Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων"

Transcript

1 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς εός τατιτικού ελέγχου.4 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για το διωυμικό ποοτό.5 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού.6 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ.6. Αεξάρτητα δείγματα.6. Εξαρτημέα δείγματα/ζευγαρωτές παρατηρήεις.7 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη διαφορά δύο διωυμικώ ποοτώ με δύο αεξάρτητα δείγματα.8 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη ιότητα τω διακυμάεω δύο καοικώ πληθυμώ.9 Σύτομη αακόπηη βαικώ εοιώ, προτάεω και τύπω. Προβλήματα και ακήεις

2 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 48

3 Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα ικοτίης που περιέχεται τα έου τύπου τιγάρα, μπορεί α υπολογίει έα διάτημα εμπιτούης και α πάρει έτι μια εκτίμηη για τη άγωτη μέη ποότητα ικοτίης. Στη περίπτωη όμως που εδιαφέρεται α γωρίζει μόο α τα έου τύπου τιγάρα η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει έα μέγιτο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο υποθέεω ώτε α μπορεί α αποφαίει μεταξύ τω υποθέεω: Η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Η μέη ποότητα ικοτίης υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Ο τατιτικός έλεγχος υποθέεω (hypothe tetng) είαι μια υμπεραματική διαδικαία/μέθοδος που προφέρει η τατιτική υμπεραματολογία και βρίκει εφαρμογή ε τοχατικά προβλήματα απόφαης μεταξύ δύο εαλλακτικώ υποθέεω. Η μία υπόθεη έχει επικρατήει α υμβολίζεται με και οομάζεται μηδεική υπόθεη (null hypothe) και η άλλη με και οομάζεται εαλλακτική υπόθεη (alternatve hypothe). Ααγκαία προϋπόθεη για τη ωτή εφαρμογή τω τατιτικώ ελέγχω και κυρίως για τη ωτή ερμηεία τω αποτελεμάτω τους, είαι η καταόηη της λογικής και του οήματός τους. Στη υέχεια αυτό θα προπαθήουμε. Να ααδείξουμε τη λογική, το όημα και τα όρια εφαρμογής τους.. Βαικές έοιες Η γεική ιδέα της διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω είαι η εξής: θέτουμε ως μηδεική υπόθεη ( ) αυτή για τη οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφιβητείται, και εξετάζουμε α έα τυχαίο δείγμα που παίρουμε από το πληθυμό υηγορεί-δίει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της έατι της εαλλακτικής ( ). Δηλαδή, η απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται με βάη το τι παρατηρείται το τυχαίο δείγμα που πήραμε από το πληθυμό. Πιο υγκεκριμέα, υποθέτοτας ότι η είαι αληθής, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι ακραίο, δηλαδή, α έχει πολύ μικρή πιθαότητα α υμβεί, τότε απορρίπτουμε τη. Σε ατίθετη περίπτωη, δηλαδή, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα δε είαι ακραίο-πάιο (ότα είαι αληθής η ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίει αρκετές εδείξεις για τη απόρριψη της και «αποτυγχάουμε α τη απορρίψουμε». Βέβαια, με αυτή τη τρατηγική παίρουμε «ρίκο», γιατί και τα ακραία, έτω και με πολύ μικρή πιθαότητα, μπορεί α υμβού. Πιο υγκεκριμέα, με τη υπόθεη ότι η είαι αληθής, α κρίουμε ότι αυτό που παρατηρείται το τυχαίο δείγμα είαι ακραίο και τη απορρίψουμε, τότε ακριβώς έα από τα παρακάτω μπορεί α υέβη: (α) είτε η πράγματι δε είαι αληθής όποτε αποφαίαμε ωτά, (β) είτε η είαι αληθής και το ακραίο οφείλεται τη τύχη, δηλαδή υέβη κάτι πάιο (εμφαίθηκε έα δείγμα που πάια εμφαίζεται). Στη περίπτωη αυτή απορρίψαμε λαθαμέα τη. Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου Ι (type Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 49

4 I error). Εφόο υπό τη, το ακραίο υπάρχει πιθαότητα, έτω πολύ μικρή π.χ.., α υμβεί, τότε απορρίπτουμε λαθαμέα τη με πιθαότητα.. Αάλογα, είαι δυατό, λαθαμέα α μη απορρίψουμε τη. Δηλαδή, α αποτύχουμε α απορρίψουμε τη, εώ είαι αληθής η. Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ (type II error). Το «ρίκο» επομέως είαι διπλό, με πιθαότητα λαθαμέης απόρριψης της, P(φάλμα τύπου Ι) P(απόρριψη της αληθής η ) και λαθαμέης μη απόρριψης της, P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της αληθής η ). Είαι φαερό, ότι για α προχωρήουμε πρέπει α αποαφηιτεί: α) τι εοούμε επακριβώς ότα λέμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί α μετρηθεί-ποοτικοποιηθεί; β) Πώς κρίουμε ότι «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είαι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιο αφή καόα θεωρείται το παρατηρούμεο το δείγμα «ακραίο»; Επίης, πρέπει α απατήουμε τα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζοται οι πιθαότητες φάλματος τύπου Ι και φάλματος τύπου ΙΙ; Μπορού α ελαχιτοποιηθού; Σχετίζοται με κάποιο τρόπο; Μπορούμε α τις θέουμε υπό το έλεγχό μας; Για α απατήουμε τα ερωτήματα αυτά, ας χρηιμοποιήουμε έα υγκεκριμέο παράδειγμα. Θα μας βοηθήει τη καταόηη. Παράδειγμα..: Το όριο ατοχής εός τύπου καλωδίω είαι τυχαία μεταβλητή Χ με μέη τιμή μ 5 Kg και τυπική απόκλιη 75 Kg. Το εργοτάιο που κατακευάζει αυτό το τύπο καλωδίω ιχυρίζεται ότι βελτίωε τα υλικά που χρηιμοποιεί και πλέο το όριο ατοχής τω καλωδίω έχει αυξηθεί. Για α ελεγχθεί ο ιχυριμός του εργοταίου, ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη : μ 5 Kg δηλαδή, αυτή η οποία αμφιβητείται από το ιχυριμό που ελέγχουμε. Γεικά, η δηλώει ότι το πληθυμό η κατάταη παραμέει αμετάβλητη, δε υπάρχει αλλαγή/διαφορά (το παράδειγμά μας, ότι η βελτίωη τω υλικώ δε έχει επίδραη το όριο ατοχής τω καλωδίω). Έας δεύτερος καόας για το καθοριμό της που έχει επίης καθιερωθεί τη διεθή επιτημοική πρακτική είαι ο εξής: ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη υπόθεη της οποίας η λαθαμέη απόρριψη εγκυμοεί τους περιότερους κιδύους. Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προταία από φάλμα τύπου Ι. Ως εαλλακτική θέτουμε τη : μ > 5 Kg δηλαδή, η δηλώει ότι η βελτίωη τω υλικώ επηρεάζει και ειδικότερα αυξάει το όριο ατοχής τω καλωδίω. Για αυτό έχει επικρατήει α λέγεται μηδεική υπόθεη (υποθέτουμε μηδεική αλλαγή/διαφορά τη τιμή της ελεγχόμεης παραμέτρου). Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 43

5 Γεικά, η δηλώει ότι το πληθυμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά. Ο έλεγχος που μόλις διατυπώαμε, είαι έας μοόπλευρος και ειδικότερα δεξιόπλευρος έλεγχος. Γεικότερα, οι έλεγχοι : μ μ : μ μ και : μ > μ : μ < μ οομάζοται μοόπλευροι (one-taled) έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριτερόπλευρος ατίτοιχα) και ο έλεγχος : μ μ : μ μ οομάζεται αμφίπλευρος (two-taled). Σημειώουμε επίης, ότι τα δύο ύολα τιμώ της παραμέτρου που ελέγχουμε (το παράδειγμά μας της μ ) που ορίζου οι δύο υποθέεις, πρέπει προφαώς α είαι ξέα μεταξύ τους (ή το έα άρηη του άλλου). Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέεις ααφέροται το πληθυμό γι αυτό δηλώοται με όρους παραμέτρω του πληθυμού. Όπως ήδη έχουμε ααφέρει, τη τατιτική προέγγιη προβλημάτω ελέγχεται η υμφωία θεωρίας και εμπειρίας. Έτι, το παράδειγμά μας, αφού διατυπώαμε τη υπόθεη ότι η άγωτη μέη τιμή του πληθυμού τω ορίω ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι 5Kg ( : μ 5 Kg), παίρουμε έα τυχαίο δείγμα καλωδίω από το ύολο της παραγωγής του εργοταίου και μετράμε το όριο ατοχής κάθε καλωδίου του δείγματος. Για τις αάγκες του παραδείγματος, έτω ότι έα τυχαίο δείγμα X, X,... X μεγέθους 5 μας έδωε τις μετρήεις x, x,..., x5 με x 55 Kg. Η «εμπειρία», δηλαδή αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμφωεί άραγε με τη υπόθεη : μ 5 Kg δηλαδή, με ό,τι αυτή υεπάγεται για το δείγμα (με βάη τη θεωρία πιθαοτήτω) ή μήπως δίει αποδείξεις εατίο της και υπέρ της. Για α απατήουμε ε αυτό το ερώτημα, πρέπει πρώτα απ όλα α κατακευάουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη τατιτική υάρτηη T T ( X, X, K, X ), δηλαδή, μια υάρτηη του δείγματος-δειγματουάρτηη, ώτε α ποοτικοποιήουμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» και η οποία, υπό τη, δηλαδή ότα ιχύει η, α ακολουθεί γωτή καταομή (χωρίς άγωτες παραμέτρους) ώτε α μπορούμε α υπολογίουμε τις απαιτούμεες για το έλεγχο πιθαότητες. Στο παράδειγμά μας που αφορά το έλεγχο της μέης τιμής μ του πληθυμού, είαι λογικό α επιλέξουμε ως τατιτική υάρτηη το δειγματικό μέο X του οποίου η καταομή, υπό τη : μ 5 Kg, είαι γωτή αφού το μέγεθος του δείγματος που πήραμε είαι αρκετά μεγάλο και επομέως από το Κ.Ο.Θ., κατά προέγγιη, έχουμε 75 X ~ N(5, ) ή X ~ N(5, 4.75 ). 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 43

6 Σχήμα.. Η καταομή του δειγματικού μέου X ότα η : μ 5 είαι αληθής Εαλλακτικά, ως τατιτική υάρτηη μπορούμε α επιλέξουμε τη X 5 ( X 5) 5 Z ~ N(,) Σχήμα.. Η καταομή της τατιτικής υάρτηης ( X 5) 5 75 ότα η : μ 5 είαι αληθής Έτι, «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», το παράδειγμά μας εκφράζεται από τη τατιτική υάρτηη X με τιμή, το υγκεκριμέο δείγμα που πήραμε, x 55 Kg (Σχήμα..) ή ιοδύαμα, από τη ( 5) 5 Z X 75 με τιμή (55 5) 5 z. (Σχήμα..). 75 Ας δούμε τώρα πώς με ποιο καόα ορίζουμε το «ακραίο». ος τρόπος: Επιλέγουμε-(προ)καθορίζουμε το αεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι Α η : μ 5 Kg είαι αληθής, είαι λογικό α ααμέουμε ότι η τιμή της τατιτικής υάρτηης X το δείγμα που πήραμε (δηλαδή, ο δειγματικός μέος) θα είαι κοτά τη τιμή 5Kg. Ατιθέτως, α η : μ 5 Kg δε είαι αληθής ααμέουμε ο δειγματικός μέος α είαι μακριά (προς τη κατεύθυη της, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 43

7 δηλαδή δεξιότερα) του 5. Έας λογικός επομέως έλεγχος, είαι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάη τη οποία θα κρίεται α ο δειγματικός μέος βρίκεται μακριά από τη μ 5 Kg, δηλαδή θα θεωρείται ακραίος. Έτι, α το παράδειγμά μας επιλέξουμε c 53 Kg τότε επειδή x 55 > 53, αυτό που παρατηρείται το δείγμα κρίεται ακραίο και η απορρίπτεται. Το κριτήριο αυτό είαι φυικά λογικό, όμως πόο λογική-εύλογη είαι η αυθαίρετη τιμή c 53 Kg με τη οποία οριοθετήαμε τις ακραίες από της μη ακραίες τιμές του δειγματικού μέου. Α για παράδειγμα, επιλέξουμε c 57 Kg τότε x 55 < 57 δηλαδή τώρα το παρατηρούμεο το δείγμα δε κρίεται ακραίο και το δείγμα δε υποτηρίζει απόρριψη της. Τίθεται επομέως το ερώτημα: πώς επιλέγουμε τη τιμή της ταθεράς c; Πρι απατήουμε ε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίουμε τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα τύπου Ι τη περίπτωη που επιλέξουμε c 53 Kg και ατίτοιχα τη περίπτωη που επιλέξουμε c 57 Kg. Για c 53 Kg έχουμε (Σχήμα..3) P(φάλμα τύπου Ι)P(απόρριψη της αληθής η ) P ( X 53 μ 5) X P ( ) P( Z.) Φ(.) Σχήμα..3 Η πιθαότητα α κάουμε φάλμα τύπου Ι α ορίουμε c 53 Kg Ομοίως, για c 57 Kg έχουμε (Σχήμα..4) X P( X 57 μ 5) P( ) P ( Z.83) Φ(.83).3. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 433

8 Σχήμα..4 Η πιθαότητα α κάουμε φάλμα τύπου Ι α ορίουμε c 57 Kg Και για οποιοδήποτε c έχουμε X 5 c 5 ( c 5) P( X c μ 5) P( ) P( Z ( c 5) 5 Φ ) Από τα παραπάω είαι φαερό ότι η τιμή της ταθεράς c επηρεάζει (ακριβέτερα, καθορίζει) τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι που κάουμε. Έτι, με κριτήριο το έλεγχο της πιθαότητας α υμβεί φάλμα τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε τη ), μπορούμε α επιλέξουμε τη τιμή της c ως εξής. Ορίζουμε έα μέγιτο αποδεκτό επίπεδο για τη πιθαότητα α υμβεί φάλμα τύπου Ι και με βάη αυτό υπολογίζουμε τη τιμή της c. Με αυτό το τρόπο, καθορίζουμε έα απολύτως αφή καόα για α κρίουμε α αυτό που παρατηρείται το δείγμα, δηλαδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης που επιλέξαμε (το παράδειγμά μας της X ή της Z ( X 5) 5 75 ), είαι «ακραία» ή όχι, και πλέο, αποφαίζουμε για τη απόρριψη ή τη μη απόρριψη της, με κριτήριο έα προκαθοριμέο επίπεδο της πιθαότητας α υμβεί φάλμα τύπου Ι. Το αποδεκτό/αεκτό επίπεδο πιθαότητας φάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, υμβολίζεται με α και οομάζεται επίπεδο ηματικότητας (level of gnfcance) του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι ηματικό-ηματική απόδειξη για α υποτηρίξει τη απόρριψη της ). Συήθως το επίπεδο ηματικότητας α, ορίζεται ίο με. ή.5. Ας ολοκληρώουμε το έλεγχο το παράδειγμά μας, θέτοτας επίπεδο ηματικότητας α. 5. Πρέπει α επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώτε 5 5 ( 5).5 X c P X c μ P ( c 5) 5 ( c 5) 5 P.5 Φ Z Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 434

9 ( c 5) 5 ( c 5) Φ c z Έτι, επιλέγοτας c (Σχήμα..5α) έχουμε x 55 > και επομέως απορρίπτουμε τη με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ.5. Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c). 5 c z δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το. 5-άω ποοτιαίο ημείο της τυποποιημέης καοικής καταομής z. 5, και επειδή z. > z , απορρίπτουμε τη με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ.5 (Σχήμα..5β). (α) (β) Σχήμα..5 Έλεγχος της : μ 5 Kg έατι της : μ > 5 Kg ε επίπεδο ηματικότητας α. 5 Α η φύη του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προταία» από φάλμα τύπου Ι, δηλαδή από εφαλμέη απόρριψη της, τότε πρέπει α είματε πιο «υτηρητικοί» τη απόρριψη της και αυτό το επιτυγχάουμε καθορίζοτας μικρότερο αεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο ηματικότητας. Έτι, το παράδειγμά μας, α επιβάλλεται πιο αυτηρός έλεγχος του ιχυριμού του εργοταίου, κάουμε το έλεγχο ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, δηλαδή, κάουμε το έλεγχο με μικρότερη αοχή ε εφαλμέη απόρριψη της, π.χ. με α.. Στη περίπτωη αυτή έχουμε 5 5 ( 5). X c P X c μ P ( c 5) 5 ( c 5) 5 P. Φ Z Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 435

10 ( c 5) Φ 75 5 ( c 5) z..33 c Έτι, για α. είαι c και επειδή ο δειγματικός μέος x 55 δε είαι μεγαλύτερος από αυτή τη τιμή, ε επίπεδο ηματικότητας α. δε απορρίπτουμε τη (Σχήμα..6α). Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c). c z.. 33 και επειδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης το δείγμα, z., δε είαι μεγαλύτερη από τη c z. 33, ε επίπεδο ηματικότητας α. δε απορρίπτουμε τη (Σχήμα..6β).. (α) (β) Σχήμα..6 Έλεγχος της : μ 5 Kg έατι της : μ > 5 Kg ε επίπεδο ηματικότητας α. Η ταθερά c οομάζεται κρίιμη τιμή ή όριο απόρριψης (crtcal value, rejecton lmt) γιατί με βάη αυτή κρίεται α «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είαι ακραίο ή όχι. Αάλογα, η τατιτική υάρτηη τη οποία επιλέγουμε για α εκφράει «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», οομάζεται τατιτική υάρτηη ελέγχου (tet tattc) και οι τιμές της για τις οποίες, ε προκαθοριμέο επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτεται η ορίζου τη κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης (crtcal regon, rejecton regon). Δηλαδή, ε επίπεδο ηματικότητας α, η περιοχή απόρριψης ορίζεται από τις τιμές της τατιτικής υάρτηης ελέγχου οι οποίες, ότα είαι αληθής η, εμφαίζοται με πιθαότητα α. Δείτε το Σχήμα..7 τη περιοχή απόρριψης (και τη περιοχή μη απόρριψης) του δεξιόπλευρου ελέγχου της : μ 5 ε επίπεδο ηματικότητας α.5. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 436

11 (α) Στατιτική υάρτηη ελέγχου ο δειγματικός μέος X ~ N(5, 75 5) (β) Στατιτική υάρτηη ελέγχου η Z ( X 5) 5 75 ~ N(,) Σχήμα..7 Περιοχή απόρριψης και περιοχή μη απόρριψης δεξιόπλευρου ελέγχου ε α. 5 Διευκριίζουμε ότι ότα λέμε «περιοχή απόρριψης», πάτοτε εοούμε «περιοχή απόρριψης της». Ότα η απορρίπτεται, το δείγμα χαρακτηρίζεται τατιτικά ηματικό (tattcally gnfcant) και έχει τη έοια ότι δίει ηματικές αποδείξεις εατίο της (αυτό που παρατηρούμε το δείγμα διαφέρει ηματικά από αυτό που ααμέουμε α εμφαιθεί α θεωρήουμε τη αληθή). Στο παράδειγμά μας, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, η κρίιμη τιμή είαι c 54.8 ή ιοδύαμα, c z Η κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης είαι το διάτημα 75 C { x : x 5 + z } [54.8, + ) 5 ή ιοδύαμα, το διάτημα ( x 5) 5 C { z : z z } [.645, + ) 75 και τα ευρήματα το δείγμα ( x 55kg ή ιοδύαμα, z. ), ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, είαι τατιτικά ηματικά (Σχήμα..5). Συοψίζοτας, ο έλεγχος του παραδείγματός μας, με τη διαδικαία που περιγράψαμε, έγιε ε έξι βήματα: ο Βήμα: Ορίαμε τις δύο υποθέεις: : μ 5 Kg και : μ > 5 Kg ο Βήμα: Ορίαμε το επίπεδο ηματικότητας α του ελέγχου: α.5 3 ο Βήμα: Επιλέξαμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου: ( 5) τη X, ή ιοδύαμα, τη Z X 75 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 437

12 4 ο Βήμα: Υπολογίαμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου: x 55 Kg, ή ιοδύαμα, z. 5 ο Βήμα: Για το υγκεκριμέο επίπεδο ηματικότητας α που ορίαμε, προδιορίαμε τη κρίιμη περιοχή του ελέγχου (τη περιοχή απόρριψης της ): C { x : x 5 + z. 5} { x : x } [54.8, + ) 5 5 ή ιοδύαμα x 5 C { z : z z } [.645, + ) ο Βήμα: Εξετάαμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται ή όχι τη κρίιμη περιοχή του ελέγχου (τη περιοχή απόρριψης της ) και αποφαίαμε (με πιθαότητα φάλματος τύπου Ι το πολύ α ) για τη απόρριψη ή όχι της μηδεικής υπόθεης: Επειδή x 55 [54.8, + ) ή ιοδύαμα, επειδή z. [.645, + ) απορρίψαμε τη : μ 5 Kg, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5. Σχόλιο.. (για το όημα του επιπέδου ηματικότητας): α) Στη διατύπωη του υμπεράματος του ελέγχου πρέπει προφαώς α ααφέρεται οπωδήποτε το επίπεδο ηματικότητας το οποίο έγιε ο έλεγχος γιατί με βάη αυτό κρίεται α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι τατιτικά ηματικό ή όχι και κατά υέπεια α η μηδεική υπόθεη απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται. β) Επιημαίουμε ότι θέτοτας μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, απαιτούμε πιο «ηματικές αποδείξεις» για τη απόρριψη της και το χαρακτηριμό τω ευρημάτω μας το δείγμα ως τατιτικά ηματικώ. Έτι, μπορεί ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, π.χ. α. 5, α απορρίπτεται η και ε κάποιο μικρότερο, π.χ. α., α μη απορρίπτεται γιατί απαιτούται ηματικότερες αποδείξεις. Όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο απορρίπτεται η, τόο πιο ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγμα, με τη έοια ότι δίει πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της. Άρα, όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο μπορεί α απορριφθεί η, τόο πιο ηματικό, τατιτικά, είαι το αποτέλεμα του ελέγχου. Τέλος, είαι προφαές, ότι α η απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο, εώ α δε απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης δε απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μικρότερο. Σημείωη.. (τι ημαίει κάω φάλμα τύπου Ι): Ας δούμε τι ημαίει «κάω φάλμα τύπου Ι» και με μια άλλη διατύπωη. Έτω ότι κάω το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α και ότι η μηδεική υπόθεη είαι αληθής. Τότε, από όλα τα δείγματα μεγέθους που μπορώ α πάρω από το πληθυμό, ποοτό το πολύ α από αυτά θα δώου τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που απορρίπτει τη μηδεική υπόθεη (ε προκειμέω εφαλμέα). Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 438

13 Όπως ήδη έχουμε ααφέρει, με αυτό το τρόπο που εργαθήκαμε, πετύχαμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας το φάλμα τύπου Ι, δηλαδή α αποφαίουμε με γωτή-προκαθοριμέη πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης της. Έας παρεμφερής τρόπος χειριμού του φάλματος τύπου Ι είαι ο ακόλουθος. Δίει (ευθεία) απάτηη το ερώτημα «πόο τατιτικά ηματικό είαι το δείγμα;» ος τρόπος: Υπολογίζουμε τη P-Τιμή του ελέγχου Με δεδομέο ότι η : μ 5 Kg είαι αληθής, υπολογίζουμε τη πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή x 55 Kg που εμφαίθηκε το δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, προς τη κατεύθυη της ). Ζητάμε τη πιθαότητα P( X 55 ) ή P ( X 55 μ 5) και επειδή γωρίζουμε τη καταομή της X έχουμε X P( X 55 μ 5) P( ) P ( Z.) Φ(.).7. Αυτή η πιθαότητα οομάζεται P-Τιμή (P-Value) ή κρίιμο επίπεδο (crtcal level) του ελέγχου και είαι η πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που εμφαίθηκε (το παράδειγμά μας x 55 Kg ή z. ) ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία) προς τη κατεύθυη της, δεδομέου ότι η Η ο είαι αληθής. Έτι, υπολογίζοτας τη P-τιμή του ελέγχου, γωρίζουμε πόο πιθαή ήτα η εμφάιη του δείγματος που πήραμε με τη υπόθεη ότι η είαι αληθής. Επομέως, όο πιο μικρή είαι η P-Τιμή τόο ιχυρότερες εδείξεις εατίο της προκύπτου από το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόο πιο ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που δίει το δείγμα. Στο παράδειγμά μας, υπολογίαμε ότι η P-Τιμή του ελέγχου είαι ίη με.7 ή.7% (Σχήμα..8). Σχήμα..8 Η P-τιμή του ελέγχου της : μ 5 Kg έατι της : μ 5 Kg > Επομέως, α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α. %, δηλαδή, α θέλουμε πιο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της από αυτές που παρατηρούται το δείγμα, τότε δε τη απορρίπτουμε, εώ α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α.5 5% τότε τη απορρίπτουμε (γιατί τη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 439

14 περίπτωη αυτή, απαιτούμε λιγότερο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της ). Στο Σχήμα..9 έχουμε μεγεθύει τη δεξιά ουρά της καταομής της Z και φαίοται ευκριώς οι περιοχές που ατιτοιχού το α. 5, τη P τιμ ή. 7 και το α.. Σχήμα..9 α.5 >.7 εώ α. <. 7 Έτι, υπολογίζοτας τη P-Τιμή του ελέγχου, μπορούμε άμεα α τη υγκρίουμε με οποιοδήποτε α και α επιλέξουμε και α αποφαίουμε για τη απόρριψη ή όχι της. Βέβαια, ο καόας απόφαης διαμορφώεται πλέο ως εξής: α α P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότητας α, η απορρίπτεται. α α < P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότηταςα, η δε απορρίπτεται. Συοψίζοτας, από τα παραπάω είαι προφαές ότι η P-τιμή. είαι έα μέτρο το οποίο εκφράζει πόο ιχυρές είαι οι αποδείξεις που προκύπτου από το δείγμα εατίο της Η ο. μπορεί α οριθεί και ως εξής: P-Τιμή είαι η ελάχιτη τιμή του επιπέδου ηματικότητας για τη οποία απορρίπτεται η Η ο. Σημείωη..: Στη βιβλιογραφία για τη P-Τιμή χρηιμοποιείται και ο όρος παρατηρούμεο επίπεδο ηματικότητας (oberved gnfcance level). Το ααφέρουμε, όμως δε το υιτούμε. Στα προηγούμεα προπαθήαμε α περιγράψουμε, α εφαρμόουμε και κυρίως α ααδείξουμε το όημα και τη λογική της γεικής διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω. Βέβαια, το παράδειγμα που χρηιμοποιήαμε ο έλεγχος είαι έας μοόπλευρος, δεξιόπλευρος έλεγχος για τη μέη τιμή μ, εός πληθυμού του οποίου γωρίζουμε τη διακύμαη, και το τυχαίο δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι αρκετά μεγάλο ώτε η προέγγιη που παίρουμε από το Κ.Ο.Θ. για τη καταομή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου α είαι ικαοποιητική. Δηλαδή, είαι μια ειδικήυγκεκριμέη περίπτωη ελέγχου για τη μέη τιμή εός πληθυμού. Όμως, η μέθοδος που ααλύαμε είαι γεική. Δε αλλάζει α ατί μοόπλευρος ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος ή ατί τη μέη τιμή μ, αφορά τη διακύμαη εός πληθυμού, ή α το δείγμα είαι αρκετά μεγάλο ή όχι, ή ατί τη μέη τιμή εός πληθυμού αφορά Θυμηθείτε ότι μικρότερο α ημαίει ότι απαιτούται πιο ηματικές αποδείξεις εατίο της. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 44

15 τη διαφορά μ μ τω μέω τιμώ μ, μ δύο πληθυμώ, κ.ο.κ. Οι διάφορες περιπτώεις τατιτικώ ελέγχω διαφοροποιούται, ή τη επιλογή τατιτικής υάρτηης ελέγχου ή/και τη μορφή της περιοχής απόρριψης ([ c, + ) ή (-, c] ή, c ] [ c, + ) ). ( Στη υέχεια δίουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου και τη περιοχή απόρριψης για διάφορες περιπτώεις που μπορεί α εμφαιθού το τατιτικό έλεγχο της μέης τιμής μ, εός πληθυμού.. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού Θα ααφερθούμε το έλεγχο της υπόθεης : μ μ δηλαδή, το έλεγχο της υπόθεης ότι η άγωτη μέη τιμή μ εός πληθυμού έχει τιμή μ. Ειδικότερα, θα δώουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου τις ακόλουθες περιπτώεις που όπως είδαμε τα προηγούμεα (το Α Μέρος και το ο Κεφάλαιο), γωρίζουμε επακριβώς ή μπορούμε α προεγγίουμε τη καταομή του δειγματικού μέου X. α) Ότα ο πληθυμός είαι καοικός. β) Ότα το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (και ο πληθυμός όχι κατ αάγκη καοικός)... Ο πληθυμός είαι καοικός Θα διακρίουμε τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή. (α) Ο πληθυμός είαι καοικός με γωτή διακύμαη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη). Επειδή, X ~ N( μ, ),,,,, η καταομή του δειγματικού μέου K X + X + K + X X είαι, όπως είδαμε το Α Μέρος, καοική (αεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος) με X ~ N( μ, ) και επομέως ( X μ ) Z ~ N(, ). Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, τη υάρτηη ( μ ) Z X δε υπάρχου άγωτοι παράμετροι και επομέως η τιμή της μπορεί α υπολογιθεί από το δείγμα. Έτι, εργαζόμεοι όπως το παράδειγμά μας, α x η τιμή της X για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη : μ μ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 44

16 έατι της : μ > μ, ότα x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ z ) z α έατι της : μ < μ, ότα x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z z α έατι της : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα ή ιοδύαμα, ότα x μ z zα Η υπόθεη που κάαμε ότι η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, δε είαι μια ιδιαίτερα ρεαλιτική υπόθεη. Στη πράξη, η διακύμαη του πληθυμού υήθως είαι άγωτη. Ας δούμε πώς εργαζόματε τη περίπτωη αυτή. (β) Ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διακύμαη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα πληθυμό που ακολουθεί καοική καταομή με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη), δηλαδή, X ~ N( μ, ),,,,. K Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη, δε μπορούμε ως τατιτική υάρτηη ελέγχου α χρηιμοποιήουμε τη ( μ ) Z X γιατί δε μπορούμε α υπολογίουμε τη τιμή της. Γι αυτό, εκτιμάμε τη άγωτη διακύμαη από τη (αμερόληπτη) δειγματική διακύμαη S ( X X ) και ως τατιτική υάρτηη ελέγχου χρηιμοποιούμε τη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 44

17 ( X μ ) T S η οποία είαι γωτό ( ο Κεφάλαιο) ότι ότα X ~ N( μ, ),,, K,, και αεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, ακολουθεί t-καταομή με βαθμούς ελευθερίας. Δηλαδή ( X μ ) T ~ t. S Είαι επομέως λογικό, οι περιοχές απόρριψης τώρα α ορίζοται με βάη το άω α ή το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής t ( t ; α και t ; α ατίτοιχα). Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη : μ μ έατι της : μ > μ, ότα x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα μ t t ( x ) ; α έατι της : μ < μ, ότα x μ t ; α ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) t t ; α έατι της : μ μ, ότα x μ t ; α ή x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα t x μ t ; α Σημείωη..: Όπως ημειώαμε και τα προηγούμεα ( ο Κεφάλαιο) η καταομή t είαι γωτή και ως καταομή Student (Student dtrbuton). Επίης, οι χετικοί έλεγχοι τατιτικώ υποθέεω οομάζοται t-tet. Σημειώουμε επίης, ότι παρότι το t-tet προϋποθέτει α είαι καοικός ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή και από το οποίο παίρουμε το δείγμα, ετούτοις, τη πράξη αποδεικύεται «αθεκτικό» ε αυτή τη υπόθεη. Δηλαδή, το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου είαι κοτά το α ακόμη και α η υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού δε ικαοποιείται και εφόο βέβαια, η καταομή του πληθυμού δε απέχει δραματικά Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 443

18 από τη καοική (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη κτλ.) και το μέγεθος του δείγματος δε είαι πολύ μικρό... Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο Θα διακρίουμε και πάλι τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή. (α) Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη). Από τη θεωρία πιθαοτήτω (Κ.Ο.Θ.) γωρίζουμε ότι για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 3 ), κατά προέγγιη έχουμε X ~ N( μ, ) και επομέως ( X μ ) Z ~ N(,). Έτι, τη περίπτωη αυτή, ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει τη Παράγραφο... Βέβαια, οι ατίτοιχοι έλεγχοι πλέο είαι κατά προέγγιη επιπέδου ηματικότητας α, αφού η καταομή της υάρτηης ελέγχου X ή Z ( X μ ) δε είαι τη περίπτωη αυτή καοική αλλά προεγγίζεται από τη καοική. Αφαλώς, όο μεγαλύτερο είαι το μέγεθος του δείγματος, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη. (β) Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη). Α το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (ε γέει, 3 ), όπως είδαμε το ο Κεφάλαιο, η τατιτική υάρτηη ( X μ ) T S προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη Z ~ N(, ). Δηλαδή, ( X μ ) T Z ~ N(,). S Επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη : μ μ έατι της : μ > μ, ότα x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z zα έατι της : μ < μ, ότα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 444

19 x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z zα έατι της : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα ή ιοδύαμα, ότα x μ z zα. Επειδή τη περίπτωη αυτή η καταομή της ( X μ ) S δε είαι η N (, ) αλλά προεγγίζεται από τη N (, ), οι έλεγχοι είαι επιπέδου ηματικότητας α κατά προέγγιη. Φυικά, όο μεγαλύτερο είαι το δείγμα, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη. Για διευκόλυή μας, ας υοψίουμε τις προηγούμεες περιπτώεις ε έα πίακα. Περιοχή απόρριψης της : μ μ : μ μ : μ > μ X μ : μ < μ Z zα α Z zα X μ Z X μ z Προϋποθέεις X μ Z z Z z α α α S X μ T t, α S X μ S X μ Z X μ S z T t, α, α S X μ T t S??? Πίακας.. Στατιτικοί έλεγχοι υποθέεω για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με έα τυχαίο δείγμα μεγέθους και ε επίπεδο ηματικότητας α Η διακύμαη είαι γωτή και ο πληθυμός είαι καοικός ή Η διακύμαη είαι γωτή και το μεγάλο Η διακύμαη είαι άγωτη και το μεγάλο (οτιδήποτε πληθυμός) Η διακύμαη, άγωτη και ο πληθυμός είαι καοικός (οτιδήποτε ) Το είαι μικρό, ο πληθυμός όχι καοικός και η διακύμαη γωτή ή άγωτη Ερώτηη: Α ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, τότε προφαώς εφαρμόζεται ο έλεγχος της Παραγράφου..β αλλά και της Παραγράφου..β. Τι λέτε, τίθεται δίλημμα επιλογής ελέγχου 3 ; Ας δούμε τώρα μερικές ακήεις και προβλήματα. Θα μας βοηθήου α εξοικειωθούμε τη διάκριη τω παραπάω περιπτώεω, που ίως φατάζου λαβύριθος. Όμως, δε είαι! z 3 Θυμηθείτε ότι για μεγάλα ιχύει: α α t ;. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 445

20 Παράδειγμα..: Στη βιβλιογραφία ααφέρεται ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος μιας υγκεκριμέης φυλής αγελάδω είαι 4Kg (αά αγελάδα). Έας ερευητής θέλει α ελέγξει α τις κτηοτροφικές μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης οι αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής έχου τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία. Για το κοπό αυτό και με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επέλεξε 4 αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής από μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης και κατέγραφε κάθε μέρα, επί έα έτος, τη παραγωγή γάλακτος κάθε μιας αγελάδας. Η μέη ετήια παραγωγή τω 4 αγελάδω, βρέθηκε 39Kg με τυπική απόκλιη 5Kg. Απάτηη: Θα κάουμε κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, α αυτό που παρατηρήθηκε το δείγμα υποτηρίζει ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία. Ο πληθυμός του οποίου θα ελέγξουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω ετήιω αποδόεω γάλακτος όλω τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής που εκτρέφοται τη Μακεδοία και τη Θράκη. Ας υμβολίουμε με Χ τη ετήια παραγωγή γάλακτος ε Kg μιας οποιαδήποτε αγελάδας της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη και με X, X, K, X 4 τις ετήιες αποδόεις 4 αγελάδω τυχαία επιλεγμέω. Στο υγκεκριμέο δείγμα που πήρε ο ερευητής, οι τιμές του δείγματος, x, x, K x, έδωα x 39kg με 5kg., 4 Ως μηδεική υπόθεη θέτουμε αυτή που αμφιβητείται από το ερευητή (γι αυτό τη ελέγχει) δηλαδή τη : μ 4 Kg. Ως εαλλακτική θέτουμε τη : μ 4 Kg γιατί ο ερευητής θέλει α ελέγξει πιθαή διαφοροποίηη της μέης απόδοης και όχι διαφοροποίηή της προς κάποια κατεύθυη (αύξηη ή μείωη). Ως τατιτική υάρτηη ελέγχου θα χρηιμοποιήουμε τη ( X μ ) Z S γιατί η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη και το μέγεθος του δείγματος είαι 4 > 3 (περίπτωη της Παραγράφου..β). Επειδή ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είαι z z.5 ή z z. 5 ή z.96 z.96 ή z. 96. Υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου το δείγμα. Έχουμε ( x μ ) (39 4) 4 z.8. 5 Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης. Πράγματι, επειδή z.8.96 η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης (Σχήμα..) και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 446

21 Σχήμα.. Η τιμή z. 8 της υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης της : μ 4 Kg Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α. 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία, ή αλλιώς, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία. Η πιθαότητα το υμπέραμα αυτό α είαι λάθος είαι το πολύ.5. Παρατήρηη..: Α ο ερευητής έχει υπόοιες ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη, είαι μικρότερη από τη ααφερόμεη τη βιβλιογραφία, τότε πρόκειται για άλλο πρόβλημα, για άλλο ερευητικό ερώτημα. Στη περίπτωη αυτή πρέπει α γίει ο έλεγχος της : μ 4 Kg έατι της : μ < 4 Kg. Τι λέτε, είαι απαραίτητο α κάουμε αυτό το έλεγχο ή μήπως μπορούμε α υμπεράουμε το αποτέλεμά του από το αποτέλεμα του αμφίπλευρου ελέγχου που ήδη κάαμε; Παρατήρηη..: Α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α., η περιοχή απόρριψης είαι z z. ή z z. 5 ή z. 58, δηλαδή, z. 58 ή z.58. Η τιμή z. 8 της υάρτηης ελέγχου, φυικά δε αλλάζει και επειδή τώρα δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης, η μηδεική υπόθεη ε επίπεδο ηματικότητας α. δε απορρίπτεται. Δηλαδή, η διαφορά τω 9Kg (μεταξύ δειγματικού μέου x 39kg και μηδεικής υπόθεης μ 4 Kg) τώρα δε κρίεται ως τατιτικά ηματική. Αυτό, φυικά δε είαι παράδοξο αφού θέτοτας α. απαιτούμε πλέο πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της μηδεικής υπόθεης. Άραγε, ε επίπεδο ηματικότητας α. ή α. 3 είαι τατιτικά ηματική αυτή η παρατηρούμεη διαφορά; Για α απατήουμε, μπορούμε φυικά α υγκρίουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου με τη ατίτοιχη, για κάθε περίπτωη, κρίιμη τιμή. Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι καλύτερο και α δώουμε μια πληρέτερη απάτηη. Να υπολογίουμε τη P-τιμή του δείγματος, δηλαδή, το ελάχιτο επίπεδο ηματικότητας για το οποίο απορρίπτεται η μηδεική υπόθεη ή αλλιώς, α υπολογίουμε πόο ηματική (... επιτέλους) είαι αυτή η τιμή που εμφαίθηκε το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα. Έχουμε P τιμ ή P( Z.8) P( Z.8) + P( Z.8).6. Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α. και α. δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη εώ ε επίπεδο ηματικότητας α. 3 τη απορρίπτουμε. Παράδειγμα..: Από έα καοικό πληθυμό πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 9, με x 6 και. Ας κάουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, το έλεγχο της μηδεικής υπόθεης : μ 65 έατι της εαλλακτικής : μ 65. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 447

22 Απάτηη: Προφαώς, κατάλληλο είαι το t-tet (περίπτωη της Παραγράφου..β). Ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α.5, η περιοχή απόρριψης είαι t t t.36 t.36 ή t.36. 8;.5 Επειδή ( x μ ) (6 65) 9 t.5 η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης (Σχήμα..) και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη. Σχήμα.. Η τιμή t. 5 της υάρτηης ελέγχου δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης της : μ 65 Παρατήρηη..3: Μη απορρίπτοτας τη : μ 65, αποδείξαμε άραγε ότι είαι αληθής; Δηλαδή, αποδεχόματε ότι η μέη τιμή μ του πληθυμού είαι ίη με 65 και είματε βέβαιοι γι αυτό; Η απάτηη είαι όχι! Δε αποδείξαμε ότι μ 65. Απλώς αποτύχαμε α απορρίψουμε τη : μ 65. Γι αυτό, το υμπέραμα δε γράψαμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη αλλά ότι δε τη απορρίπτουμε. Για α γίει αυτό καταοητό, ας κάουμε ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, το έλεγχο της : μ 55 έατι της : μ 55. Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι ( x μ ) (6 55) 9 t.5. Η περιοχή απόρριψης είαι όπως και προηγουμέως, t.36 ή t.36 και επομέως η μηδεική υπόθεη : μ 55, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, επίης δε απορρίπτεται (Σχήμα..3). Σχήμα..3 Η τιμή t. 5 της υάρτηης ελέγχου δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης της : μ 55 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 448

23 Δηλαδή, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, τόο η : μ 65 όο και η : μ 55 δε απορρίπτοται. Επομέως, α γράψουμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική, τι αποδεχόματε; Ότι η μέη τιμή είαι 65 ή ότι είαι 55; Η απάτηη είαι η εξής: όπως έχουμε ααφέρει, ότα ε έα τατιτικό έλεγχο απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη όπως και ότα δε τη απορρίπτουμε, δε είματε βέβαιοι για το υμπέραμά μας. Είαι πιθαό α κάουμε φάλμα τύπου Ι ή φάλμα τύπου ΙΙ, ατίτοιχα. Τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα ότα απορρίπτουμε τη μηδεική τη γωρίζουμε. Είαι το πολύ α και τη δηλώουμε. Ότα δε απορρίπτουμε τη μηδεική δε είαι ωτό το υμπέραμά μας α γράψουμε ότι «αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη» χωρίς α έχουμε υπολογίει και α δηλώουμε τη πιθαότητα αυτό το υμπέραμα α είαι λάθος, δηλαδή, χωρίς α έχουμε υπολογίει τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Και αυτό γιατί αποδοχή ημαίει απόδειξη-βεβαιότητα κάτι το οποίο δε υμβαίει αφού υπάρχει πιθαότητα το υμπέραμά μας αυτό α είαι λάθος. Επειδή, όπως θα δούμε τη υέχεια, ο υπολογιμός επακριβώς της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ, υήθως δε είαι εφικτός (γιατί είαι υάρτηη της πραγματικής τιμής της παραμέτρου που ελέγχουμε), ότα η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτεται, το υμπέραμα πρέπει α γράφουμε «η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α, δε απορρίπτεται» ή «ε επίπεδο ηματικότητας α, αποτύχαμε α απορρίψουμε τη μηδεική υπόθεη» και α αποφεύγουμε α γράφουμε «ε επίπεδο ηματικότητας α αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη». Συμπληρωματικά με το αποτέλεμα του ελέγχου, και προκειμέου α έχουμε μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής που ελέγχουμε, μπορούμε α υπολογίουμε έα ( α)% διάτημα εμπιτούης. Στη περίπτωη που εξετάζουμε, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ του πληθυμού είαι x ± t ; α ή 6 ± t8;. 5 ή 6 ± 9. 4 ή [5.776, 69.4]. 9 Έτι, με βάη αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμπεραίουμε ότι η μηδεική υπόθεη : μ 65 (όπως και η : μ 55) ε επίπεδο ηματικότητας 5% δε απορρίπτεται και το διάτημα [5.776, 69.4], με πιθαότητα 95% περιέχει τη άγωτη μέη τιμή μ, του πληθυμού. Παρατηρείτε ότι τόο η τιμή 55 όο και η τιμή 65 βρίκοται ετός του 95% διατήματος εμπιτούης. Τι λέτε, χετίζεται το διάτημα εμπιτούης με τη περιοχή μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης; Σχόλιο.. (για το όημα της μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης): Κάτι αάλογο με τη διαδικαία ελέγχου τατιτικώ υποθέεω που περιγράψαμε, υμβαίει και τη διαδικαία λήψης δικατικώ αποφάεω. Ότα έας πολίτης οδηγείται ε δίκη, αυτό υμβαίει γιατί αμφιβητείται η αθωότητά του. Οι δικατές θέτου ως μηδεική υπόθεη ότι ο κατηγορούμεος πολίτης είαι αθώος 4 (δηλαδή, αυτή που αμφιβητείται) και ως εαλλακτική ότι είαι έοχος. Η δικατική διαδικαία κοπό έχει α διαπιτώει α υπάρχου ηματικά αποδεικτικά τοιχεία εατίο της 4 Έτι προβλέπεται από το δικαιακό μας ύτημα ( ακόμη.): «ο κατηγορούμεος είαι αθώος μέχρι αποδείξεως του εατίου». Ας ελπίουμε ότι δε θα επιτρέψουμε ε μεθόδους ιεράς εξέταης όπου ο κατηγορούμεος έπρεπε α αποδείξει τη αθωότητά του... Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 449

24 αθωότητας του κατηγορουμέου, δηλαδή, εατίο της μηδεικής υπόθεης. Α δε προκύψου τέτοια τοιχεία η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται και ο κατηγορούμεος απαλλάεται τω κατηγοριώ. Αυτό δε ημαίει ότι, κατ αάγκη, αποδείχθηκε η αθωότητά του. Σημαίει ότι δε βρέθηκα ηματικά τοιχεία εατίο της αθωότητάς του. Παράδειγμα..3: Από έα πληθυμό με άγωτη διακύμαη, πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 36. Από παλαιότερες έρευες είαι γωτό ότι η μέη τιμή του πληθυμού είαι μ 83, όμως υπάρχου υπόοιες ότι έχει αλλάξει. Το δείγμα που πήραμε έδωε x 86. και. α) Να γίει ε επίπεδο ηματικότητας α. 5 κατάλληλος τατιτικός έλεγχος για τη μέη τιμή του πληθυμού. β) Α αλλαγή της μέης τιμής ημαίει μόο αύξηη, αλλάζει κάτι το έλεγχο που πρέπει α κάουμε; Στο υμπέραμα; Απάτηη: α) Με βάη όα έχουμε ααφέρει για το καθοριμό τω δύο υποθέεω, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της : μ 83 έατι της : μ 83. Παρότι δε γωρίζουμε α ο πληθυμός είαι καοικός ούτε και τη διακύμαη του, επειδή το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης του ελέγχου είαι αυτή της Παραγράφου..β, x μ z z.5 δηλαδή, z.96 ή z. 96. Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι (86. 83) 36 z.9 και επειδή προφαώς δε αήκει τη περιοχή απόρριψης, ε επίπεδο ηματικότητας α.5, η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, δε δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι έχει αλλάξει η μέη τιμή. β) Είαι προφαές, ότι τη περίπτωη αυτή, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της ίδιας μηδεικής υπόθεης : μ 83 έατι όμως της εαλλακτικής : μ > 83. Επειδή τώρα πρόκειται για μοόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο, η περιοχή απόρριψης είαι z z.5 ή z. 645 και επειδή για τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου έχουμε z , η μηδεική υπόθεη ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη τιμή έχει αυξηθεί! Ερώτηη: Με βάη τη λογική της διαδικαίας ελέγχου, μπορείτε α εξηγήετε γιατί τα αποτελέματα τω δύο ελέγχω που κάαμε τα (α) και (β) δε είαι ατιφατικά 5. Παράδειγμα..4: Τα βιομηχαικά απόβλητα που ρίχοται τα ποτάμια απορροφού το διαλυμέο το ερό οξυγόο με υέπεια αυτό α μειώεται και ότα η μέη τιμή του δε υπερβαίει τα 5ppm, α δημιουργείται οβαρό πρόβλημα επιβίωης 5 Σκεφθείτε ότι παρότι τόο ο αμφίπλευρος όο και ο δεξιόπλευρος έλεγχος έγια το ίδιο επίπεδο ηματικότητας, ετούτοις το δεξιόπλευρο είματε πιο αεκτικοί ε φάλμα λαθαμέης απόρριψης της μηδεικής. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 45

25 τω υδρόβιω οργαιμώ. Tο πρόβλημα αυτό είχε διαπιτωθεί, πρι από αρκετά χρόια, και το ποταμό Καλαμά. Για τη ατιμετώπιή του εφαρμόθηκε ειδικό πρόγραμμα αποκατάταης και προταίας του ποταμού. Έας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας που είχε κοπό α διερευήει α απέδωα τα μέτρα προταίας, έπρεπε μεταξύ άλλω δεικτώ, α μελετήει τη ποότητα διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού. Για το κοπό αυτό, πήρε με βάη κατάλληλο χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, μετρήεις από ημεία της κοίτης του ποταμού. Οι μετρήεις έδωα τις εξής τιμές διαλυμέου οξυγόου (ε ppm): 5, 5., 5., 5., 4.9, 5.3, 5, 5., 5., 5.. Με βάη αυτά τα δεδομέα, μπορεί ο φοιτητής α υμπεράει ότι το ποταμό Καλαμά η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm; Απάτηη: Ο φοιτητής μελετάει τη ποότητα Χ διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού Καλαμά με βάη έα τυχαίο δείγμα X, X, K, X, μετρήεω. Α μ είαι η άγωτη μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξει α οι τιμές x, x, K, x που έδωε το υγκεκριμέο δείγμα που πήρε, υποτηρίζου τη απόρριψη της μηδεικής υπόθεης : μ 5ppm ή, πιο ωτά, της : μ 5ppm, υπέρ της εαλλακτικής : μ 5 ppm > 6. Η καταομή του πληθυμού 7 δε μας είαι γωτή. Επίης, η διακύμαη του δε μας είαι γωτή και το μέγεθος του δείγματος είαι μικρό ( < 3 ). Αυτή η περίπτωη δε ετάεται ε καμία από τις περιπτώεις που μελετήαμε προηγουμέως. Α το μέγεθος του δείγματος ήτα μεγάλο, ως περιοχή απόρριψης θα μπορούαμε α πάρουμε τη ατίτοιχη, για το έλεγχο που κάουμε, της Παραγράφου..β. Όμως δε είαι. Επίης, α γωρίζαμε ότι ο πληθυμός είαι καοικός, θα εφαρμόζαμε το t-tet (Παράγραφος..β). Τι κάουμε επομέως; Με βάη όα μέχρι τώρα γωρίζουμε, έα δρόμο έχουμε. 8 Να αατρέξουμε τη βιβλιογραφία και α ααζητήουμε, από αάλογες έρευες, πληροφορίες για τη καταομή της ποότητας διαλυμέου οξυγόου τα ερά ποταμώ με υθήκες αάλογες του Καλαμά. Τέτοιες έρευες πράγματι βρέθηκα και από αυτές προκύπτει ότι η καταομή διαλυμέου οξυγόου προομοιάζει με τη καοική και ε κάθε περίπτωη δε παρουιάζει οβαρές αυμμετρίες. Με βάη αυτή τη πληροφορία και δεδομέου ότι το μέγεθος του δείγματος δε είαι πολύ μικρό, μπορούμε α εφαρμόουμε το t-tet (Παράγραφος..β) αφού όπως έχουμε ααφέρει η εμπειρία έχει δείξει ότι αυτό είαι «αθεκτικό» τη υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού. Η υέχεια είαι πλέο γωτή. Ορίζουμε το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου, έτω α. 5, και υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου 6 Σημειώτε ότι η περιοχή απόρριψης της μηδεικής δε αλλάζει α ατί της : μ 5ppm θεωρήουμε τη : μ 5ppm. 7 Ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω τιμώ διαλυμέου οξυγόου τη κοίτη του ποταμού. 8 Η Στατιτική προφέρει και άλλες δυατότητες. Με κατάλληλους τατιτικούς ελέγχους αλλά και με κατάλληλες γραφικές μεθόδους και εργαλεία μπορούμε α ελέγξουμε α το δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό και α αυτό δε υμβαίει μπορούμε α εφαρμόουμε μη παραμετρικούς ελέγχους. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 45

26 ( X μ ) T S αφού προηγουμέως υπολογίουμε τη τιμή x της X και τη τιμή της S για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος. Έτι έχουμε, x 5. ppm και. 5ppm και επομέως ( x μ ) (5. 5) t Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης. Ο έλεγχος είαι δεξιόπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είαι t t 9;.5 ή t. 833 και επειδή t , η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη. Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α. 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου το ποταμό Καλαμά είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm 9. Παράδειγμα..5 (υέχεια του Παραδείγματος 9..3): Στο Πίακα.. φαίεται για κάθε μια από 5 τυχαία επιλεγμέες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, ο χρόος (ε μήες) από τη πρώτη εκδήλωη μιας υγκεκριμέης αθέειας που προβάλλει τις αγελάδες μέχρι τη επαεμφάιή της Πίακας.. Οι χρόοι επαεμφάιης (ε μήες) μιας αθέειας ε 5 γαλακτοπαραγωγές αγελάδες Στο 9 ο Κεφάλαιο είδαμε (Παραδείγματα 9..3&9..4 και Άκηη 9.3) ότι ο μέος και η τυπική απόκλιη του υγκεκριμέου δείγματος ατίτοιχα είαι x. 8 μήες και.5μήες. Α πό τη χετική βιβλιογραφία είαι γωτό ότι ο μέος χρόος μέχρι τη επαεμφάιη της υγκεκριμέης αθέειας είαι 3 μήες. Μήπως τα υγκεκριμέα δεδομέα δίου ε επίπεδο ηματικότητας 5%, τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι ο μέος χρόος επαεμφάιης της αθέειας δε είαι 3 μήες αλλά λιγότερο; Απάτηη: Η καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, που εκφράζει το χρόο επαεμφάιης της αθέειας, μας είαι άγωτη. Δε γωρίζουμε ούτε τη μορφή της ούτε κάποια παράμετρό της. Ζητείται α κάουμε ε επίπεδο ηματικότητας 5%, κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξουμε α το υγκεκριμέο δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις εατίο της μηδεικής υπόθεης : μ 3μήες 9 Το δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι δυτυχώς υποθετικό. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 45

27 και υπέρ της εαλλακτικής : μ < 3 μήες. Επειδή το δείγμα είαι μεγάλο ( 5 3 ) και η διακύμαη της Χ (του πληθυμού) μας είαι άγωτη, με βάη όα προηγουμέως εξηγήαμε (περίπτωη..β), η περιοχή απόρριψης του ελέγχου είαι x μ x μ z z ή.5 z Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι x μ.8 3 z και επειδή αυτή δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης (δε είαι μικρότερη της κρίιμης τιμής -.645), η μηδεική υπόθεη ε επίπεδο ηματικότητας 5%, με βάη το υγκεκριμέο δείγμα, δε απορρίπτεται. Παρατηρείτε ότι η τιμή μ 3 περιέχεται το 95% διάτημα εμπιτούης [., 3.5] που κατακευάαμε το Παράδειγμα....3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς τατιτικού ελέγχου Στη διαδικαία τατιτικού ελέγχου υποθέεω που περιγράψαμε τα προηγούμεα, δε ααφερθήκαμε καθόλου το τι υμβαίει με τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Η πιθαότητα αυτή υμβολίζεται με β. Έτι, εώ α απορρίψουμε τη, γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος (είαι το πολύ α ), ατίθετα, α δε απορρίψουμε τη, με όα μέχρι τώρα ααφέραμε, δε γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος, αφού δε υπολογίαμε τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της αληθής η ). Φροτίαμε, δηλαδή, για τη «προταία» από φάλμα τύπου Ι και δε αχοληθήκαμε με το φάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή, με το φάλμα που κάουμε ότα, εώ είαι αληθής η, αποτυγχάουμε α απορρίψουμε τη. Κατά υέπεια, δε γωρίζουμε και τη πιθαότητα β P(απόρριψη της αληθής η ) δηλαδή, τη ικαότητα του ελέγχου α «διακρίει-ααγωρίζει» υπαρκτές ηματικές διαφορές του δείγματος από τη και έτι α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει. Η πιθαότητα β οομάζεται ιχύς (power) του ελέγχου ή ακριβέτερα (θα δούμε τη υέχεια γιατί), υάρτηη ιχύος (power functon) του ελέγχου. Μεγαλύτερη ιχύς ημαίει μεγαλύτερη πιθαότητα α μη αποτύχουμε α απορρίψουμε τη ότα είαι αληθής η (και επομέως πιο καλός έλεγχος). Σε αυτή τη εότητα θα δούμε πώς μπορούμε α υπολογίουμε τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της, β, και κατά υέπεια τη ιχύ β, του ελέγχου. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 453

28 Στο ειαγωγικό παράδειγμά μας (Παράδειγμα..), το έλεγχο της : μ 5 Kg έατι της : μ > 5 Kg, ε επίπεδο ηματικότητας α. δε απορρίψαμε τη. Ας υπολογίουμε τη πιθαότητα η απόφαή μας αυτή α είαι λαθαμέη, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β. Α μεταξύ τω δύο υποθέεω αληθής είαι η : μ > 5 Kg, δηλαδή, α η πραγματική-αληθής μέη τιμή μ της ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι έας αριθμός μ μεγαλύτερος τω 5Kg, τότε ζητάμε τη πιθαότητα β, α μη απορρίψουμε τη : μ 5 Kg (εώ θα έπρεπε, αφού αληθής είαι η ). Έχουμε β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της αληθής η : μ μ > 5 ) X μ P ( X < μ μ) ( μ < μ P ) P( Z < ) μ Φ( ) Δηλαδή, μ β Φ( ), μ > Παρατηρούμε ότι η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, εξαρτάται από τη πραγματική τιμή μ της άγωτης παραμέτρου μ. Έτι, κάοτας το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α., α η πραγματική τιμή είαι μ 58 η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ είαι β Φ( ) Φ(.9) Φ(.9).84 (Σχήμα.3.) 4.75 Σχήμα.3. Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ ότα α. και η αληθής τιμή είαι μ 58 εώ α μ 6 η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ είαι β Φ( ) Φ(.7) Φ(.7). 436 (Σχήμα.3.) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 454

29 Σχήμα.3. Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ ότα α. και η αληθής τιμή είαι μ 6 Δηλαδή, το παράδειγμά μας, όο πιο μακριά από τη : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ ελαττώεται. Ατίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου μ β Φ( ), μ > 5, 4.75 εξαρτάται και αυτή από τη πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ και μάλιτα, το παράδειγμά μας είαι μια αύξουα υάρτηη γιατί η τιμή της αυξάεται ότα η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ αυξάεται. Έτι, όο πιο μακριά από τη : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές) βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο αυξάεται η ικαότητα του ελέγχου α «ααγωρίζει» ηματικές διαφορές του δείγματος από τη και α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει ωτά. Η γραφική παράταη της υάρτηης ιχύος οομάζεται καμπύλη ιχύος (power curve) του ελέγχου. Στο Σχήμα.3.3 φαίεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου του παραδείγματός μας για α.. Σχήμα.3.3 Η καμπύλη ιχύος του ελέγχου της : μ 5 έατι της : μ 5 για α. > Από τη καμπύλη ιχύος φαίεται ότι όο αυξάεται η πραγματική τιμή της μ, η ιχύς του ελέγχου τείει προς το. Επίης, ότα η πραγματική τιμή της Είαι λογικό; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 455

30 παραμέτρου μ τείει προς τη τιμή 5, η ιχύς του ελέγχου μειώεται και τείει προς το. α. Σχόλιο.3. (για τη χρηιμότητα της καμπύλης ιχύος): Με χρήη κατάλληλου λογιμικού είαι πολύ εύκολο α πάρουμε τη καμπύλη ιχύος εός τατιτικού ελέγχου. Έτι, έχουμε τη διάθεή μας μια γραφική ααπαράταη της «αποδοτικότητας» του ελέγχου, δηλαδή, της ικαότητάς του α απορρίπτει ωτά τη μηδεική υπόθεη. Α για παράδειγμα, το εργοτάιο ιχυριθεί ότι η μέη ατοχή τω καλωδίω με τα έα υλικά αυξήθηκε και μάλιτα τώρα πλέο είαι ίη με 59Kg, και πράγματι είαι έτι, τότε από τη καμπύλη ιχύος του ελέγχου και χωρίς άλλους υπολογιμούς εύκολα διαπιτώουμε ότι η πιθαότητα α διακρίει ωτά ο έλεγχος τις δύο υποθέεις και α απορριφθεί ωτά η : μ 5 Kg υπέρ της : μ μ 59 Kg είαι περίπου 9%. Επίης, από τη καμπύλη ιχύος, μπορούμε α δούμε πόο γρήγορα αυξάει η ιχύς του ελέγχου και α υγκρίουμε γραφικά τη ιχύ του με τη ιχύ κάποιου άλλου ελέγχου για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η. Ααφέρουμε, τέλος, χωρίς απόδειξη, ότι ο έλεγχος που εφαρμόαμε το παράδειγμά μας, είαι ο πλέο ιχυρός από οποιοδήποτε άλλο, δηλαδή, οδηγεί τη μικρότερη δυατή πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η. Από το οριμό της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ, β, είαι προφαές ότι αυτή επηρεάζεται από το επίπεδο ηματικότητας α, του ελέγχου (αφού η κρίιμη τιμή του ελέγχου προκύπτει από το α ). Όμως, πώς επηρεάζεται; Ας κάουμε το έλεγχο του παραδείγματός μας ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, α.. Στη περίπτωη αυτή η : μ 5Kg αφαλώς δε απορρίπτεται. Η κρίιμη τιμή τώρα είαι 75 c 5 + z ή ιοδύαμα, c z και επομέως μ β Φ( ), μ > Έτι, α για παράδειγμα, μ 58 τότε β Φ( ) Φ(.4) Αφού, όπως είδαμε, δε απορρίπτεται ε α.. Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γ. Κ. Παπαδόπουλος ( 456

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιητική Στατιτική Συπεραατολογία εκτιήεις τω αγώτω παραέτρω ιας γωτής από άποψη είδους καταοής έλεγχο τω υποθέεω που γίοται ε χέη ε τις παραέτρους ιας καταοής και ε χέη ε το είδος της καταοή. ΒΙΟ309-Εκτιητική

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 05-06 ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές συεχείς καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Καοική καταομή 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής καταομής 7.. Καοική προσέγγιση της καταομής Posson 7..3 Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Δρ Χαράλαμπος Π Στρουθόπουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα