Περιγραφική Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιγραφική Στατιστική"

Transcript

1 Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Μέτρα λοξότητας και κύρτωσης 9. Ποιοτικές μεταβλητές 9.3 Μεταβλητές διεύθυσης και κατεύθυσης 9.3. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω κυκλικώ δεδομέω 9.3. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα κυκλικώ δεδομέω 9.4 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω 9.5 Προβλήματα και ασκήσεις

2 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 96

3 Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής. Είαι επομέως χρήσιμο α τις δούμε και α τις αποσαφηίσουμε και με όρους Στατιστικής. Στο 5 ο Κεφάλαιο είδαμε ότι μια τυχαία μεταβλητή είαι μια πραγματική συάρτηση που παίρει τιμές με βάση μια τυχαία διαδικασία και πιο συγκεκριμέα, με βάση το αποτέλεσμα εός τυχαίου πειράματος. Επίσης, στο ο Κεφάλαιο εξηγήσαμε ότι το αποτέλεσμα εός τυχαίου πειράματος ααφέρεται/αφορά σε κάποιο κοιό χαρακτηριστικό τω υποκειμέω επί τω οποίω αυτό εκτελείται. Έτσι, στη Στατιστική, πρακτικά μια τυχαία μεταβλητή εκφράζει έα κοιό χαρακτηριστικό μιας ομάδας υποκειμέω (ατόμω, ατικειμέω, τόπω, φυτώ, κτλ.) το οποίο μεταβάλλεται από υποκείμεο σε υποκείμεο (ή και στο ίδιο υποκείμεο) και παίρει τιμές με βάση μια τυχαία διαδικασία. Κάθε υποκείμεο επί του οποίου μετράμε/παρατηρούμε τη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής οομάζεται απλό στοιχείο ή πειραματική/δειγματοληπτική μοάδα. Η καταομή τω τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής οομάζεται πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός. Τυχαίο δείγμα μεγέθους από έα πληθυσμό, δηλαδή, από τη καταομή τω τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, οομάζουμε αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X, X, K, X που παίρου τιμές από το πληθυσμό αυτό, που ακολουθού δηλαδή τη ίδια καταομή, αυτή της τ.μ. Χ. Οι συγκεκριμέες τιμές, x, x, K, x, της Χ που έχουμε διαθέσιμες για επεξεργασία μετά τη λήψη του δείγματος αποτελού μια πραγματοποίηση τω X, X, K, X και οομάζοται δεδομέα ή παρατηρήσεις. Ας δούμε όμως δύο παράδειγματα που θα μας βοηθήσου α αποσαφηίσουμε αυτές τις πολύ βασικές για τη συέχεια έοιες. Παράδειγμα 9.: Η πτυχιακή εργασία εός φοιτητή αφορούσε στα άθη μιας συγκεκριμέης ποικιλίας εός φυτού που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρησε, μεταξύ άλλω, το αριθμό τω πετάλω σε 5 άθη της συγκεκριμέης ποικιλίας που επέλεξε τυχαία από καλλιέργειες του ομού Κοζάης. Τα αποτελέσματα αυτώ τω μετρήσεω φαίοται στο Πίακα Πίακας 9. Οι αριθμοί πετάλω 5 αθέω συγκεκριμέης ποικιλίας που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης Προφαώς, η τυχαία μεταβλητή που μελέτησε ο φοιτητής εκφράζει το αριθμό τω πετάλω του άθους της συγκεκριμέης ποικιλίας φυτώ που καλλιεργείται στο ομό Όπως σημειώσαμε και στο εισαγωγικό ο Κεφάλαιο, συχά στη βιβλιογραφία ως δειγματοληπτική μοάδα ορίζεται έα σύολο απλώ στοιχείω, δηλαδή, στη βιβλιογραφία οι έοιες απλό στοιχείο και δειγματοληπτική μοάδα γεικά διακρίοται. Στο πλαίσιο του παρότος επιλέξαμε με το όρο δειγματοληπτική μοάδα α εοούμε όπως και με το όρο απλό στοιχείο κάθε υποκείμεο επί του οποίου μετράμε/παρατηρούμε τη τιμή μιας μεταβλητής. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 97

4 Κοζάης. Ας συμβολίσουμε αυτή τη τυχαία μεταβλητή με Χ. Τα 5 άθη που επέλεξε τυχαία από τις καλλιέργειες του ομού Κοζάης, αποτελού τις 5 δειγματοληπτικές μοάδες (απλά στοιχεία) από τις οποίες ατίστοιχα πήρε τις 5 τιμές x, x, K, x5 της Χ (του κοιού χαρακτηριστικού τους που μελέτησε) και οι οποίες φαίοται στο Πίακα 9.. Αυτές οι 5 τιμές αποτελού το συγκεκριμέο τυχαίο δείγμα τιμώ της Χ μεγέθους 5 με το οποίο εργάσθηκε. Ο πληθυσμός που μελέτησε ο φοιτητής, με βάση το τυχαίο δείγμα τιμώ που πήρε από αυτό, είαι η καταομή τω τιμώ της Χ, δηλαδή, αποτελείται από όλους τους αριθμούς πετάλω που ατιστοιχού σε όλα τα άθη όλω τω φυτώ της συγκεκριμέης ποικιλίας στο ομό Κοζάης και όχι από όλα τα άθη όλω τω φυτώ της συγκεκριμέης ποικιλίας στο ομό Κοζάης. Αάλογα, ως δείγμα δε εοούμε τα άθη που επέλεξε ο φοιτητής αλλά τις τιμές, x, x, K, x5, της μεταβλητής Χ που παρατήρησε σε αυτά και δίοται στο Πίακα 9.. Μπορεί επομέως, στη ίδια ομάδα υποκειμέω (δειγματοληπτικώ μοάδω) α ααφέροται διαφορετικοί πληθυσμοί. Α, για παράδειγμα, ο φοιτητής εδιαφέρεται α μελετήσει και το μήκος, έστω Υ, του μίσχου του άθους της συγκεκριμέης ποικιλίας φυτώ στο ομό Κοζάης, τότε πρόκειται για έα έο πληθυσμό που αποτελείται από όλα τα μήκη μίσχω όλω τω αθέω της συγκεκριμέης ποικιλίας φυτώ στο ομό Κοζάης που είαι έας διαφορετικός πληθυσμός από αυτό τω αριθμώ τω πετάλω παρότι και οι δύο ααφέροται στη ίδια ομάδα αθέω. Παράδειγμα 9.: Στο πλαίσιο μιας δημογραφικής έρευας που αφορούσε στις οικογέειες που κατοικού μόιμα στη επαρχία Γορτυίας του ομού Αρκαδίας, επελέγησα τυχαία οικογέειες από το σύολο τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη επαρχία Γορτυίας και για κάθε μια από αυτές καταγράφηκα, μεταξύ άλλω, το επάγγελμα πατέρα, το επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα, το μηιαίο οικογεειακό εισόδημα (σε ) και ο αριθμός παιδιώ της οικογέειας. Οι παρατηρήσεις που ελήφθησα φαίοται στο Πίακα 9.. Είαι προφαές ότι στο πλαίσιο της συγκεκριμέης έρευας, μελετήθηκα τέσσερις διαφορετικοί πληθυσμοί που όμως όλοι ααφέροται στο ίδιο σύολο υποκειμέω, στο σύολο όλω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη επαρχία Γορτυίας. Οι πληθυσμοί αυτοί είαι οι εξής: Ο πληθυσμός τω επαγγελμάτω τω πατεράδω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία, δηλαδή, η καταομή τω επαγγελμάτω τω πατεράδω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία. Ο πληθυσμός τω επιπέδω εκπαίδευσης τω πατεράδω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία, δηλαδή, η καταομή τω επιπέδω εκπαίδευσης όλω τω πατεράδω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία. Ο πληθυσμός τω μηιαίω οικογεειακώ εισοδημάτω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία, δηλαδή, η καταομή τω μηιαίω οικογεειακώ εισοδημάτω όλω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία. Ο πληθυσμός του αριθμού παιδιώ αά οικογέεια όλω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία, δηλαδή, η καταομή τω αριθμώ που δηλώου το πλήθος τω παιδιώ αά οικογέεια που κατοικεί μόιμα στη Γορτυία. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 98

5 Οικογέεια Επάγγελμα πατέρα x Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα y Μηιαίο οικογεειακό εισόδημα (σε ) w Αριθμός παιδιώ οικογέειας u Αγρότης 4 Κτηοτρόφος 45 3 Εργάτης 6 4 Δημ. Υπάλληλος Κτηοτρόφος 6 6 Αγρότης 7 Κτηοτρόφος Ιδιωτ. Υπάλληλος 4 9 Αγρότης 4 Εργάτης Άλλο 3 4 Αγρότης 3 Δάσκαλος Δημ. Υπάλληλος Ιδιωτ. Υπάλληλος Δάσκαλος 3 7 Εργάτης 8 8 Κτηοτρόφος 5 9 Άλλο 45 Κτηοτρόφος 6 Πίακας 9. Δημογραφικά δεδομέα οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη επαρχία Γορτυίας Οι παρατηρήσεις που φαίοται στο Πίακα 9., ελήφθησα από τις ίδιες, τυχαία επιλεγμέες, δειγματοληπτικές μοάδες, όμως αποτελού τέσσερα διαφορετικά τυχαία δείγματα τιμώ, τεσσάρω διαφορετικώ τυχαίω μεταβλητώ ατίστοιχα. Ας συμβολίσουμε αυτές τις τυχαίες μεταβλητές, που η κάθε μία εκφράζει έα από τα τέσσερα χαρακτηριστικά που μελετήθηκα στη έρευα, με Χ, Υ, W, και U, ατίστοιχα. Έτσι, τη συγκεκριμέη πραγματοποίηση του δείγματος από τη μεταβλητή επάγγελμα πατέρα τη συμβολίζουμε με x, x, K, x, από τη μεταβλητή επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα με y, y, K, y, από τη μεταβλητή μηιαίο οικογεειακό εισόδημα με w, w, K, w και από τη μεταβλητή αριθμός παιδιώ οικογέειας με u, u, K, u. Όπως ααφέραμε και στη εισαγωγή του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο), στη Στατιστική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα». Αυτό που κατ αρχάς απαιτείται είαι κατάλληλη επεξεργασία τους ώστε α μπορέσουμε α τα περιγράψουμε με συοπτικό και εύληπτο τρόπο για α καταοήσουμε τη καταομή τους. Μάλιστα, α αυτά έχου προκύψει από τυχαία δειγματοληψία, η περιγραφή της καταομής τους μας βοηθάει α αποκτήσουμε εμπειρική γώση για τη άγωστη καταομή από τη οποία προέρχοται και τη οποία εδιαφερόμαστε α μελετήσουμε 3. =Πρωτοβάθμια εκπαίδευση, =Δευτεροβάθμια εκπαίδευση, 3=Τριτοβάθμια εκπαίδευση και 4=Μεταπτυχιακές σπουδές. 3 Αξίζει α επισημάουμε ότι για τη εφαρμογή τω μεθόδω περιγραφικής στατιστικής δε είαι απαραίτητο τα δεδομέα α έχου προκύψει από πραγματοποίηση τυχαίου δείγματος. Αυτό απαιτείται στη στατιστική συμπερασματολογία. Όμως στη συέχεια, τόσο στη περιγραφική στατιστική όσο και στη στατιστική συμπερασματολογία, θα ααφερόμαστε σε δεδομέα από τυχαία δείγματα. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 99

6 Η αάγκη επεξεργασίας τω δεδομέω για τη περιγραφή της καταομής τους, προκύπτει αβίαστα α στο Παράδειγμα 9. παρατηρήσουμε τα δεδομέα που χρησιμοποίησε ο φοιτητής στη πτυχιακή του μελέτη. Τα παρουσιάσαμε όπως τα κατέγραψε ο φοιτητής, δηλαδή, χωρίς α έχει προηγηθεί κάποιου είδους επεξεργασία (raw data). Είαι προφαές ότι με αυτό το τρόπο παρουσίασης τω δεδομέω δύσκολα μπορούμε α απατήσουμε ακόμη και σε πολύ απλές ερωτήσεις σχετικές με τη καταομή τους όπως, ποιος αριθμός πετάλω (δηλαδή, ποια τιμή της μεταβλητής Χ) εμφαίσθηκε πιο συχά στο δείγμα, ποιο ποσοστό τω παρατηρήσεω είαι π.χ., μικρότερες του 7. Η Περιγραφική Στατιστική αυτή τη αάγκη καλύπτει. Μας προσφέρει μεθόδους επεξεργασίας τω δεδομέω για α μπορέσουμε, κατ αρχάς, και πρι προχωρήσουμε σε επαγωγικά συμπεράσματα για το πληθυσμό από το οποίο προέρχοται, α περιγράψουμε και α καταοήσουμε τη καταομή τους. Οι δυατότητες επεξεργασίας δεδομέω που μας προσφέρει μπορού α ταξιομηθού σε τρεις κατηγορίες: Πιακοποίηση Γραφικές ααπαραστάσεις Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα. Όπως θα διαπιστώσουμε, οι δυατότητες αυτές (σε πολλές περιπτώσεις) διαφοροποιούται αάλογα με το τύπο/είδος της μεταβλητής. Γι αυτό, θα τις παρουσιάσουμε αά τύπο μεταβλητής. Πρώτα για τις ποσοτικές μεταβλητές, στη συέχεια για τις ποιοτικές και τέλος για τις διεύθυσης και κατεύθυσης (κυκλικές) που αποτελού ειδική περίπτωση τω ποσοτικώ. 9. Ποσοτικές Μεταβλητές Ποσοτικές (quanttatve) είαι οι μεταβλητές που παίρου μόο αριθμητικές τιμές και διακρίοται σε συεχείς (contnuous) και διακριτές (dscrete). Συεχείς είαι οι ποσοτικές μεταβλητές που μπορού α πάρου ως τιμές τους όλους τους αριθμούς σε έα διάστημα πιθαώ τιμώ εώ διακριτές είαι οι ποσοτικές μεταβλητές που μπορού α πάρου ως τιμές τους μεμοωμέους/διακριτούς αριθμούς όπως,,,3, ή αλλιώς, το σύολο τω πιθαώ τιμώ τους είαι πεπερασμέο ή απείρως αριθμήσιμο. Η τυχαία μεταβλητή Χ (αριθμός πετάλω άθους) του Παραδείγματος 9. και η τυχαία μεταβλητή U (αριθμός παιδιώ οικογέειας) του Παραδείγματος 9. προφαώς είαι ποσοτικές διακριτές. Η τυχαία μεταβλητή W (μηιαίο οικογεειακό εισόδημα) του Παραδείγματος 9. θεωρείται ποσοτική διακριτή γιατί παρότι θεωρητικά μπορεί α πάρει ως τιμή της οποιοδήποτε αριθμό στο διάστημα [, + ), ετούτοις πρακτικά παίρει τιμές το πολύ με ακρίβεια λεπτού (cent). Για τις ποσοτικές μεταβλητές, η Περιγραφική Στατιστική προσφέρει τις ακόλουθες δυατότητες Κατασκευή πίακα (καταομής) συχοτήτω Το πρώτο που κάουμε μετά τη συγκέτρωση τω δεδομέω του δείγματος είαι α δούμε ποιες τιμές της μεταβλητής που μελετάμε και πόσο συχά η κάθε μια εμφαίσθηκα στο δείγμα. Ο πίακας συχοτήτω κατασκευάζεται για α ααδείξει με εύληπτο τρόπο αυτή τη πληροφορία. Ας δούμε πώς. Έστω x,, x, K x, έα τυχαίο δείγμα τιμώ μιας τυχαίας μεταβλητής X και ( k ) y, y, K, yk οι k διαφορετικές, μεταξύ τους, τιμές από τις x, x, K, x. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3

7 Ο πίακας (καταομής) συχοτήτω (frequency table) εός τυχαίου δείγματος τιμώ, x, x, K, x, μιας ποσοτικής μεταβλητής X, αποτελείται από τρεις στήλες. Στη πρώτη στήλη καταγράφοται σε αύξουσα σειρά οι k διαφορετικές τιμές της Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα, δηλαδή οι y, y, K, yk ( k ) και στις δύο επόμεες στήλες καταγράφοται ατίστοιχα. η συχότητα (frequency) εμφάισης,, κάθε τιμής y, =,, K, k, δηλαδή, πόσες φορές εμφαίσθηκε η ατίστοιχη τιμή, y, στο δείγμα και. η σχετική συχότητα (relatve frequency) εμφάισης, f, κάθε τιμής y, =,, K,k που ορίζεται από το λόγο f = ή f = %. Τα ζεύγη ( y, ), =,, K, k αποτελού τη καταομή συχοτήτω και τα ζεύγη ( y, f ), =,, K, k τη καταομή σχετικώ συχοτήτω τω τιμώ της Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα. Είαι προφαές ότι + + K+ k = και f + f + K + f k = (ή = % ). Ο πίακας συχοτήτω εός δείγματος τιμώ μιας ποσοτικής μεταβλητής, μπορεί α συμπληρωθεί με δύο ακόμη στήλες στις οποίες α καταγράφοται ατίστοιχα. η αθροιστική συχότητα (cumulatve frequency), N, κάθε τιμής y, =,, K,k που ορίζεται ως το άθροισμα τω συχοτήτω όλω τω τιμώ που είαι μικρότερες ή ίσες της y και. η αθροιστική σχετική συχότητα (cumulatve relatve frequency), F, κάθε τιμής y, =,, K, k που ορίζεται ως το άθροισμα τω σχετικώ συχοτήτω όλω τω τιμώ που είαι μικρότερες ή ίσες της y. Στα επόμεα, λέγοτας πίακας συχοτήτω θα θεωρούμε/εοούμε ότι περιλαμβάει και τις αθροιστικές συχότητες και τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, δηλαδή, ότι συολικά αποτελείται από πέτε στήλες. Ας δούμε δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 9.. (συέχεια του Παραδείγματος 9.): Ο Πίακας 9.. που ακολουθεί είαι ο πίακας συχοτήτω του τυχαίου δείγματος τιμώ της τυχαίας μεταβλητής Χ του Παραδείγματος 9. (αριθμός πετάλω του άθους συγκεκριμέης ποικιλίας φυτώ που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης). y Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3 f N F Σύολα 5. Πίακας 9.. Ο πίακας συχοτήτω του δείγματος από τη τυχαία μεταβλητή «αριθμός πετάλω του άθους συγκεκριμέης ποικιλίας που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης» του Παραδείγματος 9.

8 Παρατηρώτας το πίακα συχοτήτω, άμεσα διαπιστώουμε ότι οι τιμές της Χ που εμφαίσθηκα στο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής, είαι οι 5, 6, 7, 8, 9, και. Επίσης, πολύ εύκολα μπορούμε α δούμε, πόσο συχά εμφαίσθηκε κάθε μια από αυτές τις τιμές, ποιος αριθμός πετάλω εμφαίσθηκε πιο συχά (είαι η τιμή 5 και μάλιστα βλέπουμε ότι αποτελεί το 58.6% του δείγματος, δηλαδή, το 58.6% τω τιμώ του δείγματος είαι ίσες με 5), ποια από τις τιμές 6 και 7 εμφαίσθηκε πιο συχά (είαι η τιμή 6), επίσης βλέπουμε ότι οι συχότητες φθίου καθώς ο αριθμός τω πετάλω αυξάει, ότι οι τιμές 5 και 6 αποτελού το 8.87% του δείγματος, ότι ποσοστό 9.3% τω τιμώ του δείγματος δε ξεπερού τη τιμή 7 (δηλαδή, ότι το 9.3% τω αθέω που εξετάσθηκα είχα το πολύ μέχρι και 7 πέταλα και μάλιστα 5, 6 ή 7), κτλ. Ως γεικό συμπέρασμα για τη καταομή του τυχαίου δείγματος, δηλαδή για τη καταομή τω αριθμώ τω πετάλω τω 5 τυχαία επιλεγμέω αθέω, μπορούμε α πούμε ότι έα πολύ μεγάλο ποσοστό τω τιμώ του δείγματος συγκετρώεται στο αριστερό άκρο της καταομής και ότι οι συχότητες φθίου αυξαομέου του αριθμού τω πετάλω. Παρατηρώτας το Πίακα 9., όπου οι τιμές του δείγματος παρουσιάζοται όπως τις κατέγραψε ο φοιτητής, χωρίς α έχει προηγηθεί κάποια επεξεργασία (raw data), είαι προφαές ότι τέτοιου είδους πληροφορίες για τη καταομή του τυχαίου δείγματος δε μπορού α προκύψου με απλή παρατήρηση. Παράδειγμα 9.. (συέχεια του Παραδείγματος 9.): Ο Πίακας 9.. που ακολουθεί είαι ο πίακας συχοτήτω του τυχαίου δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιώ οικογέειας) του Παραδείγματος 9.. y Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3 f N F Σύολα. Πίακας 9.. Ο πίακας συχοτήτω του δείγματος από τη τυχαία μεταβλητή «αριθμός παιδιώ οικογέειας» του Παραδείγματος 9. Όπως και στο προηγούμεο παράδειγμα, από το πίακα συχοτήτω μπορούμε πλέο α πάρουμε άμεσα πληροφορίες για τη καταομή του δείγματος (ποιες τιμές εμφαίσθηκα, πόσο συχά, κτλ.). Ως γεικό συμπέρασμα για τη καταομή συχοτήτω αυτού του τυχαίου δείγματος, μπορούμε α πούμε ότι η τιμή παρουσιάζει τη μεγαλύτερη συχότητα και ότι αριστερά αυτής της τιμής οι συχότητες αυξάου αυξαομέου του αριθμού τω παιδιώ, εώ δεξιά αυτής της τιμής, οι συχότητες φθίου αυξαομέου του αριθμού τω παιδιώ. Παρατήρηση 9.. (εμπειρική εκτίμηση της συάρτησης πιθαότητας): Α θυμηθούμε το στατιστικό ορισμό της πιθαότητας, είαι προφαές ότι η καταομή σχετικώ συχοτήτω εός τυχαίου δείγματος τιμώ, x, x, K, x, από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, μας δίει μια εμπειρική εκτίμηση/προσέγγιση της συάρτησης πιθαότητας, f ( x) = P( X = x), της Χ. Για παράδειγμα, η καταομή σχετικώ συχοτήτω του τυχαίου δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιώ οικογέειας) του Παραδείγματος 9. (Πίακας 9..), μας δίει τις τιμές.,.,.5,. και., ως προσεγγιστικές τιμές, ατίστοιχα, τω πιθαοτήτω f ( ) = P( U = ), f ( ) = P( U = ), f ( ) = P( U = ), f ( 3) = P( U = 3),

9 f ( 4) = P( U = 4) (και για όλες τις άλλες πιθαές τιμές της U μας δίει προσεγγιστικές πιθαότητες μηδέ). Βέβαια, α πάρουμε έα άλλο τυχαίο δείγμα τιμώ της U, ακόμη και α είαι ιδίου μεγέθους, δε περιμέουμε α έχει ακριβώς ίδια καταομή σχετικώ συχοτήτω. Παρόλα αυτά, επειδή τα δείγματα είαι τυχαία, περιμέουμε οι καταομές σχετικώ συχοτήτω τους α είαι παρόμοιες με τη καταομή της U. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερου μεγέθους τυχαίο δείγμα παίρουμε τόσο η καταομή σχετικώ συχοτήτω του προσεγγίζει καλύτερα τη συάρτηση πιθαότητας f ( u) = P( U = u) της U. Α μάλιστα κατασκευάσουμε το πίακα συχοτήτω τω αριθμώ παιδιώ όλω τω οικογεειώ που κατοικού μόιμα στη Γορτυία τότε θα έχουμε προσδιορίσει επακριβώς τη συάρτηση πιθαότητας της U. Ομαδοποίηση τω δεδομέω Στα δύο προηγούμεα παραδείγματα κατασκευάσαμε το πίακα συχοτήτω δεδομέω που προέρχοται από διακριτές ποσοτικές μεταβλητές, μάλιστα, και στις δύο περιπτώσεις οι διαφορετικές τιμές, y, τω ατίστοιχω μεταβλητώ είαι λίγες (στο πρώτο παράδειγμα 6 διαφορετικές τιμές και στο δεύτερο 5 διαφορετικές τιμές). Ας δούμε έα παράδειγμα κατασκευής πίακα συχοτήτω δεδομέω που προέρχοται από μια συεχή ποσοτική μεταβλητή. Παράδειγμα 9..3: Στο Πίακα 9..3 φαίεται για κάθε μια από 5 τυχαία επιλεγμέες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, ο χρόος Χ (σε μήες), από τη πρώτη εκδήλωση μιας συγκεκριμέης ασθέειας από τη οποία είχα προσβληθεί, μέχρι τη επαεμφάισή της. (Πρόκειται για μια δύσκολα ατιμετωπίσιμη ασθέεια η οποία εώ θεραπεύεται, μετά από κάποιο χροικό διάστημα επαεμφαίζεται) Πίακας 9..3 Οι χρόοι επαεμφάισης (σε μήες) μιας ασθέειας σε 5 γαλακτοπαραγωγές αγελάδες Παρατηρούμε ότι οι διαφορετικές τιμές της Χ, δηλαδή τα y, που εμφαίσθηκα σε αυτό το τυχαίο δείγμα είαι πολλές. Η μικρότερη είαι η τιμή. και η μεγαλύτερη η 9.9. Είαι προφαές, ότι α οργαώσουμε αυτά τα δεδομέα σε πίακα συχοτήτω όπως στα δύο προηγούμεα παραδείγματα, δηλαδή, γράφοτας στη πρώτη στήλη, σε αύξουσα σειρά, όλες τις διαφορετικές τιμές y, ο πίακας θα έχει ελάχιστη πρακτική αξία αφού οι διαφορετικές τιμές είαι πολλές και με μικρή συχότητα η κάθε μια (οι περισσότερες έχου συχότητα η κάθε μία, δηλαδή εμφαίζοται φορά η κάθε μία). Σημειώουμε ότι αυτό είαι λογικό α συμβαίει σε συεχείς μεταβλητές, όμως πολλές διαφορετικές τιμές μπορεί επίσης α εμφαισθού και σε δείγματα από διακριτές μεταβλητές. Για αυτές τις περιπτώσεις, όπου στα δεδομέα εμφαίζοται πολλές διαφορετικές τιμές, είτε αυτές προέρχοται από συεχείς τυχαίες μεταβλητές είτε από διακριτές, η Περιγραφική Στατιστική, προτείει η κατασκευή του πίακα συχοτήτω α γίεται αφού πρώτα γίει ομαδοποίηση τω δεδομέω. Δηλαδή, α ταξιομούται τα δεδομέα σε k διαφορετικές ομάδες/κλάσεις (groups/class ntervals) και στη πρώτη στήλη του πίακα συχοτήτω α ααγράφοται όχι οι διαφορετικές τιμές που εμφαίσθηκα στο δείγμα αλλά οι k διαφορετικές κλάσεις τιμώ. Έτσι στη δεύτερη στήλη θα ααγράφεται πλέο η συχότητα κάθε κλάσης και στις επόμεες στήλες Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 33

10 ατίστοιχα η σχετική, η αθροιστική και η αθροιστική σχετική συχότητα κάθε κλάσης. Δηλαδή, ο πίακας συχοτήτω, σε αυτές τις περιπτώσεις, παρουσιάζει τις συχότητες κλάσεω τιμώ και όχι τιμώ. Προφαώς εοείται, αλλά το επισημαίουμε, ότι ο καθορισμός τω κλάσεω γίεται έτσι, ώστε κάθε τιμή α αήκει σε μια μόο κλάση. Γεώται, βέβαια, τρία βασικά ερωτήματα: σε πόσες κλάσεις ταξιομούμε τα δεδομέα, τι πλάτος πρέπει α έχει κάθε κλάση και α πρέπει όλες α είαι ίσου πλάτους ή μπορεί α έχου και άισα πλάτη. Στα ερωτήματα αυτά η Περιγραφική Στατιστική δε δίει μοοσήματες/αυστηρές απατήσεις. Κατ αρχάς, πρέπει α έχουμε υπόψη μας ότι ομαδοποιώτας τα δεδομέα, χάουμε κάποια από τη πληροφορία που περιέχεται στα αρχικά δεδομέα, και επομέως, όσο πιο λίγες και μεγάλου πλάτους κλάσεις κατασκευάσουμε τόσο περισσότερη πληροφορία χάουμε. Βέβαια, ο αριθμός και το πλάτος τω κλάσεω και το α θα επιλέξουμε αυτές α είαι ίσου ή άισου πλάτους, εξαρτώται από τη κλίμακα στη οποία θέλουμε α ααδείξουμε διαφορές και από το α θέλουμε και σε ποια διαστήματα α εστιάσουμε για μεγαλύτερη λεπτομέρεια της καταομής. Επίσης, ο αριθμός και το πλάτος τω κλάσεω εξαρτώται και από το μέγεθος του δείγματος,. Μάλιστα, στη βιβλιογραφία προτείεται ο τύπος k = log ( ) γωστός ως τύπος του Sturges, ο οποίος δίει το αριθμό τω κλάσεω k ως συάρτηση του μεγέθους του δείγματος και μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως έας οδηγός για τη επιλογή κατάλληλου αριθμού κλάσεω. Ααφέρουμε τέλος, ότι συήθως, οι κλάσεις επιλέγουμε α είαι του ίδιου πλάτους. Όμως για όλες αυτές τις αποφάσεις, ιδιαίτερη αξία και καθοριστική σημασία έχει η εμπειρία του ερευητή. Α αποφασίσουμε οι κλάσεις α έχου ίδιο πλάτος, έστω r, αυτό υπολογίζεται διαιρώτας το εύρος τω δεδομέω, R = x max xmn, με το αριθμό τω κλάσεω k. Δηλαδή, R xmax xmn r = =. k k Όλες οι κλάσεις ορίζοται ως ημιαοικτά διαστήματα της ίδιας μορφής [α, β) ή (α, β]. Ο καθορισμός τους, δηλαδή η επιλογή του αριστερού άκρου της πρώτης κλάσης, γίεται έτσι ώστε η πρώτη κλάση α περιέχει τη μικρότερη τιμή που εμφαίσθηκε στο δείγμα, x mn, και η τελευταία τη μεγαλύτερη, x max. Φροτίζουμε επίσης, α μη συμπίπτου τιμές του δείγματος με άκρα κλάσεω (χωρίς όμως α είαι απαραίτητο). Παράδειγμα 9..4 (συέχεια του Παραδείγματος 9..3): Ο Πίακας 9..4 που ακολουθεί είαι ο πίακας συχοτήτω τω δεδομέω του Πίακα 9..3 ομαδοποιημέω σε επτά κλάσεις, πλάτους.5 μήες η κάθε μια. Χρόος Επαεμφάισης [..5).4.4 [.5 3.) [3. 4.5) [4.5 6.) [6. 7.5) [7.5 9.) [9..5). 5. Σύολα 5. Πίακας 9..4 Ο πίακας συχοτήτω τω τιμώ του δείγματος από τη μεταβλητή «χρόος επαεμφάισης μιας ασθέειας σε γαλακτοπαραγωγές αγελάδες» του Παραδείγματος 9..3, ομαδοποιημέω σε επτά κλάσεις Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 34 f N F

11 Το αριθμό τω κλάσεω το επιλέξαμε με βάση το τύπο του Sturges k = log (5) = και το πλάτος, r, υπολογίσθηκε από το τύπο R xmax xmn 9.9. r = = = =.39.5 μήες. k k 7 Ως αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης πήραμε το μηδέ και τα διαστήματα ημιαοιχτά από δεξιά. Να σημειώσουμε ότι α για το υπολογισμό του k ή του r κάουμε στρογγυλοποιήσεις, αυτές πρέπει α γίοται προς τα πάω ώστε α διασφαλίζουμε ότι οι κλάσεις που θα δημιουργηθού θα καλύπτου όλα τα δεδομέα. Παρατηρούμε ότι το 68% τω τιμώ του δείγματος συγκετρώεται στις δύο πρώτες κλάσεις, δηλαδή, στο 68% τω 5 αγελάδω στις οποίες έγια μετρήσεις, ο χρόος επαεμφάισης της ασθέειας ήτα μικρότερος από 3 μήες, μάλιστα, στο 4% η ασθέεια επαεμφαίσθηκε πρι συμπληρωθού.5 μήες από τη πρώτη εμφάισή της. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι συχότητες φθίου καθώς ο χρόος επαεμφάισης της όσου αυξάει. Σε έα ποσοστό 6% τω αγελάδω, η όσος επαεμφαίσθηκε μετά από 7.5 ή και περισσότερους μήες. Ως γεικό συμπέρασμα για τη καταομή αυτού του τυχαίου δείγματος, δηλαδή για τη καταομή τω χρόω επαεμφάισης της όσου στις 5 τυχαία επιλεγμέες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, μπορούμε α πούμε ότι έα πολύ μεγάλο ποσοστό, 68%, τω τιμώ του δείγματος συγκετρώεται στο αριστερό άκρο της καταομής, στο διάστημα [ 3) μήες, και ότι οι συχότητες φθίου αυξαομέου του χρόου. Παράδειγμα 9..5 (συέχεια του Παραδείγματος 9.): Ο Πίακας 9..5 που ακολουθεί είαι ο πίακας συχοτήτω τω τιμώ του δείγματος από τη μεταβλητή μηιαίο οικογεειακό εισόδημα του Παραδείγματος 9., ομαδοποιημέω σε 6 κλάσεις πλάτους η κάθε μια. Εισόδημα [9 ).5.5 [ 3) [3 5) [5 7) [7 9) [9 ).. Σύολα. Πίακας 9..5 Ο πίακας συχοτήτω τω τιμώ του δείγματος από τη μεταβλητή «μηιαίο οικογεειακό εισόδημα» του Παραδείγματος 9. ομαδοποιημέω σε 6 κλάσεις Από το Πίακα 9..5, ως γεικό συμπέρασμα για τη καταομή του τυχαίου δείγματος τω μηιαίω οικογεειακώ εισοδημάτω τω τυχαία επιλεγμέω οικογεειώ, μπορούμε α πούμε ότι το 5% τω τιμώ του δείγματος συγκετρώεται σε έα κετρικό διάστημα τιμώ, συγκεκριμέα στο διάστημα, [3 7) με τη κλάση [3 5) α έχει τη μεγαλύτερη συχότητα και τις συχότητες αριστερά αυτής της κλάσης α αυξάου αυξαομέου του εισοδήματος εώ δεξιά αυτής της κλάσης, αυξαομέου του εισοδήματος, α φθίου. Παρατήρηση 9..: α) Είαι προφαές, όμως το επισημαίουμε, ότι η καταομή συχοτήτω (και σχετικώ και αθροιστικώ) επηρεάζεται από τη επιλογή τω κλάσεω. β) Παρατηρείστε ότι από το πίακα συχοτήτω ομαδοποιημέω Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 35 f N F

12 δεδομέω (όπως οι Πίακες 9..4 & 9..5) δε μπορούμε α συμπεράουμε α και πόσες φόρες μια συγκεκριμέη τιμή εμφαίσθηκε στο δείγμα. γ) Η καταομή σχετικώ συχοτήτω εός τυχαίου δείγματος από συεχή τυχαία μεταβλητή που προκύπτει μετά από ομαδοποίηση, συδέεται με τη συάρτηση πυκότητας της τυχαίας μεταβλητής. Στο θέμα αυτό θα ααφερθούμε στη συέχεια, αφού πρώτα μιλήσουμε για το ιστόγραμμα. Ας δούμε τώρα ποιες δυατότητες γραφικής παρουσίασης δεδομέω προσφέρει η Περιγραφική Στατιστική για ποσοτικές μεταβλητές. 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω Για τη περιγραφή της καταομής δεδομέω από μια ποσοτική μεταβλητή, η Περιγραφική Στατιστική, μας προσφέρει πολλές δυατότητες γραφικής παρουσίασής της. Στη συέχεια θα παρουσιάσουμε αρκετές από αυτές. Κυρίως, θα προσπαθήσουμε α εξηγήσουμε πώς «διαβάζουμε» έα διάγραμμα γραφικής ααπαράστασης της καταομής τω δεδομέω, δηλαδή, πώς το ερμηεύουμε και τι μπορούμε α συμπεράουμε για τη καταομή τω δεδομέω από αυτό. Θα ααφερθούμε βέβαια και στη κατασκευή τους, όμως όπως ααφέραμε και στο εισαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο), αυτό είαι πλέο πολύ εύκολο α γίει με χρήση κατάλληλου λογισμικού (αρκεί βέβαια α ξέρουμε τι ζητάμε από το λογισμικό) και γι αυτό θα επιμείουμε στη ερμηεία τους. Ειδικότερα, θα ααφερθούμε στα ακόλουθα διαγράμματα. Σημειόγραμμα Ραβδόγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω και ατίστοιχα, σχετικώ συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Πολύγωο συχοτήτω και ατίστοιχα, σχετικώ συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Φυλλογράφημα Θηκόγραμμα. Τους τρόπους γραφικής παρουσίασης τω δεδομέω, επιλέξαμε α τους παρουσιάσουμε μέσω παραδειγμάτω. Να σημειώσουμε, ότι το Θηκόγραμμα θα το παρουσιάσουμε αργότερα, αφού πρώτα μιλήσουμε για τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα. Παράδειγμα 9..6 (σημειόγραμμα, ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα και διάγραμμα συχοτήτω): Στα τέσσερα σχήματα που ακολουθού φαίοται τέσσερις διαφορετικές γραφικές ααπαραστάσεις/απεικοίσεις της καταομής του δείγματος από τη μεταβλητή U (αριθμός παιδιώ οικογέειας) του Παραδείγματος 9.. Στο Σχήμα 9..α φαίεται η καταομή συχοτήτω του δείγματος ως σημειόγραμμα (dot dagram) εώ στα Σχήματα 9..β,γ,δ φαίεται η καταομή σχετικώ συχοτήτω του δείγματος ως ραβδόγραμμα (barchart), κυκλικό διάγραμμα (pechart) και διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω (lne dagram), ατίστοιχα. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 36

13 (α) Σημειόγραμμα (β) Ραβδόγραμμα (γ) Κυκλικό διάγραμμα (δ) Διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω Σχήματα 9.. Γραφική ααπαράσταση της καταομής του δείγματος από τη μεταβλητή «αριθμός παιδιώ οικογέειας» του Παραδείγματος 9. Και οι τέσσερις γραφικές απεικοίσεις, δίου μια πιο παραστατική και πιο ευκριή εικόα της καταομής του δείγματος από αυτή που δίει ο πίακας συχοτήτω. Βέβαια, δε μας δίου περισσότερη ή διαφορετική πληροφορία από αυτή που μας δίει ο πίακας συχοτήτω, γιατί απλούστατα κατασκευάσθηκα με βάση τη πληροφορία που παίρουμε από αυτό και αυτή τη πληροφορία απεικοίζου γραφικά. Όμως δίου αυτή τη πληροφορία πιο παραστατικά και, λογικά, τη κάου πιο εύκολα καταοητή. Ιδιαίτερα, συμπεράσματα που αφορού τη μορφή και τη θέση της καταομής, προκύπτου με πιο άμεσο και προφαή τρόπο και χωρίς α απαιτείται ιδιαίτερη εμπειρία. Θυμηθείτε το γεικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε ότα σχολιάσαμε το ατίστοιχο πίακα συχοτήτω (Πίακας 9..) και παρατηρείστε πόσο άμεσα και αβίαστα προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από το σημειόγραμμα ή από το ραβδόγραμμα ή από το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Παρατηρείστε επίσης, ότι είαι πλέο ευδιάκριτη μια εμφαής συμμετρία της καταομής γύρω από τη τιμή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη συχότητα. Ο τρόπος κατασκευής τω διαγραμμάτω αυτώ, είαι προφαής και απλός. Στο σημειόγραμμα, απεικοίζουμε τα δεδομέα ως κουκίδες στις ατίστοιχες θέσεις εός οριζότιου άξοα. Στο ραβδόγραμμα, απεικοίζουμε τις συχότητες ή τις σχετικές συχότητες τω διαφορετικώ τιμώ y, =,, K, k, ως ύψη ορθογωίω που σχεδιάζουμε στις ατίστοιχες θέσεις του οριζότιου άξοα. Τα ορθογώια έχου ίδιο πλάτος βάσης που επιλέγουμε αυθαίρετα. Επίσης, το ραβδόγραμμα μπορεί α σχεδιασθεί με οριζότιο, ατί κατακόρυφο, προσαατολισμό. Στο διάγραμμα συχοτήτω (ή σχετικώ συχοτήτω), απεικοίζουμε τις συχότητες (ατίστοιχα τις σχετικές συχότητες) τω διαφορετικώ τιμώ y, =,, K, k όπως και στο ραβδόγραμμα, με τη διαφορά ότι στις θέσεις τω y χαράσσουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ατί ορθογωίω. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 37

14 Στο κυκλικό διάγραμμα, απεικοίζουμε τις συχότητες ή τις σχετικές συχότητες τω διαφορετικώ τιμώ y, =,, K, k με έα διαφορετικό τρόπο. Πρόκειται για έα κυκλικό δίσκο χωρισμέο σε k κυκλικούς τομείς, έα για κάθε y, τα τόξα τω οποίω, έστω ϕ, είαι αάλογα με τις ατίστοιχες συχότητες και σχετικές συχότητες. Συγκεκριμέα, 36 ϕ = = 36 f, =,, K, k. Παρατηρήσεις 9..3: α) Το κυκλικό διάγραμμα και το σημειόγραμμα είαι αποτελεσματικά/χρήσιμα ότα οι διαφορετικές τιμές, y, της μεταβλητής που εμφαίζοται στο δείγμα είαι λίγες, διαφορετικά γίοται «δυσαάγωστα» και επομέως, χωρίς πρακτική αξία. β) Το ραβδόγραμμα (αλλά και το κυκλικό διάγραμμα), χρησιμοποιείται και για δεδομέα από ποιοτικές μεταβλητές. Μάλιστα, στη βιβλιογραφία αλλά και στα στατιστικά πακέτα, σε πολλές περιπτώσεις, το ραβδόγραμμα προτείεται μόο για ποιοτικά δεδομέα και όχι για ποσοτικά. Ατίθετα, άλλοι συγγραφείς, για διακριτά ποσοτικά δεδομέα προτείου μόο το ραβδόγραμμα και δε ααφέροται στο διάγραμμα συχοτήτω. Η άποψη μας είαι ότι α κρίουμε ότι το ραβδόγραμμα θα βοηθήσει αυτούς στους οποίους απευθύεται α καταοήσου τη καταομή τω δεδομέω, τότε μπορεί α χρησιμοποιείται και ότα τα δεδομέα προέρχοται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή. Όμως, όχι ατί του διαγράμματος συχοτήτω αλλά συμπληρωματικά. γ) Το διάγραμμα συχοτήτω (ή σχετικώ συχοτήτω) κατασκευάζεται για δεδομέα που προέρχοται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή. Α τα δεδομέα προέρχοται από συεχή ποσοτική μεταβλητή ατί του διαγράμματος συχοτήτω (ή σχετικώ συχοτήτω) κατασκευάζεται το ατίστοιχο ιστόγραμμα ή/και το φυλλογράφημα τα οποία όπως θα δούμε κατασκευάζοται και για δεδομέα που προέρχοται από διακριτή ποσοτική μεταβλητή. δ) Tο διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω εός τυχαίου δείγματος τιμώ, x, x, K, x, από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, μας δίει μια εμπειρική/προσεγγιστική εικόα του διαγράμματος πιθαοτήτω της τυχαίας μεταβλητής Χ. Στο Σχήμα 9.. φαίεται το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω της καταομής του τυχαίου δείγματος του Παραδείγματος 9.. Και στο παράδειγμα αυτό, διαπιστώουμε ότι από το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω, άμεσα προκύπτει το γεικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε για τη καταομή αυτού του τυχαίου δείγματος ότα σχολιάσαμε το ατίστοιχο πίακα συχοτήτω (Πίακας 9..). Μπορούμε επίσης α κατασκευάσουμε και το κυκλικό διάγραμμα αλλά και το σημειόγραμμα γιατί οι διαφορετικές τιμές που εμφαίσθηκα στο τυχαίο δείγμα είαι λίγες (δείτε το ως άσκηση). Σχήμα 9.. Το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω της καταομής του δείγματος από τη τ.μ. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 38

15 «αριθμός πετάλω τω αθέω συγκεκριμέης ποικιλίας που καλλιεργείται στο ομό Κοζάης» του Παραδείγματος 9. Παράδειγμα 9..7 (ιστογράμματα): Ας δούμε πώς μπορούμε α παρουσιάσουμε γραφικά τη καταομή του τυχαίου δείγματος του Παραδείγματος 9..3 (χρόοι επαεμφάισης της ασθέειας). Οι διαφορετικές τιμές, y, της μεταβλητής Χ που εμφαίσθηκα στο δείγμα είαι πολλές και επομέως δε έχει πρακτική αξία α κατασκευάσουμε το σημειόγραμμα ή το κυκλικό διάγραμμα του δείγματος. Ότα το τυχαίο δείγμα προέρχεται από συεχή ποσοτική μεταβλητή, όπως στο παράδειγμά μας, για τη γραφική παρουσίαση της καταομής του εδείκυται τα ιστογράμματα, τα πολύγωα συχοτήτω και το φυλλογράφημα (είτε οι διαφορετικές τιμές είαι πολλές είτε είαι λίγες). Στα Σχήματα 9..3 φαίεται η καταομή του τυχαίου δείγματος του παραδείγματός μας ως ιστόγραμμα (hstogram) και πολύγωο (polygon) συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω, ατίστοιχα. (α) Ιστόγραμμα και πολύγωο συχοτήτω (β) Ιστόγραμμα και πολύγωο σχετικώ συχοτήτω (γ) Ιστόγραμμα και πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (δ) Ιστογραμμα και πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω Σχήματα 9..3 Γραφική ααπαράσταση της καταομής του δείγματος από τη μεταβλητή «χρόος επαεμφάισης μιας ασθέειας σε γαλακτοπαραγωγές αγελάδες» του Παραδείγματος Τα ιστογράμματα κατασκευάζοται για τη γραφική παρουσίαση/ααπαράσταση της πληροφορίας που παίρουμε από έα πίακα συχοτήτω ομαδοποιημέω δεδομέω. Για α κατασκευάσουμε έα ιστόγραμμα, σημειώουμε στο οριζότιο Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 39

16 άξοα εός ορθογωίου συστήματος αξόω, με κατάλληλη κλίμακα, τα άκρα τω κλάσεω, και στα διαδοχικά διαστήματα που ορίζου αυτά, υψώουμε διαδοχικά ορθογώια. Κάθε ορθογώιο σχεδιάζεται έτσι ώστε, το εμβαδό του α είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης α πρόκειται για το ιστόγραμμα συχοτήτω, ή με τη σχετική συχότητα της ατίστοιχης κλάσης α πρόκειται για το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, ή με τη αθροιστική συχότητα της ατίστοιχης κλάσης α πρόκειται για το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω, ή με τη αθροιστική σχετική συχότητα της ατίστοιχης κλάσης α πρόκειται για το ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Α στο ιστόγραμμα συχοτήτω, αριστερά της πρώτης κλάσης και δεξιά της τελευταίας, θεωρήσουμε από μία υποθετική κλάση με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα τω πάω βάσεω τω ορθογωίω, δημιουργείται το πολύγωο συχοτήτω. Ομοίως δημιουργείται το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω (από το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω). Το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω δημιουργούται α στα ατίστοιχα ιστογράμματα, εώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα δεξιά άκρα τω πάω βάσεω τω ορθογωίω. Στο ιστόγραμμα συχοτήτω, το συολικό εμβαδό τω ορθογωίω προφαώς είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, και ατίστοιχα, στο ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω είαι ίσο με (ή με ). Επίσης, το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ του πολυγώου συχοτήτω (ατίστοιχα, σχετικώ συχοτήτω) και του οριζότιου άξοα είαι ίσο με (ατίστοιχα, ίσο με ή με ). Σε ότι αφορά στα ύψη τω ορθογωίω, προφαώς πρέπει α είαι τέτοια ώστε τα εμβαδά τους α είαι ίσα με τις ατίστοιχες συχότητες/σχετικές συχότητες. Έτσι, στο ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, το ύψος κάθε ορθογωίου υπολογίζεται α διαιρέσουμε τη σχετική συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, δηλαδή το ποσοστό τω δεδομέω στη ατίστοιχη κλάση, με το πλάτος της κλάσης. Επομέως, το ύψος κάθε ορθογωίου εκφράζει το ποσοστό της συγκέτρωσης δεδομέω στη ατίστοιχη κλάση, αά μοάδα του οριζότιου άξοα, δηλαδή εκφράζει πυκότητα, και γι αυτό αυτή η κλίμακα απεικόισης οομάζεται κλίμακα πυκότητας (densty scale). Στη περίπτωση που όλες οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος, όπως στο παράδειγμά μας, συηθίζεται α κάουμε το εξής «trck». Ως μοάδα μέτρησης της μεταβλητής στο οριζότιο άξοα θεωρούμε το πλάτος τω κλάσεω. Με αυτό το τρόπο, και τα εμβαδά αλλά και τα ύψη τω ορθογωίω είαι ίσα με τις ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Επομέως, στη περίπτωση αυτή, το ύψος κάθε ορθογωίου εκφράζει το ποσοστό της συγκέτρωσης δεδομέω στη ατίστοιχη κλάση. Το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω του παραδείγματος μας (Σχήμα 9..3β), με αυτό το τρόπο σχεδιάσθηκε. Θεωρήσαμε ως μοάδα στο οριζότιο άξοα όχι το μήα αλλά τους.5 μήες και έτσι τα ύψη τω ορθογωίω είαι ίσα με τις σχετικές συχότητες τω ατίστοιχω κλάσεω, όπως τα εμβαδά, δηλαδή είαι ίσα (από αριστερά προς τα δεξιά) με 4%, 6%, %, 8%, 6%, 4% και % ατίστοιχα, γι αυτό και στο κατακόρυφο άξοα γράφουμε «Σχετικές Συχότητες (%)». Α χρησιμοποιούσαμε κλίμακα πυκότητας τα ύψη θα ήτα, ατίστοιχα, ίσα με 8%, 7.3%, 8%, 5.3%, 4%,.7% και.3% και τα εμβαδά θα ήτα και πάλι ίσα με 4%, 6%, %, 8%, 6%, 4% και % όμως δε θα προέκυπτα με απλή αάγωση του κατακόρυφου άξοα αλλά κάοτας τους ατίστοιχους πολλαπλασιασμούς Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3

17 ( 8.5, κτλ.). Στη περίπτωση αυτή, στο κατακόρυφο άξοα θα γράφαμε «Σχετικές Συχότητες αά μήα (%)». Αάλογα, μπορούμε α εργασθούμε για τη κατασκευή και τω άλλω τύπω ιστογράμματος. Όμως, επααλαμβάουμε, μπορούμε α κάουμε αυτό το «trck» που μας διευκολύει και στη κατασκευή αλλά και στη αάγωση του ιστογράμματος μόο ότα οι κλάσεις είαι του ιδίου πλάτους. Και τα τέσσερα ιστογράμματα, δίου μια πιο παραστατική και πιο ευκριή εικόα της καταομής του δείγματος από αυτή του πίακα συχοτήτω. Βέβαια, όπως και οι γραφικές παρουσιάσεις μη ομαδοποιημέω δεδομέω, τα ιστογράμματα δε μας δίου περισσότερη ή/και διαφορετική πληροφορία από αυτή που μας δίει ο πίακας συχοτήτω, γιατί απλούστατα κατασκευάζοται με βάση τη πληροφορία που παίρουμε από αυτό και αυτή τη πληροφορία απεικοίζου γραφικά. Όμως δίου αυτή τη πληροφορία πιο παραστατικά. Έτσι, από τα ιστογράμματα, για παράδειγμα, τω σχετικώ και τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω, μπορούμε πολύ εύκολα α πάρουμε το ποσοστό τω τιμώ του δείγματος που βρίσκοται μεταξύ τω άκρω μιας κλάσης ή μιας ομάδας διαδοχικώ κλάσεω ή αριστερά/δεξιά εός άκρου μιας κλάσης. Ιδιαίτερα, συμπεράσματα που αφορού τη μορφή και τη θέση της καταομής, προκύπτου με πιο άμεσο και προφαή τρόπο και χωρίς α απαιτείται ιδιαίτερη εμπειρία. Θυμηθείτε το γεικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε ότα σχολιάσαμε το ατίστοιχο πίακα συχοτήτω (Πίακας 9..4) και παρατηρείστε πόσο άμεσα και αβίαστα προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από τα ιστογράμματα. Παρατηρείστε επίσης, ότι είαι πιο ευδιάκριτη μια εμφαής ασυμμετρία της καταομής. Πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και συάρτηση πυκότητας Στα προηγούμεα, είδαμε ότι το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω εός τυχαίου δείγματος τιμώ μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής αποτελεί μια προσέγγιση του διαγράμματος πιθαοτήτω της τυχαίας μεταβλητής. Είαι λογικό, α περιμέουμε α συμβαίει κάτι αάλογο, με το ιστόγραμμα και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω εός τυχαίου δείγματος τιμώ μιας συεχούς τυχαίας μεταβλητής και τη συάρτηση πυκότητάς της. Πράγματι, το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω αποτελεί μια εκτίμηση/προσέγγιση της γραφικής παράστασης της συάρτησης πυκότητας. Θυμηθείτε ότι ότα στο Α Μέρος μιλήσαμε για τη συάρτηση πυκότητας, f, μιας συεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, είδαμε ότι οι πιθαότητες που αφορού τη Χ υπολογίζοται ως εμβαδά κατάλληλω περιοχώ κάτω από τη γραφική παράσταση της f και ότι για τη τιμή της, f (α ), στη θέση x = α, έχουμε ε ε P ( α < X < α + ) ( α) ε f ή ε ε P( α < X < α + ) f ( α). (9..) ε Δηλαδή, η τιμή της συάρτησης πυκότητας μιας συεχούς τυχαίας μεταβλητής στη θέση α είαι ίση με το λόγο της πιθαότητας α πάρει η Χ τιμές σε έα διάστημα πλάτους ε γύρω από τοα προς το πλάτος αυτό. Κάτι αάλογο συμβαίει, όπως είδαμε, με το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω τω τιμώ του τυχαίου δείγματος από τη Χ (και τη προσέγγισή του, το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω). Α επιλέξουμε τυχαία μια τιμή από το δείγμα του παραδείγματός μας, η πιθαότητα α βρίσκεται αυτή η τιμή, για παράδειγμα, μεταξύ.5 και 6 είαι ίση με το Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3

18 συολικό εμβαδό τω ορθογωίω που ατιστοιχού στις κλάσεις [.5 3), [3 4.5) και [4.5 6), δηλαδή, είαι ίση με.46. Αυτή η πιθαότητα αποτελεί μια προσέγγιση της πιθαότητας P (.5 < X < 6), δηλαδή της πιθαότητας, α επιλέξουμε τυχαία από το πληθυσμό μια τιμή, αυτή α βρίσκεται μεταξύ.5 και 6. Επίσης, το ύψος κάθε ορθογωίου ορίσθηκε ως λόγος, όπως αυτός στη σχέση (9..). (Θυμηθείτε τη κλίμακα πυκότητας). Ομαδοποιώτας τα δεδομέα, όπως ήδη έχουμε ααφέρει, χάουμε κάποια από τη πληροφορία που περιέχεται στο δείγμα και γι αυτό, είαι λογικό, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάεται α παίρουμε όλο και μεγαλύτερο αριθμό κλάσεω με πλάτος όλο και πιο μικρό. Έτσι, η συάρτηση πυκότητας της συεχούς τυχαίας μεταβλητής από τη οποία παίρουμε τα τυχαία δείγματα προσεγγίζεται από τα ατίστοιχα πολύγωα συχοτήτω όλο και καλύτερα. Μάλιστα, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάεται και το πλάτος τω κλάσεω μειώεται, το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω παίρει όλο και πιο πολύ, μορφή λείας καμπύλης. Και επειδή οι συεχείς μεταβλητές (τουλάχιστο θεωρητικά) μπορού α πάρου άπειρες τιμές, η καμπύλη σχετικώ συχοτήτω ολόκληρου του πληθυσμού προκύπτει ως το όριο τω πολυγώω συχοτήτω στα οποία το πλάτος τω κλάσεω τείει στο μηδέ και πρόκειται, φυσικά, για τη γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας. Στο Σχήμα 9..4, φαίεται η λεία καμπύλη σχετικώ συχοτήτω που προσεγγιστικά προκύπτει για τη μεταβλητή «χρόος επαεμφάισης της ασθέειας» του Παραδείγματος Παρατηρείστε τη κλίμακα πυκότητας στο κατακόρυφο άξοα. Σχήμα 9..4 Καμπύλη σχετικώ συχοτήτω του δείγματος του Παραδείγματος 9..3 Τα πολύγωα και ατίστοιχα οι καμπύλες σχετικώ συχοτήτω μπορεί α έχου διάφορες μορφές. Δείτε σχετικά παραδείγματα στο Σχήματα Σχήματα 9..5 Πολύγωα σχετικώ συχοτήτω και λείες καμπύλες που προκύπτου από αυτά Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3

19 Μπορεί α παρουσιάζου μια, καμία ή και περισσότερες κορυφές. Μπορεί επίσης α είαι συμμετρικές ή α είαι λοξές/ασσύμμετρες. Μία λοξή/ασύμμετρη καμπύλη σχετικώ συχότητω παρουσιάζει είτε θετική ασυμμετρία οπότε εμφαίζει πιο μακριά ουρά προς τα δεξιά είτε αρητική ασυμμετρία οπότε εμφαίζει πιο μακκριά ουρά προς αρστερά (δες Σχήματα 9..6). Περισσότερα για το όημα και τη ερμηεία του είδους της ασυμμετρίας, θα ααφέρουμε στα επόμεα ότα θα μιλήσουμε για τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα. (α) Θετική ασυμμετρία Σχήματα 9..6 Είδη ασυμμετρίας/λοξότητας (β) Αρητική ασυμμετρία Τέλος, οι καμπύλες συχοτήτω, αάλογα με το βαθμό συγκέτρωσης τω παρατηρήσεω στο μέσο και στα άκρα της καταομής, διακρίοται σε μεσόκυρτες, λεπτόκυρτες, και πλατύκυρτες (δες Σχήματα 9..7). (α) (β) (γ) Μεσόκυρτη Λεπτόκυρτη Πλατύκυρτη Σχήματα 9..7 Είδη κυρτότητας Όπως ήδη έχουμε διαπιστώσει, με τη ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος χάουμε κάποια από τη πληροφορία που περιέχεται σε αυτό αφού τόσο ο πίακας συχοτήτω όσο και τα ιστογράμματα δε διατηρού τις αρχικές τιμές του δείγματος. Αυτό το πρόβλημα μπορεί α ατιμετωπισθεί με τη κατασκευή του φυλλογραφήματος (steam-leaf plot) τω τιμώ του δείγματος (είαι μια από τις μεθόδους-τεχικές της διερευητικής αάλυσης δεδομέω). Παράδειγμα 9..8 (φυλλογράφημα): Στο Σχήμα 9..8α φαίεται το φυλλογράφημα του τυχαίου δείγματος τιμώ του Παραδείγματος Ας δούμε πώς κατασκευάσθηκε και πώς «διαβάζεται» ΗΙ 9,9 (Leaf unt=.) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 33

20 (α) Φυλλογράφημα (β) Ιστόγραμμα συχοτήτω Σχήμα 9..8 Το φυλλογράφημα και το ιστόγραμμα συχοτήτω του τυχαίου δείγματος τιμώ του Παραδείγματος 9..3 Η κατασκευή του έγιε σε τέσσερα βήματα: α) Χωρίσαμε κάθε τιμή του δείγματος σε δύο μέρη. Στο steam και το leaf. Τα leaves επιλέξαμε α εκφράζου τα δέκατα (και επομέως τα steams τις μοάδες). Έτσι, για παράδειγμα, η τιμή 5.7 ααπαρίσταται ως 5 7 όπου το 5 είαι το steam και το 7 το leaf αυτής της τιμής. β) Καταγράψαμε όλα τα steams, τα διατάξαμε κατακόρυφα σε αύξουσα σειρά και, δεξιά τους, χαράξαμε μια κατακόρυφη γραμμή. γ) Στη γραμμή κάθε steam, καταγράψαμε το leaf κάθε τιμής του δείγματος που έχει το συγκεκριμέο steam. Έτσι, στη γραμμή που βρίσκεται το steam 5, καταγράψαμε δεξιά της κατακόρυφης γραμμής τα leaves 5, 6, 7, 9 γιατί οι τιμές του δείγματος που έχου steam 5 είαι οι τιμές: 5.5, 5.6, 5.7 και 5.9. (Τα leaves κάθε steam, τα καταγράφουμε σε αύξουσα σειρά). δ) Σημειώσαμε σε κάποιο σημείο του διαγράμματος (ως υπόμημα) τη ααγκαία πληροφορία για α είαι σαφές τι εκφράζου τα steams και τα leaves. Είαι φαερό ότι από έα φυλλογράφημα μπορεί καείς, αμέσως, α διαπιστώσει α μια συγκεκριμέη τιμή αήκει (και πόσες φορές) στο δείγμα, κάτι το οποίο, δε είαι δυατό α γίει από έα ιστόγραμμα. Για παράδειγμα, από το παραπάω φυλλογράφημα εύκολα διαπιστώουμε ότι η τιμή.5 δε εμφαίσθηκε στο δείγμα εώ η τιμή. εμφαίσθηκε και μάλιστα δύο φορές. Το φυλλογράφημα, επηρεάζεται από τη επιλογή τω steams όπως και το ιστόγραμμα επηρεάζεται από τη επιλογή τω κλάσεω. Αξίζει επίσης α σημειώσουμε ότι η εικόα-μορφή εός φυλλογραφήματος είαι αάλογη με αυτή του ατίστοιχου ιστογράμματος συχοτήτω. Δείτε τα Σχήματα 9..8 όπου το ιστόγραμμα συχοτήτω, για διευκόλυση της σύγκρισης, έχει περιστραφεί κατά 9. Σημείωση 9..: Στα φυλλογραφήματα που κατασκευάζου τα στατιστικά πακέτα, σημειώοται και άλλες πληροφορίες όπως, σε ποιο steam βρίσκεται η διάμεσος, οι αθροιστικές συχότητες και οι πιθαές «ακραίες» τιμές (μια τέτοια τιμή, η τιμή 9.9, φαίεται και στο παράδειγμά μας και συμβολίζεται με HI). Παρατήρηση 9..4: Κάποιες φορές, μπορεί τα διαφορετικά steams α είαι πολύ λίγα και κάποια (ή και όλα) α έχου πολλά leaves. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για καλύτερη παρουσίαση τω δεδομέω μας, μπορούμε α «απλώσουμε» τα steams που έχου πολλά leaves, γράφοτας καθέα από αυτά, σε δύο ή περισσότερες γραμμές, αάλογα με το αριθμό τω leaves που έχου. Συήθως έα steam, αάλογα με το αριθμό τω leaves του, «απλώεται» σε περισσότερες γραμμές με δύο τρόπους: α) Σε δύο γραμμές, όπου στη πρώτη καταγράφοται τα leaves από μέχρι 4 και στη δεύτερη τα leaves από 5 μέχρι 9. β) Σε πέτε γραμμές, όπου καταγράφοται, ατίστοιχα, τα leaves, και, και 3, 4 και 5, 6 και 7, 8 και 9. Μια τέτοια περίπτωση, φαίεται στο φυλλογράφημα του Σχήματος Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 34

21 (Leaf unt=.) Σχήμα 9..9 Φυλλογράφημα με ίδια steams σε περισσότερες από μια γραμμές Παράδεγμα 9..5 (συέχεια): Στα Σχήματα 9.. φαίοται το ιστόγραμμα και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω, το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και το φυλλογράφημα της καταομής του δείγματος από τη τυχαία μεταβλητή μηιαίο οικογεειακό εισόδημα του Παραδείγματος 9. και με βάση τη ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω που έγιε στο Παράδειγμα Στο φυλλογράφημα, ως leaves πήραμε τις δεκάδες (και ως steams τις εκατοτάδες). Έτσι, για παράδειγμα, η τιμή 45 ααπαρίσταται ως 4 5. (α) Ιστόγραμμα και πολύγωο σχετικώ συχοτήτω (β) Ιστόγραμμα και πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω (Leaf unt=.) (γ) Φυλλογράφημα Σχήματα 9.. Ααπαράσταση της καταομής του δείγματος από τη τυχαία μεταβλητή «μηιαίο οικογεειακό εισόδημα» του Παραδείγματος 9.. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 35

22 Και στο παράδειγμα αυτό, διαπιστώουμε ότι από το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω αλλά και από το φυλλογράφημα άμεσα προκύπτει το γεικό συμπέρασμα που διατυπώσαμε για τη καταομή αυτού του τυχαίου δείγματος ότα σχολιάσαμε το ατίστοιχο πίακα συχοτήτω (Πίακας 9..5). Φαίεται επίσης, ότι η καταομή του δείγματος είαι περίπου συμμετρική. Στο σημείο αυτό αξίζει α κάουμε μια παρατήρηση/επισήμαση. Παρατήρηση 9..5: Όπως θα έχετε παρατηρήσει, επιμέουμε στη αίχευση πιθαής συμμετρίας στη καταομή του τυχαίου δείγματος. Αυτό το κάουμε γιατί, όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμεα, πολλές μέθοδοι στατιστικής συμπερασματολογίας προϋποθέτου ότι το τυχαίο δείγμα προέρχεται από καοικό πληθυσμό, δηλαδή, ότι οι τιμές του τυχαίου δείγματος είαι τιμές τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κάποια καοική καταομή (η οποία, όπως γωρίζουμε, είαι συμμετρική, μοοκόρυφη καταομή και με «όχι παχιές» ουρές/μεσόκυρτη). Ότα επομέως το δείγμα είαι τυχαίο, μπορούμε, από τη μορφή της καταομής του α κάουμε μια πρώτη «εκτίμηση» για το α ο πληθυσμός από το οποίο προέρχεται μπορεί α είαι καοικός ή απέχει πολύ από τη καοική καταομή. Αυτό που παρατηρούμε στη καταομή του δείγματος είαι α αυτή είαι (περίπου) συμμετρική ή μήπως παρουσιάζει μεγάλη/εμφαή ασυμμετρία (επίσης, α είαι μοοκόρυφη ή όχι και α δε έχει «παχιές» ουρές, δηλαδή, α δε εμφαίσθηκα ακραίες τιμές, αλλά γι αυτό, θα πούμε περισσότερα ότα θα μιλήσουμε για το θηκόγραμμα). Βέβαια, για το α το δείγμα προέρχεται από καοικό ή όχι πληθυσμό, όπως θα δούμε, δε (πρέπει α) αποφασίζουμε μόο από τη εικόα του πολυγώου και του ιστογράμματος σχετικώ συχοτήτω του δείγματος. Υπάρχου για το σκοπό αυτό ειδικοί στατιστικοί έλεγχοι. Εξάλλου, από μια άλλη ομαδοποίηση τω τιμώ του δείγματος, είαι πιθαό α παίραμε μια αρκετά διαφορετική εικόα για τη μορφή της καταομής του δείγματος. Το ίδιο θα μπορούσε επίσης α συμβεί α παίραμε έα άλλο τυχαίο δείγμα. Όμως, μια πρώτη «εκτίμηση», ιδιαίτερα α το δείγμα δε είαι μικρό, είαι πάτοτε χρήσιμη. Ερώτηση: Στα Σχήματα 9.., φαίοται τα πολύγωα σχετικώ συχοτήτω και τα πολύγωα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω δύο καταομώ δεδομέω. Σχολιάστε τη σχετική θέση τω ατίστοιχω πολυγώω στα δύο σχήματα. (α) (β) Σχήματα 9.. Σχετική θέση πολυγώω σχετικώ συχοτήτω Υπόδειξη: Η καταομή της οποίας το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω βρίσκοται δεξιότερα, είαι «στοχαστικά μεγαλύτερη». Σκεφθείτε τι μπορεί α σημαίει αυτό. (Θεωρείστε ότι η καταομή που βρίσκεται δεξιότερα, αφορά, για παράδειγμα, στις τιμές εός αιματολογικού δείκτη σε μια ομάδα αδρώ και η άλλη καταομή στις τιμές του ίδιου αιματολογικού δείκτη σε μια ομάδα γυαικώ και συγκρίετε τα ποσοστά στις δύο ομάδες που έχου τιμή Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 36

23 αιματολογικού δείκτη, π.χ., μεγαλύτερη από 3 μοάδες ή μικρότερη από. Επίσης, βρείτε και συγκρίετε τις τιμές, κάποιου ποσοστημορίου π.χ. του p 6, στις δύο καταομές) Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Οι γραφικές ααπαραστάσεις της καταομής του δείγματος (διαγράμματα, ιστογράμματα και πολύγωα συχοτήτω, φυλλογράφημα, κτλ) μας βοηθού, όπως είδαμε, α αποκτήσουμε μια παραστατική εικόα για τη θέση της και τη μορφή της. Όμως, υπάρχου όρια στη περαιτέρω αξιοποίησή τους και ιδίως στη στατιστική συμπερασματολογία. Για παράδειγμα, α θέλουμε α χρησιμοποιήσουμε το ιστόγραμμα εός τυχαίου δείγματος για α οδηγηθούμε σε συμπεράσματα για το ιστόγραμμα του πληθυσμού από το οποίο προέρχεται, πώς μπορούμε α μετρήσουμε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ δύο ιστογραμμάτω; Α ταυτίζοται, μπορούμε α πούμε ότι τα δύο ιστογράμματα «είαι ίδια», α όμως υπάρχου διαφορές (που είαι και το πιο πιθαό) πώς θα εκφράσουμε το «πόσο διαφέρου»; Απαιτείται επομέως, έα επόμεο βήμα. Πρέπει α μπορούμε α περιγράψουμε τη καταομή του δείγματος (όπως και τo πληθυσμό) και με ποσοτικούς όρους, ώστε η σύγκριση α μπορεί α γίει με ποσοτικά/μετρήσιμα κριτήρια. Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numercal descrptve measures) αυτό ακριβώς μας προσφέρου. Πρόκειται για ποσοτικά μεγέθη που βοηθού στη περιγραφή της καταομής εός δείγματος ή στη περιγραφή εός πληθυσμού (της καταομής μιας τυχαίας μεταβλητής) με όρους ποσοτικούς. Α αφορού έα πληθυσμό, οομάζοται (όπως είδαμε στο Α Μέρος) παράμετροι (parameters) εώ α αφορού έα δείγμα από έα πληθυσμό οομάζοται στατιστικά (statstcs). Δύο βασικές παράμετροι που γωρίσαμε στο Α Μέρος είαι η μέση τιμή μ και η διακύμαση σ. Οι παράμετροι εός πληθυσμού είαι συγκεκριμέοι/μοαδικοί αριθμοί, που μπορεί βέβαια, α μας είαι είτε γωστοί είτε άγωστοι. Ατίθετα, τα στατιστικά, για συγκεκριμέη πραγματοποίηση x, x, K, x εός δείγματος X, X, K X μπορούμε α τα υπολογίσουμε και επομέως μας είαι γωστά, όμως σε μια άλλη πραγματοποίηση του δείγματος η τιμή τους μεταβάλλεται, δηλαδή, τα στατιστικά είαι τυχαίες μεταβλητές. Στη συέχεια, θα εξηγήσουμε πώς ορίζοται τα βασικά στατιστικά εός δείγματος, πώς τα υπολογίζουμε για συγκεκριμέη πραγματοποίηση, x, x, K, x, εός τυχαίου δείγματος και κυρίως θα προσπαθήσουμε α εξηγήσουμε και α ααδείξουμε το όημά τους, ώστε α μπορούμε α τα ερμηεύουμε και α τα αξιοποιούμε σωστά. Τα στατιστικά (αλλά και οι παράμετροι όπως είδαμε στο Α Μέρος) ταξιομούται σε τρεις βασικές κατηγορίες: α) Μέτρα Θέσης/Κετρικής Τάσης (locaton measures/ central tendency measures) τα οποία μας δίου πληροφορίες για τη θέση της καταομής του δείγματος. β) Μέτρα Μεταβλητότητας/Διασποράς (varablty measures/dsperson measures) τα οποία μας δίου πληροφορίες για τη μεταβλητότητα τω τιμώ του δείγματος. γ) Μέτρα Λοξότητας (skewness) και Κύρτωσης (kurtoss) τα οποία μας δίου πληροφορίες για τη μορφή της καταομής του δείγματος Μέτρα θέσης/κετρικής τάσης Για τη περιγραφή της θέσης της καταομής εός δείγματος, θα παρουσιάσουμε τέσσερα μέτρα θέσης. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 37

9. Περιγραφική Στατιστική

9. Περιγραφική Στατιστική 9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης. Ποιους ορισμούς πρέπει α ξέρω; Τι οομάζουμε αι πώς συμβολίζεται: η επιρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ; Οομάζεται η τιμή της μεταβλητής, που παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Βασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές συεχείς καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Καοική καταομή 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής καταομής 7.. Καοική προσέγγιση της καταομής Posson 7..3 Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ: Επεξεργάζεται στατιστικά δεδομέα, αριθμητικές μετρήσεις. Ατικείμεό της είαι η συγκέτρωση στατιστικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα