Logička svojstva i odnosi
|
|
- Ακακαλλις Ζυγομαλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Logička svojstva i odnosi S osvrtom na meduodnos logike i didaktike Berislav Žarnić Sveučiliste u Splitu studeni (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
2 Plan izlaganja 1 Logički dio Predteorijsko razumijevanje logičkih svojstava i odnosa. Teorijske eksplikacije odbaranih logičkih svojstava i odnosa u teorijskom okviru iskazne logike i logike prvog reda. Svojstva. Odnosi. Zadovoljivost i konzistentnost. Slijed i dokazivost. Protuslovlje. Istovrijednost. Neovisnost. Itd. Njihova povezanost. Dokaz i nekonzistentnost. Slijed i nezadovoljivost. Meduodnos semantičkih i sintaktičkih eksplikacija. Pouzdanost. Potpunost. Postupci ispitivanja logičkih svojstava i odnosa u iskaznoj logici i logici prvog reda. Poseban osvrt na pitanje valjanosti zaključka. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
3 Plan izlaganja 2 Didaktički dio Poučavanje logike i stupnjevi logičkog znanja. Problemski pristup poučavanju logike. Primjedba Primjeri zadataka o logičkim svojstvima i odnosima. O mogućnostima različitih načina korištenja istim zadatakom. Ovo se izlaganje se najvećim dijelom temelji na: S. Kovač, B. Žarnić. Logička pitanja i postupci. KruZak, (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
4 Logika kao jezična sposobnost Primjer Govornik običnog jezika zna kako koristiti se riječima. Izmedu ostalog zna kako koristiti se izrazima poput: prema tome, dakle, iz toga slijedi da,... Ispravnost korištenja spomenutim izrazima ovisi o prepoznavanju odnosa značenja. Prepoznavanje odnosa značenja jest predteorijsko znanje logike, ili, radije, logikā. (Nesavršeno znanje, kao i druga naša znanja.) U donjim primjerima: (i) poznavanje logike prava, (ii) (ne)poznavanje logike imperativa (zašto ne vrijedi A! A! B!). (i/da) Slobodni ste iskazivati svoje stavove. Prema tome, nitko Vas ne smije spriječiti u tome. (ii/ne) Pošalji pismo! Prema tome, pošalji pismo ili ga spali! (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
5 Teorijska eksplikacija Citat Zadaća je eksplikacije leži u tome da se pojam koji negzaktan u nekoj mjeri transformira u egzaktan pojam, a ne u tome da drugi zamjeni prvi. R. Carnap (1950) Logical Foundations of Probability Logička teorija (bolje, logičke teorije) treba usavršiti predteorijske pojmove o logičkim svojstvima i odnosima (konzistentnost, slijed, protuslovlje, istovrijednost,...). Elementarna logika usavršava predteorijsko razumijevanje onih odnosa značenja koji ovise o značenju (istinitosnofunkcionalnih) veznika (iskazna logika) i onih odnosa značenja koji, pored ovisnosti o značenju vezika, ovise i o značenju kvantifikatora i predikata identiteta (logika prvog reda). Druge logike usavršavaju predteorijsko razumijevanje onih odnosa značenja koji ovise o značenju drugih riječi, o rečeničničnom modusu (poput deontičke logike, logike imperativa, logike čina itd.). (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
6 Eksplikacije logičkih svojstava i odnosa Dva pojma za dio jednoga Primjer Rasvjetljavanje značenja logika ostvaruje na dva načina: na sintaktički način unutar teorije dokaza, i na semantički način unutar teorije modela. Zbog toga se pojmovi o logičkim odnosima i svojstvima udvostručuju. Pitanje znače li rečenice p i q isto ili, iskazano pomoću naziva koji je malo bliži teorijskomu, jesu li p i q istovrijedne rečenice udvostručuje se u logici u dva pitanja, u sintaktičko, dokazuje li p rečenicu q i obratno, i u semantičko, je li p istinito uvijek kada je istinito q i obratno. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
7 Eksplikacije logičkih svojstava i odnosa Četri pojma umjesto dijela jednoga Primjer Logika na pitanja o javljanju odredenih svojstava i odnosa medu rečenicam odgovara u okviru nekoga teorijskoga sustava, kao što je iskazna logika ili kao što je logika prvoga reda, pa se naša udvostručena pitanja udvostručuju još jednom. Nastavljajući prethodni primjer, dobivamo sljedeće pojmove: sintaktička istovrijednost u iskaznoj logici, sintaktička istovrijednost u logici prvoga reda, semantička istovrijednost pod istinitosnim vrjednovanjem, semantička istovrijednost s obzirom na modele prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
8 Što nam je potrebno za eksplikaciju predteorijskih pojmova? Za sintaktičku eksplikaciju: deduktivni sustav. Sustav naravne dedukcije. Aksiomatski sustav.... Za semantičku eksplikaciju: (formalno)semantički sustav. Dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti rečenicama (vrjednovanje). Tumačenje individualnih konstanti i predikata (model prvog reda). [Strukture sačinjene od prethodnih]... (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
9 Sustav naravne dedukcije Iz: S. Kovač, B. Žarnić (2008) Logička pitanja i postupci, str. 27 Uvodenje (u) Isključenje (i) Γ p, q Γ p q Γ p q Γ p ili Γ q Γ p (ili q) Γ p q Γ p q, Γ, p r i Γ, q r Γ r Γ, p q Γ p q Γ p q, p Γ q Γ, p q i Γ, q p Γ p q, p Γ q, Γ p q Γ p q, q Γ p Γ, p q, q Γ p Γ, p q, q Γ p Γ p(c/x) Γ x p Γ x p Γ p(c/x) c se ne javlja u p i Γ Γ p(c/x) Γ x p Γ, p(c/x) q Γ, x p q c se ne javlja u p, q i Γ = Γ c = c Γ p(c), c = d (ili d = c) Γ p(d//c) Opetovanje (op.): Γ p Γ, p Pretpostavka (pretp.): Γ, p p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
10 Vrjednovanje i model prvog reda U iskaznoj (propozicijskoj) logici: Vrjednovanje iskaza V (A) {i, n} U logici prvog reda: Definicija Model (struktura) prvog reda M je par D, T, tj. M = D, T s time da D = T (a) D za individualnu konstantu a T (A n ) D... D za n-mjesni predikat A }{{} n n Vrjednovanje { varijabli v: v (x) D T (t) ako je t individualna konstanta, t = v (t) ako je t varijabla Osnovni slučaj: vrjednovanje varijabli v zadovoljava atomarni iskaz P n (t 1,..., t n ) u modelu M akko t 1,..., t n T (P n ) (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
11 Zadovoljenost u modelu prvog reda Iz: S. Kovač, B. Žarnić (2008) Logička pitanja i postupci, str. 6 Model M zadovoljava formulu p za vrjednovanje varijabla v, kra ce M = v p: Vrsta formule Uvjet zadovoljenosti za model M i vrjednovanje v A(iskazno slovo) istinitost A (T (A) = i) At 1... t n predmeti označeni pomoću t 1... t n u relaciji su označenoj simbolom A, t 1 = t 2 t 1 i t 2 označuju isti predmet, p p nije zadovoljeno p q i p i q su zadovoljeni p q bilo p bilo q je zadovoljeno p q p nije ili q jest zadovoljeno p q oboje (i p i q) ili nijedno nije zadovoljeno x p za svaki je predmet d pod inačicom v [d/x] zadovoljeno p x p za neki je predmet d pod inačicom v [d/x] zadovoljeno p Ako je formula p koja je zadovoljena u modelu M za neko vrjednovanje v, iskaz, kažemo da je p istinito u modelu M. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
12 Istinitost u modelu Zapis za p je istinito u modelu M : M =p Citat Russell je filozof istinito je ako i samo ako predmet imenovan s Russell pripada skupu koji je zadan predikatom je filozof. Neka je M = D, T. M =Filozof (russell) akko T (russell) T (Filozof ) (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
13 Istinitost u modelu Zapis za p je istinito u modelu M : M =p Citat Russell je filozof istinito je ako i samo ako predmet imenovan s Russell pripada skupu koji je zadan predikatom je filozof. Neka je M = D, T. M =Filozof (russell) akko T (russell) T (Filozof ) (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
14 Pristup Predteorijski logički pojam P eksplicirat ćemo na sljedeći naći Pojam u teorijskom okviru s obzirom na način karakterizacije P logike L ZNAČI u sintaktičkom smislu Psin L u semantičkom smislu Psem L Ipak, na koncu ćemo vidjeti da se u slučaju elementarne logike P L sin i PL sem opet, s obzirom na svoj opseg, stapaju u jedan pojam. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
15 Konzistentnost Iz: S. Kovač, B. Žarnić (2008) Logička pitanja i postupci, str. 66 Tvrdnja Skup iskaza Γ je konzistentan dobiva u teorijskim okvirima iskazne logike i logike prvoga reda sljedeće eksplikacije: Γ je semantički konzistentan (zadovoljiv, ispunjiv) u iskaznoj logici akko postoji vrjednovanje u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ, Γ je sintaktički konzistentan (formalno konzistentan) u iskaznoj logici akko Γ ne može dokazati (gdje je pokrata za p p, za bilo koji p) u sustavnu naravne dedukcije za iskaznu logiku, Γ je semantički konzistentan (zadovoljiv, ispunjiv) u logici prvoga reda akko postoji model u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ, Γ je sintaktički konzistentan (formalno konzistentan) u logici prvoga reda akko Γ ne može dokazati (gdje je pokrata za p p, za bilo koji p) u sustavu naravne dedukcije za logiku prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
16 Konzistentnost i zadovoljivost Ako skup iskaza nije konzistentan, nazivamo ga nekonzistentnim (inkonzistentnim). Semantički konzistentan skup najčeš ce zovemo zadovoljivim, a semantički nekonzistentan nezadovoljivim. Sintaktički (ne)konzistentan skup najčeš ce zovemo formalno (ne)konzistentnim. Za iskaz p ćemo reći da je zadovoljiv (ispunjiv, semantički konzistentan) akko je zadovoljiv skup kojemu je on jedini član, tj. akko je skup {p} zadovoljiv. Ako iskaz nije zadovoljiv, onda je nezadovoljiv (semantički nekonzistentan). (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
17 Zapisi Tvrdnja Iskaz p slijedi iz skupa iskaza Γ dobiva sljedeće eksplikacije: p semantički slijedi (slijedi) iz Γ u iskaznoj logici akko je p istinito u svakom vrjednovanju u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ, p sintaktički slijedi iz Γ u iskaznoj logici akko se p može dokazati iz Γ u sustavu naravne dedukcije za iskaznu logiku, p semantički slijedi (slijedi) iz Γ u logici prvoga reda akko je p istinito u svakom modelu u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ, p sintaktički slijedi iz Γ u logici prvoga reda akko se p može dokazati iz Γ u sustavu naravne dedukcije za logiku prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
18 Slijed Zapis Tvrdnju p semantički slijedi iz Γ možemo zapisati na skraćeni način ovako: Γ = p Za posebne slučaje kraće pišemo: Γ = i p akko V(p) = i u svakom vrjednovanju V takvom da V(q) = i za svaki q Γ, Γ = p p akko M = p u svakom modelu M takvom da M = q za svaki q Γ. Zapis Tvrdnju p sintaktičkii slijedi iz Γ možemo zapisati na skraćeni način ovako: Γ p Za posebne slučaje kra ce pišemo: Γ i p akko postoji dokaz p iz Γ u sustavu naravne dedukcije za iskaznu logiku, Γ p p akko postoji dokaz p iz Γ u sustavu naravne dedukcije za logiku prvog reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
19 Zapisi Zapis Tvrdnju skup Γ je zadovoljiv možemo zapisati na skraćeni način ovako: Γ = Za posebne slučaje kraće pišemo: Γ = i akko postoji vrjednovanje V takvo da V(q) = i za svaki q Γ, Γ = p akko postoji model M takav da M = q za svaki q Γ. Zapis Tvrdnju skup Γ je formalno konzistentan možemo zapisati na skraćeni način ovako: Γ Za posebne slučaje kraće pišemo: Γ i akko ne postoji dokaz za iz Γ u sustavu naravne dedukcije za iskaznu logiku, Γ p akko ne postoji dokaz za iz Γ u sustavu naravne dedukcije za logiku prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
20 Primjedbai Primjedba Važno je uočiti da zadovoljivost prijevoda neke rečenice običnoga jezika na jezik iskazne logike nema za posljedicu zadovoljivost njezina prijevoda na jezik logike prvoga reda. Pojam zadovoljivost prijevoda u logici prvoga reda uži je pojam od zadovoljivosti prijevoda u iskaznoj logici. Primjer Rečenica a je P i ništa nije P dobiva sljedeće prijevode (prijevod rečenice koja se ne da dalje raščlaniti unutar iskazne logike, upisan je ispod vodoravne crte): Pa xpx A B (1) Iskaznologički prijevod A B jest zadovoljiv, ali prijevod u jeziku logike prvoga reda nije zadovoljiv. Jednako tako, na sintaktičkoj strani, iz Pa xpx lako ćemo dokazati unutar logike prvoga reda, ali to isto nećemo moći učiniti unutar iskazne logike za iskaznologički oblik prijevoda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
21 Primjedba Primjedba Dok konzistentnost prijevoda u logici prvoga reda ima za posljedicu konzistentnost prijevoda u iskaznoj logici, ali ne nužno i obratno, kod valjanosti susrećemo suprotan odnos. Sve što je valjano s obzirom na prevodenje u iskaznoj logici valjano je takoder s obzirom na prevodenje u logici prvoga reda, ali ne nužno i obratno. Primjer Prijevodi rečenice ako je a takvo da P, onda je nešto takvo da P mogli bi izgledati ovako: Pa xpx A B Prijevod na jezik logike prvoga reda daje valjan iskaz logike prvoga reda, ali A B nije valjan iskaz logike prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
22 Dokaz i nekonzistentnosti Iz: S. Kovač, B. Žarnić (2008) Logička pitanja i postupci, str. 82 Tvrdnja (Dokaz i nekonzistentost) Γ p p Γ, p p Dokaz. Budući da moramo dokazati dvopogodbu, dokaz ćemo razdijeliti u dokaz dviju pogodaba: (6) i (11) dolje. Dokazujemo ih dvama nizovima tvrdnjā, od (1) do (6), i od (7) do (11). (1) Pretpostavimo Γ p p. (2) Po pravilu unošenja pretpostavke, vrijedi Γ, p p p. (3) Prema pravilu opetovanja, iz (1) dobivamo Γ, p p. (4) Korištenjem pravila u, iz (2) i (3) dobivamo Γ, p p p p. (5) Budući da je pokrata za p p (za bilo koji p), možemo (4) drukčije zapisati kao Γ, p p. (6) Prema tome, ako Γ p p, onda Γ, p p. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
23 Drugi dio dokaza Dokaz. (7) Pretpostavimo Γ, p p. (8) Budući da je pokrata za p p (za bilo koji p), možemo (7) drukčije zapisati kao Γ, p p p p. (9) Dvostrukom primjenom pravila i, iz (8) dobivamo Γ, p p p i Γ, p p p. (10) Primjenom pravila i, iz (9) dobivamo Γ p p. (11) Prema tome, ako Γ, p p, onda Γ p p. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
24 Slijed i nezadovoljivost Tvrdnja (Slijed i nezadovoljivost) Dokaz. Γ = p p Γ, p = p (1) Pretpostavimo da Γ = p p. (2) Po definiciji (semantičkog) slijeda, (1) znači da je p istinito u svakom modelu M u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ. Za svrhu dokaza metodom reductio ad absurdum, pretpostavimo (3) da je zadovoljiv skup Γ { p}; u simboličnom zapisu: Γ { p} = p. (4) Po definiciji zadovoljivosti, znači da postoji neki model, koji ćemo označiti pomo cu M, u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ i u kojem je takoder istinit iskaz p. Po definiciji istinitosti u modelu, iz prethodne rečenice dobivamo (5) da p nije istinito u modelu M, iako su u njem istiniti svi iskazi iz Γ. Očito protusulovlje izmedu (2) i (5) pokazuje da je pretpostavka (3) neodrživa, te da moramo zaključiti suprotno, naime: (6) Γ { p} = p. (7) Prema tome, ako p semantički slijedi iz Γ, onda skup Γ { p} nije zadovoljiv. U kraćem zapisu: ako Γ = p p, onda Γ { p} = p. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
25 Drugi dio dokaza Dokaz. (8) Pretpostavimo Γ { p} = p. (9) Po definiciji nezadovoljivosti znamo da prethodno znači da ne postoji model M u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ { p}. (10) Pretpostavimo da je M model u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ. (11) Pretpostavimo takoder da je p istinito u M. (12) Tada bi skup Γ { p} bio zadovoljiv, što protuslovi pretpostavci (8), odnosno njezinu drukčijem iskazu pod (9). Prema tome, pretpostavka (11) je neodrživa, te moramo zaključiti suprotno: (13) da p nije istinito u M. (14) Po definiciji istinitosti u modelu dobivamo da je onda p istinito u M. (15) Budući da je M proizvoljni model u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ, zaključujemo da je p istinito u svakom modelu u kojem su istiniti svi iskazi iz Γ. (16) Prema tome, ako je nezadovoljiv skup Γ { p}, onda p slijedi iz Γ. U kraćem zapisu: ako Γ { p} = p, onda Γ = p p. Lema Dokaz. Γ = p p Γ, p = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
26 Pogled unatrag Logičko svojstvo (konzistentnost) skupa iskaza može se definirati pomoću logičkog odnosa (slijed) izmedu skupa iskaza i iskaza. Ako p slijedi iz Γ, onda Γ { p} nije konzistentan skup. Ako p ne slijedi iz Γ, onda je Γ { p} konzistentan skup. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
27 Konzistentnost Načelo ravnoteže za spoznaju Citat [U slučaju neposlušnog iskustva.] Postaje potrebno da se za neke tvrdnje preraspodijele istinitosne vrijednosti. Prevrednovanje jednih za posljedicu ima prevrednovanje drugih tvrdnji zbog njihovih uzajamnih logičkih veza a i sami logički zakoni nisu drugo nego tvrdnje unutar sustava, neki daljnji elementi polja. Ako smo prevrednovali jednu tvrdnju, morat ćemo prevednovati i neke druge tvrdnje, a one mogu ili biti logički povezani s prvima ili one same mogu biti logičke veze. Ali cijelo polje je u tolikoj mjeri subdeterminirano svojim graničnim uvjetima, naime iskustvom, tako da se otvara široki raspon izbora tvrdnji koje će biti preverednovane u svijetlu bilo kojeg pojedinačnog osporavajućeg iskustva. Nijedno pojedinačno iskustvo nije povezano ni uz koju odredenu tvrdnju u nutrini polja, osim neizravno a s obzirom na ravnotežu koja se tiče polja kao cjeline. Willard Van Orman Quine (1951) Dvije dogme empirizma (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
28 Pitanje valjanosti zaključka [PITANJE] Kako ispitati je li valjan zaključak s premisama Γ i konkluzijom p? [POSTUPAK] Za potvrdan odgovor postoji efektivni postupak i on se sastoji u tome da se izradi dokaz za p iz Γ (ili za iz Γ { p}). Drugim riječima trebamo pokazati da vrijedi Γ p. Za niječan odgovor potrebno je pronaći protuprimjer : model M takav da za svaki q Γ vrijedi M = q, ali M = p. Drugim riječima trebamo pokazati da vrijedi Γ, p =. Niječan odgovor nema efektivnoga postupka u logici prvoga reda. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
29 Problem Poučak Može li se pojaviti slučaj u kojemu ćemo za isti zaključak Γ/p utvrdili da njegove premise dokazuju konkluziju, ali da je ipak moguće (u nekom slučanju) da sve premise budu istinite a konkluzija neistinita? Takav se slučaj ne može pojaviti u logici prvog reda jer je ona pouzdana: što se može dokazati dto doista i (semantički) slijedi.. Γ p p Γ = p p Dokaz zbog njegove duljine izostavljamo. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
30 Problem Može li se pojaviti slučaj u kojemu ćemo za isti zaključak Γ/p utvrditi da nije moguće da njegova konkluzija bude neistinita kada su sve premise istinite, ali da, unatoč tome, konkluziju ne možemo dokazati pomoću premisa. Takav se slučaj ne može pojaviti u logici prvog reda jer je ona potpuna: što (semantički) slijedi, to se može i dokazati. Poučak (Gödel, 1928.) Γ = p p Γ p p Dokaz zbog njegove duljine i složenosti izostavljamo. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
31 Dokaz i slijed Povežemo li dva poučka o logici prvog reda Γ p p Γ = p p lako uočavamo da se njezini pojmovi o semantičkom slijedu i o dokazu poklapaju u svom opsegu. Podsjetimo li se k tome i tvrdnji o slijedu i nezadovoljivosti, te o dokazu i nekonzistentnosti, onda vidimo da sljedeće tvrdnje o logici prvog reda istvorijedne: Istovrijedne tvrdnje (i) Γ p p iz (ii) po potpunosti iz (iii) po tvrdnji o dokazu i nekonzistentost (ii) Γ = p p iz (i) po pouzdanosti iz (iv) po tvrdnji o slijedu i nezadovoljivosti (iii) Γ, p p iz (i) po tvrdnji o dokazu i nekonzistentosti (iv) Γ, p = p iz (i) po tvrdnji o slijedu i nezadovoljivosti (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
32 Odnos istovrijednosti Oslanjajući se na uočenu zamjenljivost sintaktičkih pojmova semantičkim (dokaz i s. slijed), te sintaktičkih sintaktičnim (dokaz i f. konzistentnost) i semantičkih semantičkim (s. slijed i zadovoljivost) višestruke eksplikacije možemo dati i drugim pojmovima o logičkim odnosima. p i q su istovrijedni u logici prvog reda akko (i) akko (ii) akko (iii) akko (iv) {p} p q i {q} p p {p} = p q i {q} = p p {p, q} p i { p, q} p {p, q} = p i { p, q} = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
33 Odnos protuslovlja p i q su protuslovni u logici prvog reda akko (i) akko (ii) akko (iii) akko (iv) {p} p q i { q} p p {p} = p q i { q} = p p {p, q} p i { p, q} p {p, q} = p i { p, q} = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
34 Logička neovisnost p je logički neovisno od Γ u logici prvog reda akko (i) Γ p p i Γ p p akko (ii) Γ = p p i Γ = p p akko (iii) Γ, p p i Γ, p p akko (iv) Γ, p = p i Γ, p = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
35 Valjanost iskaza p je valjan iskaz logici prvog reda akko (i) akko (ii) akko (iii) akko (iv) p p = p p { p} p { p} = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
36 Potpunost skupa iskaza Γ je potpun skup iskaza u logici prvog reda akko za svaki iskaz p L p (i) Γ p p ili Γ p p akko (ii) Γ = p p ili Γ = p p akko (iii) Γ, p p ili Γ, p p akko (iv) Γ, p = p ili Γ, p = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
37 Logički kvadrat Ovakav pristup možemo primijeniti na odnose u logičkom kvadratu klasične logike pod uvjetom da o njima ne mislimo kao o odnosima koji vrijede (pod pretpostavkom opstojnosti) izmedu aristotelovskih sudova a, e, i, o, nego kao o odnosima koji mogu vrijediti medu iskazima ima li oni ili ne aristotelovski oblik. p i q su suprotni u logici prvog reda akko akko {p, q} p i { p, q} p {p, q} = p i { p, q} = p Pojam o odnos suprotnosti i dalje nam je koristan u logici. Na primjer, imperativi! (P/ P) (npr. Otvori prozor! ) i! (P/P) ( Nemoj otvoriti prozor tj. Ostavi prozor zatvorenim ) su suprotni, a ne protuslovni. Pitanje je može li i biti protuslovnih imperativa jer to bi značilo da je jedan od njih uvijek na snazi. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
38 Logički kvadrat p i q su podsuprotni u logici prvog reda akko akko { p, q} p i {p, q} p { p, q} = p i {p, q} = p (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
39 Logički kvadrat Primjer Na donjoj slici možemo naći primjere iskaza koji ostvaruju odnose opisane na tradicionalnome logičkom kvadratu, pri čemu treba uzeti u obzir razliku u odredbi odnosa kod dviju logika. Za prvi, iskaznologički kvadrat, pretpostavit ćemo da su A i B iskazna slova. Iskazna logika Logika prvoga reda A B A B xpx x Px A B A B xpx x Px (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
40 Početna nastava logike Početna nastava logike svoje polazište ima u predteorijskom razumijevanju logičkih svojstava i odnosa. Zadaće: Omogućiti osvješćivanje predznanja (prešutno učiniti izričitim). Omogućiti usavršavanje predznanja (putem ovladavanja različitim postupcima).... Zahvaljujući uzajamnoj zamjenljivosti sintaktičkih i semantičkih pojmova u logici prvoga reda nastavni sadržaji mogu obuhvatiti različite postupke u različitim dijelovima gradiva jer se svi oni slažu u svojim odgovorima Na primjer, poučavanje o neposrednim zaključcima i o kategoričkim silogizmima može se osloniti na dijagramsko zaključivanje [više semantička metoda gdje pokazujemo da Γ = p p], na metodu stabala [pokazujemo Γ, p = p ] ili na sustav naravne dedukcije [sintaktička metoda, pokazujemo da Γ p p]. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
41 Početna nastava logike Početna nastava logike usmjerena je prema istinama logike. Ipak tek istine o logici prvoga reda opravdavaju nastavnu praksu u kojoj se različiti postupci tretiraju kao uzajamno zamjenljivi. Iako nastava obuhvaća istine u logici prvog reda, a ne i istine o logici, ipak poznavanje istina o logici prvoga reda potrebno je kako bi se utvrdio pravac poučavanja. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
42 Višestruko korištenje istim zadacima Mislim da osoba koja uči logiku uzastopno prolazi tročlanim nizovima etapa: Intuitivni stupanj. Prepoznajem logičke odnose i svojstva, ali niti znam da to činim niti kako to činim. Intropsektivni stupanj. Osvješćujem svoje logičko predznanje i provjeravam ga pomoću nekog postupka. Eksplorativni stupanj. Otkrivam nova logička pitanja u području kojim se bavim. Ponekad se isti sadržaj zadatka može koristiti na svim stupnjevima. Mogućnost korištenje na prva dva stupnja izgleda očiglednom. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
43 Pobude učenju logike Često možemo prepoznati znače li dvije rečenice isto i isključuju li se uzajamno. Ipak vrlo smo često i nesigurni u odgovoru na takva pitanja. Ponekad mislimo da znamo iako griješimo. Potonje dvije situacije predstavljaju didaktički kapital. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
44 Višestruko korištenje istim zadacima Primjer Zadana je rečenica (Baruch de Spinoza, Etika, Aksiom I. a ): Sve što jest, u sebi jest ili u nečem drugome jest. Za svaku od pet ponudenih rečenica (1) (5) odredite je li ona istovrijedna zadanoj ili joj je protuslovna ili joj nije ni istovrijedna ni protuslovna! 1 Nešto što jest, nije u sebi, ali jest u nečem drugome. 2 Ako nešto što jest, nije u sebi, onda je ono u nečem drugome. 3 Nešto što jest, nije ni u sebi niti u ičem drugome. 4 Nešto što u sebi jest, takoder u nečem drugome jest. 5 Ako nešto što jest, nije ni u čem drugome, onda ono jest u sebi. a Omnia quae sunt vel in se vel in alio sunt. (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
45 Primjer Iskušajmo različita tumačenja prvoga Spinozina aksioma: u prvome tumačenju predikata U pretpostavite da on zadovoljava uvjet refleksivnosti: x U(x, x); u drugome pretpostavite da predikat U zadovoljava uvjet irefleksivnosti: x U(x, x); a u trećem pretpostavite da predikat U nije ni refleksivan ni irefleksivan: x U(x, x) x U(x, x)! 1 Koje tumačenje predikata U omogućuje da se pozivanjem jedino na uvjet koji taj predikat zadovoljava, dokaže Spinozin aksiom x[u(x, x) y(x = y U(x, y))]? 2 Izgradite neformalni dokaz za činjenicu koju ste ustanovili u podzadatku (a)! 3 Izgradite formalni dokaz za činjenicu koju ste ustanovili u podzadatku (a)! (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
46 Primjer 1 Prvo tumačenje (predikat U ispunjava uvjet refleksivnosti) omogućuje da se dokaže Spinozin prvi aksiom. 2 Neka je a bilo koji predmet. Na osnovi refleksivnosti odnosa biti u, znamo da je a u samom sebi. Tada vrijedi i to da je a u samome sebi ili u nečem drugom. Budući da je a bio proizvoljno odabran, onda svaki predmet zadovoljava prethodni uvjet, naime, da je u samome sebi ili u nečem drugom. 3 1 xu(x, x) pretp. 2 a U(a, a) 1/ i 3 U(a, a) y(a = y U(a, y)) 2/ u 4 x[u(x, x) y(x = y U(x, y))] 2 3/ u (Sveučiliste u Splitu) Logička svojstva i odnosi studeni / 46
Logička svojstva i odnosi
Berislav Žarnić Sveučiliste u Splitu Plan izlaganja 1 Logički dio Predteorijska razumijevanja Logički sustavi Logička (transformacijska) sintak Predteorijsko razumijevanje logičkih svojstava i odnosa.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Crikvenica, 21. 22. svibnja 2004. UPUTE NATJECATELJIMA Pri rješavanju zadataka držite se uputa i samoga teksta zadatka. Ako se u zadatcima susretnete s nepoznatim sadržajima,
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραν nu ξ xi π pi σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega
Grčka slova α alpha β beta γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon ζ zeta η eta θ, ϑ theta ι iota κ kappa λ lambda o o µ mu ν nu ξ xi π pi ρ, ϱ rho σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega Γ Gama Delta Θ
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Διαβάστε περισσότεραTvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.
Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Sebastijan Horvat MODALNA POTPUNOST LOGIKA INTERPRETABILNOSTI Diplomski rad Voditelji rada: izv. prof. dr. sc. Mladen Vuković
Διαβάστε περισσότεραSVOJSTVA KLASIČNE LOGIKE
Srećko Kovač SVOJSTVA KLASIČNE LOGIKE MANUALIA (mrežno izdanje) Sv. 10 c Srećko Kovač, 2013. Nakladnik: Hrvatski studiji Sveučilišta u Zagrebu Borongajska cesta 83d, Zagreb Za nakladnika: Prof. dr. sc.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika i izračunljivost
Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odsjek Mladen Vuković Matematička logika i izračunljivost predavanja i vježbe Zagreb, rujan, 2016. Sadržaj Predgovor v 1 Prvo predavanje Uvod i logika sudova 1 1.1
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. PMF - Matematički odjel. Radan Skorić. Temporalna logika. Diplomski rad. Zagreb, 7. listopada 2009.
Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Radan Skorić Temporalna logika Diplomski rad Zagreb, 7. listopada 2009. Zahvaljujem se svojem mentoru na strpljenju i iznimnom trudu te mojim roditeljima i
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα