγιστη απόκριση μπορεί να υπολογιστεί από φάσμα απόκρισης. Η απόκριση που λαμβάνεται από τη δυναμική φασματική ανάλυση για πολυβάθμια συστήματα δεν είναι τόσο ακριβής όσο η ανάλυση χρονο-ιστορίας απόκρισης. Η ακρίβεια που επιτυγχάνεται με τη δυναμική φασματική ανάλυση είναι αποδεκτή για τις συνήθεις εφαρμογές σχεδιασμού κατασκευών.

50 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Μέγιστες ιδιομορφικές αποκρίσεις: st n0 n n r r A Το Α n είναι η μέγιστη τιμή της A n (t) και προκύπτει από το φάσμα ψεύδο-επιτάχυνσης ως η τεταγμένη του A n (T n, ζ n ). Το αλγεβρικό πρόσημο της r n0 είναι ίδιο με αυτό της r n st γιατί η Α n είναι θετική εξ ορισμού. Το πρόσημο αυτό πρέπει να διατηρείται. Όλα τα μεγέθη απόκρισης r n (t) που σχετίζονται με τη n ιδιομορφή λαμβάνουν τις μέγιστες τιμές τους την ίδια χρονική στιγμή που η A n (t) γίνεται μέγιστη.

51 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Εν γένει οι ιδιομορφικές αποκρίσεις λαμβάνουν τις μέγιστες τιμές τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή της συνολικής απόκρισης. Άρα Γίνεται αναγκαίο να αναπτυχθούν κανόνες συνδυασμού των ιδιομορφών:

52 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Εν γένει οι ιδιομορφικές αποκρίσεις λαμβάνουν τις μέγιστες τιμές τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή της συνολικής απόκρισης. Άρα Γίνεται αναγκαίο να αναπτυχθούν κανόνες συνδυασμού των ιδιομορφών: ABSSUM (Αbsolute Sum Συνδυασμός απόλυτου αθροίσματος): r N r 0 n0 n1 Πολύ συντηρητικά αποτελέσματα

53 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Εν γένει οι ιδιομορφικές αποκρίσεις λαμβάνουν τις μέγιστες τιμές τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή της συνολικής απόκρισης. Άρα Γίνεται αναγκαίο να αναπτυχθούν κανόνες συνδυασμού των ιδιομορφών: ABSSUM (Αbsolute Sum Συνδυασμός απόλυτου αθροίσματος): r N 0 n0 n1 SRSS (Square Root of Sum of Squares Κανόνας τετραγωνικής ρίζας αθροίσματος των τετραγώνων) N 12 2 Ακριβή αποτελέσματα για απόκριση r0 rn0 συστημάτων με μεγάλη διαφορά n1 ανάμεσα στις ιδιοσυχνότητες r Πολύ συντηρητικά αποτελέσματα

54 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης CQC (Complete Quadratic Combination Κανόνας πλήρους τετραγωνικού συνδυασμού) Συντελεστής συσχέτισης. Μεταβάλλεται από το 0 στο 1 και είναι ίσος με 1 για i=n r N N ρ r r 0 in i0 n0 i1n1 12 Ξεπερνά τους περιορισμούς του κανόνα SRSS.

55 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης CQC (Complete Quadratic Combination Κανόνας πλήρους τετραγωνικού συνδυασμού) r N N ρ r r 0 in i0 n0 i1n1 12 Η παραπάνω σχέση μπορεί να ξαναγραφτεί ως: N N N 2 r0 rn0 ρinri0rn0 n1 i1n1 in 12 Λόγω αυτού του όρου ο CQC δίνει τιμές μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές από τον SRSS.

56 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Για τον συντελεστή συσχέτισης έχει προταθεί η παρακάτω έκφραση από τους Rosenblueth και Elorduy (1969): ωi 1ζi ωn 1ζn 2 in 2 in n n 1 εin i i n n n ρ, ε, ζ ζ ζω ζ ω ωs Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι ρ in =ρ ni και ρ in =1 για i=n. ιάρκεια της ισχυρής φάσης της σεισμικής διέγερσης.

57 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Για τον συντελεστή συσχέτισης έχει προταθεί η παρακάτω έκφραση από τους Rosenblueth και Elorduy (1969): ωi 1ζi ωn 1ζn 2 in 2 in n n 1 εin i i n n n ρ, ε, ζ ζ ζω ζ ω ωs Για ίδιους λόγους απόσβεσης σε κάθε ιδιομορφή και για μεγάλη διάρκεια σεισμού s η παραπάνω σχέση γράφεται ως: 2 2 ζ 1 βin in 2 2 in i n 1βin 4ζ βin ρ, β ω ω

58 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Για τον συντελεστή συσχέτισης έχει προταθεί και η παρακάτω έκφραση από τον Der Kiureghian (1981): ρ 32 8 ζζ i n βinζi ζn βin in, β 2 in ωi ωn βin 4ζiζnβin 1 βin 4 ζi ζn βin Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι ρ in =ρ ni και ρ in =1 για i=n.

59 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης Για τον συντελεστή συσχέτισης έχει προταθεί και η παρακάτω έκφραση από τον Der Kiureghian (1981): ρ 32 8 ζζ i n βinζi ζn βin in, β 2 in ωi ωn βin 4ζiζnβin 1 βin 4 ζi ζn βin Για ίδιους λόγους απόσβεσης σε κάθε ιδιομορφή και για μεγάλη διάρκεια σεισμού s η παραπάνω σχέση γράφεται ως: β in 4ζ βin 1βin ζ 1 βin βin in 2 in i n ρ, β ω ω

60 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 3. Μέγιστη απόκριση από το φάσμα σεισμικής απόκρισης O συντελεστής συσχέτισης μειώνεται γρήγορα όσο οι ιδιοσχνότητες ωi και ωn απομακρύνονται. Η μείωση είναι ακόμα πιο μεγάλη για μικρούς λόγους απόσβεσης Για κατασκευές με διαδοχικές ιδιοσυχνότητες που διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους οι συντελεστές ρ in τείνουν στο μηδέν Σαν αποτέλεσμα οι όροι για τους οποίους ισχύει i n στον κανόνα CQC μπορούν να αμεληθούν και ο κανόνας αυτός μετατρέπεται στον κανόνα SRSS.

61 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 4. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Θεωρείται πολυώροφο κτίριο συμμετρικής κάτοψης που υποβάλλεται σε οριζόντια μετακίνηση της βάσης του. Ισχύει: u Γφ D, Δ Γ φ φ D jn n jn n jn n jn j1,n n 2 bn n n bn n n n n n n V M A, M h M A, D A ω Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις προκύτπουν ως: f s A, f Γ m φ A n n n ij n j jn n

62 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 4. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Σύνοψη: 1. Προσδιορισμός ιδιοτήτων κατασκευής: Υπολογισμός μητρώων μάζας και δυσκαμψίας m, k και εκτίμηση των λόγων απόσβεσης ζ n. 2. Υπολογισμός ιδιοσυχνοτήτων ω n (Τ n =2π/ω n ) και ιδιομορφών ταλάντωσης φ n. 3. Υπολογισμός μέγιστης απόκρισης για την n ιδιομορφή ως εξής: Για την ιδιοπερίοδο Τ n και το λόγο απόσβεσης ζ n προσδιορίζονται οι τιμές της μετατόπισης και της ψευδο-επιτάχυνσης από το φάσμα σεισμικής απόκρισης ή φάσμα σχεδιασμού. Υπολογισμός των μετατοπίσεων των πατωμάτων και των σχετικών μετατοπίσεων των ορόφων.

63 Σεισμική Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων Μέρος Β: Φασματική δυναμική ανάλυση 4. Πολυώροφα κτίρια συμμετρικής κάτοψης Σύνοψη: Υπολογισμός ισοδύναμων πλευρικών στατικών δυνάμεων f n. Υπολογισμός των εντατικών μεγεθών με στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης σε φόρτιση f n. 4. Προσδιορισμός της μέγιστης τιμής r οποιουδήποτε μεγέθους απόκρισης χρησιμοποιώντας κάποιο κανόνα συνδυασμού (SRSS εάν οι ιδιοσυχνότητες απέχουν αρκετά μεταξύ τους). Συνήθως οι κατώτερες ιδιομορφές συμβάλλουν σημαντικά στην απόκριση. Επομένως τα βήματα 2,3 εκτελούνται μόνο για αυτές τις ιδιομορφές.

64 Μείωση Βαθμών Ελευθερίας

65 Μείωση Βαθμών Ελευθερίας 1. Κινηματικοί περιορισμοί Σε πολλές κατασκευές δημιουργούνται κινηματικοί περιορισμοί έτσι ώστε πολλοί β.ε. μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει ενός μικρότερου αριθμού β.ε. Π.χ. Ύπαρξη διαφραγμάτων 3 β.ε. ανά όροφο. 20-ωροφο κτίριο: 640 κόμβοι x6 β.ε. = 3840 β.ε. Λόγω διαφραματικής λειτουργίας οι β.ε. γίνονται Ένας άλλος κινηματικός περιορισμός που υιοθετείται συχνά αφορά την θεώρηση αξονικά απαραμόρφωτων υποστηλωμάτων 20-ωροφο κτίριο: οι 1980 β.ε. μειώνονται στους 1340.

66 Μείωση Βαθμών Ελευθερίας 2. Συγκέντρωση μάζας σε επιλεγμένους β.ε. Η μάζα της κατασκευής μπορεί να προσομοιωθεί με συγκεντρωμένη στους κόμβους. Η στροφική αδράνεια θεωρείται αμελητέα. Συνεπώς μπορεί να εφαρμοστεί η διαδικασία της στατικής συμπύκνωσης. 20-ωροφο κτίριο: οι 1980 β.ε. μειώνονται στους 60. Εναλλακτική μέθοδος μείωσης β.ε. είναι και η μέθοδος Rayleigh-Ritz η οποία χρησιμοποιεί μια προεπιλεγμένη βάση μορφών παραμόρφωσης με την οποία μειώνει σημαντικά το σύστημα εξισώσεων και υπολογίζει μια προσέγγιση της λύσης.

67 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης

68 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Α. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων Β. Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων με Κλασική Απόσβεση ι) Μέθοδος κεντρικών διαφορών ιι) Μέθοδος Newmark Γ. Ανάλυση μη Γραμμικών Συστημάτων

69 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Α. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων Σκοπός είναι η αριθμητική επίλυση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων της απόκρισης πολυβάθμιων συστημάτων: mu + cu + ku = p t ή mu u u0 u u 0 με αρχικές συνθήκες: και για t=0 Η κλίμακα του χρόνου διαιρείται σε μια σειρά χρονικών βημάτων, συνήθως σταθερής διάρκειας Δt. Η διέγερση δίδεται σε διακριτές χρονικές στιγμές t i =iδt i από το διάνυσμα φόρτισης p i =p(t i ) και η απόκριση προσδιορίζεται στις ίδιες χρονικές στιγμές και συμβολίζεται με u i =u(t i ). g

70 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Α. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων Ξεκινώντας με τη γνωστή απόκριση του συστήματος τη χρονική στιγμή i που ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης τη χρονική στιγμή i i i s i i οι μέθοδοι χρονικών βημάτων μας δίνουν τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε την απόκριση του συστήματος τη χρονική στιγμή i+1 που ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης τη χρονική στιγμή i+1 mu + cu + f = p mu + cu + f = p i1 i1 s i1 i1 Όταν εφαρμόζεται διαδοχικά για i=0,1,2, η διαδικασία χρονικών βημάτων δίνει την επιθυμητή απόκριση για όλες τις στιγμές i=1,2, Οι γνωστές αρχικές συνθήκες τη χρονική στιγμή i=0 παρέχουν τις απαιτούμενες πληροφορίες για την έναρξη της διαδικασίας.

71 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Β. Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων με Κλασική Απόσβεση Οι προς επίλυση Ν διαφορικές εξισώσεις για τις επικόμβιες μετατοπίσεις u όταν εφαρμόζονται για γραμμικά συστήματα είναι: mu + cu + ku = p Ακολούθως, οι επικόμβιες μετατοπίσεις προσεγγίζονται με ένα γραμμικό συνδυασμό των πρώτων J ιδιομορφών (J<N) u J t t q t Φq t n1 Χρησιμοποιώνταςαυτότομετασχηματισμό, η εξίσωση κίνησης γίνεται n n Mq + Cq + Kq = P Οι J εξισώσεις είναι ασύζευκτες για σύστημα με κλασική απόσβεση ενώ για μη κλασική απόσβεση (το C δεν είναι διαγώνιο) οι J εξισώσεις είναι συζευγμένες και η επίλυση τους γίνεται αριθμητικά. t

72 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Β. Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων με Κλασική Απόσβεση Μέθοδος κεντρικών διαφορών Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε προσέγγιση πεπερασμένων διαφορών των παραγώγων ως προς το χρόνο της μετατόπισης. Απαιτείται η μετατροπή των αρχικών συνθηκών των επικόμβιων μετατοπίσεων σε ιδιομορφικές συντεταγμένες, Ηλύσητηνχρονικήστιγμήi+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i χωρίςχρήσητηςκατάστασηςισορροπίαςτηχρονικήστιγμήi+1 το οποίο σημαίνει ότι η μέθοδος είναι ρητή αριθμητική μέθοδος. Το χρονικό διάστημα t πρέπει να είναι αρκετά μικρό. Απαίτηση ευστάθειας: t 0.1 Παρατήρηση: t 0.1 Tn Tn / T που απαιτείται στα μονοβάθμια συστήματα. n

73 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Β. Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων με Κλασική Απόσβεση Μέθοδος Newmark Οι βαθμωτές εξισώσεις της μεθόδου (όπως αναπτύχθηκε για μονοβάθμια συστήματα) που συνδέουν τις μεταβολές της απόκρισης από τη χρονική στιγμή i μέχρι i+1 με τα μεγέθη απόκρισης τη χρονική στιγμή i καθώς και η εξίσωση ισορροπίας μεταβολών μετατρέπονται σε μητρωικές εξισώσεις όπως επίσης και οι αρχικές συνθήκες μετατρέπονται σε όρους ιδιομορφικών συντεταγμένων. Οι παράμετροι β και γ ορίζουν την μεταβολή της επιτάχυνσης σε ένα χρονικό βήμα και προσδιορίζουν τα χαρακτηριστικά της ευστάθειας και της ακρίβειας της μεθόδου. Σταθερή Μέση Επιτάχυνση 1/ /6 1 2 Γραμμική Μεταβολή Επιτάχυνση

74 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Β. Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων με Κλασική Απόσβεση Μέθοδος Newmark Στη μέθοδο Newmark, ηλύσητηνχρονικήστιγμήi+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1 (το Κ υπεισέρχεται στο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό του q i+1 τη χρονική στιγμή i+1) γεγονός που σημαίνει ότι η μέθοδος είναι πεπλεγμένη. Για Σταθερή Μέση Επιτάχυνση 1/2 1/4 t/ Tn Οπότε η μέθοδος Μέση Επιτάχυνση είναι άνευ συνθηκών ευσταθής αλλα είναι ακριβής μόνο για μικρά Δt π.χ t 0.1T n Για Γραμμική Μεταβολή Επιτάχυνσης 1/2 1/6 t/ T n Υπό συνθήκες ευσταθής, ωστόσο και εδώ για να είναι η μέθοδος ακριβής το Δt πρέπει να είναι πολύ μικρότερο από το όριο ευστάθειας π.χ t 0.1T n

75 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Αρχή Υπολογισμός Επίλυση Επιλογή Υπολογισμός Υπολογισμός για το χρονικό βήμα i Επίλυση Λύση για το χρονικό βήμα i i=i+1 0 T n mu Mq P Cq Kq q 0 T n 1 1 t Kˆ M C q q tq q 2 t 2 t 2 T Pi Φ pi P ˆi P i aqi 1 bp i mu T q n 0 q T n 0 P 0Φ p0 T n m n n m n t i 1 ˆi i 1 Kq P q u T i+1 Φ qi+1 a M C t 2 t 2 b Κ M t 2 i<=i_max OΧΙ Τέλος ΝΑΙ ιάγραμμα ροής για τη Μέθοδο Κεντρικών ιαφορών

76 Αριθμητικός Υπολογισμός υναμικής Απόκρισης Αρχή Υπολογισμός Επίλυση Επιλογή Υπολογισμός Υπολογισμός για το χρονικό βήμα i Επίλυση Λύση για το χρονικό βήμα i i=i+1 0 T n mu T q n 0 P0 Φ p0 T n m n Mq P Cq Kq q t ˆ 1 K K M 2 t C t T i i P Φ p ΔPˆi ΔP i aq i bp i ˆi KΔq ΔP Δq i q q Δq i+1 i i i u T n 0 T i+1 Φ qi+1 mu q n 0 T n m n 1 a M C t 1 b Mt 1C 2 2 i<=i_max OΧΙ Τέλος ΝΑΙ ιάγραμμα ροής για τη Μέθοδο Newmark

77 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα

78 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες υνάμεις 2. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: ιέγερση Στηρίξεων 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης 4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών 5. Ιδιομορφική υναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση 6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης 7. Φασματική υναμική Ανάλυση Σεισμικής Απόκρισης 8. υσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων

79 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες υνάμεις Εγκάρσια ταλάντωση ευθύγραμμης δοκού χωρίς απόσβεση που υπόκειται σε εξωτερική δύναμη. Το μέτρο δυσκαμψίας ΕΙ(x) και η μάζα m(x) μπορούν να μεταβάλλονται με τη θέση x ενώ το εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο p(x,t) μπορεί να μεταβάλλεται με τη θέση και το χρόνο. Το σύστημα έχει άπειρο αριθμό β.ε. επειδή η μάζα του είναι κατανεμημένη. υνάμεις στο στοιχειώδες τμήμα δοκού ακολουθώντας την αρχή D Alembert: V x 2 u pm 2 t V M x Ημερικήδιαφορικήεξίσωση: u u m x EI x p x t, t x x u x,0 u x,0 Συνοριακές Συνθήκες:

80 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 2. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: ιέγερση Στηρίξεων ύο απλές περιπτώσεις: ι) μία δοκός πρόβολος που υπόκειται σε οριζόντια κίνηση βάσης και ιι) μια δοκός με πολλαπλές στηρίξεις που υπόκειται σε πανομοιότυπη κίνηση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Η ολική μετατόπιση είναι:,, t u x t u x t ug t Αναγνωρίζοντας ότι οι αδρανειακές δυνάμεις σχετίζονται με τις ολικές επιταχύνσεις και εξωτερικές δυνάμεις δεν υπάρχουν προκύπτει: 2 t 2 2 V u u u m m m x t t t Ημερικήδιαφορικήεξίσωση: u u m x EI x m x u g x t t x x, g

81 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 2. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: ιέγερση Στηρίξεων ύο απλές περιπτώσεις: ι) μία δοκός πρόβολος που υπόκειται σε οριζόντια κίνηση βάσης και ιι) μια δοκό με πολλαπλές στηρίξεις που υπόκειται σε πανομοιότυπη κίνηση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Η ολική μετατόπιση είναι:,, t u x t u x t ug t Αναγνωρίζοντας ότι οι αδρανειακές δυνάμεις σχετίζονται με τις ολικές επιταχύνσεις και οι εξωτερικές δυνάμεις δεν υπάρχουν προκύπτει: 2 t 2 2 V u u u m m m x t t t Ημερικήδιαφορικήεξίσωση: u u m x EI x m x u g x t t x x, eff,, p xt m x u xt g g

82 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης Για την περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης η εξίσωση κίνησης γίνεται: m x u u EIx t x x Θα επιχειρήσουμε λύση της μορφής: u x, t x q t τότε t 2 2, xqt ux, t xqt u x t Αντικαθιστώντας τις παραπάνω, οδηγούμαστε στη σχέση: ηοποίαγράφεταιως Συνάρτηση του t 2 x 0 m x x q t q t EI x x qt EI x x qt mx x 2 Συνάρτηση του x

83 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης Επομένως η μερική διαφορική εξίσωση μετατρέπεται σε δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, που η μια προσδιορίζει τη συνάρτηση του χρόνου και η άλλη του χώρου 2 qt qt 0 2 EI x x mxx0 Για την ειδική περίπτωση μιας ομοιόμορφης δοκού EI(x)=EI και m(x)=m IV 2 IV 2 EI x x m x 0 x x 0 Η γενική λύση της παραπάνω είναι: x C sin x C cos x C sinh x C cosh x με 2 m EI Όπου τα C 1,C 2,C 3 και C 4 που προσδιορίζονται από της συνοριακές συνθήκες.

84 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης i. Ομοιόμορφη Αμφιέρειστη οκός Για x=0 και x=l η μετατόπιση και η καμπτική ροπή είναι μηδέν. Σ.Σ u 0, t 0 0 0C C 0 Σ.Σ. 3 L u L, t 0 0 C sin L C sinh L Σ.Σ. 2 M t 0, C C Σ.Σ. 4 L M L, t C L C L sin sinh Προσθέτοντας τις Σ.Σ. 3 και 4 προκύπτει ότι C 1 sin L 0 C 3 sinh L 0 C 1 =0 φ(χ)=0 τετριμμένη λύση sinβl=0 βl=nπ n=1,2,3, και οδηγούμαστε σε

85 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης i. Ομοιόμορφη Αμφιέρειστη οκός 1 η Ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης: 2 2 n EI n n 1,2,3,... 2 L m Ιδιομορφές ταλάντωσης n n x x C sin n 1,2,3,... L 1 2 η 3 η

86 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης ii. Ομοιόμορφη οκός Πρόβολος Για x=0 η μετατόπιση και η στροφή είναι μηδέν ενώ για και η τέμνουσα είναι μηδέν Σ.Σ. 1 Σ.Σ. 2 u u t 0, C C 2 4 t 0, C C 3 1 Σ.Σ. 3 Σ.Σ. 4 Σε μητρωική μορφή οι Σ.Σ. 3 και 4 γράφονται x=l ηκαμπτικήροπή VL, t 0 L 0 C cos L cosh L C sin Lsinh L ML, t 0 L 0 C sin L sinh L C cos Lcosh L sin Lsinh L cos Lcosh L C1 0 cos Lcosh L sin Lsinh L 0 C 2

87 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 3. Ιδιοσυχνότητες και Ιδιομορφές Ταλάντωσης ii. Ομοιόμορφη οκός Πρόβολος Η ορίζουσα του μητρώου πρέπει να είναι μηδενική οπότε: 1 cos Lcosh L 0 Η εξίσωση λύνεται αριθμητικά και προκύπτουν L EI m EI m L L EI m L EI m 1 η 2 η 3 η 4 η

88 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών Θεωρούμε σύστημα με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα. Έστω δοκός ενός ανοίγματος με αρθρωμένα, πακτωμένα ή ελεύθερα άκρα. 2 Για την ιδιομορφή r: EIx x mx x r r r Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με φ η και ολοκληρώνοντας από 0 έως L x EI x x dx m x x x dx L L 0 n r r 0 n r 2 Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ολοκληρώνεται κατά παράγοντες δύο φορές ως L L L n x EI x r x dx n x EI x r x n xeixr x L EI x 0 n x r x dx Παρατήρηση: οι όροι των αγκυλών είναι 0 για x=0,l

89 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 4. Ορθογωνικότητα των Ιδιομορφών Οπότε με τους όρους στις αγκύλες να μηδενίζονται η εξίσωση γράφεται: L L n r r n r EI x x x dx m x x x dx Ομοίως, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για την ιδιομορφή η και πολλαπλασιάζοντας με την φ r και ολοκληρώνοντας από 0 έως L προκύπτει L L n r n n r EI x x x dx m x x x dx 2 2 Αφαιρώντας τις παραπάνω κατά μέλη: n r n r L 0 m x x x dx 0 Επομένως, εάν n r L 0 n r m x x x dx 0 το οποίο μας οδηγεί στη σχέση: L 0 n x EI x r x dx0 Σχέσεις Ορθογωνικότητας

90 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 5. Ιδιομορφική υναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση 2 Υποθέτοντας ότι το πρόβλημα ιδιοτιμών EI x x m x x 0 έχει λυθεί ως προς τις ιδιοσυχνότητες και τις ιδιομορφές, ημετατόπισηδίδεταιαπό γραμμικό συνδυασμό των ιδιομορφών, u x t r x q r t r1 Η απόκριση έχει εκφραστεί ως επαλληλία τωνσυμβολώντωνανεξάρτητων ιδιομορφών Αντικαθιστώντας τη λύση στην αρχική εξίσωση, μετατρέπεται σε ένα άπειρο σύνολο συνήθων διαφορικών εξισώσεων, κάθε μια από τις οποίες έχει μια ιδιομορφική συντεταγμένη q n (t) ως άγνωστη. mxrxqrt EIxr x qrt px, t r1 r1

91 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 5. Ιδιομορφική υναμική Ανάλυση Απόκρισης σε Επιβαλλόμενη Φόρτιση Πολλαπλασιάζοντας με φ η ολοκληρώνοντας επί του μήκους της δοκού και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων ορθογωνικότητας των ιδιομορφών όλοι οι όροι στο αριστερό μέλος, εκτός από τον όρο r=n απαλείφονται: L 2 L L n 0 n n 0 n n 0 n, q t m x x dx q t x EI x x dx p x t x dx Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως: M q t K q t P t n n n n n Η γενικευμένη μάζα και δυσκαμψία της η ιδιομορφής σχετίζονται: K 2 n nmn Αφού έχουν προσδιοριστεί οι q n βρίσκουμε τη συμβολή της η ιδιομορφής στη μετατόπιση και η ολική μετατόπιση είναι u u x, t u x q t n n n Η καμπτική ροπή και η τέμνουσα δύναμη δίνονται ως n, Vx, t EIx x q t M xt EI x n xqn t n1 n1 n n n1

92 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Όταν η διέγερση είναι η επιτάχυνση των στηρίξεων, η διαδικασία είναι παρόμοια με αντικατάσταση του p(x,t) με p eff (x,t). Οι ενεργές σεισμικές δυνάμεις είναι: eff,, p xt m x u xt Η χωρική κατανομή αυτών των δυνάμεων καθορίζεται από τη μάζα και αναπτύσσεται ως άθροισμα των κατανομών των αδρανειακών δυνάμεων s n (x) που σχετίζονται με τις ιδιομορφές ταλάντωσης mx srx rmx rx r1 r1 Πολλαπλασιάζοντας με φ η ολοκληρώνοντας επί του μήκους της δοκού και κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει h L L n h n όπου L n mx n xdx M n 0 g

93 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Ησυμβολήτηςη ιδιομορφής στη μάζα είναι: s x m x x n n n Για ομοιόμορφους προβόλους με μάζα m ανά μονάδα μήκους η ιδιομορφική επαλληλία είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 1 η 2 η 3 η 4 η

94 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 6. Ανάλυση Χρονοϊστορίας Σεισμικής Απόκρισης Αντικαθιστώντας στην, P t L p x t x dx n 0 n το p eff (x,t) προκύπτει: P t L h u t n n g και χρησιμοποιώντας την παραπάνω προκύπτουν οι ιδιομορφικές εξισώσεις χωρίς απόσβεση, ενός πύργου που υπόκειται σε σεισμική διέγερση 2 n n n ng q q u t Ενώ για σύστημα με κλασική απόσβεση η σχέση γράφεται ως 2 qn 2nnq n nqn nug t Η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι της μορφής qn t ndn t όπου Dn t Ησυμβολήτηςη ιδιομορφής στη μετατόπιση είναι u xd t είναι η απόκριση μετατόπισης του συστήματος η-οστής ιδιομορφής n n n n

95 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 7. Φασματική υναμική Ανάλυση Σεισμικής Απόκρισης Η μέγιστη απόκριση ενός συστήματος κατανεμημένης μάζας μπορεί να υπολογιστεί από το φάσμα σεισμικής απόκρισης. Η ακριβής τιμή της απόκρισης της η-οστής ιδιομορφής r n (t) είναι rno rn st An όπου An A Tn, n η τεταγμένη του φάσματος ψευδο-επιτάχυνσης. Εναλλακτικά, η r nο μπορεί αν θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της στατικής ανάλυσης του προβόλου (πύργου) υποκείμενου σε εξωτερικά f φορτία x s x A no n n Η μέγιστη τιμή r ο της ολικής απόκρισης r(t) μπορεί να υπολογιστεί συνδυάζοντας τα ιδιομορφικά μέγιστα r nο σύμφωνα με κάποιους από τους κανόνες συνδυασμού των ιδιομορφών όπως 1/2SRSS 2 ro rn 0 n1

96 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 8. υσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Η δυναμική απόκριση συστημάτων με κατανεμημένη μάζα και ελαστικότητα μπορεί να προσδιοριστεί με τη μέθοδο ιδιομορφικής ανάλυσης από τη στιγμή που έχουν καθοριστεί οι ιδιοσυχνότητες και οι ιδιομορφές ταλάντωσης. Τα παραδείγματα που παρουσιαστήκαν (ομοιόμορφη αμφιέρειστη δοκός και ομοιόμορφη δοκός πρόβολος) ασχολήθηκαν με ομοιόμορφες δοκούς και οι ιδιοσυχνότητες/ιδιομορφές βρέθηκαν αναλυτικά. Αυτή η προσέγγιση είναι σπάνια εφικτή εάν το ΕΙ ήηmμεταβάλλονται κατά μήκος, αν εμπλέκονται πολλές στηρίξεις ή αν το σύστημα είναι σύνθεση πολλών μελών. Στη συνέχει θα αναφερθούμε σε κάποιες από τις δυσκολίες στην εξαγωγή αναλυτικών λύσεων.

97 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 8. υσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Ας θεωρήσουμε μια δοκό ενός ανοίγματος με μάζα m(x) και μέτρου δυσκαμψίας EI(x). Για να καθορίσουμε τις ιδιοσυχνότητες και τις ιδιομορφές πρέπει να επιλύσουμε το την εξίσωση IV 2 EI x x 2EI x x EI x x m x x 0 Οι συντελεστές,ei,ei και m x μεταβάλλονται με το x και η αναλυτική λύση για τα ω 2 είναι σπάνια εφικτή. Επομένως, δεν είναι πρακτικό να χρησιμοποιούμε την κλασική προσέγγιση για πρακτικά προβλήματα τέτοιου τύπου.

98 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 8. υσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Ας θεωρήσουμε μια δοκό με πολλές στηρίξεις. Το ομοιόμορφο τμήμα μεταξύ κάθε ζεύγους στηρίξεων θεωρείται ως ξεχωριστή δοκός με αρχή συντεταγμένων το αριστερό άκρο της δοκού. Η εξίσωση κίνησης εφαρμόζεται σε κάθε τμήμα και οι αναγκαίες συνοριακές συνθήκες είναι 1.Σε κάθε άκρο εφαρμόζονται οι συνοριακές συνθήκες ανάλογα με τον τύπο στήριξης. 2.Σε κάθε ενδιάμεση στήριξη η παραμόρφωση είναι μηδέν και η στροφή και η ροπή στο δεξί και αριστερό μέρος είναι ίδιες (συνεχής δοκός). Η παραπάνω διαδικασία γρήγορα γίνεται δύσχρηστη εξαιτίας των τεσσάρων σταθερών που πρέπει να υπολογιστούν σε κάθε τμήμα της δοκού.

99 Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Ελαστικότητα 8. υσκολία στην Ανάλυση Πρακτικών Συστημάτων Ας θεωρήσουμε ένα πλαίσιο με δύο μέλη. Κάθε μέλος θεωρείται ως ξεχωριστή δοκός με αρχή συντεταγμένων το ένα άκρο. Η εξίσωση κίνησης εφαρμόζεται σε κάθε μέλος και οι αναγκαίες συνοριακές συνθήκες είναι: 1.Στις στηρίξεις του πλαισίου εφαρμόζονται οι συνοριακές συνθήκες ανάλογα με τον τύπο στήριξης. 2.Στον κόμβο οι ακραίες μετατοπίσεις των συντρεχόντων μελών πρέπει να είναι συμβατές. 3.Στον κόμβο οι ακραίες στροφές των συντρεχόντων μελών πρέπει να είναι συμβατές. 4.Στον κόμβο οι καμπτικές ροπές πρέπει να είναι σε ισορροπία. Η παραπάνω διαδικασία γρήγορα γίνεται δύσχρηστη για πλαίσιο με πολλά μέλη.

100 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων

101 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης 2. Επίδραση των T 1 και ρ στην Απόκριση 3. Συντελεστές Ιδιομορφικής Συμμετοχής 4. Επίδραση του Τ 1 στην Απόκριση Ανώτερων Ιδιομορφών 5. Επίδραση του ρ στην Απόκριση Ανώτερων Ιδιομορφών 6. Μεταβολή Καθ Ύψος της Απόκρισης Ανώτερων Ιδιομορφών 7. Πόσες Ιδιομορφές να Περιληφθούν

102 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης Τα συστήματα που εξετάζονται είναι πλαίσια πέντε ορόφων και ενός ανοίγματος με σταθερό ύψος ορόφων h και πλάτος 2h. Θεωρούμε ιδανικό σύστημα συγκεντρωμένων μαζών και ζ=5% Βρίσκουμε το λόγο δυσκαμψίας δοκών-υποστυλωμάτων ρ που βασίζεται στις ιδιότητες των δοκών και των υποστυλωμάτων στον όροφο που βρίσκεται πιο κοντά στο μέσο ύψος του κτιρίου EI beam EIb / Lb b EI / L EI c columns Για το ομοιόμορφο πλαίσιο ενός ανοίγματος η εξίσωση γίνεται I b 4I c c c που εξετάζουμε

103 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης Η παράμετρος ρ είναι η σχετική δυσκαμψία δοκών-υποστυλωμάτων και υποδεικνύει κατά πόσο το σύστημα μπορεί να συμπεριφερθεί ως πλαίσιο. Για ρ=0 οι δοκοί δεν περιορίζουν τις στροφές των κόμβων και η κατασκευή συμπεριφέρεται ως καμπτικός πρόβολος.

104 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης Η παράμετρος ρ είναι η σχετική δυσκαμψία δοκών-υποστυλωμάτων και υποδεικνύει κατά πόσο το σύστημα μπορεί να συμπεριφερθεί ως πλαίσιο. Για ρ= οι δοκοί περιορίζουν εντελώς τις στροφές των κόμβων και η κατασκευή συμπεριφέρεται ως διατμητικός πρόβολος με καμπτική παραμόρφωση διπλής καμπυλότητας.

105 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης Η παράμετρος ρ είναι η σχετική δυσκαμψία δοκών-υποστυλωμάτων και υποδεικνύει κατά πόσο το σύστημα μπορεί να συμπεριφερθεί ως πλαίσιο. Για μια ενδιάμεση τιμή ρ=1/8 περιγράφεται η συμπεριφορά ενός πλαισίου όπου οι δοκοί και τα υποστυλώματα κάμπτονται ενώ οι κόμβοι στρέφονται.

106 Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Ελαστικών Κτιρίων 1. Εξεταζόμενα Συστήματα, Φάσματα Σχεδιασμού και Μεγέθη Απόκρισης Η παράμετρος ρ είναι η σχετική δυσκαμψία δοκών-υποστυλωμάτων και υποδεικνύει κατά πόσο το σύστημα μπορεί να συμπεριφερθεί ως πλαίσιο. Για μια ενδιάμεση τιμή ρ=1/8 περιγράφεται η συμπεριφορά ενός πλαισίου όπου οι δοκοί και τα υποστυλώματα κάμπτονται ενώ οι κόμβοι στρέφονται. Η παράμετρος ρ καθορίζει: Την θεμελιώδη ιδιοπερίοδο Τ 1 Το αν οι ιδιοπερίοδοι θα έχουν παραπλήσιες ή απομακρυσμένες τιμές Το σχήμα των ιδιομορφών