Παραδείγµατα γραµµικών αναλογικών συστηµάτων µιας εισόδου µιας εξόδου
|
|
- Ἰφιγένεια Βλαχόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ ΟΥ ΜΙΑΣ ΕΞΟ ΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως, ένα οποιοδήποτε αναλογικό σύστηµα είναι ένας τελεστής που δρα σε συναρτήσεις που θεωρούνται ως είσοδοι, παράγοντας έναν αριθµό εξόδων. Θα επικεντρωθούµε, τουλάχιστον καταρχήν, σε συστήµατα µιας εισόδου- µίας εξόδου. Ένα τέτοιο σύστηµα είναι γραµµικό, όταν και µόνον όταν περιγράφεται από ένα γραµµικό τελεστή. Ισοδυνάµως, ισχύει ο εξής ορισµός: ΟΡΙΣΜΟΣ (1) ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΙΑΣ ΕΙΣΟ ΟΥ ΜΙΑΣ ΕΞΟ ΟΥ Ένα τέτοιο αναλογικό σύστηµα Τ λέγεται γραµµικό όταν για δύο οποιεσδήποτε εισόδους x t,x t και δύο οποιαδήποτε βαθµωτά µεγέθη (δηλαδή αριθµούς) α, β ισχύει: Ταx t+βx t=ατx t+βτx t Σε εναλλακτική διατύπωση, εάν το σύστηµα Τ, δεχόµενο σαν είσοδο την x t, παράγει σαν έξοδο την y t, ενώ µε είσοδο την x t, παράγει σαν έξοδο την y t, τότε όταν το σύστηµα δέχεται σαν είσοδο την αx t+βx t παράγει σαν έξοδο το α t+βy t. Προσοχή: Τα ανωτέρω πρέπει να ισχύουν για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις x t, x t και για κάθε ζεύγη αριθµών α,β C. Η µεταβλητή t κατά κανόνα παίρνει τιµές σε ένα διάστηµα που είναι υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Παραδείγµατα γραµµικών αναλογικών συστηµάτων µιας εισόδου µιας εξόδου ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Ένα σύστηµα τέτοιο ώστε Τxt=3xt είναι προφανώς γραµµικό. (Το σύστηµα Τxt=3xt+5 είναι γραµµικό;) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Το σύστηµα τέτοιο ώστε Τ xt= είναι γραµµικό, όπως προκύπτει άµεσα από τη γραµµικότητα της παραγώγου, δηλαδή από την ταυτότητα: d dt αx t+βx t=α dx t +β dx t dt dt ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: 1
2 Ένα σύστηµα τέτοιο ώστε Τ xt= είναι γραµµικό, όπως προκύπτει άµεσα από τη γραµµικότητα της δευτέρας παραγώγου: d dt αx t+βx t=α d x t +β d x t dt dt ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Ένα σύστηµα τέτοιο ώστε Τ xt= είναι γραµµικό, όπως προκύπτει άµεσα από τη γραµµικότητα της n-οστής παραγώγου: d dt αx t+βx t=α d x t dt +β d x t dt ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5: Έστωσαν δύο σταθεροί, µη αρνητικοί αριθµοί t,t, τότε το σύστηµα Τ x!= 1 # xwdw είναι γραµµικό, ως άµεση συνέπεια της γραµµικότητας του ολοκληρώµατος. ηλαδή, =α) 1 1 # αx w+βx wdw 1 # x wdw*+β) # x wdw* ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Εάν το σύστηµα Τ είναι γραµµικό, τότε για ένα πεπερασµένο πλήθος εισόδων x t,x t,,x, t, ισχύει Τα x t+α x t+ +α. x, t =α Τx t+α Τx t+ +α. Τx, t Απόδειξη Με απλή επαγωγή, χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα των πραγµατικών συναρτήσεων µαζί µε τον ορισµό 1, δηλαδή,,',' Τ)/α 0 x 1 t*=τ3/α 0 x 1 t+α, x, t4=τ)/α 0 x 1 t*+α, Τx, t= Ο.Ε.. Σηµαντική σηµείωση: Η ιδιότητα της γραµµικότητας στην έξοδο ενός γραµµικού συστήµατος διατηρείται υπό προϋποθέσεις (οµοιόµορφη σύγκλιση) όταν η είσοδος 2
3 αυτού του συστήµατος είναι άπειρη σειρά ακολουθιών εισόδου. Επειδή, δε, το ολοκλήρωµα είναι µια άπειρη σειρά στοιχειωδών τραπεζίων, µπορώ να εναλλάξω τη δράση του τελεστή 5 µε το ολοκλήρωµα µιας τυχούσης συναρτήσεως/σήµατος 67. ηλαδή εάν η σύγκλιση είναι καλή, κάτι που το θεωρώ δεδοµένο για τις περισσότερες εφαρµογές, µπορώ να γράψω 8 9: 6!, 7;! >=: 86!,7;!. < = < = ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Εάν τα συστήµατα Τ,Τ,,Τ. είναι γραµµικά, τότε ένας οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός αυτών είναι γραµµικό σύστηµα. Απόδειξη Η απόδειξη θα δοθεί µε απλή επαγωγή χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα των πραγµατικών συναρτήσεων. Θα δείξουµε µόνο το βήµα της επαγωγής που αφορά δύο γραµµικά συστήµατα Τ,Τ, όπου το συνολικό σύστηµα είναι το Τ=?Τ +μτ. Πράγµατι, για κάθε ζεύγος συναρτήσεων εισόδου x t,x t και κάθε ζεύγος αριθµών α,β ισχύει: Ταx t+βx t=?τ +μτ αx t+βx t= λτ αx t+βx t+μτ αx t+βx t= =αλτ x t+βλτ x t+αμτ x t+βμτ x t =α9λτ x t+μτ x t>+β9λτ x t+μτ x t>= =ατx t+βτx t Αλληλουχία γραµµικών συστηµάτων Ο.Ε.. Ας θεωρήσουµε τα γραµµικά συστήµατα Τ,Τ,,Τ. και επιπλέον ότι η έξοδος του Τ γίνεται είσοδος στο Τ, η έξοδος του Τ γίνεται είσοδος στο Τ B,, η έξοδος του Τ.' γίνεται είσοδος στο Τ,. Σχηµατικά, και συµβολικά T DE xt=t, FT,' G HT 9T xt>ijk. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Η αλληλουχία T DE k-γραµµικών συστηµάτων Τ,Τ,,Τ. είναι επίσης γραµµικό σύστηµα. Απόδειξη Η απόδειξη θα δοθεί, πάλι, µε απλή επαγωγή. Θα δείξουµε µόνο το βήµα της επαγωγής που αφορά τρία γραµµικά συστήµατα Τ,Τ,Τ B, όπου το συνολικό σύστηµα είναι το T DE =Τ B 9Τ Τ >. Πράγµατι, για κάθε ζεύγος συναρτήσεων εισόδου x t,x t και για κάθε ζεύγος αριθµών α,β ισχύει: T DE αx t+βx t=τ B HΤ 9Τ αx t+βx t>i= =Τ B HΤ 9αΤ x t+βτ x t>i=τ B HαΤ 9Τ x t>+βτ 9Τ x t>i= =ατ B HΤ 9Τ x t>i+βτ B HΤ 9Τ x t>i=αt DE x t+βt DE x t 3
4 Ο.Ε.. ΟΡΙΣΜΟΣ (2) ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ ΥΟ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Έστωσαν δύο σήµατα xt,ht. Α) Για µη-περιοδικά σήµατα, η συνέλιξη t ορίζεται ως: εφόσον το ολοκλήρωµα συγκλίνει. t=# 6wht wdw, Β) Για περιοδικά σήµατα µε περίοδο Τ, η συνέλιξη t ορίζεται ως: O t=# 6wht wdw Η συνέλιξη, συχνά, συµβολίζεται µε *. ηλαδή, t=6t ht. parastasi_synelixis.m P Ιδιότητες συνέλιξης Αντιµεταθετικότητα: 6t ht=ht 6t Προσεταιριστικότητα: 6t ht Rt=6t ht Rt Επιµεριστικότητα ως προς την πρόσθεση: 6t ht+rt=6t ht+6t Rt ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Μετασχηµατισµός Laplace της συνέλιξης Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνέλιξης δύο συναρτήσεων xt και ht, όπου xt= ht=0 για t<0 ', ισούται µε το γινόµενο των µετασχηµατισµών Laplace των δύο συναρτήσεων (όλες οι συγκλίσεις των ολοκληρωµάτων θεωρούνται καλές). Ισοδυνάµως, εάν υπάρχουν οι µετασχηµατισµοί Xs=L[xt\, ]s=l[ht\ και Ys=L[yt\=L[6t ht\, τότε Ys=XsHs. Απόδειξη Θα δώσουµε την απόδειξη για τη µη-περιοδική περίπτωση, δεδοµένου ότι η απόδειξη στην περίπτωση της περιοδικής είναι εντελώς ανάλογη. L[yt\=# `'a% G# 6wht wdwjdt. Επειδή, τα όρια του δεύτερου ολοκληρώµατος δεν εξαρτώνται από τη µεταβλητή t, µπορούµε να ενθέσουµε τον όρο `'a% εντός του δευτέρου ολοκληρώµατος, οπότε προκύπτει: L[yt\=# G# `'a% 6wht wdwjdt. 4
5 Εναλλάσσοντας τη σειρά των ολοκληρωµάτων, εφόσον η σύγκλιση το επιτρέπει, πχ. είναι οµοιόµορφη, και βγάζοντας το 6w εκτός του ολοκληρώµατος ως προς t, λαµβάνουµε: L[yt\=# G# `'a% ht w;7j6wdw 1 Αλλά από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace # `'a% ht w;7 =]s`'ad 2 Αντικαθιστώντας τη (2) στην (1) λαµβάνουµε: L[yt\=# ]s`'da 6wdw=# ]s`'da 6wdw= =]s# `'da 6wdw=]sfs Ο.Ε.. ΟΡΙΣΜΟΣ (3) και διευκρίνιση. Η βηµατική συνάρτηση η οποία συνήθως συµβολίζεται ως g7, είναι εκείνη η οποία είναι µηδέν για t<0 ' ένα για t>0 & και εµφανίζει ασυνέχεια στο t=0. ιευκρινίζεται ότι µία οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση µπορεί να περιοριστεί στους µη αρνητικούς πραγµατικούς αριθµούς ώστε να ισχύει 67=0 για t<0 ' εάν την πολλαπλασιάσω µε g7. 2. ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ (TIME INVARIANT) ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ (4) ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΩΝ (TIME INVARIANT) ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Ένα σύστηµα Τ( ) λέγεται χρονικά αναλλοίωτο, όταν για κάθε ακολουθία εισόδου x(t) ισχύουν τα κάτωθι: Αν 7=867 και l οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, τότε 567 l=7 l. Παράδειγµα 1: Το σύστηµα 7=367 είναι προφανώς χρονικά αναλλοίωτο, αλλά το ίδιο ισχύει και για το σύστηµα 7=36 7 το οποίο δεν είναι γραµµικό. Παράδειγµα 2: Το σύστηµα Τ xt= είναι χρονικά αναλλοίωτο. Πράγµατι, εάν στην είσοδο αυτού θέσουµε το 67 l όπου l οποιοσδήποτε αριθµός, ισχύει Τ xt l= dxt l dt = j;6r dz l j dz dt n m2'l m2'l = j z m2'l 1=7 l 5
6 Παράδειγµα 3: Το σύστηµα Τ xt= είναι χρονικά αναλλοίωτο. Πράγµατι, εάν στην είσοδο αυτού θέσουµε το 67 l όπου l οποιοσδήποτε αριθµός, αποδεικνύεται µε απλή επαγωγή ότι ισχύει: Τ xt l= d xt l dt = j; 6R dz l j dz dt n m2'l p2%'l = j z m2'l 1=7 l Παράδειγµα 4: Έστωσαν δύο σταθεροί, µη αρνητικοί αριθµοί t,t, µε 7 +7 >0.Τότε το σύστηµα Τ x7= : xwdw είναι χρονικά αναλλοίωτο. Πράγµατι, εάν στην ( & είσοδο αυτού θέσουµε το 67 l όπου l οποιοσδήποτε αριθµός, ισχύει Τ xt l= 1 # xw ldw Εάν στο ολοκλήρωµα κάνουµε την αντικατάσταση R=! l και εάν θέσουµε q=7 l, τότε Ενώ, εξ ορισµού, Τ xτ= 1 %'l& # xzdz %'l' ( 7 l= 1 %'l&% # 6!;! 7 +7 %'l'% ( Άρα, Τ xt l=7 l και το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο. 3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ/ΓΧΑ (LINEAR TIME INVARIANT/LTI) ΚΑΙ ΛΟΙΠΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Το αιτιατό σύστηµα Αιτιατό ονοµάζεται ένα σύστηµα η έξοδος του οποίου εξαρτάται από προηγούµενες/παρούσες αλλά όχι από επόµενες χρονικά τιµές των εισόδων. Για παράδειγµα, για να είναι αιτιατό ένα σύστηµα 7, τότε η έξοδος 7 P πρέπει να εξαρτάται από εισόδους 67 µόνο για τιµές του 7 µικρότερες ή ίσες του 7 P, για κάθε 7 P. Ένα σύστηµα λέγεται γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο, ΓΧΑ, (linear time invariant/lti) αν είναι γραµµικό και χρονικά αναλλοίωτο ταυτόχρονα. 6
7 Παραδείγµατα ΓΧΑ αναλογικών συστηµάτων Τxt=3xt Τ xt= Τ xt= Τ xt= : xtdt ( & 4. ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΧΑ Έστω ένα τυχόν γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα Τ( ) και έστω ότι θέτουµε σε αυτό σαν είσοδο τη συνάρτηση δ(t), οπότε λαµβάνουµε σαν έξοδο την h7. ηλαδή h7=8s7. Τότε, η γνώση του h7, που λέγεται κρουστική απόκριση του συστήµατος Τ, µας δίνει τη δυνατότητα προσδιορισµού της εξόδου 7 του συστήµατος, για κάθε είσοδο 67, µέσω της συνέλιξης των 67 και h7, όπως υποδεικνύει το κάτωθι: ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Έστω ένα οποιοδήποτε γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα Τ( ) µε κρουστική απόκριση h7. Τότε, εάν τυχόν 67 γίνει είσοδος στο σύστηµα Τ( ), προκύπτει έξοδος 7=h7 67, ηλαδή η συνέλιξη των συναρτήσεων/σηµάτων 67 και h7. Απόδειξη θεωρήµατος 5 Εκ του ορισµού του δ του Dirac ισχύει : N 67= #δt w6!d! Αφήνουµε το γραµµικό σύστηµα Τ να δράσει και στα δύο µέλη της ανωτέρω εξίσωσης, όπου τονίζουµε ότι ο Τ δρα µόνο σε συναρτήσεις του 7 αφού το αριστερό µέλος είναι συνάρτηση µόνο του 7. Άρα 7
8 N Τxt=TF #δt wxwdwk Αλλά σύµφωνα µε την παρατήρηση που ακολουθεί το θεώρηµα 1 του παρόντος κεφαλαίου µπορούµε να εναλλάξουµε τον Τ µε το ολοκλήρωµα οπότε λαµβάνουµε N N Τxt = # Tδt wxwdw= #ht wxwdw=h7 67 Στο τελευταίο βήµα χρησιµοποιήσαµε το χρονικά αναλλοίωτο του συστήµατος Τ ΟΕ Μετασχηµατισµός Laplace - Συνάρτηση µεταφοράς ΓΧΑ ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Έστω Τ( ) ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα µε κρουστική απόκριση h7 και 67 ένα σήµα εισόδου µε 67, h7 = 0 για t<0 '. Εάν fu=l67,]u=lh7 και αν η έξοδος του συστήµατος είναι 7 για είσοδο 67 και vu=l7 τότε ισχύει vu=]u fu. Απόδειξη: είναι άµεση συνέπεια των θεωρηµάτων 5 και 4. Σηµαντικότατη παρατήρηση: Η συνάρτηση µεταφοράς Η(s) ενός ΓΧΑ είναι ανεξάρτητη των σηµάτων εισόδου και εξόδου. Άρα, αν γνωρίζω το µετασχηµατισµό Laplace της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήµατος, τότε για τυχούσα είσοδο 67g7 βρίσκω την έξοδο πρώτα στο πεδίο των s και µετά µε αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace στο πεδίο του χρόνου 7. Κρουστική απόκριση και συνάρτηση µεταφοράς ΓΧΑ σε αλληλουχία (cascaded LTI) Επειδή έχουµε αποδείξει προηγουµένως ότι ένα σύστηµα που είναι αλληλουχία γραµµικών συστηµάτων είναι και αυτό γραµµικό, υπάρχει µια κρουστική απόκριση h7 η οποία πλήρως περιγράφει τη συµπεριφορά αυτού του συστήµατος. Ας εξεταστεί πρώτα η περίπτωση δύο γραµµικών συστηµάτων σε αλληλουχία: τότε 5 DE 67= >, ας θέσουµε 8
9 7=8 67οπότε 7=8 7. Άλλα επειδή τα 8,8 είναι γραµµικά ισχύει µε κρουστική απόκριση έστω h 7και h 7 αντίστοιχα: 7=h 7 67 και 7=h 7 7. Αντικαθιστώντας την πρώτη σχέση στη δεύτερη λαµβάνουµε 7=h 7 h 7 67=h 7 h 7 67 h7 67. Επειδή η ανωτέρω σχέση πρέπει να ισχύει για κάθε 67 µε 67=0 για t<0 ' ισχύει τελικά h7=h 7 h 7. Θα εξετάσουµε τώρα την περίπτωση k γραµµικών συστηµάτων που δρουν σε αλληλουχία. Σε αυτή την περίπτωση έχουµε: 5 DE 67=8. F8.' G H >IJK Με απλή επαγωγή και εκµεταλλευόµενοι την προσεταιριστικότητα της συνέλιξης και τη γραµµικότητα των εν λόγω συστηµάτων ισχύει τελικά 7=h x 7 h x' 7 h 7 h 7 67 h7 67. Επειδή η ανωτέρω σχέση πρέπει να ισχύει για κάθε 67 ισχύει τελικά h7=h x 7 h x' 7 h 7 h 7. Μετασχηµατίζοντας κατά Laplace τις προηγούµενες σχέσεις λαµβάνουµε στο πεδίο των συχνοτήτων s : Πρώτα για δύο συστήµατα : Αφού έχουµε αποδείξει ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της συνέλιξης δύο συναρτήσεων ισούται µε το γινόµενο των µετασχηµατιζοµένων προκύπτουν οι σχέσεις. v u=] ufu, v u=] uv u και vu=]ufu όπου ]u=] u] u Για οποιοδήποτε, δε, αριθµό συστηµάτων ισχύει v u=] ufu, v u=] uv u,, v.' u=].' uv.' u, vu=]. uv.' u και µετά από διαδοχικές αντικαταστάσεις vu=]. u].' u ] u] uyu. Επειδή,δε, το 5 DE είναι γραµµικό, υπάρχει ]u τέτοιο ώστε vu=]ufu για κάθε είσοδο fu. Άρα zu=]. u].' u ] u] u. 9
10 4. ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΕΞΟ ΩΝ Ένα οποιοδήποτε σύστηµα πολλών εισόδων πολλών εξόδων παριστάνεται συνήθως σχηµατικά ως εξής. Είσοδοι χ 1 (t), χ 2 (t),, χ n (t) Σύστηµα Έξοδοι y 1 (t), y 2 (t),, y m (t) Για τη διαχείριση ενός τέτοιου συστήµατος είθισται να χρησιµοποιούµε τους πίνακες στήλης-διανύσµατα χ χ y 7=} και 7=} χ y Οπότε σε αυτή την περίπτωση το γραµµικό σύστηµα ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ (5) ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΕΙΣΟ ΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΕΞΟ ΩΝ Έστω ένα σύστηµα Σ, το οποίον δεχόµενο ως είσοδο το τυχόν διάνυσµα ƒ 7 παράγει σαν έξοδο το ƒ 7 ενώ µε είσοδο το τυχόν 7 παράγει σαν έξοδο το 7. Τότε το σύστηµα αυτό λέγεται γραµµικό, όταν δεχόµενο ως είσοδο το διάνυσµα α ƒ 7+β 7, όπου α,β τυχόντες αριθµοί, παράγει σαν έξοδο το διάνυσµα α ƒ 7 +β 7. Προσοχή: Τα ανωτέρω πρέπει να ισχύουν για δύο οποιαδήποτε διανύσµατα ƒ 7, 7 και για κάθε ζεύγη αριθµών α,β C. Η µεταβλητή t κατά κανόνα παίρνει τιµές σε ένα διάστηµα που είναι υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Θα γίνει µία εισαγωγή στη διαχείριση τέτοιων συστηµάτων στην ενότητα περί χώρου καταστάσεων. 10
Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου
ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται
Διαβάστε περισσότεραεύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.
εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΌταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΤυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης
Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το
Διαβάστε περισσότερα2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.
2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των
Διαβάστε περισσότεραΖητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)
Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠροηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής . Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος 2 Γραφικός
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναµία τοπολογιών βρόχων.
Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότερα() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Η Κρουστική Απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότερα( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2
Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 0: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 0-3 -- Εαρινό Εξάµηνο Σειρά Ασκήσεων αρ. 6 Παρασκευή 5 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)
Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότερα[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού
Διαβάστε περισσότεραx(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκν : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3η Σειρά Ασκήσεν 03/05/0 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν
Διαβάστε περισσότερα( s ) Παραγώγιση στο χρόνο. Ολοκλήρωση στο χρόνο. Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) [ x ) ] X X x( ) e ( s Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx ( ) sx Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣυνέλιξη και Συστήµατα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2015/16 Επιµέλεια : Γιώργος Π. Καφεντζης ρ. Επιστήµης Η/Υ Πανεπιστηµίου Κρήτης ρ. Επεξεργασίας
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Κυκλική Συνέλιξη Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier Περιοδική Επέκταση Σήµατος Πεπερασµένης Χρονικής Διάρκειας.
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος
Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότερα. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.
O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα
Διαβάστε περισσότερα= 5 cos(2π500t π/2) + 9 cos(2π900t + π/3) cos(2π1400t) (9) H(f) = 4.5, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.5/10.0 Θέµα 1ο - 5
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) (3)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/0.0 Θέµα ο - Περιοδικά
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραx(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΑντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα
Αντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα Ένα σύστηµα λέγεται αντιστρέψιµο, όταν η γνώση του σήµατος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισµό του σήµατος εισόδου. x () y ( ) c x ( ) x () y() Αντίστροφο σύστηµα
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ - Ενδεικτικές Λύσεις ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού :
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 sin(2π900t + π/4) + sin(2π1200t) (1) w(t) = y(t)z(t) = 2δ(t + 1) (2) (2 sin(2π900t + π/4) t= 1 + sin(2π1200t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/10.0
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο µεταβολών µιας ποσότητας που µπορεί να: επεξεργαστεί αποθηκευθεί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση
44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟ ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο του Χρόνου Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραy(t) = x(t) + e x(2 t)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ - Σχόλια ιάρκεια : 3 ώρες Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραx(t) = 4 cos(2π400t π/3) + 2 cos(2π900t + π/8) + cos(2π1200t) h(t) = 2000sinc(2000t) = h(t) = 2000sinc(2000t) H(f) = rect
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 215-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες - Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.
7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'
Διαβάστε περισσότερα3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι
Διαβάστε περισσότερα