1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος Το τετράγωο του αθροίσματος δύο όρω είαι ίσο με το τετράγωο του πρώτου όρου συ το διπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τετράγωο του δεύτερου όρου δηλαδή: α β α α.β β Τετράγωο διαφοράς Το τετράγωο της διαφοράς δύο όρω είαι ίσο με το τετράγωο του πρώτου όρου μείο το διπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τετράγωο του δεύτερου όρου δηλαδή: α β α α.β β π. χ η ισότητα () είαι μια ταυτότητα γιατί για τη τιμή μας δίει ( ) δηλαδή 00 (αληθής). Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β 4y Έχουμε ότι: ( 4y) ( ) 4y ( 4y) 4 6y 6y Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α 5 και β Έχουμε ότι: ( 5 ) ( 5) Γεωμετρική ερμηεία της (α β) α αβ β H ταυτότητα (α β) α αβ β για θετικούς αριθμούς α και β ερμηεύεται και γεωμετρικά ως εξής. Το τετράγωο ΑΒΓΔ έχει πλευρά α β, οπότε το εμβαδό του είαι α α (ΑΒΓΔ) (α β) Το εμβαδό όμως του τετραγώου ΑΒΓΔ προκύπτει ακόμη κι α προσθέσουμε τα εμβαδά τω σχημάτω που το αποτελού. Δηλαδή (ΑΒΓΔ) α αβ αβ β ή β αβ (ΑΒΓΔ) α αβ β Από τις παραπάω ισότητες και προκύπτει ότι (α β) α αβ β Δ α A B αβ β β Γ

2 68 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Γιόμεο αθροίσματος επί διαφορά Το γιόμεο του αθροίσματος δύο όρω επί τη διαφορά τους είαι ίσο με το τετράγωο του μειωτέου της διαφοράς μείο το τετράγωο του αφαιρετέου της διαφοράς δηλαδή: α β α β α β Κύβος αθροίσματος Ο κύβος του αθροίσματος δύο όρω είαι ίσος με το κύβο του πρώτου ό- ρου συ το τριπλάσιο γιόμεο του τετραγώου του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τριπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το τετράγωο του δεύτερου όρου συ το κύβο του δεύτερου όρου δηλαδή: ( α β) α α β αβ β Κύβος διαφοράς Ο κύβος της διαφοράς δύο όρω είαι ίσος με το κύβο του πρώτου όρου μείο το τριπλάσιο γιόμεο του τετραγώου του πρώτου όρου επί το δεύτερο όρο συ το τριπλάσιο γιόμεο του πρώτου όρου επί το τετράγωο του δεύτερου όρου μείο το κύβο του δεύτερου όρου δηλαδή: ( α β) α α β αβ β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ισχύου i) αβγ α β γ αβαγβγ ii) iii) iv) α v) α ( α β γ) ( αβ γ) β β α α β β ( αβ)( α αββ ) ( α β)( α αββ ) γ γ αβ αγβγ αβ αγ βγ Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β Έχουμε ότι: ()()() 9 Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β y Έχουμε ότι: (y).y..(y) (y) 6 y.4y 8y 6 yy 8y Για παράδειγμα α θέσουμε στη ταυτότητα όπου α και β y Έχουμε ότι: (-) () - ()

3 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 69 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! α ± β α ± β, α ± β α ± β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι ταυτότητες ; α) 0 0 β) y 0 γ) α α α δ) ( ) 6 9 ε) α β 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα 0.0, 0. 0 κ.τ.λ. γ) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α. Είαι α. α α α. δ) Είαι ταυτότητα γιατί ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό. Είαι ( ) Όλες οι άλλες ισότητες δε είαι ταυτότητες. Για παράδειγμα η ισότητα y 0 για και y δε δίει άθροισμα μηδέ 5 0. Επίσης η ισότητα α.β0 για α και β- δε δίει γιόμεο μηδέ (-)- 0.. Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του ( α) είαι: α) α β) α α γ) α α δ) α α ii) To αάπτυγμά του (α ) είαι: α) α 4α β) 4α γ) 4α 4α δ) 4α α iii) To αάπτυγμά του (y ) είαι: α) y y 4 β) y 4 γ) y 4y 4 δ) y 4y 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα i) ( α) α α ( α β) α αβ β Είαι το δ. α α.α. ii) 4α 4α y - y..y iii) y 4y 4 ii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β) α αβ β Είαι το γ. iii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β Είαι το γ.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ), α είαι σωστές ή με ( Λ ), α είαι λαθασμέες. α) ( y) ( y) ( y) β) ( α β) α α β β γ) (5ω 4) 5ω 6 δ) ( y) y y ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ( y) -yy ( y) ( y) yy β) ( α β) (β-α) β -αβα α) παρατηρούμε ότι η πρώτη δε είαι σωστή (Λ) β) παρατηρούμε ότι η δεύτερη είαι σωστή (Σ) γ) παρατηρούμε ότι η τρίτη δε είαι σωστή

4 70 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α α β β (Λ) γ) (5ω 4) (5ω).5ω.44 5ω 40ω6 5ω 6 δ) ( y) () y y 4. Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του ( ) είαι α) β) γ) δ) ii) To αάπτυγμά του (β ) είαι α) β β β) β γ) β β β δ) β β β ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα i).... ii) β - β β. β. δ) παρατηρούμε ότι η τέταρτη είαι σωστή (Σ) ( α β) α α β αβ β οπότε είαι σωστή η γ i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα β 6β β 8 α β α α β αβ β οπότε είαι σωστή η δ 5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ), α είαι σωστές ή με ( Λ ), α είαι λαθασμέες. α) ( y) y y y β) () γ)( ) () () () δ) () 6 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α) y y y y ( ) ( ). ( )... ( -) ( ) ( )... ( ).. β ) γ) δ) Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση. i) To αάπτυγμά του (y )(y) είαι: α) y β) 9 y γ) y 9 δ) y ii) To αάπτυγμά του (y)(-y) είαι: α) y β) y γ) ( y) δ) y iii) To αάπτυγμά του (ω α)(ω α) είαι: α) ω α β) ω 4α γ) 4α ω δ) ω 4α ( α β) α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) β) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) γ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι λάθος (Λ) δ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β οπότε είαι σωστή (Σ)

5 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 7 iv) To αάπτυγμά του (5 )(5 5 ) είαι α) 5 β) 5 γ) 5 δ) 5 v) To αάπτυγμά του ( α)( α 4α ) είαι: α) α β) (α) γ) - α δ) 8α ΑΠΑΝΤΗΣΗ i) y - y y y ii) iii iv) v) 9 ( y )( y) ( y)( y) y )( ω α)( ω α) ω ( α) ω 4α ( 5 - )( 5 5 ) 5 ( α)( α 4α ) ( α) 8α i) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η γ. ii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η β. iii) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α β η δ. iv) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α αβ β σωστή η γ v) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α β α αβ β ( ) σωστή η δ 7. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα ατιστοιχίζοτας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αάπτυγμά της από τη στήλη Β Στήλη Α α. (y)(y ) β. (y) γ. (y ) δ. ( y)( y y ) ε. (y)( y y ) στ. ( y) Στήλη Β. y y. y. y y y 4. y 5. y y 6. y 7. y 8. y y y α 4 β 5 γ δ ε 7 στ 8 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( ) β) (y 5) γ) ( ω ) δ) (κ λ) ε) (y β) στ) ( ) ζ) (y y) η) ( ) θ) ( ) i ) ( y) 4 iα) α iβ) ω ω

6 7 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) β) ( ). 4 4 ( y 5) y.y.5 5 y 0y 5 ( ω ) ( ω).ω. γ) 4ω 4ω δ) κ λ κ.κ.λ ( λ) κ 4κλ 4λ ε) ( y β) ( y).y β ( β) 9y στ) ζ) y η) θ) ι) yβ 4β ( ) ( ) 4 ( y y) ( y ) 4 ( ) ( ).. ( ) 4 ( ) y 4 ( y ) ( ) y ( y ) 4 ιβ) ω ω ω 6 ω 8 ω ια) α α α 4 y y y 9 α 4 ω. ω y.y y α. 4 ω α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. β) Ομοίως αy, β5. γ) Ομοίως αω, β. δ) Ομοίως ακ, βλ. ε) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αy, ββ. στ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. ζ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αy, βy. η) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. θ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β. ι) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. α, β y. ια) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αα, β. ιβ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα αβ α αββ. αω, β. ω

7 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 7 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα ααπτύγματα: α) β) y 5 ε) θ) γ) ( ω ) δ) ( κ λ) ( y β) στ) ( ) ζ) ( y y) η) ( 5) ( - ) ι) ( y ) α) ( ) 6 9 β) (y 5) y _ 0y 5 γ) ( ω ) 9ω _ 6ω δ) ( κ λ) 4κ _ 4κλ λ ε) (y β) 9y _ yβ 4β στ) ( ) 4 _ 4 4 ζ) (y y) y 4_ y y η) ( 5) 4 4_ 0 5 θ) ( ) i ) ( y ) _ y y ια) α - ιβ) ω - iα) α α _ 9 ια) Ομοίως για αα και β α 4 iβ) ω ω _ 4 ιβ) Ομοίως για αω και β 4. ω ω ω ΑΣΚΗΣΗ Χρησιμοποιώτας τη κατάλληλη ταυτότητα α υπολογίσετε τις παραστάσεις α) ( ) β) ( 6 5) γ) ( ) δ ) ( 7 ) ω α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β. β) Ομοίως για αy και β5. γ) Ομοίως για αω και β. δ) Ομοίως για ακ και βλ. ε) Ομοίως για αy και ββ. στ) Ομοίως για α και β. ζ) Ομοίως για αy και βy. η) Ομοίως για α και β5. θ) Ομοίως για α και β. ι) Ομοίως για α και β y..

8 74 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) ( ) 4, β) ( 6 5) γ) ( ) _ 6, δ ) ( 7 ) _ _ 7. α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α αβ β. Για α, β. β) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β) α αβ β γ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β για α, β.. α 6, β 5. δ) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β για α, β 7. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να συμπληρώσετε τις ισότητες α) (...)... 9 β) ( _... 4) y : γ) (.. ) 6.. 8α δ) (... ω)... 4 ω..... α) ( ) 6 9 β) (y _ 4) y 8y6 γ) (4 α) 6-8α α δ) ( - ω) 4 4 ω 4ω Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες α β α αβ β ( α - β) α αβ β. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( ) β) (y4) γ) (α) δ) (αβ) ε) ( ) στ) (y y) ζ) ( ) η) (y 5) θ) (α ) i ) ( y) iα) (y ) i β) (ω ω) α) () β) (y4) y y 4y4 4 y y 48y64 γ) (α) (α) (α) (α) 8α (4α )6α8α α 6α δ) (αβ) (α) (α) (β)(α)(β) (β) 7α (9α )(β)(α)(4β )8β 7α 54α β6αβ 8β ε) ( ) ( ) ( ) α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα αβ α α βαβ β με α, β. β) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αy, β4. γ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αα, β. δ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα

9 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 75 στ) (y y) (y ) (y ) y y y y y 6 y 5 y 4 y. ζ) ( ) _ 6 _ 8 η) (y 5) y _ y 5 y 5 _ 5 y _ 5y 75y _ 5. θ) (α ) (α) _ (α) (α) _ 7α _ 7α 9α _. i ) ( y) () _ () (y) ()(y) _ (y) 8 _ 6 y 54y _ 7y. iα) (y ) (y ) _ (y ) y _ y 6 _ 6y 4 y _ 8. i β) (ω ω) (ω ) _ (ω ) (ω) ω (ω) _ (ω) ω 6 _ 6ω 5 ω 4 _ 8ω. ( α β) α α β αβ β με αα, ββ ε) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με α, β. στ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β α α β αβ β με αy, βy. ζ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με α, β. η) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με αy, β5. θ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α - β α α β αβ β με αα, β. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( )( ) β) (y )(y ) γ) ( ω)( ω) δ) ( 4)(4 ) ε) ( y) ( y) στ) ( y)( y) y ζ) (7y)( 7y) η) ( ) θ) ( y) α) ( )( ) _. β) (y )(y ) y _ y _ 4. γ) ( ω)( ω) _ ω 9 _ ω. δ) ( 4)(4 ) (4 )(4 ) 6 _. ε) ( y) ( y) ( _ y)[ _ ( y )] _ ( _ y)( y) _ ( _ y ) _ y. στ) ( y)( y) [ _ ( _ y)][ _ (y)] ( _ y)(y) _ y ζ) (7y)( 7y) () _ (7y) 4 _ 49y. η) ( )( ) _ ( ) _. y y ( ) _ ( y ) _ y θ) α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α β α - β α β με α, β β με αy, β. γ) με α, β ω. δ)με α4, β. ε) με α,βy αφού βγάλουμε κοιό παράγοτα το -. στ) με α,βy αφού βγάλουμε κοιό παράγοτα το - και από τις δύο παρεθέσεις. ζ) με α και β7y. η) με α και β θ) με α και β y

10 76 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να αποδείξετε ότι το πολυώυμο P() ( ) ( ) 0( )() είαι σταθερό. Είαι : P() ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ή P() _ _ 0( _ ) ή P() 0 0 _ δηλαδή σταθερό Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β, α β α - β α β ΑΣΚΗΣΗ 8 α) Να αποδείξετε ότι (α β)(α β)(α β )(α 4 β 4 ) α 8 β 8. β) Να υπολογίσετε το γιόμεο α) Θεωρούμε τη παράσταση : (α β)(α β)(α β )(α 4 β 4 ) (α _ β )(α β )(α 4 β 4 ) (α 4_ β 4 ) (α 4 β 4 ) α 8 _ β 8. β) Είαι : (0 )(0 )(00 )(0000 ) (0 )(0 )(0 )(0 4 ) 0 8 _ _ α) Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β με αα και ββ πρώτα και με αα 4 και ββ 4 κατόπι. β) Γράφουμε το 90- το 0 το 000 και το Παρατηρούμε ότι διαμορφώεται η ταυτότητα που αποδείξαμε στο πρώτο ερώτημα και τη χρησιμοποιούμε εφόσο τη αποδείξαμε. ΑΣΚΗΣΗ 9 Nα μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχου άρρητους παροομαστές, σε.ισοδύαμα κλάσματα με ρητούς παροομαστές. 6 5 α) β) γ) δ) α) 5 5 ( 5 )( 5 ) ( 5) β) 7 ( 6( 7 7 )( ) 7 ) α) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 5 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β. β) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 7 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα α β α - β α β.

11 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 77 6( 7 ) ( 7) 6( γ) ( ( δ) ( ) 6( 7 7 ( 7 ) ) ) 5( ) ( )( ) ) 5( ) 5( ( ( 6) 6) ( 6)( ( 6 6) 6) ( 6) ( 6 6). ΑΣΚΗΣΗ 0 Να βρείτε τα ααπτύγματα α) ( )( 9 ) β) (y )(y y 4) γ) (ω )(4ω ω ) δ) ( α)( α α ) ) 6) α) ( )( 9 ) ( _ )( ) 7 β) (y )(y y 4) (y)(y _ y ) y y 8 γ) (ω )(4ω ω ) (ω)[(ω) _ ω] (ω) 8ω δ) ( α)( α α ) _ α -α γ) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα α β α - β α β. για δ) Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με 6 για α εφαρμόσουμε τη ταυτότητα ( α β)( α - β) α β α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα. ( α β)( α αββ ) ( αβ)( α αββ ) ( αβ)( α αββ ) ( α β)( α αββ ) α β β) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β γ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β δ) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα α β Να κάετε τις πράξεις ΑΣΚΗΣΗ α) ( 4) ( 5) β) ( ) ( )( ) γ) (y) ( y)(y)( y) δ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4) ε) (α ) (α ) στ) (α ) (α )( α α 4) ζ) (α α) (α α) η) (4α ) α (8α )(8α )

12 78 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) ( 4) ( 5) _ 8 4 () β) ( ) ( )( ) ( ) [( ) _ ] _ 0 γ) (y) ( y)(y) ( y) y y _ [ _ (y) ]() _ 4y y y y _ 4y 4 _ 4y y 4 _ y 6y δ) ( 4) ( 4) ( 4)( 4) [( _ 4) _ ( 4)] ( _ 4 4) ( _ 8) 64 ε) (α ) (α ) (α) (α). (α) (α) _ (α) (α) _ 8α α 6α 8α _ α 6α 6α α στ) (α ) (α )( α α 4) α α α. _ (α )(α _ α ) α 6α α 8 _ (α ) α 6α α 8 _ α _ 8 6α α. ζ) (α α) (α α) (α ) (α ). α α. α α _ [(α ) _ (α ). α α. α _ α ] α 6 α 5 α 4 α _ α 6 α 5 _ α 4 α 6α 5 α. η) (4α ) α (8α )(8α ) (4α) _ (4α). (4α). α[(4α) _ ] 64α _ (6α ) α α(6α _ ) 64α _ (6α ) α 6α α 48α _ 48α α _ α) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β) α αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. β) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. γ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β) α αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. δ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω στ) ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β και α β ( αβ)( α αββ ) κάουμε ααγωγή όμοιω όρω ζ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω η) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες ( α - β) α α β αβ β ( α β)( α - β) α β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω Να αποδείξετε ότι ΑΣΚΗΣΗ α) ( y) ( y) y β)(α β) (αβ)(α-β) (α β) α 4β γ) ( )() ( )() 4 δ) (α β ) (αβ) (α β ) ε) (α 4) (α ) α (α 5) στ) ( ) () ( )

13 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 79 Θεωρούμε ατίστοιχα τις παραστάσεις : α) ( y) ( y) _ (y)(y) _ [() _ ()yy ] _ 4y 4y _ (4 _ 4y y ) _ 4y 4y _ 4 4y _ y y β)(α β) (αβ)(α-β) (α β) α _ α(β)(β) (α) _ (β) _ [(α) _ (α)β β ] α _ 6αβ 9β 9α _ 4β _ (9α _ 6αβ β ) 0α _ 6αβ 5β _ 9α 6αβ β α 4β γ) ( )() ( )() ( _ )( ) ( ) 4 4 δ) (α β ) (αβ) (α ) α β (β ) 4α β (α ) α β (β ) (α β ) ε) (α 4) (α ) α 8α (4 ) (α) α α 8α6(α) α9α [(α) 0α5] α [ (α) (α). 5 5 ] α (α 5) στ)θεωρούμε το ο μέλος της δοσμέης ισότητας : ( ) ( ) ( ) ( )() () () () Οπότε έχουμε : ( ) () σχέση () Θεωρούμε το ο μέλος της δοσμέης ισότητας : ( ) [( )] ( ) ( ) ( ) ( )() Παρόμοια έχουμε : ( ) σχέση () Από τις σχέσεις () και () οι οποίες έχου τα δεύτερα μέλη τους ίσα προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ). α) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α - β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. β) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τις ταυτότητες ( α - β) α αβ β ( α β)( α - β) α β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. γ) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τις ταυτότητες ( α β) α α β αβ β ( α β)( α - β) α β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. δ) ) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. ε) Ξεκιάμε από το πρώτο μέλος και χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα ( α β) α αβ β καταλήγουμε στο δεύτερο μέλος. στ) Δουλεύουμε και στα δύο μέλη και καταλήγουμε στη ίδια παράσταση άρα τα δύο μέλη είαι ίσα με τη ίδια παράσταση είαι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα) ΑΣΚΗΣΗ Α 5 και y 5, α υπολογίσετε τις παραστάσεις α) y β) y γ) y δ) y α) y ( 5 )( 5) ( 5) Ατικαθιστούμε τις τιμές τω, y που μας δώσαε.

14 80 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ β) y ( 5) ( 5). 5( 5) [. 5 ( 5) ] ( ) γ) y ( 5) ( 5). 5 ( 5). 5 ( 5) δ) y ( 5) ( 5). 5. ( 5) ( 5). 5. ( 5) ( 5) ΑΣΚΗΣΗ 4 α) Να αποδείξετε ότι 5 5 α α α α 0 Εφαρμόζουμε τις ταυτότητες α β α - β α β α) β) ( α β)( α - β) α β γ). ( α β) α αβ β δ) ( α β) α α β αβ β ( α - β) α α β αβ β β) Να υπολογίσετε το αριθμό α) Είαι : α α 5 α α 5 α 5 5 α α α α α 5 α 5 α α 5 0 α a a β) Επειδή έχουμε : , α) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες α - β α αβ β ( α β) α αβ β και κάουμε ααγωγή ομοίω όρω. β) Χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα του πρώτου ερωτήματος για α υπολογίσουμε τη αριθμητική παράσταση που μας δόθηκε. αφού σύμφωα με το ο ερώτημα της άσκησης το αποτέλεσμα είαι σταθερό και αεξάρτητο της μεταβλητής α

15 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ 5 Α το τρίγωο ΑΒΓ είαι ορθογώιο, α αποδείξετε ότι και το τρίγωο ΒΓΔ είαι ορθογώιο. ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ( ) ( 4 ) 9 5 ( 5 ) Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωο ΑΒΓ επειδή αυτό το τρίγωο είαι ορθογώιο. Για α είαι και το τρίγωο ΒΓΔ ορθογώιο θα πρέπει α βρούμε για το ΒΓ τη ίδια αλγεβρική παράσταση. Πράγματι α η ΒΓ θεωρηθεί κάθετη πλευρά στο ΒΓΔ τρίγωο με υποτείουσα τη ΒΔ βρίσκουμε τη ίδια αλγεβρική παράσταση. ΑΣΚΗΣΗ 6 Σκεφτείτε δύο αριθμούς διαφορετικούς από το μηδέ. Βρείτε το τετράγωο του αθροίσματός τους. Βρείτε το τετράγωο της διαφοράς τους. Αφαιρέστε τα δύο αποτελέσματα που βρήκατε. Διαιρέστε το τελικό αποτέλεσμα με το γιόμεο τω δύο αριθμώ που αρχικά σκεφτήκατε. Το αποτέλεσμα που βρήκατε είαι 4 αεξάρτητα από τους αριθμούς που επιλέξατε. Μπορείτε α το εξηγήσετε; Η εξήγησή του είαι αυτή που ακολουθεί. Εά συμβολίσουμε και y τους δύο αριθμούς που πρέπει α σκεφθούμε τότε.το τετράγωο του αθροίσματός τους είαι : ( y) y y Το τετράγωο της διαφοράς τους είαι : ( y) y y Η διαφορά τω δύο αυτώ αποτελεσμάτω είαι : ( y) ( y) ( y y ) ( y y ) y y y y 4y Το πηλίκο του αποτελέσματος αυτού δια του γιομέου τω δύο α- ριθμώ είαι : y y 4y 4 y y

16 8 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ( β γ) β γ α) Nα αποδείξετε ότι βγ. β) Να υπολογίσετε το εμβαδό ορθογωίου τριγώου, που έχει υποτείουσα 0 cm, και οι κάθετες πλευρές του διαφέρου κατά cm. ( β γ) β γ α) βγ βγ β γ ( β βγ γ ) βγ β γ β βγ γ βγ βγ ισχύει β) Το εμβαδό του ορθογωίου τριγώου είαι β γ ( β γ) β.γ E β γ ( β γ) α ( β γ) cm ΑΣΚΗΣΗ 8 Έας πατέρας μοίρασε έα οικόπεδο στα δύο παιδιά του, όπως φαίεται στο σχήμα.τα δύο οικόπεδα είχα το ίδιο εμβαδό ή κάποιο από τα παιδιά αδικήθηκε; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. E Ε ( α β)( α β) α β α β α) Κάουμε απαλοιφή παροομαστώ Εφαρμόζουμε τη ταυτότητα α - β α αβ β Κάουμε ααγωγή ομοίω όρω και προκύπτει μια αληθής ισότητα. β) Ατικαθιστούμε το βγ με το ίσο του από το συμπέρασμα του προηγούμεου ερωτήματος. Ατικαθιστούμε το άθροισμα τω τετραγώω τω δύο καθέτω πλευρώ με το α λόγω του πυθαγορείου θεωρήματος και τη διαφορά τω καθέτω πλευρώ με το αριθμό που μας δίει και κάουμε τις πράξεις. Το πρώτο παιδί πήρε οικόπεδο εμβαδού α -β όπως αυτό προκύπτει από το εμβαδό του ορθογωίου με διαστάσεις αβ και α-β.το δεύτερο παιδί πήρε οικόπεδο εμβαδού α -β όπως αυτό προκύπτει από το εμβαδό του τετραγώου με πλευρά α α αφαιρέσουμε το εμβαδό εός τετραγώου με πλευρά β. Άρα όπως φαίεται και τα δύο παιδιά πήρα το ίδιο εμβαδό και δε αδικήθηκε καέα.

17 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 8 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. (Αάλογο είαι το πρόβλημα 6 της σελίδας 50 του βιβλίου) Σκεφτείτε έα διψήφιο αριθμό και βρείτε το τετράγωο του. Βρείτε στη συέχεια το τετράγωο του αθροίσματος τω ψηφίω του αριθμού που σκεφτήκατε και αφαιρέστε τα δύο αποτελέσματα. Ο αριθμός που βρήκατε διαιρείται με το 9. Μπορείτε α το εξηγήσετε; Ας υποθέσουμε ότι ο διψήφιος είαι ο αριθμός. Βρίσκουμε το τετράγωό του που είαι 44. Στη συέχεια βρίσκουμε το τετράγωο του αθροίσματος τω ψηφίω του () 9. Αφαιρώτας τα δύο αποτελέσματα έχουμε το οποίο διαιρείται ακριβώς με το 9 (5:95). Η εξήγηση είαι η εξής: Έστω y ο διψήφιος αριθμός τότε σύμφωα με τη εκφώηση του προβλήματος έχουμε: 0 y y 00 0y y y y ( y) 99 8y 9 Άρα η τελευταία παράσταση διαιρείται ακριβώς με το 9.. Πόσα από το κάθε είδος τω διπλαώ σχημάτω πρέπει α χρησιμοποιήσετε για α σχηματίσετε έα τετράγωο με πλευρά: α),β) α) Όπως φαίεται από το διπλαό σχήμα θα χρειαστούμε έα τετράγωο πλευράς και έξι ορθογώια διαστάσεω, και εέα τετράγωα πλευράς. β) Όπως φαίεται από το διπλαό σχήμα θα χρειαστούμε τέσσερα τετράγωα πλευράς και τέσσερα ορθογώια διαστάσεω, και έα τετράγωο πλευράς.

18 84 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) Χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω έχουμε α) β) α) Να αποδείξετε ότι: , ( 05 95)( 05 95) ( )( ) ( - 8)( 8) ( 0-98)( 0 98) 4.00 ( )( ) , 4 4 β) Με βάση τις προηγούμεες ισότητες α συμπληρώσετε τη φράση: «Η διαφορά τω τετραγώω δύο φυσικώ αριθμώ ισούται με το.τω αριθμώ αυτώ». γ) Να συμπληρώσετε τη ισότητα: Χρησιμοποιώτας τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω έχουμε , ( )( ) ( 65 64)( ) 65 64, ( 4 )( 4 ) 4 4 β) Από τα παραπάω αποτελέσματα διαπιστώουμε ότι έχουμε πάτα διαφορά τετραγώω δύο διαδοχικώ φυσικώ αριθμώ και αυτή είαι πάτα ίση με το άθροισμά τους οπότε έχουμε: «Η διαφορά τω τετραγώω δύο διαδοχικώ φυσικώ αριθμώ ισούται με το άθροισμα τω αριθμώ αυτώ». γ) Σύμφωα με τις παραπάω διαπιστώσεις έχουμε:

19 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α) Να αποδείξετε τη ταυτότητα για β) Να αποδείξετε ότι κάθε περιττός αριθμός γράφεται ως διαφορά τετραγώω δύο αριθμώ. α) Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω. Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Απλοποιούμε τα κλάσματα β) Α είαι περιττός αριθμός τότε έχει τη μορφή κ με κ ακέραιο και χρησιμοποιώτας τις διαπιστώσεις του ερωτήματος α έχουμε: κ κ κ κ κ Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα της διαφοράς τετραγώω. Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Απλοποιούμε τα κλάσματα Χρησιμοποιούμε τη ταυτότητα (αβ) α αββ

20 86 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ 0 Α. Να συμπληρώσετε το πίακα ατιστοιχίζοτας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το αάπτυγμά της από τη στήλη Β. Στήλη Α α. (α4) β. (-4α) γ. (4α-)(4α) δ (α-)(α α) ε. (α-) Στήλη Β. α -. α -αα -. α 8α8 4. 4α α -α α- 6. α -8α6 7. 6α α 8α6 α β γ δ ε Β. Να αποδείξετε ότι α β α α β αβ β. ΘΕΜΑ 0 Να αποδείξετε ότι y y y y 9 4y. ΘΕΜΑ 0 Στο τρίγωο ΑΒΓ είαι ΑΓ4 -, ΑΒ4, ΒΓ4 Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ορθογώιο 4 B 4 A 4 - Γ

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ii. iv. x vi. 2x viii x. 3 2 xii. x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ii. iv. x vi. 2x viii x. 3 2 xii. x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: 6 6 8 4 i ii ii 6 iv 5 iii 4 4 vi 0 iv viii 6 4 6 v 6 9 6 vi ii vii iv 6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να βρείτε τα αναπτύγματα:

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

x. 8α 4 x 3-12α 3 x 2 + 6α 2 x 4-10α 2 x

x. 8α 4 x 3-12α 3 x 2 + 6α 2 x 4-10α 2 x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 1. Να γραφούν ως γινόμενο οι παραστάσεις: α+ 8 i α + 6β ii α + αβ i α - α α -α v β - β vi y - y vii - y v 5-10 vi α-9α vii - 6y +y. y - y 5-4. Να γραφούν ως γινόμενο οι παραστάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα, ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α ΟΜΑΔΑ. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: ι) ιν) ιι) y ιιι) 3 4 3 a 4 ν) ( +y 3 ) νι) (3y+) 4 y νιιι) (5αα +3β y) ι) 5 a ay 3 νιι) 3 4 5 3 ) (β-) ι) (3-7y) ιι) (5α-8βy) ιιι) (9-5) ιν)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : 1 Η Διδακτική ώρα : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα