Κεφάλαιο 3. υναµική Ρευστών

Transcript

1

2 Υγρά σε Ισορροπία Υδροστατική Ατµοσφαιρική πίεση Αρχή του Pascal Εφαρµογές Λυµένα παραδείγµατα Ρευστά σε κίνηση Εξίσωση Συνέχειας ιατήρηση της µάζας ιατήρηση µάζας και εξίσωση συνέχειας Η ιατήρησης της Ενέργειας και η εξίσωση ernoulli Νόµος ernoulli Εφαρµογές εξίσωσης ernoulli Λυµένα Παραδείγµατα Η Τριβή Στα Ρευστά, (Ιξώδες) Εξίσωση Ιξώδους Λυµένα Παραδείγµατα Βιβλιογραφία... 59

3 3. Ορισµός ρευστού. Με τον όρο ρευστό χαρακτηρίζεται µια οποιαδήποτε ουσία που παρουσιάζει ροή δηλ. έχει την ιδιότητα (δυνατότητα) να ρέει. Τα υγρά ρέουν και λαµβάνουν το σχήµα του δοχείου, στο οποίο τοποθετούνται, έχοντας σταθερό όγκο. Τα αέρια δεν έχουν σταθερό όγκο και καταλαµβάνουν εξ ολοκλήρου τον όγκο του δοχείου, στο οποίο βρίσκονται. Η διάκριση των ρευστών σε υγρά και αέρια βασίζεται στη σταθερότητα του όγκου τους (για ορισµένη θερµοκρασία). Τα υγρά είναι πρακτικά ασυµπίεστα, έχουν δηλαδή σταθερό όγκο, ανεξάρτητο από την πίεση. Αντίθετα τα αέρια είναι συµπιεστά δηλ. µεταβάλλουν τον όγκο τους σε αντίστοιχες µεταβολές της πίεσης. Αυτό σηµαίνει ότι ο όγκος τους εξαρτάται από την πίεσή τους. Στοιχείο ρευστού ή ρευστό σωµατίδιο. Ένα µικρό κοµµάτι του ρευστού, αποτελείται από µόρια, τα οποία κινούνται προς όλες τις κατευθύνσεις. Θεωρώντας το ρευστό ως συνεχές µέσο, ορίζουµε ως στοιχείο ή σωµάτιο ρευστού µια στοιχειώδη (πολύ µικρή) ποσότητα του ρευστού. Το στοιχείο ρευστού δεν είναι σωµατίδιο του µικρόκοσµου, δεν είναι λόγου χάρη µόριο, αλλά το αντίστοιχο "υλικό σηµείο" στη µηχανική ρευστών. Ο όγκος του στοιχείου ρευστού για αέρια ή υγρά σε πίεση περίπου atm είναι V mm 3 και περιέχει περίπου Ν=3, µόρια. Εποµένως, η πυκνότητα σε κάθε σηµείο του ρευστού ορίζεται ως m ρ = lim V V0 V, όπου V ο όγκος που περικλείει το συγκεκριµένο σηµείο και m η µάζα του ρευστού σε αυτό τον όγκο. Πιο αυστηρά, Ρευστά (Fluids) ονοµάζονται εκείνα τα υλικά σώµατα τα οποία παραµορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση διατµητικών τάσεων. F ιατµητική τάση ονοµάζεται το πηλίκο της παράλληλης ή εφαπτοµενικής δύναµης µέτρου F που εφαρµόζεται σε µια διατοµή του υλικού, προς την επιφάνεια της διατοµή. ηλαδή η διατµητική τάση είναι η τάση που είναι παράλληλη στο επίπεδο της διατοµής. τ =F/. Χρήστος Αγριόδηµας 3

4 3. Υγρά σε Ισορροπία Πίεση: Η πίεση είναι το φυσικό µέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του µέτρου της δύναµης F που ασκείται κάθετα σε µία επιφάνεια, προς το εµβαδόν της επιφάνειας αυτής: F F F p =, p = lim 0 όπου F το µέτρο της δύναµης και Α το εµβαδό της επιφάνειας. Στο S.I. η πίεση µετριέται σε Pa (Pascal). Pa = N/m Η πίεση εκφράζει τη δύναµη που ασκείται κάθετα στη µονάδα επιφάνειας. Α Πότε ένα υγρό είναι σε ισορροπία; Ένα υγρό βρίσκεται σε ισορροπία όταν κάθε στοιχειώδες τµήµα, (στοιχείο ρευστού) παραµένει στο ίδιο σηµείο. Τα µόρια του στοιχείου ρευστού κινούνται, αλλά το τµήµα ρευστού παραµένει στη θέση του. Οι θερµικές, (άτακτες) ταχύτητες των µορίων δεν είναι µηδενικές, αλλά ο αριθµός των µορίων που περιέχονται σε κάθε στοιχείο ρευστού είναι σταθερός. Τα ρευστά ασκούν κάθετες δυνάµεις Τα ρευστά (αέρια και υγρά) δεν έχουν καθορισµένο σχήµα και έτσι προσαρµόζονται στο σχήµα των στερεών επιφανειών µε τις οποίες εφάπτονται. Όταν ένα ρευστό είναι σε ισορροπία, η δύναµη που ασκεί ένα ρευστό σε µια επιφάνεια είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια, (σχήµα ). Είναι προφανές ότι, όταν ένα υγρό (ιδανικό ή πραγµατικό) βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας δεν θα δέχεται από το περιβάλλον του διατµητικές δυνάµεις, δηλαδή δυνάµεις που ενεργούν εφαπτοµενικά προς την εξωτερική τους επιφάνεια., αφού δεν ρέει. Έτσι οι δυνάµεις που θα αναπτύσονται µεταξύ δύο στρωµάτων του υγρού που είναι σε ισορροπία θα είναι πιεστικές δυνάµεις, δηλαδή κάθετες προς την επιφάνεια συνεπαφής των δύο στρωµάτων. Αν δεν συνέβαινε αυτό τότε θα είχαµε ροή ρευστού διότι οι συνιστώσες της δύναµης παράλληλα στην επιφάνεια θα έθεταν το ρευστό σε κίνηση. Επίσης κάθετες θα είναι και οι δυνάµεις που θα δέχεται το υγρό από κάθε επιφάνεια µε την οποία είναι σε επαφή. Π.χ. από τα τοιχώµατα του δοχείου που το περιέχει, βλ. σχήµα ή από τα τοιχώµατα του στερεού σώµατος που είναι βυθισµένο µέσα σ αυτό, βλ. σχήµα 3. Το υγρό ασκεί µία δύναµη στα τοιχώµατα και τα τοιχώµατα µία αντίθετη δύναµη στο υγρό, (δράση αντίδραση). Εάν η δύναµη δεν ήταν κάθετη στα τοιχώµατα θα είχε µία συνιστώσα παράλληλη στα τοιχώµατα και θα έθετε το υγρό σε κίνηση. Συνηθίζεται η πίεση να αναφέρεται σαν µονόµετρο µέγεθος. Στην πραγµατικότητα δεν είναι γι αυτό και αποφεύχθηκε να αναφερθεί όπως συνήθως γίνεται. Η αλληλεπίδραση µεταξύ των τµηµάτων του ρευστού δεν µπορεί να περιγραφεί από το µέγεθος πίεση. Η ύπαρξη διατµητικών δυνάµεων στην περίπτωση κινουµένου ρευστού µας οδηγεί στον ορισµό µεγεθών που δεν είναι ούτε µονόµετρα ούτε διανυσµατικά. Τα µεγέθη αυτά ονοµάζονται τανυστές. Η ανάλυση όµως αυτή δεν είναι στα πλαίσια που ακολουθούµε. Χρήστος Αγριόδηµας 4

5 df df d Σχήµα Σχήµα Σχήµα Υδροστατική Ατµοσφαιρική πίεση Η πίεση στα διάφορα σηµεία του χώρου που καταλαµβάνει κάποιο υγρό και στα τοιχώµατα του δοχείου µέσα στο οποίο περιέχεται οφείλεται σε εξωτερικά αίτια. Εποµένως η πίεση στα σηµεία του υγρού οφείλεται: α) στο βάρος του υγρού και β) σε άλλα εξωτερικά αίτια. Ως άλλο εξωτερικό αίτιο µπορούµε να θεωρήσουµε την δύναµη που ασκεί κάποιο έµβολο σε µια περιοχή του υγρού. Π.χ. Η πίεση που µετράει το µανόµετρο στο δοχείο του σχήµατος οφείλεται και στο βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο αλλά και στη δράση του εµβόλου και της δύναµης της ατµόσφαιρας. F Η πίεση ενός αερίου που βρίσκεται µέσα σε δοχείο στα διάφορα σηµεία του χώρου και στα τοιχώµατα του δοχείου µέσα στο οποίο περιέχεται οφείλεται: Στις κρούσεις των µορίων µε τα τοιχώµατα του δοχείου εξαιτίας της άτακτης κίνησης των µορίων, (θερµικές κινήσεις). Η συνεισφορά τους βάρους είναι αµελητέα. Η πίεση είναι ίδια σε όλα τα σηµεία. Η πίεση στα αέρια εξαρτάται από τη θερµοκρασία Τ, τον όγκο V του αερίου και την ποσότητα n του αερίου. Ατµοσφαιρική Πίεση Είναι η πίεση που δηµιουργεί η ατµόσφαιρα, µε το βάρος της, στην επιφάνεια της Γης, (και προφανώς σε κάθε αντικείµενο). Εδώ η συνεισφορά του βάρους δεν είναι µικρή, αλλά ο λόγος που οφείλεται η ατµοσφαιρική πίεση. Χρήστος Αγριόδηµας 5

6 Υδροστατική Πίεση 3 Θεµελιώδης νόµος Υδροστατικής Είναι η πίεση που δηµιουργεί ένα υγρό που βρίσκεται σε ισορροπία, σε κάθε επιφάνεια µε την οποία βρίσκεται σε επαφή. Η υδροστατική πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού. Η υδροστατική πίεση έχει νόηµα µόνο αν το υγρό βρίσκεται µέσα σε πεδίο βαρύτητας. Η σχέση που δίνει την υδροστατική πίεση σε κάποιο σηµείο Γ του χώρου που καταλαµβάνει ένα υγρό σε ισορροπία είναι: p=ρ g h όπου ρ: η πυκνότητα του υγρού g: η επιτάχυνση της βαρύτητας h: το βάθος του σηµείου Γ (απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια) Γ Ελεύθερη επιφάνεια h Η υδροστατική πίεση p σε ένα σηµείο ενός υγρού: α. αυξάνεται ανάλογα µε το βάθος h από την επιφάνεια του υγρού β. είναι ανάλογη µε την πυκνότητα ρ του υγρού γ. είναι ανάλογη µε την επιτάχυνση της βαρύτητας g Ο θεµελιώδης νόµος της ισορροπίας των υγρών. Μια άλλη έκφραση για την πίεση σε σχέση µε το ύψος από την ελεύθερη επιφάνεια είναι: p = p +ρ gh Όπου p, p, οι πιέσεις του ρευστού σε ύψος h και h αντίστοιχα, ρ η πυκνότητα του υγρού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και h η απόσταση των σηµείων και. h h p h p Αύξηση βάθους 3 Καλό είναι την λεγόµενη «υδροστατική πίεση» να την λέµε απλά πίεση. Οι δυσκολίες που µπορεί να υπάρξουν αρχικά µπορεί να είναι πολλές, αλλά ο όρος θα πρέπει να εγκαταλειφθεί. Η υδροστατική πίεση δεν διαφέρει σε κάτι από µία άλλη πίεση όσον αφορά τα αποτελέσµατά της. Αιτία αυτής είναι η βαρύτητα. Σε κάθε σηµείο σε βάθος h, ενός υγρού, υπάρχει πίεση p=ρgh, επειδή το «αποκάτω» µέρος του υγρού, δέχεται «εξωτερική» δύναµη, από το υγρό που βρίσκεται «αποπάνω» του και είναι αριθµητικά ίση µε το βάρος αυτής της ποσότητας. Στην πραγµατικότητα σε όλες τις περιπτώσεις το υγρό δέχεται εξωτερική δύναµη, εξαιτίας της οποίας αναπτύσσεται πίεση. Αν αυτή είναι από ένα έµβολο ή από το βάρος µιας υπερκείµενης ποσότητας του υγρού δεν αλλάζει κάτι. Σε υγρά αναφέρεται ως υδροστατική ενώ για τον αέρα της ατµόσφαιρας ατµοσφαιρική. Παρακάτω αναφέρεται σαν υδροστατική αλλά θα πρέπει να έχουµε υπόψη αυτή την παρατήρηση. Χρήστος Αγριόδηµας 6

7 Απόδειξη Έστω ότι σε ένα δοχείο, έχουµε υγρό σε ηρεµία. Ας πάρουµε µια ποσότητα υγρού, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε βάσεις, εµβαδού Α και ύψος h, όπως στο διπλανό σχήµα. Το παραλληλεπίπεδο αυτό ισορροπεί µε την επίδραση των δυνάµεων από το υπόλοιπο υγρό, από το οποίο δέχεται τις δυνάµεις F και F του σχήµατος, καθώς και δυνάµεις στις κατακόρυφες έδρες του, δυνάµεις οριζόντιες. Οι δυνάµεις αυτές οφείλονται στην επαφή του τµήµατος που µελετάµε µε την υπόλοιπη µάζα του υγρού. Η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων είναι µηδέν, αφού η ποσότητα αυτή δεν επιταχύνεται οριζόντια και έτσι δεν χρειάζεται να µας απασχολήσουν. Στον κατακόρυφο άξονα : ΣF y = 0 F F = w p Α p Α =mg () p Α p Α =ρgv p Α p Α =ρg Αh p p = ρgh () F h h w F h Αύξηση βάθους όπου p η πίεση σε βάθος h και p σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Αν τώρα το σηµείο είναι η επιφάνεια του υγρού και δεν λάβουµε υπόψη την ατµοσφαιρική πίεση τότε p =0 και η σχέση () δίνει: p =ρgh (3) h w Παρατηρήσεις. Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισµό της επιφάνειας. Τα υγρά ασκούν δύναµη προς κάθε κατεύθυνση.. Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από το σχήµα του δοχείου. 3. Από την σχέση () προκύπτει ότι αν το βάρος της ποσότητας αυτής του νερού είναι µηδενικό (εκτός πεδίου βαρύτητας), τότε οι πιέσεις σε δύο σηµεία µε διαφορετικό βάθος (h h ), θα ήταν ίσες και από την (3), θα είχαµε p =0. 4. Η υδροστατική πίεση εξαρτάται από το βάθος. Μία µικρή επιφάνεια σε ένα σηµείο του ρευστoύ, δέχεται δύναµη σταθερού µέτρου, ανεξάρτητα από τον προσανατολισµό της. Στο διπλανό σχήµα η επιφάνεια βρίσκεται στο ίδιο σηµείο, (βάθος, ύψος). Οι πιέσεις σε δυο σηµεία στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, εντός ενός υγρού σε ακινησία, είναι ίσες. F F Χρήστος Αγριόδηµας 7

8 Απόδειξη Έστω δύο σηµεία Α και Β στο ίδιο βάθος µέσα σε ένα υγρό. Αν πάρουµε την ποσότητα του υγρού ενός κυλίνδρου µε βάσεις εµβαδού δα στα σηµεία αυτά, τότε η µάζα αυτή δέχεται από το υπόλοιπο υγρό, οριζόντιες δυνάµεις F και F, όπως στο διπλανό σχήµα. Αλλά αν το υγρό ηρεµεί, η µάζα αυτή του υγρού ισορροπεί, οπότε: ΣF x = 0 F = F p Α δα = p Β δα p Α = p Β. F F 5. Αν εφαρµόσουµε την σχέση () της σελίδας 7 στο ανοιχτό δοχείο του σχήµατος µεταξύ ενός σηµείου της επιφάνειας (p =p ατµ ) και του σηµείου Γ θα πάρουµε για την πίεση σε βάθος h: p atm p Γ = p αtm + ρgh, h P Γ = p atm +ρgh 6. Ας ξεκαθαρίσουµε λίγο τις «διαφορές» αερίων και υγρών, όσον αφορά την πίεση. Αν έχουµε ένα αέριο σε ένα δοχείο, εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε η πίεση στα διάφορα σηµεία οφείλεται στις κρούσεις των µορίων µε τα τοιχώµατα. Ας πούµε ότι αυτή είναι pa. Η πίεση αυτή είναι σταθερή σε όλα τα σηµεία του δοχείου. ηλαδή p Α =p Β =00.000pa. Αν το δοχείο αυτό µεταφερθεί στην επιφάνεια της Γης, όπου υπάρχει βαρύτητα, τότε οι παραπάνω κρούσεις συµβαίνουν µε τον ίδιο τρόπο, συνεπώς η πίεση εξαιτίας της άτακτης κίνησης των µορίων στο σηµείο Α θα είναι ξανά p Α =00.000pa. Στο σηµείο Β; Εξαιτίας της βαρύτητας θα ισχύει p Β =p Α +ρgh, όπου ρ η πυκνότητα του αερίου. Αυτό σηµαίνει ότι για πυκνότητα,3kg/m 3 και h=m, θα έχουµε: p Β =00.000pα+,3 0 pα=00.03pa. Πράγµα που σηµαίνει, ότι στην πράξη όταν µιλάµε για αέριο σε ένα δοχείο δεν λαµβάνουµε υπόψη µας την «υδροστατική πίεση» δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του αερίου. Πράγµα όµως, που κάνουµε όταν µιλάµε για ατµοσφαιρική πίεση! Εκεί λέµε ότι αυτή οφείλεται στο βάρος της ατµόσφαιρας!!! Με την ίδια συλλογιστική και τα µόρια του υγρού κινούνται και συγκρούονται µε τα τοιχώµατα. Αλλά επειδή οι ταχύτητες των µορίων είναι πολύ µικρότερες από αυτές των αερίων η πίεση που οφείλεται στη θερµική τους κίνηση, παραλείπεται, οπότε λέµε ότι εκτός πεδίου βαρύτητας και χωρίς την επίδραση εξωτερικής δύναµης, η πίεση στα υγρά είναι µηδενική. Γ Χρήστος Αγριόδηµας 8

9 Παράδειγµα Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον όγκο του υγρού. Εφαρµογή στην κατασκευή φραγµάτων Στη διπλανή εικόνα, το φράγµα στο οποίο τα σηµεία του έχουν µεγαλύτερη πίεση θα είναι εκείνο στο οποίο η λίµνη έχει µεγαλύτερο βάθος και όχι εκείνο στο οποίο η λίµνη έχει µεγαλύτερο όγκο νερού. 3.. Αρχή του Pascal "κάθε µεταβολή της πίεσης, που εφαρµόζεται σε ασυµπίεστο ρευστό που βρίσκεται σε ισορροπία µεταδίδεται αµετάβλητη σε κάθε σηµείο του ρευστού και στα τοιχώµατα του δοχείου". ή η µεταβολή της πίεσης που δηµιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σηµείο του υγρού µεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σηµεία του. Αν δηλαδή, σ ένα ανοικτό δοχείο πλήρες υγρού προκαλέσουµε σε όλη την ελεύθερη επιφάνειά του, π.χ. µε ένα έµβολο, οποιαδήποτε µεταβολή πίεσης ασκώντας µία δύναµη στο έµβολο τότε θα διαπιστώσουµε ότι σε όλα τα σηµεία του υγρού η πίεση έχει µεταβληθεί το ίδιο. Ακούγεται περίεργο αλλά ένα σηµείο στη θάλασσα θα «αισθανθεί» µια µεταβολή της ατµοσφαιρικής πίεσης µε τον ίδιο τρόπο είτε βρίσκεται σε βάθος είκοσι εκατοστών είτε σε βάθος 300 µέτρων. Παράδειγµα Στο δοχείο του διπλανού σχήµατος, τα µανόµετρα δείχνουν όλα την ίδια πίεση όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. Αν αυξηθεί η δύναµη που ασκείται στο έµβολο κατά F θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα σηµεία όπως προβλέπει η αρχή του Pascal κατά F. Έτσι όλα τα µανόµετρα θα καταγράφουν αύξηση πίεσης κατά εµβόλου. F, όπου Α το εµβαδόν του F+dF Χρήστος Αγριόδηµας 9

10 Εάν το δοχείο βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας, η πίεση που θα δείχνουν τα µανόµετρα θα είναι διαφορετική στο κάθε ένα από αυτά ανάλογα µε το βάθος στο οποίο βρίσκεται. Αν πάλι αυξηθεί η δύναµη που ασκείται στο έµβολο κατά F θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα σηµεία όπως προβλέπει η αρχή του Pascal κατά F. Η πίεση στα διάφορα σηµεία επηρεάζεται και από την υδροστατική p υδρ. (χωρίς να λάβουµε την ατµοσφαιρική) F+dF Παρατήρηση Αν κάποιο υγρό ισορροπεί σε ανοιχτό δοχείο, τότε επιδρά και η ατµόσφαιρα και έτσι η πίεση σε βάθος h θα είναι: p = p αt + ρgh, ακριβώς επειδή, όπως προβλέπει η αρχή του Pascal, η πρόσθετη µεταβολή πίεσης δηλ. η ατµοσφαιρική θα µεταφερθεί σε όλα τα σηµεία του υγρού. Εφαρµογές της Αρχής του Πασκάλ αποτελούν η πλήρωση µε αέρα ενός τροχού ή µπαλονιού, το υδραυλικό πιεστήριο, οι υδραυλικοί γερανοί, τα υδραυλικά φρένα και πολλά άλλα Εφαρµογές Εφαρµογή. Συγκοινωνούντα οχεία Είναι δοχεία που συγκοινωνούν µε σωλήνα, ή µε οποιοδήποτε άλλο τρόπο. Αν σ' αυτά υπάρχει το ίδιο υγρό, σε όλα τα δοχεία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Σε αντίθετη περίπτωση που τα υγρά είναι διαφορετικής πυκνότητας, η επιφάνεια του πιο πυκνού είναι χαµηλότερη από το αραιότερο. Πώς ερµηνεύεται η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων; Για να ισορροπεί το υγρό στον οριζόντιο σωλήνα, πρέπει σε όλα τα σηµεία του σωλήνα να επικρατεί η ίδια πίεση. Αν σε κάποιο δοχείο η στάθµη του νερού ήταν ψηλότερα, τότε η πίεση στο αντίστοιχο σηµείο του κοινού σωλήνα θα ήταν µεγαλύτερη και αυτή η διαφορά πίεσης θα προκαλούσε την κίνηση του υγρού. Απόδειξη Έστω ότι στο διπλανό σχήµα το υγρό ισορροπεί. P = Patm Η πίεση P Β στο σηµείο Β είναι P = P + ρg( ) P = P + ρg( ) () atm Χρήστος Αγριόδηµας 0

11 Ενώ η πίεση P Γ στο σηµείο Γ είναι P = P atm PΓ = P + ρg( Γ ) PΓ = Patm + ρg( Γ ) () Η πίεση P Β στο σηµείο Β στον κοινό σωλήνα είναι διαφορετική από την πίεση P Γ στο σηµείο Γ. P Β >P Γ, (ΑΒ>Γ ) Αυτό σηµαίνει ότι θα υπάρξει ροή από το σηµείο Β στο Γ µέχρι να εξισωθούν οι πιέσεις P Β = P Γ. Στην περίπτωση αυτή τα ύψη ΑΒ και Γ θα εξισωθούν. Α Β Γ Συµπέρασµα. Αν ρίξουµε ένα υγρό πυκνότητας ρ σε συγκοινωνούντα δοχεία, τότε οι ελεύθερες επιφάνειες του υγρού και στα δύο σκέλη του δοχείου, όταν το υγρό ισορροπήσει θα βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Ισορροπία υγρών που δεν αναµειγνύονται Αν ρίξουµε στο ένα σκέλος του δοχείου και άλλο υγρό διαφορετικής πυκνότητας ρ έστω ρ <ρ, λόγω των διαφορετικών πυκνοτήτων τους οι ελεύθερες επιφάνειές τους θα βρίσκονται σε διαφορετικά ύψη (βλ. σχήµα). Θεωρούµε ότι τα δύο υγρά δεν αναµιγνύονται. Α h h Ε Ζ Απόδειξη Επειδή το υγρό βρίσκεται σε ισορροπία οι ολικές πιέσεις στα σηµεία (Β) και (Γ) που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο του οριζόντιου σωλήνα είναι ίσες µεταξύ τους: p = p ρ g( ΑΒ ) + p = ρ g( Γ ) + p Β Γ Α ρ g( Α Γ ) = p p atm [ ρ ( ) ] ρ gh = g Ζ + p p Ζ atm PΖ = patm P = patm h ρ ρgh = ρgh + patm patm ρgh = ρgh = h ρ Β Γ Ο λόγος των αποστάσεων της επιφάνειας είναι αντίστροφος προς το λόγο της πυκνότητας των δυο υγρών. Τα ύψη h και h των στηλών των δύο υγρών µετρηµένα από το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών είναι αντιστρόφως ανάλογα των πυκνοτήτων ρ και ρ των δύο υγρών. Χρήστος Αγριόδηµας

12 Παρατηρήσεις. H ελεύθερη επιφάνεια που παρουσιάζει ένα υγρό σε κατάσταση ισορροπίας είναι οριζόντιο επίπεδο, διότι σε κάθε άλλη περίπτωση τα επιφανειακά ρευστά σωµατίδια του υγρού θα έπρεπε να ρέουν κατά µήκος της ελεύθερης επιφάνειας υπό την επίδραση της εφαπτοµενικής προς την ελεύθερη επιφάνεια συνιστώσας του βάρους τους, πράγµα που αντιβαίνει στην ισορροπία του υγρού. Απόδειξη Έστω ότι η ελεύθερη επιφάνεια σε ένα υγρό που ισορροπεί δεν είναι οριζόντια. Ένα µικρό τµήµα του υγρού θα ισορροπεί F δεχόµενο τις εξής δυνάµεις: την δύναµη F από την ατµόσφαιρα F 4 η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια του τµήµατος, το βάρος δw F 3 και τις δυνάµεις από το υπόλοιπο υγρό F, F 3, F 4. εφόσον το δw τµήµα του υγρού ισορροπεί οι δυνάµεις F 3 και F 4 F αλληλοαναιρούνται. Επίσης η συνισταµένη των δυνάµεων F και F θα πρέπει να είναι αντίθετη του βάρους το οποίο έχει κατακόρυφη διεύθυνση. Έτσι και η συνισταµένη των δυνάµεων F και F θα έχει κατακόρυφη διεύθυνση, που συµβαίνει µόνο όταν η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι οριζόντια. w y w w x. Θέλει ιδιαίτερη προσοχή όταν δουλεύουµε µε δοχείο που έχουµε αναµίξει υγρά διαφορετικής πυκνότητας, ρ, ρ. (ρ >ρ ) Τα σηµεία Ε και της οριζόντιας ευθείας που διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών έχουν την ίδια πίεση, P Ε = Ρ. Συνήθως ξεκινάµε από την διεπιφάνεια Ε των δύο ρευστών και καταλήγουµε στα άκρα που µπορεί να είναι ανοιχτά ή κλειστά. Τα σηµεία σε ευθείες παράλληλες, που βρίσκονται κάτω από την οριζόντια ευθεία Ε έχουν ίδιες πιέσεις. h h Τα σηµεία σε ευθείες παράλληλες, που βρίσκονται πάνω από την οριζόντια ευθεία Ε έχουν διαφορετικές πιέσεις. Ε Από εκεί και πάνω οι ισοβαρείς δεν είναι οριζόντιες ευθείες ή µάλλον οι οριζόντιες ευθείες δεν είναι ισοβαρείς. Για το λόγο αυτό, σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων παίρνουµε δύο σηµεία Η και Θ που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο εντός του ίδιου υγρού, και για τα σηµεία αυτά θα ισχύει p Η = p Θ Χρήστος Αγριόδηµας

13 Απόδειξη Αρχικά θα δείξουµε P E =P Από την υδροστατική πίεση στα σηµεία Β και Γ έχουµε: P = ρ g( Ε ) + PΕ PΓ = ρ g( Γ ) + P Ε Επειδή υπάρχει ισορροπία P =P Γ, P = P ρ g( Ε ) + P = ρ g( Γ ) + P P = P ΕΒ=Γ Γ Ε Ε Β Γ Με την ίδια λογική σηµεία που βρίσκονται σε οριζόντια ευθεία κάτω από την Ε θα έχουν ίδιες πιέσεις. PΒ = ρ g( Η ) + PΗ PΓ = ρ g( ΓΘ ) + PΘ Ε Επειδή υπάρχει ισορροπία P =P Γ, Η Θ P = P ρ g( Η ) + P = ρ g( ΓΘ ) + P P = P ΗΒ=ΓΘ Γ Η Θ Η Θ Τα σηµεία που βρίσκονται σε οριζόντια ευθεία πάνω από την οριζόντια ισοβαρή ευθεία Ε έχουν διαφορετικές πιέσεις. Έτσι πάνω από την ευθεία Ε σηµεία που έχουν ίδια πίεση δεν είναι σε οριζόντια ευθεία. P = ρ g( ΙΕ ) + P P = P ρ g( ΙΕ ) Ε Ι Ι Ε P = ρ g( Κ ) + P P = P ρ g( Κ ) Κ Κ Όµως P E =P, (IE)=(K )=h, εποµένως PΙ = PΕ ρgh και PΚ = PE ρghαπό όπου προκύπτει P K >P I διότι ρ >ρ. Εφαρµογή. εξαµενή υδροδότησης Άµεσο αποτέλεσµα της αρχής των συγκοινωνούντων δοχείων είναι οι δεξαµενές υδροδότησης των οικισµών. Στην κατασκευή των δεξαµενών ύδρευσης εφαρµόζουµε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Όταν η βρύση είναι κλειστή υπάρχει ισορροπία. Όταν ανοίγουµε τη βρύση τότε Α Β προκαλείται διαφορά πίεσης µεταξύ δύο σηµείων Α και Β που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, το νερό θα κινείται από τα σηµεία µεγαλύτερης πίεσης προς τα σηµεία µικρότερης πίεσης, ώστε να υπάρξει εξίσωση πιέσεων. Οι δεξαµενές κατασκευάζονται Β Ι Ε Β h Γ Κ Γ Χρήστος Αγριόδηµας 3

14 στα ψηλότερα σηµεία ώστε, λόγω της διαφορετικής πίεσης, το νερό να φτάνει στους ψηλότερους ορόφους των σπιτιών χωρίς να χρειάζεται αντλία. Εφαρµογή 3. Αρχή λειτουργίας υδραυλικής αντλίας Η υδραυλική αντλία, όπως το υδραυλικό πιεστήριο και τα υδραυλικά φρένα, στηρίζουν τη λειτουργία τους στην αρχή του F Pascal. Η υδραυλική αντλία αποτελείται από δύο δοχεία που συγκοινωνούν µεταξύ τους Α y V και περιέχουν υγρό (συνήθως λάδι). Αν στο V y µικρό έµβολο εµβαδού Α ασκήσουµε δύναµη F, ασκούµε δύναµη στο υγρό µέσω του εµβόλου, οπότε προκαλείται αύξηση της πίεσής του, δηλ. δηµιουργούµε στο υγρό Α F πρόσθετη πίεση. Η αύξηση της εξωτερικής πίεσης που δέχεται το υγρό από το έµβολο ισούται µε F P = Σύµφωνα µε την αρχή του Pascal, η πρόσθετη αυτή πίεση µεταδίδεται αναλλοίωτη και F F F στο µεγάλο έµβολο: P = P = = F = F F Επειδή > προκύπτει ότι F >F. Όσες φορές µεγαλύτερο είναι το εµβαδόν Α από το εµβαδόν Α, τόσες φορές µεγαλύτερη θα είναι η δύναµη F από τη δύναµη F. Το έργο που παράγει η δύναµη F µετακινώντας το µικρό έµβολο κατά y είναι: W F = F y = p y = p V Οµοίως το έργο που παράγει η F µετακινώντας το µικρό έµβολο κατά y είναι: W F = F y = p y = p V Λόγω της αρχής του Pascal οι πιέσεις είναι ίσες δηλαδή p = p, επειδή το υγρό είναι ασυµπίεστο οι µεταβολές του όγκου του είναι ίσες δηλαδή V = V εποµένως και τα έργα είναι ίσα: W = W F F Επειδή ισχύει V = V προκύπτει ότι: y = y και τελικά: y = y Συµπέρασµα Σε µια υδραυλική αντλία πολλαπλασιάζουµε τη δύναµη που ασκούµε, ενώ χάνουµε σε απόσταση. Παρατήρηση. Η δύναµη που ασκούµε δεν είναι σταθερή. Καθώς το εµβολο Α µετακινείται προς τα κάτω σπρώχνει συνεχώς µάζα υγρού στο δεξί τµήµα που µεταβάλλεται. Κατά προσέγγιση λοιπόν και αν θεωρήσουµε αυτή τη µάζα υγρού πολύ Χρήστος Αγριόδηµας 4

15 µικρή και την ανύψωση πολύ αργή η δύναµη είναι σταθερή και το έργο της F x. Βλ. λυµένο παράδειγµα 4. Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας Εφαρµογή 4. Αρχή λειτουργίας φρένων Όταν ο οδηγός πιέζει το πεντάλ, η πίεση στον κύριο κύλινδρο αυξάνεται. Αυτή η αύξηση της πίεσης µεταφέρεται στο υγρό των φρένων σύµφωνα µε την αρχή του Pascal, ωθώντας τελικά τα τακάκια στους δίσκους που είναι συνδεδεµένοι στους τροχούς του αυτοκινήτου, µε αποτέλεσµα την επιβράδυνση του οχήµατος Λυµένα παραδείγµατα. Η πίεση σε σηµεία ενός υγρού Στο διπλανό σχήµα, ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους h είναι γεµάτο µε νερό, ενώ στη βάση του είναι συνδεδεµένος ένας σωλήνας, µε ένα τµήµα του παράλληλο προς τον άξονα του δοχείου, όπως στο σχήµα, το οποίο περιέχει νερό µέχρι ύψος h. Τα σηµεία Α και Β, είναι δυο σηµεία του νερού πολύ κοντά στην κάτω και πάνω βάση του κυλίνδρου. i) Αν το δοχείο είναι εκτός πεδίου βαρύτητας (και προφανώς µακριά από τη Γη) ισχύει: α) p Α = p Β, β) p Α = p Β, γ) p Α p Β = ρgh h ii) Αν το δοχείο είναι στην επιφάνεια της Γης, µε την κάτω βάση του οριζόντια, τότε: α) p Α = p Β, β) p Α = p Β, γ) p Α p Β = ρgh, δ) p Β = ρgh όπου ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. h Γ Απάντηση: i) Αν το σύστηµα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε η πίεση στην πάνω επιφάνεια του σωλήνα (σηµείο Γ) είναι µηδενική (έλλειψη ατµοσφαιρικής πίεσης), αλλά ούτε υδροστατική πίεση υπάρχει στο σηµείο Α, εξαιτίας της κατακόρυφης στήλης του σωλήνα, λόγω έλλειψης βαρύτητας. Έχουµε δηλαδή p Α = p Β = 0. Σωστό το Α. h E h Χρήστος Αγριόδηµας 5

16 ii) Αν το σύστηµα βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης, τότε η πίεση στο σηµείο Γ είναι p Γ = p ατ. H διαφορά πίεσης, λόγω του βάρους του νερού µεταξύ δύο σηµείων Χ και Υ τα οποία απέχουν κατακόρυφα κατά y είναι: p Χ p Υ = ρgy Συνεπώς p Α p Β =ρgh. Σωστό το γ). Ας το δούµε από µια άλλη σκοπιά: p Β = p = p Γ + ρgh = p ατ + ρgh και p Α = p Ε = p Γ + ρgh =p ατ + ρgh Με αφαίρεση κατά µέλη: p Α p Β = p ατ + ρgh p ατ ρgh = ρgh. Η πίεση και η αρχή του Pascal Το δοχείο κυβικού σχήµατος πλευράς α=m είναι γεµάτο µε νερό και ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Στο µέσον της µιας έδρας του υπάρχει σωλήνας, όπου το νερό φτάνει σε ύψος επίσης α. α) Να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκεί το νερό στην πάνω και κάτω έδρα του κύβου, αν g=0m/s και p ατ =0 5 Ν/m. β) Τοποθετούµε αβαρές έµβολο στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, φράζοντας τον σωλήνα. Αν το εµβαδόν του σωλήνα είναι Α =0cm και ασκήσουµε στο έµβολο µια κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω µέτρου F=0Ν, να βρεθεί ξανά η δύναµη στις παραπάνω έδρες του δοχείου. Απάντηση: α) Έστω δύο σηµεία Β και Γ στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, όπου το Γ ισαπέχει από τις δύο βάσεις του δοχείου. Η πίεση στο σηµείο είναι p =p ατ =0 5 Ν/m. Αλλά τότε η πίεση στο σηµείο Β, ίση µε την πίεση στο Γ, είναι: p = p + ρga F p = 0 N / m N / m =, 0 N / m Αν η πίεση στην πάνω έδρα του κύβου είναι p ισχύει: a pγ = p + ρgh p = pγ ρg a 5 3 p = pγ ρg =, 0 N / m 0 0 N / m 5, 0 N / m Αλλά τότε F = p Α = p α F =, 0 5 Ν = 4,4 0 5 Ν. Με την ίδια λογική, αν p η πίεση στην κάτω έδρα, θα έχουµε: a p = pγ + ρgh p = pγ + ρ g α = α F Γ α α Χρήστος Αγριόδηµας 6

17 Οπότε: p a = p + ρg = Γ, 0 N / m 0 0 N / m,3 0 N / m F =p Α=p α F =,3 0 5 Ν = 5, 0 5 Ν. = β) Τι συµβαίνει, όταν ασκήσουµε µια κατακόρυφη δύναµη F στο έµβολο; Το νερό θεωρείται ασυµπίεστο υγρό, συνεπώς ο όγκος του δεν θα µεταβληθεί και το έµβολο θα ισορροπεί, µε την επίδραση της δύναµης F ατ από την ατµόσφαιρα, της δύναµης F και της δύναµης F υ από το υγρό. Αλλά τότε: α F F Γ F α F F aτ F υ ΣF = 0 F υ = F ατ + F P Α = p ατ Α +F F p = pa τ + ηλαδή η άσκηση της δύναµης F στο έµβολο, έχει ως άµεσο αποτέλεσµα την αύξηση της πίεσης στο σηµείο του υγρού κατά F. Συνήθως γράφεται, ότι ασκώντας την F εξωτερική δύναµη F, ασκούµε εξωτερική πίεση, πράγµα που δεν είναι σωστό, αφού η πίεση δεν ασκείται. Ασκούµε δύναµη στο υγρό (µέσω του εµβόλου), οπότε F προκαλείται αύξηση της πίεσής του, κατά. Αυτή η αύξηση της πίεσης, σύµφωνα µε την Αρχή του Pascal, είναι η ίδια για όλα τα σηµεία του υγρού! Έτσι τώρα η πίεση σε ένα σηµείο του υγρού, έστω σε επαφή µε την πάνω έδρα του δοχείου, θα είναι αυξηµένη επίσης κατά F, θα είναι δηλαδή ίση µε p = p + βάση αυτά: F p = p + = 5 0N 5, 0 N / m + =,3 0 N / m m F. Με 5 5 Οπότε και F = p Α=,3 0 N / m 4m = 5, 0 N F p = p + = 5 0N 5,3 0 N / m + =,5 0 N / m m Οπότε και F = p Α=,5 0 5 N / m 4m = N Χρήστος Αγριόδηµας 7

18 3.Υπάρχει εγκλωβισµένος αέρας; Ερώτηση η : Στο δοχείο σχήµατος U περιέχεται νερό πυκνότητας ρ=.000kg/m 3, ενώ η υψοµετρική διαφορά µεταξύ των ελεύθερων επιφανειών του νερού, είναι h=0,4m. Αν η πίεση πάνω από το αριστερό ανοικτό σκέλος του σωλήνα είναι η ατµοσφαιρική πίεση p α =0 5 Ν/m και g=0m/s : i) Να αποδείξτε ότι στον χώρο α, στο δεξιό και κλειστό σκέλος πάνω από το νερό, δεν υπάρχει κενό, αλλά περιέχεται κάποιο ή κάποια αέρια. ii) Η πίεση στο χώρο α έχει τιµή: α) p α = p ατ, β) p α = p ατ + ρgh, γ) p α = p ατ ρgh h a Απάντηση: i) Έστω ότι στο χώρο α υπάρχει κενό, συνεπώς p α =0. Αν πάρουµε δύο σηµεία του υγρού, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, έστω τα σηµεία Κ και Λ. Η πίεση στα σηµεία αυτά είναι ίδια, αφού δεν υπάρχει υψοµετρική διαφορά µεταξύ τους, δηλαδή p Κ = p Λ. Αλλά p Κ = p ατ = 0 5 Ν/m και p Λ = p α + ρgh, οπότε: = 0 0 0,4 ή = 4000!!! Πράγµα άτοπο, συνεπώς στο χώρο α η πίεση δεν είναι µηδενική, αλλά τότε θα υπάρχει στο χώρο κάποιο αέριο (στην πραγµατικότητα υπάρχει αέρας και υδρατµοί). K h a Λ ii) Επιστρέφουµε στα σηµεία Κ και Λ. Σωστό το γ). p p K = p Λ aτ pa + p = a p aτ = ρgh ρgh Σχόλιο: Θα µπορούσαµε να έχουµε την εικόνα του σχήµατος και όµως να έχουµε κενό στο χώρο α; Ναι, αρκεί να άλλαζε το ύψος h µεταξύ των ελεύθερων επιφανειών. Πράγµατι έστω y η κατακόρυφη απόσταση, τότε: p K = p Λ p = p ρgy = 0 ρgy aτ a + p a τ + 5 y p 0 N / m = a = 0m!!! 3 3 g 0 kg / m 0m / s = ρ Με άλλα λόγια θα µπορούσαµε να έχουµε έναν κατακόρυφο σωλήνα µε κλειστό το πάνω άκρο του, µήκους 0m, γεµάτο µε νερό, το οποίο να µην χύνεται, αφού η πίεση στο ανοικτό κάτω άκρο του Α, θα ήταν ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Αλλά τότε, αν ο σωλήνας είχε µήκος m, τον γεµίζαµε µε νερό και τον αντιστρέφαµε, τι θα συνέβαινε; Θα χυνόταν το νερό που αντιστοιχεί σε µήκος m και τελικά θα είχαµε την διπλανή εικόνα, = 0m l 0m Χρήστος Αγριόδηµας 8

19 όπου πάνω από το νερό θα είχαµε κενό. Πιο αυστηρά αυτό θα συνέβαινε ακριβώς, αν το υγρό έχει µηδενική τάση ατµών. Ερώτηση η : Στο δοχείο σχήµατος U περιέχεται νερό πυκνότητας ρ ν και λάδι πυκνότητας ρ λ, όπως στο διπλανό σχήµα. Το ύψος της στήλης του λαδιού είναι h, ενώ το ύψος του νερού, πάνω από το επίπεδο διαχωρισµού των δύο υγρών, h. Αν p ατ η ατµοσφαιρική πίεση, τότε η πίεση του εγκλωβισµένου αέρα, στο δεξιό σκέλος, πάνω από το νερό είναι ίση: α) p α = p ατ +ρ λ gh p ν gh, β) p α =p ατ ρ λ gh p ν gh, γ) p α = p ατ ρ λ gh +ρ ν gh, h a h Απάντηση: Έστω δύο σηµεία Κ και Λ, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, όπου το Κ βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών. Η πίεση στα σηµεία αυτά είναι ίδια, αφού και τα δύο σηµεία είναι σηµεία του νερού και δεν υπάρχει υψοµετρική διαφορά µεταξύ τους δηλαδή P K =P Λ. h a Σωστό το α) p Κ = p ατ + ρ λ gh και p Λ = p ν gh +p α, οπότε: P K =P Λ p ατ +ρ λ gh = p ν gh + p α p α = p ατ + ρ λ gh p ν gh K Λ h 4. Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας Στο διπλανό σχήµα, φαίνεται ένας υδραυλικός ανυψωτήρας, µε χρήση νερού, όπου τα δύο έµβολα Α και Β, κυλινδρικού σχήµατος, έχουν διατοµές Α =cm και Α =40cm αντίστοιχα και ισορροπούν στο ίδιο ύψος. Το έµβολο Α έχει βάρος w =0Ν. i) Ποιο το βάρος του εµβόλου Β; ii) Τοποθετούµε πάνω στο έµβολο Β, ένα σώµα Σ µάζας 00kg. Πόση κατακόρυφη δύναµη F πρέπει να ασκήσουµε στο Α έµβολο, ώστε να µην µετακινηθούν τα έµβολα; iii) Αυξάνοντας το µέτρο της ασκούµενης δύναµης F µετακινούµε το Α έµβολο κατά h=80cm, φέρνοντάς το να ισορροπεί σε µια νέα θέση. α) Πόσο θα ανέβει το σώµα Σ; β) Ποια η τελική τιµή της δύναµης F ; γ) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει η ατµόσφαιρα, επί του συστήµατος. δ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F. F Χρήστος Αγριόδηµας 9

20 ίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3, η ατµοσφαιρική πίεση p ατ =0 5 Ν/m και g=0m/s,ενώ οι κινήσεις των εµβόλων γίνονται χωρίς τριβές. Απάντηση: i) Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε έµβολο, όπου F υγ οι δυνάµεις από το υγρό. Από την ισορροπία των εµβόλων έχουµε: w ΣF =0 F υγ =F ατ +w p Α =p ατ Α +w p = pa τ + () w ΣF =0 F υγ =F ατ +w p Α =p ατ Α +w p = pa τ + () F υγ w Fa τ Fa τ F υγ w Όπου p η πίεση στις κάτω επιφάνειες των δύο εµβόλων, κοινή και στα δύο έµβολα, αφού οι δυο επιφάνειες του υγρού βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Από τις () και () παίρνουµε: w w = (3) w = w 40cm w = 0N N = 00N cm ii) Η τοποθέτηση του σώµατος Σ πάνω στο έµβολο, µετατρέπει τις παραπάνω εξισώσεις () και () ισοδύναµα στις σχέσεις όπου: p p F + w = aτ + και F + w w + w = F = ( w + Mg) w (4) Σ p p w + w Σ = aτ +, από cm F = ( 00N +.000N ) 0N = 00N 40cm Σηµείωση: Η σχέση (4) γράφεται: (3) Mg F = w + Mg w F = w + Mg w F = σχέση, που δεν είναι άλλη από την (3), αφού ασκώντας επιπλέον δύναµη F, προκαλούµε F αύξηση πίεσης κατά, ίση σε όλα τα σηµεία του υγρού, µε βάση την αρχή του Pascal, Mg συνεπώς και ίση µε, ή µε άλλα λόγια, βάρος ίσο µε Μg=.000Ν στο ένα σκέλος, εξισορροπείται από δύναµη F=00Ν στο άλλο. Χρήστος Αγριόδηµας 0

21 iii) Στο σχήµα το έµβολο Α έχει κατέλθει κατά h =80cm, αλλά τότε το έµβολο Β έχει ανέβει κατά y, αφού ο όγκος του νερού µειώθηκε στο ένα σκέλος, αφού µεταφέρθηκε στο δεξιό σκέλος. h F y α) Έστω V η µείωση του όγκου στο αριστερό σκέλος και V η αύξηση του όγκου στο δεξιό. Αφού το νερό θεωρείται πρακτικά ασυµπίεστο υγρό, V =V. Α cm h = y y = h 80cm 4cm = 40cm = β) Στο δεύτερο σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις στο Α έµβολο και δίπλα στο «σύστηµα» έµβολο Β-σώµα Σ. Από την ισορροπία τους έχουµε: ΣF =0 F υγ =F + F ατ +w p Α =F + p ατ Α +w a F + w p = paτ + (α) Σχήµα wo λ ΣF =0 F υγ =F ατ +w ολ p Α = p ατ Α +w ολ p = pa τ + (α) Όπου p η πίεση σε ένα σηµείο στην κάτω πλευρά του εµβόλου Α και p η αντίστοιχη σε σηµείο στην κάτω πλευρά του εµβόλου Β. Όµως µε βάση το σχήµα : p =p +ρg(h+y) (5) Με αντικατάσταση της (5) στην ( α ) και αφαίρεση κατά µέλη µε την ( α ) παίρνουµε: F + w wo λ p + ρg( h + y ) p = pa τ + paτ F = ρ g( h + y ) + ( w + Mg ) w 4 cm = (0,8 + 0,04 ) 0 N + ( 00N +.000N ) 0N = 0,68 N 40cm F γ) Το έργο που παράγει η ατµόσφαιρα, πάνω στο σύστηµα, είναι το άθροισµα των έργων των δυνάµεων F ατ/ και F ατ/ : F h - F y = p h p y = p h y Αφού Σχήµα w F τ ( ) 0 Wa τ = aτ aτ aτ aτ aτ = Α h = y (V =V, ερώτηµα iii). F υγ F F υγ w oλ Fa τ Χρήστος Αγριόδηµας

22 δ) Έστω το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την τελική θέση του Α εµβόλου ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας. Αν m είναι η µάζα του υγρού της στήλης ύψους h (µε κόκκινο χρώµα στο σχήµα), τότε η αρχική δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι ίση µε: U αρχ = mg ½ h+m gh+m gh+μgh+u υγ Όπου U υγ η δυναµική ενέργεια της υπόλοιπης ποσότητας του υγρού (µε µπλε χρώµα στο σχήµα). Η τελική δυναµική ενέργεια του συστήµατος, µετά τη µεταφορά της µάζας m του υγρού από το αριστερό σκέλος στο δεξιό, είναι: h y U τελ =mg(h+ ½ y)+m g(h+y) +Μg(h+y) +U υγ Κατά συνέπεια η ενέργεια του συστήµατος αυξήθηκε κατά: U=U τελ U αρχ mg(h+½y)+m g(h+y)+μg(h+y)+u υγ ( mg ½h+m gh+m gh+μgh+u υγ ) U τελ U αρχ = mg( ½ h+ ½ y) +(m +Μ)gy m gh U = ½ ρgα h + ½ ρgα h y +w y+μgy w h U = ½ ρgα h(h+y) +w y+μgy w h Όπου ½ ρgα h(h+y) η αύξηση της δυναµικής ενέργειας του νερού που µεταφέρθηκε από το αριστερό στο δεξιά σκέλος, w y η αύξηση της δυναµικής ενέργειας του Β εµβόλου, Μgy η αύξηση της δυναµικής ενέργειας του σώµατος Σ και w h η µείωση της δυναµικής ενέργειας του εµβόλου Α. U= ½ ,8(0,8+0,04)J+00 0,04J ,04J-0 0,8J=80,67J. Αλλά µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας, αφού αυξήθηκε η ενέργεια του συστήµατος κατά 80,67J, το σύστηµα πήρε από το περιβάλλον του, ισοδύναµο ποσό ενέργειας. Ναι, αλλά από την ατµόσφαιρα δεν πήρε ενέργεια (προηγούµενο ερώτηµα), συνεπώς την ενέργεια αυτή πήρε µέσω του έργου της εξωτερικής δύναµης F που ασκήθηκε στο έµβολο. Συνεπώς: W F =80,67J. Χρήστος Αγριόδηµας

23 3. Ρευστά σε κίνηση Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάµεις τριβής µεταξύ των µορίων τους (εσωτερική τριβή) αλλά και µεταξύ των µορίων και των τοιχωµάτων του σωλήνα µέσα στον οποίο πραγµατοποιείται η κίνηση (δυνάµεις συνάφειας) Ιδανικό ρευστό. Είναι το ρευστό στο οποίο δεν λαµβάνουµε υπόψη τις τριβές µεταξύ των σωµατιδίων του ρευστού όσο και µε τα τοιχώµατα του δοχείου. Πραγµατικό Ρευστό. Στο πραγµατικό ρευστό οι τριβές είναι σηµαντικές και πρέπει να προσδιοριστούν και να ληφθούν υπόψη. Ροή (flow) ονοµάζεται η κίνηση του ρευστού σε περιοχή του χώρου. Η ταχύτητα της ροής ενός ρευστού εξαρτάται και από τη θέση του ρευστού και από το χρόνο. Μόνιµη ροή (steady flow) Είναι η ροή κατά την οποία η ταχύτητα σε ένα συγκεκριµένο σηµείο του ρευστού είναι σταθερή µε το χρόνο. υ Η ταχύτητα εξαρτάται µόνο από τη θέση του Β ρευστού. Τα σωµάτια του ρευστού αλλάζουν θέση αλλά όταν περνούν από την ίδια θέση θα υ Α έχουν την ίδια ταχύτητα. Σε µία επόµενη θέση η ταχύτητα θα είναι διαφορετική αλλά και εκεί θα έχει σταθερή τιµή. π.χ. στο διπλανό σχήµα κάθε φορά που ένα σωµάτιο ρευστού βρίσκεται στη θέση Α θα έχει µία συγκεκριµένη τιµή ταχύτητας. Στη θέση Β η ταχύτητα θα είναι διαφορετική αλλά και πάλι αυτή θα είναι σταθερή. Μη µόνιµη ροή (unsteady flow) Είναι η ροή κατά την οποία η ταχύτητα σε ένα σηµείο του ρευστού δεν είναι σταθερή µε το χρόνο. Η ταχύτητα εξαρτάται και από τη θέση αλλά και από το χρόνο σε ένα σηµείο. Π.χ στο διπλανό σχήµα στο σηµείο Α η ταχύτητα δεν είναι σταθερή µε το χρόνο. Μία στιγµή t που θα βρεθεί ένα σωµάτιο θα έχει ταχύτητα u και την t που θα βρεθεί ένα άλλο σωµάτιο ρευστού στην θέση αυτή θα έχει ταχύτητα u διαφορετική από την u. Ρευµατικές γραµµές Ρευµατική γραµµή 4. Το σύνολο των θέσεων από τις οποίες περνά κάθε σωµάτιο του ρευστού. 4 Ο παραπάνω ορισµός είναι σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο. Πιο αυστηρά ρευµατική γραµµή, (streamline), είναι κάθε συνεχής γραµµή εντός του πεδίου ροής η οποία έχει την ιδιότητα, σε κάθε σηµείο της, το διάνυσµα της ταχύτητας του πεδίου ροής να είναι εφαπτοµένη της. Ινώδης φλέβα, (streakline), καλείται η συνεχής γραµµή που συνδέει τα στοιχεία του ρευστού που έχουν περάσει από την ίδια θέση του Χρήστος Αγριόδηµας 3

24 Αποτελεί την τροχιά του σωµατιδίου και ορίζει µία γραµµή. Η ταχύτητα κάθε σωµατιδίου του ρευστού είναι εφαπτόµενη στη ρευµατική γραµµή. Φλέβα Αν θεωρήσουµε µια επιφάνεια Α κάθετη στη διεύθυνση του σωλήνα, µέσα στον οποίο κινείται ένα ρευστό και από κάθε σηµείο του περιγράµµατος της σχεδιάσουµε την αντίστοιχη ρευµατική γραµµή µέσα στο ρευστό σχηµατίζεται ένας νοητός σωλήνας που ονοµάζεται φλέβα. Σε κάθε σηµείο στο περίγραµµα της επιφάνειας Α αντιστοιχεί µία ρευµατική γραµµή. Όλες αυτές οι ρευµατικές γραµµές ορίζουν µία φλέβα φλέβα Ρευµατική γραµµή Στρωτή ροή (laminar flow). Είναι ροή σε Στρωτή ροή παράλληλες στρώσεις χωρίς αλληλεπίδραση µεταξύ των στρώσεων. Οι γειτονικές στρώσεις του ρευστού κινούνται σχηµατίζοντας λείες (όχι απαραίτητα ευθείες) ρευµατικές γραµµές. Στη στρωτή ροή δεν πραγµατοποιείται ανάµιξη µακροσκοπικής κλίµακας µεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Οι στρωτές ροές αποτελούν θεωρητική περίπτωση και πολύ σπάνια συµβαίνουν στη φύση. Όπως φαίνεται από τον ορισµό της στρωτής ροής το ρευστό που κυλάει σε κάποια φλέβα δεν αναµιγνύεται µε το περιεχόµενο άλλης φλέβας του σωλήνα. Ένα «σωµατίδιο ρευστού» που βρίσκεται σε µια τέτοια φλέβα δεν µπορεί να δραπετεύσει από τα νοητά τοιχώµατα της. Εάν αυτό συνέβαινε θα είχαµε τοµή ρευµατικών γραµµών. Τυρβώδης ροή (turbulent flow). Στην τυρβώδη ροή τα σωµατίδια του ρευστού ακολουθούν ακανόνιστη σχεδόν τυχαία διακυµαινόµενη κίνηση. Στην τυρβώδη ροή πεδίου ροής σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Τροχιά, (pathline) καλείται η συνεχής γραµµή που ενώνει τις διαδοχικές θέσεις από τις οποίες διέρχεται ένα στοιχείο του ρευστού κατά την κίνησή του στο πεδίο ροής. Στη µόνιµη στρωτή ροή οι παραπάνω τροχιές ταυτίζονται. Στη µόνιµη ροή οι ρευµατικές γραµµές είναι χρονικά αµετάβλητες και συµπίπτουν µε τις τροχιές των σωµατιδίων του ρευστού. Στην µη µόνιµη ροή αυτή ή σύµπτωση δεν υφίσταται. Στη µη µόνιµη ροή οι εφαπτόµενες στις ρευµατικές γραµµές είναι οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σωµατιδίων του ρευστού σε διάφορα σηµεία του χώρου µια δοθείσα χρονική στιγµή, ενώ οι εφαπτόµενες στις τροχιές είναι οι διευθύνσεις των ταχυτήτων ενός δοθέντος σωµατιδίου του ρευστού διαφορετικές χρονικές στιγµές. Χρήστος Αγριόδηµας 4

25 σχηµατίζονται δίνες, (στρόβιλοι). Η ταχύτητα σε κάθε σηµείο του ρευστού µεταβάλλεται µε το χρόνο τόσο κατά µέγεθος, όσο και κατά διεύθυνση. Η ροή κατά στρώσεις µε λείες γραµµές ροής που παρατηρείται στη στρωτή ροή, διασπάται πλήρως και συµβαίνει έντονη µακροσκοπική ανάµιξη µεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Τυρβώδης ροή Παρατήρηση. Στο σχολικό βιβλίο η µόνιµη ροή ταυτίζεται µε τη στρωτή. Ωστόσο µία στρωτή ροή µπορεί να είναι και µη µόνιµη, ενώ η τυρβώδης ροή είναι πάντα µη µόνιµη.. Η κλασική Μηχανική των ρευστών αναπτύχθηκε µε βάση το µοντέλο του ιδανικού (ιδεώδους) ρευστού, δηλαδή του ρευστού που θεωρείται ασυµπίεστο και µε µηδενική συνεκτικότητα. Λέγοντας ότι ένα ρευστό έχει µηδενική συνεκτικότητα εννοούµε ότι µεταξύ δύο γειτονικών στρωµάτων του δεν αναπτύσσονται κατά την σχετική τους κίνηση διατµητικές δυνάµεις, δηλαδή δυνάµεις παράλληλες προς τα στρώµατα αυτά (δυνάµεις τριβής), µε αποτέλεσµα τα στρώµατα να µη παραµορφώνονται. Λέγοντας εξάλλου ότι ένα ρευστό είναι ασυµπίεστο εννοούµε ότι ο όγκος του δεν µεταβάλλεται όταν αυτό υποβάλλεται σε πιεστικές δυνάµεις. Στην φύση δεν υπάρχουν ιδανικά ρευστά αλλά επινοήθηκαν µε σκοπό να δηµιουργηθούν µαθηµατικοί φορµαλισµοί που προσεγγίζουν µε ανεκτή πιστότητα την συµπεριφορά των πραγµατικών ρευστών. 3. Για τα πραγµατικά ρευστά διακρίνουµε δύο τύπους ροής, την στρωτή ροή και την τυρβώδη ροή. Οι δύο αυτοί τύποι ροής είναι αποτέλεσµα της συνεκτικότητάς τους και η µεν στρωτή ροή είναι συµβατή µε ισχυρές δυνάµεις συνεκτικότητας, ενώ η τυρβώδης συµβαίνει στην περίπτωση που οι δυνάµεις συνεκτικότητας υποχωρούν έναντι άλλων δυνάµεων που δέχεται το ρευστό. Άρα δεν έχει νόηµα να συζητάµε για στρωτή ή τυρβώδη ροή ιδανικού ρευστού. Στο σηµείο αυτό πρέπει να επισηµάνουµε ότι στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου η στρωτή ροή αναφέρεται ατυχώς στα ιδανικά ρευστά και µάλιστα ταυτίζεται µε την µόνιµη ροή, γεγονός που δηµιουργεί σύγχυση εννοιών. 4. Στην περίπτωση της στρωτής ροής τα ρευστά σωµατίδια κινούνται σε παράλληλες διακεκριµένες στρώσεις, χωρίς αυτές µακροσκοπικά να αναµιγνύονται µεταξύ τους. Τυχαίες αποκλίσεις της τροχιάς των σωµατιδίων εξαφανίζονται από την δράση των ισχυρών δυνάµεων συνεκτικότητας και έτσι αυτά επανέρχονται στην στρωσιγενή πορεία τους. Στην περίπτωση της τυρβώδους ροής τα ρευστά σωµατίδια ακολουθούν ακανόνιστες τροχιές χωρίς οι δυνάµεις συνεκτικότητας να έχουν το απαιτούµενο µέγεθος για να επιβάλλουν στρωµατική κίνηση, µε αποτέλεσµα να γίνεται εµφανής η µακροσκοπική ανάµιξη µεταξύ γειτονικών στρώσεων, ενώ η ταχύτητα του ρευστού σε οποιαδήποτε σηµείο παρουσιάζει συνεχείς τυχαίες διακυµάνσεις. Μια στρωτή ροή πραγµατικού ρευστού µπορεί να είναι µόνιµη ή όχι, ενώ η τυρβώδης ροή είναι πάντα µη µόνιµη. Χρήστος Αγριόδηµας 5

26 3.. Εξίσωση Συνέχειας ιατήρηση της µάζας Παροχή Είναι ο ρυθµός µεταβολής του όγκου V του ρευστού σε συνάρτηση µε το χρόνο που διέρχεται από µια διατοµή ενός σωλήνα ή µιας φλέβας. Π = Μονάδα µέτρησης στο S.I., η παροχή Π και µετριέται σε m 3 /s Αν η διατοµή του σωλήνα είναι Α και το ρευστό στο χρονικό διάστηµα dt έχει µετατοπιστεί κατά dx, µπορούµε να γράψουµε για τον όγκο : dv = dx Οπότε: dv dt dv dx Π = = Π = υ dt dt Η παροχή σωλήνα ή φλέβας σε κάποια θέση είναι ίση µε το γινόµενο του εµβαδού της διατοµής Α επί το µέτρο της ταχύτητας του ρευστού υ στη θέση αυτή. dx 3.. ιατήρηση µάζας και εξίσωση συνέχειας Αν το ρευστό που ρέει στο σωλήνα είναι ασυµπίεστο, η παροχή είναι σταθερή. Όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί, εκεί που στενεύει η διατοµή του σωλήνα αυξάνεται η ταχύτητα ροής και το αντίστροφο. Αφού λοιπόν η µάζα του ρευστού που µετακινείται είναι ίδια: ρ ρ V t V t m = m V = V = x x = υ = υ t t x υ x υ Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση της συνέχειας και είναι άµεση συνέπεια της Αρχής ιατήρησης της µάζας. Χρήστος Αγριόδηµας 6

27 Παρατήρησεις. Κατά µήκος ενός σωλήνα ή µιας φλέβας η παροχή διατηρείται σταθερή.. Η ταχύτητα ροής είναι µεγαλύτερη εκεί που υπάρχει στένωση δηλ. εκεί που οι ρευµατικές γραµµές πυκνώνουν. Π.χ. Κατά µήκος ενός ποταµού µε σταθερό πλάτος πολλές φορές το βάθος ποικίλει. Εκεί που το ποτάµι έχει µικρό βάθος έχει και µικρή εγκάρσια διατοµή οπότε το νερό κυλάει γρηγορότερα (αυξάνεται η ταχύτητα ροής), ενώ στα σηµεία που το ποτάµι βαθαίνει κυλάει πιο αργά (µειώνεται η ταχύτητα ροής). 3.3 Η ιατήρησης της Ενέργειας και η εξίσωση ernoulli 3.3. Νόµος ernoulli Απόδειξη σχολικού λίγο πιο αναλυτικά Ιδανικό υγρό ρέει µέσα σε σωλήνα. Η ροή είναι στρωτή και µόνιµη. Η ταχύτητα ροής σε κάθε θέση παραµένει δηλαδή σταθερή (αµετάβλητο πεδίο ροής). Θεωρούµε τµήµα ΑΒΓ της φλέβας του υγρού µέσα στο σωλήνα. Το τµήµα αυτό δέχεται τις εξής δυνάµεις: Το βάρος του. Τις πλευρικές δυνάµεις από τα τοιχώµατα που είναι κάθετες στη ροή. Τις δυνάµεις F και F από τα εξωτερικά τµήµατα της φλέβας. Θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα έργου ενέργειας για το τµήµα του ρευστού που την στιγµή t καταλαµβάνει την περιοχή ΑΒΓ. Την στιγµή t+dt το ρευστό αυτό καταλαµβάνει την περιοχή Α Β Γ. Ρευστό µάζας δm µπήκε στην περιοχή Α ΒΓ και ρευστό ίσης µάζας βγήκε από αυτήν. Παρατηρούµε ότι οι δύο περιοχές επικαλύπτονται κατά το τµήµα Α ΒΓ, που έστω έχει µάζα Μ, κινητική ενέργεια Κ, και το κέντρο βάρους του βρίσκεται σε ύψος Η από το επίπεδο αναφοράς. Η κινητική ενέργεια του ρευστού στο Α'ΒΓ ' έχει σταθερή τιµή Κ, διότι στη µόνιµη ροή η ταχύτητα σε ορισµένο σηµείο µένει σταθερή και είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Το υγρό µάζας δm που βρισκόταν την στιγµή t στη περιοχή ΑΑ έχει κινητική ενέργεια ½ δm υ ² και το ρευστό δm που εξέρχεται από την περιοχή ΑΒΓ, την t+dt καταλαµβάνει την περιοχή ΒΒ Γ Γ και προφανώς λόγω συνέχειας, δm = δm = δm. Έτσι, η κινητική ενέργεια του τµήµατος της φλέβας είναι, αρχικά: Κ αρχ = Κ + ½ δm υ ² τελικά: Κ τελ = Κ + ½ δm υ ² και η µεταβολή της κινητικής ενέργειας: h h δm F υ x (U = 0) υ Η δm Γ Β F Γ x Χρήστος Αγριόδηµας 7

28 Κ = ½ δm (υ ² υ ²) Το έργο του βάρους του τµήµατος αυτού του υγρού στο χρόνο δt είναι: W = U αρχ U τελ = (Μ g H + δm g h ) (Μ g H + δm g h ) W = δm g (h h ) Τέλος, αν, Α οι διατοµές (Α ) και (ΒΓ) και ρ η πυκνότητα του υγρού, ισχύει: δm ρ = δv δm = δv = δm δv και τα έργα των F και F είναι αντίστοιχα: W = F δx = P δx = P δv W = P δm ρ W = F δx = P δx = P δv W = P Έτσι, αν εφαρµόσουµε το θεώρηµα έργου ενέργειας (ΘΜΚΕ) για την κίνηση του τµήµατος αυτού του υγρού προκύπτει: W = K W + W + W = Κ δm g (h h ) + P δm ρ δm δm P = ½ δm (υ ² υ ²) ρ ρ P + ρ g h + ½ ρ υ ² = P + ρ g h + ½ ρ υ ² ή αλλιώς: P + ρ g h + ½ ρ υ² = σταθ. Παρατηρήσεις. Η εξίσωση ernoulli είναι συνέπεια της διατήρησης ενέργειας κατά µήκος της ροής ενός Υγρού.. Η εξίσωση του ernoulli ισχύει όταν α) Το υγρό είναι ασυµπίεστο (ρ = σταθ.). β) Αγνοούµε το ιξώδες του υγρού. Στην πράξη µπορούµε το κάνουµε σε περιπτώσεις που η ταχύτητα ροής είναι σχετικά µικρή, και ο σωλήνας ροής έχει σχετικά µικρό µήκος και µεγάλη διατοµή. γ) Η ροή είναι στρωτή και µόνιµη. δ) εν συµβαίνει ροή θερµότητας. ε) Η εξίσωση εφαρµόζεται κατ αρχήν κατά µήκος της ίδιας ρευµατικής γραµµής. Στις περιοχές όµως που η ροή είναι αστρόβιλη µπορούµε να τη χρησιµοποιούµε ανάµεσα σε οποιαδήποτε σηµεία, όχι απαραίτητα στην ίδια ρευµατική γραµµή. στ) Τέλος, δεν υπάρχουν στην περιοχή ροής αντλίες ή υδροτουρµπίνες, δηλαδή γενικά διατάξεις που προσφέρουν στο υγρό ενέργεια ή του αφαιρούν, προκαλώντας έτσι απότοµες αυξήσεις ή µειώσεις της πίεσης. Χρήστος Αγριόδηµας 8

29 3. Ένα ρευστό που ρέει σε σωλήνα, µόλις εξέλθει στην ατµόσφαιρα θεωρούµε ότι έχει πίεση ίση µε την ατµοσφαιρική, p ατµ. 4. Ο νόµος του Βernoulli εφαρµόζεται και στα αέρια. 5. Τα φαινόµενα ροής γύρω από ένα σώµα είναι ίδια είτε το σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα και το ρευστό ηρεµεί, είτε το σώµα ηρεµεί και το ρευστό κινείται µε αντίθετη ταχύτητα. Κατά την εφαρµογή της εξίσωσης ernoulli, όταν έχουµε εµπόδιο που κινείται µέσα σε ακίνητο ρευστό µε σταθερή ταχύτητα (π.χ. αεροπλάνο), η ταχύτητα που υπεισέρχεται στον τύπο είναι η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το εµπόδιο. ηλαδή, την εξίσωση του ernoulli την γράφει ο παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο εµπόδιο. Αυτό γίνεται διότι η ροή µε σύστηµα αναφοράς ένα παρατηρητή στο έδαφος δεν είναι µόνιµη. Τουναντίον µε σύστηµα αναφοράς το εµπόδιο η ροή είναι µόνιµη. ιερεύνηση Εξίσωσης ernoulli 6. Στην µορφή P+ρ g h + ½ ρ υ² = σταθ. της εξίσωσης, ο κάθε όρος εκφράζει αντίστοιχα ένα είδος πίεσης: P η στατική πίεση σε κάθε θέση. Η πίεση αυτή είναι η «κινητήρια», προέρχεται δηλαδή από το αίτιο που προκάλεσε τη ροή. Είναι αυτή που µετρά ένας παρατηρητής όταν κινείται µε την ταχύτητα του ρευστού δηλ. είναι ακίνητος ως προς το ρευστό γι αυτό και ο όρος στατική. Η στατική πίεση είναι ταυτόσηµη µε την συνήθη έννοια της πίεσης, είναι η πίεση όπως την ορίζουµε στη θερµοδυναµική και οφείλεται στις πιεστικές δυνάµεις που επιδρούν στο ρευστό δηλ. σχετίζεται µε κρούσεις µορίων. Μπορεί να προσδιοριστεί για κάθε σηµείο σε ένα πεδίο ροής χρησιµοποιώντας ένα µανόµετρο χωρίς να εµποδίζει τη ροή. Π.χ χρησιµοποιώντας ένα σωλήνα ourdon ή µια στήλη υδραργύρου. P δυν =½ ρ υ² η δυναµική πίεση εξαιτίας της κινητικής ενέργειας του υγρού. Εκφράζει την πυκνότητα κινητικής ενέργειας ή την κινητική ενέργεια του ρευστού ανά m υ µονάδα όγκου, αφού ρυ =. V Η δυναµική πίεση είναι η πίεση που «αισθάνεται» ένα σώµα εξ αιτίας της κίνησής του ως προς το ρευστό. Εδώ η κίνηση νοείται ως σχετική, δηλαδή το ρευστό, διεµβολίζει (ramming) το κινούµενο σώµα ή αντίθετα. Όταν παρεµβάλλουµε το χέρι µας σε µια ροή υγρού που κινείται µε µεγάλη ταχύτητα αισθανόµαστε τόσο µεγαλύτερη δύναµη, όσο ταχύτερα κινείται το υγρό. Όταν βαδίζουµε κατά µήκος ενός ορµητικού ρεύµατος, ασκείται στα πόδια µας δύναµη που έχει τη κατεύθυνση της ροής του ρεύµατος. Οι δυνάµεις και στις δύο περιπτώσεις οφείλονται στη δυναµική πίεση. Η δυναµική πίεση αυξάνεται, όταν αυξάνεται η ταχύτητα. Στην πραγµατικότητα η δυναµική πίεση δεν είναι πίεση, ο όρος µας διευκολύνει να εξηγήσουµε την ελάττωση της πίεσης λόγω της αύξησης της ταχύτητας. P υψ = ρ g h η υψοµετρική πίεση λόγω ύψους ως προς κάποιο επίπεδο αναφοράς. ηλ. πρακτικά η πίεση αυτή είναι «διαθέσιµη» σε σηµεία χαµηλότερου ύψους. Ο όρος ρ g h Χρήστος Αγριόδηµας 9

30 εκφράζει την πυκνότητα της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας ή την βαρυτική m g h δυναµική ενέργεια του ρευστού ανά µονάδα όγκου, αφού ρgh = V Το άθροισµα τους είναι η «συνολική πίεση» P ολ = P + P δυν + P υψ σε κάθε θέση. Η δυναµική πίεση (dynamic pressure) και η υψοµετρική πίεση δεν αντιστοιχούν στην πραγµατικότητα σε κάποια πίεση που σχετίζεται µε κάποια πιεστική δύναµη. 7. Η εξίσωση του ernoulli µπορεί να πάρει τη µορφή: p p = ρ ( υ υ ) + ρ g ( h h ) Που σηµαίνει ότι µεταβολές στην πίεση ενός ρευστού κατά µήκος µιας ρευµατικής γραµµής, επιφέρουν µεταβολές στην ταχύτητα ροής του ρευστού ή/και στο ύψος στο οποίο ρέει. h δm υ δm Γ Β F Γ x Μετασχηµατίζοντας το ο µέλος σε διαστάσεις ενεργειακής πυκνότητας έχουµε h F υ H x (U = 0) ( p p) V p p = V F F F F ( V V ( x x ( F x F x ) WF + WF = = p p = V V V V Εποµένως: η διαφορά πίεσης εκφράζει το έργο του περιβάλλοντος ρευστού ανά µονάδα όγκου, δηλαδή την ενέργεια που ανταλλάσσει το υπό µελέτη τµήµα του ρευστού µε το υπόλοιπο, ανά µονάδα όγκου. Η εξίσωση ernoulli ως έκφραση της Αρχής ιατήρησης της Ενέργειας (Α..Ε.) Εάν επανέλθουµε στην παραπάνω εξίσωση τότε µε βάση όσα προαναφέραµε µπορούµε να τη γράψουµε στη µορφή: p p = ρ ( υ υ ) + ρ g ( h h ) ( U βαρ. ) WF + W F Κ U ΣW Κ + ΣW Ε V V V V V V V βαρ. µηχ. = + = = Σ = Εµηχ. W Χρήστος Αγριόδηµας 30

31 Έτσι η εξίσωση ernoulli µας πληροφορεί πως η ανά µονάδα όγκου µεταβολή της µηχανικής ενέργειας του υπό µελέτη τµήµατος ενός ρευστού, ισούται µε το ανά µονάδα όγκου έργο, που ανταλλάσσει το τµήµα αυτό µε το περιβάλλον. Η παραπάνω έκφραση αποτελεί έκφραση της Αρχής ιατήρησης της Ενέργειας 5 διότι: αποκλείουµε την ανταλλαγή θερµότητας και θεωρούµε πως η µεταβολή της ενέργειάς του εκφράζεται µόνο ως µεταβολή της µηχανικής του ενέργειας και όχι της εσωτερικής του ενέργειας. Έχουµε αποκλείσει µηχανισµούς µεταφοράς ενέργειας όπως ηλεκτροµαγνητική, χηµική, ηλεκτρική κτλ µεταξύ ρευστού και περιβάλλοντος ενώ το έργο είναι ο µόνος µηχανισµός µεταφοράς ενέργειας µέσω του οποίου ενέργεια εισέρχεται στο σύστηµα. Έτσι η Α..Ε. παίρνει τη µορφή ΣW = Ε ΜΗΧ, στην οποία καταλήξαµε και µέσω της εξίσωσης ernoulli. Η εξίσωση ernoulli αποτελεί ειδική έκφραση της Αρχής ιατήρησης της Ενέργειας σε ένα ρευστό που ανταλλάσσει ενέργεια µε το περιβάλλον του µόνο υπό µορφή µηχανικού έργου και δεν µεταβάλλει την εσωτερική του ενέργεια ή ισοδύναµα δεν µεταβάλλει τη θερµοκρασία του. 5 Μια ανεπτυγµένη µορφή της Αρχής ιατήρησης Ενέργειας είναι: Κ + U + Ε εσωτ = W + Q + T MT + T MW + T ER + T ET Στο αριστερό µέλος της εξίσωσης φαίνονται τρεις τρόποι αποθήκευσης ενέργειας στο σύστηµα: κινητική ενέργεια Κ, δυναµική ενέργεια U και εσωτερική ενέργεια Ε εσωτ. Η συνολική µεταβολή στην ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στο σύστηµα µπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τις τρεις επιµέρους µεταβολές γι αυτούς τους τύπους αποθηκευµένης ενέργειας. Η κινητική ενέργεια Κ στο αριστερό µέλος της εξίσωσης Α Ε, είναι το άθροισµα της µεταφορικής κινητικής ενέργειας του κέντρου µάζας του συστήµατος, της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το κέντρο µάζας του συστήµατος και της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται µε τις ακτινικές κινήσεις των µελών του συστήµατος σε σχέση µε το κέντρο µάζας. Η δυναµική ενέργεια U περιλαµβάνει όλα τα είδη, όπως βαρυτική, ηλεκτρική και ελαστική. Επιπρόσθετα, συµπεριλαµβάνεται η χηµική δυναµική ενέργεια καυσίµων ή εκρηκτικών και τη βιολογική δυναµική ενέργεια από γεύµατα. Η εσωτερική ενέργεια Ε εσωτ περιλαµβάνει την ενέργεια που σχετίζεται µε την άτακτη κίνηση των µορίων, η οποία µετριέται µε τη θερµοκρασία και την ενέργεια δεσµών µεταξύ µορίων που σχετίζεται µε τη φάση (στερεή, υγρή ή αέρια) του συστήµατος. Στο δεξί µέλος της εξίσωσης Α Ε βρίσκεται το συνολικό ποσό ενέργειας που διαπερνά τα σύνορα του συστήµατος, εκφρασµένο ως το άθροισµα των ενεργειών που µεταβιβάζονται µε έξι συνήθεις διαδικασίες: W: έργο πάνω στο σύστηµα από εξωτερικές δυνάµεις των οποίων τα σηµεία εφαρµογής µετατοπίζονται. Q: ενέργεια που διαβιβάζεται διαµέσου των συνόρων του συστήµατος µε θερµότητα εξαιτίας της διαφοράς θερµοκρασίας ανάµεσα στο σύστηµα και το περιβάλλον του. Τ ΜΤ : ενέργεια που διαβιβάζεται διαµέσου των συνόρων του συστήµατος µε µεταφοράς ύλης (Matter Transfer), όπως όταν εισάγεται καύσιµο σε ένα δοχείο. Τ MW : ενέργεια που διαβιβάζεται διαµέσου των συνόρων του συστήµατος µε µηχανικά κύµατα (Mechanical Waves) όπως είναι τα ηχητικά και τα σεισµικά κύµατα. Τ ΕR : ενέργεια που διαβιβάζεται διαµέσου των συνόρων του συστήµατος µε ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία (Electromagnetic Radiation) όπως είναι το φως και τα µικροκύµατα. Τ ΕΤ : ενέργεια που διαβιβάζεται διαµέσου των συνόρων του συστήµατος µε ηλεκτρική µετάδοση (Electrical Transmission) από µία µπαταρία ή άλλη ηλεκτρική πηγή. Μια πολύ απλούστερη µορφή της παραπάνω εξίσωσης είναι η περίπτωση ενός συστήµατος, όπως ενός αερίου που βρίσκεται σε ένα δοχείο, που παίρνει τη µορφή: Ε εσωτ = W + Q Ή ισοδύναµα µε βάση τη γνωστή γραφή U=W+Q, όπου εδώ U= Ε εσωτ η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας και W η ενέργεια που µεταφέρεται στο σύστηµα µέσω του έργου των εξωτερικών δυνάµεων, ενώ στην Ελληνική βιβλιογραφία παίρνει τη µορφή U= Q W αερ, όπου εδώ W αερ είναι το έργο που παράγει το αέριο και η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως ος Θερµοδυναµικός νόµος. Χρήστος Αγριόδηµας 3

32 3.3. Εφαρµογές εξίσωσης ernoulli Θεώρηµα Torricelli (Υπολογισµός ταχύτητας εκροής υγρού από ανοιχτό δοχείο) Απάντηση: Έστω ότι έχουµε το δοχείο του σχήµατος στη βάση του οποίου υπάρχει στόµιο εκροής. Εφαρµόζουµε το νόµο του ernoulli για τις θέσεις Α Ατµόσφαιρα (ελεύθερη επιφάνεια) και Β (στόµιο εκροής), κατά Α Α µήκος µιας ρευµατικής γραµµής όπως φαίνεται στο σχήµα. υ p + ρυ + ρgh = p + ρυ + ρgh h Β U =0 Όµως p =p =p ατ, h =h, h =0 και θεωρώντας την ταχύτητα µε την οποία κατεβαίνει η στάθµη του υγρού αµελητέα συγκριτικά µε την ταχύτητα µε την οποία ρέει το νερό στο Β δηλ. υ 0, όπως προκύπτει από την εξίσωση της συνέχειας. << Α Α = Α = Α υ υ υ υ υ από την αντίστοιχη του σωλήνα στο ) 0, (η διατοµή της δεξαµενής είναι πολύ µεγαλύτερη Α υ Τότε παίρνουµε: υ = υ pat + ρ0 + ρgh = pat + ρυ + ρg0 ρgh ρυ = υ = gh Η ταχύτητα εκροής υγρού από στόµιο που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση µε την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h. Χρήστος Αγριόδηµας 3

33 Ροόµετρο Venturi Το παρακάτω σχήµα δείχνει µία διάταξη που χρησιµεύει για τη µέτρηση της ταχύτητας ροής και παροχής σε ένα σωλήνα. Αν είναι γνωστές οι διατοµές Α και Α, του σωλήνα και η υψοµετρική διαφορά h στη στάθµη των δύο κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων Β και Γ, να βρεθεί η ταχύτητα ροής στην περιοχή του σωλήνα που έχει διατοµή Α. Β Γ h Α h υ υ h Α Απάντηση: Εφαρµόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σηµεία και που βρίσκονται στο ίδιο ύψος έχουµε p + ρυ + ρgh = p + ρυ + ρ gh p p = ρ υ υ Από την εξίσωση της συνέχειας Α Α υ = Α υ υ = υ () Α ( ) ( ) Η () µε τη βοήθεια της () γίνεται Α Α p p = ρ υ υ p p = ρυ Α Α (3) Όµως p = p αt +ρgh και p = p αt +ρgh όπου h το ύψος της στήλης του νερού πάνω από το σωλήνα µετρηµένο από το σηµείο και h το ύψος της στήλης του νερού µετρηµένο από το σηµείο. Αφαιρώντας κατά µέλη τις παίρνουµε p p = ρg( h h ) = ρg h (4) Έτσι η (3) µε τη βοήθεια της (4) διαµορφώνεται ω εξής: Χρήστος Αγριόδηµας 33

34 Α Α Α g h ρg h = ρυ g h = υ g h υ = υ = Α Α Α Α Α g h υ = Α Α g h Αντίστοιχα η ταχύτητας υ προκύπτει από την σχέση () ίση µε υ = Α Α Ενώ αν θέλουµε την παροχή γνωρίζοντας τις δια τοµές Α και Α προκύπτει: g h Π = υ Α = Α Α Α Παρατήρηση Σε µόνιµη στρωτή ροή και όταν οι ρευµατικές γραµµές είναι οριζόντιες το ρευστό στον κατακόρυφο άξονα δεν επιταχύνεται. Η µεταβολή της πίεσης µεταξύ δύο σηµείων του ρευστού σε διεύθυνση κάθετα στη ροή υπολογίζεται από το θεµελιώδη νόµο της υδροστατικής. Αυτό προκύπτει από την διαφοροποιηµένη εξίσωση του ernoulli 6 κατά µήκος κάθετα στις ροϊκές γραµµές. ηλ. p p = ρgh p = p +ρgh h H ΑΒ H h n p = p ατ + ρgh +ρgh p = p ατ +ρgh Και για δύο τυχαία σηµεία και ισχύει p p = ρg h Μία άλλη απόδειξη είναι, έστω ότι έχουµε ένα σωλήνα σταθερής διατοµής, στον οποίο έχει αποκατασταθεί µια µόνιµη ροή ιδανικού ρευστού. 6 Όπως προκύπτει από την εξίσωση του ernouli κάθετα στις δυναµικές γραµµές u p + ρ dn + ρgz = σταθ. R τότε για παράλληλη ροή, R και έτσι p + ρ gz = σταθ. από όπου καταλήγουµε στο ότι η διαφορά πίεσης δύο σηµείων σε παράλληλη ροή π.χ. του και είναι p p = ρg h, δηλ. στην παράλληλη ροή η διαφορά πίεσης ισούται µε ρg h. Εναλλακτικά επειδή η ροή είναι µόνιµη και αστρόβιλη θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε την κλασσική εξίσωση ernoulli στα δύο σηµεία παρόλο που δεν ανήκουν στην ίδια ρευµατική γραµµή και να καταλήξουµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Χρήστος Αγριόδηµας 34

35 Παίρνουµε µια ποσότητα ρευστού που περιέχεται σε κύλινδρο ύψους h και που τα σηµεία Α και Β βρίσκονται στις δυο βάσεις του. Το τµήµα αυτό κατακόρυφα δεν επιταχύνεται αλλά ισορροπεί. Αν σχεδιάσουµε τις κατακόρυφες F δυνάµεις που ασκούνται στη µάζα αυτή του υγρού, θα έχουµε: ΣF y = 0 F F = w p Α p Α=ρgΑ p p =ρgh ίδια δηλαδή εξίσωση που ισχύει και στην υδροστατική. Α Β Α Β Α Β w F Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα Στο παρακάτω σχήµα εµφανίζεται ένα τµήµα ενός οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου έχουµε µια στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού, σταθερής παροχής. O Γ i) Για τις ταχύτητες ροής στα σηµεία Α, Β και Γ ισχύει: α) υ Α =υ Β =υ Γ, β) υ Α > υ Β > υ Γ, γ) υ Α < υ Β = υ Γ. ii) Ένα σωµάτιο ρευστού κατά την κίνησή του από το σηµείο Β στο σηµείο Γ επιταχύνεται ή όχι; iii) Για να µπορεί να υπάρχει η ροή αυτή, θα πρέπει p Α =p Γ. iv) Αν για τις δυο διατοµές Α και Α του σχήµατος ισχύει ότι Α =0Α και η ταχύτητα ροής στο σηµείο Β είναι υ Β =m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στο σηµείο Α. v) Ένα σωµάτιο ρευστού στη θέση Ο επιταχύνεται ή όχι; Αν ναι πού οφείλεται η επιτάχυνσή του; Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας. Απάντηση: i) Από το νόµο της συνέχειας έχουµε: Α υ Α =Α υ Β =Α υ Γ Αλλά τότε αφενός υ Β =υ Γ, αφετέρου επειδή Α >Α θα έχουµε ότι υ Α <υ Β. Συνεπώς η σωστή σχέση είναι η γ) δηλαδή υ Α < υ Β = υ Γ. ii) Αφού η παροχή παραµένει σταθερή. θα είναι και σταθερή η ταχύτητα του υγρού, κάθε στιγµή στο σηµείο Β (Π=Α Β υ Β ). ηλαδή ένα σωµατίδιο ρευστού δεν έχει επιτάχυνση στη θέση Β. Αλλά, όπως δείξαµε και παραπάνω σταθερή ταχύτητα έχουµε στον στενό σωλήνα από το Β στο Γ. Συνεπώς το σωµατίδιο ρευστού, δεν επιταχύνεται µεταξύ των θέσεων Β και Γ. Χρήστος Αγριόδηµας 35

36 iii) Εφαρµόζοντας το νόµο του ernoulli, µεταξύ των σηµείων Α και Γ παίρνουµε: p + ρυ = pγ + ρυγ p p Γ = ρυ Γ ρυ > 0 Αφού υ Α < υ Γ θα ισχύει και p Α -p Γ >0 ή p Α > p Γ. iv) Από το νόµο της συνέχειας Α υ Α =Α υ Β, οπότε: Α Α υ Α = υβ = υβ = m/s = 0,m/s Α 0Α 0 v) Η παροχή σε κάθε διατοµή του σωλήνα είναι ίση Π=Α υ. Αλλά τότε αν το εµβαδόν της διατοµής παραµένει σταθερό, θα παραµένει σταθερή και η ταχύτητα ροής. Στην περιοχή όµως που µειώνεται το εµβαδόν της διατοµής, όπως στο σηµείο Ο, η ταχύτητα ροής αυξάνεται. Έτσι αν πάρουµε τα σηµεία Ο και Ο, όπως στο σχήµα, από το νόµο τον νόµο της συνέχειας έχουµε: Α υ = Α O O υ υ Α = υ Α O < ηλαδή ένα σωµατίδιο ρευστού κινούµενο από το σηµείο Ο στο σηµείο Ο η ταχύτητά του θα αυξάνεται, πράγµα που σηµαίνει ότι επιταχύνεται. Εξάλλου από το νόµο του ernoulli, θα έχουµε: po + ρυ O= po + ρυo Οπότε αφού υ O > υ O θα έχουµε και p O > p O, πράγµα που σηµαίνει ότι κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής που συνδέει τα Ο, Ο η πίεση µειώνεται. Αλλά τότε, αν πάρουµε σε µεγέθυνση ένα τέτοιο στοιχειώδες σωµατίδιο ρευστού, θα δέχεται στην διεύθυνση της κίνησής του τις δυνάµεις που φαίνονται στο διπλανό σχήµα µε µέτρα: F =p dα και F =(p-dp) dα µε συνισταµένη προς τα δεξιά, οπότε και θα επιταχύνεται στην ίδια κατεύθυνση. Συµπέρασµα: Αιτία της επιτάχυνσης στο σηµείο Ο, κάθε σωµατιδίου ρευστού, είναι η διαφορά πιέσεως που εµφανίζεται κατά µήκος του σωλήνα ο οποίος στενεύει! O O O F d O F Χρήστος Αγριόδηµας 36

37 Παράδειγµα Μια µεγάλη δεξαµενή είναι γεµάτη νερό µέχρι ύψους h=5m, ενώ ένα σωλήνας, που συνδέεται στον πυθµένα, έχει διατοµή Α=cm και κλείνεται µε στρόφιγγα στο άκρο Α, όπως στο σχήµα. Το νερό µε πυκνότητα ρ=.000kg/m 3, θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή στρωτή και µόνιµη µε τη στρόφιγγα ανοικτή, ενώ στο σχήµα έχει χαραχθεί µια ρευµατική γραµµή ΓΑ. ίνεται επίσης g=0m/s. i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος, µε την στρόφιγγα ανοικτή: α) Η πίεση στο σηµείο της επιφάνειας είναι ίση µε την πίεση στο Α. β) Μια µικρή µάζα νερού, έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγµή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο. γ) Η πίεση στο σηµείο Β είναι ίση µε την πίεση στο Α. δ) Για τις τιµές της πίεσης στα σηµεία Β και Γ ισχύει p Β p Γ =ρgh ΓΒ. ii) Αν η διατοµή της δεξαµενής είναι πολύ µεγάλη, ποια η ταχύτητα µε την οποία βγαίνει το νερό από το άκρο Α; iii) Κλείνουµε την στρόφιγγα. Η πίεση στο σηµείο Α άλλαξε ή όχι; v) Αν πιέσουµε µε την βοήθεια ενός εµβόλου την πάνω επιφάνεια της δεξαµενής, θα αυξηθεί η ποσότητα του νερού που θα βγαίνει από την διατοµή στο Α, µε τη στρόφιγγα ανοικτή. Μπορείτε να εξηγείστε γιατί συµβαίνει αυτό; Γ Απάντηση: i) α) Η πίεση σε ένα σηµείο της επιφάνειας είναι ίση µε την πίεση στο Α. Η πρόταση είναι σωστή. p Α =p =p ατµοσφαιρική. β) Μια µικρή µάζα νερού, έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγµή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο. Η πρόταση είναι σωστή. Πρακτικά η ταχύτητα στο σηµείο θεωρείται µηδενική. Πράγµατι από την εξίσωση της συνέχειας Α υ =Α Α υ Α. Αλλά αφού Α >>Α Α θα ισχύει ότι υ Α >>υ. γ) Η πίεση στο σηµείο Β είναι ίση µε την πίεση στο Α. Η πρόταση είναι σωστή. Αφού ο οριζόντιος σωλήνας έχει σταθερή διατοµή, η ταχύτητα στο σηµείο Β είναι ίδια µε την ταχύτητα στο άκρο Α. Αλλά τότε από το νόµο ernoulli, έχουµε: pα + ρυα = p + ρυ p Α = p Β. δ) Για τις τιµές της πίεσης στα σηµεία Β και Γ ισχύει p Β p Γ =ρgh ΓΒ. Χρήστος Αγριόδηµας 37

38 Η πρόταση είναι λανθασµένη. Η παραπάνω σχέση θα ήταν σωστή αν δεν είχαµε κίνηση του υγρού, αλλά ισορροπία. Στην περίπτωση της µόνιµης ροής ισχύει ο νόµος ernoulli, όπου: pγ + ρυ Γ + ρghγβ = p + ρυ. ii) Εφαρµόζοντας το νόµο ernoulli, µεταξύ των σηµείων και Α, όπου p =p Α =p ατ και θεωρώντας υ =0, αφού η διατοµή της δεξαµενής είναι πολύ µεγαλύτερη από την αντίστοιχη του σωλήνα στο Α, παίρνουµε: p + ρυ + ρgh = pα + ρυα. iii) ρυ Α = ρgh υ gh (θεώρηµα Torricelli) = Α υ Α = 0 5m/s = 0m/s Μόλις κλείσουµε τη στρόφιγγα, έχουµε πια το νερό σε ισορροπία. Αλλά τότε για τις πιέσεις στα σηµεία και Α θα έχουµε: p Α p =ρgh p Α =p +ρgh p Α =0 5 Ν/m Ν/m =,5 0 5 Ν/m. Αν η δεξαµενή καλυπτόταν από ένα αβαρές * έµβολο, στο οποίο ασκούσαµε µια εξωτερική δύναµη, τότε θα είχαµε αύξηση της πίεσης στο κάτω άκρο του εµβόλου, κατά F εξ. Επειδή το έµβολο είναι αβαρές ισχύει ΣF=0, δηλ ισορροπεί. Έτσι στο σηµείο η πίεση θα αποκτούσε τιµή: ΣF = 0 F ν F α F εξ = 0 F ν = F α + F εξ p Α = p ατ Α + F εξ Fεξ p = paτ + Α Εφαρµόζοντας ξανά το νόµο ernoulli, µεταξύ των σηµείων και Α, όπως και παραπάνω έχουµε: p + ρυ ρgh pα ρυα + = + Fεξ paτ ρgh = pατ + ρυ Α Α Fεξ υ Α = gh + ρα Γ F a F ν F εξ F εξ Βλέπουµε ότι µε την άσκηση της εξωτερικής δύναµης στην πάνω επιφάνεια, αυξάνεται η Fεξ ταχύτητα εκροής του νερού, αφού gh + > gh, αλλά τότε η παροχή θα ρα αυξηθεί, αφού: Χρήστος Αγριόδηµας 38

39 Π=Α Α υ Α. Σηµείωση* Αν το έµβολο δεν είναι αβαρές, αλλά είχε βάρος w, τότε ασκώντας την w + Fεξ εξωτερική κατακόρυφη δύναµη F εξ η πίεση αυξάνεται κατά. Οι δυνάµεις που ασκούνται στο έµβολο, έχουν σχεδιαστεί στο διπλανό σχήµα. Το έµβολο ισορροπεί γιατί κατεβαίνει πολύ αργά, µε την ταχύτητα εκροής δηλ. υ=0 και ισχύει ΣF=0: ΣF=0 F ν =F α +w+f εξ p Α = p ατ Α+w+F εξ p = p aτ w + F + εξ F a w Fν F εξ Παράδειγµα 3 Στο διπλανό σχήµα έχουµε µια µόνιµη και στρωτή ροή νερού (το οποίο θεωρούµε ιδανικό ρευστό) εντός ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατοµής Α=40cm. Η παροχή του σωλήνα είναι ίση µε 8L/s. Στη θέση Α έχει συνδεθεί ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας, στον οποίο το νερό ανέρχεται κατά h =m. i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στα σηµεία Α και Β, καθώς και οι αντίστοιχες πιέσεις. Παρεµβάλλουµε έναν δεύτερο σωλήνα στη θέση Β, όπως στο διπλανό σχήµα. Αν η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή και µόνιµη, µε την ίδια παροχή: ii) Πόση θα είναι η ταχύτητα του νερού στο σηµείο Β και ποια η τιµή της πίεσης στο Β; iii) Σε πόσο ύψος θα ανέβει το νερό στον δεύτερο σωλήνα; ίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000ν/m και g=0m/s. Απάντηση: i) Η παροχή του σωλήνα δίνεται από την εξίσωση Π=Α υ, οπότε: 3 3 Π 8 0 m / s υ = = = m / s m Αλλά λόγω συνέχειας και σταθερής διατοµής του σωλήνα, υ Α =υ Β =υ=m/s. Η πίεση στο σηµείο Α, είναι ίση πρακτικά µε την πίεση στο κάτω σηµείο του κατακόρυφου σωλήνα, ο οποίος περιέχει νερό σε ισορροπία, συνεπώς: 5 5 p = pa τ + ρgh = 0 N / m N / m =, 0 N / m Αλλά από το νόµο ernoulli κατά της µήκος της ρευµατικής γραµµής που συνδέει τα σηµεία Α και Β, έχουµε: p + ρυ = p + ρυ p = p 5 Συνεπώς και p =, 0 N / m. h h Χρήστος Αγριόδηµας 39

40 ii) Η τοποθέτηση του σωλήνα στο σηµείο Β, έχει ως αποτέλεσµα να τροποποιήσει τη ροή, αφού θα έχουµε αποκοπή της ροής στο Β, δηλαδή η ταχύτητα ροής στο Β θα µηδενιστεί. Αλλά από το νόµο του ernoulli µεταξύ των σηµείων Α και Β, θα έχουµε: p + ρυ = p + ρυ 5 p = p + ρυ =, 0 N / m N / m =.000N / m =, 0 5 N / m iii) Το νερό θα ανέλθει στον δεύτερο σωλήνα σε ύψος h, έτσι ώστε στο σηµείο Β, το οποίο είναι στο κάτω µέρος µιας αντίστοιχης στήλης νερού σε ισορροπία, να ισχύει: p = p ρgh + aτ 5 p pa τ (, ) 0 h = = m =,m ρg Η τελική δηλαδή εικόνα θα είναι αυτή του διπλανού σχήµατος. h h Σχόλιο. Στο σηµείο Β, του δεύτερου σωλήνα, η ταχύτητα είναι µηδενική. Έχουµε δηλαδή ένα σηµείο ανακοπής της ροής και η πίεση στο Β, λέγεται και πίεση ανακοπής ή ηρεµίας. Η τιµή της p = p + aτ ρgh είναι ίση µε το άθροισµα p + ρυ όπου p pa τ ρgh = + η στατική πίεση στο τυχαίο σηµείο Α και ρυ η «δυναµική» πίεση η οποία οφείλεται στην κίνηση του υγρού. Παράδειγµα 4 Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήµατος, διατοµής Α Α =Α =0cm παρουσιάζει σε µια περιοχή ένα στένωµα διατοµής Α Β =Α =5cm. Στο σωλήνα ρέει νερό που στο στένωµα έχει ταχύτητα 0,8m/s. Το ύψος του νερού στο σωλήνα Α είναι 3cm. i) Πόσο είναι το ύψος του νερού στο σωλήνα Β και πόσο στο σωλήνα Γ, όπου ο σωλήνας έχει ξανά διατοµή Α. ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο Γ στένωµα, όταν το ύψος του νερού στον σωλήνα Α είναι cm και στον Β µηδέν. Η ροή να θεωρηθεί µόνιµη και στρωτή ροή ιδανικού ρευστού, ενώ η πυκνότητα του νερού είναι ίση µε.000kg/m 3. Θεωρείστε τα ύψη των νερών στους σωλήνες Α, Β, και Γ πολύ µεγαλύτερα από τις διατοµές των σωλήνων Α και Α. Χρήστος Αγριόδηµας 40

41 Απάντηση: i) Ας εφαρµόσουµε την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων και της ρευµατικής γραµµής του διπλανού σχήµατος: Γ p + ρυ = p + ρυ () h h h h 3 Όπου p = patm + ρgh = patm + ρgh και p = patm + ρgh = patm + ρgh Θεωρούµε σύµφωνα µε την εκφώνηση h =h και h =h, µε h το ύψος του νερού στον σωλήνα Α και h το αντίστοιχο ύψος στο σωλήνα Β. Εξάλλου από την εξίσωση της συνέχειας µεταξύ των διατοµών στις θέσεις () και () έχουµε: 5cm υ = υ υ = υ = 0,8m / s = 0,m / s 0cm Έτσι µε αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουµε: patm + ρ gh + ρυ = patm + ρgh + ρυ gh + υ = gh + υ υ υ 0, 0,8 h = h + = 0,3m + m = 0,m g 0 Αλλά ο σωλήνας στη θέση (3) έχει την ίδια διατοµή µε το σωλήνα στη θέση () και από την εξίσωση της συνέχειας, προκύπτει ότι υ =υ 3. Οπότε και από την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων και 3 θα πάρουµε: p + ρυ = p3 + ρυ3 p = p3 h3 = h = 3cm ii) Από την εξίσωση της συνέχειας µεταξύ των διατοµών στις θέσεις () και () έχουµε: υ = υ υ = υ = υ 4 Με εφαρµογή την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων και της ρευµατικής γραµµής του παραπάνω σχήµατος παίρνουµε: p + ρ υ = p + ρυ patm + ρ gh + ρυ = patm + ρgh + ρ( 4υ ) Χρήστος Αγριόδηµας 4

42 5 ρ υ = ρgh υ = gh 5 υ gh 0 0 = = m / s = 0,4m / s 5 5 Οπότε: υ = υ = 4 0,4m/s,6m/s 4 = Παράδειγµα 5 Στο σχήµα φαίνεται ένα τµήµα ενός δικτύου ύδρευσης µε µια µόνιµη και στρωτή ροή, σταθερής παροχής 3,5L/s. h Το νερό πυκνότητας ρ=.000kg/m 3 θεωρείται ιδανικό ρευστό και τα δυο K Λ οριζόντια και σταθερής διατοµής τµήµατα του σωλήνα, απέχουν h h κατακόρυφη απόσταση h=0,5m. Οι οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατοµές Α =70cm και Α =0cm, ενώ δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, έχουν συγκολληθεί σε αυτούς, µε αποτέλεσµα το νερό να ανέρχεται στο εσωτερικό τους κατά h =80cm και h αντίστοιχα. i) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες ροής στους δυο οριζόντιους σωλήνες. ii) Να υπολογιστεί η τιµή της πίεσης στα σηµεία Κ και Λ. iii) Για ένα σωµατίδιο ρευστού Χ, µάζας 0,kg, να υπολογιστεί η µεταβολή της κινητικής και η αντίστοιχη µεταβολή της δυναµικής του ενέργειας, µεταξύ των σηµείων Κ και Μ. iv) Να υπολογιστεί το έργο που παρήγαγε η υπόλοιπη µάζα του νερού, επί του σωµατιδίου Χ, µεταξύ των παραπάνω θέσεων. v) Να βρεθεί το ύψος h στο το οποίο έχει ανέβει το νερό στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα. ίνεται g=0m/s και p ατ =0 5 Ν/m. Θεωρείστε τα ύψη των νερών στους κατακόρυφους σωλήνες πολύ µεγαλύτερα από τις διατοµές των οριζόντιων σωλήνων. M Απάντηση: i) Η παροχή από µια διατοµή του σωλήνα είναι ίση µε Π=Α υ, οπότε για τους δυο σωλήνες έχουµε: ii) Π 3,5 0 m / s Π 3,5 0 m / s υ = = = 0,5m / s και υ 3,5m / s 4 = = = 4 Α 70 0 m Α 0 0 m Το σηµείο Λ, µπορεί να θεωρηθεί σηµείο στο κάτω άκρο του κατακόρυφου σωλήνα, όπου το νερό ισορροπεί, δηµιουργώντας µια στήλη ύψους h, οπότε: 5 p Λ pa τ + gh = 0 N / m ,8N / m = = ρ N / m Χρήστος Αγριόδηµας 4

43 Αλλά ο πάνω σωλήνας έχει σταθερή διατοµή, συνεπώς η ταχύτητα ροής έχει σταθερή τιµή σε κάθε σηµείο, δηλαδή υ Κ =υ Λ, οπότε εφαρµόζοντας το νόµο ernoulli µεταξύ των σηµείων Κ και Λ παίρνουµε: pk + ρυ Κ = pλ + ρυλ p = p = N / m iii) Για το σωµατίδιο ρευστού Χ, θα έχουµε: K Κ = Κ Κ Λ ( ) = mυ mυ = mυ υ ( 3,5 0,5 ) J =, J Κ = 0, Θεωρώντας δε, επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, το οριζόντιο επίπεδο του ου σωλήνα, έχουµε: U = U U = U = mgh = 0, 0 0,5J = J iv) Εφαρµόζουµε το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας για το σωµατίδιο ρευστού Χ και έχουµε: K K = Ww + WF Όπου W F το έργο της δύναµης που δέχεται το σωµατίδιο από το υπόλοιπο υγρό στη διάρκεια της κίνησής του, συνεπώς αφού λάβουµε υπόψη µας ότι W w =- U, έχουµε: W = Κ W = Κ + U οπότε: F w W F =,J - J = 0,J v) Εφαρµόζουµε ξανά το νόµο ernoulli µεταξύ των σηµείων Κ και Μ και παίρνουµε: p p K M + ρυ Κ + ρgh = pm + ρυ M = pk + ρυ Κ ρυ M + ρgh ( 0,5 3,5 ) N/m ,5N/m N/m p M = N/m = Όµως η πίεση σε όλα τα σηµεία του οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατοµής, είναι επίσης (όπως και στον πρώτο σωλήνα) σταθερή και ίση µε την πίεση στο κάτω µέρος του κατακόρυφου σωλήνα, όπου το νερό έχει ανέβει κατά h. Έτσι: p = M p + aτ ρgh pm pa τ h = = m = 0 7, m ρg Σχόλιο: Ποιο είναι το έργο W F, που υπολογίσαµε παραπάνω; Έστω ότι µας ενδιαφέρει µια ποσότητα νερού, που στο παρακάτω σχήµα, καταλαµβάνει την περιοχή ΑΒΓ, µε σκούρο µπλε χρώµα. Η µάζα αυτή του νερού δέχεται δύο δυνάµεις από το υπόλοιπο νερό, την F =p Α και την F =p Α. Μέρος της ποσότητας Χρήστος Αγριόδηµας 43

44 αυτής του νερού, είναι µια µικρότερη µάζα m=0,kg, η οποία αποτελεί το σωµατίδιο ρευστού που µας δόθηκε, όπου στο πρώτο σχήµα είναι γραµµοσκιασµένο. Το µήκος που καταλαµβάνει στον πάνω σωλήνα, είναι x, όπου V=Α x. F x h F h y F Γ Έστω µετά από λίγο, η θέση της ίδιας ποσότητας νερού, είναι αυτή του κάτω σχήµατος, όπου η επιφάνεια Α, έχει φτάσει στη θέση Α µετατοπισµένη κατά x. Τότε η ΒΓ έχει µετατοπιστεί κατά y, όπου V=Α y. Μεταξύ αυτών των δύο θέσεων, τι διαφορά υπάρχει στην κίνηση του νερού; Ουσιαστικά είναι σαν η µάζα m, η γραµµοσκιασµένη στο πάνω σχήµα, να έχει φτάσει στην περιοχή που έχει γραµµοσκιαστεί στο κάτω σχήµα. Η υπόλοιπη ποσότητα του νερού, υπάρχει στον ίδιο χώρο έχοντας και ίδια ενέργεια, αφού σε κάθε σηµείο η ταχύτητα παραµένει σταθερή. Συνεπώς το έργο της δύναµης που ασκήθηκε στο σωµατίδιο ρευστού Χ, κατά την µετακίνησή του από τον πάνω στον κάτω σωλήνα, είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων των δυνάµεων F και F που ασκήθηκε σε όλη την ποσότητα του νερού ΑΒΓ. ηλαδή: = W + W = F x F y = p x p y = p V p V = ( p p )V ή W = ( p p W F F F m ) = ρ 0,.000 h h ( ) J 0, J F = Γ F Παράδειγµα 6 Το διπλανό σχήµα παριστάνει ένα ροόµετρο Venturi, (βεντουρίµετρο) που αποτελείται από τον οριζόντιο σωλήνα ΑΒΓ ο οποίος παρουσιάζει στένωση στο σηµείο Β. Το ροόµετρο συνδέεται µε ένα σωλήνα τύπου U στα σηµεία Α και Β. Το κύριο µέρος του σωλήνα U που συνδέει τα σηµεία Α και Β περιέχει υδράργυρο η πυκνότητα του οποίου είναι ρ υδ =3.600kg/m 3. Στο ροόµετρο διέρχεται νερό η πυκνότητα του οποίου είναι ρ ν =000kg/m 3. Η µεγάλη διατοµή του ροοµέτρου στο Α έχει ακτίνα R και η µικρή που παρουσιάζει τη στένωση στο Β είναι r=r/. Υποθέστε ότι η ταχύτητα του νερού στο σηµείο είναι υ =,5m/s. Α υ υ νερό Ζ h Ε Γ Υδράργυρος Χρήστος Αγριόδηµας 44

45 α) Υπολογίστε την τιµή της ταχύτητας υ του νερού στο σηµείο. β) Να εξηγήσετε που οφείλεται η υψοµετρική διαφορά h που παρουσιάζει ο υδράργυρος στον σωλήνα U. γ) Υπολογίστε την υψοµετρική διαφορά h που παρουσιάζει ο υδράργυρος. δ) Αν η πίεση στο σηµείο ήταν tm να υπολογιστούν οι ταχύτητες που θα έπρεπε να έχει το νερό στα σηµεία και ώστε η πίεση στο να ήταν µηδέν. ίνεται tm=0 5 N/m και ότι το νερό και υδράργυρος συµπεριφέρονται σαν ιδανικά ρευστά. Επίσης τα σηµεία και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Απάντηση α) Από την εξίσωση της συνέχειας και επειδή το νερό είναι ασυµπίεστο έχουµε: R R R r Sυ = S υ π R υ = π r υ υ = υ υ = υ υ = υ =,5 r r r r υ = 6 m / s () β) Η υψοµετρική διαφορά που παρουσιάζει ο υδράργυρος οφείλεται στις διαφορετικές πιέσεις που παρουσιάζει το νερό στις διατοµές Α και Β. Από την εξίσωση του ernoulli προκύπτει ότι στο σηµείο η πίεση είναι µεγαλύτερη από ότι στο. Έτσι το νερό στο σηµείο Α πιέζει τον υδράργυρο προς τα κάτω. Αντίθετα στο Β η πίεση είναι µικρότερη και έτσι ο υδράργυρος ανεβαίνει προς το Β. γ) Εφαρµόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σηµεία και έχουµε: y = y p + ρvυ + ρvgy = p + ρνυ + ρν gy p ρνυ p ρνυ + = + p p = ρν ( υ υ ) () Το τµήµα του υδραργύρου βρίσκεται σε ισορροπία. Σύµφωνα µε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων αν πάρουµε δύο σηµεία και Ε που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο εντός του ίδιου υγρού, θα ισχύει p = p Ε. Αρχικά δεν θα λάβουµε υπόψην την πίεση που οφείλεται στο νερό της στήλης Α και ΒΖ. (σχόλιο ) p = p p = p + g h p p = g h Ε ρυδ ρυδ (3) (3) ρ () ρ. 000 ν υ υ ρ υ υ 6,5 ρ g ν ( ) = υδ g h h = ( ) = ( ) 33, 75 h = (36, 5) = h = 0,4m h =, 4cm 7 7 υδ Χρήστος Αγριόδηµας 45

46 δ) Από την εξίσωση της συνέχειας και επειδή το νερό είναι ασυµπίεστο έχουµε: R R R r S υ = Sυ π R υ = π r υ υ = υ υ = υ υ = υ = υ r r r r υ = 4 υ (4) Εφαρµόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σηµεία και έχουµε: p gy p gy p p (4) ( ) y = y + ρvυ + ρv = + ρνυ + ρν ρνυ ρνυ ρν υ υ + = = p = 0 5 p = ρν ( υ υ ) = ρν υ υ = = = = υ 5ρν p 6 p 5 3, 65 m / s άρα υ =4,6 m/s Σχόλια. Το φαινόµενο στο Β όταν η πίεση πέφτει σχεδόν στο µηδέν, είναι γνωστό σαν σπηλαίωση, (cavitation). Το νερό εξατµίζεται σχηµατίζοντας µικρές φυσαλίδες.. Στον υπολογισµό της διαφοράς ύψους του ερωτήµατος γ αγνοήσαµε την πίεση του νερού στις στήλες Α και ΒΖ. Αυτό συνήθως γίνεται διότι η διαφορά αυτή επιφέρει µικρή αλλαγή στην πίεση p και p E και τελικά µικρή απόκλιση στο h. Αν το ρευστό που διαρρέει το ροόµετρο έχει πολύ µικρή πυκνότητα σε σχέση µε το υγρό του σωλήνα U, ή ο σωλήνας δεν είναι πολύ µακρύς ώστε τελικά η πίεση αυτή να πρέπει να ληφθεί υπόψη, τότε πρακτικά δεν παρατηρείται µεγάλη αλλαγή. Π.χ. αν το ροόµετρο διαρρεόταν από αέρα, ρ air =,3kg/m 3 και ο σωλήνας U από υδράργυρο, ρ υδ =3.600 kg/m 3 ακόµη και µε µακρύ σωλήνα δεν θα το λαµβάναµε υπόψη. Έστω ότι το ροόµετρο διαρρέεται από νερό και ο σωλήνας περιέχει υδράργυρο. Τότε: Ε h p = p p + ρ gh = p + ρ gh + ρ g( h h ) Ε ν ν υδ p p = ρ g( h h ) ρ g( h h ) υδ ν p p = ρ g h ρ g h p p = ( ρ ρ ) g h υδ ν υδ ν Χρήστος Αγριόδηµας 46

47 Παράδειγµα 7 Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται µε νερό από µια δεξαµενή, στην επιφάνεια του εδάφους, µε την βοήθεια µιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήµα. Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει διατοµή Α =3cm, οι τρεις οριζόντιες διακλαδώσεις Α =cm, ενώ µε πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται από διατοµές Α=0,3cm. Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος µε την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόµατα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση p=αtm. i) Με κλειστές τις βρύσες, να υπολογιστεί η πίεση του νερού σε κάθε βρύση. ii) Ανοίγουµε πλήρως την βρύση του πρώτου ορόφου. Θεωρώντας ότι η ροή πραγµατοποιείται χωρίς τριβές και είναι µόνιµη και στρωτή, να υπολογιστούν: α) Η παροχή της βρύσης. β) Η πίεση στους τρεις οριζόντιους σωλήνες. γ) Η ισχύς της αντλίας. ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση p ατ =atm=0 5 Ν/m, η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3 και g=0m/s, ενώ το κατακόρυφο µήκος κάθε βρύσης θεωρείται αµελητέο. Απάντηση: M h h O Γ i) Αν οι βρύσες είναι κλειστές, το νερό που περιέχεται στους σωλήνες ισορροπεί, οπότε για τις πιέσεις, στο εσωτερικό κάθε βρύσης (σηµεία Α, Β και Γ, αλλά και σηµεία, και 3 έχουµε: p = p Α = p Ο = atm = 0 5 Ν/m. p o p =ρgh p Β = p = p o ρgh p = 0 5 Ν/m Ν/m =,6 0 5 Ν/m. p o p 3 = ρg h p Γ =p 3 = p o ρgh p 3 = 0 5 Ν/m Ν/m h =, 0 5 Ν/m M. O ii) Μόλις ανοίξουµε τη βρύση Β, του πρώτου ορόφου, το νερό εξέρχεται µε ταχύτητα υ. Από την εξίσωση της συνέχειας µεταξύ της διατοµής του σωλήνα στο σηµείο Ο και της διατοµής της βρύσης, παίρνουµε: 0,3cm Α ο υ ο =Α υ υo = υ = υ = 0, υ o 3cm α) Εφαρµόζοντας την εξίσωση ernoulli µεταξύ του σηµείου Ο και της ανοικτής βρύσης Β, παίρνουµε: po + ρυ o = p + ρυ + ρgh p + ρ ( 0,υ ) = p + ρυ + ρgh h Γ Χρήστος Αγριόδηµας 47

48 p ρgh = ρυ ( 0,0) ρυ 5 p 0 υ = gh = 0 4m / s = 0m / s m / s 3 ρ 0 Αλλά τότε η παροχή της βρύσης είναι: Π =Α υ=0,3 0-4 m m/s=3,3 0-4 m =0,33L/s β) Από την εξίσωση της συνέχειας µεταξύ των διατοµών στο σηµείο και την έξοδο της βρύσης Β έχουµε: 0,3cm Α υ =Α υ υ = υ = m / s = 3,3m / s cm Εφαρµόζοντας την εξίσωση ernoulli µεταξύ του σηµείου και ενός σηµείου στο άνοιγµα της βρύσης Β, παίρνουµε: 3 Γ p + ρυ = p + ρυ p = p + ρυ ρυ = p + ρ( υ υ ) E 5 5 p = 0 N / m ( 3,3 ) N / m =,55 0 N / m. Εφαρµόζουµε την εξίσωση ernoulli µεταξύ του σηµείου Ο και ενός σηµείου και παίρνουµε: po + ρυo = p + ρυo po = p O ernoulli µεταξύ του σηµείου και του σηµείου Ε: po + ρυo = pe + ρυo + ρgh pe = Αλλά από την ισορροπία του νερού στο σωλήνα Α, έχουµε: p Α =p =p =p ο = 0 5 Ν/m. p o ρgh Ενώ από την αντίστοιχη ισορροπία της στήλης πάνω από το Ε: p Ε - p Γ =ρgh p Γ = p Ε - ρgh ή p 3 = p Γ = p ο -ρgh = 0 5 Ν/m Ν/m =, 0 5 Ν/m. Αξίζει να προσέξουµε ότι το άνοιγµα της βρύσης του πρώτου ορόφου, δεν µεταβάλει την πίεση στις άλλες δυο κλειστές βρύσες. γ) Η ισχύς της αντλίας, είναι ίση µε το ρυθµό µεταφοράς ενέργειας στο νερό µέσω έργου. Θα είναι ίση µε την ενέργεια, ανά µονάδα χρόνου, που θα εµφανιστεί µε τη µορφή της κινητικής και δυναµικής ενέργειας του νερού στην Β βρύση: Χρήστος Αγριόδηµας 48

49 m υ ρ V υ U K m gh ρ V gh + = + = + t t t t t t U K + = Π ρgh + ρ υ t t U K = 3, ( 0 ) J / s = 33J / s t t Αλλά τότε η ισχύς της αντλίας είναι Ρ=33W. Εναλλακτικά: Η ισχύς της γεννήτριας, είναι ο ρυθµός µε τον οποίο παράγει έργο πάνω στη στήλη του νερού. Αλλά: W ( p p o aτ ) V P = = = ( p ) o pa τ Π (3) t t 5 4 P = ( p p ) Π = ( )0 3,3 0 W 33W o aτ = Παρατήρηση Η εξίσωση του ernoulli µπορεί να εφαρµοστεί σε διακλάδωση. Έστω ένας οριζόντιος σωλήνας διατοµής Α που διακλαδίζεται σε δυο άλλους σωλήνες µικρότερης διατοµής Β και Γ. Η εφαρµογή της εξίσωσης ernoulli µπορεί να γίνει για τις ρευµατικές γραµµές που διέρχονται από την Α και περνούν στην Β, καθώς και για αυτές που διέρχονται από την Α και περνούν στην Γ. Χ Υ Α Β Γ Μπορούµε λοιπόν να χρησιµοποιήσουµε το νόµο ernoulli, παίρνοντας αρχικά τα σηµεία Χ και Β και στη συνέχεια τα σηµεία Υ και Γ Χρήστος Αγριόδηµας 49

50 3.4 Η Τριβή Στα Ρευστά, (Ιξώδες) Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάµεις τριβής µεταξύ των µορίων τους (εσωτερική τριβή) αλλά και µεταξύ των µορίων και των τοιχωµάτων του σωλήνα µέσα στον οποίο πραγµατοποιείται η κίνηση (δυνάµεις συνάφειας). Η εσωτερική τριβή µέσα σ ένα ρευστό ονοµάζεται ιξώδες. Οι δυνάµεις ιξώδους αντιτίθενται στην κίνηση ενός τµήµατος του ρευστού ως προς ένα άλλο τµήµα του Εξίσωση Ιξώδους Το ιξώδες. Ένα ρευστό µε εσωτερική τριβή έχει την τάση να προσκολλάται στην επιφάνεια του στερεού µε την οποία βρίσκεται σε επαφή. Υπάρχει πάντοτε ένα λεπτό οριακό στρώµα ρευστού κοντά στην επιφάνεια, όπου το ρευστό ηρεµεί ως προς την επιφάνεια. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο σωµάτια σκόνης προσκολλούν στα πτερύγια ενός ανεµιστήρα ακόµη και όταν περιστρέφεται. l Έστω ένα στρώµα πραγµατικού υγρού, πάχους l που βρίσκεται ανάµεσα σε δύο παράλληλες πλάκες εµβαδού. Η κάτω πλάκα είναι ακίνητη και η πάνω σύρεται από µία δύναµη F µε τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητα της πλάκας να είναι σταθερή. Η δύναµη F εξουδετερώνει τις τριβές που δέχεται από το υγρό και κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ. υ T F T F T T ν + T ν Σχήµα Σχήµα Σχήµα 3 (σχήµα ). Προφανώς το τµήµα του στρώµατος (διακεκοµµένο τµήµα) που είναι σε επαφή µε την πλάκα ασκεί δύναµη Τ αντίθετη της F και δέχεται την αντίδραση Τ = F = T. Η αντίδραση της δύναµης Τ δηλ. η Τ θα θέσει σε κίνηση, σε ροή, το υγρό. Το τµήµα αυτό θα δέχεται µία δύναµη τριβής την Τ από το υποκείµενο στρώµα που πλακώνει (σχήµα ). Αλλά τότε και για κάθε στρώµα (σχήµα 3) ασκείται η Τ ναπό το υπερκείµενο στρώµα και η Τ ν + από το υποκείµενο και αν έχουµε µια µόνιµη ροή, δηλαδή σταθερή ταχύτητα του στρώµατος αυτού τότε τα µέτρα των δυνάµεων είναι ίσα Τ ν =Τ ν+. Αυτή είναι η εσωτερική τριβή που δέχεται κάθε στρώµα του υγρού, από τα υπόλοιπα στρώµατα. Οι δυνάµεις αυτές είναι ηλεκτρικής φύσης στα υγρά. Προσοχή. Η ταχύτητα του κάθε στρώµατος είναι διαφορετική αλλά σταθερή. Οι ταχύτητες των στρωµάτων του ρευστού αλλάζουν και παίρνουν τιµές από µηδέν για το στρώµα ρευστού που είναι σε επαφή µε την κάτω ακίνητη πλάκα µέχρι υ για το στρώµα ρευστού που είναι σε επαφή µε την κινούµενη πλάκα. Όλα τα ενδιάµεσα στρώµατα Χρήστος Αγριόδηµας 50

51 έχουν ταχύτητες διαφορετικές µεταξύ τους, που αυξάνουν σταδιακά από 0 έως υ καθώς πηγαίνουµε από την κάτω πλάκα προς την πάνω. Βρίσκεται ότι η δύναµη αυτή είναι ανάλογη της επιφάνειας Α της πλάκας, ανάλογη της ταχύτητας υ της πλάκας, αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης l των πλακών και εξαρτώµενη από την φύση του υγρού δηλ. F = n υ l Να τονίσουµε ότι όλα τα στρώµατα του δέχονται την ίδια κατά µέτρο δύναµη τριβής και ίση µε την δύνµαη F. Ο συντελεστής n ονοµάζεται συντελεστής εσωτερικής τριβής ή συντελεστής ιξώδους. Μονάδα µέτρησης στο S.I. είναι το N s/m ή σε Pa.s (Pas) ή kg/ms. Στην πράξη ο συντελεστής ιξώδους µετριέται σε poise (πουάζ). P = dyn.s/cm = 0,Pas. Παρατηρήσεις. Πρέπει να πούµε ότι δεν υπακούουν όλα τα ρευστά στην παραπάνω εξίσωση. εν υπάρχει σε όλα τα ρευστά γραµµική αναλογία ανάµεσα στην εσωτερική τριβή που παρουσιάζουν κατά τη ροή τους και την ταχύτητα ροής. Τα ρευστά που υπακούουν στην σχέση αυτή τα ονοµάζουµε νευτώνεια ρευστά. dυ Στην πραγµατικότητα η σχέση που δίνει την εσωτερική τριβή είναι F = n dz Ο όρος dυ/dz, είναι η βαθµίδα ταχύτητας κάθετη στην διεύθυνση της κίνησης και η οποία δείχνει πως µεταβάλλεται η ταχύτητα του κάθε στρώµατος από την κάτω στην πάνω πλάκα. Αυτό που εξετάζουµε εµείς στα πλαίσια της ύλης, είναι µια σταθερή ταχύτητα της πλάκας που συνοδεύεται και από µια σταθερή βαθµίδα ταχύτητας δηλ. dυ/dz= υ/l. l z υ Σχήµα 4 υ z z υ. Η ταχύτητα κάθε στρώµατος του υγρού. Με βάση την παρατήρηση προκύπτει ότι υ( z) η δύναµη Τ = F = n όπου υ(z) η ταχύτητα του στρώµατος που απέχει απόσταση z z από την κάτω πλάκα. Έτσι η ταχύτητα είναι ανάλογη της απόστασης από την κάτω πλάκα υ( z) υ z n = n υ( z) = υ, (η κατανοµή ταχυτήτων είναι γραµµική) z l l 3. Το διάγραµµα ταχυτήτων για ένα ρευστό σε κυλινδρικό σωλήνα R µε ιξώδες παρουσιάζει την µορφή του σχήµατος 5. Λόγω του ιξώδους η ταχύτητα R u Χρήστος Αγριόδηµας 5 Σχήµα 5

52 είναι µηδενική στα τοιχώµατα του σωλήνα και µέγιστη κατά µήκος του άξονα. Η ροή µοιάζει µε ένα σύστηµα οµοαξονικών σωλήνων που ολισθαίνουν µεταξύ τους, ώστε ο κεντρικός σωλήνας να κινείται µε τη µεγαλύτερη ταχύτητα, ενώ ο ακραίος (εξωτερικός) να ακινητεί. 4. Μια πλάκα ανάµεσα σε δύο άλλες στο ίδιο υγρό Η πλάκα µας θα µπορούσε να ισαπέχει από δύο ακίνητες. Τότε τα στρώµατα του υγρού z που ισαπέχουν από την πλάκα θα έχουν ίδιες ταχύτητες υ( z) = υ. L Αυτό θα ισχύει όποιο και αν είναι το υλικό της πλάκας. Ακόµα και αν είναι από νερό. Αυτό σηµαίνει ότι τα στρώµατα που είναι σε επαφή µε τις ακίνητες πλάκες έχουν µηδενική ταχύτητα. Το κεντρικό στρώµα έχει µέγιστη ταχύτητα και οι ταχύτητες µεταβάλλονται γραµµικά. Αν ζητάµε µια σχέση που θα δίνει την ταχύτητα ενός στρώµατος συναρτήσει της απόστασής του από το µεσοπαράλληλο επίπεδο των υ πλακών τότε αυτή θα ήταν: υ( z) = υ z, 0 z l/ l L z υ z υ l z + υ L z υ z - Σχήµα 6 Σχήµα 7 5.Τα παχύρευστα υγρά έχουν µεγαλύτερο συντελεστή ιξώδους. 6. Είναι αναµενόµενο το να εξαρτάται η αντίσταση από την επιφάνεια της πλάκας διότι κάθε τµήµα της δέχεται ίδιες δυνάµεις συνάφειας µε ίσεµβαδικά τµήµατα. 7. Ο συντελεστής ιξώδους εξαρτάται από τη θερµοκρασία και αυξάνεται για τα αέρια, ενώ για τα υγρά ελαττώνεται. 8. Το ιξώδες έχει σηµαντική επίδραση στη ροή των ρευστών σε σωλήνες. Κατά µήκος του σωλήνα η πίεση µειώνεται. Έστω µία µόνιµη ροή µε µηδενικό ιξώδες σε κυλινδρικό σωλήνα µεγάλου µήκους όπως στο σχήµα 8. Τότε τα ύψη h και h των σωλήνων σε δύο σηµεία Α και Β που βρίσκονται κατά µήκος του σωλήνα σε ίδια διατοµή () Σχήµα 8 () προκύπτει ότι έχουν ίδιο ύψος δηλ. h =h και έτσι p =p. h h Α Β Χρήστος Αγριόδηµας 5

53 Αυτό όµως δεν ισχύει αν λάβουµε υπόψη το ιξώδες. Αν θεωρήσουµε ένα σωµάτιο ρευστού, κυλινδρικού σχήµατος, στο τµήµα µεταξύ των F σηµείων και Ο, δέχεται στη διεύθυνση της Τ F κίνησης, τις εξής δυνάµεις: την δύναµη Τ της τριβής από τα διπλανά στρώµατα του ρευστού, Ο την δύναµη F λόγω πίεσης στην αριστερή βάση Σχήµα 9 και F η αντίστοιχη δύναµη από την δεξιά βάση. Αν έχουµε µια ροή µε σταθερή παροχή, το σωµάτιο αυτό θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα, οπότε ΣF=0 ή F =F +Τ F > F p Α > p Α p > p Κατά µήκος δηλαδή του σωλήνα η πίεση µειώνεται, υνάµεις τριβής µεταξύ των σωλήνων αντιτίθεται στην κίνηση, άρα για να συνεχίσει η ροή η πίεση στο πίσω τµήµα του ρευστού πρέπει να είναι µεγαλύτερη από αυτή στο µπροστινό τµήµα του ρευστού. h h Ενεργειακά αυτό συµβαίνει δίοτι οι δυνάµεις συνάφειας και η εσωτερική τριβή (ιξώδες) ελαττώνουν την κινητική ενέργεια του ρευστού και, κατ' επέκταση, την ταχύτητά του. Το έργο της εσωτερικής τριβής Τ µετατρέπεται σε θερµική ενέργεια, προκαλεί θέρµανση του υγρού και κατά συνέπεια αύξηση της θερµοκρασίας του. Εποµένως, εάν επιθυµούµε να µη διακοπεί η ροή, πρέπει να κρατούµε τα άκρα του σωλήνα σε διαφορετικές πιέσεις. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο θα πρέπει να πιέζουµε το σωληνάρι της οδοντόπαστας, στο πίσω µέρος, ώστε η πίεση να είναι µεγαλύτερη από την ατµοσφαιρική, για να συνεχίσει να βγαίνει από το στόµιο ή για παράδειγµα, κατά τη µεταφορά πετρελαίου από τους τόπους εξόρυξης στους τόπους κατανάλωσης µέσω σωληνώσεων µεγάλου µήκους απαιτούνται αντλίες για τη δηµιουργία υψηλών πιέσεων, προκειµένου να υπερνικηθούν οι αναπτυσσόµενες εσωτερικές τριβές. Σχήµα 0 Χρήστος Αγριόδηµας 53

54 3.4. Λυµένα Παραδείγµατα Παράδειγµα Ποια τα ύψη στα µανόµετρα Ένας οριζόντιος σωλήνας συνδέεται κοντά στον πυθµένα µιας µεγάλης δεξαµενής σε βάθος Η=0m, όπως στο διπλανό σχήµα. Αρχικά ο σωλήνας έχει διατοµή Α, ενώ στη συνέχεια στενεύει αποκτώντας διατοµή Α =0,4Α. Οι ακτίνες των δύο σωλήνων θεωρούνται αµελητέες σε σχέση µε το ύψος Η. i) Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, ενώ η ροή µόνιµη και στρωτή, να υπολογιστούν: α) Το ύψος h της στήλης στο σωλήνα Β. β) Το ύψος h της στήλης στο σωλήνα Α. ii) Κλείνουµε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h και h στους σωλήνες Α και Β. iii) Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί πραγµατικό ρευστό, µε αποτέλεσµα να εµφανίζονται εσωτερικές τριβές: α) Θα ανέβει ή όχι το νερό στη στήλη Β; β) Κλείνουµε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h και h στους σωλήνες Α και Β. Απάντηση: i) α) Στο στενό σωλήνα το νερό κινείται µε µια σταθερή ταχύτητα, ίση µε την ταχύτητα εκροής στο άκρο Ο, µε βάση την εξίσωση της συνέχειας ( Α υ =Α ο υ ο ). Αλλά η πίεση στο άκρο Ο, είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση και από την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων και Ο, έχουµε: p + ρυ = po + ρυo p = po = pa τ Αλλά αυτό σηµαίνει ότι το νερό δεν θα ανέλθει στο σωλήνα Β και η εικόνα θα είναι αυτή του παραπάνω σχήµατος. β) Από την εξίσωση της συνέχειας για δυο διατοµές του οριζόντιου σωλήνα στις θέσεις Γ και Ο, παίρνουµε: 0,4 Α υ Γ =Α υ υ Γ = υ = υ = 0, 4υ () Όπου υ η ταχύτητα εκροής στο άκρο Ο του σωλήνα. Εφαρµόζουµε την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων Κ και Ο, τα οποία βρίσκονται στην ίδια ρευµατική γραµµή, θεωρώντας µηδενική την ταχύτητα του σηµείο Κ, αφού η δεξαµενή έχει πολύ µεγαλύτερη διατοµή από το σωλήνα και έχουµε: K H H h Σ Γ O Σ Χρήστος Αγριόδηµας 54

55 pk + ρυ K + ρgh = po + ρυ υ = gh Τώρα από την εξίσωση ernoulli µεταξύ των σηµείων Γ και Ο έχουµε: p Γ + ρυ Γ = po + ρυ p ( ) Γ = po + ρυ ρ 0, 4υ pγ = pa τ + 0,84 ρυ = pa τ + 0,84 ρ( gh ) = pa τ + 0,84 ρgh () Όµως το σηµείο Γ, είναι στο κάτω άκρο της κατακόρυφης στήλης νερού του σωλήνα Α, οπότε η πίεση είναι ίση µε: p Γ =p ατ +ρgh (3) Από () και (3) έχουµε:,84 ρ gh = ρgh h = 0,84H 8,4 m ii) 0 = Μόλις κλείσουµε τη στρόφιγγα, το νερό ισορροπεί, οπότε στα σηµεία Μ, Γ και επικρατεί η ίδια πίεση, οπότε: p ατ +ρgη= p ατ +ρgh = p ατ +ρgh h =h =Η=0m. (Αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων ) iii) Αν το νερό είναι πραγµατικό, τότε αν θεωρήσουµε ένα σωµάτιο ρευστού, κυλινδρικού σχήµατος, στο τµήµα µεταξύ των σηµείων και Ο, δέχεται στη διεύθυνση της κίνησης, τις δυνάµεις που φαίνονται F T F στο διπλανό σχήµα, όπου Τ η δύναµη τριβής από τα διπλανά στρώµατα του νερού, F η δύναµη λόγω πίεσης στην αριστερή βάση και F η αντίστοιχη δύναµη από την δεξιά βάση. Αλλά αν έχουµε µια ροή µε σταθερή παροχή, το σωµάτιο αυτό θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα, οπότε ΣF=0 ή F =F +Τ F > F p Α > p Α p > p Κατά µήκος δηλαδή του στενού σωλήνα η πίεση µειώνεται, αλλά Σ O τότε αφού στο άκρο Ο η πίεση είναι ίση µε την ατµοσφαιρική, στο η πίεση είναι µεγαλύτερη και το νερό θα ανέβει στο µανόµετρο, όπως στο σχήµα. iv) Μόλις κλείσουµε την στρόφιγγα και σταµατήσει η ροή, θα έχουµε ξανά ένα υγρό σε ισορροπία, χωρίς να εµφανίζεται εσωτερική τριβή και η κατάσταση θα είναι απολύτως ίδια µε αυτήν του ii) ερωτήµατος, µε αποτέλεσµα ξανά να έχουµε: h =h =Η=0m. M H h h Σ Γ O Χρήστος Αγριόδηµας 55

56 Παράδειγµα Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας. Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώµα µηχανέλαιου πάχους l =0,cm. Μια πλάκα µάζας m =0,5kg και εµβαδού Α=0,m, ηρεµεί πάνω στην γλυκερίνη. ένουµε την πλάκα µε αβαρές νήµα, το οποίο αφού περάσουµε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήµα, στο άλλο του άκρο του δένουµε ένα σώµα Σ, µάζας m = 0,5kg, το οποίο κάποια στιγµή (t=0) αφήνουµε να κινηθεί. i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώµατος Σ. ii) Αν µετά από λίγο, το σώµα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ=0cm/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του µηχανέλαιου. iii) Ποια η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγµή που έχει ταχύτητα υ =4cm/s, θεωρώντας ότι κάθε στιγµή ισχύει η γνωστή εξίσωση για την τριβή που ασκείται στην πλάκα από το µηχανέλαιο. ίνεται g=0m/s. Απάντηση: i) Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται σε πλάκα και σώµα Σ, όπου αφού το νήµα και η τροχαλία είναι αβαρή, η τάση του νήµατος, που ασκείται στα σώµατα έχει το ίδιο µέτρο Τ, ενώ T N είναι η δύναµη T T τριβής που δέχεται η πλάκα από το µηχανέλαιο. Η πλάκα ισορροπεί στην κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε w T Σ Ν=w. υ w Η τριβή έχει µέτρο T = n, οπότε για t=0, όπου l υ=0 δεν ασκείται τριβή και από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για κάθε σώµα, έχουµε: Σώµα Σ: ΣF=m α m g-τ =m α Πλάκα: ΣF x =m α Τ =m α Τα δυο σώµατα προφανώς θα κινούνται µαζί, οπότε µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε: mg 0,5 m g = ( m + m ) a a = = 0m / s = 5m / s m + m 0,5 + 0,5 ii) Μόλις τα σώµατα αποκτήσουν σταθερή ταχύτητα, θα έχουµε ΣF Σ =0 ή Τ =w, αλλά και ΣF π =0, οπότε: υ Τ =Τ m g = n l mgl 0,5 0 0, 0 n = = = 0,5N s / m. υ 0, 0, iii) Τη στιγµή που η ταχύτητα των σωµάτων είναι υ η τριβή που ασκείται στην πλάκα, έχει µέτρο: Σ Χρήστος Αγριόδηµας 56

57 υ 4 0 T = n = 0,5 0, N = N l 0, 0 Από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για κάθε σώµα, έχουµε για: Σώµα Σ: ΣF=m α m g-τ =m α Πλάκα: ΣF x =m α Τ -Τ=m α Τα δυο σώµατα προφανώς θα κινούνται µαζί, οπότε µε πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε: m g T = ( m + m ) a () mg T 0,5 0 a = = 0m / s = 3m / s m + m 0,5 + 0,5 Παράδειγµα 3 Μια ροή πραγµατικού ρευστού Σε έναν οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατοµής, ρέει νερό µε σταθερή παροχή. Τα δύο µανόµετρα (οι δυο κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες) βρίσκονται σε οριζόντια απόσταση d=0m και στο εσωτερικό τους το νερό ανέρχεται σε ύψη που διαφέρουν κατά h=0,6cm. i) Να βρεθεί η µείωση της πίεσης µεταξύ των σηµείων Β και Γ, στα κάτω άκρα των σωλήνων. ii) Η µέση ταχύτητα ροής του νερού, είναι µεγαλύτερη στο Β ή στο Γ; iii) Να αποδειχθεί ότι κατά τη ροή του νερού εµφανίζεται τριβή και να υπολογισθεί η θερµική ενέργεια που εµφανίζεται κατά την µετακίνηση x=m, µιας ποσότητας νερού m 3. ίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3 και g=0m/s, ενώ το νερό να θεωρηθεί ασυµπίεστο πραγµατικό ρευστό. Απάντηση: i) Η πίεση στο σηµείο Β, ίση µε την πίεση στο κάτω άκρο της στήλης του νερού που ισορροπεί στον πρώτο κατακόρυφο σωλήνα, είναι ίση µε p = p ρgh, όπου h το ύψος της στήλης και η + aτµ αντίστοιχη πίεση στο Γ, pγ = p a τµ + ρgh, οπότε η πίεση µειώνεται κατά µήκος του σωλήνα και: = p p = ρgh ρgh = ρg(h h ) ρgh pγ Γ = - Γ = p pγ = ,6 0 N / m p = 60N / m ii) Από την εξίσωση της συνέχειας (διατήρηση της µάζας) Α Β υ Β =Α Γ υ Γ, αλλά ο σωλήνας έχει σταθερή διατοµή, συνεπώς και η ταχύτητα ροής παραµένει σταθερή. Βέβαια η ροή δεν είναι ροή ιδανικού ρευστού, για να συµπεράνουµε ότι σε όλα τα σηµεία της διατοµής του σωλήνα στο Β είναι η ίδια ταχύτητα ροής υ Β, οπότε σωστότερα είναι να µιλήσουµε για την ίδια µέση ταχύτητα ροής µέσω των διατοµών του σωλήνα στα σηµεία Β και Γ. Χρήστος Αγριόδηµας 57