14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές δυνάµεις του συστήµατος που είναι µη γραµµική συνάρτηση των µετατοπίσεων. Σηµείωση : Θεωρούµε πως το φορτίο είναι ανάογο ενός διανύσµατος αναφοράς q, ενώ η σταθερά καείται συντεεστής φορτίου. Σηµείωση : Αν η σχέση F ήταν γραµµική, τότε η () θα γινόταν [ K ] = q () και η ύση πού απά θα ήταν: = [ K ] q (3) Για την επίυση της () χρησιµοποιείται συνήθως η µέθοδος Newn-Raphsn, η οποία συνοψίζεται ως εξής: Έστω ( ) µία θέση ισορροπίας, δηαδή που ικανοποιεί στην σχέση (). Τότε ζητώ το, για δεδοµένο ώστε η θέση ( + + ) να είναι επίσης θέση ισορροπίας., ( + ) ( + ) = F q (4) Γραµµικοποιώντας την σχέση (4) F F ( ) + q + q = (5) F ο όρος είναι το εγόµενο «εφαπτοµενικό» µητρώο ακαµψίας στην θέση συµβοίζεται στο εξής µε [ K ], ώστε = και θα [ K ] = q (6) [ ] ( = K q ) (7) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα από 8

2 και οι νέες οικές µετατοπίσεις είναι +, ενώ οι νέες εσωτερικές δυνάµεις είναι F ( + ). Προφανώς όγω της µη γραµµικότητας του F σε σχέση µε το, κανείς δεν εγγυάται ότι θα ισχύει η (4), δεδοµένου ότι η επίυση της βασίστηκε στην (5) η οποία είναι η γραµµικοποιηµένη της µορφή (άρα και προσεγγιστική). Αν οιπόν η (4) δεν ισχύει, τότε θέτω + (8) και αναζητώ νέα πως θα πρέπει ώστε η θέση = + να είναι θέση ισορροπίας. Αυτό όµως σηµαίνει ( ) ( ) F q + + = (9) Γραµµικοποιώντας τη σχέση (9), έχουµε ή αιώς F F ( ) + ( + ) [ K ] ( ) ( { )} = + q F + q = () () Μετά την επίυση του προβήµατος (), οι συνοικές µετατοπίσεις γίνονται όπου δίνεται από την () και οι εσωτερικές δυνάµεις + = F + = F () ενώ ο έεγχος σύγκισης εστιάζει στο κατά πόσον ικανοποιείται η ακόουθη συνθήκη: ( ) ( ) F q + = (3) Αν δεν έχει επιτευχθεί σύγκιση, δηαδή δεν ικανοποιείται η σχέση (3), τότε η διαδικασία επανααµβάνεται, θεωρώντας µία νέα αύξηση των µετατοπίσεων ώστε η θέση = + 3 να είναι θέση ισορροπίας: F + + q= (4) η οποία είναι αντίστοιχη των (4) και (9). Σηµειώνουµε πως η διαδικασία αυτή βασίζεται στο ότι αυξάνουµε το φορτίο κατά το διατηρούµε σταθερό σε ένα επίπεδο (το οποίο εµείς καθορίζουµε) ( ) προσπαθούµε να βρούµε τις µετατοπίσεις + F, οι οποίες ισορροπούν το ( ) q και + q ενώ που αντιστοιχούν σε εσωτερικές δυνάµεις + q. Με άα όγια το επίπεδο του φορτίου ( ) παραµένει σταθερό καθόη τη διάρκεια των επαναήψεων Newn-Raphsn. Θα θέσουµε τώρα δύο θέµατα οροογίας: + q ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα από 8

3 A. Έχοντας βρει ένα σηµείο ισορροπίας (, ) και ζητάµε το νέο σηµείο ( + + ) Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις αυξάνουµε το συντεεστή φορτίου κατά. Η «απόσταση» µεταξύ των, σηµείων ισορροπίας έγεται συνήθως «βήµα» (sep). B. Κάθε «βήµα» (sep) περιαµβάνει κάποιους «κύκους» (cycles) της µεθόδου Newn Raphsn µέχρι τη σύγκιση. Η µέθοδος σχηµατικά απεικονίζεται στο Σχήµα 4. για την περίπτωση που χρησιµοποιείται η K. Στο Σχήµα 4. εκάστοτε «δοκιµαστική» θέση του συστήµατος ώστε να υποογίζεται το [ ] απεικονίζεται µια παρααγή της µεθόδου όπου το [ K ] στους διάφορους κύκους παραµένει σταθερό και ίσο µε αυτό που υποογίστηκε στην αρχή του βήµατος της Newn Raphsn. + [K ] [K ] [K ] Σχήµα 4.: Σχηµατική παράσταση της µεθόδου Newn Raphsn.. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 3 από 8

4 + δρόµος ισορροπίας [K ] [K ] Σχήµα 4.: Σχηµατική παράσταση της µεθόδου παρααγής της Newn Raphsn όπου το K στους διάφορους κύκους παραµένει σταθερό και ίσο µε αυτό που υποογίστηκε στην [ ] αρχή του βήµατος. Η µεθοδοογία που παρουσιάστηκε είναι µια πού καή µεθοδοογία χάραξης µηγραµµικών δρόµων ισορροπίας για δρόµους που δεν παρουσιάζουν οριακά σηµεία. Στην περίπτωση όµως του Σχήµατος 4.3α και του Σχήµατος 4.3β δεν υπάρχει δυνατότητα χρησιµοποίησης του ανωτέρου αγορίθµου, πέραν του οριακού σηµείου. Εποµένως απαιτείται µία πιο εύρωστη µέθοδος. lad lm pn lad lm pn snap-hrgh snap-back dsplacemen Σχήµα 4.3: Περιπτώσεις δρόµων ισορροπίας µε οριακά σηµεία. dsplacemen ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 4 από 8

5 4. Η µέθοδος «µήκος τόξου» για µη γραµµική ανάυση 4.. Περιγραφή της Μεθόδου Θεωρούµε και πάι τις βασικές εξισώσεις ισορροπίας: ( ) g = F q = (5) Θεωρώ πως ικανοποιείται η σχέση (5) στη θέση ( ), δηαδή ( ) = g F q = (6) Έστω µία αύξηση των µετατοπίσεων και του φορτίου. Απαιτώ τα και να είναι τέτοια ώστε η νέα θέση µε µετατοπίσεις + και φορτίο + να είναι θέση ισορροπίας. Τότε θα πρέπει να ισχύει, ( ) ( ) g = F + + q = (7) αν ναι, τότε έχω ισορροπία. Αν όχι, τότε διορθώνω τις µετατοπίσεις και το φορτίο κατά δ και δ ώστε η νέα θέση µε µετατοπίσεις + + δ και φορτίο + + δ να είναι θέση ισορροπίας ( δ ) ( δ) g = F q = (8) Η ανωτέρω σχέση έχει παραπάνω αγνώστους (δ και δ ) από εξισώσεις. Για τον προσδιορισµό του επιπέον αγνώστου, θέτω έναν επιπέον περιορισµό ( ) + δ + δ + + δ ψ = l q q (9) Το σύστηµα των εξισώσεων (8) και (9) µπορεί να επιυθεί µε τη µέθοδο Newn Raphsn ως εξής F F q δq = () + δ ψ q q δψ q q l () = Οι εξισώσεις () και () γράφονται και ως εξής: [ K ] q δ g = ψ q q δ a () όπου a = + ψ q q l (3) Το σύστηµα των εξισώσεων () µπορεί να υθεί ως προς δ και δ. Γεωµετρικά, η ύση συµβοίζει την τοµή του δρόµου ισορροπίας µε µία «σφαίρα» ακτίνας l, όπως στο σχήµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 5 από 8

6 Μία δυσκοία στην επίυση του προβήµατος είναι το ότι έχουµε ένα νέο συνοικό και µάιστα µη συµµετρικό µητρώο προς αντιστροφή. Μία εναακτική όµως διατύπωση του ίδιου προβήµατος µας εξασφαίζει τη συµµετρία και την διατήρηση του ίδου µηρεώου µε την κασσική µέθοδο. Θεωρήστε την εξίσωση () Εποµένως [ ] { ( ) ( ) } K δ = F + + q + δq (4) δ = δ + δδ (5) όπου { } [ ] δ = F + + q (6) K [ K ] δ = q (7) Αντικαθιστώντας στην (9) το δ όπως στην (5) ( ) + δ + δδ + δ + δδ + + δ ψ q q = l καταήγουµε σε µία εξίσωση ως προς δ της µορφής όπου ( δ ) ( δ ) = a a a a = δ δ + ψ (8) q q (9) ( ) ( δ ) ( δ ) ψ l a = + δ δ + ψ q q (3) a 3 = q q (3) Η επίυση της (8) δίνει δύο ύσεις δ, δ και συνήθως επιέγεται η ύση που είναι προς την κατεύθυνση της προηγούµενης. Αυτό εέγχεται µε το γινόµενο ή γενικότερα ( δ ) ψ ( ) q q (3) DO = + δ + ψ + δ ref ref q q (33) Το ανωτέρω γινόµενο υποογίζεται για δ = δ και για δ = δ. Κρατάµε τη ύση που δίνει το µεγαύτερο DO. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 6 από 8

7 + ψq q = l [K ] τεικό σηµείο 3 4 l [K ] δ δ δ δ Σχήµα 4.4: Σχηµατική απεικόνιση της µεθόδου «µήκος-τόξου» για ψ = 4.. Αρχική πρόβεψη για εκκίνηση της µεθόδου Βασικό στοιχείο της µεθόδου είναι η «εκκίνηση» της (αρχική πρόβεψη). Αρχικά, δηαδή στη, θέτω θέση ( ) =. ηαδή και ( ) = ( ) F F (34) q (35) είναι το εξωτερικό φορτίο, οπότε { } [ ] ( ) δ = F q = (36) K ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 7 από 8

8 [ K ] δ = q (37) Οι συντεεστές a, a, a 3 από τις εξισώσεις (9) - (3) γίνονται a = + δ δ q q (38) a = (39) a = l 3 (4) οπότε η δευτεροβάθµια εξίσωση γίνεται ηαδή a δ + a δ + a = (4) 3 ( ) δ = l qq (4) l δ =± qq ( ) (43) και εποµένως = δ (44) = δδ + δ = δδ (45) = + (46) Για σύγκιση εέγχουµε την ικανοποίηση της κάτωθι εξίσωσης? F + + q = (47) Αν δεν ικανοποιείται, τότε ακοουθούµε την µέθοδο arc lengh όπως περιγράψαµε. Μια εναακτική µέθοδος «έναρξης» που χρησιµοποιείται στην περίπτωση που έχουµε σηµείο διακάδωσης και θέουµε να πάρουµε τον δευτερεύοντα δρόµο, είναι να ξεκινήσουµε µε = (48) = l z (49) όπου z το ιδιοδιάνυσµα του (µη αντιστρέψιµου πέον) πίνακα µηδενική ιδιοτιµή, δηαδή ισχύει [ K ] που αντιστοιχεί στη [ K ] = z (5) Προφανώς, οι σχέσεις (48), (49) είναι συµβατές µε την συνθήκη µήκους τόξου (9). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Μη-γραµµικά προβήµατα «Μήκος-τόξου» σείδα 8 από 8